二元函数的极值点
二元函数极值与最值的区别与联系
二元函数极值与最值的区别与联系
二元函数的极值是指函数在二元平面上取得的最大值或最小值，而最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值或最小值。
区别：
1. 极值针对的是一个特定的点，而最值是函数在整个定义域上的取值范围。
2. 极值可能存在多个，而最值只有一个或不存在。
3. 极值点必须满足导数为零或不存在导数的条件，而最值只需要比较函数值。
联系：
1. 最值是极值的一种特殊情况，即函数在整个定义域上取得极值。
2. 寻找极值的过程常常涉及到找出最值的情况，比如通过比较函数在边界点和极值点的值来确定最值。
3. 极值的存在与函数的最值有一定的关联，特别是当极值点在定义域的边界上时，它可能是函数的最大值或最小值。
综上所述，二元函数的极值是局部的最值，而最值是全局的最值，它们有一定的联系和区别。
二元函数的极值与最值问题
⼆元函数的极值与最值问题
⽬录
写在最前
对于形如z=f(x,y)的函数，求解极值的通法⼀般有两种：
偏导数法
⼆元全微分法
由于偏导数法操作简单，下⾯仅介绍这种⽅法
⼆元函数极值点
Ops:只想知道最值的可以跳过这⼀节。
我们以驻点为圆⼼在xy平⾯上做⼀个圆（就如同在⼀元函数y=f(x)驻点附近找⼀段区间），若当半径⾜够⼩时，f(x0,y0)是该圆形区域的最⼤值或最⼩值， 那么该驻点就是极⼤值点或极⼩值点。
与⼀元函数类似，驻点不⼀点是极值点。
那么我们如何判断极点呢？
⼀个⽐较常规的想法是，让f x在x=x0的两边异号，让f y在y=y0的两边异号，借此来判断函数的极值点。
但有⼀个很明显的错误：
类⽐地理中的鞍部，这个点被称作鞍点。
那么，该怎么做呢，数学家想到了⼀种⽅法——⼆阶偏导法。
令
A=f xx(x0,y0),B=f xy(x0,y0),C=f yy(x0,y0)
则有
A×C−B2>0且A>0==>极⼩值
A×C−B2>0且A<0==>极⼤值
A×C−B2<0==>鞍点
A×C−B2==0==>⽆法确定
⼆元函数最值
最值问题和极值问题相⽐，最⼤的区别就是最值问题可以通过⽐较各点的值来计算。
我们可以通过求出所有极值点甚⾄⾮极值点的值来得出最终的答案。
既然如此，我们可以求出所有可能的点（各偏导等于零的点）并计算得到最终答案。
二元函数取极值的条件
二元函数取极值的条件
判断二元函数极值方法如下：
设：二元函数f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),
即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；
记：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²
B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y
C=∂²f(x0,y0)/∂y²
∆=AC-B²
如果：∆>0
A0,f(x0,y0) 为极小值；
如果：∆0
f(0,0)=0 为最小值。
求解函数极值方法：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。
如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。
此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。
扩展资料
判断函数极值定义：
若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x ₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。
同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x ₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。
根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。
如果极值点不是边界点，就一定是内点。
因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
二元函数取极值的充分条件
二元函数取极值的充分条件二元函数取极值的充分条件分为以下几种情况：1. 二次型矩阵的正负性：设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且$\Delta H=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^2>0$。
则当 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极小值；当$f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极大值。
2. 一阶偏导数的消失：设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的偏导数，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的一个驻点。
仅凭一阶偏导数消失的条件不能判断极值，需进一步判断。
3. 二阶导数的正负性：设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。
(1) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是$f(x,y)$ 的极小值点。
(2) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是$f(x,y)$ 的极大值点。
(3) 若 $\Delta H<0$，则 $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。
(4) 若 $\Delta H=0$，则无法判断 $(x_0,y_0)$ 是否是 $f(x,y)$ 的极值点，需作进一步研究。
4. 鞍点与拐点：当 $\Delta H<0$ 时， $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。
二元函数极值的定义
§1. 极值与最小二乘法
...
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§1. 极值与最小二乘法
...
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§1. 极值与最小二乘法
...
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§1. 极值与最小二乘法
...
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§1. 极值与最小二乘法
...
1＝T1 ax1 b, 2＝T2 ax2 b, , n＝Tn axn bn ,
表示相应的偏差, 这些偏差的平方和叫做总偏差，
记为 ,即
n
＝ Ti axi b2 i 1
由极值的必要条件, 令
...
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§1. 极值与最小二乘法
a
0
b
0
解之,得
n
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
...
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§1. 极值与最小二乘法
设f x, y在点 x0, y0 取到极值，则
则
f f x0 x, y0 y f x0 , y0
z
x y x2 y2 1
的最大值和最小值.
解令
zx
(x2
y2 1) 2x( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
zy
(x2
y2 1) 2 y( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
二元函数的极值
§10–7 二元函数的极值基础知识导学1. 二元函数的极值与驻点⑴ 极值与驻点①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点.⑵ 极值存在的必要条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x .注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则①当02<-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0<A 时，点),(000y x P 是极大值点；当0>A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02>-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；③当02=-AC B 时，点),(000y x P 有可能是极值点也可能不是极值点.2．条件极值与拉格朗日乘数法⑴ 条件极值求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.⑵ 拉格朗日乘数法求函数),,(z y x f u =在满足约束条件0),,(=z y x ϕ下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。
二元函数极值的几何意义
二元函数极值的几何意义摘要：1.二元函数极值的概念及判定条件2.二元函数极值的几何意义3.求二元函数极值的方法4.实例分析正文：一、二元函数极值的概念及判定条件二元函数极值是指在定义域内，函数在某一点取得最大值或最小值。
判定二元函数极值的条件有以下两种：1.二元函数的一阶导数等于零，即f_x = 0和f_y = 0同时成立。
2.二元函数的二阶导数小于零，即f_{xx} < 0和f_{yy} < 0同时成立。
二、二元函数极值的几何意义二元函数极值的几何意义在于，当二元函数在某一区域取得极值时，该区域内的函数值变化趋势会发生变化。
具体来说，如果函数在点（x0，y0）处取得极大值，那么在点（x0，y0）附近，函数值会随着x或y的增大而增大；如果函数在点（x0，y0）处取得极小值，那么在点（x0，y0）附近，函数值会随着x或y的增大而减小。
三、求二元函数极值的方法1.求一阶导数：对二元函数f(x, y)分别求关于x和y的一阶导数，得到f_x 和f_y。
2.求二阶导数：对一阶导数f_x和f_y分别求二阶导数，得到f_{xx}和f_{yy》。
3.判断极值：当f_x = 0且f_y = 0时，计算f_{xx}和f_{yy}的值。
若f_{xx} < 0且f_{yy} < 0，则点（x0，y0）为极大值点；若f_{xx} > 0且f_{yy} > 0，则点（x0，y0）为极小值点。
四、实例分析假设我们要求二元函数z = f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5在定义域内的极值。
1.求一阶导数：f_x = 2x - 4f_y = 2y - 22.求二阶导数：f_{xx} = 2f_{yy} = 23.判断极值：f_x = 0时，x = 2；f_y = 0时，y = 1；f_{xx} > 0且f_{yy} > 0，所以点（2，1）为极小值点。
通过以上分析，我们可以得出二元函数极值的几何意义以及求解方法。
二元函数的极值与最值
2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。
对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。
注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
二元函数的极值和最值
二元函数的极值和最值二元函数是指含有两个未知变量的函数，通常用z=f(x,y)来表示。
当x、y取不同的值时，z的取值也会发生变化，因此我们需要研究如何找出二元函数的极值和最值。
一、定义首先，我们需要了解极值和最值的定义。
极值是指函数在某个点上取得的极大值或极小值，而最值则是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
在二元函数中，极值也分为极大值和极小值。
当函数在某个点处取得极大值时，这个点被称为极大值点；同理，当函数在某个点处取得极小值时，这个点被称为极小值点。
考虑以下例子：z=x^2+y^2，我们需要找到z的极小值和最小值。
二、求解方法我们可以通过求一阶偏导数来找到极值点和最值点。
对于二元函数z=f(x,y)，我们先求出x和y的一阶偏导数：∂z/∂x=2x∂z/∂y=2y求出它们的偏导数后，我们需要将偏导数相等的方程组联立起来，解出x和y的值，进而求得z的值。
举个例子，对于函数z=x^2+y^2，我们可以得到：2x=02y=0由此可得，当x=0，y=0时，z取得最小值0。
除了求一阶偏导数的方法，我们还可以通过求二阶偏导数来判断函数的极值类型。
若f(x0,y0)满足：① ∂²f/∂x²(x0,y0)>0, ∂²f/∂y²(x0,y0)>0，则f(x0,y0)为极小值点；② ∂²f/∂x²(x0,y0)<0, ∂²f/∂y²(x0,y0)<0，则f(x0,y0)为极大值点；③ ∂²f/∂x²(x0,y0)与∂²f/∂y²(x0,y0)符号相反，则f(x0,y0)为鞍点。
同样以z=x^2+y^2为例，我们可以得到：∂²z/∂x²=∂²z/∂y²=2>0，因此z取得最小值。
3. 拓展方法除了上述两种方法外，我们还可以利用拉格朗日乘数法，求出约束条件下的极值和最值。
二元函数求极值的方法总结
二元函数求极值的方法总结
二元函数求极值的方法主要有以下几种：局部极值的判定、二次型矩阵的特征值判定、拉格朗日乘数法和约束条件消去法。
下面将逐一介绍这些方法。
1. 局部极值的判定：对于二元函数，我们可以先求取一阶偏导数，然后将偏导数为零的点带入二阶偏导数。
如果二阶偏导数的行列式为正，那么该点是局部极小值点；如果二阶偏导数的行列式为负，那么该点是局部极大值点；如果二阶偏导数的行列式为零，那么无法判定。
此外，还需考虑边界点和可能的间断点。
2. 二次型矩阵的特征值判定：对于二元函数，我们可以构造二次型矩阵，并求取其特征值。
如果特征值均为正，那么该点是极小值点；如果特征值均为负，那么该点是极大值点；如果特征值既有正又有负，那么该点是鞍点；如果特征值中既有正数、负数，又有零，那么无法判定。
3. 拉格朗日乘数法：对于带有约束条件的二元函数最值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法。
首先，将约束条件转化为等式形式，然后构造拉格朗日函数。
接下来，对拉格朗日函数进行求导，将导数与约束条件一同解方程组。
求得的解即为极值点。
4. 约束条件消去法：对于带有约束条件的二元函数最值问题，我们可以使用约束条件消去法。
首先，将约束条件代入目标函数，得到一个只含有一个变量的函数。
然后，对这个函数进行一元函数求导，找出极值点。
将极值点代入原来的约束条件，得到最终的极值点。
总之，对于二元函数求极值的问题，我们可以通过局部极值的判定、二次型矩阵的特征值判定、拉格朗日乘数法和约束条件消去法来解决。
不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法。
二元函数的概念与性质
二元函数的概念与性质二元函数是数学中的重要概念，它在多个学科领域中具有广泛的应用。
本文将介绍二元函数的基本概念、性质以及相关应用。
一、二元函数的定义二元函数，也称为二元映射，是指定义在两个变量上的函数。
一般表示为f(x, y)，其中x和y为自变量，f(x, y)为因变量。
与一元函数不同，二元函数的自变量是由两个变量组成的，它描述了两个变量之间的关系。
二、二元函数的性质1. 定义域和值域对于二元函数f(x, y)，它的定义域是所有使函数有意义的(x, y)的取值组合。
值域则是函数在定义域内所能取得的所有可能值的集合。
通过研究定义域和值域，可以得到函数的范围和特殊取值情况。
2. 连续性和可微性二元函数的连续性和可微性是研究其平滑性和变化趋势的重要性质。
若函数在定义域内的任意一点都满足极限值与函数值相等，则称该函数在该点连续；若函数在某一点的偏导数存在且连续，则称该函数在该点可微。
3. 偏导数和方向导数对于二元函数f(x, y)，可以求出在某一点的偏导数，即函数关于其中一个自变量的导数，用∂f/∂x表示；也可以计算函数在某一点沿着某一方向的方向导数，表示函数在该方向上的变化率。
4. 极值点和最值二元函数的极值点是指在某一区域内使函数取得极大值或极小值的点。
通过求解偏导数，可以找到二元函数的驻点，然后再结合二阶偏导数的符号来判断极值点的性质。
5. 函数的图像和曲面对于二元函数，可以绘制其图像或曲面来直观地表示函数的变化规律和特征。
通过观察函数的图像，可以对函数的性质有更多的认识和理解。
三、二元函数的应用1. 经济学在经济学中，二元函数常用于描述供需关系、边际效用和最优化模型等问题。
通过研究二元函数的曲线和极值点，可以对资源配置和经济决策进行分析和优化。
2. 物理学在物理学中，二元函数的概念被广泛应用于描述多个变量之间的相互关系。
例如，在力学中，可以利用二元函数来分析物体的运动；在电磁学中，可以用二元函数来表示电场和磁场的分布情况。
二元函数极值的定义
§1. 极值与最小二乘法
设f x, y 在点 x0 , y0 取到极值，则
则 f f x0 x , y0 y f x0 , y0
1 ( f x 2 x0 x , y0 y x 2 2 f xy x0 x , y0 y xy 2 f yy x0 x , y0 y y 2 )
§1. 极值与最小二乘法
f yy x0 x, y0 y C
且当x 0, y 0时， 0， 0， 0
1 1 2 2 f ( Ax 2 Bxy C y ) (x 2 2xy y 2 ) 2 2
故当 y y0 ， x x0 时， 有
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f x, y0 f x0 , y0 .
§1. 极值与最小二乘法
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x0 处有极大值,
必有
类似地可证
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
在 (0,0) 处有极大值．
(2)
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
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(3)
§1. 极值与最小二乘法
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：
A f x 2 x0 , y0 , B f xy x0 , y0 , C f y 2 x0 , y0 ,
2020年考研数学三真题与及解析
2020年考研数学三真题与及解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y xzx x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆 【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）． 6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似 【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+- ()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11nii X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()ni i X X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)ni i n S X X n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122t t t y y +-=的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2x y C =； 设122t t t y y +-=的特解为2t t y at =，代入方程，得12a =；所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2t t y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)Q Q e -+-．平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++=12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x udt du =-=-，0t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33txuu x x x x x dt edu du ++++---→→→→==== 16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21lim ln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)kx x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则 22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分）设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数（1）证明0n n n a x ∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n nn n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ 1lim1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数0nn n a x ∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x ∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭； 又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数． 21．（本题满分11分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ ==⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =； 当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭；.word 范文所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11ni i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22ni i n L n n z σπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
二元函数极值__概述说明以及解释
二元函数极值概述说明以及解释1. 引言1.1 概述二元函数极值是数学中的一个重要概念，它涉及到在二元函数中找到其最大值或最小值的过程。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要优化某个目标的问题，例如最大利润、最小成本等。
而掌握二元函数极值的寻找方法，可以帮助我们解决这些优化问题。
本文将对二元函数极值的基本概念进行阐述，并介绍常用的寻找二元函数极值的方法。
同时，通过具体的实例分析和解释，展示这些方法在实际问题中的应用情况。
最后，在结论部分对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的应用前景。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、二元函数极值的基本概念、寻找二元函数极值的方法、实例分析和解释以及结论。
引言部分是文章开篇部分，主要对文章进行整体概述和结构说明。
第二部分将介绍二元函数极值的基本概念，包括函数极值定义、二元函数特点以及存在定理。
第三部分将详细介绍寻找二元函数极值的方法，包括偏导数法、梯度法和拉格朗日乘子法等。
第四部分将通过三个具体实例来分析和解释二元函数极值的应用，分别是最小化路径长度问题、最大化利润问题和最优装箱问题。
最后一部分是结论，对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的发展前景。
1.3 目的本文旨在介绍二元函数极值的基本概念和常用方法，并通过实例分析说明其在实际问题中的应用。
通过阅读本文，读者将能够了解如何寻找二元函数的极值，并掌握相应的计算技巧。
同时，本文也希望为读者提供一些思路，引发对二元函数极值问题更深层次的思考，并展望其在未来的发展前景。
2. 二元函数极值的基本概念2.1 函数的极值定义:极值是指函数在某个特定区间内, 在该区间两侧都不存在更大或更小的函数值。
在二元函数中，我们考虑的是函数关于两个变量的取值情况。
对于一个二元函数f(x, y)，当存在一对实数(a, b) 属于定义域D(f) 时，使得f(a, b) 大于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，那么称(a, b) 是函数f 的极大值点；同样地，如果存在一对实数(c, d) 属于D(f)，使得f(c, d) 小于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，则称(c, d) 是函数f 的极小值点。
极值与最值
结合(1),(2)的 讨论可知，
f ( x, y)在x 4, y 0处取得最小值，且最小值为 16。
有唯一驻点(1,0)
yLeabharlann 2.A 2 0 B 1 C 2 0 B2 AC 1 4 3 0
3. B2 AC 0, A 0 (1,0)为极小值点。 且z极小值 1 2 1
例2. 求函数 解: 1.解
的极值.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
函数 f 在有界闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点及偏导数不存在的点 边界上的最值点
例3 求 f (x, y) 3x2 3y 2 x3 在 D {(x, y) | x2 y 2 16, x 0} 上的最小值.
解: (1)求出f (x, y)在D内的极小值可能点。
得驻点: (2, 0) , (0, 0)(舍去） 在点(2,0) 处f(2,0)=4
证明见 (P229) .
二元函数求极值的步骤:
1.解：zzxy
0 0
得驻点p1、p2、p3 pk。
2.求A, B,C 在pi处验证Di B2 AC的符号。
3.若Di 0,由A(C )的正负号判定pi为极大极小值点。
例1. 求函数
的极值.
解:
1.
z 2x y 2 0 x z x 2 y 1 0
(2)求出f (x, y)在D的边界{(x, y) x2 y 2 16, x 0}上的最小值 可能点
第五节 二元函数极值-精选文档
2
注意：
(1)中的A换为C结论不变。
4
例1. 求函数 解:
的极值. f ( x , y ) x y 3 x 3 y 9 x
3 3 2 2
2 2 , 0 f x 3 y 6y 0 f 3 x 6 x 9 y 1 , 0 ), ( 1 , 2 ), ( 3 , 0 ), ( 3 , 2 ) 得驻点: ( , f 0 fyy 6 y 6 f xx 6 x 6 xy
(x (x, y)0 fx ,y) 0 , fy
称为函数 zf(x ,y)的驻点.
同时成立的点,
2
注意
1）偏导数存在的极值点一定是驻点 2）函数的驻点不一定是极值点
点( 0 ,0 )是驻点 ，但不是 极值点 。 ,y)xy 例 f(x
3）函数的极值点也可能是偏导数不存在的点。 例
f( x, y) x
第五节 二元函数的极值
一. 二元函数的极值 定义4.7 设函数 zf( x ,y )在点 P(x0, y0)某邻域内有定义,
对于该邻域内任一点 ( x , y ) , 若恒有不等式
1 ). f ( x , y ) f ( x , y )则称该函数在点 P 处有极大值 f (x0, y0) 0 0
A 12 , B 0 , C 6
5
B2 AC 3 ,2 )31 72 0 A0 , 有极大值 f(
步骤：
求函数
zf(x ,y )极值的方法和步骤.
fy ( 1 ) 求 f x，
（2）求出驻点( x0 , y0 ) （3）求出在驻点( x0 , y0 )处对应的二阶偏导数值A,B,C
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二元函数的极值点
二元函数的极值点是指这个函数在某一点上取得最大值或最小值的点。
要求二元函数的极值点,需要先求出这个函数的偏导数。
如果函数是连续的,那么它的极值点就是它的偏导数为 0 的点。
如果这个函数是可微的,那么这个函数的极值点就是它的偏导数为 0 或者不存在的点。
求出了偏导数之后,就可以用二元函数的一阶条件来判断这个点是极大值点还是极小值点。
具体来说,如果二元函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处的偏导数为 0,那么如果二元函数的海森矩阵 H(x0, y0) 在这个点处的行列式大于 0,那么这个点就是极小值点；如果行列式小于 0,那么这个点就是极大值点；如果行列式等于 0,那么这个点可能是极值点,也可能不是。