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全概率公式的原理及应用

全概率公式的原理及应用1. 全概率公式的原理全概率公式是概率论中的一项基本原理，用于计算一个事件在若干个不相交试验中的概率。

全概率公式的全称为“全概率定理”，其核心思想是将待求事件分解为多个互不相交的事件，并利用这些事件之间的关系进行概率的计算。

全概率公式的数学表达为：P(A) = P(A | B1) * P(B1) + P(A | B2) * P(B2) + ... + P(A | Bn) * P(B n)其中，P(A)为待求事件A的概率，P(A | Bi)为事件A在条件Bi下发生的概率，P(Bi)为事件Bi发生的概率。

2. 全概率公式的应用2.1 案例1：工程项目投标某市政府计划进行一个市政工程项目的投标，共有A、B、C三家施工公司竞标。

现有以下信息： - 公司A中标的概率为0.2； - 公司B中标的概率为0.3； - 公司C中标的概率为0.5； - 如果公司A中标，成功完工的概率为0.8； - 如果公司B中标，成功完工的概率为0.6； - 如果公司C中标，成功完工的概率为0.7。

现在假设想要计算此项目最终成功完工的概率，可以运用全概率公式来解决。

设事件S为项目最终成功完工，将S分解为三种情况：A中标且成功完工、B中标且成功完工、C中标且成功完工，即S = (A且成功完工) ∪ (B且成功完工) ∪ (C且成功完工)。

根据全概率公式，可以得到计算公式如下：P(S) = P(S | A) * P(A) + P(S | B) * P(B) + P(S | C) * P(C)= 0.8 * 0.2 + 0.6 * 0.3 + 0.7 * 0.5= 0.16 + 0.18 + 0.35= 0.69因此，此项目最终成功完工的概率为0.69。

2.2 案例2：疾病的易感性某地发生了一种新的疾病，现有以下信息： - 5% 的人患有该疾病； - 疾病的标准检测方法的准确性为90%（即在已感染的人中有90%会被检测出来，而在未感染的人中有10%被检测错误地判断为感染）； - 没有感染的人被误判为感染的概率为10%。

全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
全概率公式是概率统计学中的重要概念，它系统地表达了事件发生的
几率，它建立在一定的概率论假设和条件概率的基础上。

全概率公式由它
的发明者布朗定理提出，它以下简称为B-公式，它定义了一个事件发生
条件的概率可以由该事件发生的总概率和该事件发生条件概率之间的关系
表示出来，具体地说，就是：
P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+···+P(A，Bn)P(Bn)
其中：P(A)是A发生的概率，P(B1)~P(Bn)是相互独立的事件B1~Bn
发生的概率；P(A，B1)~P(A，Bn)是A在B1~Bn发生后发生的条件概率，
以上关系可以看作是在n个事件B1~Bn中，A发生的概率就是在所有这些
事件发生时A发生的条件概率乘以其各自发生的概率，再相加，而本质上
它是一个分母的二项式展开。

贝叶斯公式是概率统计学中的重要概念，它描述了在已知其中一种情
况的概率后，观察到其中一种事件后，该情况发生的可能性，它利用事件
的先验概率和事件发生后的后验概率进行推断，它有一下公式发挥着作用：P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)
其中：P(A)是事件A发生的先验概率；P(B)是事件B发生的先验概率；P(A，B)是事件B发生后A发生的条件概率；P(B，A)是事件A发生后B发
生的条件概率。

随机概率公式大全

随机概率公式大全
1、事件的绝对概率公式
P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间S中的元素个数。

2、事件的相对概率公式
P(A) = f(A) / f(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，f(A)表示事件A发生的频率，f(S)表示样本空间S中的频率总和。

3、事件的条件概率公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

4、事件的加法法则
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率，P(A ∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

5、事件的乘法法则
P(A∩B) = P(A) * P(B|A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

6、事件的全概率公式
P(A) = ΣP(A|B) * P(B)，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生
的概率，Σ表示对所有可能的事件B求和。

7、事件的贝叶斯公式
P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

概率论中的条件概率与全概率公式

概率论中的条件概率与全概率公式概率论是数学中一门重要的学科，它研究的是随机事件的发生概率和规律。

在概率论中，条件概率与全概率公式是基础且常用的概念和公式。

本文将详细介绍条件概率和全概率公式，并探讨它们的应用。

一、条件概率的概念条件概率是指在已知某一事件B发生的前提下，事件A发生的概率。

用符号表示为P(A|B)，读作“A在B发生的条件下发生的概率”。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

二、全概率公式的概念全概率公式是一种通过已知的一些事件得到其他相关事件概率的方法。

假设{B1, B2, ..., Bn}是一组互斥且完备的事件，即它们两两不相交且并起来等于整个样本空间。

那么对于任意一个事件A，可以通过全概率公式计算出A的概率：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)三、条件概率与全概率公式的应用1. 贝叶斯定理条件概率和全概率公式是贝叶斯定理的基础。

贝叶斯定理用于计算在已知后验概率的情况下，推导出先验概率。

公式表达为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)为先验概率，P(B|A)为看到B发生的情况下A发生的概率，P(B)为全概率。

2. 假设检验在统计学中，条件概率和全概率公式被广泛应用于假设检验。

假设检验是一种用于通过观察数据来对某个假设进行验证或推翻的方法。

通过计算条件概率和全概率，可以得到在不同假设下的概率值，从而进行假设检验。

3. 事件的独立性判断条件概率与全概率公式也可以用于判断两个事件是否独立。

如果事件A与事件B独立，那么条件概率P(A|B)应该等于先验概率P(A)。

通过计算条件概率和全概率，可以判断两个事件是否独立。

四、总结条件概率与全概率公式是概率论中的基础概念和重要工具。

大学概率论必背公式

，使对任意实数 x，都有
F ( x)＝P( X x)＝x f (u)du
则称 X 为连续型随机变量，f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。记为 X～ f (x) , (- < x <+)
2. 密度函数的性质
(3)
若
x是
f(x )
f (x)的连续点，
dF(x dx
)
.
（4）
P(a X b)＝ b f (u)du a
P{X xk } pk ,k 1,2,
数学期望 E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值（1）X ~（0—1）分布
（2）X~B（n，p）二项分布（3）X~（或）Poisson 分布
2. 连续型随机变量的数学期望
（1）X~U(a，b)均匀分布其概率密度函数为：
f(x )
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
8. 条件密度函数
1）fX|Y (x
y)
f (x, y) 称为Y fY ( y)
y下, X的条件密度函数
2）fY|X ( y
x)
f (x, y) 称为X fX (x)
x下,Y的条件密度函数
8、相关系数：若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩（1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩；（2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；

条件概率、乘法公式、全概率公式

条件概率、乘法公式、全概率公式
• 条件概率的定义与性质 • 乘法公式及其应用 • 全概率公式及其应用 • 条件概率、乘法公式、全概率公式的
联系与区别 • 案例分析
01
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
条件概率是指在某一事件B已经发生的情况下，另一事件A发生的概率。数学上表示为P(A|B)，读作“在B 的条件下A的概率”。
总结词
应用乘法公式
详细描述
天气预报中经常使用概率模型来预测未来天气情况。例如，预测明天下雨的概率是70%，那么应用乘法公式可以计算出在明天下雨的条件下，明天是阴天的概率是30%。
案例三：保险业务中的风险评估
总结词
利用全概率公式
详细描述
在保险业务中，全概率公式用于评估风险。例如，一辆汽车在一年内发生事故的概率是0.01，那么可以根据全概率公式计算出在1000辆汽车中，预计有10辆汽车会发生事故。
条件概率的定义公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
01
P(A|B) ≥ 0，即条件概率不能是负数。
归一性
02
P(A|B) = 1 - P(¬A|B)，即条件概率满足归一化条件，其中¬A
05
案例分析
案例一：赌博游戏中的概率计算
总结词
理解条件概率
VS
详细描述
在赌博游戏中，条件概率是一个重要的概念。例如，在掷骰子游戏中，如果已知前一个骰子的点数，那么下一个骰子的点数与此无关。这可以通过条件概率公式来描述，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
案例二：天气预报的概率模型

(完整版)概率论公式总结

第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp ()对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤b adx x f b X a P )()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f )(1)(b x a a b x f ≤≤-=联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=kk k p x g X g E )())((方差定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差的性质∑∑=i j iji p x X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i j ij j i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =独立与相关独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P (1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P。

概率论条件概率全概率公式贝叶斯公式

概率论条件概率全概率公式贝叶斯公式
一、概率论
概率论是数学的一个分支，是研究随机事件发生的可能性的一门学科。

它用来研究不确定环境中的随机性事件，推断它们未来发生的概率及其不
确定性。

它的本质是研究未来发生其中一种随机事件可能性的推断，归结
为在各种情况下出现其中一种事件的概率。

概率值的范围是[0,1]，其中
0表示绝对不可能，1表示绝对可能。

二、条件概率
条件概率是概率的一种，它指的是基于已有的概率模型，利用已知信
息去估算当概率模型的变量条件发生时，其他变量出现的概率。

它有两个
定义：
1）条件概率定义：当事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记
为P(B，A)；
2）条件概率公式：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)，其中P(A∩B)表示事件A
和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

三、全概率公式
全概率公式是概率中最重要的一条公式，它表示的是其中一随机事件
发生的概率与另一个或更多的条件相关，它描述的是事件B的概率，即：
P(B)=ΣP(B，Ai)P(Ai)，其中P(B，Ai)表示在Ai的条件下B发生的概率，P(Ai)表示Ai的概率。

贝叶斯公式是一种概率的计算方法，其定义为：
P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)
其中P(A，B)表示B条件下A的概率。

全概率公式与逆概率公式

这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
医药数理统计方法
定义若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
性质
1）设A、B是两事件，若A、B独立，则
P(A|B)= P(A) 或P(B|A)= P(B) .反之亦然.
2）若事件 A、B相互独立，则 A, B A, B A, B 也相互独立.
把 A1, A2, , An 看作该过程的若干个原因，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
即 PAn 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的概率。
3）若n个事件 A1、A2、、An 是相互独立的，
则有 P（A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
医药数理统计方法
例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有 “十聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：
色盲（B）
解设 Ai {第i次买彩票中大奖}，i 1, 2…,520
p( Ai ) 105 ,
p( Ai ) 1 105 , i 1, 2,…520
p( A1 A2…A520 ) p( A1 ) p( A2 )… p( A520 ) (1 105 )520 0.9948

简述全概率公式和贝叶斯公式。

全概率公式
全概率公式又称作条件概率公式，是概率论中常用的一个公式，用于求解一个事件的概率。

它的公式表述如下：
P(A) = ΣP(A|B_i)P(B_i)
其中，P(A)表示事件A的概率，P(B_i)表示事件B_i的概率，P(A|B_i)表示在事件B_i发生的条件下，事件A发生的概率。

全概率公式的核心思想是将事件A的概率转化为在不同条件下的事件A发生的概率之和。

贝叶斯公式
贝叶斯公式是概率论中另一个重要的公式，它用于计算在已知某个条件下，另一个事件发生的概率。

其公式表述如下：
P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A)
其中，P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率；P(A)表示事件A发生的概率。

贝叶斯公式的核心思想是将事件A发生的条件下，事件B发生的概率转化为事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

它是贝叶斯统计学的基础，也是人工智能中常用的一种建模方法。

条件概率及全概率公式

? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A|
B)
P(AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P(A|B)31 62
在B发生后的缩减样本空间中计算
.
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(2)
A 1A 2 A n . B=B1A B2A BnA
则称
A1, A2,An
为样本空间 Ω的一个划分。 BA1 BA2 …... BAn
A1 A2 …... An
Ω
.
1.全概率公式: 定理1.2
设 A1,A2,…,An 是两两互斥的事件，且
PA(1A, Ai)2>,0…，,Ai n=之1,一2,…同,时n, 发另生有，一即事件B B,n它A总i ，是与
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
.
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记 Ai={球取自i号箱},
.
多个事件的乘法公式
设A1，A2，，An为n个随机事件，且
PA 1A 2 A n 1 0
则有
P A 1A 2 A n P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2P A nA 1 A 2 A n 1

条件概率和全概率公式

条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式是统计学中常用的数学工具，可以用来分析概率相关的问题，以及用来解决实际的问题。

它们的概念可以追溯到17世纪的概率学家贝尔特，及18世纪初的概率研究者克劳德拉文克。

条件概率公式和全概率公式都是随机变量之间必不可少的联系，它们是从概率分布函数相关的概念中发展出来的重要工具，用于计算不同的概率。

条件概率是指在某一特定条件下的概率。

它可以定义为一个事件A的发生概率，在另一个事件B发生的条件下。

举例来说，抛硬币的事件A的条件概率，当知道另一次抛硬币时的结果B后，就可以用以下公式计算：P（A|B）= P（A∩B）/ P（B）。

全概率是指一组事件中任一事件发生的概率。

当两个或更多个事件独立且完全相互排斥时，全概率可以用另一种简单的公式计算：P （A）= P（A1）+ P（A2）+ P（A3）+…+ P（An）。

条件概率和全概率都是基于数学原理的概率分析方法，可以用来解决实际问题。

在实际情况中，条件概率和全概率的计算能够帮助我们更好地理解概率的性质，把握概率关联的普遍规律以及分析不同事件之间的联系。

比如，可以利用条件概率和全概率来分析自然灾害的可能性，并做出合理的预测：当某一条件满足时，某种自然灾害的发生概率增大；当各个条件都满足时，可以用全概率公式计算出自然灾害发生的整体概率，做出更准确的预测。

另外，条件概率和全概率还可以用于医学领域，比如某一种疾病的发病率，或在某种特定的环境下某些药物的效果，都可以用这两种公式来计算。

随着医疗技术的发展，条件概率和全概率在诊断和治疗疾病方面也发挥着重要作用。

条件概率和全概率公式，是用来解决各种概率问题的重要工具，它们可以帮助我们更好地分析与概率相关的模式，以及把握不同事件之间的联系。

因此，从经济、社会到自然科学各个领域，条件概率和全概率公式的应用都越来越普遍，它们的作用越来越显著。

全概率公式、贝叶斯公式推导过程

全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发⽣的条件下，事件A发⽣的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推⼴：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满⾜1.B1，B2....两两互斥，即 B i ∩ B j = ∅，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的⼀个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的⼀个划分，A为任⼀事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,⽽P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利⽤全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成⼏个⼩事件，通过求⼩事件的概率，然后相加从⽽求得事件A的概率，⽽将事件A进⾏分割的时候，不是直接对A进⾏分割，⽽是先找到样本空间Ω的⼀个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每⼀B i发⽣都可能导致A发⽣相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间⽤甲、⼄、丙三台机床进⾏⽣产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各⾃的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在⼀起，求任取⼀个产品是次品的概率。

条件概率及全概率公式

求解如下: 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3
则 B=A1B+A2B+A3B
由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+ P(A3)P(B |A3)
依题意，
P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1
为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 可求得:
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
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例1 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的. 其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占 20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为 90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大?
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少解? : 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1: P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
PAnB PAn PB An

条件概率与全概率公式教案

条件概率与全概率公式教案一、概述条件概率和全概率公式是概率论中非常重要的两个概念和公式，它们可以帮助我们解决很多实际问题。

二、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率，一般用P(B|A)表示。

其中，P(B)是事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)是事件A和B同时发生的概率。

条件概率公式：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。

三、全概率公式全概率公式是指如果将一个样本空间分成多个互不相交的事件B1、B2、...、Bn，并且这些事件构成一个完备事件组，即B1∪B2∪...∪Bn = S，那么可以用下面的公式来求解任意事件A的概率：P(A) = Σ P(Bi) P(A|Bi)，i = 1,2,3,...,n。

其中，P(Bi)是事件Bi发生的概率，P(A|Bi)是在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。

四、实例优素福掷硬币游戏规则如下：有一组硬币，其中有两枚都是正面朝上，有两枚都是反面朝上，还有两枚是反正面朝上。

现在随机取出一枚硬币掷，结果是正面。

那么这枚硬币是正面朝上的概率是多少？解法：我们可以先用全概率公式来求出硬币掷出正面的概率，然后再使用条件概率公式来求出这枚硬币是正面朝上的概率。

设事件A表示硬币掷出正面，事件Bi表示取出的硬币是第i枚硬币。

则，完备事件组为B1、B2、B3，其中：B1：取出第一枚硬币；B2：取出第二枚硬币；B3：取出第三枚硬币。

所以，P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)。

根据题意，P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3；P(A|B1) = 1/2；（第一枚硬币是正面的可能性为1/2）P(A|B2) = 1/2；（第二枚硬币是正面的可能性为1/2）P(A|B3) = 2/3。

（第三枚硬币是正面的可能性为2/3）代入公式，得到：P(A) = (1/3)×(1/2) + (1/3)×(1/2) + (1/3)×(2/3) = 5/9。

全概率公式(原卷版)

知识点一全概率公式(1)P(B)＝；(2)定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，A n满足：①任意两个事件均互斥，即A i A j＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋A n＝Ω；③P(A i)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BA n，且P(B)＝＝.知识点二贝叶斯公式(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝P(A)P(B|A)P(B)＝.(2)定理2若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，A n满足：①任意两个事件均互斥，即A i A j＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋A n＝Ω；③1＞P(A i)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(A j|B)＝P(A j)P(B|A j)P(B)＝.探究一全概率公式及其应用【例1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．【练习1】号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？探究二贝叶斯公式及其应用【例2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？【练习2】某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？探究三全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：试问当一个具有S资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？【练习3】同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？基础自测1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为( )A ．0.65B ．0.075C ．0.145D ．02．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )A ．0.21B ．0.06C ．0.94D ．0.953．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为( )A ．0.72B ．0.96C ．0.86D ．0.844．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )A ．0.8B ．0.832 5C ．0.532 5D ．0.482 55．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产12，乙、丙两厂各生产14，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )A ．0.025B ．0.08C ．0.07D ．0.1256．一道考题有4个【答案】，要求学生将其中的一个正确【答案】选择出来．某考生知道正确【答案】的概率为13，而乱猜正确的概率为23.在乱猜时，4个【答案】都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确【答案】的概率是( )A.13B.23C.34D.147．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________．8．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．9．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A －|C －)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P (C )＝0.005, 则P (C |A )＝______.(精确到0.001)10．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．11．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“–”时失真的概率为13，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________． 12．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为17，15，14.现从这三个地区任抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．13．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率；(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．14．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．。

举例说明全概率公式

举例说明全概率公式
条件概率
总体看成单位一，概率p(x)是x占总体的百分数。

概率p(x,y)是x,y同时发生占总体的百分数。

现在把单位一更换，不再把总体看成单位一，把p(x)看成单位一。

p(x,y)是p(x)的一部分。

总体中的百分数，等于各部分百分数的加权平均，再归一化，正好就是全概率公式。

举例：
一杯1g的糖水，糖浓度为2%。

一杯2g的糖水，糖浓度为5%，两杯糖水混合成一总杯，浓度为多少？不用算，也知道混合后的浓度介于2%到5%之间。

因为5%的糖水权重大，是2g，所以混合浓度更接近5%。

混合浓度= 2% * 1/3 + 5% * 2/3 = 4%，这就是全概率公式。