二次函数和商品利润
二次函数与商品利润最大问题
初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
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作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
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二次函数特定范围内的最值
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二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
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二次函数的应用
---商品利润最大问题
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复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
二次函数与商品利润
第2课时二次函数与商品利润1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?解:设销售单价为x元,销售利润为y元.根据题意,得y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1 000-20x)=-20x2+ 1 400x-20 000,当x=-=35时,y最大值=4 500,这时,x-30=35-30=5.所以,销售单价提高5元时,才能在半月内获得最大利润4 500元.2.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售,对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研,结果如下:一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图(甲)),一件商品的本钱Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示,其中6月份本钱最高(如图(乙)).根据图象提供的信息解答下面问题:(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润=售价-本钱)(2)求出图(乙)中表示的一件商品的本钱Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式;(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?假设该公司能在一个月内售出此种商品30 000件,请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?解:(1)一件商品在3月份出售时利润为6-1=5(元).(2)由图象可知,一件商品的本钱Q(元)是时间t(月)的二次函数,由图象可知,抛物线的顶点为(6,4),∴可设Q=a(t-6)2+4.又∵图象过点(3,1),∴1=a(3-6)2+4,解得a=-.∴Q=-(t-6)2+4=-t2+4t-8,由题知t=3,4,5,6,7.(3)由图象可知,M(元)是t(月)的一次函数,∴可设M=kt+b.∵点(3,6),(6,8)在直线上,∴解得∴M=t+4,∴W=M-Q=t+4-(-t2+4t-8)=t2-t+12=(t-5)2+,其中t=3,4,5,6,7,∴当t=5时,W最小值=元,∴该公司在一个月内最少获利×30 000=110 000元.3.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y个.(1)求果园增种橙子树x(棵)与果园橙子总产量y(个)的函数关系式;(2)在上述问题中,果园要种多少棵橙子树,就可以使果园橙子的总产量为最多?(3)增种多少棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60 420个以上?从计算结果和数学的角度看,你有什么感想(不超过30字)?解:(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(x+100)棵橙子树, ∵每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子,那么平均每棵树结(600-5x)个橙子.∴y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60 000.(2)∵y=-5x2+100x+60 000,∴当x=-=-=10时,y最大值=60 500.故当增种10棵橙子树时,橙子的总产量最多,为60 500个.(3)当y=-5x2+100x+60 000=60 420时,整理得x2-20x+84=0,(x-16)(x-4)=0,解得x1=16,x2=4,∵抛物线对称轴为直线x=10,∴增种5到15棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60 420个以上.通过以上计算可以发现,果园的果树棵数并不是越多越好,产量的多少取决于科学的计算果树的棵数.。
人教版九上数学：《二次函数-商品利润最大问题》教案设计
第 2 课时商品收益最大问题1．经历数学建模的基本过程，能剖析实质问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数务实质问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大收益问题．一、情境导入红光旅社有 100 张床位，每床每天收费 10 元，客床可所有租出，若每床每天收费提高 2 元，则租出床位减少 10 张，若每床每天收费再提高 2 元，则租出床位再减少 10 张，以每提高 2 元的这类方式变化下去，每床每天应提高多少元，才能使旅社获取最大收益？二、合作研究研究点一：最大收益问题【种类一】利用分析式确立赢利最大的条件为了推动知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济可以保持可连续发展．某工厂经过技术攻关后，产质量量不停提高，该产品按质量分为 10 个品位，生产第一品位 ( 即最低档 ) 的新产品一天生产 76 件，每件收益 10 元，每提高一个品位，每件可节俭能源耗费 2 元，但一天产量减少 4 件．生产该产品的品位越高，每件产品节俭的能源就越多，能否获取的收益就越大？请你为该工厂的生产提出建议．分析：在这个工业生产的实质问题中，跟着生产产品品位的变化，所获收益也在不停的变化，于是可成立函数模型；找出题中的数目关系：一天的总收益＝一天生产的产品件数×每件产品的收益；此中，“每件可节俭能源耗费 2 元”的意思是收益增添 2 元；利用二次函数确立最大收益，再据此提出自己以为合理的建议．解：设该厂生产第 x 档的产品一天的总收益为y 元，则有 y ＝[10 ＋2( x －1)][76 －4( x － 1)] ＝－ 8x 2＋128x ＋640＝－ 8( x －8) 2＋1152. 当 x ＝8 时，y 最大值 ＝1152. 因而可知，其实不是生产该产品的品位越高，获取的收益就越大．建议：若想获取最大收益，应生产第 8 品位的产品． ( 其余建议，只需合理即可 )【种类二】利用图象分析式确立最大收益某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1 月至第 12 月，这类水果每千克售价 y 1( 元 ) 与销售时间第 x 月之间存在如图①所示 ( 一条线段 )2的变化趋向， 每千克成本 y 2( 元 ) 与销售时间第 x 月知足函数关系式y 2＝ mx － 8mx＋ n ，其变化趋向如图②所示．(1) 求 y 2 的分析式；(2) 第几月销售这类水果，每千克所获取收益最大？最大收益是多少？解：(1) 由题意可得，函数 y 2的图象经过两点(3 ，6) ，(7 ，7) ，∴19m － 24m ＋ n ＝ 6，m ＝8，1 263m －m ＋ 解得∴y 2 的分析式为 y 2＝ 8x － x ＋ 8 (1 ≤x ≤12) ．＝，6349567n ＝ 8 .(2) 设 y 1＝ kx ＋b ，∵函数 y 1 的图象过两点 (4 ，11) ，(8 ，10) ，∴4k ＋b ＝11，8 k ＋b ＝，1011k ＝－ ，解得4 ∴y 1 的分析式为 y 1 ＝－ 4x ＋12(1 ≤ x ≤12) ．设这类水果每千克所b ＝12.1 1263 1 2 3 33获取的收益为 w 元．则 w ＝ y 1－ y 2 ＝( －4x ＋ 12) －( 8x － x ＋ 8 ) ＝－ 8x ＋4x ＋ 8 ，1221∴ w＝－ 8( x－3) ＋ 4 (1 ≤ x≤12) ，∴当x＝3 时， w 取最大值214 ，∴第 3 月销售这类水果，每千克所获的收益最大，最大收益是214 元/ 千克．三、板书设计教课过程中，重申学生自主研究和合作沟通，经历将实质问题转变为函数问题，并利用函数的性质进行决议 .基础导练1.如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD ，此中 AB 和 BC 分别在两直角边上，设 AB=x m ，长方形的面积为 y m 2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为 ()D5m ABC12mA.24mB.6 mC.15 mD. 5m42二次函数y=x 2－4x+3 的图象交 x 轴于 A 、B 两点，交 y 轴于点 C ，△ABC 的面2.积为( )A.1B.3C.4D.63.某乡镇公司此刻年产值是 15 万元，假如每增添 100 元投资，一年增添 250 元产值，那么总产值 y( 万元 )与新增添的投资额 x(万元 )之间函数关系为 ()A.y=25x+15B.y=2.5x+1.5C.y=2.5x+15D.y=25x+1.5能力提高4.某商场以每件 20 元的价钱购进一种商品，试销中发现，这类商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价 x(元)知足关系： m=140－2x.(1)写出商场卖这类商品每天的销售收益y 与每件的销售价 x 间的函数关系式 ;(2)假如商场要想每天获取最大的销售收益，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售收益为多少？5.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，假如用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)假如中间有 n(n 是大于 1 的整数 )道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少 m？比较 (1)(2)的结果，你能获取什么结论？x参照答案1.D2.B3.C4．解： (1)y=－2x2+180x－2800.(2)y=－2x2+180x－2800=－2(x2－90x)－2800=－2(x－45)2+1250.当 x=45 时， y 最大 =1250.∴每件商品售价定为45 元最适合，此销售收益最大，为1250 元 .5.解： (1)依题意得鸡场面积 y=1 x 250 x.33∵y=－ 1x 2+ 50x= 1(x 2－50x)3 3 3=－ 1(x －25)2+625,33∴当 x=25 时， y最大=625,3即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为625m 2.350 x (2)如中间有 n 道隔墙，则隔墙长为n2 m.50 x150 ∴y= n 2 ·x=－ n 2 x 2+ n 2 x1625=－ n 2 (x 2－ 50x ）=－ n 12 (x －25)2+ n 2,当 x=25 时， y625最大 = n 2 ,625即鸡场的长度为 25 m 时，鸡场面积为 n 2 m 2.结论：不论鸡场中间有多少道篱笆隔墙， 要使鸡场面积最大， 其长都是 25 m.。
二次函数与实际问题 利润问题
二次函数与实际问题利润问题二次函数与实际问题利润问题实用问题与二次函数——利润问题教案（1）一、利润公式一种商品的购买价是40元，现在是60元。
每周可以卖出50件。
本周销售商品的利润是多少？小结：总利润=二、问题探究问题1：某种商品的购买价格是30元/件。
如果你在一段时间内以每件x元的价格出售，你可以卖出（200-x）件。
你应该如何定价以实现利润最大化？问题2：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？分析问题：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润为y 元。
（1）将价格提高X元，每周销量减少；实际上卖了几件。
（2）商品的现行价格是元，购买价格是元。
跟据上面的两个问题列出函数表达式为：自变量x的取值范围解答过程：问题3：目前一种商品的售价是60元/件，每周可以卖出300件。
根据市场调查，每涨1元，每周就少卖10件；每降价1元，每周可多卖出18件。
已知商品的购买价格为40元/件。
如何定价以实现利润最大化？三、课堂练习1.据了解，一件商品的购买价格为40元/件，销售价格为60元/件，每周可销售300件。
市场调查显示，如果价格调整，每降低一元，每周就会多卖出18件。
当商品的价格应该是多少元时，商场能获得最大的利润吗？2、某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50元销售,平均每天可销售100箱.价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱;价格每箱升高1元，平均每天少销售4箱。
如何定价才能使得利润最大？3.旅行社组织30人组团出国旅游，单价为每人800元。
旅行社对30人以上的组团提供折扣，即每增加一人，每人的单价将减少10元。
你能帮我分析一下当旅行团数量减少时旅行社能获得的最大营业额吗？4、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。
人教版九年级数学上册第22章 二次函数 二次函数与商品利润问题
某商店经营衬衫，已知获利（元）与销售单价（元）之间满
足关系式 = − + + ，则销售单价定为多少元时，
获利最多？最多获利为多少元？
自主探究
请同学们阅读课本50页探究2. 请同学们思考：
(1)调价包括哪几种情况? (涨价和降价两种)
(2)先来讨论涨价的情况.
①设每件涨价x元，你能否用含x的式子表示单件的利润和销售数量?
− = −( − )² + .
故当 = 时，W最大，为125.
答：当销售单价为13万元时，利润最大，最大利润为125万元.
变式 为满足市场需求，某超市在“端午节”来临前夕，购进一种品
牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根
据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700
例1 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以
自行定价．若每件商品售价为 x 元，则可卖出（350-10x）件商
品，那么卖出商品所赚钱数y（元）与每件售价x（元）之间的
函数解析式为(
B)
A.y=-10x²-560x+7 350
C.y=-10x²+350x
B.y=-10x²+560x-7 350
− .当 =
× − × − −
× −
−
× −
= 时， 最大 =
= ，即当每盒售价定为60
元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润为8 000元.
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子每盒的售价不得高
盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数
22.3第2课时 二次函数与商品利润
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元.
侵权必究
练一练 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单
价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高 销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销 售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一 个月内获得最大利润？
侵权必究
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品 总利润为y元，填空：
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价 为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
侵权必究
当堂练习
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， 则 w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)] =(10+2x)(84-4x) =-8x2+128x+840 =-8(x-8)2+1352. 当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大， 最大利润为1352.
1、超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40 元（市场管理部 门规定，该种玩具每件利润不能超过60 元），每天可售出50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加2 元，每天销售量 会减少1 件，设销售单价增加x 元，每天售出y 件． （1）请写出y 与x 之间的函数表达式； （2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获 利润2 250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w最 大，最大值是多少？
二次函数与商品销售中利润问题
二次函数与商品销售中利润问题例１ 某商店经营一种成本为每千克４０元的水产品．据市场分析，若按每千克５０元销售，一个月能销售出５００千克；销售单价每涨１元，月销售量就减少１０千克．针对这种水产品的销售情况，请回答以下问题：（１）当销售单价定为每千克５５元时，计算月销售量和月销售利润；（２）设销售单价定为每千克ｘ元，月销售利润为ｙ元，求ｙ与ｘ之间的函数关系式（不必写出ｘ的取值范围）；（３）商店想在月销售成本不超过１００００元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？练习：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？练习 ：某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生的利润与电价是一次函数关系，经过测算工厂每千度电产生的利润y (元/千度)与电价x (元/千度)的函数图象如图：(1)当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生的利润是多少？(2)为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x (元/千度)与每天 用电量m (千度)的函数关系为x ＝10m ＋500，且该工厂每天用电量不超过60千度．为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生的利润最大是多少元？x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 …例3某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从２月１日起的２００天内，西红柿市场售价Ｐ与上市时间ｔ的关系用图甲的一条线段表示；西红柿的种植成本Ｑ与上市时间ｔ的关系用图乙中的抛物线表示．（其中，市场售价和种植成本的单位为：元／１００千克，时间单位为：天） （１）写出图甲表示的市场售价Ｐ与时间ｔ的函数关系式； （２）写出图乙表示的种植成本Ｑ与时间ｔ的函数关系式； （３）如果市场售价减去种植成本为纯收益，那么何时上市的西红柿纯收益最大（可借助配方或草图观察）？｝，巩固提升：(2010年重庆)今年我国多个省市遭受严重干旱．受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，进入5 2.8 元/千克下降至第2周的2.4 元/千克,且y 与周数x 的变化情况满足二次函数c bx x y ++-=2201． （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 所满足的函数关系式，并求出5月份y 与x 所满足的二次函数关系式； （2）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为2.141+=x m ，5月份的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为251+-=x m ．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可销售量将在第2周销量的基础上每周减少%a ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第２周仅上涨%8.0a ．若在这一举措下，此种蔬菜在第３周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值．图甲 图乙。
22.3.2二次函数求商品利润最大问题教案
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。它在经济、工程等领域有着广泛的应用，尤其是在求解最值问题时。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设某商品的成本为固定值，售价与销售量之间存在二次关系，我们将通过构建二次函数模型来求解最大利润。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对于二次函数在实际问题中的应用表现出较高的兴趣。他们能够积极参与课堂讨论，提出自己的想法，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到在一些环节还存在一些问题，需要我在今后的教学中加以改进。
在导入新课环节，我通过提问方式引发学生思考，大家发言积极，但个别学生对问题的理解还不够深入。在今后的教学中，我应适当增加一些引导性的问题，帮助学生更好地理解问题本质。
5.强化数学运算能力：在求解最大利润过程中，培养学生准确、快速地进行数学运算的能力。
本节课将围绕以上核心素养目标，结合教材内容，帮助学生将理论知识与实际应用相结合，全面提升学生的数学素养函数的一般形式及其图像特点，明确二次函数在实际问题中的应用。
举例：二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。图像特点为抛物线，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）。
3.提高学生的口头表达能力和逻辑思维能力，使他们能够更好地展示自己的观点。
4.鼓励学生独立思考，培养他们的问题解决能力。
在新课讲授环节，我发现大部分学生能够跟上课堂节奏，但仍有部分学生对二次函数的一般形式和求解最值方法掌握不够牢固。针对这个问题，我打算在接下来的课程中，增加一些例题和练习，让学生在实际操作中加深对知识点的理解。
商品利润问题与二次函数典型例题解析
商品利润问题与二次函数典型例题解析知识链接复习：1某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出500千克•经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少 20千克•现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 解：设每千克应涨价 x 元，读题完成下列填空问题一：涨价后每千克盈利 _________________ 元； 问题二：涨价后日销售量减少 千克；问题三：涨价后每天的销售量是 千克； 问题四：涨价后每天盈利 元？根据题意列方程得：解方程得： 因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。
答：。
2、 二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是x=y=3、 函数y=x 2+2x-3(-2 w x w 2)的最大值和最小值分别是 新知解析：例1、某商品现在的售价为每件 35元，每天可卖出50件。
市场调查发现：如果调整价格，每降价 1元，那么每天可多卖出两件。
请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销 售额是多少？解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得：2y= ( 35-x ) (50+2x ) =-2x +20x+1750b 20 x=-=-=52a 2 X ( 2)因为 0<5<35 且 a=-2<0 所以 y=(35-5)(50+10)=1800答：当降价5元时 销售额最大为1800元。
此类习题注意要点：1、 根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为 x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。
2、 判断顶点横坐标是否在取值范围内。
因为函数的最值不一定是实际问题的最值3、 根据题意求最值。
写出正确答案。
例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要， 开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费 10元时， 床位可全部租出， 若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了 10张床位租出，如果每张床位每天以 2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元？租金最高是 多少钱？x o解：设当张价 X 元时租金为y 元，根据题意得：y= ( 100-10 X ) (10+x ) =-5x +50x+1000250=5因为5是奇数，不合题意。
二次函数与最大利润问题解题技巧
二次函数与最大利润问题解题技巧
1. 先了解二次函数的一般式和标准式。
2. 确定题目中涉及的自变量和因变量，并建立解题模型。
3. 求出二次函数的极值点，即最大或最小值点，这可以通过求导或配方法等方式得到。
4. 判断极值点是否为最大值点，如果是，则说明达到最大利润；如果不是，则需根据实际情况进行分析。
5. 最后通过代入数值验证答案是否正确。
举例：
某企业生产一种产品，售价为x元，该企业总成本为：
C(x)=10000+200x+0.02x²元，求该企业的最大利润及最大利润
的售价。
1. 一般式：y=ax²+bx+c；标准式：y=a(x-h)²+k。
2. 总利润P(x)=R(x)-C(x)，其中，R(x)为总收入，C(x)为总成本。
因此，P(x)=x(100-0.02x)-10000-200x-0.02x²=-(0.02x²-
80x+10000)。
3. 求P(x)的极值点：P'(x)=-0.04x+80=0，得到x=2000，表示产量在2000时利润最大。
4. 检查2000是否为最大值点，此处可以通过求P''(x)判断。
P''(x)=-0.04<0，说明x=2000时是P(x)的最大值点。
5. 最大利润为P(2000)=-(0.02×2000²-80×2000+10000)=96000元，最大利润的售价为200元。
九年级数学： 22.3第2课时二次函数与商品利润教案
第2课时 二次函数与商品利润能根据商品利润问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力．阅读教材第50页，自学“探究2”，清楚求商品利润问题中的最值与二次函数最值之间的关系．自学反馈学生独立完成后集体订正：某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系．(1)试求y 与x 之间的函数解析式；(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？(1)根据数量关系列出函数解析式；(2)先建立二次函数模型，将二次函数解析式转化为顶点式，再求最值．注意自变量需符合实际意义．活动1 小组讨论例1 某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y 与x 的函数解析式(不要求写出x 的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．解：(1)45＋260－24010×7.5＝60(吨)． (2)y ＝(x －100)(45＋260－x 10×7.5)． 化简，得y ＝－34x 2＋315x －24 000. (3)y ＝－34x 2＋315x －24 000＝－34(x －210)2＋9 075. 此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．(4)我认为，小静说得不对．理由：当月利润最大时，x 为210元，而月销售额W ＝x(45＋260－x 10×7.5)＝－34(x －160)2＋19 200. 当x 为160元时，月销售额W 最大．∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大的．∴小静说得不对．要分清利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别．活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x 元(x 为10的正整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？【预习导学】自学反馈(1)y＝－10 000 x＋80 000.(2)利润w＝(－10 000x＋80 000)(x－4)＝－10 000(x－6)2＋40 000.当销售定价为6元时，每月利润最大，最大利润为40 000元．【合作探究】活动2跟踪训练(1)y＝50－x10(0≤x≤160，且x为10的正整数倍)．(2)w＝(180－20＋x)(50－x10)＝－110x2＋34x＋8 000.(3)w＝－110(x－170)2＋10 890.∵x≤340－180＝160，∴当x＝160时，w max＝10 880.即一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润为10 880元．。
22.3.2二次函数与商品利润问题课件 2024-2025学年人教版数学九上
知识讲解
知识点1 二次函数的最值在销售问题中的应用
【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，
这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的
变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx
＋n，其变化趋势如图②所示．
(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润
是1250元.
随堂练习
1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试
销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售
(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
(3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销
售量各是多少？
随堂练习
1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试
【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这
种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变
化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，
其变化趋势如图②所示．
(1)求y2的解析式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？
销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售
二次函数的实际应用利润问题
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) (0≤X≤30)
即 y10x210x06000
精选ppt
10
y10x210x06000 (0≤X≤30)
x2ba5时， y最大值 1052 100560006250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。 如何定价才能使得利润最大？（为了便于计 算，要求每箱的价格为整数）
精选ppt
13
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克， 放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后 每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天 需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去， 假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放 养期间蟹的重量不变）.
际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买
进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
y 6 0 x3 010 x8 43 0 010 x8
1x2 8 6x0 60(0≤0 x≤200 )
当 答x：定2价ba为5358时1 ， y元最时大，利18润最53大2，6最0大53 利6润0为060605005元0 3
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
精选ppt
9
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
数学人教版九年级上册二次函数与商品利润问题
2.（云南中考）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水 果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓， 规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40 元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合 一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． （1）求y与x的函数解析式； （2）设该水果销售店试销草莓获得的 利润为W元，求W的最大值．
例1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
解：设每件定价x元，每星期总利润为y元 2 则y=(x-40)[300-l0（x-60）]= -l0x +1300x-36 000 2 = - 10（x-65） +6250 ∵900-l0x≥0且x≥0 ∴60≤x≤90． ∴当x=65时，y最大是6250． 答：商品定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．
1、选择恰当的自变量，根据题意列出函数解析式； 2、由实际情况的条件，求出自变量的取值范围；
3、根据自变量的取值范围和二次函数性质，求出函 数的最大最小值。
：已知某商品的进价为每件40元，售价是 每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反 映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖 出20件。设该商品每件降价x元,商场销售该商 品每周总利润为y元，则： 20-x 该商品每件利润为_____________ 元； 300+20x 该商品的销量为_______________ 件； 商场销售该商品每周总利润 2 y=___________________________________ (20-x)(300+20x)=-20x +100x+6000 0≤x≤20 ； 自变量的取值范围是_______________.
二次函数与实际问题中利润问题(附答案)
②T恤衫何时获得最大利润,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.当销售单价为多少元时,可以获得最大利润,最大利润是多少元？
(1)写出售价x(元/件)与每天所得利润y(元)之间的函数关系式;
(2)每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?
⑥纯牛奶何时利润最大：
6.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（1）
（2）
（3）
⑧化工材料何时利润最大：
8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
设销售价为x元(x≤13.5元),利润是y元,则
③日用品何时获得最大利润：
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
设销售价为x元(x≥30元),利润为y元,则
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
二次函数与实际问题中利润问题(附答案)
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
⑦水产品何时利润最大：
.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
利润=售价-进价
总利润=每件利润×销售数量
①何时橙子总产量最大：
1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?
求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之间的函数关系式,并注明x的取值范围(提示:日均获利=每千克获利与×均销售量-其它费用)和获得的最大利润.
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（1）
（2）
（3）
⑧化工材料何时利Βιβλιοθήκη 最大：8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
九年级数学人教版(上册)第2课时 二次函数与商品利润
(2)在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为 了增大 B 型水杯的销售量，超市决定对 B 型水杯进行降价销售，当 销售价为 44 元时，每天可以售出 20 个，每降价 1 元，每天将多售 出 5 个．请问超市将 B 型水杯降价多少元时，每天售出 B 型水杯的 利润达到最大？最大利润是多少？
∴当 x＝32 时，W 取最大值，W 最大＝2 880；
当 32＜x≤40 时，W＝(x－8)y＝120(x－8)＝120x－960. ∵120＞0，∴W 随 x 的增大而增大． ∴当 x＝40 时，W 最大＝3 840. ∵3 840＞2 880， ∴最大利润为 3 840 元．
类型 2 “每……每……”的销售利润问题 4．将进货价为 70 元/件的某种商品按零售价 100 元/件出售时， 每天能卖出 20 件．已知这种商品的零售价在一定范围内每降低 1 元， 其日销售量就增加 1 件，为了促销，决定对其降价 x 元销售，则每 件的利润为 (30－x) 元，每日的销售量为 (20＋x) 件，每日的利润 y ＝ －x2＋10x＋600(0≤x≤30，且x为整数) 写出自变量的取值范 围)，所以当每件降价 5 元时，每日获得的利润最大，为 625 元．
解：设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b，由题意，得 226400＝ ＝2380kk＋ ＋bb， ，解得kb＝ ＝－ 5401.0， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－10x＋540.
(2)设遮阳伞每天的销售利润为 w(元)，当销售单价定为多少元时， 才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
7．(2021·怀化)某超市从厂家购进 A，B 两种型号的水杯，两次
购进水杯的情况如表：
进货批次 A 型水杯/个 B 型水杯/个 总费用/元
二次函数与商品利润问题
⼆次函数与商品利润问题《⼆次函数与商品利润问题》教学设计⼀、教材版本及内容分析本节课选⾃2011年⼈教版九年级上册第⼆⼗⼆章《⼆次函数》第三节《实际问题与⼆次函数》第⼆课时商品利润问题。
⼆次函数的应⽤本⾝是学习⼆次函数的图象与性质后，检验学⽣应⽤所学知识解决实际问题能⼒的⼀个综合考查。
新课标中要求学⽣能通过对实际问题的分析确定⼆次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。
⽽最值问题⼜是⽣活中利⽤⼆次函数知识解决最常见、最有实际应⽤价值的问题之⼀，它⽣活背景丰富，学⽣⽐较感兴趣，商品最⼤利润问题学⽣不易理解和接受，故⽽在这⼉做专题讲解。
⽬的在于让学⽣通过解决商品利润问题，学会⽤建模的思想去解决其它和⼆次函数有关的应⽤问题。
此部分内容既是学习⼀次函数及其应⽤后的巩固与延伸，⼜为⾼中乃⾄以后学习更多函数打下坚实的理论和思想⽅法基础。
⼆、学情分析对九年级学⽣来说，在学习了⼀次函数和⼆次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的⽅法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在⽐较复杂的实际问题中，还不能熟练的应⽤知识解决问题。
本节课正是为了弥补这⼀不⾜⽽设计的，⽬的是进⼀步培养学⽣利⽤所学知识构建数学模型，解决实际问题的能⼒，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
三、教学⽬标1、知识与技能：①学会将实际问转化为数学问题；②学会⽤⼆次函数的知识解决商品利润问题。
2、过程与⽅法：体会数学建模的思想，体会到数学来源于⽣活，⼜服务于⽣活。
3、情感态度与价值观：培养学⽣的独⽴思考的能⼒和合作学习的精神，在⼩组交流过程中培养学⽣的交际能⼒和语⾔表达能⼒，促进学⽣综合素养的提升。
四、教学重点与难点1、教学重点：利⽤⼆次函数的知识对商品利润问题进⾏数学分析，即⽤数学的⽅式表⽰问题以及⽤数学的⽅法解决问题。
2、教学难点：从商品利润问题中建⽴⼆次函数模型。
五、教学⽅法与⼿段新课程标准强调⾃主探究与合作交流应该是学⽣学习数学的重要⽅式。
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二次函数应用题(商品利润)
一、选择题
1、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )
A．5元B．10元C．0元D．3600元
2、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=﹣n2+14n-24，则该企业一年中应停产的月份是( )
A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月
3、某商店经营皮鞋，已知所获利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系式为y=﹣x2+24x+2956，则获利最多为（）
A、3144元；
B、3100元；
C、144元；
D、2956元
4、某商品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售500件。
若该商品每涨价0.5元，其销量就减少5件，为获取最大利润，其售价应定位（）
A、130元；
B、120元；
C、110元；
D、100元
5、某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高（）．
A、4元或6元；
B、4元；
C、6元；
D、8元
二、解答题
1、商场为了推销一种商品，先做了市场调查，得到数据如下表：
（1）若该商品的买入件为每件40元，试求销售利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式（销售利润=销售收入－买入支出）；
（2）在（1）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？
2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润
y与
1
y与投资量x成二投资量x成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润2
次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
y与2y关于投资量x的函数关系式；
（1）分别求出利润
1
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
3、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会
全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
思考题：
研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y
（万元）与x 满足关系式2159010
y x x =++，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲，p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：
年利润＝年销售额－全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，11420
p x =-+甲，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w 甲（万元）与x 之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，110p x n =-+乙（n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？。