研究生课程《代数图论》教学大纲

研究生课程《代数图论》教学大纲

课程编号：Math 2086

课程名称：代数图论

英文名称：Algebraic Graph Theory

开课单位：数学科学学院

开课学期：第三学期

课内学时：36

教学方式：讲授

适用专业及层次：数学科学学院专业硕士

考核方式：考查

预修课程：图论，组合数学，矩阵分析

一、教学目标与要求

本课程主要研究如何用代数方法（群，表示论，矩阵等）研究图论问题，是现代图论的重要分支．代数图论的诸多问题仍是当今图论的研究热点．

本课程较全面、系统地介绍代数图论的基本概念，基本理论和基本方法。主要内容分为两个方面。一方面，介绍图的各种矩阵表示及其谱性质，内容包括图的邻接矩阵、Laplace矩阵，无符号Laplace矩阵，同谱图，谱半径及其界，代数连通度与连通性，商图方法，谱的多项

式方法，谱的特征向量组合方法等。另一方面，介绍群与图，主要介绍图的群表示、图的自同构、非对称图、本原性与连通性、Cayley 图及其性质、点可迁图、边可迁图、弧可迁图、距离可迁图、Moore 图等。

通过本课程的学习，要求学生会从代数的观念看一个图，了解代数图论的基本研究问题在，掌握代数图论的常用方法，培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和分析解决实际问题的能力，为开展相关科学研究打好基础。

二、课程内容与学时分配

第一章图的谱（6学时）

1．1 图的矩阵表示

1．2 特殊图类的谱

1．3 连通性

1．4 自同构性

1．5 代数连通度

1．6 同谱图

1．7 图的同态

1．8 线图与平面图

第二章谱理论的线性代数方法（6学时）

2．1 Perron-Frobenius定理

2．2 等部划分与商图方法

2．3 交错定理

2．4 Schur不等式

2．5 Courant-weyl不等式

第三章图的谱性质（6学时）

3．1 最大的特征值

3．2 最大特征值至多为2的图

3．3 正则图的谱

3．4 二部图的谱

3．5 Laplace特征值与度序列

第四章代数图论中的群方法（6学时） 4．1 置换群

4．2 计数理论

4．3 不对称图

4．4 对上的轨道

4．5 本原性与连通性

第五章可迁图 (6学时）

5．1 点可迁图

5．2 边可迁图

5．3 点连通性与边连通性

5．4 匹配

5．5 Cayley图

第六章弧可迁图（3学时）

6．1 弧可迁图

6．2 弧图

6．3 三正则弧可迁图

6．4 Petersen图

6．5 距离可迁图

第七章 Moore图（3学时）、

7．1 射影平面

7．2 广义多边形

7．3 Moore图

三、教材

1. C. Godsil, G.Royle, Algebraic Graph Theory，Springer, 2001.

2. A. E. Brouwer, W. H. Haemers, Spectra of graphs, Springer, 2011.

四、主要参考书

1．D. Cvetkovic, P. Rowlison, S. Simic, An Introduction to the theory of graph Spectra, London Mathematical society, 1997

2．R. B. Bapat, Graph and matrix, Springer, 2010.

3．N. Biggs, Algebraic graph theory, Cambridge University Press, 1974.