第三章 光信息处理的数学基础(第6讲)

信息光电子技术—光信息处理的数理基础

（第一部分，第三章）

2.1 光的干涉与衍射

2.1.0 光是一种电磁波，波动特性。

2.1.1干涉

相干光，非相干光，杨氏实验：波长相同，位相恒定，方向相同2.1.2 衍射

惠更斯 -菲涅耳原理：

（惠更斯作图）波阵面上的每一点可以认为是产生球面子波的一个次级扰动中心，而以后任何时刻的波阵面则可看作是这些子波的包络；（菲涅耳补充）假定这些次级子波是相干的，产生干涉。

惠更斯 -菲涅耳原理解释了光的衍射现象，为基尔霍夫衍射理论提供了基础。

夫琅和费衍射与菲涅耳衍射

2.2 傅立叶光学入门

2.2.0 前言

傅立叶光学—光学信息处理的理论基础

利用光学透镜可方便实现光学图像的二维傅立叶变换，获得图像的傅立叶谱

常见的函数形式及对应的傅立叶变换

2.2.1 傅立叶变换基本概念

设一个空间函数(,)f x y ，相应的傅立叶变换定义为 (,)(,)exp[2()]F u v f x y j ux vy dxdy π∞

=-+⎰⎰ （2-2-1）

其中：(,)F u v 称为(,)f x y 的傅立叶谱，

变量,u v 称为空间频率。 物理意义：如果空间函数(,)f x y 是一列在空间传输的光波，则（2-2-1）式是该光波对应于各个不同方向分量的大小，是空间频率的函数，每个分量称谓该函数的傅立叶分量。 频率值取决于平面波的传播方向和波长

cos /,cos /u v αλβλ== （2-2-2）

其中：cos ,cos αβ是波分量的方向余弦，λ为光波波长。 傅立叶逆变换：

(,)(,)exp[2()]f x y F u v j ux vy dudv π∞

=+⎰⎰ （2-2-3）

物理意义：

空间传输的单色波是其全部傅立叶分量的加权线性组合，(,)F u v 为相应分量的权重。

傅立叶变换对：

[(,)](,)FT f x y F u v = （2-2-4） 1[(,)](,)FT F u v f x y -=

2.2.2 傅立叶变换的基本定理

[1] 线性定理

1212[(,)(,)](,)(,)FT a f x y b f x y aF u v bF u v ⋅+⋅=+ （2-2-5）

[2] 对称性定理

[(,)](,)FT F u v f x y =-- （2-2-6） 自变量改变符号，原函数的相同形式，自变量改变符号。

[3] 相似性定理

缩放定理：

[()]1/(,)u v FT f ax by a b F a b

+=⋅ （2-2-7） 物理意义：空间域的放大必然伴随频率域的缩小。

[4] 位移定理

空域的位移将引起频谱的相移。

0000[(,)](,)exp[2()FT f x x y y F u v j ux vy π--=+ （2-2-8） 频域的位移起因于空域的位移

0000{(,)exp[2()]}(,)]FT f x y j u x v y F u u v v π-+=-- （2-2-9）

[5] 微分定理

函数一阶微分的傅立叶变换是它的频谱与一个线性函数之积。

(,)[](2)(2)(,)df x y FT j u j v F u v dxdy

ππ=-- （2-2-10） 函数高阶微分是它的频谱与一个高次函数之积。 (,)[](2)(2)(,)n n n n n d f x y FT j u j v F u v dx dy

ππ=-- （2-2-11） 实现图像光学微分。

[6] 共轭函数定理

共轭函数的傅立叶变换可获得频谱的共轭函数，且自变量

反转：

**[(,)](,)FT f x y F u v =-- （2-2-12） 光学图像的相关识别。

[7] 卷积定理

两个函数的卷积运算定义为

(,)(,)(,)(,)g x y h x y g h x y d d ξηξηξη∞

*=--⎰⎰ （2-2-13）

两个函数卷积的傅立叶变换等于它们的傅立叶谱的乘积。 [(,)(,)](,)(,)FT g x y h x y G u v H u v *= （2-2-14） 其中：(,),(,)G u v H u v 分别是函数(,),(,)g x y h x y 的傅立叶变换

[9] 相关定理

两个函数的相关运算

(,)(,)(,)(,)g x y h x y g h x y d d ξηξηξη*∞

⊗=++⎰⎰ （2-2-15）

对应的傅立叶变换

[(,)(,)](,)(,)FT g x y h x y G u v H u v *⊗= （2-2-16） 两个函数相等时，称为自相关运算。

2[(,)(,)](,)FT g x y g x y G u v ⊗= （2-2-17） 图像的相关识别处理。

2.2.3 实现光学傅立叶变换的系统

（1）光学透镜是一个便捷实现傅立叶变换的元件。 将一个二维图像放在透镜的前焦面上，使用平面单色波照明，可在透镜后焦平面上获得该图像的傅立叶变换谱。

当该二维图像不在透镜的前焦面上时，使用平面单色波照明，仍在透镜后焦平面上获得该图像的傅立叶变换谱，只是附加了一个与位置相关的相位因子。这是因为光波透过透镜时将附加一个二次相位，此时透过函数（近轴条件下） 22exp[()]2k t c j x y f

=⋅-+ （2-2-18） 其中：c 为系数,k 为波数,f 为透镜焦距。

（2） 实现傅立叶变换的光学系统

物置于透镜前焦面。

透镜后焦面得到获得物的傅立叶谱(,)F u v 。

,f

f

x y u v f f λλ== （2-2-19）

利用傅立叶变换的对称性，可以证明，当将(,)F u v 置于(,)x y 平面时，在坐标倒置的后焦面上得到其逆变换''(,)f x y