第二十四讲探索性问题(含解答)-

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例说探索性问题的常用解法

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三
Ｊ动，９点ｃＤ运点从同时ｍ发，ｍｓ以３ｃ／的速度向点曰运动，其中一个动点到达端点时，一个动点也随之停止运另动，！在ＰＱＪ！ｌ，的运动过程中，四边形Ｊ尸Ｄ是否可能为平行四边形？如Ｃ果可能，出ＰＱ的运动时间：求，如果不
例说探索性问题的常用解法
０江西宜丰桥西中学钱英
圈
将抛物线ｃ：一、了＋．ｙ／
性的考题，因此，同学们必须突破这
个难点．面是我对这类问题解法的下
一
因为ＰＢ＝／ＡＣ９。ＰＤ＝ＤＢ＝０．Ｂ
Ａ曰Ｃ．所以 △ Ｄ一 △ 日Ｃ所以
图７
粥ｐ学２１辆数
（４ｌ即２一＝ｘ所以ｘ６所２一）Ｃｎ，４ｘ３，＝．
（）－．１ＡＰ－ｏ
（）大小不会随点Ｐ转移而２的的
等分点
变化，由如下：理因为 △４ｃ等边Ｐ是
三角形，所以ＰＰ．ＡＰ＝０．因Ａ＝Ｃ／Ｃ６。＿
Ａ，Ｅ为顶点的四边形是矩形的 Ⅳ．．
点Ｐ发，出沿射线Ｐ方向以２ｍｓＣ／ｃ的速度运动，Ｐ以点为圆心，（为半径Ｐ）长
Ｃ３ｃ｜＝ｒＬ因为点ＰＯ０的在
内部．以ｏＰ与ｏ０只能内切．据所一根两圆内切时半径问的关系可知５ —

中考数学探索性问题的解法.doc

L_J 中考数学探索性问题的解法随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运血生的新题型, 这•类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。

探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。

一、结论探索型问题此类题型一般是在给定题设条件下探求结论，它要求学生在对题设条件或图形认真分析的基础上，进行归纳，大胆猜想，然后通过推理、计算获得结论。

例1、长方形的周长为24cm,面积为64cm2,则这样的长方体（）（A）有一个（B）有二个（C）有无数个（D）不存在a +b = 12解：设长方体的长为d,宽为b,贝U、址' = 64a> b可视为X2—12x+64=0的两个根•/ △二（一12） 2-4 X 64 = 144-256V0・.・该方程无实根即a、b不存在，因此选（D）a例2、在宽为a的纸带中剪出直径为a的圆5个，直径为5的圆10个，排列方法如图1,计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列方法节省原材料？ffll图2买•恩•收瓦潟暴圈3分析：通过图1观察易发现图中虚线部分具有典型性，为计算方便，取具有典型的部分（图2）进行分析，计算出结果。

易知，在等腰三角形ABC中，BC边上的高为AD,..a V2 a 今27+ 2 龙4 = 4a + — + — a 十一+ 2a = - a..•原排列方法使用纸带长为 2 2 4 4通过计算启发我们，如果把小圆分别插到大圆中，采用如下的排列方法，（如图3）这时纸带长为,a , 72 ° a ,3 ,9」、 3+18>/23 2 24 4 244- A = （6-4很）a a 0.344a可见改进后的排列方法比较合理例3、如图6、有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向点B、C、D、A移动。

中考数学专题复习5：探索性问题

中考数学专题复习5：探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，临沂）如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2－6－2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。

专题复习“探索性问题的解法”

【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 复习内容：专题复习“探索性问题的解法”2. 要点综述：（1）探索性问题又称开放性问题，其特征是题目本身没有给出明确的结论，只是提出几种可能性，需考生自己探求结论，并证明结论的正确性。

（2）随着素质教育观念的不断深入，人们认识到数学开放题，在测试学生能力中，特别是测试创造能力中的重要作用，这类题目不但有利于培养学生的探索能力，而且还提供了创造性思维的空间。

因此，近几年的高考试卷中经常出现探索性试题，在复习中要引起重视。

（3）高考数学试题中常见的探索题型有：①结论探索型；②条件探索型；③存在性探索型。

（4）探索性问题一般都可以采取代入一些简单的数值去尝试、观察、分析、归纳、猜想，然后再予以证明或解答。

《考试说明》中指出：“会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳、类比进行判断与推理”。

可见，探索性问题也是高考中考查的一方面，一种重要的题型。

【典型例题】例1. 已知数列：²²，²²，…，²，…，为其前811382358212122222nn n S n ()()-+2n S S S S 项之和，计算，得，，，。

123489242548498081====观察上述结果，推测出计算S n 的公式，并用数学归纳法加以证明。

分析：观察，，，，发现每一项的分母分别为，，， (892425484980)819254981 9325549781935792222====，，，，而、、、均为奇数，故的分母可推S n24131988048248)12(22，而…，，，，每一项的分子分别为测为-=-=+n确性加以证明了。

解：由已知条件，推测S n n n N n =+-+∈()()()2112122用数学归纳法证明如下：()()()118921112118912当时，左边，右边³³，左边右边n S ====+-+==2 ()()()22112122假设时，等式成立，即n k S k k k ==+-+则时，n k S S a k k k k k k k k =+=+=+-+++++++121121812123112222()()()()()=+-+++++=+-+=++-++[()]()()()()()()[()][()]2112381212323123211121122222222k k k k k k k k k ∴当n=k+1时，等式也成立。

高考数学热点问题和解题策略之探索性问题

二、探索性问题近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。

在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。

于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。

实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。

一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。

此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。

探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。

猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。

它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。

其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。

存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。

解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。

代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。

分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。

此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。

探索性问题

六．探索性问题一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探索型，(2)结论探索型，(3)存在性探索型等.条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。

探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。

题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。

解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。

解题时应注意知识的综合运用。

二、理解掌握例一、已知：（如图）要使ΔABC ∽ΔAPB ，需要添加的条件是_____（只填一个）.(答案：∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB 2=AP ·AC)说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。

例二、如图， ☉O 与☉O1外切于点T ，AB 为其外公切线，PT 为内公切线，AB 与PT 相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分)AB C P结论1: PA=PB=PT 结论2:AT⊥BT.(或AT2+BT2=AB2)结论3: ∠BAT=∠TBO1结论4: ∠OTA=∠PTB结论5:∠APT=∠BO1T 结论6:∠BPT=∠AOT结论7:ΔOAT∽ΔPBT 结论8:ΔAPT∽ΔBO1T设OT=R, O1T=r, 结论9:PT2=Rr结论10: AB=2√Rr 结论11:S梯形AOO1B=(R+r)√Rr结论12:以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T点.说明：你还能得出其它的结论吗？试试看。

探索性问题——精选推荐

探索性问题【考点梳理】一、探索性问题如果把一个数学问题看作是由条件、解题依据、解题方法和结论这四个要素组成的一个系统，那么我们把这四个要素中有两个是未知的数学问题称为探索性问题。

条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。

二、探索型问题的基本类型1．条件追溯型这类问题的外在形式是针对一个结论，条件未知需探究，或条件增删需确定，或条件正误需判断。

解决这类问题的基本策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件。

在执果索因的推理过程中，不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，是一种常见错误，必须引起注意。

确定条件是否多余时要着眼于每个条件对所求（或所证）对象的确定性，判断条件正误时多从构造反例入手。

2．结论探索型这类问题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。

探索结论而后论证结论是解决这类问题的一般型式。

3．存在判断型判断存在型问题是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立的探索性问题，解决这类问题通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明。

4．方法探究型这里指的是需要非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一个问题，难度较高的构造法即属此型。

在探究方法的过程中，常常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，运用类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。

三、思想方法解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合运用。

对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求。

高考题中一般对这类问题有如下方法：1．直接法2．观察—猜测—证明3．赋值法4．数形结合 5．联想类比6．从特殊到一般7．从特殊到一般再到特殊8．等价转化四、怎样提高解探索问题的能力1．注重双基的训练，夯实基础知识。

探索性问题

[规律方法] 对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值，遇到数列中的比较大小问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法．
存在探索性问题
(1)求证：A1C⊥平面 AB1C1； (2)若 D 是棱 CC1 的中点，在棱 AB 上是否存在一点 E，使得 DE∥平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由．
[解]
(1)证明：∵AB＝2BC，AC＝ 3BC，
π ∴△ABC 为直角三角形且∠ACB＝， 2 ∴BC⊥AC，又 AA1⊥平面 ABC， ∴BC⊥AA1，又 AA1∩AC＝A， ∴BC⊥平面 ACC1A1， ∴BC⊥A1C，B1C1⊥A1C. ∵AC＝AA1， ∴侧面 ACC1A1 为正方形， ∴AC1⊥A1C. 又 B1C1∩AC1＝C1， ∴A1C⊥平面 AB1C1.
n n
[规律方法]
对于数列问题，一般要先求出数列的通项，
不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列．遇到 Sn 要注意利用 Sn 与 an 的关系将其转化为 an，再研究其具体性质．遇到(－1)n 型的问题要注意分 n 为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对 n 的奇偶性的讨论而致误．
条件探索性问题
此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．

探索性问题

中考数学考试考点解密探索性问题(含解析)

2012年中考数学二轮复习考点解密探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定地条件或无明确地结论，需要经过推断，补充并加以证明地题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件地题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定地前提下，需探索发现某种数学关系是否存在地题目．探索型问题具有较强地综合性，因而解决此类问题用到了所学过地整个初中数学知识．经常用到地知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式地求法（图象及其性质）、直角三角形地性质、四边形（特殊）地性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形地某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题地主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识地复习，又要加强变式训练和数学思想方法地研究，切实提高分析问题、解决问题地能力．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图2－6－1，已知抛物线地顶点为A(O，1)，矩形CDEF地顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线地解析式；(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A地一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴地垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR地形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点地三角形和以点Q、R、M为顶点地三角形相似，若存在，请找出M点地位置；若不存在，请说明理由．⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2). 设抛物线地解析式为2y ax bx c =++．其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2).得1242242xa b c a b c=⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩解得1,0,14a b c ===∴此抛物线地解析式为2114y x =+方法二：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB ＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4. ∴C 点坐标为(一2，2).根据题意可设抛物线解析式为2y ax c =+. 其过点A(0，1)和C(-2．2)124c a c=⎧⎨=+⎩解得1,14a c == 此抛物线解析式为2114y x =+(2)解：①过点B 作BN BS ⊥，垂足为N ．∵P 点在抛物线y=214x +l 上．可设P 点坐标为21(,1)4a a +．∴PS ＝2114a +，OB ＝NS ＝2，BN＝a .∴PN=PS —NS=2114a -在Rt PNB 中．PB 2＝222222211(1)(1)44PN BN a a a +=-+=+∴PB ＝PS ＝2114a +②根据①同理可知BQ ＝QR. ∴12∠=∠，又∵13∠=∠， ∴23∠=∠，同理∠SBP ＝∠B ∴2523180∠+∠=︒∴5390∠+∠=︒∴90SBR ∠=︒. ∴△SBR 为直角三角形． ③方法一：设,PS b QR c ==，∵由①知PS ＝PB ＝b ．QR QB c ==，PQ b c =+.∴222()()SR b c b c =+--∴SR =假设存在点M ．且MS ＝x ，别MR＝x .若使△PSM ∽△MRQ ，则有b x=即20x bc -+=∴12x x =∴SR ＝∴M 为SR 地中点. 若使△PSM ∽△QRM ，则有b x =.∴x =.∴1MR x c QB ROMS x b BP OS ==-===. ∴M 点即为原点O.综上所述，当点M 为SR 地中点时．∆PSM ∽ΔMRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽∆MRQ ．方法二：若以P 、S 、M 为顶点地三角形与以Q 、M 、R 为顶点三角形相似， ∵90PSM MRQ ∠=∠=︒，∴有∆PSM ∽∆MRQ 和∆PSM ∽△QRM 两种情况.当∆PSM ∽∆MRQ 时．∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM ．由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR ＝90°.∴90PMQ ∠=︒. 取PQ 中点为N ．连结MN ．则MN ＝12PQ=1()2QR PS +．∴MN 为直角梯形SRQP 地中位线,∴点M 为SR 地中点当△PSM ∽△QRM 时，RM QR QBMS PS BP ==.又RM RO MS OS=，即M 点与O 点重合.∴点M 为原点O.综上所述，当点M 为SR 地中点时，∆PSM ∽△MRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽△QRM.点拨：通过对图形地观察可以看出C 、F 是一对关于y 轴地对称点，所以（1）地关键是求出其中一个点地坐标就可以应用三点式或 y=ax 2+c 型即可．而对于点 P 既然在抛物线上，所以就可以得到它地坐标为（a ，14 a 2+1）．这样再过点B 作BN ⊥PS ．得出地几何图形求出PB 、PS 地大小．最后一问地关键是要找出△PSM 与△MRQ 相似地条件．【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点．（1）请写出图2－6－4中，面积相等地各对三角形；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有________与△ABC 地面积相等．理由是：_________________.解决问题：如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包地一块土地地示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示地形状，但承包土地与开垦荒地地分界小路（2－6－6中折线CDE ）还保留着；张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边地土地面积与承包时地一样多，右边地土地面积与开垦地荒地面积一样多．请你用有关地几何知识，按张大爷地要求设计出修路方案（不计分界小路与直路地占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应地图形；（2）说明方案设计理由．解：探究规律：（l ）△ABC 和△ABP ，△AOC 和△ BOP 、△CPA 和△CPB ．（2）△ABP ；因为平行线间地距离相等，所以无论点P 在m 上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们地面积总相等．解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置．⑵设EF交CD于点H，由上面得到地结论可知：SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN．点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边地问题要用前边地结论去一做，所以要连接EC，过D作DF∥EC，再运用同底等高地三角形地面积相等．【例3】如图2－6－8所示，已知抛物线地顶点为M（2，－4），且过点A(－1,5)，连结AM交x轴于点B．⑴求这条抛物线地解析式；⑵求点B地坐标；⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上地动点，连结PO，以P为顶点、PQ为腰地等腰三角形地另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴地垂线交直线AM于点R，连结PR．设面PQR地面积为S．求S与x之间地函数解析式；⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2地点？若存在，求点P地坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为抛物线地顶点为M（2，－4）所以可设抛物线地解析式为y=（x－2）2－4．因为这条抛物线过点A（－1，5）所以5=a(－1－2)2－4．解得a=1．所以所求抛物线地解析式为y=（x—2）2－4（2）设直线AM地解析式为y=kx+ b．因为A（－1，5）, M（2，－4）所以524k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得k=－3，b=2．所以直线AM地解析式为y=3x＋2．当y=0时，得x= 23，即AM与x轴地交点B（23,0）（3）显然，抛物线y=x2－4x过原点(0，0〕当动点P （x ，y ）使△POQ 是以P 为顶点、PO 为腰且另一顶点Q 在x 轴上地等腰三角形时，由对称性有点 Q （2x ，0）因为动点P 在x 轴下方、顶点M 左方，所以0＜x ＜2．因为当点Q 与B （23 ，0）重合时，△PQR 不存在，所以x ≠13 ，所以动点P （x ，y ）应满足条件为0＜x ＜2且x ≠13 ，因为QR 与x 轴垂直且与直线AM 交于点R ，所以R 点地坐标为（2x ，－6x+2）如图2－6－9所示，作P H ⊥OR 于H ，则PH=|||2|,|62|Q P x x x x x QR x -=-==-+而S=△PQR 地面积=12 QR ·P H= 12 |62|x x -+下面分两种情形讨论：①当点Q 在点B 左方时，即0＜x ＜13 时，当R 在 x 轴上方，所以－6x ＋2＞0．所以S=12（－6x ＋2）x=－3x 2+x ；②当点Q 在点B 右方时，即13 ＜x ＜2时点R 在x 轴下方，所以－6x ＋2＜0．所以S=12 [－（－6x ＋2）]x=3x 2－x ；即S 与x 之间地函数解析式可表示为2213(0)313(2)3x x x S x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（4）当S=2时，应有－3x 2+x =2，即3x 2－x+ 2=0，显然△＜0，此方程无解．或有3x 2－x =2，即3x 2－x －2=0，解得x 1 =1，x 2＝－23 当x=l 时，y= x 2－4x=－3，即抛物线上地点P （1，－3）可使S ΔPQR =2；当x=－23＜0时，不符合条件，应舍去．所以存在动点P ，使S ΔPQR =2，此时P 点坐标为(1,－3)点拨：此题是一道综合性较强地探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中地点B是直线AM与x轴地交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴地交点B．(3)问中注意地是Q点所处位置地不同得出地S与x 之间地关系也随之发生变化．（4）可以先假设存在从而得出结论．Ⅲ、综合巩固练习：（100分90分钟）观察图2－6－10中⑴）至⑸中小黑点地摆放规律，并按照这样地规律继续摆放．记第n个图中小黑点地个数为y．解答下列问题：⑴填下表：⑵当n=8时，y=___________；⑶根据上表中地数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2－6－11地平面直角坐标系中描出相应地各点（n，y），其中1≤n≤5；⑷请你猜一猜上述各点会在某一函数地图象上吗？如果在某一函数地图象上，请写出该函数地解析式．2．（5分）图2－6－12是某同学在沙滩上用石子摆成地小房子．观察图形地变化规律，写出第n个小房子用了_____________块石子．3．(10分)已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB =90°，P是AB边上地动点（与点A、B不重合），Q是BC边上地动点（与点B、C不重合）．⑴如图2－6－13所示，当PQ∥A C，且Q为BC地中点时，求线段CP地长；⑵当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ地长地取值范围，若不可能，请说明理由．4．如图2－6－14所示，在直角坐标系中，以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，l）为顶点地正方形，设正方形在直线：y=x及动直线l：y=－x+2a（－l≤a＜1）上方2部分地面积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分地面积），试分别求出当a=0，a=－1时，相应地S地值．5．（10分）如图2－6－15所示，DE是△ABC地中位线，∠B＝90○，AF∥B C．在射线A F 上是否存在点M，使△MEC与△A DE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．6．如图2－6－16所示，在正方形ABCD中，AB=1，AC是以点B为圆心．AB长为半径地圆地一段弧点E是边AD上地任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆地切线，交边DC于点F石为切点．⑴当∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF地中点；⑵设AE=x，FC=y，求y关于x地函数解析式；并写出函数地定义域；⑶图2－6－17所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=56时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（图2－6－18为备用图）7．（10分）取一张矩形地纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图2－6－19（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上地对应点B′，得Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图2－6－19（4）所示探究：（l）△AEF是什么三角形？证明你地结论．（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．8．（10分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质地问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)，当实数a 变化时，它地顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)地顶点地横坐标减少1a，纵坐标增加1a ，得到A 点地坐标；若把顶点地横坐标增加1a ，纵坐标增加1a，得到B 点地坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)上．⑴请你协助探求出实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)地顶点所在直线地解析式； ⑵问题⑴中地直线上有一个点不是该抛物线地顶点，你能找出它来吗？并说明理由；⑶在他们第二个发现地启发下，运用“一般→特殊→一般”地思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你地猜想表述出来吗？你地猜想能成立吗？若能成立，请说明理由.9．已知二次函数地图象过A （－3，0），B （1，0）两点．⑴当这个二次函数地图象又过点以0，3）时，求其解析式；⑵设⑴中所求M次函数图象地顶点为P，求SΔAPC：SΔABC地值；⑶如果二次函数图象地顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，SΔAMD：SΔABD地值确定吗？为什么？10．（13分）如图2－6－20所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC地垂直平分线DE，交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B地大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你地结论；⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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人教版初三数学上册综合复习探索性问题

中考专题复习探索性问题、【教学流程】【探究】例1抛物线y = ax 2 + bx + c 的部分图象如图所示，根据这个函数图象，你能得到关于该函数的那些性质和结论？例2 （1）探究新知：如图①，已知△ ABC 与 △ABD 的面积相等，试探究 AB 与CD 的位置关系，并说明理由.72 _42 =3 11 ;则第n （ n 是正整数）个等式为 ___________ .4.如图，在△ ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于 D .由以上两个条件可得 __________ •（写出一个结论）实验、猜想、论证的方法求解.此类图象信息开放题，只有认真观察图象上所给的各个数据及位置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解答此类问题的重要数学思想方法•学生通过探究新知 f应用新知，培养学生的探究应用能力.A【组内交流】学生根据问题解决的思路和解题中所呈现的问题进行组内交流，归纳出方法、规律、技巧•【成果展示】根据题目的难易程度小组内派出不同层次的学生展示自己的成果要求：总结出基本图形展示自己的思路1.对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A'处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA，EA'，展开，如图1;第三步：再沿EA'所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，得到折痕EF，同时得到线段B'F展开，如图2.(1 )证明：/ ABE=30°;(2)证明：四边形BFB E为菱形.X idSt置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明.图1选择性完成.、【板书设计】例( 1) 例( 2) 易错点总结:。

中考数学复习专题讲座探究型问题(含详细参考答案)

中考数学复习专题讲座探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 （2015•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

立体几何中探索性问题(解析版)

专题4．5 立体几何中探索性问题一．方法综述立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。

考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。

对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。

现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。

二．解题策略类型一空间平行关系的探索【例1】（2020·眉山外国语学校高三期中（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是__________①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面DM 平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积可能等于36；④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S【答案】①②③④【解析】①如图所示，当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图所示，取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M NO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOB C C =，所以平面1A DM平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确；③如图所示，作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：12633A M ==，根据对称性可知：16A M DM ==，又2AD =1A DM 是等腰三角形，则12216232232A DMS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；④如图所示，设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122222A D M aS S a ∆==⨯⨯=，122121222222B CM a S S a ∆-==⨯-⨯=，当12S S 时，解得：13a =，故正确.故答案为 ①②③④【点评】.探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论。

探索性问题的基本题型及解题方法

探索性问题的基本题型及解题方法一、典型例题 1、探究型探究型是依据题目所给予条件或提供的信息，综合所学知识，来探究问题的分析方法和解决方法，常以常规题形式出现，但往往改变设问方式，或得出探究和方向，或给出探究的结论，考查学生的判断能力，创新精神和综合素质，解答此类问题时，需要考生提取题目的有效信息，从有效信息引出思维联想，从而设计解题方法，化归与转化是解决这类问题常用的数学思想．例1、已知数列30321,,,a a a a ，其中10321,,,a a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，20121110,,,a a a a 是公差为d 的等差数列，30222120,,,a a a a 是公差为2d 的等差数列)0(≠d（Ⅰ）若4020=a ，求d 的值；（Ⅱ）试写出30a 关于d 的关系式，并求出30a 的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，使40323130,,,a a a a 是公差为3d 的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列，提出同（Ⅱ）类似的问题，（（Ⅱ）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？【解析】（Ⅰ）1010=a ，3,40101020=∴=+=d d a ；（Ⅱ）当),0()0,(+∞-∞∈ d ，）∞+∈5.7[30a ；（Ⅲ）所给数列可推广为无穷数列}{n a ，其中10321,,,a a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1021011010,,,+++n n n n a a a a 是公差为n d )0(≠d 的等差数列，研究的结论可以是：由)0)(1(10103233040≠+++=+=d d d d d a a ，依次类推可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=++++=++)1)(1(10)1(1110)1(1012)1(10d n d d d d d d a n n n ，当)0(≠d 时，)1(10+n a 的取值范围是：),0(+∞．【题后反思】由题设条件给出问题的组成结构，先通过特例研究问题的结论，然后给出问题的推广，提出探究的方向，让解题者顺着命题者提出的推广方向进行探究，是探究型题的一种常见题型，解答这类问题时一般不改变命题的结构形式，而提出的探究结论也应该是对特例的推广． 2、开放型开放型题是指问题的结论、条件、解题策略是不惟一的或需要探索的一种题型，这类题型结构新颖，解题方法灵活、知识覆盖面宽，问题结构开放，打破了固定的思维模式和解题套路，给解题者很大的思考空间和多种分析思路，有利于培养和考查学生的创新思维能力和探究问题的能力，所以此类问题是当前高考命题的热点之一．例2、设动点P 到定直线4-=x 的距离为d ，已知F （2，0）且2||=-PF d（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过圆锥曲线的焦点F ，任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，若点M 在x 轴上，且使得MF 为AMB ∆的一条内角平分线，则称点M 为该圆锥曲线的“特征点”，问该曲线是否存在特征点M ？若存在，求出点M 的坐标，并观察点M 是怎样的点，同时将你的结论推广，若不存在，请说明理由（不用证明推广后的结论）．【解析】（Ⅰ）设动点P 的坐标为P （x ，y ），且点P 到直线2-=x 的距离为d/， ∵动点P 到定直线4-=x 的距离为d ，F （2，0）且2||=-PF d ，∴动点P 到定直线2-=x 的距离为d/，F （2，0）且||/PF d =，即点P 是以坐标原点为顶点，以F （2，0）为焦点的抛物线， ∴动点P 的轨迹方程是x y 82=．（Ⅱ）假设抛物线存在特征点M ，并设其坐标为M （m ，0）， ∵弦AB 不垂直于x 轴，且抛物线x y 82=的焦点为（2，0），∴设直线AB 的方程为)0(2≠+=k ky x ，代入x y 82=并整理，得：01682=--ky y ，设),(),,(2211y x B y x A ，则16,82121-==+y y k y y ， ∵AMB ∠被x 轴平分，∴0=+BM AM k k ，即02211=-+-mx y m x y ，∴0)()(1221=-+-m x y m x y ，即0)()2()2(211221=+-+++m y y ky y ky y ， ∵0)2)((22121=-+-m y y y ky ，即0)2(832=---m k k ，∵0≠k ，∴2-=m ．故抛物线上存在特征点M ，其坐标为M （-2，0），该点是抛物线的准线与x 轴的交点，猜想：对于抛物线)0(22>=p px y ，其“特征点M ”是抛物线的准线与x 轴的交点．【题后反思】本题从特例出发，探究一般情况下的结论，解答这类问题时，可以通过特例得到的信息，从命题提出的探究方向思考，归纳问题的结论（有时不止一个，而有些问题的结论并不成立），再给出数学推理证明，本题由于题目的要求没有给出推理证明． 3、定义信息型定义信息型是近几年来高考出现频率较高的新题型之一，其命题特点是：给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，求解此类问题通常分三个步骤：（1）对新知识进行信息提取，确定化归方向；（2）对新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；（3）对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解．例3、根据定义在集合A 上的函数)(x f y =，构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据A x ∈0，计算出)(01x f x =；②若A x ∉1，则数列发生器结束工作，若A x ∈1，则输出x1,并将x1反馈回输入端，再计算出)(12x f x =，并依此规律继续下去，现在有}10|{<<=x x A ，)(1)(*N m xm mxx f ∈-+=，（Ⅰ）求证：对任意A x ∈0，此数列发生器都可以产生一个无穷数列}{n x ；（Ⅱ）若210=x ，记)(1*N n x a nn ∈=，求数列}{n x 的通项公式．【解析】（Ⅰ）证明：当A x ∈，即0<x<1时，由*N m ∈可知m+1>x>0， ∴01>-+x m mx ，又01)1)(1(11<-+-+=--+xm x m x m mx ，∴11<-+x m mx ，∴1)(0<<x f ，即A x f ∈)(．故对任意A x ∈0有A x f x ∈=)(01；由A x ∈1有A x f x ∈=)(12，由A x ∈2有A x f x ∈=)(23；以此类推，可以一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列}{n x ．（Ⅱ）由nn n n x m mx x f x -+==+1)(1，可得m x m m x n n 11111-⋅+=+，∴m a m m a n n 111-⋅+=+，即)1(111-+=-+n n a mm a ，令1-=n n a b ，则n n b m m b ⋅+=+11，又011)1(11100111≠+=-+=-=-=mm mx x m x a b ， ∴数列}{n b 是以m m 1+为首项，以mm 1+为公比的等差数列， ∴nn n mm m m m m b )1()1(11+=+⋅+=-，于是1)1(-+=n n m m a ．【题后反思】本题以算法语言为命题情境，构造一个数列发生器，通过定义工作原理，得到一个无穷数列}{n x ，这是命题组成的第一部分，解答时只需依照命题程序完成即可，第（Ⅱ）问其实是一个常规的数学问题，由上可知，创新题型的解答还是需要考生有坚实的数学解题功底．4、类比归纳型类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等式引申或推广，或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例，若干特殊现象递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的方法，这两种推理方法可有效地锻炼考生的创造性思维能力，培养考生的创新精神和创造力．因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，所以它们在高考中频繁亮相，已成为高考中的又一个热点．例4、如下图所示，定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数A ，都有A x f ≥)(成立，则称函数)(x f 在D 上有下界，其中A 称为函数的下界（提示：下图①②中的常数A 、B 可以是正数，也可以是负数或零．）（Ⅰ）试判断函数xx x f 48)(3+=在),0(+∞上是否有下界？并说明理由；（Ⅱ）具有图②所示特征的函数称为在D 上有上界，请你类比函数有下界的定义，给出函数)(x f 在D 上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在)0,(-∞上是否有上界，并说明理由．【解析】∵22/483)(xx x f -=，由0)(/=x f ，得164=x ，∵),0(+∞∈x ，∴x=2, ∵当0<x<2时，0)(/<x f ，∴函数)(x f 在（0，2）上是减函数；当x>2时，0)(/>x f ，∴函数)(x f 在（2，∞+）上是增函数；∴x=2是函数)(x f 在区间（0，∞+）上的最小值点，32)2()(min ==f x f ，于是，对任意),0(+∞∈x ，都有32)(≥x f ，即在区间（0，∞+）是存在常数A=32，使得对任意),0(+∞∈x ，都有A x f ≥)(成立，所以，函数xx x f 48)(3+=在),0(+∞上有下界．（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常B ，都有B x f ≤)(成立，则称函数)(x f 在D 上有上界，其中B 称为函数的上界．设x<0，则-x>0，则（Ⅰ）知，对任意),0(+∞∈x ，都有32)(≥x f ，∴32)(≥-x f ，∵函数xx x f 48)(3+=为奇函数，∴)()(x f x f -=-，∴32)(≥-x f ，即32)(-≤x f ，即存在常数B=-32，对任意)0,(-∞∈x ，都有B x f ≤)(，所以，函数xx x f 48)(3+=在)0,(-∞上有上界．【题后反思】本题以高等数学中的函数有界性为命题素材，先给出一个定义，研究问题的结x 1 x 2xyOD=[x 1,x 2] y=f(x)x 1 x 2 xyOD=[x 1,x 2] y=B论，然后提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题．数学中有许多能够产生类比的知识点，如等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象，立体几何中的很多结论和方法都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移，我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力．二、基础训练（1）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，321-=a 且)2(21≥=++n a S S n nn ，计算4321,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式．（2）在平面直角坐标系xOy 中，如图，过定点C （0，p ）作直线与抛物线)0(22>=y py x 相交于A 、B 两点，（Ⅰ）若点N 是点C 关于原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（3）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，则1216812484,,,S S S S S S S ---成等差数列，类比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项和为n T ，则4T ，，，1216T T 成等比数列．（4）设D CD B AB EF =⊥=⊥=βαβα,, ，由此能否推出EF BD ⊥？若不能，需如何改变条件？xyA BC NO（5）设函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ，给出以下四个论断：①它的图像关于直线2π=x 对称；②它的图像关于点（0,3π）对称；③在区间[0,6π-]上是增函数；④它的周期为π．以其中的两个论断为条件，另两个论数不结论，写出你认为正确的一个命题（填写序号）．基础训练答案：（1）65,54,43,324321-=-=-=-=S S S S ，猜想：*21N n n n S n ∈++=，．（2）（Ⅰ）2min 22)(P S ABN =∆，（Ⅱ）满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =．（3）48T T ，812T T ．（4）不能，需加条件EF AC ⊥．（5）②④⇒①③．课后习题答案：（1）S 的元素的个数为3的倍数；（2）（Ⅰ）1222=+y x ；（Ⅱ）当210<≤m 时，mm k 21-±=，即存在这样的直线l ；当121≤≤m 时，k 不存在，即不存在这样的直线l ．（3）（Ⅰ）)0](,0[,31)(>∈++=a a x x x x f ；（Ⅱ）]136,31[；（Ⅲ）91≤≤a ，且N a ∈．（4）（Ⅰ）=t ；（Ⅱ）)2(log )(21t x x g y +==；（Ⅲ）当)1(log )(221x x h -=时，)()()(x h x g x f ++有最小值0，但没有最大值．课后小结：学生收获：特别注意事项：课后作业1.已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①S ∉0,1；②若S a ∈，则S a∈-11．若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测．2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右准线2:1=x l 与x 轴相交于点P ，右焦点F 到上顶点的距离为2，点C(m,0)是线段OF 上的一个动点，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l ，其与椭圆交于A 、B 两点，且使得BA CB CA ⊥+)(？亲说明理由．3.设函数1)(+=x x g ，函数31)(+=x x h ，],3(a x -∈，其中a 为常数且0>a ，令函数)(x f 为函数)(x g 和)(x h 的积函数．（Ⅰ）求函数)(x f 的表达式，并求其定义域；（Ⅱ）当41=a 时，求函数)(x f 的值域；（Ⅲ）是否存在自然数a ，使得函数)(x f 的值域恰为]21,31[？若存在，试写出所有满足条件的自然数a 所构成的集合，若不存在，试说明理由．4.已知函数)1(log )(21+=x x f ，当点),(00y x P 在)(x f y =的图像上移动时，点),21(00y t x Q +-)(R t ∈在孙函数)(x g y =的图像上移动．（Ⅰ）若点P 坐标为（1，-1），点Q 也在)(x g y =的图像上，求t 的值；（Ⅱ）求函数)(x g y =的解析式；（Ⅲ）当0>t 时，试探索一个函数)(x h ，使得)()()(x h x g x f ++在限定域内为)1,0[时有最小值而没有最大值．。

高考数学圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题含答案解析

圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.解题秘籍(一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1.解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．2.存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定．1(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点2,-3,两条渐近线的夹角为60°,直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2,是否存在x轴上的定点M m,0,使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在,求实数m的值；若不存在,请说明理由.2(2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(b >a >0)的右焦点为F c ,0 ,从①虚轴长为23；②离心率为2；③双曲线C 的两条渐近线夹角为60°中选取两个作为条件,求解下面的问题.(1)求C 的方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,记△AOB ,△FOB 面积分别为S 1,S 2,若S1S 2=3+1,求直线l 的方程.(注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.)(二)是否存在型探索性问题求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.3(2022届天津市南开中学2高三上学期检测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且F 2也是抛物线E ：y 2=4x 的焦点,P 为椭圆C 与抛物线E 在第一象限的交点,且PF 2 =53．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =k x -1 与椭圆C 交于R ,S 两点,问是否在x 轴上存在一点T ,使得当k 变动时,总有∠OTS =∠OTR ？说明理由．(三)探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程y =kx +t ,然后根据已知条件确定k ,t 的关系式,再判断直线是否过定点.4(2022届北京市房山区高三上学期期末)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,A ,B 分别为椭圆E 的上、下顶点,且AB =2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于M ,N (不与点A ,B 重合)两点,若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,判断直线l 是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.(四)探索结果是否为定值此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.5(2022届云南省三校高三联考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点A a 3,a 3 ,B 2,32 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点,设P ,M ,N 是椭圆E 上异于顶点的三点且满足OP=x 0OM +y 0ON ．探讨OM 2+ON2是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由．6(2022届天津市耀华中学高三上学期月考)已知O 为坐标原点,双曲线C 1:y 2a 21-x 2b 21=1a 1>0,b 1>0 和椭圆C 2:x 2a 22+y 2b 22=1a 2>b 2>0 均过点T 1,233 且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1,C 2的方程；(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB|？证明你的结论；(3)椭圆C 2的右顶点为Q ,过椭圆C 2右焦点的直线l 1与C 2交于M 、N 两点,M 关于x 轴的对称点为S ,直线SN 与x 轴交于点P ,△MOQ ,△MPQ 的面积分别为S 1,S 2,问S1S 2是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．(六)探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.7已知定理：如果二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0与直线mx +ny +q =0(q ≠0)有两个公共点P 、Q ,O 是坐标原点,则OP ⊥OQ 的充要条件是(A +C )q 2-(mD +nE )q +(m 2+n 2)F =0.(1)试根据上述定理,写出直线l :x +2y -3=0与圆C :x 2+y 2+x -6y +c =0相交于P ,Q ,坐标原点为O ,且OP ⊥OQ 的充要条件,并求c 的值；(2)若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与直线mx +ny +q =0相交两点P 、Q ,而且OP ⊥QQ ,试判断直线PQ 与圆x 2+y 2=11a2+1b2的位置关系,并说明理由.(七)探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲线的类比8设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A1,32到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为k PM、k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线x2a2-y2b2=1写出具有类似特性的性质,并加以证明．(八)不良结构问题近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.9在①PF=x0+1,②y0=2x0=2,③PF⊥x轴时,PF=2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答．问题：已知抛物线C:y2=2px p>0在抛物线C上,且．的焦点为F,点P x0,y0(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求△ABF的面积．跟踪检测1(2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C 经过点F 1,0 ,且与直线x =-1相切,记动圆C 圆心的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)已知P 4,y 0 y 0>0 是曲线E 上一点,A ,B 是曲线E 上异于点P 的两个动点,设直线PA ､PB 的倾斜角分别为α､β,且α+β=3π4,请问：直线AB 是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.2(2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆O ：x 2+y 2=16,点A (6,0),点B 为圆O 上的动点,线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设T (2,0),过点T 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于E 、F 两点．(i )过点T 作与直线l 垂直的直线m 交曲线C 于G 、H 两点,求四边形EGFH 面积的最大值；(ii )设曲线C 与x 轴交于P 、Q 两点,直线PE 与直线QF 相交于点N ,试讨论点N 是否在定直线上,若是,求出该直线方程；若不是,说明理由．3(2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中)己知双曲线C :x 2-y 2=1,过点T (t ,0)作直线l 和曲线C 交于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的焦点和它的渐近线；(2)若t =0,点A 在第一象限,AH ⊥x 轴,垂足为H ,连结BH ,求直线BH 斜率的取值范围；(3)过点T 作另一条直线m ,m 和曲线C 交于E ,F 两点.问是否存在实数t ,使得AB ⋅EF =0和AB=EF同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t 的取值集合；如果不存在,请说明理由.4(2023届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考)设点P 为圆C :x 2+y 2=4上的动点,过点P 作x 轴垂线,垂足为点Q ,动点M 满足2MQ =3PQ(点P 、Q 不重合)(1)求动点M 的轨迹方程E ；(2)若过点T 4,0 的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点,定点N 为1,32,直线NA 的斜率为k 1,直线NB 的斜率为k 2,试判断k 1+k 2是否为定值．若是,求出该定值；若不是,请说明理由．5(2023届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22,过坐标原点O的直线交椭圆E于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC.当C为椭圆的右焦点时,△PAC的面积为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点,试问：∠APB是否为定值,若是,求出这个定值；若不是,说明理由.6(2023届云南省部分重点中学高三上学期10月份月考)已知抛物线C：y2=2px p>0的焦点为F,点D x0,2在抛物线C上,且DF=2．(1)求抛物线C的标准方程．(2)直线l：x=my+t与抛物线C交于A,B两点,点P-4,0,若∠APO=∠BPO(O为坐标原点),直线l 是否恒过点M？若是,求出定点M的坐标；若不是,请说明理由．7(2023届上海市高桥中学高三上学期9月月考)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,动点G 到F 1-3,0 ,F 23,0 的两点的距离之和为4．(1)试判断动点G 的轨迹是什么曲线,并求其轨迹方程C ．(2)已知直线y =k x -3 k >0 与圆F 2:x -3 2+y 2=14交于M 、N 两点,与曲线C 交于P 、Q 两点,其中M 、P 在第一象限,d 为原点O 到直线l 的距离,是否存在实数k ,使得T =NQ -MP ⋅2d 2取得最大值,若存在,求出k 和最大值；若不存在,说明理由．8(2022届广东省潮州市高三上学期期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63,以原点O 为圆心,椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x -2y +6=0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ,B 为动直线y =k (x -2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点,问：在x 轴上是否存在定点E ,使得EA 2 +EA ⋅AB为定值？若存在,试求出点E 的坐标和定值；若不存在,请说明理由．9(2022届河北省深州市高三上学期期末)已知抛物线C :y 2=4x ,点F 为C 的焦点,过F 的直线l 交C 于A ,B 两点．(1)设A ,B 在C 的准线上的射影分别为P ,Q ,线段PQ 的中点为R ,证明：AR ∥FQ ；(2)在x 轴上是否存在一点T ,使得直线AT ,BT 的斜率之和为定值？若存在,求出点T 的坐标；若不存在,请说明理由．10已知椭圆E :y 2a2+x 2=1a >1 的离心率为32,圆A :x 2+y -a 2=r 2r >0 与椭圆E 相交于B ,C 两点.(1)求AB ⋅AC的最小值；(2)若F 1,F 2分别是椭圆E 的上、下焦点,经过点F 1的直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,则△OF 2N 与△OF 2M 的面积之和是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及此时直线l 的方程；若不存在,请说明理由.11(2022届北京一六一中学高三12月测试)已知椭圆C :x 2m +y 22=1(m >2)上一点与椭圆C 的两个焦点构成的三角形周长为42+26．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (2,1)作x 轴的垂线l ,设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上(点A 不在直线l 上),点A 关于l 的对称点为A ,直线A P 与C 交于另一点B ．设O 为原点,判断直线AB 与直线OP 的位置关系,并说明理由．12(2023届海交通大学附属中学2023届高三上学期10月月考)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F 2,0 ,渐近线方程为y =±3x ,过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.(1)求C 的方程；(2)若直线AB 的斜率为1,求线段AB 的中点坐标；(3)点P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 在C 上,且x 1>x 2>0,y 1>0.过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |.13已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12,点1,32 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的两条切线交于点M (4,t ),其中t ∈R ,切点分别是A 、B ,试利用结论：在椭圆x 2a 2+y 2b2=1上的点x 0,y 0 处的椭圆切线方程是x 0xa 2+y 0y b2=1,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点F 2；(3)试探究1AF 2 +1BF 2的值是否恒为常数,若是,求出此常数；若不是,请说明理由．14(2023届四川省成都市高三上学期月考)如图所示, 已知A ,B 两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线AP ,BP 的交点为P ,且它们的斜率之积-14．(1)求点P 的轨迹E 的方程;(2)设点C 为x 轴上(不同于A ,B )一定点, 若过点P 的动直线与E 的交点为Q , 直线PQ 与直线x =-2和直线x =2分别交于M ,N 两点,当∠ACM =∠ACN 时,请比较∠ACP 与∠ACQ 大小并说明理由．15(2023届广东省佛山市南海区三水区高三上学期8月摸底)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线Γ上不同两点M,N同时满足下列三个条件中的两个：①|FM|+|FN|=|MN|；②|OM|=|ON|=|MN|=86；③直线MN的方程为y=6p．(1)请分析说明两点M,N满足的是哪两个条件？并求抛物线Γ的标准方程；(2)过抛物线Γ的焦点F的两条倾斜角互补的直线AB和CD交抛物线Γ于A,B,C,D,且A,C两点在直线BD的下方,求证：直线AD,BC的倾斜角互补并求直线AD,BC的交点坐标．圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.解题秘籍(一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1.解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．2.存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定．1(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1经过点2,-3 ,两条渐近线的夹角为60°,直线l 交双曲线于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点F 2,是否存在x 轴上的定点M m ,0 ,使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在,求实数m 的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)∵两条渐近线的夹角为60°,∴渐近线的斜率±b a =±3或±33,即b =3a 或b =33a ；当b =3a 时,由4a 2-9b2=1得：a 2=1,b 2=3,∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1；当b =33a 时,方程4a 2-9b2=1无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1.(2)由题意得：F 22,0 ,假设存在定点M m ,0 满足题意,则MA ⋅MB=0恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时,设l :y =k x -2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y =k x -2x 2-y 23=1得：3-k 2x 2+4k 2x -4k 2+3 =0,∴3-k 2≠0Δ=361+k 2 >0 ,∴x 1+x 2=4k 2k 2-3,x 1x 2=4k 2+3k 2-3,∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+k 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4 =1+k 2 x 1x 2-2k 2+m x 1+x 2 +m 2+4k 2=4k 2+3 1+k 2k 2-3-4k 22k 2+mk 2-3+m 2+4k 2=0,∴4k 2+3 1+k 2 -4k 22k 2+m +m 2+4k 2 k 2-3 =0,整理可得：k 2m 2-4m -5 +3-3m 2 =0,由m 2-4m -5=03-3m 2=0得：m =-1；∴当m =-1时,MA ⋅MB=0恒成立；②当直线l 斜率不存在时,l :x =2,则A 2,3 ,B 2,-3 ,当M -1,0 时,MA =3,3 ,MB =3,-3 ,∴MA ⋅MB=0成立；综上所述：存在M -1,0 ,使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时,l :y =0,则A -1,0 ,B 1,0 ,∵M m ,0 ,∴MA =-1-m ,0 ,MB=1-m ,0 ,∴MA ⋅MB=m 2-1=0,解得：m =±1；②当直线l 斜率不为0时,设l :x =ty +2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由x =ty +2x 2-y 23=1得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0,∴3t 2-1≠0Δ=123t 2+3 >0 ,∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1,∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2=ty 1+2 ty 2+2 -m ty 1+2+ty 2+2 +m 2+y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+2t -mt y 1+y 2 +4-4m +m 2=9t 2+1 3t 2-1-12t 2t -mt 3t 2-1+4-4m +m 2=12m -15 t 2+93t 2-1+2-m 2=0；当12m -153=9-1,即m =-1时,MA ⋅MB =0成立；综上所述：存在M -1,0 ,使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.2(2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(b >a >0)的右焦点为F c ,0 ,从①虚轴长为23；②离心率为2；③双曲线C 的两条渐近线夹角为60°中选取两个作为条件,求解下面的问题.(1)求C 的方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,记△AOB ,△FOB 面积分别为S 1,S 2,若S1S 2=3+1,求直线l 的方程.(注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.)【解析】(1)若选①②,可知c 2=a 2+b 2，ca =2，2b =23，解得a =1，b =3，c =2，∴C 的方程为x 2-y 23=1.若选①③,因为b >a ,∴b a=3，2b =23， ∴a =1，b =3，∴C 的方程为x 2-y 23=1.若选②③,设递增的渐近线的倾斜角为θ,可知c a =2，θ=60°，a 2+b 2=c 2 则c a =2，ba =tan θ=tan60°，a 2+b 2=c 2此时无法确定a ,b ,c(2)F (2，0),由题意知,直线l 斜率不为0,∴设直线l ：x =ty +2.由x =ty +2，x 2-y23=1，得(3t 2-1)y 2+12ty +9=0,设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),|y 1|>|y 2|,则可知3t 2-1≠0且Δ>0恒成立,y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1,∵y 1y 2>0,∴t <-33或t >33.∵S △AOB S △BOF =S △AOF -S △BOF S △BOF =S △AOF S △BOF -1=|y 1||y 2|-1=3+1,∴y 1y 2=2+3.由(y 1+y 2)2-2y 1y 2y 1y 2=10t 2+23t 2-1,得y 1y 2+y 2y 1=10t 2+23t 2-1,∴10t 2+23t 2-1=4,∴t =±3,满足t <-33或t >33.∴直线l 的方程为y =33x -233或y =-33x +233.(二)是否存在型探索性问题求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.3(2022届天津市南开中学2高三上学期检测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且F 2也是抛物线E ：y 2=4x 的焦点,P 为椭圆C 与抛物线E 在第一象限的交点,且PF 2 =53．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =k x -1 与椭圆C 交于R ,S 两点,问是否在x 轴上存在一点T ,使得当k 变动时,总有∠OTS =∠OTR ？说明理由．【解析】(1)∵F 2也是抛物线E ：y 2=4x 的焦点,∴F 21，0 ,∴c =1,且抛物线的准线方程为x =-1,设点P x 0，y 0 ,∵PF 2 =53,∴x 0+1=53,∴x 0=23,∴y 0=223=263,∴49a 2+83b2=1,∵a 2-b 2=c 2=1,解得a 2=4,b 2=3,∴椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)假设存在T t ，0 满足∠OTS =∠OTR .设R x 1，y 1 ,S x 2，y 2 ,联立y =k x -13x 2+4y 2=12,消y 整理得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-12=0,由韦达定理有x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2①,其中△>0恒成立,由∠OTS =∠OTR (显然TS ,TR 的斜率存在),故k TS +k TR =0,即y 1x 1-t +y 2x 2-t =0②,由R ,S 两点在直线y =k x -1 上,故y 1=k x 1-1 ,y 2=k x 2-1 ,代入②整理有2x 1x 2-t +1 x 1+x 2 +2t =0③,将①代入③即有：6t -243+4k 2=0④,要使得④与k 的取值无关,当且仅当“t =4“时成立,综上所述存在T 4，0 ,使得当k 变化时,总有∠OTS =∠OTR ．(三)探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程y =kx +t ,然后根据已知条件确定k ,t 的关系式,再判断直线是否过定点.4(2022届北京市房山区高三上学期期末)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,A ,B 分别为椭圆E 的上、下顶点,且AB =2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于M ,N (不与点A ,B 重合)两点,若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,判断直线l 是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.【解析】(1)由离心率为32,可得c a =32因为A ,B 为椭圆的上、下顶点,且AB =2,所以2b =2即b =1 , 又a 2=b 2+c 2解得：a =2所以椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1(2)直线l 经过定点-1,-1 ,证明如下：①当直线l 的斜率存在时,设l :y =kx +t ,(t ≠±1),由y =kx +t x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2-4=0, 则Δ=(8kt )2-4(1+4k 2)(4t 2-4)>0得：t 2<4k 2+1设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=-8kt 1+4k 2,x 1x 2=4t 2-41+4k 2, 则k AM +k AN =y 1-1x 1+y 2-1x 2=2kx 1x 2+(t -1)(x 1+x 2)x 1x 2=8k (t -1)4(t +1)(t -1)=2所以t =k -1,经检验,可满足t 2<4k 2+1,所以直线l 的方程为y =kx +k -1,即y =k x +1 -1所以直线l 经过定点-1，-1 ．②当直线l 的斜率不存在时,设l :x =m ,M (m ,y M ),N (m ,-y M ),则k AM +k AN =y M -1m +-y M -1m=2解得m =-1,此时直线l 也经过定点-1，-1 综上直线l 经过定点(-1,-1)．(四)探索结果是否为定值此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.5(2022届云南省三校高三联考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点A a 3,a 3 ,B 2,32 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点,设P ,M ,N 是椭圆E 上异于顶点的三点且满足OP=x 0OM +y 0ON ．探讨OM 2+ON 2是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由．【解析】(1)因为点A a 3,a 3,B 2,32在椭圆上,所以2a 2+34b 2=1a 29a 2+a 29b2=1,解得b 2=1,a 2=8,所以椭圆方程为x 28+y 2=1．(2)令M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则P x 0x 1+y 0x 2,x 0y 1+y 0y 2 ,所以x 0x 1+y 0x 228+x 0y 1+y 0y 2 2=1,即x 218+y 21 x 20+x 228+y 22y 20+2x 0y 0x 1x 28+2x 0y 0y 1y 2 =1．又x 218+y 21=1,x 228+y 22=1,x 20+y 20=1,所以2x 0y 0x 1x 28+2x 0y 0y 1y 2=0,即y 1y 2x 1x 2=-18,所以y 1y 2 2=-18x 1x 2 2=18x 21⋅18x 22=1-y 21 1-y 22 =1-y 21+y 22 +y 21⋅y 22,即y 21+y 22=1,又x 218+y 21=1,x 228+y 22=1,所以x 12+x 22=8,所以OM 2+ON 2=x 21+x 22+y 21+y 22=9,故OM 2+ON2为定值9．6(2022届天津市耀华中学高三上学期月考)已知O 为坐标原点,双曲线C 1:y 2a 21-x 2b 21=1a 1>0,b 1>0 和椭圆C 2:x 2a 22+y 2b 22=1a 2>b 2>0 均过点T 1,233 且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1,C 2的方程；(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB|？证明你的结论；(3)椭圆C 2的右顶点为Q ,过椭圆C 2右焦点的直线l 1与C 2交于M 、N 两点,M 关于x 轴的对称点为S ,直线SN 与x 轴交于点P ,△MOQ ,△MPQ 的面积分别为S 1,S 2,问S1S 2是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．【解析】(1)根据题意：43a 21-1b 21=1,1a 22+43b 22=1,以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形,边长为2故a 1=1,c 2=1,故a 22=b 22+1,代入计算得到b 1=3,a 2=3,b 2=2,故C 1:y 2-x 23=1,C 2:x 23+y 22=1.(2)假设存在直线方程满足条件,当直线斜率不存在时,x =3或x =-3,代入计算得到y =±2,验证不成立；当直线斜率存在时,设直线方程为y =kx +b ,则y =kx +bx 23+y 22=1,即2+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-6=0,Δ=36k 2b 2-43b 2-6 2+3k 2 =0,化简得到b 2=3k 2+2.设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y =kx +by 2-x 23=1 ,故3k 2-1 x 2+6kbx +3b 2-3=0,故x 1+x 2=-6kb3k 2-1x 1x 2=3b 2-33k 2-1,OA +OB =AB =-OA +OB ,故OA ⊥OB ,即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+b kx 2+b =0,即k 2+1 x 1x 2+kb x 1+x 2 +b 2=0,即k 2+1 3b 2-33k 2-1-6k 2b 23k 2-1+b 2=0,化简得到2b 2=3k 2+3,b 2=3k 2+22b 2=3k 2+3 方程组无解,假设不成立.故不存在直线满足条件.(3)焦点坐标为1,0 ,易知直线方程斜率不为零,设直线方程为x =my +1,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则S x 2,-y 2 ,x =my +1x 23+y 22=1 ,化简得到2m 2+3 y 2+4my -4=0,y 1+y 2=-4m 2m 2+3y 1y 2=-42m 2+3 ,直线NS 方程为：y =y 1+y 2x 1-x 2x -x 1 +y 1,取y =0得到x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=my 1+1 y 2+my 2+1 y 1y 1+y 2=2my 1y 2y 1+y 2+1=-2m ⋅42m 2+3-4m 2m 2+3+1=3,S 1S 2=OQ PQ =33-3=3+12,故S 1S 2是定值为3+12.(六)探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.7已知定理：如果二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0与直线mx +ny +q =0(q ≠0)有两个公共点P 、Q ,O 是坐标原点,则OP ⊥OQ 的充要条件是(A +C )q 2-(mD +nE )q +(m 2+n 2)F =0.(1)试根据上述定理,写出直线l :x +2y -3=0与圆C :x 2+y 2+x -6y +c =0相交于P ,Q ,坐标原点为O ,且OP ⊥OQ 的充要条件,并求c 的值；(2)若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与直线mx +ny +q =0相交两点P 、Q ,而且OP ⊥QQ ,试判断直线PQ 与圆x 2+y 2=11a2+1b2的位置关系,并说明理由.【解析】(1)由定理可知OP ⊥OQ 的充要条件为：2×(-3)2-(1-12)×(-3)+(1+4)c =0,即18-33+5c =0,∴c =3.(2)∵椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与直线mx +ny +q =0相交两点P 、Q ,∴1a 2+1b 2q 2-(m 2+n 2)=0,即1a 2+1b 2=m 2+n 2q 2.∵圆x 2+y 2=11a 2+1b 2的半径为r =11a2+1b2=q 2m 2+n 2=|q |m 2+n 2,又圆心(0,0)到直线PQ 的距离为d =|q |m 2+n2,∴d =r ,∴直线PQ 与圆x 2+y 2=11a2+1b2相切.(七)探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲线的类比8设F 1、F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A 1,32到F 1、F 2两点的距离之和等于4,写出椭圆C 的方程；(2)设K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F 1K 的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率都存在,并记为k PM 、k PN 时,那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2-y 2b 2=1写出具有类似特性的性质,并加以证明．【解析】(1)点A 1,32 在椭圆C 上,且到F 1、F 2两点的距离之和等于4,则12a2+322b 2=1,2a =4,解得a=2,b 2=3,椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)c =a 2-b 2=1,则有F 1-1,0 ,设K m ,n ,线段F 1K 的中点为x ,y ,则有x =m -12y =n2⇒m=2x+1 n=2y,又K是椭圆上的动点,则有m24+n23=1,即2x+124+2y23=1,即x+122+4y23=1.故线段F1K的中点的轨迹方程为x+1 22+4y23=1(3)类似特性的性质为：若M、N是双曲线x2a2-y2b2=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为k PM、k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．证明：设P x0,y0,M s,t,N-s,-t,则s2a2-t2b2=1,k PM=y0-tx0-s,k PN=y0+tx0+s,k PM⋅k PN=y0-tx0-s⋅y0+tx0+s=y02-t2 x02-s2,又y2=b2a2x2-b2,则k PM⋅k PN=b2a2x02-b2-b2a2s2-b2x02-s2=b2a2x02-s2x02-s2=b2a2(八)不良结构问题近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.9在①PF=x0+1,②y0=2x0=2,③PF⊥x轴时,PF=2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答．问题：已知抛物线C:y2=2px p>0的焦点为F,点P x0,y0在抛物线C上,且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求△ABF的面积．【解析】(1)解：选择条件①,由抛物线的定义可得PF=x0+p 2,因为PF=x0+1,所以x0+p2=x0+1,解得p=2,故抛物线C的标准方程为y2=4x．选择条件②,因为y0=2x0=2,所以y0=2,x0=1,因为点P(x0,y0)在抛物线C上,所以y20=2px0,即2p=4,解得p=2,所以抛物线C的标准方程为y2=4x．选择条件③．当PF⊥x轴时,PF=p2+p2=2,所以p=2．故抛物线C的标准方程为y2=4x．(2)解：设A x1,y1,B x2,y2,由(1)知F1,0．由x-y-2=0y2=4x,得y2-4y-8=0,则y1+y2=4,y1y2=-8,所以y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=16+32=43,故AB =1+112y 1-y 2 =2×43=46．因为点F 到直线l 的距离d =1-2 1+1=22,所以△ABF 的面积为12AB ⋅d =12×46×22=23．三、跟踪检测1(2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C 经过点F 1,0 ,且与直线x =-1相切,记动圆C 圆心的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)已知P 4,y 0 y 0>0 是曲线E 上一点,A ,B 是曲线E 上异于点P 的两个动点,设直线PA ､PB 的倾斜角分别为α､β,且α+β=3π4,请问：直线AB 是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.【解析】(1)设动圆圆心M x ,y ,∵动圆C 经过点F 1,0 ,且与直线x =-1相切,∴点M 的轨迹是以1,0 为焦点,直线x =-1为准线的抛物线,故其方程为y 2=4x ,∴动圆圆心C 的轨迹方程是y 2=4x ；(2)由(1)可得P 4,4 ,当直线PA ､PB 中其中一条的斜率不存在,不妨设α=π2,β=π4,易得A 4,-4 ,直线PB 的直线为y =x ,与y 2=4x 联立可得B 0,0 ,故直线AB 的方程为x +y =0；当直线PA ､PB 的斜率都存在时,故设直线PA ､PB 的斜率k 1,k 2,设A y 124,y 1 ,B y 224,y2所以k 1=y 1-414y 21-4=4y 1+4,同理可得k 2=4y 2+4,因为α+β=3π4,所以tan (α+β)=-1,所以tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-1,即k 1+k 21-k 1⋅k 2=-1,所以k 1+k 2-k 1⋅k 2+1=0,所以4y 1+4+4y 2+4-4y 1+4⋅4y 2+4+1=0,即8y 1+y 2 +y 1⋅y 2+32=0,由题意可设AB 方程为x =ty +n ,联立y 2=4x x =ty +n ,消x 整理得y 2-4ty -4n =0,所以Δ=16t 2+16n >0,y 1+y 2=4t ,y 1⋅y 2=-4n ,所以32t -4n +32=0即n =8t +8,所以x =ty +n =ty +8t +8=t (y +8)+8,令y +8=0得y =-8,x =8,此时有定点8,-8 ,综上所述,直线AB 经过定点8,-82(2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆O ：x 2+y 2=16,点A (6,0),点B 为圆O 上的动点,线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设T (2,0),过点T 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于E 、F 两点．(i )过点T 作与直线l 垂直的直线m 交曲线C 于G 、H 两点,求四边形EGFH 面积的最大值；(ii )设曲线C 与x 轴交于P 、Q 两点,直线PE 与直线QF 相交于点N ,试讨论点N 是否在定直线上,若是,求出该直线方程；若不是,说明理由．【解析】(1)设M x ,y ,B x 0,y 0 ,因为点B 在圆O 上,所以x 20+y 20=16①,因为M 为AB 中点,所以x =6+x 02y =y 02,整理得x 0=2x -6y 0=2y,代入①式中得2x -6 2+4y 2=16,整理得x -3 2+y 2=4,所以曲线C 的方程为x -3 2+y 2=4.(2)(i )因为直线l 不与x 轴重合,所以设直线l 的方程为x =my +2,即x -my -2=0,则直线GH 为mx +y -2m =0,设曲线C 的圆心到直线l 和直线GH 的距离分别为d 1,d 2,则d 1=11+m 2,d 2=m m 2+1,所以EF =24-11+m 2=24m 2-3m 2+1,GH =24-m 2m 2+1=23m 2+4m 2+1,所以S EGFH =12×24m 2+3m 2+1×23m 2+4m 2+1=212+m 2m 4+2m 2+1,当m =0时,S EGFH =43；当m ≠0时,S EGFH =212+1m 2+2+1m2≤212+12+2m 2⋅1m2=7,当且仅当m 2=1时等号成立,综上所述,四边形EGFH 面积的最大值为7.(ii )设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,联立x =my +2x -3 2+y 2=4,得m 2+1 y 2-2my -3=0,则y 1+y 2=2m m 2+1,y 1y 2=-3m 2+1,y 1y 2=-32m y 1+y 2 ,因为曲线C 与x 轴交于P ,Q 两点,所以P 1,0 ,Q 5,0 ,则直线PE 的方程为y =y 1x 1-1x -1 =y 1my 1+1x -1 ,直线QF 的方程为y =y 2x 2-5x -5 =y 2my 2-3x -5 ,联立两直线方程得x =4my 1y 2+3y 1+5y 23y 1+y 2=-6y 1-6y 2+3y 1+5y 23y 1+y 2=-3y 1-y 23y 1+y 2=-1,y =4y 1y 23y 1+y 2,所以N -1,4y 1y 23y 1+y 2,所以N 在定直线x =-1上.3(2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中)己知双曲线C :x 2-y 2=1,过点T (t ,0)作直线l 和曲线C 交于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的焦点和它的渐近线；(2)若t =0,点A 在第一象限,AH ⊥x 轴,垂足为H ,连结BH ,求直线BH 斜率的取值范围；(3)过点T 作另一条直线m ,m 和曲线C 交于E ,F 两点.问是否存在实数t ,使得AB ⋅EF =0和AB=EF同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t 的取值集合；如果不存在,请说明理由.【解析】(1)解：由曲线C :x 2-y 2=1,可得曲线C 的焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),渐近线方程y =±x ；(2)解：设l :y =kx ,A x 1,y 1 ,B -x 1,-y 1 ,H x 1,0 ,因为双曲线的渐近线为y =±x ,且点A 在第一象限,所以0<k <1,。

规律探索性问题(含解析)

规律探索性问题第一部分讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。

所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。

例1. 有一组数：13,25579,,101726，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+；272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+．点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 31×3×4×5 ＝ 20．读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n[])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n [])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n ．解：（1）∵1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440．（2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a ,那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。

第二十四讲 探索性问题(含解答)-

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高考数学圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题含答案解析

规律探索性问题(含解析)

第二十四讲探索性问题(含解答)-