伽辽金方法
伽辽金加权余量法
伽辽金加权余量法伽辽金加权余量法是一种用于估计地球大气层中的物质含量的方法。
它基于光的散射和吸收现象，通过测量不同波长下的光强度，推断出大气层中某种物质的浓度。
本文将详细介绍伽辽金加权余量法的原理、应用、优缺点以及未来发展方向。
一、原理1.1 光的散射和吸收在大气层中，光线会发生散射和吸收现象。
当光线经过空气分子或云雾等微粒时，会被这些微粒所散射，使得原本直线传播的光线变得弯曲或偏转。
同时，不同波长的光线受到不同程度的散射影响，因此在大气层中观察到的太阳光谱会出现一定程度上的变化。
此外，在大气层中还存在着各种化学物质，如臭氧、水蒸汽、二氧化碳等。
这些物质对不同波长的光线也会发生吸收作用，使得通过大气层传播的太阳光谱再次发生变化。
1.2 伽辽金加权余量法的原理伽辽金加权余量法利用了光的散射和吸收现象，通过测量大气层中不同波长的光线强度，推断出大气层中某种物质的浓度。
具体来说，该方法将太阳光谱分为若干个波段，在每个波段内测量透过大气层后的光线强度，并计算出各波段内的平均强度值。
然后，根据不同波长下的平均强度值之间的比较关系，推断出大气层中某种物质的含量。
这里需要注意一点，即不同波长下的光线强度受到多种因素影响，如大气湍流、云雾遮挡等。
因此，在进行估算时需要对这些因素进行修正，并考虑它们对结果精度的影响。
二、应用2.1 大气成分测量伽辽金加权余量法是一种常用于大气成分测量的方法。
通过对太阳光谱进行分析，可以获得大气层中各种化学物质（如臭氧、水蒸汽、二氧化碳等）的浓度信息。
这对于研究大气层的结构和变化、预测气候变化等具有重要意义。
2.2 空间探测伽辽金加权余量法还可以应用于空间探测领域。
在行星探测任务中，该方法可以通过对太阳光谱的分析，获取目标行星大气层中的成分信息。
这对于了解行星环境、寻找适合生命存在的地方等都具有重要意义。
三、优缺点3.1 优点（1）非侵入性：伽辽金加权余量法不需要直接接触大气层，因此不会对大气层产生影响。
计算电磁学3-有限元法、里兹法、伽辽金法、矩量法
电磁波方程
Yee格式及蛙跳机制
电磁波方程的离散
激励源
Mur吸收边界条件
解的数值稳定性
Yee格式及蛙跳机制
n d 2 l E dl = 0 dt A H dS 1 = 0 H n1 dS H n dS A A t d H d l = E dA J dA 0 l A dt A
t H x 0
E
n 1 z i , j , k 1/2
Hx z
n 1 2 i , j 1/2, k 1/2
Hz
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
Hz x
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
n 1 2 J Source _y
f x x
xi
1 2 f x x f x x O x i i 2x
离散
计算机处理
1.积分 f xi x
交点间断伽辽金方法
交点间断伽辽金方法交点间断伽辽金方法是一种求解微分方程的数值算法，特别适用于具有交点间断的问题。
下面是关于交点间断伽辽金方法的10条详细描述：1. 交点间断伽辽金方法是一种有限差分法，通常用于求解具有交点间断的偏微分方程。
交点间断是指方程的解在某些点上突然发生突变。
2. 交点间断伽辽金方法的基本思想是将问题的求解域离散化为网格，并在网格上进行逼近操作。
在交点处，采用特殊的边界条件来处理间断。
3. 交点间断伽辽金方法的关键是建立合适的逼近空间，通常使用分段多项式来逼近解。
在交点处，需要额外引入一个间断节点来处理间断。
4. 交点间断伽辽金方法的求解过程分为两个步骤：首先在整个求解域上求解子问题，然后再在交点处使用间断条件将子问题连接起来。
5. 在交点间断伽辽金方法中，每个交点都可以看作是两个子问题的连接点。
在交点处，需要使用间断条件来连接两个子问题的解。
6. 在交点间断伽辽金方法中，间断条件是设定在交点处的边界条件，用于将两个子问题的解连接起来。
具体的间断条件根据求解问题的具体要求来确定。
7. 交点间断伽辽金方法需要对交点处的间断条件进行数值近似。
常用的方法是使用平均值，将两个子问题的解的平均值作为交点处的解。
8. 交点间断伽辽金方法中，两个子问题的解在交点处是不连续的，但在交点附近，解是连续而光滑的。
这是通过在交点附近使用高阶多项式逼近来实现的。
9. 交点间断伽辽金方法的求解过程中，需要对整个求解域进行离散化，并在每个网格点上求解子问题。
求解过程可以通过迭代的方式进行，直到达到收敛的条件。
10. 交点间断伽辽金方法在求解具有交点间断的问题时，能够提供较高的数值精度和计算效率。
它在科学计算和工程领域中具有广泛的应用，可以用于求解各种实际问题。
无网格伽辽金方法在线弹性断裂力学中的应用研究
山东大学硕士学位论文无网格伽辽金方法在线弹性断裂力学中的应用研究摘要（在处理裂纹扩展这类动态不连续性问题时，传统的计算方法如有限元法、＼有限差分法等常需要网格重构。
这样不仅增加了计算工作量，而且会使计算精度严重受损。
无网格方法中，由于采用基于点的近似，网格可以彻底或部分地、消除，因此可以完全抛开网格重构，从而保证了计算精度广本文在系统分析了前人所做工作的基础上，对无网格伽辽金方法（ＥＦＧＭ）做了部分改进，并用算例对其正确性和有效性进行了验证。
本文中主要的研究成果和结论有：／基于移动最小二乘近似的ＥＦＧＭ是目前应用最广泛的无网格方法，由于移动＼最小二乘形函数一般不具有常规有限元形函数所具有的插值特性，即ＥＦＧＭ的近＼，似函数不通过节点变量，本质边界条件的处理成为ＥＦＧＭ实旖中的一个难点可本文在处理本质边界条件时，采用了再生核质点方法中的完全变换法，实现了本质边界条件在节点处的精确施加。
权函数的使用是ＥＦＧＭ和其它无网格方法的精华所在，本文采用了一种基于ｔ一分布的新型权函数，在一定程度上提高了ＥＦＧＭ的计算精度。
ｒ／影响半径大小的取值对最终的场函数近似解或其导数有较大影响，传统方＼｜法是在整个求解域内使用统一的影响半径。
、ｊ本文针对裂纹扩展中的实际情况，√对动态影响半径法作了进一步的补充和改进。
即在均匀分布节点区域，采用与基函数相对应的规定节点数来确定影响半径的大小；而在局部加密节点邻域，根据节点加密情况，相应地增加确定影响半径所需的节点数。
本文分别计算了单一型和复合型裂纹的应力强度因子，计算结果表明使用部分扩展基函数不仅能获得较高的计算精度，而且积分围线对它的计算结果影第１页山东大学硕士学位论文响较小，计算稳定性好。
用ＥＦＧＭ模拟了拉剪复合型裂纹的扩展行为，由于避免了有限元方法中网格重构的繁琐，大大简化了裂纹扩展的模拟工作。
，计算结果证明本文模拟的裂纹扩展轨迹与前人的研究结果符合得较好。
通过本课题的研究工作，进一步发展和完善了ＥＦＧＭ，为其在断裂力学问题以及其它结构计算问题中的应用奠定了良好的理论基础；此外，也为进一步研究复杂的断裂问题，如弹塑性材料的裂纹扩展问题、三维裂纹扩展问题、动态裂纹扩展问题以及界面断裂力学问题等做了一些有益的基础准备。
有限元法的基础理论
一、里兹法与迦辽金法（摘自电磁场有限元方法 金建铭） 1. 里兹法里兹法是一种变分方法，其中边值问题用变分表达式（也称泛函）表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。
通过求泛函相对于其变量的极小值可得到近似解。
2. 伽辽金法伽辽金法属于残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数求加权的方法得到方程的解。
若u是方程的近似解，将u 代入方程可得到非零的残数： r Luf =- u的最佳近似应能使残数r 在Ω内所有点上有最小值。
残数加权方法要求： 0i i R rd ωΩ=Ω=⎰这里i R 表示残数的加权积分，i ω是所选的加权函数。
在伽辽金法中，加权函数与近似解展开中所用的函数相同。
通常，这样可得到最精确的解。
二、有限元方法里兹法和伽辽金法中，在整个解域内找出能表示或至少近似表示问题真实解的试探函数是非常重要的。
然而对于许多问题，这个步骤是十分困难的，对二维和三维问题尤其如此。
为此，我们可将整个区域划分成小子域，并应用定义在每个子域上的试探函数。
因为子域是小区域，因而在每一子域内函数的变化不大，所以定义在子域上的试探函数通常比较简单。
这正是有限元法的基本思想。
应用里兹法的过程通常称为里兹有限元法或变分有限元法，而应用伽辽金方法的过程通常称为伽辽金有限元方法。
有限元法与经典里兹法和伽辽金法的不同之处是在试探函数的公式上。
在经典里兹法和伽辽金法中，试探函数由定义在全域上的一组基函数组成。
这种组合必须能够（至少近似）表示真实解，也必须满足适当的边界条件。
在有限元法中，试探函数是由定义在组成全域的子域上的一组基函数构成。
因为子域很小，所以定义在子域上的基函数能够十分简单。
三、关于形函数（摘自有限元法在电磁计算中的应用 张榴晨）对于一个待求的微分方程，用一组线性独立的尝试函数i ψ和待定系数i C 来表示方程的近似解，并用加权余数法（迦辽金法）来求解这些待定系数。
求解待定系数的代数方程组为：1[]1,2,,ni j i j i d C q d j n ψψψΩΩ=∇∇Ω=Ω=∑⎰⎰这里j ψ为所选择的加权函数，应用迦辽金法时，所选取的加权函数即为尝试函数。
无网格局部彼得洛夫伽辽金法在大变形问题中的应用
无网格局部彼得洛夫伽辽金法在大变形问题中的应用
标题1：“无网格局部彼得洛夫伽辽金法”的基本原理与特点分
析
无网格局部彼得洛夫伽辽金法是一种解决大变形问题的数值模拟方法，它采用了一种全新的非结构化网格的无网格技术，能够更为准确地反映材料的局部变形行为。
本文将从基本原理和特点两个方面进行分析。
首先是基本原理。
无网格局部彼得洛夫伽辽金法采用局部网格化技术，将边界和物质界面的情况用数学函数来表示，从而避免了网格的生成和更新。
该方法能够自动适应问题的几何形状和物理行为，轻松应对具有复杂几何形状和高度非线性材料行为的问题。
其次是特点分析。
该方法具有较高的精度和稳定性，在处理非线性、大变形材料问题时表现尤为突出。
由于其自适应的特点，它还能够大幅降低模拟流程的计算复杂度。
同时，由于无网格技术的应用，该方法的计算速度较传统有限元方法更快，能够处理更大的模型。
综上所述，无网格局部彼得洛夫伽辽金法的优势在于精度高、计算速度快、适用性广泛等利好，相信在未来的科技发展中，其将具有更为广泛的应用前景。
单个标题的毕业总结：本文结合无网格局部彼得洛夫伽辽金法的基本原理和特点进行了系统的分析，揭示了这种数值计算方
法的实际应用优势。
对于学习数值模拟的学者而言，无疑是一份极具参考价值的研究成果。
无单元伽辽金法及其在瞬态温度场中的应用研究
无单元伽辽金法及其在瞬态温度场中的应用研究无单元伽辽金法是一种用于分析复杂热物理系统的有效工程工具，严格求解了数值解据解法所不能实施的热传导问题。
由于对所计算问
题的绝对边界不限制，无单元加热金法在很多传热系统中得到广泛的
应用，并取得了良好的结果，特别是在瞬态温度场中的应用研究。
一、无单元伽辽金法
无单元伽辽金法是一种基于局部区域离散的一种方法，能够可靠、有
效的解决复杂的热传导问题。
大多数方法需要对所分析问题的绝对边
界进行限制，而伽辽金法不需要对边界进行限制，不仅减少了复杂度，也可以将热传导问题转化为一个正则化的绝热边界值问题。
二、瞬时温度场中的应用研究
实际上，无单元伽辽金法有着广泛的应用，特别是在瞬态温度场的研
究方面，一直获得良好的结果。
伽辽金法比实物温度场分析涉及更多
临界参数，大大方便了研究者对传热系统因素（如物体尺寸、层厚度等）之间的相互影响进行分析和预测。
另外，伽辽金法可以解决复杂热传导分析涉及的非平衡温度场和时变传热场等问题，特别在定性研究和耦合力学、化学过程中尤为有效。
根据不同的问题，多项式、指数等模型可以使用此法计算出温度场的衰减，以求解温度分布图和时变传热场等热学问题，给出传热过程的响应特性。
总之，无单元伽辽金法在解决瞬态温度场中复杂热传导问题中发挥着重要作用，在实际应用中取得了良好的结果。
未来，对无单元伽辽金法的应用研究仍有很大的潜力，以期获得更准确的数值模拟结果，获得更高效的工程技术解决方案。
-迦辽金法
= ∫ x(2C2 )dΩ + ∫
0
d
Γ| x = 0
x((C1 x1 + C2 x 2 )
x =0
− 0) dΓ − 10) dΓ
+∫
Γ| x = d
x((C1 x1 + C2 x 2 )
x =d
= C2 d 2 + 0 + (C1d 2 + C2 d 3 − 10d ) = d 2C1 + d 2 (1 + d )C2 − 10d = 0
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式： 加权余数表达式：
j = 2时, 又得到一个代数方程： F2 ( R ) = ∫ ψ 2 RΩ dΩ + ∫ ψ 2 RΓ dΓ
Ω Γ
= ∫ x 2 (2C2 )dΩ + ∫
0
d
Γ| x = 0 Γ| x = d
x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 ) x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 )
Γ Ω Γ
系数 代数方程写成矩阵形式：
系数矩 阵n×n
激励
边界条件
[ K ][C ] = [ F ][b]
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
K ji = w j l(ψ i )dΩ + w*ξ (ψ i )dΓ ∫Ω ∫Γ j 虽然元素值还需要积分、 矩阵元素值： 微分的求得，还难以借助 计算机求解，但至少化为 F j = ∫Ω w j q dΩ 了代数方程组。 b j = ∫ w* s dΓ 通过选择合适的加权函数 j Γ 和尝试函数可以大大简化
在x = 0处： Γ）x =0＝0 φ （ φ 在x = d处加权余量法－－例
伽辽金法
此时：
N1 x5 lx4 14l 2 x3 26l3x2
消除余量的条件为:
l
0 N1RI dx 0
由此可得： C 0.00908q EIl
B
0.1262ql 4 EI
伽辽金法的优点与缺点：
优点：用伽辽金法求解时，实际上是放松了问题原来对V内各点都 要精确满足平衡微分方程的要求，使问题变成了仅满足平衡微分方 程与一个加权函数的乘积在整个物体的定义域V内积分等于零的条 件，降低了求解难度。 不足：由于在近似求解时，应力分量并不精确满足平衡微分方程， 实际上会出现残差，因此，伽辽金法又称为加权残差法。
（1.4）
不同的权函数WIi 和 WBi 反映了不同的消除余量的准则，其中伽 辽金法为选取尝试函数本身为加权函数，即：
___
WIi =WBi W j
此时（1.4）式可表示为：
___
___
V W j RI dV
W
S
j
RBdS
0
(i 1, 2,L , n)
（1.5）
此时可以定义 u%的变分 u%为：
u% N1 a1 N2 a2 L Nm am
（1.6）
在多数情况下用伽辽金法得到的求解方程是对称的，所以在用加 权余量法建立有限元格式是几乎毫无意外地采用伽辽金法。
伽辽金法应用举例：
如图所示等截面悬臂梁，受满跨均布荷载作用，求悬臂端B的竖向位移 B为例， 说明基本方法的应用。
图示梁的控制方程为：
u——为问题待求的未知函数。
u% 当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 ，一般
具有以下形式：
n
u% Ci Ni NC
（1.3）
i 1
式中： Ci —— 待定系数，也可称为广义坐标；
瑞利里兹法和伽辽金法的区别
瑞利里兹法和伽辽金法的区别
瑞利里兹法和伽辽金法都是用于测定物体密度的方法，但它们的原理和步骤略有不同。
瑞利里兹法是利用声波的散射来测定物体的密度。
该方法需要将一个物体置于液体中，然后通过声波穿过物体并散射回来来确定物体的密度。
具体来说，该方法可以通过测定声波在液体中的传播速度和衰减程度来计算出物体的密度。
伽辽金法则是通过测定物体的质量和体积来计算其密度。
该方法需要将物体置于一个浸泡在液体中的容器中，并测量液体的容积变化。
通过比较容器中液体的初始体积和加入物体后的体积变化，可以计算出物体的体积。
然后，通过将物体称量并将其质量除以体积，可以计算出物体的密度。
总的来说，这两种方法都可用于测定物体的密度，但它们的原理和步骤略有不同，需要根据具体情况选择合适的方法。
- 1 -。
Ritz-Galerkin法
6.2 变分问题的近似解法（Ritz-Galerkin 方法） 利兹（Ritz 1878-1909）德国数学家， 伽辽金（Galerkin 1871-1945）俄国工程师 Ritz 法基于极小位能原理：求)(u J 的极小值（在某一空间V 中）；Galerkin 法基于虚功原理：求V u ∈，使V v v f v u a ∈∀=),,(),(。
（V 为前面提到的各种Sobolev 空间，一般是无限维的。
）求解上述变分问题的数值解的基本思想是：对于无限维的Sobolev 空间V ，用一个有限维的（n 维）空间n V 来代替，即取V V n ⊂，求n V u ∈，满足上述变分问题。
如求)(u J 的极值问题，可化为求多元二次函数的极值问题，使u 易于求出。
设{}VV n⊂=,,,,121ϕϕϕ ，),,1(n ii =ϕ为n V 的一组基函数，则n n V u ∈∀，有∑==n i i i n C u 1ϕ，即n u 可用这组基函数线性表示。
通过选取适当的系数i C ，使n V 是V 中的解u 的近似解。
n V 称为试探函数空间（书上为容许函数空间）。
对于齐次的本质边界条件，如取10V H =，则这组基函数),,1(n i i =ϕ也必须满足边界为0的条件。
不同的空间，对基函数的要求也不同。
Ritz 法：将n u 代入)(u J 的表达式，得),(),(21)(n n n n u f u u a u J -=),(),(21111∑-∑∑====n i i i n i i i ni i i C f C C a ϕϕϕ∑-∑===n i i i nj i j i j i C f C C a 11,),(),(21ϕϕϕ它是i C 的二次函数。
选取i C ，使)(min )(n V v n v J u J nn ∈=。
由极值的必要条件，得()0,1,2,,n kJ u k n C ∂==∂。
若记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n a a a a a a a a a A ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n C C C X 21，12(,)(,)(,)n f f b f ϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则),(),(21)(X b X AX u J n -=由第一节二次泛函的变分原理可知，当A 对称正定时，求此泛函的极小等价于求解方程组b AX=。
时域不连续伽辽金方法的电磁建模与局部时空加速技术研究
运行程序
运行程序进行计算，得 到电磁场分布等相关结 果。
算法验证方法与结果
验证方法
为了验证算法的正确性，可以采用多种方 法进行验证，包括理论推导、数值模拟和 实验测量等。
VS
验证结果
经过验证，该算法能够有效地解决电磁散 射、电磁辐射等问题，具有较高的准确性 和可靠性。
06
结论与展望
研究成果总结
该方法在处理具有瞬态特性的电磁场问题时具有优势，能够准确地模拟电磁场的 瞬态响应。
时域不连续伽辽金方法的基本原理
时域不连续伽辽金方法的基本原理是将时域电磁场问题转化 为不连续的时域信号问题，通过对不连续的时域信号进行离 散化处理，得到数值模型。
在该模型中，电磁场被离散化为有限个不连续的信号，每个 信号被视为一个单元，通过对这些单元进行数值计算，得到 电磁场的瞬态响应。
要点二
局部时空加速技术
通过时空局部化技术，将计算区域划分为多个子区域， 针对每个子区域进行高效的时域计算，实现更快的计算 速度。适用于大规模、复杂和动态变化的电磁问题求解 。
04
局部时空加速技术研究
局部时空加速技术的基本原理
局部时空加速技术是一种基于时域不连续伽辽金方法（ DGM）的电磁建模技术，通过对电磁波的传播过程进行精 细刻画，实现对局部时空的加速计算。
05
算法实现与验证
算法实现流程
确定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
明确需要解决的问题， 包括电磁散射、电磁辐 射等问题。
建立模型
根据问题建立相应的数 学模型，包括麦克斯韦 方程组、边界条件等。
选择适合的伽 辽金方法
根据模型选择适合的伽 辽金方法，比如不连续 伽辽金方法。
编写程序
根据选择的伽辽金方法 和编程语言（如Python 、C等）编写程序。
应用伽辽金法求解一维热传导问题
应用伽辽金法求解一维热传导问题
解：令
为待定系数，形函数为 ，近似解 满足边界条件，无余量，近似解 在域中连续。
由伽辽金法， ，对上式进行分步积分，有
当i=1时，
上式变为
求得
则一项解为
当i=2时，
原式变为
即变为
则二项解为
而本例的精确解为
如图所示，给出伽辽金法的近似一项解，二项解与精确结果的曲线。
伽辽金谱方法
伽辽金谱方法
伽辽金谱方法是一种基于谱分析的信号处理方法，主要应用于振动、噪声、声场等领域的分析和处理。
该方法利用谱分析技术将信号分解为一系列频率分量，从而可以对信号的频谱特征进行分析和处理。
具体来说，伽辽金谱方法的基本思路是将信号表示为一系列频率分量的叠加，然后利用谱分析技术对这些频率分量进行分析和处理。
具体步骤如下：
1. 将信号表示为傅里叶变换的形式，即：
X(f) = ∫x(t)e^(-j2πft)dt
其中，X(f)表示信号的频谱，x(t)表示信号的时域波形，f表示频率，t表示时间。
2. 对频谱进行分解，得到一系列频率分量，即：
X(f) = ∑[c_if exp(j2πft)]
其中，c_if表示每个频率分量的幅度，exp(j2πft)表示正弦波形的相位。
3. 对每个频率分量进行分析和处理，可以采用滤波、降噪、去伪等方法。
伽辽金谱方法具有以下优点：
1. 能够对信号的频谱特征进行全面分析，能够发现信号中的频率分量和频率成分。
2. 可以对信号进行滤波、降噪、去伪等处理，提高信号的质量和信噪比。
3. 可以应用于多种信号处理领域，如振动、噪声、声场等领域。
总之，伽辽金谱方法是一种基于谱分析的信号处理方法，具有广泛的应用前景和实际意义。
伽辽金法求解微分方程
伽辽金法求解微分方程伽辽金法是一种常用的求解微分方程的方法，其主要思想是通过将微分方程近似为一系列代数方程来求解。
在使用伽辽金法之前，我们需要对微分方程以及初值条件进行求解。
具体的步骤如下：1. 将微分方程转化为一阶形式首先，我们需要将高阶微分方程转化为一阶形式，例如将二阶微分方程 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0 转化为一阶形式：y'(x) = u(x)u'(x) = -p(x)u(x) - q(x)y(x)2. 选取一组适当的初值条件对于求解一阶微分方程，我们需要知道 y(x0) 和 y'(x0) 的值。
对于高阶微分方程，我们需要通过一些方法来求得这些初值条件。
3. 将求解区间划分为若干个小区间我们将求解区间 [a,b] 划分为 n 个小区间：a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b4. 使用欧拉法进行初步求解我们首先使用欧拉法对每一个小区间的初值条件进行初步求解，得到 y(xi) 和 u(xi) 的值。
5. 使用伽辽金法进行迭代求解伽辽金法的思想在于将每一个小区间的微分方程按照一定的方式进行近似，得到一组代数方程来求解。
具体的迭代公式如下：y(xi+h) = y(xi) + h/2(u(xi)+u(xi+h))u(xi+h) = u(xi) + h/2(-p(xi)y(xi)-q(xi)u(xi) -p(xi+h)y(xi+h)-q(xi+h)u(xi+h))其中 h = (b-a)/n。
6. 组合求解结果将每一个小区间的求解结果组合起来，得到整个求解区间的解y(x) 和 y'(x) 的值。
总的来说，伽辽金法是一种比较简单有效的求解微分方程的方法，其实现也相对容易，但在实践中需要注意一些细节问题，以保证结果的准确性。
结构稳定理论伽辽金法
y(0) y(l ) 0
即 i (0) i (l ) 0
(4) 2 L (y) y y 则
a1[24 2 2 (6x2 6xl l 2 )] a 2[120(2x l ) 2 2 (20x 30lx2 12lx l 3 )]
!显示结构三阶模态图，保留未变形结构轮廓
FINISH
模态图
一阶模态图
临界荷载(FACT)为49809.7N 与精确解49937.56N相比，偏小约0.3%
二阶模态图
临界荷载为101584N
三阶模态图
临界荷载为197505N
THANKS
0
由上式可确定 a1 和a2 的比值，从而确定y
a2 不全为零的条件是其系数行列式为零， 则上式中的参数 a1， 为此，令其系数行列式为零即得稳定方程为
=0
展开后解得
2
与精确解 Fcr 39.48
EI 由 F / EI 得最小根为 Fcr 41.99 2 l EI
l
2
2l 2 41.99
伽辽金的方程组为
l
0
l
L(y)1dx a1 (0.8 0.0191 2l 2 )l 5 a2 (0 0 2l 2 )l 6 0
L(y)2 dx a1 (0 6 2l 2 )l 6 a2 (0.5714 0.006349 2l 2 )l 7 0
用伽辽金法推导两端固支杆的临界荷载 及其ANSYS命令流
主讲人：郑如杰
【例2.4】 如图所示，用伽辽金法试求两端固支杆的临界荷载