第三章 光信息处理的数学基础(第6讲)

信息光电子技术—光信息处理的数理基础
（第一部分，第三章）
2.1 光的干涉与衍射
2.1.0 光是一种电磁波，波动特性。

2.1.1干涉
相干光，非相干光，杨氏实验：波长相同，位相恒定，方向相同2.1.2 衍射
惠更斯 -菲涅耳原理：
（惠更斯作图）波阵面上的每一点可以认为是产生球面子波的一个次级扰动中心，而以后任何时刻的波阵面则可看作是这些子波的包络；（菲涅耳补充）假定这些次级子波是相干的，产生干涉。

惠更斯 -菲涅耳原理解释了光的衍射现象，为基尔霍夫衍射理论提供了基础。

夫琅和费衍射与菲涅耳衍射
2.2 傅立叶光学入门
2.2.0 前言
傅立叶光学—光学信息处理的理论基础
利用光学透镜可方便实现光学图像的二维傅立叶变换，获得图像的傅立叶谱
常见的函数形式及对应的傅立叶变换
2.2.1 傅立叶变换基本概念
设一个空间函数(,)f x y ，相应的傅立叶变换定义为 (,)(,)exp[2()]F u v f x y j ux vy dxdy π∞
=-+⎰⎰ （2-2-1）
其中：(,)F u v 称为(,)f x y 的傅立叶谱，
变量,u v 称为空间频率。

物理意义：如果空间函数(,)f x y 是一列在空间传输的光波，则（2-2-1）式是该光波对应于各个不同方向分量的大小，是空间频率的函数，每个分量称谓该函数的傅立叶分量。

频率值取决于平面波的传播方向和波长
cos /,cos /u v αλβλ== （2-2-2）
其中：cos ,cos αβ是波分量的方向余弦，λ为光波波长。

傅立叶逆变换：
(,)(,)exp[2()]f x y F u v j ux vy dudv π∞
=+⎰⎰ （2-2-3）
物理意义：
空间传输的单色波是其全部傅立叶分量的加权线性组合，(,)F u v 为相应分量的权重。

傅立叶变换对：
[(,)](,)FT f x y F u v = （2-2-4） 1[(,)](,)FT F u v f x y -=
2.2.2 傅立叶变换的基本定理
[1] 线性定理
1212[(,)(,)](,)(,)FT a f x y b f x y aF u v bF u v ⋅+⋅=+ （2-2-5）
[2] 对称性定理
[(,)](,)FT F u v f x y =-- （2-2-6） 自变量改变符号，原函数的相同形式，自变量改变符号。

[3] 相似性定理
缩放定理：
[()]1/(,)u v FT f ax by a b F a b
+=⋅ （2-2-7） 物理意义：空间域的放大必然伴随频率域的缩小。

[4] 位移定理
空域的位移将引起频谱的相移。

0000[(,)](,)exp[2()FT f x x y y F u v j ux vy π--=+ （2-2-8） 频域的位移起因于空域的位移
0000{(,)exp[2()]}(,)]FT f x y j u x v y F u u v v π-+=-- （2-2-9）
[5] 微分定理
函数一阶微分的傅立叶变换是它的频谱与一个线性函数之积。

(,)[](2)(2)(,)df x y FT j u j v F u v dxdy
ππ=-- （2-2-10） 函数高阶微分是它的频谱与一个高次函数之积。

(,)[](2)(2)(,)n n n n n d f x y FT j u j v F u v dx dy
ππ=-- （2-2-11） 实现图像光学微分。

[6] 共轭函数定理
共轭函数的傅立叶变换可获得频谱的共轭函数，且自变量
反转：
**[(,)](,)FT f x y F u v =-- （2-2-12） 光学图像的相关识别。

[7] 卷积定理
两个函数的卷积运算定义为
(,)(,)(,)(,)g x y h x y g h x y d d ξηξηξη∞
*=--⎰⎰ （2-2-13）
两个函数卷积的傅立叶变换等于它们的傅立叶谱的乘积。

[(,)(,)](,)(,)FT g x y h x y G u v H u v *= （2-2-14） 其中：(,),(,)G u v H u v 分别是函数(,),(,)g x y h x y 的傅立叶变换
[9] 相关定理
两个函数的相关运算
(,)(,)(,)(,)g x y h x y g h x y d d ξηξηξη*∞
⊗=++⎰⎰ （2-2-15）
对应的傅立叶变换
[(,)(,)](,)(,)FT g x y h x y G u v H u v *⊗= （2-2-16） 两个函数相等时，称为自相关运算。

2[(,)(,)](,)FT g x y g x y G u v ⊗= （2-2-17） 图像的相关识别处理。

2.2.3 实现光学傅立叶变换的系统
（1）光学透镜是一个便捷实现傅立叶变换的元件。

将一个二维图像放在透镜的前焦面上，使用平面单色波照明，可在透镜后焦平面上获得该图像的傅立叶变换谱。

当该二维图像不在透镜的前焦面上时，使用平面单色波照明，仍在透镜后焦平面上获得该图像的傅立叶变换谱，只是附加了一个与位置相关的相位因子。

这是因为光波透过透镜时将附加一个二次相位，此时透过函数（近轴条件下） 22exp[()]2k t c j x y f
=⋅-+ （2-2-18） 其中：c 为系数,k 为波数,f 为透镜焦距。

（2） 实现傅立叶变换的光学系统
物置于透镜前焦面。

透镜后焦面得到获得物的傅立叶谱(,)F u v 。

,f
f
x y u v f f λλ== （2-2-19）
利用傅立叶变换的对称性，可以证明，当将(,)F u v 置于(,)x y 平面时，在坐标倒置的后焦面上得到其逆变换''(,)f x y
2.2.3 常用的函数及其傅立叶变换
[1] δ函数
常表示点光源或一个光脉冲。

变换： (,)1FT x y δ= （2-2-20） 卷积：(,)(,)(,)f x y x y f x y δ*= （2-2-21） 位移：0000(,)(,)(,)
f x y x x y y f x x y y δ*--=-- （2-2-22） [2] 梳状函数（抽样函数） 光栅或滤波器
(,)[()][()]n m comb x y x n y m δδ∞∞
=-∞=-∞
=--∑∑ （2-2-23） 变换：[(,)](,)FT comb x y comb u v =
（2-2-24） [3] 矩形函数
光孔， 一维（狭缝）(,)()()x
y
f x y rect rect a b =
（2-2-25） 变换：[(,)]sin (,)FT rect x y c u v =
（2-2-26） [4] sinc 函数
矩形孔的夫琅禾费衍射图样。

sin sin sin (,)x y
c x y x y ππππ=⋅ （2-2-27） 变换：[sin (,)](,)FT c x y rect u v =
（2-2-28） [5] 圆域函数
光孔。

()1()r
cirl r a a =≤，其它为0 （2-2-29）
变换：1(2)[()]J FT circ r πρρ
= （2-2-27） 其中：1(2)J πρ为第一类一阶贝塞尔函数。

光学远场分布。

[6] 余弦函数
一维：()1cos(2)x f x f x π=+ （2-2-28） 变换：1
[()]()[()()
2x x FT f x u u f u f δδδ=+-++ （2-2-29） 光学意义：
2.3 光学相关变换（PPT1） （第7讲）
2.4 小波变换（PPT2）
（第8讲）
2.5 光电信息系统的物理基础 (参考书中第二章)
其它课程内容会进一步讲授，内容自学。

基本概念：
1、 能带
2、 PN 结
3、 光电效应。