第3章 离散系统的时域分析

第三章 离散系统的时域分析

学习要求

（1）会建立描述系统激励与响应关系的差分方程；

（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；

（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统差分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激序列响应的意义，并会求解；

（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统差分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积和运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积和。

本章重点

（1）系统数学模型（差分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激序列响应及其求解；

（4）卷积和的定义、性质及运算，特别是()2(1)(1)y k y k f f k +-=--（k ）函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。

离散系统的描述方法：差分方程。差分方程与微分方程求解方法在相当大的程度上一一对应。与卷积类似，离散系统中占重要地位的卷积和（简称卷积）。离散系统中的变换域方法包括z 变换、离散傅里叶变换以及其他多种离散正交变换（如沃尔什变换、离散余弦变换等等）。

与连续时间系统相比较，离散时间系统具有精度高，可靠性好，便于实现大规模集成的优点，借助于软件控制，可编程序控制器得到了广泛应用。

3.1 离散时间信号——序列

在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称为离散信号。这里离散指信号的定义域——时间是离散的，它只是某些规定的值。通常给出函数值的离散时刻的间隔是均匀的。若此间隔为T ，以

,2,1,0)(±±=n nT x 表示此离散时间信号，一般我们直接以)(n x 表示此序列。n 表示个函数值在序列

中出现的序号。对应某序号n 的函数值称为在第n 个样点的“序列”。

一、离散信号的描述形式

1、解析形式（闭合形式或闭式） 即用函数式表示。例如：n

n x )1(2)(1-= 2、图形形式

即信号的波形。线段的长短代表各序列值的大小。有时可将他们的端点连接起来。但是n 只有在整数值时才有意义。

二、序列的基本运算

1、相加（相减）

两序列)(),(n y n x 相加（减）即将两序列的对应序列相加（减）即可。新序列)(n z 可表示为：

)()()(n y n x n z ±=

2、相乘（除）

两序列)(),(n y n x 相乘（除）即将两序列的对应序列相乘（除）即可。新序列)(n z 可表示为：

)(/)()(),()()(n y n x n z n y n x n z ==

3、延时（移位）

指原序列逐项依次右移（左移）后给出的新序列)(n z ：

)()(),()(m n x n z m n x n z +=-=

显然，任何离散信号)(n x 都可以看成是离散冲激信号)(n δ的移位加权相加所构成，即：

∑∞

-∞

=-=

m m n m x n x )()()(δ

4、反褶

自变量变为原来的相反数，波形沿纵轴反转：)()(n x n z -= 5、展缩

与连续信号的展缩不同，需按规律去除某些点或补足相应的零值，因此，也称为序列的“重排”。 [例3-1] 已知)(n x 波形如图3-1(a)所示，求)2/(),2(n x n x 的波形。

解：)2(n x 波形如图3-1(b)所示，这时，对应)(n x 波形中n 为奇数的各序列已不存在，波形压缩。而)2/(n x 波形如图3-1(c)所示，图中，对应n 为奇数值各点应补入零值，n 为偶数值各点取得)(n x 波形中依 次对应的序列，因而波形扩展。

n

n

图3-1

3.2 LTI 离散系统的响应

一、离散系统差分方程

常系数线性差分方程的一般形式可表示为：

)()1()1()(110N n y a N n y a n y a n y a N N -++-++-+- )()1()1()(110M n x b M n x b n x b n x b M M -++-++-+=-

式中，b a ,是常数，未知函数)(n y 的位移阶次N 即此差分方程的阶次。上式可简写为

∑∑==-=-M

r r N

k k

r n x b k n y a

)()(

求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种：

（1）迭代法：包括手算逐次带入求解或利用计算机求解。这种方法概念清楚，也比较简单，但只能得到其数值解，不能直接给出一个完整的解析式（闭式）作为解答。

（2）时域经典法：与微分方程的时域经典法类似，先分别求齐次解与特解，然后带入边界条件求待定系数。这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程比较麻烦，在解决具体问题时不宜采用。

（3）分别求零输入响应与零状态响应：可以利用求齐次解的方法得到零输入响应，利用卷积和（卷积）的方法求零状态响应。

（4）变换域方法：类似与连续系统的拉氏变换，利用z 变换方法解差分方程。

本章着重介绍时域中求齐次解的方法和卷积方法。下一章详细研究z 变换方法。第十二章研究离散时间系统状态方程得求解。

一般差分方程的齐次方程的形式：

0)(0

=-∑=N

k k

k n y a

二、齐次解的求法

（1）特征根没有重根的情况下，差分方程的齐次解为：

n

N N n n C C C n y ααα+++= 2211)(

其中，N ααα ,,21为差分方程的特征根，即它应满足：00

=∑=-N

k k

n k a α

。N C C C ,,21是由边界条件决

定的系数。现举例说明求齐次方程的过程。

[例3-4] 已知差分方程为0)2()1()(=----n y n y n y ，1)2(,1)1(==y y ，求方程的解。 解：特征方程为：012

=--αα

求得特征解：2

5

1,25111-=+=

αα 于是写出齐次解为：

n

n C C n y ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251)(21