第3章 离散系统的时域分析
微积分讲座---Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
k
(k) (i) i
k
g(k) h(i) i
由于
(k) (k) (k) (k 1)
那么
h(k) g(k) g(k) g(k 1)
2
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
例3 某离散系统的差分方程如下，求单位脉冲响应h(k) 和单位阶跃响应g(k)。
y(k) y(k 1) 2y(k 2) f (k)
解：(1)先求h(k)
h(k) h(k 1) 2h(k 2) (k)
初始条件：h(1) h(2) 0
由迭代得：
h(0) 1，h(1)=1
代入初始值求： h(k) C1(1)k C2(2)k，k 0
h(k) 1 (1)k 2 响应
第三章 离散系统的时域分析
(2)再求g(k)
h(k) 1 (1)k 2 (2)k，k 0
3
3
g(k) k h(i) 1 k (1)i 2 k (2)i
i
3 i0
3 i0
由级数求和公式得：
k (1)i 1 (1)k1 1 [1 (1)k ]
i0
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.15
第三章 离散系统的时域分析
单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
主要内容：
单位阶跃响应与单位脉冲响应之间的关系
基本要求：
掌握 g(k) 和 h(k) 之间的关系
1
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
由于 那么
1 (1) 2
k (2)i 1 (2)k1 2(2)k 1
i0
1 2
得单位阶跃响应为：
信号与线性系统分析第三章
系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
离散系统的时域分析实验报告
实验2 离散系统的时域分析一、实验目的1、熟悉并掌握离散系统的差分方程表示法；2、加深对冲激响应和卷积分析方法的理解。
二、实验原理在时域中，离散时间系统对输入信号或者延迟信号进行运算处理，生成具有所需特性的输出信号，具体框图如下:其输入、输出关系可用以下差分方程描述：输入信号分解为冲激信号,记系统单位冲激响应，则系统响应为如下的卷积计算式：... . 当时，h[n]是有限长度的（），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。
三、实验容1、用MATLAB 求系统响应1） 卷积的实现线性移不变系统可由它的单位脉冲响应来表征。
若已知了单位脉冲响应和系统激励就可通过卷积运算来求取系统响应，即)(*)()(n h n x n y 程序：x=input(‘Type in the input sequence=’); %输入xh=input(‘Type in the impulse response sequence=’); %输入h y=conv(x,h); % 对x ，h 进行卷积 N=length(y)-1; %求出N 的值n=0:1:N; %n 从0开始，间隔为1的取值取到N 为止 disp(‘output sequence=’); disp(y); %输出y stem(n,y); %画出n 为横轴，y 为纵轴的离散图xlabel(‘Time index n ’); ylable(‘Amplitude ’); % 规定x 轴y 轴的标签 输入为：x=[-2 0 1 -1 3] h=[1 2 0 -1]图形:2） 单位脉冲响应的求取线性时不变因果系统可用MA TLAB 的函数filter 来仿真 y=filter(b,a,x);其中，x和y是长度相等的两个矢量。
矢量x表示激励，矢量a，b表示系统函数形式滤波器的分子和分母系数，得到的响应为矢量y。
例如计算以下系统的单位脉冲响应y(n)+0.7y(n-1)-0.45y(y-2)-0.6y(y-3)=0.8x(n)-0.44x(n-1)+0.36x(n-2)+0.02x(n-3) 程序:N=input(‘Desired impuse response length=’);b=input(‘Type in the vector b=’);a=input(‘Type in the vector a=’);x=[1 zeros(1,N-1)];y=filter(b,a,x);k=0:1:N-1;stem(k,y);xlabel(’Time index n’); ylable(‘Amplitude’);输入：N=41b=[0.8 -0.44 0.36 0.02]a=[1 0.7 -0.45 -0.6]图形:2、以下程序中分别使用conv和filter函数计算h和x的卷积y和y1，运行程序，并分析y和y1是否有差别，为什么要使用x[n]补零后的x1来产生y1；具体分析当h[n]有i个值，x[n]有j个值，使用filter完成卷积功能，需要如何补零？程序:clf;h = [3 2 1 -2 1 0 -4 0 3]; %impulse responsex = [1 -2 3 -4 3 2 1]; %input sequencey = conv(h,x);n = 0:14;subplot(2,1,1);stem(n,y);..xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Output Obtained by Convolution'); grid;x1 = [x zeros(1,8)];y1 = filter(h,1,x1);subplot(2,1,2);stem(n,y1);xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Output Generated by Filtering'); grid;图形:因为在y=filter（b,a,x）中，利用给定矢量a和b对x中的数据进行滤波，结果放入y矢量中，y与x长度要相等，所以要使用x[n]补零后的x1来产生y1。
离散系统时域分析
z = eTs = eT e jT
写成极坐标形式为
z = z e j = eT e jT s的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的相角。
s平面与z平面的映射关系为
s平面
映射
z平面
０ 右半平面 =０ 虚轴 ０ 左半平面
z １ 单位园外
z =１ 单位园周
cr
pr k
cr
pr k
cr cr e jr , cr cr e jr
cr
pr k
cr
1
pr
k 1
cr
e jr
pr ek jkr
cr e jr
p ek jkr r
c p e e k j(kr r )
j(kr r )
r
r
r(t)
+-
100 c(t) s(s+10)
解：由已知的G(s)可求出开环脉冲传递函数
10z(1 e10T ) G(z) (z 1)( z e10T )
闭环特征方程为
z2 + 3.5z + 0.5 = 0
z1 = 0.15 z2 = 3.73
因为 z2 1，所以该系统是不稳定的。
8.6 离散系统的时域分析
对于离散系统的z变换理论，如前所述，它仅限于采样值的分
析。对于离散系统的性能分析的讨论也只限于在采样点的值。然
而，当采样周期T 选择较大时，采样间隔中隐藏着振荡，可能反
映不出来，这造成实际连续信号和采样值变化规律不一致，会得
出一些不准确的分析结果。因此，必须注意采样周期T是否小于系
z 1 w 或 z w1
离散系统的时域分析_OK
pk[c cos k Dsin k] 或Apk cos(k )
其 中
Ae j
C
jD
Ar1k r1 k cos( k r1) Ar2k r2 k cos( k r2) ... A0 k cos( k 0)
8
2. 特解
激励 f (k)
特解 yp (k)
km
Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0 k r Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0
y
f
(1)
3y f
(0) 2 y f
(1)
f
(1)
1
14
系统的零状态响应是非齐次差分方程的全解,分别求出方程
的齐次解和特解,得
yf
(k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
yp (k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
1 3
(2)k
将初始值代入上式,得
y
f
(0)
C
f
1
C
f
2
1 3
1
yf
(1)
1C f
yx
(1)
y(1)
0,
yx
2
y
2
1 2
yx (0) 3 yx (1) 2 yx 2 1
yx 1 3yx 0 2 yx 1 3
2021/9/5
求得初始值
13
1 1, 1 2
yx
(k)
Cx1
(1)k
Cx2
(2)k
yx yx
(0) (1)
Cx1 Cx2 Cx1 2Cx2
差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是相互对 应的.
《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
信号与线性系统分析--第三章
第三章 离散系统的时域分析
本章概述
离散时间域的方程求解
连续时间域 时间函数 微分方程 卷积积分 离散时间域 离散序列 差分方程 卷积求和
求解方法
迭代法 经典法 卷积法
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号
f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外 对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数 的波形一般具有平滑曲线的形状，一般也称模拟 信号
f (n) .... f (1) (n 1) f (0) (n) f (1) (n 1) ...
i
f (i) (n i)
f(k ) f(2) f(-1) f(1) f(0) … 1 2 i f(i) … k
可推出：离散系统的零状态响应
y zs (n)
m
f (m) (n m)
单位阶跃序列
与阶跃函数的不同？
延时的单位阶跃序列
用单位样值序列来表示
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
( n) u(n) u( n 1)
题目中 y0 y1 0 ,是激励加上以后的,不是初始状 态,需迭代求出 y 1, y 2 。
n 1 y1 3 y0 2 y 1 2u 1 2 u 0
0
0 0 2 y1 2 1 1
1 y 1 2
n0
y0 3 y 1 2 y 2 2 u 0 2 u 1
0 1
0 3 y 1 2 y 2 1
y 2 5 4
将初始状态代入方程求系数
数字信号处理课件第3章 时域离散信号和系统的频域分析2-DTFT的定义
例3、已知 f (n) anu(n) a 1 ,计算其DTFT。 解：
由此可以得到DTFT的幅频特性和相频特性
F (e j )
1
(1 a cos)2 (a sin )2
【随堂练习】
1.设X (e j )是 x(n)的DTFT，试求下面序列的DTFT。
(1) x(n - n0)
(2) x(n) (3) x(n)
X_abs=abs(X)
X_angle=angle(X)
subplot(211)
plot(w/pi,X_abs,'k','lineWidth',2) title('离散时间傅里叶变换幅度')
subplot(212)
plot(w/pi,X_angle,'k','lineWidth',2) title('离散时间傅里叶变换相位')
0, n q
解:
q
X(e j ) x(n)e jn a ne jn
q
(ae j )n
n
n0
n0
1
(ae j ) 1 ae j
q1
等比数列求和公式：
an a1 qn1
Sn
a1
(1 qn ) , 1 q
n 1,2,3,
q 1
X(e j ) x(n)e jn
n
1
(ae j )q 1 ae j
可引入冲激函数，一些绝对不可和的 序列的傅里叶变换可用冲激函数的形式表 示出来。在后面的章节予以介绍。
例1、计算矩形序列 x(n) R N (n) 的DTFT。
解：
X(e j ) RN (n)e jnnFra bibliotekN 1
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
3.2.3离散时间LTI系统的时域分析 - 离散时间LTI系统的时域分析(精品文档)
ci可由初始状态 yzi (1)，yzi (2)， ，yzi (k) 确定
10
信号处理与系统
DLTI系统零输入响应通解
y(n) yzi (n) yzs (n)
故有： yzi (1) y(1), , yzi (k) y(k)
n0
yzi (1) y(1)， ，yzi (k) y(k), n 0
y(1) y(2)
c1 c1
(3)1 c2 (3)2 c2
0 1/
2
cc12
3/4 9 / 4
yzi
(n)
3 4
9 4
(3)n ,
n0
12
信号处理与系统
DLTI系统零输入响应分析
DLTI系统零输入响应通解为：
yzi (n) c1(1 )n ckr (kr )n ckr1nr1(0 )n ck1n(0 )n ck (0 )n
其中 1 2 kr ，即k-r个单根,0为r个重根
(i )n ，i 1, , k r
例2. 一信号处理过程是：每当收到一个数据，就将此 数据与前一步的处理结果平均。求这一信号处理 过程的输入输出关系。
解:
y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
一阶后向差分方程系统模拟框图
4
信号处理与系统
一、DLTI系统方程的建立
离散时间线性时不变 （discrete-time ,linear, time-invariant, 记作DLTI） 系统:用常系数差分方程来描述
-
试从微分方程推导其差分方程。
解: d y(t) 1 y(t) 1 x(t)
信号与系统第3章,甘俊英
(n) u(n) u(n 1) u(n)
u(n) (n) (n 1) (n 2) L (n m) m0
n
或 u(n) (k) k
3．矩形序列 1, 0 n N 1
RN (n) 0, n 0
RN (n) 1
0 1 2 N 1
n
N表示矩形序列的长度, RN (n) 还可以表示为
是连续正弦信号 xa (t) 的角频率，称为模拟域频率。
Ts
2 f
fs
又称为归一化频率。
3.2.4 序列的周期性
对于所有 n 值，若存在一个最小正整数 N ，满足
x(n) x(n N) 则称序列 x(n)为周期序列，最小周期为 N
下面讨论正弦序列 x(n) Asin(n ) 的周期性。
x(n N) Asin[(n N) ] Asin(n N )
RN (n) u(n) u(u N )
4．实指数序列 x(n) an ， n
通常，单边实指数序列应用更广。单边实指数序列定义为
an , n 0 x(n)
或
0, n 0
x(n) anu(n)
a 1 ，序列是发散的。 a 0 序列的所有样值都为正值
a 1 ，序列是收敛的
a 0 序列正、负摆动
(n) 是一个确定的物理量，在 n 0时取值为1 ，在其它非零的
离散时间点上取值为零
(t) 不是一个物理量，只是一个数学抽象。
任何序列都可以用一些延迟的单位取样序列的加权和来表示，即
x(n) x(k) (n k) k
【例3-2-6】已知序列x(n) 如图所示，利用单位取样序列 (n) 写出
x(n
1)
(
1 2
)n
1
new第三章离散时间系统的时域分析
3. 举例 • 例1 已知 x(n)=(n),y(-1)=0, 用迭代法解方程：
y(n) ay(n 1) x(n)
• 解：y(0)=ay(-1)+1=1 • y(1)=ay(0)+0=a • y(2)=ay(1)+0=a2 • • y(n)=ay(n-1)+0=an • y(n)=ay(n-1)+0=anu(n)
n y(n) 0.45(0.9) u(n) 0.5u(n) 自由响应 强迫响应
• 零输入响应和零状态响应
用边界条件求系数
C1
5
1
, C2
n
5
1
最终解
1 1 5 1 1 5 y ( n) 5 2 5 2
n
例3 求 y(n)+6y(n-1)+12y(n-2)+8y(n-3)=x(n) 的齐次解 • 解(有重根)
差分方程特解的形式 • • • • • • • • • 激励 x(n) 特解 yp(n)的形式 A(常数) C(常数) An C1n+C2 nk C1 nk+ C2 nk-1++ Ck+1 nkan an(C1 nk+ C2 nk-1++ Ck+1 ) sin(bn)或 C1sin(bn)+C2cos(bn) con(bn) an [sin(bn)或 an[C1sin(bn)+C2cos(bn)] cos(bn)]
– 常系数线性差分方程(递归关系式) – 后向(或右移) 差分方程;前向(或左移) 差分方程
例2 已知离散时间系统如图示，写出 系统的差分方程。
单位抽样响应
利用LTI
h[n] h1 [n] h2[n] (3n1 2n1 )u[n] 3(3n1 2n1 )u[n 2]
第3章 离散时间系统的时域分析
(3) 利用已知的阶跃响应求单位抽样响应h[n]
*可利用单位抽样响应确定系统的方程 例3-8：已知因果系统是一个二阶常系数差分方程，
并已知当x[n]=u[n]时的响应为：
a0h[n] a1h[n 1] aN h[n N ] [n]
a0h[0] a1h[1] aN h[ N ] [0]
h[1] h[2] h[N ] 0 h[0] 1 a0
第3章 离散时间系统的时域分析
例3-6：求下列系统的单位抽样响应：
y[n] 3 y[n 1] 3 y[n 2] y[n 3] x[n]
解：特征方程： 3 3 2 3 1 0
1
三重根
y[n] (C1n2 C2n C3 )(1)n
h[0] 1, h[1] 0, h[2] 0,
齐次解
确定初始 条件
C1
1 2
C2
3 2
C3 1
h[n] 1 (n2 3n 2)u[n] 2
第3章 离散时间系统的时域分析
例3－7：求下列系统的单位抽样响应：
2
42
h[n] ( 1 )n u[n] 2
第3章 离散时间系统的时域分析
(2)对于高阶系统，将 [n]转化为起始条件，于是齐
次解，即零输入解就是单位样值响应 h[n]。
仅有x[n]时，接入的激励转化为起始条件;包含x[n] 及其移序项时，接入的激励用线性时不变性来进行 计算。
a0 y[n] a1 y[n 1] aN y[n N ] x[n]
特征根： 1 2 2 5
离散系统的时域和Z域分析
三、收敛域 ：
ZT 存在的条件： f k z
k
k
在此条件下 z 的取值范围称为ZT的收敛域。 f k k 2、f k 1， 2， 3， 2， 1 例：求ZT。1、 解：1、Fb z
Fb z 2、
k 1
1 k 2 f 2 6 1 k 3 f 3 6 k 4 f 4 5 2 k 5 f 5 3
3
3
3
3
f k 0， 1 ， 3， 6， 6， 5， 3， 0 f k
1
f 2 k
k 0
2
3 3
1
1
0
k 2 k 3
第六章
离散系统的Z 域分析
T t
f s t
6.1 Z变换（ZT） f t 一、从 LT 到 ZT ： f s t f t T t f t t nT
k k k skT
f t t f 0 t
f k k k0 f k0 k k0
k
f k k f 0
k
f k k k f k
0 0
k k k 1
1
2
3
4
k
1
1
0
1
2
k
3、乘积计算法
1
f1 k
1
0
f 2 k
2
3 3
1
2
3
4
k
实验三 离散时间系统的时域分析(附思考题程序)
实验三 离散时间系统的时域分析1.实验目的（1）理解离散时间信号的系统及其特性。
（2）对简单的离散时间系统进行分析，研究其时域特性。
（3）利用MATLAB 对离散时间系统进行仿真，观察结果，理解其时域特性。
2.实验原理离散时间系统，主要是用于处理离散时间信号的系统，即是将输入信号映射成的输出的某种运算，系统的框图如图所示：][n x ][n y Discrete-timesystme（1）线性系统线性系统就是满足叠加原理的系统。
如果对于一个离散系统输入信号为12(),()x n x n 时，输出信号分别为12(),()y n y n ，即：1122()[()]()[()]y n T x n y n T x n ==。
而且当该系统的输入信号为12()()ax n bx n +时，其中a,b 为任意常数，输出为121212[()()][()][()]()()T ax n bx n aT x n bT x n ay n by n +=+=+，则该系统就是一个线性离散时间系统。
（2）时不变系统如果系统的响应与激励加于系统的时刻无关，则该系统是时不变系统。
对于一个离散时间系统，若输入()x n ，产生输出为()y n ，则输入为()x n k -，产生输出为()y n k -，即：若()[()]y n T x n =，则[()]()T x n k y n k -=-。
通常我们研究的是线性时不变离散系统。
3.实验内容及其步骤（1）复习离散时间系统的主要性质，掌握其原理和意义。
（2）一个简单的非线性离散时间系统的仿真 参考：% Generate a sinusoidal input signalclf; n = 0:200; x = cos(2*pi*0.05*n); % Compute the output signal x1 = [x 0 0]; % x1[n] = x[n+1] x2 = [0 x 0]; % x2[n] = x[n] x3 = [0 0 x];% x3[n] = x[n-1]y = x2.*x2-x1.*x3; y = y(2:202); % Plot the input and output signalssubplot(2,1,1) plot(n, x)xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude'); title('Input Signal')subplot(2,1,2) plot(n,y)xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Output signal');（3）线性与非线性系统的仿真参考：% Generate the input sequencesclf; n = 0:40; a = 2; b = -3;x1 = cos(2*pi*0.1*n); x2 = cos(2*pi*0.4*n);x = a*x1 + b*x2;num = [2.2403 2.4908 2.2403];den = [1 -0.4 0.75];ic = [0 0]; % Set zero initial conditionsy1 = filter(num,den,x1,ic); % Compute the output y1[n]y2 = filter(num,den,x2,ic); % Compute the output y2[n]y = filter(num,den,x,ic); % Compute the output y[n]yt = a*y1 + b*y2; d = y - yt; % Compute the difference output d[n] % Plot the outputs and the difference signalsubplot(3,1,1) stem(n,y); ylabel('Amplitude');title('Output Due to Weighted Input: a \cdot x_{1}[n] + b \cdot x_{2}[n]');subplot(3,1,2) stem(n,yt); ylabel('Amplitude');title('Weighted Output: a \cdot y_{1}[n] + b \cdot y_{2}[n]');subplot(3,1,3) stem(n,d); xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Difference Signal');（4）时不变与时变系统的仿真参考：% Generate the input sequencesclf; n = 0:40; D = 10; a = 3.0; b = -2;x = a*cos(2*pi*0.1*n) + b*cos(2*pi*0.4*n);xd = [zeros(1,D) x]; num = [2.2403 2.4908 2.2403]; den = [1 -0.4 0.75];ic = [0 0]; % Set initial conditions% Compute the output y[n]y = filter(num,den,x,ic);% Compute the output yd[n]yd = filter(num,den,xd,ic);% Compute the difference output d[n]d = y - yd(1+D:41+D);% Plot the outputssubplot(3,1,1) stem(n,y); ylabel('Amplitude'); title('Output y[n]'); grid;subplot(3,1,2) stem(n,yd(1:41)); ylabel('Amplitude');title(['Output due to Delayed Input x[n - ', num2str(D),']']); grid;subplot(3,1,3) stem(n,d); xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Difference Signal'); grid;4.实验用MATLAB函数介绍在实验过程中，MATLAB函数命令plot, figure, stem, subplot, axis, grid on, xlabel, ylabel, title, clc等在不同的情况下具体表述也有所不同，应该在实验中仔细体会其不同的含义。
离散时间系统的时域分析
离散时间系统的时域分析离散时间系统是指系统输入和输出信号都是在离散的时间点上进行采样的系统。
时域分析是分析系统在时域上的性质和特征。
在离散时间系统的时域分析中，常用的方法包括冲击响应法、单位样值法和差分方程法等。
冲击响应法是通过对系统施加单个冲击信号，观察系统在输出上的响应来分析系统的时域特征。
冲击响应法的基本思想是将系统的输出表示为输入信号与系统的冲击响应之间的卷积运算。
冲击响应法适用于线性时不变系统，在实际应用中可以使用软件工具进行计算。
单位样值法是通过将系统输入信号取为单位样值序列，观察系统在输出上的响应来分析系统的时域特征。
单位样值法的基本思想是将系统的输出表示为输入信号与系统的单位样值响应之间的卷积运算。
单位样值法适用于线性时不变系统，可以用来计算系统的单位样值响应和单位样值响应序列。
差分方程法是通过建立系统输入和输出之间的差分方程来分析系统的时域特征。
差分方程法的基本思想是根据系统的差分方程，利用系统的初始条件和输入序列，递推计算系统的输出序列。
差分方程法适用于线性时不变系统，可以用来计算系统的单位样值响应和任意输入信号下的输出序列。
以上所述的方法是离散时间系统时域分析中常用的方法，通过这些方法可以获得系统的冲击响应、单位样值响应和任意输入信号下的输出序列，进而分析系统的时域特征和性质。
在实际应用中，根据系统的具体情况和需求，选择合适的方法进行时域分析，能够更好地理解离散时间系统的动态行为和响应特性。
离散时间系统的时域分析是研究系统在离散时间上的动态行为和响应特性的关键方法。
通过分析系统的时域特征，可以深入了解系统的稳定性、响应速度、频率选择性和滤波特性等方面的性能。
冲击响应法是离散时间系统常用的时域分析方法之一。
它通过施加一个单个的冲击信号，即输入信号序列中只有一个非零元素，然后观察系统在输出上的响应。
这样可以得到系统的冲击响应序列，它描述了系统对单位幕函数输入信号的响应情况。
冲击响应法的核心思想是将系统的输出表示为输入信号序列与系统的冲击响应序列之间的卷积运算。
计算机控制系统---第三章
的z变换。
解：
另一种由F(s) 求取F(z) 的方法是留数计算方法。本书对此不予讨论
利用MATLAB软件中的符号语言工具箱进行F(s)部分 分式展开
已知
，通过部分分式展开法求F(z) 。
MATLAB程序：
F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)； %传递函数F(s)进行符号定义
即得到
3.4.4 干扰作用时闭环系统的输出
根据线性系统叠加定理，可分别计算指令信号和干扰信号作用下的输出响应。
G(z)
Z
1
esT s
G1(s)G2 (s)
R(s)单独作用时的 系统输出[N(s)=0]
干扰单独作用时的 系统输出[R(s)=0]
共同作用时的系 统输出
图3-13 有干扰时的计算机控制系统
图3-10采样控制系统典型结构
一般系统输出z变换可按以下公式直接给出：
C(z)
前向通道所有独立环节z变换的乘积 1闭环回路中所有独立环节z变换的乘积
3.4.3 计算机控制系统的闭环脉冲传递函 数
1. 数字部分的脉冲传递函数
控制算法，通常有以下两种形式：
差分方程
脉冲传递函数D(z)
(z变换法)
连续传递函数
2. 由脉冲传递函数求差分方程
z反变换
z反变换
3.4.1 环节串联连接的等效变换
1. 采样系统中连续部分的结构形式
并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数
3.4.1 环节串联连接的等效变换
2. 串联环节的脉冲传递函数
3.4.1 环节串联连接的等效变换
3. 并联环节的脉冲传递函数
根据叠加定理有：
离散信号与系统的时域和频域分析
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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本章说明
与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
离散时间系统的时域特性分析
离散时间系统的时域特性分析离散时间系统是指输入和输出均为离散时间信号的系统，如数字滤波器、数字控制系统等。
时域分析是研究系统在时间上的响应特性，包括系统的稳定性、响应速度、能否达到稳态等。
在时域分析中，我们通常关注系统的单位采样响应、阶跃响应和脉冲响应。
1. 单位采样响应单位采样响应是指当输入信号为单位脉冲序列时，系统的输出响应。
在时间域上，单位脉冲序列可以表示为:$$ u[n] = \begin{cases}1 & n=0\\ 0 & n \neq 0\end{cases} $$系统的单位采样响应可以表示为:$$ h[n] = T\{ \delta[n]\} $$其中，$T\{\}$表示系统的传输函数，$\delta[n]$表示单位脉冲序列。
通常情况下，我们可以通过借助系统的差分方程求得系统的单位采样响应。
对于一种具有一阶差分方程的系统，其单位采样响应可以表示为:2. 阶跃响应其中，$\alpha$为系统的传递常数。
3. 脉冲响应脉冲响应是指当输入信号为任意离散时间信号时，系统的输出响应。
其主要思路是通过将任意输入信号拆解成单位脉冲序列的线性组合，进而求得系统的输出响应。
设输入信号为$x[n]$，系统的脉冲响应为$h[n]$，则系统的输出信号$y[n]$可以表示为:$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] $$在实际计算中，通常采用卷积算法实现脉冲响应的计算，即将输入信号和脉冲响应进行卷积运算。
总之，时域特性分析是对离散时间系统进行分析和设计时的基础。
对于实际工程应用中的系统，需要综合考虑其时域和频域特性，进而选择合适的滤波器结构、控制算法等来实现系统的优化设计。
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第三章 离散系统的时域分析学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的差分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统差分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激序列响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统差分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积和运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积和。
本章重点（1）系统数学模型（差分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激序列响应及其求解；（4）卷积和的定义、性质及运算，特别是()2(1)(1)y k y k f f k +-=--（k ）函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。
离散系统的描述方法：差分方程。
差分方程与微分方程求解方法在相当大的程度上一一对应。
与卷积类似，离散系统中占重要地位的卷积和（简称卷积）。
离散系统中的变换域方法包括z 变换、离散傅里叶变换以及其他多种离散正交变换（如沃尔什变换、离散余弦变换等等）。
与连续时间系统相比较，离散时间系统具有精度高，可靠性好，便于实现大规模集成的优点，借助于软件控制，可编程序控制器得到了广泛应用。
3.1 离散时间信号——序列在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称为离散信号。
这里离散指信号的定义域——时间是离散的，它只是某些规定的值。
通常给出函数值的离散时刻的间隔是均匀的。
若此间隔为T ，以,2,1,0)(±±=n nT x 表示此离散时间信号，一般我们直接以)(n x 表示此序列。
n 表示个函数值在序列中出现的序号。
对应某序号n 的函数值称为在第n 个样点的“序列”。
一、离散信号的描述形式1、解析形式（闭合形式或闭式） 即用函数式表示。
例如：nn x )1(2)(1-= 2、图形形式即信号的波形。
线段的长短代表各序列值的大小。
有时可将他们的端点连接起来。
但是n 只有在整数值时才有意义。
二、序列的基本运算1、相加（相减）两序列)(),(n y n x 相加（减）即将两序列的对应序列相加（减）即可。
新序列)(n z 可表示为：)()()(n y n x n z ±=2、相乘（除）两序列)(),(n y n x 相乘（除）即将两序列的对应序列相乘（除）即可。
新序列)(n z 可表示为：)(/)()(),()()(n y n x n z n y n x n z ==3、延时（移位）指原序列逐项依次右移（左移）后给出的新序列)(n z ：)()(),()(m n x n z m n x n z +=-=显然，任何离散信号)(n x 都可以看成是离散冲激信号)(n δ的移位加权相加所构成，即：∑∞-∞=-=m m n m x n x )()()(δ4、反褶自变量变为原来的相反数，波形沿纵轴反转：)()(n x n z -= 5、展缩与连续信号的展缩不同，需按规律去除某些点或补足相应的零值，因此，也称为序列的“重排”。
[例3-1] 已知)(n x 波形如图3-1(a)所示，求)2/(),2(n x n x 的波形。
解：)2(n x 波形如图3-1(b)所示，这时，对应)(n x 波形中n 为奇数的各序列已不存在，波形压缩。
而)2/(n x 波形如图3-1(c)所示，图中，对应n 为奇数值各点应补入零值，n 为偶数值各点取得)(n x 波形中依 次对应的序列，因而波形扩展。
nn图3-13.2 LTI 离散系统的响应一、离散系统差分方程常系数线性差分方程的一般形式可表示为：)()1()1()(110N n y a N n y a n y a n y a N N -++-++-+- )()1()1()(110M n x b M n x b n x b n x b M M -++-++-+=-式中，b a ,是常数，未知函数)(n y 的位移阶次N 即此差分方程的阶次。
上式可简写为∑∑==-=-Mr r Nk kr n x b k n y a)()(求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种：（1）迭代法：包括手算逐次带入求解或利用计算机求解。
这种方法概念清楚，也比较简单，但只能得到其数值解，不能直接给出一个完整的解析式（闭式）作为解答。
（2）时域经典法：与微分方程的时域经典法类似，先分别求齐次解与特解，然后带入边界条件求待定系数。
这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程比较麻烦，在解决具体问题时不宜采用。
（3）分别求零输入响应与零状态响应：可以利用求齐次解的方法得到零输入响应，利用卷积和（卷积）的方法求零状态响应。
（4）变换域方法：类似与连续系统的拉氏变换，利用z 变换方法解差分方程。
本章着重介绍时域中求齐次解的方法和卷积方法。
下一章详细研究z 变换方法。
第十二章研究离散时间系统状态方程得求解。
一般差分方程的齐次方程的形式：0)(0=-∑=Nk kk n y a二、齐次解的求法（1）特征根没有重根的情况下，差分方程的齐次解为：nN N n n C C C n y ααα+++= 2211)(其中，N ααα ,,21为差分方程的特征根，即它应满足：00=∑=-Nk kn k a α。
N C C C ,,21是由边界条件决定的系数。
现举例说明求齐次方程的过程。
[例3-4] 已知差分方程为0)2()1()(=----n y n y n y ，1)2(,1)1(==y y ，求方程的解。
解：特征方程为：012=--αα求得特征解：251,25111-=+=αα 于是写出齐次解为：nn C C n y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251)(21将1)2(,1)1(==y y 分别代入，得到方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22212125125112512511C C C C可求出系数：51,5121-==C C因此：nnn y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2515125151)( （2）有重根的情况下，齐次解的形式将略有不同，假定1α是特征方程的K 重根，那么，齐次解中相应于1α的部分将有K 项：n K K K K C n C n C n C 112211)(α++++---[例3-5] 求差分方程)()3(8y )2(12)1(6)(n x n n y n y n y =-+-+-+的齐次解。
解：特征方程为：0812623=+++ααα 即：0)2(3=+α可见，-2是此方程的三重特征根。
于是求得齐次解为：n C n C n C n y )2)(()(3221-++=（3）特征根为共轭复数时，齐次解的形式可以是等幅、增幅或衰减等形式的正（余）弦序列。
[例3-6] 求差分方程0)4()3(2)2(2)1(2)(=-+---+--n y n y n y n y n y 的齐次解。
已知边界条件1)1(=y ，0)2(=y ，1)3(=y ，1)5(=y 。
解：特征方程为：01222234=+-+-αααα0)1()1(22=+-αα特征根为：121==αα，j j -==43,αα因此：nn n j C j C C n C n y )()()1)(()(4321-+++=242321ππn jn jeC eC C n C -+++=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++=2sin 2cos 21ππn Q n P C n C 这里，)(,4343C C j Q C C P -=+=，利用边界条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==-+==-+==++==QC C y Q C C y P C C y Q C C y 212121215)5(13)3(12)2(0)1(1 解得：0,1,1,021====Q P C C最后求得差分方程的解为：⎪⎭⎫⎝⎛+=2cos 1)(πn n y 三、特解的求法为求得特解，首先将激励函数代入方程式右端（自由项），观察自由项的函数形式来选择含有待定系数的特解函数式，将此特解函数代入方程后再求待定系数。
与微分方程的n t 和t e 形式对应，若自由项为kn 形式的函数，则特解选为：k k k D n D n D +++- 110；若自由项为n a 形式的函数，且a 不是此差分方程的特征根，则特解选为：nDa 。
[例3-7] 求差分方程)1()()1(2)(--=-+n x n x n y n y 的完全解。
其中激励函数2)(n n x =，且已知1)1(-=-y 。
解：（1）首先，求得它的齐次解为：nC )2(-；（2）将激励信号代入方程右端，得到自由项为12)1(22-=--n n n 。
特解可设为：10D n D +，代入差分方程，可得：12233])1([20101010-=-+=+-++n D D n D D n D D n D 对应项系数相等求得：91,3210==D D 因此完全解可表示为：9132)2()(++-=n C n y n（3）利用边界条件求系数：913221)1(1+--=-=-C y ; 98=C最后写出完全响应：9132)2(98)(++-=n n y n 四、系统响应的分解与连续时间系统的情况类似，线性时不变离散时间系统的完全响应也可分解为自由响应分量和强迫响应分量，或者零输入响应分量与零状态响应分量。
须指出，差分方程边界条件不一定由增序列)1(,),1(),0(-N y y y 给出，对于因果系统，常给定减序列)(,),2(),1(N y y y --- 为边界条件。
若激励信号在0=n 时接入系统，所谓零状态是指),1(-y)(,),2(N y y -- 都等于零，而不是指)(,),1(),0(N y y y 为零。
如果已知)(,),2(),1(N y y y --- ，欲求)(,),1(),0(N y y y ，可利用迭代法逐次求出。
[例3-8] 已知差分方程)(05.0)1(9.0)(n u n y n y =--，求（1）0)1(=-y ；（2）1)1(=-y 系统的全响应。
解：（1）由于激励在0=n 接入，且给定0)1(=-y ，因此，起始时刻系统处于零状态，由迭代法可求得：05.0)0(=y 。
由特征方程求得齐次解为nC )9.0(，根据自由项的形式，设特解为D ，将特解代入方程得到：(10.9)0.05;0.5D D -==因此：5.0)9.0()(+=nC n y将05.0)0(=y 代入，可求得：45.0-=C最后，写出完全响应：)(]5.0)9.0(45.0[)(n u n y n+⨯-=（2）先求零状态响应。