基尔霍夫衍射公式推导

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基尔霍夫公式

（4）
3．基尔霍夫衍射积分公式的证明． ⑴ 应用基尔霍夫边界条件为了简化亥姆霍兹－基尔霍夫公式，使其成为更便于计算衍射问题的形式，可按图 x 的方式选取闭合面 S = Σ + Σ1 + Σ 2 ，其中
图3
Σ1 －位于 ( ξ ,η ) 平面上一个无穷大的不透明屏；
Σ －不透明屏上一个开孔（衍射孔径）；
r
P
∂E 来表示（图 1）。下面介 ∂n
r
n
ε
P1
Sε
S
V
图1
图2
3．应用格林定理．格林定理表示为：
∫∫∫ ( G∇ E − E∇ G )dv = ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ
2 2 v S

∂E
∂G
（5）
式中 E 为包围 P 点的任意封闭面 S 上的电场，格林函数 G =
（17）
上式中， Ω 是 Σ 2 对 P 点所张的立体角， d ω 是立体角元。由于
GR = exp ( jkR ) 在 Σ 2 上一致有界，只要满足下述的索末菲辐射条件：
∂E lim R + jkE = 0 R →∞ ∂n
（18）
对 Σ 2 的积分就会随着 R → ∞ 而消失。
exp ( jkR ) R
∂G ( P ) 1 e jkR 1 = cos ( n , R ) jk − ≈ − jkG ∂n R R 因为:R → ∞, con ( n , R ) = −1
（16）
于是，对 Σ 2 的积分化简为：
1 4π ∂E ∂E + E ( jkG ) dσ = ∫∫ R + ( jkE ) ( GR ) dω G ∫∫ ∂n ∂n Σ1 Ω

02-31.2 基尔霍夫衍射公式

(n, r)
并设 Σ 的线度δ 满足
n (n, l)
< <<Min(r, l)
l S
2 1
Q
R r
P
围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：
①开孔 Σ； ②不透明屏的部分背照面 Σ1； ③以 P 点为中心、R 为半径的大球的部分球而 Σ2。
在这种情况下，P 点的光场复振幅为
2
1
(n, r) Q
(1)
r
E (P) i
eikr E (l)
cos(n,r)
cos(n, l) d (14)
r
2
① P 点的光场是Σ 上无穷多次波源产生的，次波源的复振幅与入射波在该点的复振幅成正比，与波长成反比；
② 因子(- i) 表明，次波源的振动相位超前于入射波 / 2；
E(Q) E(l) A eikl l
n (n, l)
R
E(P) 1 4π
E eikr 1 2n rd
eikr E
nr
(11)
S
r
l
P
下面确定这三个面上的和 / 。
①在上Σ，和 / 的值由入射波决
定，与不存在屏时的值完全相同。因此
E A eikl l
E cos(n, l) ik 1 A eikl (12)
n
ll
(n, r) n (n, l)
eik ik
4πnEe
n
0时
4π eik E
0
n
4π ikeik
0
eik
0
ik
ik E=4π e ik
4π ikeik
V
nn P
故有

基尔霍夫衍射理论

a
a
（3）双缝光栅，如图
y
aa
x
d
0
d
2
2
t
x,
y
rect
x
d a
/
2
rect
x
d a
/
2
1
常用衍射屏的透过率函数表示（2）：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
tx, y circ
x2 d
y2
circ
r d
1 0
r d/2 r d /2
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于相位变化型的衍射屏，最典型的是透镜。
对r进行二项式展开并化简，有
脉冲响应：
hx, x0; y, y0
1 jz
exp
jk
x
x0
2
y
y0
2
z2
hx x0 , y y0
显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。
无论孔径平面上子波源的位置如何，它所产生的球面子波的形式是一样的。
hx x0 , y y0
1 jz
exp
jk
x
（2）外， U 0 P 0
衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即：
UQ
U0
P
F
0
,
e jkr r
dS
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。
因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组
合。因此，上式中的 U0P 可以理解为在任意单色光照
明下对孔径平面产生的光场分布。
对教材80页一段话的理解。
与惠更斯—菲涅耳衍射积分公式比较：
UQ
1
j

基尔霍夫定律公式

基尔霍夫定律公式基尔霍夫定律（Kirchhoff's laws）是电路分析中最基本的定律之一、它是由德国物理学家叶夫·基尔霍夫（Gustav Kirchhoff）在19世纪提出的，用来描述电路中电流和电压的关系。

基尔霍夫定律包括基尔霍夫第一定律和基尔霍夫第二定律。

基尔霍夫第一定律，也称为节点定律，表明在任何一个电路节点中，进入该节点的电流总和等于离开该节点的电流总和。

换句话说，电流在一个节点中守恒。

这个定律是基于电流的连续性原理得出的。

如果一个节点是一个电流的分裂点，进入该节点的电流之和将等于离开该节点的电流之和。

数学上可以表示为：∑I_in = ∑I_out其中，∑I_in表示进入节点的电流之和，∑I_out表示离开节点的电流之和。

节点电流的方向可以根据约定定为正或负。

基尔霍夫第二定律，也称为回路定律，表明在一个电路回路中，环绕回路的电压之和等于零。

这个定律是基于电压的闭合性原理推导得出的。

在一个电路中，沿着一个回路的电压的总和必须为零。

这个定律适用于任何电路中的任何封闭回路，包括简单电路和复杂电路。

数学上可以表示为：∑V=0其中，∑V表示回路中的电压之和。

电压的符号取决于电流的方向。

基尔霍夫定律是电路分析的基础，可以用来解决复杂电路中的电流和电压分布的问题。

通过将电路划分为不同的节点和回路，可以使用基尔霍夫定律来建立一系列的方程来求解电路中未知的电流和电压。

一旦这些方程被解算出来，就可以得到完整的电路分析结果。

为了更好地理解基尔霍夫定律的应用，以下是一个简单的电路分析的示例：假设有一个由两个电源和三个电阻组成的串联电路。

电源1的电动势为E1，电源2的电动势为E2，电阻1的阻值为R1，电阻2的阻值为R2，电阻3的阻值为R3、我们需要求解电阻1、电阻2和电阻3上的电压。

首先，将电路进行标记，选择适当的节点和回路。

在本电路中，我们可以选择两个节点（节点A和节点B）和一个回路（环绕电阻1、电阻2和电压源E2）。

菲涅尔基尔霍夫衍射公式

菲涅尔基尔霍夫衍射公式
《菲涅尔基尔霍夫衍射公式》
菲涅尔基尔霍夫衍射公式是一种适用于电磁波传播的衍射公式。

它是根据德国物理学家维克多·菲涅尔基尔和克劳斯·霍夫在20世纪20年代提出的定律而开发出的。

基本原理
菲涅尔基尔霍夫衍射公式的基本原理是，电磁波传播的路径是由电磁波与物体边界的相互作用来决定的，这种相互作用会导致电磁波衍射或反射，从而产生发射物体上的衍射现象，即电磁波绕着物体向外扩散。

衍射公式本身
菲涅尔基尔霍夫衍射公式是描述一个衍射电波的幅度的一种数
学公式，可以用来计算电磁波通过特定几何形状后的幅度：
E=E0*sin2(m*π*d/λ)*|cos(φ)|
其中，E0是电磁波路径的发射频率，m是一个正整数，d是物体边界的间距，λ是波长，φ是物体边界处的相位。

应用
菲涅尔基尔霍夫衍射公式在电磁学上被广泛应用，能够用来研究电磁波在几何空间中的传播，用于计算电磁场在衍射图形区域所受到的幅度，电磁波的 < > ，以及电磁波通过可变衍射几何形状的传播。

它还可以模拟不规则接收体的模型，以及有限接收体的传播行为。

它还可以计算实际中的电磁波散射。

另外，它也被用于技术解决重要的应用问题，如反射荧光细胞研究，电磁学技术设计，激光技术等。

黑体辐射公式及基尔霍夫公式重新推导论证

黑体辐射公式及基尔霍夫公式重新推导论证黑体是一个理想化的物体，能够完全吸收、辐射所有波长的电磁波，且不进行任何反射和透射。

黑体辐射的能量分布与其温度有关，即黑体辐射的频谱强度与黑体温度成正比。

设黑体内处于热平衡状态，其内部每个模式满足玻尔兹曼分布。

我们每单位体积内的模式数目为g(ω)dω，其中g(ω)是频率为ω的模的数目。

根据统计力学理论，每个模式的能量E等于kT(h为普朗克常数)乘以相应的玻尔兹曼因子。

于是我们可以写出单位体积下的总能量分布为：u(ω)dω = g(ω)E(ω)exp(-E(ω)/kT)其中u(ω)是单位体积内频率处在(ω,ω+dω)的能量。

假设我们要求单位面积、单位时间辐射出的能量，以频率在(ω,ω+dω)之间的光子数为n(ω)。

则辐射出的能量为每个光子的能量乘以光子数之和，即为：dE=n(ω)hω=u(ω)dω×V其中V是体积。

利用维恩位移定律，我们可以得到，单位能量辐射出的光子数为：n(ω) = g(ω)exp(-E(ω)/kT)代入前式可得：dE = u(ω)dω × V = g(ω)E(ω)exp(-E(ω)/kT) × dω × V于是，总能量可以通过积分得到：E(T) = ∫[0,+∞] u(ω)dω = ∫[0,+∞]g(ω)E(ω)exp(-E(ω)/kT) × dω × V进一步简化可得:E(T) = ∫[0,+∞] g(ω) × (hω/ [exp(hω/kT) - 1])dω × V这就是黑体辐射公式（普朗克公式），它给出了黑体辐射的频率分布与温度之间的关系。

基尔霍夫电流定律（基尔霍夫第一定律）的推导：基尔霍夫电流定律是基尔霍夫电路定律的一部分，用于描述电流在一个电路中的守恒性。

假设我们有一个电路，其中有n个节点和m个分支，假设节点i的电流为Ii（i=1,2,...,n），分支j的电流为Ij（j=1,2,...,m）。

菲涅尔衍射公式与基尔霍夫衍射公式的推导与比较

菲涅尔衍射公式与基尔霍夫衍射公式的推导
与比较
菲涅尔衍射公式和基尔霍夫衍射公式都描述了光波通过一个狭缝或孔径时的衍射现象，但它们的推导和适用条件有所不同。

菲涅尔衍射公式是根据菲涅尔衍射理论推导出来的，适用于衍射角比较大的情况。

菲涅尔衍射公式表达为：
I = (A/λ) * sin(θ)^2
其中，I表示在角度θ处的衍射强度，A是狭缝或孔径的宽度，λ是光波的波长。

基尔霍夫衍射公式则是根据基尔霍夫衍射理论推导得到的，适用于衍射角比较小的情况。

基尔霍夫衍射公式表达为：
I = (A^2 * sin(πa sin(θ) / (πa sin(θ))^2) * (sin(πb sin(θ)) / (πb sin(θ))^2))^2
其中，A是狭缝或孔径的宽度，a和b分别表示狭缝或孔径在x和y方向的宽度，θ是衍射角。

总体来说，菲涅尔衍射公式适用于衍射角比较大的情况，而基尔霍夫衍射公式适用于衍射角比较小的情况。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的衍射公式来进行计算。

另外，需要注意的是，菲涅尔衍射公式和基尔霍夫衍射公式都是近似公式，在某些情况下可能会存在误差，需要谨慎使用。

常月娥+基尔霍夫衍射公式模型

算的难度。实际上，积分面也可以选取为衍射孔径平面Σ，
这时，对不同位置的子波源来说，由于入射波的复振
• 幅不同，因而有不同的源强度和初位相。设S发出的球面波在衍射孔径平面Σ上的复振幅分布为 B(,)，由菲涅耳公式又可以推广为：
•
E(P)
K
D(
)
B(
,
)
exp( r
jk
'
r'
)d
（2）
• 特别是，当用平面波正入射照明时，B(,) A ，Σ平面上各子波源具有相同的源强度和初位相，菲涅耳公式简化为：
• 于是亥姆霍茨-基尔霍夫公式可表示为：
E(P) 1
{E [exp( jkr)] E [exp( jkr)]}d
4 12 n
r
n r
• 应用基ห้องสมุดไป่ตู้霍夫边界条件和索末菲辐射条件，上式可简化为：
E(P) 1 Aexp( jkr0 ) exp( jkr)(cos1 cos 2 )d
j
r0
r
处理模型时忽略的因素
• 基尔霍夫在处理上述问题时，没有考虑电磁场的其他直角坐标分量，只考虑了电场分量 E ，并且把 E 作为标量处理，所以这样得出的理论称为标量衍射理论。显然这个理论可以作为严格求解衍射问题的基础。
菲涅耳公式模型的具体描述
• 图中S为单色点光源，源强度为A’，在通过衍射孔径中心点θ的球面波波前Ω上划分子波源，令 S r0
• ，则Ω上入射波的复振幅可表示为：
E0
A'
exp( jkr0 ) r0
• 设衍射屏Σ上有一开孔，开孔上未受阻挡的部分波前为Ω’，将Ω’划为一系列小面元，位于任意点M处的面元为dσ，P为观察屏Π上任一点，M到P点距离为r’。按照惠更斯-菲涅耳原理，P点的光振动是Ω’上所有小面元

基尔霍夫定律及基尔霍夫定律推导

基尔霍夫定律及基尔霍夫定律推导基尔霍夫定律是电路中电压和电流所遵循的基本规律，是分析和计算较为复杂电路的基础，1845年由德国物理学家基尔霍夫提出。

它既可以用于直流电路的分析，也可以用于交流电路的分析，还可以用于含有电子元件的非线性电路的分析。

运用基尔霍夫定律进行电路分析时，仅与电路的连接方式有关，而与构成该电路的元器件具有什么样的性质无关。

基尔霍夫定律包括电流定律（KCL）和电压定律（KVL），前者应用于电路中的节点而后者应用于电路中的回路。

该定律能够迅速地求解任何复杂电路，从而成功地解决了这个阻碍电气技术发展的难题。

基尔霍夫定律建立在电荷守恒定律、欧姆定律及电压环路定理的基础之上，在稳恒电流条件下严格成立。

当基尔霍夫第一、第二方程组联合使用时，可正确迅速地计算出电路中各支路的电流值。

由于似稳电流(低频交流电)具有的电磁波长远大于电路的尺度，所以它在电路中每一瞬间的电流与电压均能在足够好的程度上满足基尔霍夫定律。

因此，基尔霍夫定律的应用范围亦可扩展到交流电路之中。

基尔霍夫第一定律的实质是稳恒电流情况下的电荷守恒定律，其中推导过程中推出的重要方程是电流的连续性方程即SJ*dS=-dq/dt（第一个S是闭合曲面的积分号，J是电流密度矢量，*是矢量的点乘，dS是被积闭合曲面的面积元，dq/dt 是闭合曲面内电量随时间的变化率）意思是说电流场的电流线是有头有尾的，凡是电流线发出的地方，该处的正电荷的电量随时间减少，电流线汇聚的地方，该处的正电荷的电量随时间增加对稳恒电流，电流密度不随时间变化，必有SJ*dS=-dq/dt=0，这就是稳恒电流的闭合性，同时也是基尔霍夫定律的推导基础基尔霍夫第二定律的实质是电力线闭合。

第二定律又称基尔霍夫电压定律，是电场为位场时电位的单值性在集总参数电路上的体现，其物理背景是能量守恒。

基尔霍夫电压定律是确定电路中任意回路内各电压之间关系的定律，因此又称为回路电压定律，它的内容为：在任一瞬间，沿电路中的任一回路绕行一周，在该回路上电动势之和恒等于各电阻上的电压降之和，形象地说就是电力线闭合。

基尔霍夫衍射公式

这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。
0 E G ( P) G E d 4 π E n n
1.基尔霍夫积分定理
它将 P 点的光场与周围任一闭合曲面Σ 上的光场联系了起来：
ikr eikr 1 E e E ( P) ( ) E ( ) d (10) 4 π n r n r
惠更斯原理:
S

平面波
球面波
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
根据惠更斯—菲涅耳原理: 可以看作是 S 和 P 之间任一波面Σ上各点发出的次波在 P 点相干叠加的结果。 z
R S Q

r

P
z
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
P
2. 基尔霍夫衍射公式围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：开孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以 P 点为中心、R 为半径的大球的部分球而Σ2。
(n, r) (n, l) n S l
Q r
1
R
2
P
2. 基尔霍夫衍射公式
在这种情况下，P 点的光场复振幅为
eikr 1 E ( P) E 4π 1 2 n r eikr E n r d (11)
第4章光的衍射 (Diffraction)
在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最基本的衍射现象和应用：
菲涅耳衍射(近场衍射)
夫琅和费衍射(远场衍射)
4.1.1 光的衍射现象 (Diffraction phenomena)

基尔霍夫定律的内容及数学表达式

基尔霍夫定律的内容及数学表达式
德国物理学家保罗·克基尔霍夫及他的同事于1906年提出的一条重要定律——克基尔霍夫定律，给了古代宇宙学家一个解释天体运动的新窗口，它以描述物理现象而深受广大科学工作者和学者们的追捧。

克基尔霍夫定律指出，当前在同一质量下彼此离去的两个物体，他们之间的相
互引力可以用反比平方的公式来描述：
F=G*m1*m2/r2
其中，F是物体之间的引力，G是引力常数，m1、m2是物体质量，r是它们之
间的距离。

由于克基尔霍夫定律的提出，大大简化了物理学的认识和宇宙的计算，使以前
的复杂问题得以准确求解，从而使后来的天体演化和宇宙演化的研究，以及其对于更多星系和天体之间的影响力，得以解释。

更重要的是，克基尔霍夫定律的提出，使斯特拉普三定理得以普遍公约，其内
容更加细致，两个有限的物体的系统，受其他物体的引力影响，满足下面的动态方程：
F(i)=m·a(i)
∑F(i)=m·a(cm)
其中，F(i)和a(i)分别是物体对质点系统i的引力和加速度，a(cm)是质心加
速度。

一句话总结，克基尔霍夫定律把古代宇宙学家对天体运动的解释升华为量子级，指出当前同一质量下不同物体之间的引力是反比平方关系，并完善了斯特拉普三定理，使物体受其他物体引力影响满足动态方程，为宇宙研究提供了基础。

基尔霍夫衍射公式推导

基尔霍夫衍射公式推导基尔霍夫衍射公式是描述光通过一个狭缝缝隙后在远处屏幕上的衍射图样的公式。

我们可以用哈密顿原理把光的传播过程写成变分形式，然后对其进行泊松求和，最终得到基尔霍夫衍射公式。

设光源位置向量为$\mathbf{r}_0$，观察屏位置向量为$\mathbf{r}$，狭缝为在$y$轴方向，宽度为$b(x)$。

则以$\mathbf{r}$为观察点时，光场可以表示为：$$E(\mathbf{r})=\frac{1}{i\lambda}\int_S E(\mathbf{r}_0) e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\rho}dydz$$其中$\rho$为从光源点到观察点的距离，即：$$\rho=\sqrt{(x'-x)^2+y^2+z^2}$$$x'$为狭缝位置。

对$b(x)$作傅里叶变换，即：$$b(m)=\int_{-\infty}^{\infty} b(x)e^{-i2\pimx/\lambda}dx$$则$E(\mathbf{r})$可改写为：$$E(\mathbf{r})=\frac{1}{i\lambda}\int_{-\infty}^{\infty}b(m) \int_S E(\mathbf{r}_0)e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\rho-mx)}dydzdm$$进一步将狭缝的宽度$b(x)$拆分为$N$个小区间，每个小区间的宽度为$\delta x$，则$b(x)$可以写成：$$b(x)=\sum_{n=0}^{N-1}b_n rect\left(\frac{x-x_n}{\delta x}\right)$$其中$b_n$为第$n$个小区间的权重，$rect(x)$表示矩形函数。

将$b(x)$代入前面的公式中，得到：$$E(\mathbf{r})=\frac{\delta x}{i\lambda}\sum_{n=0}^{N-1}b_n\int_{-\infty}^{\infty} \int_S E(\mathbf{r}_0)e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\rho-mx_n)}rect\left(\frac{x-x_n}{\delta x}\right)dydzdm$$上式可以看做是$N$个成像问题的相干叠加。

基尔霍夫衍射理论

UQ

U0
P
F
0
,

e jkr r
dS
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。
因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组
合。因此，上式中的 U0P 可以理解为在任意单色光照
明下对孔径平面产生的光场分布。
对教材80页一段话的理解。
4. 光波传播的线性性质
基尔霍夫衍射公式
称为脉冲响应。
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布U Q 是上所
有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
条件：（1）点光源P0足够远，且入射光在孔径平面上各点的入射角都不大。
（2）观察平面与孔径平面的距离z远大于孔径，且在观察面上仅仅考虑一个对孔径上各点张角不大的范围。
满足以上条件，则有 hP,Q 1 e jkr
单色光场中任意一点Q的光振动u满足
2u
1 c2
2u t 2

0
其中
2

2 x 2

2 y 2

2 z 2
--------拉普拉斯算符
将单色光波分布 u Q, t U Q e j2t 代入波动方程,得到
2 k 2 U Q 0
--------亥姆霍兹方程

1
常用衍射屏的透过率函数表示（2）：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
tx, y circ
x2 d
y2

circ
r d

1 0
r d/2 r d /2
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于相位变化型的衍射屏，最典型的是透镜。

惠更斯基尔霍夫衍射公式

第 3.1.1 惠更斯-基尔霍夫衍射公式
三章
1.惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加
激的结果。
光
器 2. 惠更斯－菲涅耳原理
的输出
设波阵面上任一源点P' 的光场复振幅为 u'(P')，则空间任一观察点P的光场复振幅 u(P)由下列积分式计算：
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
的
衍射
➢考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移
理动的常数因子以外，uq1应能够将uq 再现出来，两者之间应有关系：
论
uq1 uq
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第 3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
三 2. 自再现模积分方程
三 3. 积分方程解的物理意义
章
激
(2)本征值 mn 和单程衍射损耗、单程相移
光 ➢损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用
器表示。定义为的输出特
uq
2
uq
uq1
2
2
mn
1 mn 2
uq1 uq
性
➢本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
射
理论
➢举例2：30cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（三种，多纵模）
图(3-4) 腔中允许的纵模数
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出特性
➢假设uq (x', y') 为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布，uq1(x, y)表示光波经过q+1次渡越后，到达

惠更斯菲涅尔原理基尔霍夫衍射理论

§5－2基尔霍夫衍射理论
二、菲涅耳－基尔霍夫公式可以证明亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理，在某些近似条件下，可以化为一种与菲涅耳表达式基本相同的形式。对于单色点光源S发出的球面波照明无限大不透明屏上孔径∑的情况，计算P点的场值：若：孔径线度比波长大，但比孔径到S和P的距离小得多。则由亥姆霍兹一基尔霍夫积分定理选取包围P点的闭合曲面，它由三部分组成
~ 2 E ~ exp ikR R d ik E R n
§5－2基尔霍夫衍射理论
1 4

Ω 为∑2对P点所张立体角。由索末菲辐射条件： ~ E ~ R0 在辐射场中 lim ik E n exp ikR R 是有界的而 R 则R→∞时，可不考虑∑2的贡献。 ~ 1 ~ E exp ikr ~ exp ikr E （ P ） E d 即 4 r r

~ A EQ exp ikR R
Σ＇
Z＇
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
Z
~ A EQ exp ikR R

R S
Q Σ
θ
r
P
Σ＇

式中，A是离点光源单位距离处的振幅， R是波面∑’的半径。在Q点处取面元dσ，面元发出的子波在 ~ P点产生的复振幅与在面元上的复振幅 E Q、面元大小和倾斜因子K成正比。面元dσ在P点产生的复振幅可以表示为
（1）孔径∑，（2）不透明屏右侧∑1
，（3）以P为中心，R为半径的部分球面∑2 。则P点的场强值
（n,r） n
S l R Σ1

基尔霍夫衍射公式瑞利

dU(x, y) A e jkr ds r
U ( p) A 1 e jkrds A为常量 r
x1y1
ds
n r
U(x1,y1) U'(x1,y1)
U ( p)

U
(
x1
,
y1
)
e
jkr
r
dx1dy1
t(x1,y1)
e jkr
t(x1, y1 )U (x1, y1 )

V
(G 2U
U
2G)dV

S
(G
U n
U
G )dS n
指S面上每一点沿法线向外的方向导数。 n 如果U是复光场分布，则把G一般称为格林函数。
U是复数光场，必然满足亥母霍兹方程
2U k 2U 0
如果选择的G也满足
2G k 2G 0
则有
(G 2U U 2G)dV 0
n
即空间不存在光场。所以，条件①使得空间不存在光场，条件②又表示在上有场，所以两者是矛盾的。
索末菲重新选用了格林函数
G

exp( jkr) r

exp( jkr1 ) r1
n

θ
r1
r
•
其中r1由 p点的对称点p1点算起。
P1
P•
根据基尔霍夫积分公式有
U (P) 1
4
U
V
即有

S
(G
U n
U
G )dS n

0
基尔霍夫选择的格林函数为： G( p) e jkr r
它表示圆心在p点的单位振幅的球面波，所以满足

基尔霍夫公式推导

基尔霍夫公式推导基尔霍夫定律是电学中非常重要的定律，而基尔霍夫公式的推导对于理解电路的行为和分析具有关键意义。

咱先来说说基尔霍夫第一定律，也叫节点电流定律。

想象一下，你走进一个热闹的电路“派对”，在这个派对的某个节点上，电流就像来来往往的客人。

流入这个节点的电流总和，必然等于流出这个节点的电流总和。

这就好比一个路口，进来的车流量和出去的车流量必须相等，不然电路可就“乱套”啦！比如说，有一个简单的电路节点，连着三条支路。

一条支路上有个2 安培的电流流进来，另一条支路上有 1 安培的电流流进来，那根据基尔霍夫第一定律，从第三条支路流出的电流就得是3 安培。

这就像是三个水龙头往一个水桶里注水或者放水，总的进出水量得平衡。

接下来，咱们再聊聊基尔霍夫第二定律，又叫回路电压定律。

想象你在电路中沿着一个闭合回路散步，一路上你会遇到各种电阻、电源啥的。

电源就像给你能量的“加油站”，电阻就像消耗你能量的“绊脚石”。

你从一个点出发，经过一圈再回到这个点，获得的能量和消耗的能量总和必须为零。

给您举个例子吧。

有一个回路，里面有个 10 伏特的电源，还有两个电阻，一个是 2 欧姆，另一个是 3 欧姆。

通过欧姆定律可以算出，2欧姆电阻上的电压降是 4 伏特，3 欧姆电阻上的电压降是 6 伏特。

那加起来正好是电源提供的 10 伏特。

那基尔霍夫公式到底是怎么推导出来的呢？其实这背后的原理就是能量守恒和电荷守恒。

从电荷守恒的角度来看，在一个节点处，电荷不会无缘无故地消失或者增加，所以流入的电荷总量必须等于流出的电荷总量，这就导出了基尔霍夫第一定律。

而从能量守恒的角度去想，在一个闭合回路中，电源提供的能量必须全部被电阻等元件消耗掉，不然能量就“不翼而飞”啦，这就导出了基尔霍夫第二定律。

就像我之前帮一个小朋友辅导电路知识，他怎么都理解不了基尔霍夫定律。

我就带着他用电池、灯泡、导线搭了个简单的电路，让他亲自去测量电流和电压，感受一下能量和电荷的变化。

光学基尔霍夫定律

光学基尔霍夫定律
基尔霍夫定律是描述光的传播和干涉规律的基本原理之一，分别为基尔霍夫第一定律和基尔霍夫第二定律。

基尔霍夫第一定律，也称为反射定律，是指光线入射到光滑界面上时，入射角（光线与法线之间的夹角）等于反射角，即出射角等于入射角。

基尔霍夫第二定律，也称为折射定律，是指光线从一个介质射入到另一个介质时，入射角、折射角和两种介质的折射率之间满足的关系。

具体表达为：光线从介质A折射到介质B时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等于介质A的折射率与介质B的折射率之比。

即sin(入射角)/sin(折射角) = n_A/n_B。

光学基尔霍夫定律是基于光的波动性和颗粒性的基本原理，通过描述光的传播和干涉规律，能够解释光在不同介质中的传播和折射现象。

基尔霍夫定律对于分析光学现象和设计光学系统具有重要的理论和实际应用价值。

基尔霍夫公式

的影响。
于是公式（14）对 1 的的积分：
1
4
E
1
n
exp jkr
r
E
n
exp
r
jkr
d
0
（15）
.
⑵ 应用瑞利－索末菲条件
对于
2
上任意点
P1
，取格林函数
G
P1
exp
jkR
R
于是：
G P1 cos n
n, R
jk
1 R
e jkR R
jkG
因为:R , con n, R 1
n
n
由于应用格林定理时要求 E ， E ， G ， G 在 S 包围的空间 V 内单值连续，而 P 点是一个奇异点，为此，
n
n
用半径为的小球面 S 将 P 点排除。于是封闭面由 S S S 组成。列出 E ， G 满足的 Helmholtz 方程：
2E K 2E 0
（6）
2E K 2E 0
左边： 2E r,t 2E rexp jt
右边：
1 v2
t
E r,t
t
j 2
v2
E r exp
jt
K 2E r exp
jt
消去时间位相因子，即可导出：
2E r K2E r 0
（3）
上式称为 Helmholtz（亥姆霍兹）方程，它是光波复振幅满足的波动微分方程，当单色波通过图 4－3
.
（18）
下面以单色球面波为例来证明索末菲辐射条件。
设
E
exp
jkR
R
为任意点源发出球面波在
2
上的复振幅，有：
E