椭圆的标准方程经典例题和练习
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析)
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《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3331-=e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,4112===ax y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭⎫⎝⎛594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列.(1)求证821=+x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知:ac x ca AF =-12, ∴ 11545x ex a AF -=-=. 同理 2545x CF -=.∵ BF CF AF 2=+,且59=BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,即 821=+x x .(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-.将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT.典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=, 112212x ex a MF +=+=.∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x .解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在. 说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设()θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-. 所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点()62-,; (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,在得方程13714822=+y x 后,不能依此写出另一方程13714822=+x y . 解:(1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y .由已知b a 2=. ①又过点()62-,,因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba . ② 由①、②,得1482=a ,372=b 或522=a ,132=b .故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y . (2)设方程为12222=+b y a x .由已知,3=c ,3==c b ,所以182=a .故所求方程为191822=+y x . 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y .典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23=e ,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ,其中0>>b a 待定.由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-. 如果21<b ,则当b y -=时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾.因此必有21≥b 成立,于是当21-=y 时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()34722+=b,可得1=b ,2=a .∴所求椭圆方程是11422=+y x . 由21-=y 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离为d ,则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ,即21<b ,则当1sin -=θ时,2d (从而d )有最大值.由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾,因此必有121≤b成立. 于是当b21sin -=θ时2d (从而d )有最大值. 由题设知()34722+=b,∴1=b ,2=a .∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x .由21sin -=θ,23cos ±=θ,可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,.典型例题十一例11 设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.设m x y x =++222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222=+,得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆,其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x =++222,则 ()1122+=++m y x它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为()11->+m m .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11=+m ,此时0=m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41=+m ,∴15=m .∴x y x 222++的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ',求证:不论a 、b 如何变化,120≠∠APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使 120=∠A Q B ,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x ≤,b y ≤,根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ,将22222y ba a x -=代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y ≤列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设()0,c F ,()0,a A -,()0,a B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222, 于是()a c a b k AP+=2,()a c ab k BP -=2.∵APB ∠是AP 到BP 的角.∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB . (2)设()y x Q ,,则a x y k QA +=,ax y k QB -=. 由于对称性,不妨设0>y ,于是AQB ∠是QA 到QB 的角.∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB , ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y , ∴2232c ab y = ∵b y ≤, ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤,()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ,044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e (舍),∴136<≤e .典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=. 由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅. ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ,求P 点坐标.分析:利用参数α与POx ∠之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(ααP ,由P 与x 轴正向所成角为3π, ∴ααπcos 4sin 323tan=,即2tan =α.而0sin >α,0cos >α,由此得到55cos =α,552sin =α, ∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex a r +=,02ex a r -=. 分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=:的距离,ca x PQ 20+=,由椭圆第二定义,e PQPF =1,∴01ex a PQ e r +==,由椭圆第一定义,0122ex a r a r -=-=.说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程; (2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九 例19 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且︒=∠6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P (01>y ). 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,化简可得03233212121=--+c cy y x .又1221221=+by a x ,两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ,由],0(1b y ∈,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF ∆的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF +=,12ex a PF -=,在21F PF ∆中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x -∈,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF ∆的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221=+求解.解:(法1)设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,则11ex a PF +=,12ex a PF -=. 在21F PF ∆中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒, 解得2222134ea c x -=. (1)∵],0(221a x ∈,∴2222340a ea c <-≤,即0422≥-a c . ∴21≥=a c e . 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e .(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =,即cb y 321=.∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆. 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF =1,n PF =2,α=∠12FPF ,β=∠21F PF , 则︒=+120βα.(1)在21F PF ∆中,由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα. ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα,∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα.当且仅当βα=时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e .(2)在21F PF ∆中,由余弦定理得:︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即22234)(34b c a mn =-=. ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆. 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF +的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-ba b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?。
(完整)椭圆经典例题答案版
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椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值.分析:把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系222c b a +=可求出m 的值.解:方程变形为12622=+m y x .因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2262=-m ,5=m 适合.故5=m .例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03,P ,b a 3=,求椭圆的标准方程.分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,求出参数a 和b (或2a 和2b )的值,即可求得椭圆的标准方程.解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a by a x .由椭圆过点()03,P ,知10922=+b a .又b a 3=,代入得12=b ,92=a ,故椭圆的方程为1922=+y x .当焦点在y 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a bx a y .由椭圆过点()03,P ,知10922=+b a .又b a 3=,联立解得812=a ,92=b ,故椭圆的方程为198122=+x y .例3 ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.分析:(1)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解.(2)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程.解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,故其方程为()013610022≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点). 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和352,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为1F 、2F ,且3541=PF ,3522=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12F PFRt ∆中,21sin 1221==∠PF PF F PF , 可求出621π=∠F PF ,3526cos21=⋅=πPF c ,从而310222=-=c a b .∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x . 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示). 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 21=∆求面积.解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知: 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.① 由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则-①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =. 例 6 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式.解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点,即定点()03,-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径,即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程:171622=+y x . 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.例7 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程;(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;(4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④,③,②,①,y y y x x x y x y x 222222212122222121①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x .由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx .⑤(1)将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为: 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,0342=-+y x 为所求. (2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .(椭圆内部分) (3)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 022222=--+y x y x .(椭圆内部分)(4)由①+②得 : ()2222212221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧, 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x , 即 12122=+y x . 此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x , 即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221m x x -=+,51221-=m x x .根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =.说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式∆;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.解:如图所示,椭圆131222=+y x 的焦点为()031,-F ,()032,F .点1F 关于直线09=+-y x l :的对称点F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的方程为032=-+y x .解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4).此时21MF MF +最小.所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ,∴()3635322222=-=-=c a b .因此,所求椭圆的方程为1364522=+y x . 例10 已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k .说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ,故k 的取值范围是53<<k .出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆.例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围.解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈.说明:(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1>-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,αsin 12=b . (3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0.例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程. 分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,可设其方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.解:设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ).由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ,51=n .故所求的椭圆方程为151522=+y x .例13 知圆122=+y x ,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹.分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹. 解:设点M 的坐标为),(y x ,点P 的坐标为),(00y x ,则2x x =,0y y =. 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x .将x x 20=,y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x .说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的坐标为),(y x ,设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ,然后根据题目要求,使x ,y 与0x ,0y 建立等式关系, 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x ,y 的方程, 化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.例14 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.分析:可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y . 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根,所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB .(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122.在21F AF ∆中,3cos 22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ; 所以346-=m .同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB . (法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=.例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为A .4 B .2 C .8 D .23解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为2F ,由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ,所以82101012=-=-=MF MF ,又因为ON 为21F MF ∆的中位线,所以4212==MF ON ,故答案为A . 说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即a MF MF 221=+,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.例16 已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解:(法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点.∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41.由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
椭圆的标准方程例题与练习题
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1.下列说法正确的是( )A. 已知12(4,0),(4,0)F F -,到1F ,2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.B. 已知12(4,0),(4,0)F F -,到1F ,2F 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.C. 已知12(4,0),(4,0)F F -,到1F ,2F 两点的距离之和等于点M 5,3()到1F ,2F两点距离的和的点的轨迹是椭圆.D. 到12(4,0),(4,0)F F -距离相等的点的轨迹是椭圆.2.焦点在坐标轴上,且2213,12a c ==的椭圆的标准方程为( )A.2211312xy+= B.2211325xy+=或2212513xy+=C.22113xy+= D.22113xy+=或22113yx +=3.已知椭圆221169xy+=,若经过一个焦点1F ,且斜率存在的直线与其交于A,B 两点,求2F A B 的周长(2F 为另一个焦点)4.设焦点在x轴上,且经过点A 和点(2,3)B ,求椭圆的标准方程。
5.求焦点在坐标轴上,且经过点2)A -和点(B -两点的椭圆的标准方程。
6.在A B C 中,24B C =,,A C A B 边上的中线之和为39求A B C 的重心的轨迹方程。
1.已知椭圆2212516xy+=上一点P 到椭圆的一个焦点的距离是3,则P 到另一个焦点的距离是( ) A . 2 B. 3 C. 5 D. 72.已知椭圆的两焦点12(2,0),(2,0)F F -,P 为椭圆上的一点,且12F F 是1F P 与2P F 的等差中项,该椭圆的标准方程是( ) A.2211216xy+= B.2211612xy+= C.221416xy+= D.221412xy+=3.若椭圆经过点(4,0),3b -=,其焦点在x 轴上,则该椭圆的标准方程是( )A.221169xy+= B.221916xy+=C.2212516xy+= D.2211625xy+=4.求与椭圆22162xy+=有相同焦点,且经过点(2,A 的椭圆的标准方程。
(完整word版)椭圆的方程练习题
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(完整word版)椭圆的方程练习题椭圆的方程练题
1. 根据椭圆的定义,椭圆是平面上到两个定点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆的标准方程可以表示为:
其中,(h, k)是椭圆的中心坐标,a是椭圆长半轴的长度,b是椭圆短半轴的长度。
2. 练题一:
已知椭圆的中心坐标为(2, 3),长半轴的长度为4,短半轴的长度为2。
求解该椭圆的方程。
解答:
根据标准椭圆方程的形式,代入已知条件可以得到方程:
即:
3. 练题二:
已知椭圆的方程为:
求解该椭圆的中心坐标以及长半轴和短半轴的长度。
解答:
根据标准椭圆方程的形式,可以得到椭圆的中心坐标为(1, 4),长半轴的长度为3,短半轴的长度为4。
4. 练题三:
已知椭圆的中心坐标为(-2, 5),长半轴与短半轴的比值为2。
求解该椭圆的方程。
解答:
假设长半轴的长度为a,短半轴的长度为b,则b/a=1/2。
代入标准椭圆方程可以得到方程:
即:。
椭圆的标准方程(综合练习)
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( x 2) 4 y 4
2
2
2、求过椭圆 x2 + 4y2 = 16 上一点P(4,0)所 引椭圆的弦的中点轨迹方程。 解法二:设弦的另一点P1(x1,y1),中点M(x,y)
2 x x1 4 则 2 y y1
x1 2( x 2) 2 2 把 代入x1 4 y1 16 y1 2 y 得所求轨迹方程为
c2=a2-b2
一、椭圆定义的应用
例1、已知动圆M过定点A(3,0),并且在
2 2
定义法
定圆B : ( x 3) y 64的内部与其相内切, 求动圆的圆心 M的轨迹方程。
解:依题意得: | BT | 8
T ( 8 | AB |) | MA | | MB | 8
由椭圆的定义知,点M的轨迹以A, B为焦点,
( x 2) 4 y 4
2
2
关于二次曲线弦的中点轨迹问题小结:
• 在求二次曲线弦的中点轨迹时,通常解法是把直线 方程代入二次曲线方程,得到一个一元二次方程, 然后求根或利用韦达定理来解,这方法比较麻烦。 下面所用的方法简便,其一般步骤如下: • 设弦的两端点为P1(x1 , y1)、P2(x 2, y2),其中点为 P(x , y),则 (x1, y1)、(x2 , y2)满足所给的曲线方程,且有 2x= x1 + x2 , 2y = y1+ y2 . • 利用熟知的乘法公式、斜率公式等,结合题设条件, 把 x1 , y1,x2 , y2 消去,得出 x、y 满足的关系式,即 为所求的轨迹方程。
2 2 x1 4 y1 16 2 2 x2 4 y2 16
y1 y 2 y k x1 x 2 x2
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析]
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《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b ,椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a ,椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3331-=e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112aa x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,4112===a x y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭⎫⎝⎛594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列.(1)求证821=+x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知:ac x ca AF =-12, ∴ 11545x ex a AF -=-=. 同理 2545x CF -=. ∵ BF CF AF 2=+,且59=BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,即 821=+x x .(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-. 将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT.典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=,112212x ex a MF +=+=.∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x .解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在. 说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设()θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-.所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点()62-,;(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,在得方程13714822=+y x 后,不能依此写出另一方程13714822=+x y . 解:(1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y .由已知b a 2=. ①又过点()62-,,因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba . ② 由①、②,得1482=a ,372=b 或522=a ,132=b .故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y . (2)设方程为12222=+b y a x .由已知,3=c ,3==c b ,所以182=a .故所求方程为191822=+y x . 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y .典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23=e ,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ,其中0>>b a 待定.由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-. 如果21<b ,则当b y -=时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾.因此必有21≥b 成立,于是当21-=y 时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()34722+=b ,可得1=b ,2=a .∴所求椭圆方程是11422=+y x . 由21-=y 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离为d ,则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ,即21<b ,则当1sin -=θ时,2d (从而d )有最大值.由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾,因此必有121≤b成立. 于是当b21sin -=θ时2d (从而d )有最大值. 由题设知()34722+=b ,∴1=b ,2=a .∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x .由21sin -=θ,23cos ±=θ,可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,.典型例题十一例11 设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.设m x y x =++222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222=+,得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆,其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x =++222,则 ()1122+=++m y x它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为()11->+m m .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11=+m ,此时0=m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41=+m ,∴15=m .∴x y x 222++的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ',求证:不论a 、b 如何变化,120≠∠APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使 120=∠AQB ,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x ≤,b y ≤,根据120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ,将22222y b a a x -=代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y ≤列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设()0,c F ,()0,a A -,()0,a B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222, 于是()a c a b k AP+=2,()a c ab k BP -=2.∵APB ∠是AP 到BP 的角.∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB . (2)设()y x Q ,,则a x y k QA +=,ax y k QB -=. 由于对称性,不妨设0>y ,于是AQB ∠是QA 到QB 的角.∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB , ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y , ∴2232c ab y = ∵b y ≤, ∴b cab ≤2232 232c ab ≤,()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ,044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e (舍),∴136<≤e .典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=. 由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅.∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ,求P 点坐标.分析:利用参数α与POx ∠之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(ααP ,由P 与x 轴正向所成角为3π, ∴ααπcos 4sin 323tan=,即2tan =α.而0sin >α,0cos >α,由此得到55cos =α,552sin =α, ∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex a r +=,02ex a r -=. 分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=:的距离,ca x PQ 20+=,由椭圆第二定义,e PQPF =1,∴01ex a PQ e r +==,由椭圆第一定义,0122ex a r a r -=-=.说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程; (2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九例19 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且︒=∠6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P (01>y ). 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,化简可得03233212121=--+c cy y x .又1221221=+by a x ,两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ,由],0(1b y ∈,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF ∆的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF +=,12ex a PF -=,在21F PF∆中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x -∈,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF ∆的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221=+求解.解:(法1)设椭圆方程为12222=+by a x (0>>b a ),),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,则11ex a PF +=,12ex a PF -=. 在21F PF ∆中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒, 解得2222134ea c x -=. (1)∵],0(221a x ∈,∴2222340a ea c <-≤,即0422≥-a c . ∴21≥=a c e . 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e .(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =,即cb y 321=.∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆. 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF =1,n PF =2,α=∠12F PF,β=∠21F PF , 则︒=+120βα.(1)在21F PF ∆中,由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα. ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα ∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα, ∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα.当且仅当βα=时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e .(2)在21F PF ∆中,由余弦定理得:︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+= ∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即22234)(34b c a mn =-=. ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆. 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF +的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-ba b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?。
椭圆经典例题(带答案-适用于基础性巩固)
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椭圆标准方程典型例题(参考答案)例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值.解:方程变形为12622=+my x .因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2262=-m ,5=m 适合.故5=m .例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03,P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a by a x .由椭圆过点()03,P ,知10922=+b a .又b a 3=,代入得12=b ,92=a ,故椭圆的方程为1922=+y x . 当焦点在y 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a bx a y .由椭圆过点()03,P ,知10922=+ba .又b a 3=,联立解得812=a ,92=b ,故椭圆的方程为198122=+x y . 例3 ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,故其方程为()013610022≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和352,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为1F 、2F ,且3541=PF ,3522=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12FPF Rt ∆中,21sin 1221==∠PF PF F PF ,可求出621π=∠F PF ,3526cos21=⋅=πPF c ,从而310222=-=c a b .∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x . 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示).解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知: 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.①由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则-①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =. 例6 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程. 解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点,即定点()03,-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程:171622=+y x . 例7 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④,③,②,①,y y y x x x y x y x 222222212122222121①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x . 由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx .⑤(1)将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为: 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,0342=-+y x 为所求. (2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .(椭圆内部分)(3)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 022222=--+y x y x .(椭圆内部分)(4)由①+②得 :()2222212221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧, 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x , 即 12122=+y x . 例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=.(1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x , 即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221m x x -=+,51221-=m x x .根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =. 例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.解:如图所示,椭圆131222=+y x 的焦点为()031,-F ,()032,F . 点1F 关于直线09=+-y x l :的对称点F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的方程为032=-+y x . 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4).此时21MF MF +最小.所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ,∴()3635322222=-=-=c a b .因此,所求椭圆的方程为1364522=+y x . 例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k .例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈. 例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程.解:设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ).由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ,51=n .故所求的椭圆方程为151522=+y x . 例13 知圆122=+y x ,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹. 解:设点M 的坐标为),(y x ,点P 的坐标为),(00y x ,则2x x =,0y y =. 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x .将x x 20=,y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x . 例14 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y . 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根,所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB . (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122. 在21F AF ∆中,3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ; 所以346-=m .同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB .(法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=.例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为A .4 B .2 C .8 D .23解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为2F ,由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ,所以82101012=-=-=MF MF ,又因为ON 为21F MF ∆的中位线,所以4212==MF ON ,故答案为A . 例16 在面积为1的PMN ∆中,21tan =M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程.解:以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P .则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y cx 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,134********b a b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a∴所求椭圆方程为1315422=+y x例17 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程. 解:方法一:设所求直线方程为)4(2-=-x k y .代入椭圆方程,整理得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是①的两根,∴14)24(8221+-=+k k k x x∵)2,4(P 为AB 中点,∴14)24(424221+-=+=k k k x x ,21-=k .∴所求直线方程为082=-+y x . 方法二:设直线与椭圆交点),(11y x A ,),(22y x B .∵)2,4(P 为AB 中点,∴821=+x x ,421=+y y . 又∵A ,B 在椭圆上,∴3642121=+y x ,3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x , 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x .∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y .∴直线方程为082=-+y x .方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ,另一个交点)4,8(y x B --.∵A 、B 在椭圆上,∴36422=+y x ①。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
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《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3331-=e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,4112===ax y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭⎫⎝⎛594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列.(1)求证821=+x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知:ac x ca AF =-12, ∴ 11545x ex a AF -=-=. 同理 2545x CF -=.∵ BF CF AF 2=+,且59=BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,即 821=+x x .(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-.将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT.典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=, 112212x ex a MF +=+=.∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x .解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在. 说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设()θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-. 所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点()62-,; (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,在得方程13714822=+y x 后,不能依此写出另一方程13714822=+x y . 解:(1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y .由已知b a 2=. ①又过点()62-,,因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba . ② 由①、②,得1482=a ,372=b 或522=a ,132=b .故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y . (2)设方程为12222=+b y a x .由已知,3=c ,3==c b ,所以182=a .故所求方程为191822=+y x . 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y .典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23=e ,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ,其中0>>b a 待定.由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-. 如果21<b ,则当b y -=时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾.因此必有21≥b 成立,于是当21-=y 时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()34722+=b,可得1=b ,2=a .∴所求椭圆方程是11422=+y x . 由21-=y 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离为d ,则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ,即21<b ,则当1sin -=θ时,2d (从而d )有最大值.由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾,因此必有121≤b成立. 于是当b21sin -=θ时2d (从而d )有最大值. 由题设知()34722+=b,∴1=b ,2=a .∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x .由21sin -=θ,23cos ±=θ,可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,.典型例题十一例11 设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.设m x y x =++222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222=+,得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆,其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x =++222,则 ()1122+=++m y x它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为()11->+m m .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11=+m ,此时0=m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41=+m ,∴15=m .∴x y x 222++的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ',求证:不论a 、b 如何变化,120≠∠APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使 120=∠AQB ,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x ≤,b y ≤,根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ,将22222y ba a x -=代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y ≤列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设()0,c F ,()0,a A -,()0,a B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222, 于是()a c a b k AP+=2,()a c ab k BP -=2.∵APB ∠是AP 到BP 的角.∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB . (2)设()y x Q ,,则a x y k QA +=,ax y k QB -=. 由于对称性,不妨设0>y ,于是AQB ∠是QA 到QB 的角.∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB , ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y , ∴2232c ab y = ∵b y ≤, ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤,()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ,044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e (舍),∴136<≤e .典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=. 由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅. ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ,求P 点坐标.分析:利用参数α与POx ∠之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(ααP ,由P 与x 轴正向所成角为3π, ∴ααπcos 4sin 323tan=,即2tan =α.而0sin >α,0cos >α,由此得到55cos =α,552sin =α, ∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex a r +=,02ex a r -=. 分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=:的距离,ca x PQ 20+=,由椭圆第二定义,e PQPF =1,∴01ex a PQ e r +==,由椭圆第一定义,0122ex a r a r -=-=.说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程; (2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九 例19 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且︒=∠6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P (01>y ). 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,化简可得03233212121=--+c cy y x .又1221221=+by a x ,两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ,由],0(1b y ∈,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF ∆的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF +=,12ex a PF -=,在21F PF ∆中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x -∈,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF ∆的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221=+求解.解:(法1)设椭圆方程为12222=+by a x (0>>b a ),),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,则11ex a PF +=,12ex a PF -=. 在21F PF ∆中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒, 解得2222134ea c x -=. (1)∵],0(221a x ∈,∴2222340a ea c <-≤,即0422≥-a c . ∴21≥=a c e . 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e .(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =,即cb y 321=.∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆. 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF =1,n PF =2,α=∠12FPF ,β=∠21F PF , 则︒=+120βα.(1)在21F PF ∆中,由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα. ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα,∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα.当且仅当βα=时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e .(2)在21F PF ∆中,由余弦定理得:︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即22234)(34b c a mn =-=. ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆. 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF +的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-ba b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?。
《椭圆》方程典型例题20例(含实用标准问题详解)
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《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3331-=e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,4112===ax y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭⎫⎝⎛594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列.(1)求证821=+x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知:ac x ca AF =-12, ∴ 11545x ex a AF -=-=.同理 2545x CF -=.∵ BF CF AF 2=+,且59=BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,即 821=+x x .(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-.将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT.典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=, 112212x ex a MF +=+=.∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x .解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在. 说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设()θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-. 所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点()62-,; (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,在得方程13714822=+y x 后,不能依此写出另一方程13714822=+x y .解:(1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y .由已知b a 2=. ①又过点()62-,,因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba . ② 由①、②,得1482=a ,372=b 或522=a ,132=b .故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y .(2)设方程为12222=+b y a x .由已知,3=c ,3==c b ,所以182=a .故所求方程为191822=+y x . 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y .典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23=e ,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ,其中0>>b a 待定.由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-. 如果21<b ,则当b y -=时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾.因此必有21≥b 成立,于是当21-=y 时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()34722+=b,可得1=b ,2=a .∴所求椭圆方程是11422=+y x . 由21-=y 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离为d ,则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ,即21<b ,则当1sin -=θ时,2d (从而d )有最大值.由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾,因此必有121≤b成立. 于是当b21sin -=θ时2d (从而d )有最大值. 由题设知()34722+=b,∴1=b ,2=a .∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x .由21sin -=θ,23cos ±=θ,可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,.典型例题十一例11 设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.设m x y x =++222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222=+,得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆,其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x =++222,则 ()1122+=++m y x它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为()11->+m m .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11=+m ,此时0=m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41=+m ,∴15=m .∴x y x 222++的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ',求证:不论a 、b 如何变化,120≠∠APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使 120=∠A Q B ,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x ≤,b y ≤,根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ,将22222y ba a x -=代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y ≤列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设()0,c F ,()0,a A -,()0,a B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222, 于是()a c a b k AP+=2,()a c ab k BP -=2.∵APB ∠是AP 到BP 的角.∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB . (2)设()y x Q ,,则a x y k QA +=,ax y k QB -=. 由于对称性,不妨设0>y ,于是AQB ∠是QA 到QB 的角.∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB , ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y , ∴2232c ab y = ∵b y ≤, ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤,()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ,044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e (舍),∴136<≤e .典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=. 由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅. ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ,求P 点坐标.分析:利用参数α与POx ∠之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(ααP ,由P 与x 轴正向所成角为3π, ∴ααπcos 4sin 323tan=,即2tan =α.而0sin >α,0cos >α,由此得到55cos =α,552sin =α, ∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex a r +=,02ex a r -=. 分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=:的距离,ca x PQ 20+=,由椭圆第二定义,e PQPF =1,∴01ex a PQ e r +==,由椭圆第一定义,0122ex a r a r -=-=.说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程; (2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九 例19 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且︒=∠6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P (01>y ). 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,化简可得03233212121=--+c cy y x .又1221221=+by a x ,两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ,由],0(1b y ∈,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF ∆的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF +=,12ex a PF -=,在21F PF ∆中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x -∈,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF ∆的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221=+求解.解:(法1)设椭圆方程为12222=+by a x (0>>b a ),),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,则11ex a PF +=,12ex a PF -=. 在21F PF ∆中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒, 解得2222134ea c x -=. (1)∵],0(221a x ∈,∴2222340a ea c <-≤,即0422≥-a c . ∴21≥=a c e . 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e .(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =,即cb y 321=.∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆. 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF =1,n PF =2,α=∠12FPF ,β=∠21F PF , 则︒=+120βα.(1)在21F PF ∆中,由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα. ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα,∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα.当且仅当βα=时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e .(2)在21F PF ∆中,由余弦定理得:︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即22234)(34b c a mn =-=.∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆. 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF +的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-b a b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?。
椭圆经典例题(带答案-适用于基础性巩固)
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椭圆标准方程典型例题(参考答案)例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值.解:方程变形为12622=+my x .因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2262=-m ,5=m 适合.故5=m .例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03,P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a by a x .由椭圆过点()03,P ,知10922=+b a .又b a 3=,代入得12=b ,92=a ,故椭圆的方程为1922=+y x . 当焦点在y 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a bx a y .由椭圆过点()03,P ,知10922=+ba .又b a 3=,联立解得812=a ,92=b ,故椭圆的方程为198122=+x y . 例3 ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,故其方程为()013610022≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和352,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为1F 、2F ,且3541=PF ,3522=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12FPF Rt ∆中,21sin 1221==∠PF PF F PF ,可求出621π=∠F PF ,3526cos21=⋅=πPF c ,从而310222=-=c a b .∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x . 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示).解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知: 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.①由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则-①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =. 例6 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程. 解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点,即定点()03,-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程:171622=+y x . 例7 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④,③,②,①,y y y x x x y x y x 222222212122222121①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x . 由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx .⑤(1)将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为: 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,0342=-+y x 为所求. (2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .(椭圆内部分)(3)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 022222=--+y x y x .(椭圆内部分)(4)由①+②得 :()2222212221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧, 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x , 即 12122=+y x . 例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=.(1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x , 即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221m x x -=+,51221-=m x x .根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =. 例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.解:如图所示,椭圆131222=+y x 的焦点为()031,-F ,()032,F . 点1F 关于直线09=+-y x l :的对称点F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的方程为032=-+y x . 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4).此时21MF MF +最小.所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ,∴()3635322222=-=-=c a b .因此,所求椭圆的方程为1364522=+y x . 例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k .例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈. 例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程.解:设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ).由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ,51=n .故所求的椭圆方程为151522=+y x . 例13 知圆122=+y x ,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹. 解:设点M 的坐标为),(y x ,点P 的坐标为),(00y x ,则2x x =,0y y =. 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x .将x x 20=,y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x . 例14 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y . 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根,所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB . (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122. 在21F AF ∆中,3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ; 所以346-=m .同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB .(法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=.例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为A .4 B .2 C .8 D .23解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为2F ,由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ,所以82101012=-=-=MF MF ,又因为ON 为21F MF ∆的中位线,所以4212==MF ON ,故答案为A . 例16 在面积为1的PMN ∆中,21tan =M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程.解:以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P .则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y cx 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,134********b a b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a∴所求椭圆方程为1315422=+y x例17 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程. 解:方法一:设所求直线方程为)4(2-=-x k y .代入椭圆方程,整理得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是①的两根,∴14)24(8221+-=+k k k x x∵)2,4(P 为AB 中点,∴14)24(424221+-=+=k k k x x ,21-=k .∴所求直线方程为082=-+y x . 方法二:设直线与椭圆交点),(11y x A ,),(22y x B .∵)2,4(P 为AB 中点,∴821=+x x ,421=+y y . 又∵A ,B 在椭圆上,∴3642121=+y x ,3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x , 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x .∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y .∴直线方程为082=-+y x .方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ,另一个交点)4,8(y x B --.∵A 、B 在椭圆上,∴36422=+y x ①。
人教A版高中数学选择性必修第一册3.1椭圆 经典例题及配套练习题
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3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(−2,0),(2,0),并且经过点(52,−32),求它的标准方程.解:由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).由椭圆的定义知c=2,2a=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10,所以a=√10,所以b2=a2−c2=10−4=6.所以,所求椭圆的标准方程为x2 10+y26=1.例2 如图3.1-5,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?图3.1-5分析:点P在圆x2+y2=4上运动,点P的运动引起点M运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式,并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程.解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则点D的坐标为(x0,0),由点M是线段PD的中点,得x=x0,y=y02.因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4.①把x0=x,y0=2y代入方程①,得x2+4y2=4,即x24+y2=1.所以点M的轨迹是椭圆.例3如图3.1-6,设A,B两点的坐标分别为(−5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是−49,求点M的轨迹方程.图3.1-6分析:设点M的坐标为(x,y),那么直线AM,BM的斜率就可用含x,y的关系式分别表示.由直线AM,BM的斜率之积是−49,可得出x,y之间的关系式,进而得到点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(−5,0),所以直线AM的斜率k AM=yx:5(x≠−5).同理,直线BM的斜率k BM=yx;5(x≠5).由已知,有y x:5×yx;5=−49(x≠±5),化简,得点M的轨迹方程为x2 25+y21009=1(x≠±5).点M的轨迹是除去(−5,0),(5,0)两点的椭圆.练习1.如果椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6,则点P到另一个焦点F2的距离为____【答案】14【分析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a及椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6,可得PF2的长.【详解】解:根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,又椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6,∴6+|PF2|=20,故|PF2|=14,2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)a=4,b=1,焦点在x轴上;(2)a=4,c=√15,焦点在y轴上;(3)a+b=10,c=2√5.【答案】(1)x216+y2=1;(2)y216+x2=1;(3)x236+y216=1或y236+x216=1.【分析】(1)根据已知直接得出方程;(2)根据已知求得b,即可得出方程;(3)由已知联立求得a,b即可得出方程.【详解】(1)a=4,b=1,焦点在x轴上的椭圆方程为x216+y2=1;(2)由a=4,c=√15可得b2=a2−c2=1,又焦点在y轴上,所以标准方程为y216+x2=1;(3)联立{a+b=10 c=2√5a2=b2+c2,解得a=6,b=4,所以标准方程为x236+y216=1或y236+x216=1.3.已知经过椭圆x225+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.(1)求ΔAF1B的周长;(2)如果AB不垂直于x轴,ΔAF1B的周长有变化吗?为什么?【答案】(1)20;(2)不变,理由见解析【分析】根据椭圆的定义ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a求解.【详解】(1)由椭圆的定义得:|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,所以ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20.(2)不变,由椭圆的定义ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a.只受a的影响,不受AB与x轴的位置关系影响.4.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2,点M的轨迹是什么?为什么?【答案】点M的轨迹是直线x=−3,并去掉点(−3,0)【分析】设出点M的坐标,求出直线AM,BM斜率,由k AMk BM=2可求出.【详解】设点M的坐标为(x,y),则k AM=yx:1(x≠−1),k BM=yx;1(x≠1),当y≠0时,k AMk BM =x;1x:1=2,整理得x=−3(y≠0),所以点M的轨迹是直线x=−3,并去掉点(−3,0).3.1.2 椭圆的简单几何性质例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.解:把原方程化成标准方程,得x2 52+y242=1,于是a=5,b=4,c=√25−16=3.因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8,离心率e=ca =35,两个焦点坐标分别是F1(−3,0)和F2(3,0),四个顶点坐标分别是A1(−5,0),A2(5,0),B1(0,−4)和B2(0,4).练习5.你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗?你的依据是什么?【答案】能. 依据见解析.【分析】根据椭圆中a2=b2+c2的几何表示,即原点、焦点、短轴端点构成直角三角形,且体现a2=b2+c2求解.【详解】能.如图,以点B2(或B1)为圆心, |OA2|(或|OA1|)为半径画圆弧,与x轴交于点F1,F2,则点F1,F2就是椭圆的两个焦点.依据:因为在Rt△B2OF2中,|OB2|=b,|B2F2|=|OA2|=a,所以|OF2|=c,同理有|OF1|=c.6.求下列椭圆的焦点坐标:(1)x2100+y236=1;(2)2x2+y2=8.【答案】(1)(8,0)和(−8,0);(2)(0,2)和(0,−2)【分析】由椭圆方程得到a2,b2,根据c2=a2−b2求出c,即可得解;【详解】解:(1)因为椭圆方程为x2100+y236=1,焦点在x轴,所以a2=100,b2=36,因为c2=a2−b2,即c=√a2−b2=√100−36=8,所以椭圆的焦点坐标为(8,0)和(−8,0)(2)因为2x2+y2=8,所以y28+x24=1,焦点在y轴,所以a2=8,b2=4,因为c2=a2−b2,即c=√a2−b2=√8−4=2,所以椭圆的焦点坐标为(0,2)和(0,−2) 7.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在x轴上,a=6,e=;(2)焦点在y轴上,c=3,e=.【答案】(1)x236+y232=1(2)y225+x216=1【详解】试题分析:(1)由离心率公式,求得c,再由a,b,c的关系,求得b,即可得到椭圆方程;(2)由离心率公式,求得a,再由a,b,c的关系,求得b,即可得到椭圆方程试题解析:(1)a=6,e=,即,解得c=2,b2=a2﹣c2=32,则椭圆的标准方程为:=1;(2)c=3,e=,即,解得,a=5,b2=a2﹣c2=25﹣9=16.则椭圆的标准方程为:=1.8.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过P(−3,0),Q(0,−2)两点;(2)长轴长等于20,离心率等于35.【答案】(1)x 29+y 24=1 (2)x 2100+y 264=1或y 2100+x 264=1.【分析】(1)设出椭圆方程,根据椭圆经过点A (−3,0),B (0,−2),得出{a =3b =2 ,代入方程即可.(2)由条件可得{2a =20c a =35 ,则可得{a =10c =6b =8 ,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可. 【详解】解:(1)设椭圆方程为:x 2a 2+y 2b 2=1,因为椭圆经过点A (−3,0),B (0,−2), A (−3,0),B (0,−2)分别为左顶点和下顶点, 所以得{a =3b =2,所以椭圆标准方程为x 29+y 24=1.(2)椭圆的长轴长等于20, 离心率等于35依题意: {2a =20c a =35 ,所以{a =10c =6,由b 2=a 2−c 2=64,即b =8所以椭圆标准方程为:x 2100+y 264=1或y 2100+x 264=1.9.比较下列每组中椭圆的形状,哪一个更接近于圆?为什么? (1)9x 2+y 2=36与x 216+y 212=1;(2)x 2+9y 2=36与x 26+y 210=1. 【答案】(1)x 216+y 212=1更接近于圆;(2)x 26+y 210=1更接近于圆.【分析】探究可得离心率e 越大,椭圆越扁;e 越小,椭圆越圆. 所以只需比较离心率的大小即可得出结果.【详解】因为椭圆的离心率e =ca =√1−(b a )2,所以e 越大,ba 越小,椭圆越扁;e 越小,ba 越大,椭圆越圆. (1)椭圆9x 2+y 2=36即x 24+y 236=1,其离心率e 1=√1−436=2√23,椭圆x 216+y 212=1的离心率e 2=√1−1216=12,因为e 2<e 1,所以椭圆x 216+y 212=1更接近于圆; (2)椭圆x 2+9y 2=36即x 236+y 24=1,其离心率e 3=√1−436=2√23,椭圆x 26+y 210=1的离心率e 4=√1−610=√105,因为e4<e3,所以椭圆x26+y210=1更接近于圆.例5 如图3.1-11,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm.试建立适当的平面直角坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1cm).图3.1-11解:建立如图3.1-11所示的平面直角坐标系,设所求椭圆方程为x2 a2+y2b2=1(a>b>0).在Rt△BF1F2中,|F2B|=√|F1B|2+|F1F2|2=√2.82+4.52.由椭圆的性质知,|F1B|+|F2B|=2a,所以a=12(|F1B|+|F2B|)=12(2.8+√2.82+4.52)≈4.1;b=√a2−c2=√4.12−2.252≈3.4.所以,所求的椭圆方程为x2 4.12+y23⋅42=1.例6 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=254的距离的比是常数45,求动点M的轨迹.解:如图3.1-12,设d是点M到直线l:x=254的距离,根据题意,动点M的轨迹就是集合。
椭圆的标准方程典型例题
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典型例题一例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值.分析:把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系222c b a +=可求出m 的值.解:方程变形为12622=+my x . 因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2262=-m ,5=m 适合.故5=m .典型例题二例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03,P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,求出参数a 和b (或2a 和2b )的值,即可求得椭圆的标准方程.解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a b y a x .由椭圆过点()03,P ,知10922=+ba .又b a 3=,代入得12=b ,92=a ,故椭圆的方程为1922=+y x . 当焦点在y 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a b x a y .由椭圆过点()03,P ,知10922=+ba .又b a 3=,联立解得812=a ,92=b ,故椭圆的方程为198122=+x y .典型例题三例3 ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A 的轨迹.分析:(1)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解.(2)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程.解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,故其方程为()013610022≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).典型例题四例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和352,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 分析:讨论椭圆方程的类型,根据题设求出a 和b (或2a 和2b )的值.从而求得椭圆方程.解:设两焦点为1F 、2F ,且3541=PF ,3522=PF . 从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a .从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴, 所以在12F PF Rt ∆中,21sin 1221==∠PF PF F PF ,可求出621π=∠F PF ,3526cos21=⋅=πPF c ,从而310222=-=c a b .∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x .典型例题五例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示).分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 21=∆求面积.解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,, 由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知: 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.①由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ② 则-①②2得αc o s12221+=⋅b PF PF .故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan2αb =.典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④,③,②,①,y y y x x x y x y x 222222212122222121①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x .由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx . ⑤(1)将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为 0342=-+y x . ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,故0342=-+y x 即为所求.(2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为:04=+y x .(椭圆内部分)(3)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为022222=--+y x y x .(椭圆内部分) (4)由①+②得()2222212221=+++y y x x , ⑦ 将③④平方并整理得212222124x x x x x -=+, ⑧ 212222124y y y y y -=+, ⑨ 将⑧⑨代入⑦得()224424212212=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x , 即 12122=+y x . 此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.典型例题七例7 已知动圆P 过定点()03,-A ,并且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式.解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P到两定点,即定点()03,-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径,即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程:171622=+y x . 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.典型例题八例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 分析:直线与椭圆有公共点,等价于它们的方程组成的方程组有解.因此,只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式.已知弦长,由弦长公式就可求出m .解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得()1422=++m x x ,即012522=-++m mx x .()()020*******22≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221mx x -=+,51221-=m x x . 根据弦长公式得51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m . 解得0=m .因此,所求直线的方程为x y =.说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式∆;解决弦长问题,一般应用弦长公式.用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.典型例题九例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,而这种类型的问题在初中就已经介绍过,只须利用对称的知识就可解决.解:如图所示,椭圆131222=+y x 的焦点为()031,-F ,()032,F .点1F 关于直线09=+-y x l :的对称点F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的方程为032=-+y x .解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4).此时21MF MF +最小.所求椭圆的长轴562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ,∴()3635322222=-=-=c a b .因此,所求椭圆的方程为1364522=+y x . 说明:解决本题的关键是利用椭圆的定义,将问题转化为在已知直线上求一点,使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小.典型例题十例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 分析:根据椭圆方程的特征求解.解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k .说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ,故k 的取值范围是53<<k .出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆.典型例题十一例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围.解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x . 因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈.说明:(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1>-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,αsin 12=b .(3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0.典型例题十二例2 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程.分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,可设其方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.解:设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ).由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ,51=n .故所求的椭圆方程为151522=+y x . 说明:此类题目中已存在直角坐标系,所以就不用建立直角坐标系了,但是这种题目一定要注意已知点和已知轨迹在坐标系中的位置关系.求椭圆的标准方程,一般是先定位(焦点位置),再定量(a ,b 的值),若椭圆的焦点位置确定,椭圆方程唯一;若椭圆的焦点位置不确定,既可能在x 轴,又可能在y 轴上,那么就分两种情况进行讨论.方法是待定系数法求椭圆的标准方程,求解时是分为根据椭圆的焦点在x 轴上或y 轴上确定方程的形式、根据题设条件列出关于待定系数a ,b 的方程组、解方程组求出a ,b 的值三个步骤,从而得到椭圆的标准方程.对此题而言,根据题目的要求不能判断出所求的椭圆焦点所在的坐标轴,那么就分情况讨论,这种方法解此题较繁.另一种方法直接设出椭圆的方程,而不强调焦点在哪一个坐标轴上,即不强调2x 和2y 的系数哪一个大,通过解题,解得几种情况就是几种情况.在求椭圆方程确定焦点在哪一坐标轴上的时候,可以根据焦点坐标,也可以根据准线方程.若不能确定焦点在哪一个坐标轴上,就用上述两种方法.典型例题十三例13 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长. 分析:此类题目是求弦长问题,这种题目方法很多,可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c . 又因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y .由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根, 所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB . (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则 m AF -=122,n BF -=122.在21F AF ∆中,3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ; 所以346-=m .同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB . (法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标.再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=. 说明:对于直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离,判断直线与椭圆的位置关系,可以利用直线方程与椭圆方程联立,看联立后方程解的个数:0<∆,无解则相离;0=∆,一解则相切;0>∆,两解则相交.直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题,直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦.典型例题十四例14 已知圆122=+y x ,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹.分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹.解:设点M 的坐标为),(y x ,点P 的坐标为),(00y x , 则20x x =,0y y =. 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x .将x x 20=,y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x .说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的坐标为),(y x ,设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ,然后根据题目要求,使x ,y 与0x ,0y 建立等式关系,从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x ,y 的方程,化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.这种题目还要注意题目的问法,是求“轨迹”还是求“轨迹方程”.若求轨迹方程,只要求出关于x ,y 的关系化简即可;若求轨迹,当求出轨迹方程后,还要说明由这种方程所确定的轨迹是什么.这在审题时要注意.典型例题十五例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为( )A .4B .2C .8D .23 解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为2F ,由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ,所以82101012=-=-=MF MF ,又因为ON 为21F MF∆的中位线,所以4212==MF ON ,故答案为A .说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即a MF MF 221=+,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.典型例题十六例16 已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围.解:(法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点.∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41. 由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ① ∴13821n x x =+. 于是1342210n x x x =+=,13124100n n x y =+-=, 即点M 的坐标为)1312,134(n n .∵点M 在直线m x y +=4上,∴m n n +⨯=1344. 解得m n 413-=. ② 将式②代入式①得048169261322=-++m mx x ③∵A ,B 是椭圆上的两点,∴0)48169(134)26(22>-⨯-=∆m m . 解得1313213132<<-m . (法2)同解法1得出m n 413-=,∴m m x -=-=)413(1340, m m m m x y 3413)(414134100-=--⨯-=--=,即M 点坐标为)3,(m m --. ∵A ,B 为椭圆上的两点,∴M 点在椭圆的内部, ∴13)3(4)(22<-+-m m . 解得1313213132<<-m . (法3)设),(11y x A ,),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点,直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x .∵A ,B 在椭圆上,∴1342121=+y x ,1342222=+y x . 两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ,即0)(24)(23210210=-⋅+-⋅y y y x x x . ∴)(4321002121x x y x x x y y ≠-=--. 又∵直线l AB ⊥,∴1-=⋅l AB k k ,∴144300-=⋅-y x , 即003x y = ①又M 点在直线l 上,∴m x y +=004 ②由①,②得M 点的坐标为)3,(m m --.以下同解法2.说明:涉及椭圆上两点A ,B 关于直线l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用以下方法列参数满足的不等式:(1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式0>∆,建立参数方程.(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部,0x ,0y 满足不等式12020<+by a x ,将0x ,0y 利用参数表示,建立参数不等式. 典型例题十七例17 在面积为1的PMN ∆中,21tan =M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程.分析:本题考查用待定系数法求椭圆方程及适当坐标系的建立.通过适当坐标系的建立,选择相应椭圆方程,再待定系数.适当坐标系的建立能达到简化问题的目的.解:以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P . 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x y c x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且 即)32,325(P ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,134********b a b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a ∴所求椭圆方程为1315422=+y x . 说明:适当坐标系的建立是处理好椭圆应用问题的关键.建立适当坐标系,需对题设所给图形进行观察、分析,做好数与形的结合,本题也可以以MN 的中点为原点,MN 所在直线为y 轴建立直角坐标系,再求椭圆方程.典型例题十八例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程. 分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x ),得到关于x (或y )的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出21x x +,21x x (或21y y +,21y y )的值代入计算即得.并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的.本题涉及到直线被椭圆截得弦的中点问题,也可采用点差法或中点坐标公式,运算会更为简便.解:方法一:设所求直线方程为)4(2-=-x k y .代入椭圆方程,整理得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是①的两根,∴14)24(8221+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点,∴14)24(424221+-=+=k k k x x ,21-=k . ∴所求直线方程为082=-+y x .方法二:设直线与椭圆交点),(11y x A ,),(22y x B .∵)2,4(P 为AB 中点,∴821=+x x ,421=+y y .又∵A ,B 在椭圆上,∴3642121=+y x ,3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ,即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x . ∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y . ∴所求直线方程为082=-+y x .方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ,另一个交点)4,8(y x B --. ∵A 、B 在椭圆上,∴36422=+y x ①36)4(4)8(22=-+-y x ②从而A ,B 在方程①-②的图形082=-+y x 上,而过A 、B 的直线只有一条, ∴所求直线方程为082=-+y x .说明:直线与圆锥曲线的位置关系是高考重点考查的解析几何问题,“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法.若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4,则如何求椭圆方程?。
(完整版)椭圆及其标准方程简单练习题及答案
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一、课前练习:1.判断下列各椭圆的焦点位置,并说出焦点坐标、焦距。
(1)14322=+y x (2)1422=+y x (3)1422=+y x 2.求适合下列条件的椭圆标准方程:两个焦点的坐标分别为)0,4(),0,4(-,椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10。
3.方程221||12x y m +=-表示焦点在y 轴的椭圆时,实数m 的取值范围是____________ 二、典例:例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,()2,0,并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,求它的标准方程.变式练习1:与椭圆x 2+4y 2=16有相同焦点,且过点()6,5-的椭圆方程是 . 例2 如图,在圆224x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M 的轨迹是什么?例3如图,设A ,B 的坐标分别为()5,0-,()5,0.直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为49-,求点M 的轨迹方程.变式练习2:已知定圆x 2+y 2-6x -55=0,动圆M 和已知圆内切且过点P (-3,0),求圆心M 的轨迹及其方程.三、巩固练习:1.平面内有两定点A 、B 及动点P ,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P 的轨迹是以A .B 为焦点的椭圆”,那么( B ) A .甲是乙成立的充分不必要条件B .甲是乙成立的必要不充分条件C .甲是乙成立的充要条件D .甲是乙成立的非充分非必要条件2.椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2),那么k 等于( A )A. 1-B. 1C. 5D. 53.椭圆191622=+y x 的焦距是 ,焦点坐标为 ;若CD 为过左焦点1F 的弦,则CD F 2∆的周长为4.若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围为( D )A .(0,+∞)B .(0,2)C .(1,+∞)D .(0,1)。
高考数学椭圆标准方程典型例题
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(一)椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值.分析:把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系222c b a +=可求出m 的值.解:方程变形为12622=+my x .因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2262=-m ,5=m 适合.故5=m .例2已知椭圆的中心在原点,且经过点()03,P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,求出参数a 和b (或2a 和2b )的值,即可求得椭圆的标准方程.解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a by a x .由椭圆过点()03,P ,知10922=+b a .又b a 3=,代入得12=b ,92=a ,故椭圆的方程为1922=+y x . 当焦点在y 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a bx a y .由椭圆过点()03,P ,知10922=+ba .又b a 3=,联立解得812=a ,92=b ,故椭圆的方程为198122=+x y .例3ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.分析:(1)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解.(2)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程.解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,故其方程为()013610022≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).例4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和352,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为1F 、2F ,且3541=PF ,3522=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12FPF Rt ∆中,21sin 1221==∠PF PF F PF , 可求出621π=∠F PF ,3526cos21=⋅=πPF c ,从而310222=-=c a b .∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x . 例5已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示). 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 21=∆求面积.解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知: 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.①由椭圆定义知: a PF PF 221=+②,则-①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =.例6 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式.解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点,即定点()03,-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程:171622=+y x . 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.例7已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④,③,②,①,y y y x x x y x y x 222222212122222121①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x . 由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx .⑤(1)将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为:0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,0342=-+y x 为所求.(2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .(椭圆内部分)(3)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为:022222=--+y x y x .(椭圆内部分)(4)由①+②得 :()2222212221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧,212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得:221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x , 即 12122=+y x . 此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例8已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ,即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221mx x -=+,51221-=m x x .根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =.说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式∆;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.例9以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.解:如图所示,椭圆131222=+y x 的焦点为()031,-F ,()032,F . 点1F 关于直线09=+-y x l :的对称点F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的方程为032=-+y x .解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4).此时21MF MF +最小.所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ,∴()3635322222=-=-=c a b .因此,所求椭圆的方程为1364522=+y x .例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k .说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ,故k 的取值范围是53<<k .出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆.例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围.解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈.说明:(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1>-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,αsin 12=b .(3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0.例12求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程.分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,可设其方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.解:设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ).由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ,51=n .故所求的椭圆方程为151522=+y x .例13已知圆122=+y x ,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹.分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹. 解:设点M 的坐标为),(y x ,点P 的坐标为),(00y x ,则2x x =,0y y =. 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x .将x x 20=,y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x .说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的坐标为),(y x ,设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ,然后根据题目要求,使x ,y 与0x ,0y 建立等式关系, 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x ,y 的方程, 化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.例14已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.分析:可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y . 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根,所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k ,从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB .(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122. 在21F AF ∆中,3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ; 所以346-=m .同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB .(法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=.例15椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为A .4 B .2 C .8 D .23解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为2F ,由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ,所以82101012=-=-=MF MF ,又因为ON 为21F MF ∆的中位线,所以4212==MF ON ,故答案为A .说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即a MF MF 221=+,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.例16已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围.解:(法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点. ∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41.由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
求椭圆的标准方程(含答案)
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求椭圆的标准方程1、求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); .(3)经过点A (3,-2)和点B (-23,1). .2、求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x 轴上,且a =4,c =2;(2)经过点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3. 3、已知一椭圆的标准方程中b =3,c =4,求此椭圆的标准方程.4、已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,-4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-45,3,则此椭圆的标准方程是( A ) +x 2=1 +y 2=1或x 2+y 225=1 +y 2=1 D .以上都不对5、求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆过(3,0),离心率e =63; (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.6、中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆上有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,432,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫-322,2两点. 求椭圆的标准方程;7、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0),焦点在x 轴上;(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 3.答案:1、(1)x225+y29=1(2)y24+x2=1(3)x215+y25=12、(1)x216+y212=1(2)x2+y24=13、当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为x225+y29=1.当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为x29+y225=1.4、A5、(1)若焦点在x轴上,椭圆的方程为x29+y23=1.若焦点在y轴上,椭圆的方程为y227+x29=1.(2)x232+y216=1.6、x29+y24=17、x29+y2=18、x212+y29=1或x29+y212=1。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
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《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1椭圆的一个顶点为02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当02,A 为长轴端点时,2a ,1b ,椭圆的标准方程为:11422yx;(2)当02,A 为短轴端点时,2b ,4a,椭圆的标准方程为:116422yx;说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222cac∴223a c,∴3331e.说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01y x交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222yax ,由101222yaxy x ,得021222xa x a ,∴222112a a x x x M,2111ax y MM ,4112ax y k MM OM,∴42a,∴1422yx为所求.说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522y x上不同三点11y x A ,,594,B ,22y x C ,与焦点04,F 的距离成等差数列.(1)求证821x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k .证明:(1)由椭圆方程知5a ,3b ,4c .由圆锥曲线的统一定义知:ac x caAF 12,∴ 11545x ex a AF .同理2545x CF .∵ BF CFAF2,且59BF,∴ 51854554521x x ,即821x x .(2)因为线段AC 的中点为2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为42212121xy y x x y y y.又∵点T 在x 轴上,设其坐标为00,x ,代入上式,得21222124x x y y x 又∵点11y x A ,,22y x B ,都在椭圆上,∴ 212125259x y 222225259x y ∴ 21212221259x x x x y y.将此式代入①,并利用821x x 的结论得25364x ∴ 454059x k BT.典型例题五例5已知椭圆13422y x,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设11y x M ,,由已知条件得2a,3b,∴1c,21e .∵左准线l 的方程是4x,∴14x MN.又由焦半径公式知:111212x ex a MF ,112212x ex a MF .∵212MF MF MN ,∴11212122124x x x .整理得048325121x x .解之得41x 或5121x .①另一方面221x .②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在.说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设sin3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222yx,求过点2121,P且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k .解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为2121xk y .代入椭圆方程,并整理得0232122212222kkxk kxk .由韦达定理得22212122kkkx x .∵P 是弦中点,∴121x x .故得21k .所以所求直线方程为0342y x .分析二:设弦两端坐标为11y x ,、22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y .解法二:设过2121,P 的直线与椭圆交于11y x A ,、22y x B ,,则由题意得④1.③1②12①12212122222121y y x x y x yx ,,,①-②得0222212221yyxx.⑤将③、④代入⑤得212121x x y y ,即直线的斜率为21.所求直线方程为0342y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点62,;(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222by ax 求出1482a ,372b ,在得方程13714822yx 后,不能依此写出另一方程13714822xy .解:(1)设椭圆的标准方程为12222by ax 或12222bx ay .由已知b a2.①又过点62,,因此有1622222ba或1262222ba.②由①、②,得1482a,372b或522a,132b.故所求的方程为13714822yx或1135222xy .(2)设方程为12222by ax .由已知,3c ,3c b ,所以182a.故所求方程为191822yx .说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222by ax 或12222bx ay .典型例题八例8椭圆1121622yx的右焦点为F ,过点31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM1均可用此法.解:由已知:4a,2c.所以21e,右准线8xl :.过A 作l AQ ,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2.显然MF AM 2的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3My ,且M 在椭圆上.故32M x .所以332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2中的“2”的处理.事实上,如图,21e,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九例9 求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为.sin cos 3yx ,设椭圆上的点的坐标为sincos 3,,则点到直线的距离为263sin226sin cos3d.当13sin时,22最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23e,已知点230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222by ax ,其中0b a 待定.由222222221ab ab a ac e 可得2143112eab ,即b a 2.设椭圆上的点y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222yyby a yxd34213493342222byyyb其中b yb.如果21b,则当b y 时,2d (从而d )有最大值.由题设得22237b,由此得21237b,与21b矛盾.因此必有21b 成立,于是当21y 时,2d (从而d )有最大值.由题设得34722b ,可得1b ,2a.∴所求椭圆方程是11422yx.由21y及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点213,,点213,到点230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是sincos b ya x ,其中0b a ,待定,20,为参数.由22222221ab ab aac e可得2143112eab ,即b a 2.设椭圆上的点y x ,到点230,P 的距离为d ,则22222223sin cos23b a yxd49sin3sin34222b b b 3421sin3222bbb 如果121b ,即21b,则当1sin 时,2d (从而d )有最大值.由题设得22237b,由此得21237b ,与21b矛盾,因此必有121b成立.于是当b 21sin 时2d (从而d )有最大值.由题设知34722b,∴1b ,2a.∴所求椭圆的参数方程是sincos 2yx .由21sin,23cos ,可得椭圆上的是213,,213,.典型例题十一例11设x ,R y,x y x 63222,求x yx 222的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222与椭圆方程的结构一致.设m xyx222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222,得123492322y x可见它表示一个椭圆,其中心在023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x 222,则1122m yx 它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为11mm .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11m ,此时0m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41m ,∴15m .∴x yx222的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12已知椭圆012222baby axC :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ,求证:不论a 、b 如何变化,120APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使120AQB,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB 和AQB 的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x,b y,根据120AQB得到32222ayxay ,将22222y ba ax代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设0,c F ,0,a A ,0,a B .abc P b a ya xb cx 2222222,于是a c a bk AP 2,aca b k BP2.∵APB 是AP 到BP 的角.∴2222242221tan ca ac a ba c ab ac a bAPB∵22ca∴2tan APB 故3tanAPB∴120APB .(2)设y x Q ,,则ax y k QA ,ax y k QB.由于对称性,不妨设0y,于是AQB 是QA 到QB 的角.∴22222221tan ayxay ax y a x yax yAQB∵120AQB ,∴32222ayxay 整理得023222ay ayx∵22222yba ax∴0213222ay yba ∵0y ,∴2232caby∵b y ,∴bcab 2232232c ab,222234cca a ∴04444224a c a c,044324e e ∴232e或22e (舍),∴136e .典型例题十三例13已知椭圆19822y kx 的离心率21e,求k 的值.分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82ka,92b ,得12k c.由21e,得4k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92a ,82kb ,得k c12.由21e,得4191k,即45k .∴满足条件的4k 或45k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222by bx上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(b,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222by bx,得b a 2,b c 3,23e.由椭圆定义,b a PF PF 4221,得b b b PF bPF 34421.由椭圆第二定义,e d PF 11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211,即P 到左准线的距离为b 32.解法二:∵e d PF 22,2d 为P 到右准线的距离,23ac e,∴b ePF d 33222.又椭圆两准线的距离为b c a 33822.∴P 到左准线的距离为b bb32332338.说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆.sin 32,cos 4yx (为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3POx,求P 点坐标.分析:利用参数与POx 之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(P ,由P 与x 轴正向所成角为3,∴cos4sin 323tan,即2tan .而0sin ,0cos,由此得到55cos,552sin ,∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222by a x )0(ba 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex ar ,02ex ar .分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线caxl 2:的距离,cax PQ 2,由椭圆第二定义,e PQPF 1,∴01ex a PQe r ,由椭圆第一定义,0122ex ar ar .说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA 的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2)求223PF PA的最小值及对应的点P 的坐标.分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62a ,)0,2(2F ,22AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221aPF PF ,22AF PF PA ,∴26222211AF aAF PF PF PF PA,等号仅当22AF PF PA时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA ,∴26222211AF aAF PF PF PF PA,等号仅当22AF PF PA时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02y x,解方程组4595,0222yxy x 得两交点)2141575,2141579(1P 、)2141575,2141579(2P .综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA取最小值26,P 点与2P 重合时,2PF PA取最大值26.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3a,2c ,∴32e.由椭圆第二定义知322ePQPF ,∴223PF PQ,∴PQ PAPF PA223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29x.∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(.说明:求21PF ePA的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18(1)写出椭圆14922yx的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1)sin2cos 3y x )(R .(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴,设)sin 2,cos 3(为矩形在第一象限的顶点,)2(,则122sin 12sin 2cos 34S 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九例19已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF 的面积与椭圆短轴长有关.分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222by ax (0ba ),),(11y x P (01y ).思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212PFPF PFPFK K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F ,)0,(2c F ,化简可得03233212121ccy y x .又1221221by ax ,两方程联立消去21x 得0323412212bcy b y c ,由],0(1b y ,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF 的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF ,12ex a PF ,在21F PF 中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x ,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF 的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221求解.解:(法1)设椭圆方程为12222by ax (0ba),),(11y x P ,)0,(1c F ,)0,(2c F ,0c,则11ex a PF ,12ex a PF .在21F PF 中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a cex a ex a ,解得2222134eacx.(1)∵],0(221a x ,∴2222340a eac ,即0422ac.∴21a c e.故椭圆离心率的取范围是)1,21[e .(2)将2222134eacx 代入12222by ax 得24213cby ,即cby 321.∴22213332212121b cbcy F F S FPF .即21F PF 的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF 1,n PF 2,12F PF ,21F PF ,则120.(1)在21F PF 中,由正弦定理得60sin 2sin sinc n m .∴60sin 2sinsinc n m ∵a n m 2,∴60sin 2sinsin2c a ,∴2cos2sin260sin sinsin 60sin a c e212cos 21.当且仅当时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[e .(2)在21F PF 中,由余弦定理得:60cos 2)2(222mn n m c mnnm22mnn m 3)(2∵a nm 2,∴mn a c 34422,即22234)(34b c a mn.∴23360sin 2121b mn SF PF .即21F PF 的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF 的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20椭圆12222by ax )0(ba与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是sincos b ya x )0(ba,则椭圆上的点)sin ,cos (b a P ,)0,(a A ,∵AP OP,∴1cossin cossin aa b a b ,即0coscos)(22222ba b a,解得1cos或222cosb ab ,∵1cos1∴1cos (舍去),11222bab,又222cab∴2022ca ,∴22e,又10e ,∴122e .说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP.如何证明?。
椭圆标准方程典型例题及练习题
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椭圆标准方程典型例题例1已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和352,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为1F 、2F ,且3541=PF ,3522=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a .从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12F PF Rt ∆中,21sin 1221==∠PF PF F PF ,可求出621π=∠F PF ,3526cos21=⋅=πPF c ,从而310222=-=c a b .∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x .例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示).分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 21=∆求面积.解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知:221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.①由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则-①②2得αcos 12221+=⋅b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b2tan 2αb =.例3 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式.解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点,即定点()03,-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程:171622=+y x .说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.例4 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程;(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④,③,②,①,y y y x x x y x y x 222222212122222121①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x .由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx .⑤(1)将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为: 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,0342=-+y x 为所求.(2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .(椭圆内部分) (3)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 022222=--+y x y x .(椭圆内部分)(4)由①+②得 : ()2222212221=+++y y x x , ⑦,将③④平方并整理得212222124x x x x x -=+, ⑧, 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x , ⑩再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x , 即 12122=+y x .此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例5 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程.解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得()1422=++m x x , 即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m .(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221mx x -=+,51221-=m x x . 根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =.说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式∆;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.例6 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.解:如图所示,椭圆131222=+y x 的焦点为()031,-F ,()032,F . 点1F 关于直线09=+-y x l :的对称点F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的方程为032=-+y x .解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4).此时21MF MF +最小.所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ,∴()3635322222=-=-=c a b .因此,所求椭圆的方程为1364522=+y x .例7 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程.解:设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ).由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ,51=n .故所求的椭圆方程为151522=+y x .例8 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.分析:可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y .由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根,所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122.在21F AF ∆中,3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ;所以346-=m .同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB .(法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标.再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=.例9 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为A .4B .2C .8D .23说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即aMF MF 221=+,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离例10 已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.解:设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点.∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41.由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122y x n x y 消去y 得0481681322=-+-n nx x ①。
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
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椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)典型例题一已知椭圆的一个顶点为A(2.0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程。
分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置。
解:(1)当A(2.0)为长轴端点时,a=2,b=1,椭圆的标准方程为:x^2/4+y^2/1=1;(2)当A(2.0)为短轴端点时,b=2,a=4,椭圆的标准方程为:x^2/16+y^2/4=1.说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况。
典型例题二一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率。
解:设椭圆长轴长为2a,焦点到准线的距离为c,则2c/3=a,即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2,代入c=3a/2中得到9a^2/4=a^2-b^2,化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2.说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a,求c,再求比。
二是列含a和c的齐次方程,再化含e的方程,解方程即可。
典型例题三已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点,M为AB中点,OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程。
解:由题意,设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1,直线方程为y=1-x。
将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1,化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1),则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2],其中x2为方程(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。
由OM的斜率为0.25可得到y1=0.25x1.又因为M在直线x+y-1=0上,所以有y1=1-x1.解以上两个方程可得到M的坐标为(4/5.1/5)。
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椭圆的标准方程经典例题和练习
椭圆标准方程精制课件
椭圆的标准方程
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问题引入问题1、决定椭圆形状大小的量有a,b,c,e它之间有什么关系呢?1、a2+b2=c2c 2、e= a
b 3、e2=1 2 a
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问题2、已知a,b,c,e中的两个如何求椭圆的标准方程呢?探究1、已知椭圆的长轴长为4,半焦距为1,求椭圆的标准方程。
4 探究2、已知椭圆的离心率为 5 ,短轴长
为6,求椭圆的标准方程。
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小结概念有方法有
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1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-4,0)、
(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10,求椭圆的标准方程。
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2、已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,3 离心率为,且G 上一点到G 的两个焦点的距 2
离之和为12,则椭圆G 的方程是_________
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椭圆标准方程的双基训练
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轨迹问题
例1、已知△ABC 的周长是18,A(-4,0), B(4,0) ,求点C 的轨迹方程。
yC
A(-4,0)
o
B(4,0)
x
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轨迹问题
例2、已知圆F1 : ( x 1) y 16 , 定点F2 (1, 0) . 动2 2
圆M 过点F2,且与圆F1 相内切.求点M 的轨迹C 的方程.y M
F1 O
F2
x
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练习1、△ABC的底边BC =16,AC和AB两边上中
线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.
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2、已知点A,B 的坐标分别是,(0,-1) , (0,1) 直线AM,BM 相交于点M,且它1 们的斜率之积为 .求点M 轨迹C 的方程; 2
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求标准方程问题例1、已知椭圆C 以坐标轴为对称轴,以坐标原点为对称中 3 6 心,椭圆的一个焦点为(1,0) ,点M 2 , 2 在椭圆上,求椭圆C 的方程;
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求标准方程问题
例2、椭圆的两焦点为F1(-4, 0), F2(4, 0),点P在椭圆上,已知△PF1F2的面积的最大值为12,求此椭圆的方程。
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求标准方程问题
例3、已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离
y x 1 分别是7 和1.求椭圆C 的方程. 16 7
2
2
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练习1、椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比是1∶4,短轴长为8,则椭圆的标准方程是。
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2、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P2 5 4 5 到两焦点的距离分别为 3 和 3
,过P
点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
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标准方程问题x y 例1、方程+ =1 表示焦点在y 轴上的椭圆,25-m 16+m 则m 的取值范围是________.2 2
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x2 y2 例2、已知椭圆的标准方程是a2+25=1(a5),它的
两焦点分别是F1,F2,且F1 F2=8,弦AB 过点F1,则△ABF2 的周长为________.
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x2 y2 例3、已知椭圆+ =1 的左、右焦点分别为16 9 F1、F2,P 是椭圆上的一点,Q 是PF1 的中点,若OQ=1,则PF1=________.
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练习1、如果方程x2+ky2=2 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实
数k 的取值范围是( ) A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)
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x2 y2 2、设F1、F2 是椭圆+ =1 的两个焦点,P 是9 4 椭圆上的点,且PF1∶PF2=2∶1,则△PF1F2 的面积等于________.。