第7讲 共线问题(解析版)-2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1，化简得a4−4a2+4=0得：a2=2，故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，故x1+x2=−4km2k2−1，x1x2=2m2+22k2−1，k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0，化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0，即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ2=√22，由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1x1−2=√2，联立y 1−1x1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53， 同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53， 故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2−y 23=1．(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2．不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)．两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2．两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此，点M 的轨迹为直线y =3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率． 若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A，解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3．此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12kk 2−3．而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M ， 解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2，y M =6kk 2−3=y A +y B2，故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|． 若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3k x 上，矛盾．故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0)， 并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A，解得x A =p−√3，y A =√3pp−√3．同理可得x B =p+√3，y B =−√3pp+√3．此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3，y M =y A +y B2=6pp 2−3．由于点M 同时在直线y =3k x 上，故6p =3k ·2p 2，解得k =p.因此PQ//AB ． 若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3，设AB 的中点为C(x C ,y C )，则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3，y C =y A +y B2=6kk 2−3．由于|MA|=|MB|，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上．将该直线与y =3k x 联立，解得x M =2k 2k 2−3=x C ，y M =6kk 2−3=y C ，即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上． 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题．主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一，难度较大，对学生的综合要求较高。
第7讲 共线问题(解析版)
第7讲 共线问题1．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率22e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为212-, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且. （1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．【答案】（1）y 2212x +=1．（2）（﹣1，12-）∪（12，1）．【详解】 （1）由条件知a ﹣c ＝1，c a =， ∴a ＝1，b ＝c 2=，故C 的方程为：y 2212x +=1． （2）设l ：y ＝kx +m 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立得（k 2+2）x 2+2kmx +（m 2﹣1）＝0△＝（2km ）2﹣4（k 2+2）（m 2﹣1）＝4（k 2﹣2m 2+2）＞0 （*）x 1+x 2222km k =-+，x 1x 22212m k -=+ ∵AP =3PB ， ∴﹣x 1＝3x 2∴x 1+x 2＝﹣2x 2，x 1x 2＝﹣3x 22，消去x 2，得3（x 1+x 2）2+4x 1x 2＝0，∴3（222km k -+）2+42212m k -⨯=+0整理得4k 2m 2+2m 2﹣k 2﹣2＝0 m 214=时，上式不成立； m 214≠时，k 2222241m m -=-， 因λ＝3，∴k ≠0，∴k 2222241m m -=-＞0， ∴﹣1＜m 12-＜或12＜m ＜1 容易验证k 2＞2m 2﹣2成立，所以（*）成立即所求m 的取值范围为（﹣1，12-）∪（12，1）．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A C 相交于A ，B ，且AB OB ⊥，O 坐标原点.（1）求椭圆的离心率e ；（2）若1b =，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点.（ⅰ）求OP OQ k k ⋅的值；（ⅰ）点M 满足2OM OP =，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NM NQ 的值.【答案】（1；（2）（ⅰ）15-；（ⅰ）38. 【分析】（1）由几何关系可得B 点坐标，代入椭圆方程即得a =，又222,c a b c e a=+=即得； （2）（ⅰ）将直线PQ 与椭圆联立即得1212OP OQ y y k k x x ⋅=结果； （ⅰ）,(01)NM NM NQ NQλλλ==<<将其坐标化，利用P ，Q ，N 在椭圆上求得结果即可． 【详解】（1）已知||,||,26a OA a OB BAF π==∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225,a a b==，∴2c b ==，∴c e a ==．（2）（ⅰ）由（1）可得1,b a ==22:15x C y +=设直线l ：()()()1122332,,,,,,x P x y Q x y N x y =+∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立直线l 与椭圆C的方程：22255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810,0y +-=∆>恒成立121218y y y y +==-∴))12121212522348x x y y y y =++=+++= ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅰ）设,(01)NM NM NQ NQλλλ==<< ()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ ∴12312322(1)22(1)x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩()()312312122(1)122(1)x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴22222211223355,55,55x y x y x y +=+=+=()()2212122222554(1)4(1)x x y y λλλλ--+=-- ∴()()222222112212125454520(1)x y x y x x y y λλλ+++-+=-由（ⅰ）可知121250x x y y +=，∴22144(1)λλ+=-， ∴38λ=∴38NM NQ =．3．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.【答案】（1）()(),25,-∞+∞；（2）()3.5,5；（3）见解析 【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则250m m ->->，解得m 的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合()23223k =-，解得k ，设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，求出MB 的方程，可得316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【详解】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得：()()25m ∈-∞⋃+∞，，. （2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则：250m m ->->， 解得：7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）当4m =，曲线C 可化为：2228x y +=，当0x =时，2y =±，故A 点坐标为：()02，，()02B -，， 将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得：()222116240k x kx +++=， 若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，则()232230k =->，解得232k >，由韦达定理得：21621m n k x x k +=-+ ①， 22421m n x x k ⋅=+ ② 设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，， MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，， ∴3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+， 欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线， 即()326M N N M x kx x kx +=-+， 将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.4．已知圆O 的方程为224x y +=，圆O 与y 轴的交点为A ，B (点A 在点B 的上方)，直线:1l y kx =+与圆O 相交于M ，N 两点（1）当k =1时，求弦长MN ；（2）若直线y =4与直线BM 交于点D ，求证：D 、A 、N 三点共线.【答案】（1（2）证明见解析；【分析】（1）先求出圆心到直线的距离d，再由MN =代入计算即可；（2）联立2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，借用韦达定理表示出,DA AN →→，证明//DA AN →→，即可证明D 、A 、N 三点共线.【详解】（1）∵1k =，∴直线l 的方程为10x y -+=.圆心到直线的距离2d ==，∴MN === （2）由题可得()0,2A ，()0,2B -，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 得：()221230k x kx ++-=，12221k x x k +=-+，12231x x k-=+， 112:2BM y l y x x ++=，令4y =， 得1162x x y =+，∴116,42x D y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 116,22x DA y →⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，()22,2AN x y →=-，∵()12121212211162612242222x y x y x x y x x y y y ---+++=++++ 1221121621242x y x y x x y -+++=+ ()()122112*********x kx x kx x x y -+++++=+ 12112212166221242kx x x kx x x x x y --++++=+ ()221212113246461122k k kx x x x k k y y --⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭==++ 22112121102k k k k y -++==+，//DA AN →→∴，∴D 、A 、N 三点共线.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解，韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力.5．已知椭圆C ： 2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ， O 为原点， M ， N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ， D 两点．（ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值；（ⅰ）证明： E ， O ， D 三点共线.【答案】（1）1；（2）详见解析。
2021年高考理数：圆锥曲线
核心考点解读——圆锥曲线椭圆（II ） 双曲线（I ） 抛物线（II ） 直线与圆锥曲线（II ）1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.解答题中则常综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等.2.从考查内容来看，主要考查圆锥曲线的方程，以及根据方程及其相应图形考查简单几何性质，重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用，注重运算求解能力的考查.3.从考查热点来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过直线方程与圆锥曲线方程的联立，结合椭圆、双曲线、抛物线的定义考查与之有关的问题，重点突出考查运算的能力，体现了数形结合的思想.1.椭圆(1)椭圆的定义：平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记做122F F c =.定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. (2)椭圆的标准方程：焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>. (3)椭圆的图形及其简单几何性质 i)图形焦点在x 轴上 焦点在y 轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆22221x y a b += (0)a b >>x a ≤ y b ≤ (,0)a ±，(0,)b ± (,0)c ± 对称轴：x轴，y 轴，对称中心：原点01e <<，ce a=22221y x a b+= (0)a b >>y a ≤ x b ≤ (0,)a ±，(,0)b ±(0,)c ±注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围. 2.双曲线(1)定义：平面内，到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个定点之间的距离叫做双曲线的焦距，记做122F F c =.定义式：12122(02)PF PF a a F F -=<<. 要注意，常数小于两定点之间的距离. (2)双曲线的标准方程：焦点在x 轴上，22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上，22221(0,0)y x a b a b-=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0c a b c a c b -=>>>>. (3)双曲线的图形及其简单几何性质 i)图形焦点在x 轴上 焦点在y 轴上ii)标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 范围 x a ≥，y ∈R y a ≥，x ∈R顶点 (,0)a ± (0,)a ±焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线by x a=±a y x b=±对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点离心率ce a=，1e > 注意：求双曲线的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程；也可以利用双曲线的定义及焦点位置或点的坐标确定双曲线的标准方程.求双曲线的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.渐近线是双曲线特有的特征，双曲线的渐近线方程可以根据双曲线的标准方程求解，令双曲线标准方程中的10=，得到渐近线方程为22220x y a b -=或22220y x a b-=.3.抛物线(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线(l l 不经过点)F 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 定义式：PF d =，d 为动点P 到准线的距离. (2)抛物线的标准方程焦点在x 轴的正半轴上：22(0)y px p =>； 焦点在x 轴的负半轴上：22(0)y px p =->； 焦点在y 轴的正半轴上：22(0)x py p =>； 焦点在y 轴的负半轴上：22(0)x py p =->. (3)抛物线的图形及其简单几何性质 标准 方程22y px = (0)p >22y px =- (0)p >22x py = (0)p >22x py =-(0)p >图形焦点 )0,2(p F )0,2(p F -)2,0(p F )2,0(p F -准线方程 2p x -= 2p x = 2p y -= 2p y =范围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R ,0x y ∈≥R,0x y ∈≤R对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0)离心率 1e =焦半径12x pPF +=12x pPF +=12y pPF +=12y pPF +=(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，抛物线的通径长为2p ；抛物线焦点弦的常用结论：设AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则2124p x x =，212y y p =-，弦长12AB x x p =++，112AF BF p+=等. 4.直线与圆锥曲线的位置关系(1)椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离.位置关系的判定方式：将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消元，得到关于()x y 或的方程，通过判别式∆进行判别.要注意，若直线与双曲线的渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点；若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则直线与抛物线相交，且只有一个交点. (2)直线与圆锥曲线相交的弦长问题：弦长公式：221212()()AB x x y y =-+-2121221(1)(1)k x x y y k =+-=+-. (3)已知直线与圆锥曲线相交所得弦的中点，则该弦所在直线方程的表示方式： i)利用点斜式设出直线方程，联立方程，消元后根据根与系数的关系及中点坐标公式建立关于直线斜率的方程，求解方程即可.ii)利用点差法，设弦的端点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入曲线方程，然后作差，利用两点坐标求斜率公式，得到斜率，再利用点斜式写出直线方程. (4)圆锥曲线中有关定点、定值的问题：一般可以根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件建立方程组（或不等式），消去参数，求出定值或定点的坐标；也可以先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.(5)圆锥曲线中的最值、范围问题：一是根据题中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中∆的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量，如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值.1．（2021高考新课标I ，理10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．102．（2021高考新课标I ，理15）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为.3．（2021高考新课标I ，理20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–13，P 4（13）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.4.(2021高考新课标I ，理5)已知方程222213x y m n m n+=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–3C ．(0,3)D ．35.(2021高考新课标III ，理11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．346.(2021高考新课标II ，理11)已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 A 2B ．32C 3D ．27.(2021高考新课标I ，理10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42|DE|=25C 的焦点到准线的距离为A ．2B ．4C ．6D ．88. (2021高考新课标I ，理5)已知M (00,x y )是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A.(33B.(33) C.(2222)D.(2323) 9.(2021高考新课标III ，理20) 已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.10.（2021高考新课标I ，理20）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.1．椭圆的离心率为，为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆的方程为A ．B ．C ．或D ．或2．过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是___________． 3．已知抛物线的焦点为.(1)若斜率为的直线过点与抛物线交于两点,求的值;(2)过点作直线与抛物线交于两点,且,求的取值范围.1．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线l 交抛物线于点,A B ，若AF FB λ=，且11,32λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则k 的取值范围是A ．(3B ．)3,2C ．(2,22D ．3,222．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 关于直线b y x a =的对称点为M ，若点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线方程为_______________．3．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12F F、，过点2F且垂直于x轴的直线截椭圆形成的弦长为2，且椭圆C的离心率为22，过点1F的直线l与椭圆C交于,M N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点(2,0)R，且RM RNλ⋅≤，则当λ取得最小值时，求直线l的方程.真题回顾：1.A【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x yB x y D x y E x y，直线1l的方程为1(1)y k x=-，联立方程214(1)y xy k x⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k--+=，∴21122124kx xk--+=-212124kk+=，同理直线2l与抛物线的交点满足22342224kx xk++=，由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p+=++++=221222222212121224244416482816k kk k k k k k++++=++≥=，当且仅当121k k=-=（或1-）时，取等号.【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sinpABα=，则2222||πcossin(+)2p pDEαα==，所以222221||||4(cos sin cosp pAB DEααα+=+=+222222222111sin cos)4()(cos sin)4(2)4(22)16 sin cos sin cos sinααααααααα=++=++≥⨯+=.2.233AP MN⊥，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线by xa=上的点，且(,0)A a，||||AM AN b==，而AP MN⊥，所以30PAN∠=，点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||1AP b a =+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =，由222c a b =+得2c b =， 所以233c e a b ===【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 3.（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t 24t -，（t ，24t -.则221242421t t k k ---++==-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=.由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）.4.A 【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-．5.A 【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||()FM k a c =-，||OE k a =.设OE 的中点为N ，则OBN FBM △∽△，则1||||2||||OE OB FM BF =，即2(c)k a a k a a c=-+，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =． 【名师点睛】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c的齐次等式，求得ca或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ． 6.A 【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a==+，因为211sin 3MF F ∠=，所以2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a =，故双曲线的离心率2212b e a =+=. 7.B 【解析】如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ,,AB DE 交x 轴于,C F 点，则22AC =，即A 点纵坐标为22，则A 点横坐标为4p ，即4OC p=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224(5)()(22)()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4.8.A 【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF ⋅= 0000(3,)(3,)x y x y --⋅- =2220003310x y y +-=-<，解得033y <<【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ⋅表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ⋅表示为0y 的函数是解本题的关键.9.由题设)0,21(F .设by l a y l ==:,:21，则≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（I ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （II ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则11112222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆-=-=--=||||||||||,△.由题设可得111222a b b a x ---=||||||，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .10.（I ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （II ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得1248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积341112||||212++==k PQ MN S .可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.名校预测1．【答案】C 【解析】由题意知，得，不妨设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆上任取点，取焦点，则中点，根据条件可得，，联立两式解得，代入椭圆方程解得，，由此可得椭圆的方程为或.故选C ．2．【答案】()1,5【解析】由题意知02ba <<,故22222204,115bc b a a a<<<=+<,故15e <<.3．【解析】(1)依题意,.设,则直线.联立,消去y 得,则,则.由抛物线的定义可知,.(2)设直线的方程为与曲线的交点为,∴.将的方程代入抛物线的方程,化简得,.∵,∴.又∵,∴恒成立,∴恒成立.∵,∴只需即可,解得.∴所求的取值范围为.专家押题1．【答案】D 【解析】如图，延长BA 交准线l 于点C ，分别过点A B ，作1AA l ⊥于1A ，1BB l ⊥于1B ， 设直线AB 的倾斜角为θ，1FB BB m ==，1FA AA m λ==，则11,cosAAm ACACBC BBλθ==，即coscosmmm mm mλλθλλθ=++，12cos111λθλλ-==-++，则上式是关于λ的减函数，由1132λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得11cos32θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故tankθ=的取值范围是()322，，故选D.2．2y x=±【解析】如图，令1||MF m=，2||MF n=，由题可知2n m a-=①，12MF MF⊥，故n bm a=，即bmna=，将其代入①式，解得22amb a=-，所以2abnb a=-，在12Rt F MF△中，2224m n c+=，即422222444()()a a bcb a b a+=--，结合222a b c+=化简可得2ba=，所以双曲线C的渐近线方程为2y x=±．3. 【解析】（1）联立2222,1,x cx ya b=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2bya=±，故222ba=又2ca=，222a b c=+，解得2a=1b=，故椭圆C的标准方程为2212xy+=.（2）设11(,)M x y，22(,)N x y，故1122(2,)(2,)RM RN x y x y⋅=-⋅-.当直线l垂直于x轴时，121x x==-，12y y=-，且2112y=，此时211117(3,)(3,)92RM RN y y y⋅=-⋅--=-=.当直线l不垂直于x轴时，设直线:(1)l y k x=+，联立22(1),22,y k xx y=+⎧⎨+=⎩整理得2222(12)4220k x k x k+++-=，所以2122412kx xk-+=+，21222212kx xk-=+，故21212122()4(1)(1)RM RN x x x x k x x ⋅=-+++++22222222121222224(1)(2)()4(1)(2)41212k k k x x k x x k k k k k k-=++-+++=+--++++2221721713171222(12)2k k k +==-<++.综上所述，λ的最小值为172，此时直线l 的方程为1x =-.。
2021版新高考数学：圆锥曲线含答案
设M(x、y)、由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|、|AO|＝2.
由于 ⊥ 、【关键点5：圆的几何性质向量化】
故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2、化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1、0)为焦点、以直线x＝－1为准线的抛物线、所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1、所以存在满足条件的定点P.
由题设知 ＝1、 ＝m、于是k＝－ .①
由于点M(1、m)(m>0)在椭圆 ＋ ＝1内、
∴ ＋ <1、解得0<m< 、故k<－ .
(2)由题意得F(1、0).设P(x3、y3)、
则(x3－1、y3)＋(x1－1、y1)＋(x2－1、y2)＝(0、0).
由(1)及题设得
x3＝3－(x1＋x2)＝1、y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.【关键点2、设出点P、借助向量的建立变量间的关系、达到设而不求的目的】
【点评】从本题可以看出、圆的几何性质与数量关系的转化涵盖在整个解题过程中、向量在整个其解过程中起了“穿针引线”的作用、用活圆的几何性质可以达到事半功倍的效果．
途径四 设而不求、化繁为简
高考示例
方法与思维
(20xx·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C： ＋ ＝1交于A、B两点、线段AB的中点为M(1、m)(m>0).
所以l的方程为y＝－x＋ 、代入C的方程、并整理得7x2－14x＋ ＝0.
故x1＋x2＝2、x1x2＝ 、
代入②解得|d|＝ .【关键点3：借用根与系数的关系、达到设而不求的目的】
所以该数列的公差为 或－ .
【点评】本题(1)涉及弦的中点坐标、可以采用“点差法”求解、设出点A、B的坐标、代入椭圆方程并作差、再将弦AB的中点坐标代入所得的差、可得直线AB的斜率；对于(2)圆锥曲线中的证明问题、常采用直接法证明、证明时常借助等价转化思想、化几何关系为数量关系、然后借助方程思想给予解答．
高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
x0 x a2
y0 y b2
1.
7.
x2
椭圆
a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2
，则椭圆的焦点角形的面积
S 为 F1PF2
b2
tan 2
.
-4-
8.
椭圆 x2 y2 a2 b2
1（a＞b＞0）的焦半径公式 | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1(c, 0)
x0
中心 顶点 对称轴
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0) x 轴，y 轴;
实轴长 2a, 虚轴长 2b.
(0,0) x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
e=1
a
a
-2-
【备注 1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线 x 2 y 2 a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2 .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. x 2 y 2 与 a2 b2
x 2 y 2 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： x 2 y 2 0 .
e 的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的 轨迹.
-1-
轨迹条件
点集： ({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F
2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题01 圆锥曲线与重心问题(通用版解析版)
专题1、圆锥曲线与重心问题从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。
而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。
“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．三角形的重心：三角形三条中线的交点。
知识储备:（1）G 是ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=；重心坐标(,)33A B C A B Cx x x y y y G ++++；（2）G 为ABC ∆的重心，P 为平面上任意点，则1(+)3PG PA PB PC =+；（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比； 经典例题例1、（2019成都市树德中学高三二诊12题）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为（ ） A ．993,,522⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ B ．994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．()93,44,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．[]3,5【答案】A【解析】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、(),Q Q Q x y 、(),R R R x y ，由重心的坐标公式得1303P Q RP Q R x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，()3R P Q x x x ∴=-+，()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，由24x ky m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky m --=，()221616160k m k m ∆=+=+>，由韦达定理得4P Q y y k +=，4P Q y y m =-，所以，()()()2242P Q P Q P Q x x ky m ky m k y y m k m +=+++=++=+，故()23342R P Q x x x k m =-+=--，()4R P Q y y y k =-+=-，将点R 的坐标代入抛物线C 的方程得()22164342k k m =⨯--，得2238m k =-， 则()()228228360k m k∆=+=->，得2102k≤<， 则(]222422543,5P Q PF QF x x k m k +=++=++=-∈.()1,0F 不在直线PQ 上，则1m ≠，此时，218k ≠，则92PF QF +≠. 因此，PF QF +的取值范围是993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：A. 【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．例2．（2020·浙江高三月考）已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ） A ．12S S > B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定【答案】B【分析】作出图示，根据,I G 的特点分别表示出1S ，2S ，即可判断出12,S S 的大小关系.【详解】因为121242MF MF F F +=>=，所以M 的轨迹是椭圆22143x y +=在第一象限内的部分，如图所示：因为I 是12MF F △的内心，设内切圆的半径为r ，所以()12121222MMFMF F F rF F y ++⋅⋅=，所以3M y r =，所以12121223I M F F y F F r y S ⋅⋅===， 又因为G 是12MF F △的重心，所以:1:2OG GM =，所以12112221133323M M MOF F OF F F yy S S S ⋅===⋅=，所以12S S ，故选：B . 【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.例3．（2020·湖南长郡中学高三期中）已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 的椭圆上一点（左右顶点除外），G 为12PF F △为重心.若1223F GF π∠≤恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据P 的椭圆上一点，且1223F GF π∠≤恒成立，不妨设点P 为上顶点，再根据G 为12PF F △为重心，由111tan 336GO PO b F O π==≥=求解. 【详解】因为P 的椭圆上一点，且1223F GF π∠≤恒成立，不妨设点P 为上顶点，如图所示：因为G 为12PF F △为重心，所以1133GO PO b ==，而1tan6GO FO π≥，即1GO O ≥，所以13b ≥，所以223b c ≥，所以2223a c c -≥，即214e ≤，解得102e <≤.故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及焦点三角形的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.例4．（2020·全国高二单元测试）已知A 、B 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，当122k k +取得最小值时，PAB △的重心坐标为（ ） A ．(1,1) B ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．44,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】由双曲线的性质可得点()1,0A -，()10B ,，设点()(,),1,0P x y x y >>，则122k k =，再由基本不等式可得1222k k ==，进而可得点(3,4)P ，即可求得重心坐标.【详解】由题意点()1,0A -，()10B ,，设点()(,),1,0P x y x y >>， 则10k >，20k >，2212222(1)21111y y y x k k x x x x -=⋅===+---，所以1224k k +≥=，当且仅当1222k k ==时取等号，所以221112yx y x ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，所以点(3,4)P ， 则PAB △重心坐标为113004,33-++++⎛⎫⎪⎝⎭即41,3⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B. 【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.例5．已知椭圆22:14x y C m+=的右焦点为()1,0F ，上顶点为B ，则B 的坐标为_____________，直线MN与椭圆C 交于M ，N 两点，且BMN △的重心恰为点F ，则直线MN 斜率为_____________.【答案】【分析】空1：由椭圆的标准方程结合右焦点的坐标，直接求出a ， c ，再根据椭圆中a ，b ，c 之间的关系求出m 的值，最后求出上顶点B 的坐标；空2：设出直线MN 的方程，与椭圆联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合中点坐标公式求出弦MN 的中点的坐标，再利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可.【详解】空1：因为22:14x y C m+=右焦点为()1,0F ，所以有40m >>且2,1a b c ===，而222a b c =+，所以413m m =+⇒=，因此椭圆上顶点的坐标为：； 空2：设直线MN 的方程为：y kx m =+，由（1）可知：椭圆的标准方程为：22143x y+=，直线方程与椭圆方程联立：22143x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得： 222(34)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为D ，于是有：122834km x x k -+=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+，所以D 点坐标为：2243()3434km mk k -++， 因为BMN △的重心恰为点F ，所以有2BF FD =，即2243(1,2(1,)3434km mk k -=-++，因此有：22224432(1)1(1)343423623434km km k k m m k k --⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪++⇒⎨⎨⎪⎪⋅==⎪⎪++⎩⎩，(1)(2)÷得：k =MN斜率为4.故答案为：；4【点睛】本题考查了求椭圆上顶点的坐标，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了三角形重心的性质，考查了数学运算能力.例6．（2020·上海高三专题练习）已知直线L 交椭圆 2212016x y +=于M N 、两点，椭圆与y 轴的正半轴交于点B ，若BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点F 上，则直线L 的方程是__________． 【答案】65280x y --=【分析】结合重心坐标公式推导出弦中点坐标，可设()()1122,,,M x y N x y ，采用点差法，求出直线斜率，采用点斜式即可求出直线方程【详解】由题可知，()0,4B ，()2,0F ，设()()1122,,,M x y N x y ，由重心坐标得1212042,033x x y y ++++==， 所以弦MN 的中点坐标为12123,222x x y y ++==-，即()3,2-， 又()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，故221122221201612016x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 作差得()()()()12121212450x x x x y y y y +-++-= 将中点坐标代入得212165y y k x x -==-，所以直线L 的方程为：()6325y x =--，即65280x y --= 故答案为：65280x y --=【点睛】本题考查重心坐标公式，点差法的应用，点斜式的用法，属于中档题例7、（2020年石家庄高三模拟12题）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 为抛物线C 上的三个动点，其中123x x x <<且20y <，若F 为123PP P △的重心，记123PP P △三边12P P ，13P P ，23P P 的中点到抛物线C 的准线的距离分别为1d ，2d ，3d ，且满足1322d d d +=，则13P P 所在直线的斜率为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意知12313321222;;2222x x x x x x d d d +++=+++=；带入1322d d d +=中，得到：()123132;2x x x x x +++=即2132x x x =+； 又F 为123PP P △的重心，则有1231232;033x x x y y y ++++==，即2226x x =-，得到222,4x y ==-，因此有134y y +=，故13P P 的中点坐标为（2，2）. 所以直线的斜率为：13131382y y k x x y y -===-+；故答案为2.例8、（2019年衡水中学高三半期11题）在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在点A ，使得点A与双曲线的左、右焦点1F ，2F 形成的三角形的内切圆P 的半径为a ，若12AF F ∆的重心G 满足12//PG F F ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2 D【答案】C【解析】如图，由PG 平行于x 轴得G P y y a ==，则33A G y y a ==， 所以12AF F △的面积1232S c a =⋅⋅121(||||2)2AF AF c a =⋅++⋅，又12||||2AF AF a -=， 1||2AF c a =+则，2||2AF c a =-，由焦半径公式1||A AF a ex =+，2A x a =得，因此(23)A a a ，，代入椭圆方程得2222491a a a b-=，b =可得，2c a ==， 2.ce a==即故选C ．例9、（2020年绵阳南山中学高三月考16题）已知P 为双曲线C ：221412x y -=上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为 。
新高考数学复习知识点与题型专题讲解07 圆锥曲线中的向量共线问题
新高考数学复习知识点与题型专题讲解 专题07 圆锥曲线中的向量共线问题一、单选题1．已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线C 上.若2MF FN =，则点M 到y 轴的距离为（）A ．12B ．35C ．23D ．1 【答案】D 【分析】由22y x =可得1(,0)2F ，设211(,)2y M y ，222(,)2y N y ，由2MF FN =，可得11x =.【详解】由22y x =可得1(,0)2F ，设211(,)2y M y ，222(,)2y N y ，由2MF FN =，可得22121211(,)2(,)2222y y y y --=-，所以22121122y y -=-且122y y -=，所以22113224y y -=，解得212y =，所以21112y x ==，所以点M 到y 轴的距离为1. 故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.2．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在l 上，线段PF 与抛物线C 交于点A ，若4PF AF =，点A 到x 轴的距离为2，则p 的值是（）A．．4C ．．2 【答案】C 【分析】画出图形，通过向量关系，转化为：1||||||3AB AF AP ==，通过求解三角形，结合抛物线的性质转化求解即可． 【详解】解：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ， 点P 在l 上，线段PF 与抛物线C 交于点A ，若4PF AF =， 过A 作AB l ⊥于B ，则1||||||3AB AF AP ==，所以tan APB ∠=，设准线与x 轴交于D ，则|||DP FD ==，因为点A 到x 轴的距离为2，14=，解得P = 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线几何性质、平面向量的线性运算，熟练掌握抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．3．已知双曲线的标准方程为221412x y -=，过其右焦点F 的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若13AF FB =，则AB 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标是（）A ．20B ．10C ．12D ．18 【答案】A 【分析】解法一：先根据双曲线的方程得到焦点F 的坐标,设出直线AB 的方程,并将其与双曲线方程联立,再结合13AF FB =及根与系数的关系,求出AB 的中点坐标,进而可得AB 的垂直平分线的方程,最后求其与x 轴交点的横坐标即可；解法二：设出A ,B 两点的坐标,结合13AF FB =,利用向量的坐标表示求出两点坐标之间的关系进行求解. 【详解】解法―：由221412x y -=,得双曲线的右焦点()4,0F ,故由题意可设直线AB 的方程为()40x ty t =+≠.联立方程,得2241412x ty x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去x 得()223124360t y ty -++=.设()11,A x y ,()22,B x y .由13AF FB =及根与系数的关系,得121221221324313631y y t y y t y y t ⎧-=⎪⎪⎪+=-⎨-⎪⎪=⎪-⎩,得12y y t ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,或12y y t ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩由对称性不妨设t =,则AB 的中点坐标为(5,,所以AB的垂直平分线的方程为()515y x =-,令0y =,得20x .故选：A.解法二：由221412x y -=,得双曲线的右焦点()4,0F .不妨设点A 在第一象限内,设()()111,0A x y x >,()22,B x y ,因为13AF FB =,所以()1212144313x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,得21211633x x y y =-⎧⎨=-⎩.又点A ,B 在双曲线上,所以()()22112211141216331412x y x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩,得113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,则227x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以AB的中点坐标为(5,,直线AB 的斜率k =,所以AB的垂直平分线的方程为)5y x +=-,令0y =,得20x .故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、向的坐标表示. 试题综合考查直线与双曲线的位置关系,引导考生抓住解析几何问题的本质,透过本质建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.4．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，圆()222:2400M x x y y a a -+++=>，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点（点A 在第一象限），且4FB AF =，直线l 与圆M 相切，则a =（） A ．0B．5C．5D ．3 【答案】B 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得1>0x ，且2114x y =，由4FB AF =结合向量的坐标运算以及21122244x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可求得点A 的坐标，进而可求得直线l 的方程，由直线l 与圆M 相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可求得实数a 的值. 【详解】抛物线C 的焦点为()0,1F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则1>0x ，且2114x y =，由4FB AF =得()()2211,14,1x y x y -=--，()21214141x x y y =-⎧∴⎨-=-⎩，由()21141y y -=-，即222114144x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即4211450x x +-=，可得211x =，11x ∴=， 所以，点A 的坐标为11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线AF 的斜率为1134104AFk -==--，则直线l的方程为314y x =-+，即3440x y +-=， 将圆M 的方程写为标准式得()()222125x y a -++=-，则250a a ⎧->⎨>⎩，可得0a <<由于直线l 与圆M 31424955⨯-⨯-==，解得a =，合乎题意. 故选：B. 【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也考查了利用抛物线中向量共比例关系求直线方程，考查计算能力，属于中等题.5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（） A ．58B ．65C ．75D ．95【答案】B 【分析】设双曲线2222:1x y C a b-=的右准线为l ，过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，BD AM ⊥于D ，根据直线AB ，得到12AD AB =，再利用双曲线的第二定义得到()1AD AF FB e=-，又AB AF FB =+，结合4AF FB =求解.【详解】设双曲线2222:1x y C a b-=的右准线为l ，过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，BD AM ⊥于D ， 如图所示：因为直线AB ， 所以直线AB 的倾斜角为60︒， ∴60BAD ∠=︒，12AD AB =， 由双曲线的第二定义得：()()11122AM BN AD AF FB AB AF FB e -==-==+， 又∴4AF FB =， ∴352FB FB e =， ∴65e =故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．已知点()2,0Q -与抛物线()220y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若3AB BP =，且直线QA 的斜率为1，则p =（）A ．2B ．4C．2D．【答案】C 【分析】判断A 、B 的位置，结合向量关系，推出A 、B 横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可. 【详解】解：由题意可知A 在第一象限，B 在第四象限，设()(),,,A A B B A x y B x y ，()0,p P y由3AB BP =，所以()(),3,B A B A B P B x x y y x y y --=--，得4A B x x =，又224,4A A B B y x y x ==，所以2A B y y =-，又A 、F 、B 三点共线，可得2A B BA BB y y y p x x x -=--，即2222B B A B y p y p y y p =+-， 可得2B A y y p =-，∴2212A y p -=-，A y =，A x p =， 由QA 斜率为1可得：12AA y x =+，即12p =+，则2p =.故选：C . 【点睛】在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数p ；基础题. 二、解答题7．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，上顶点为B ，离心率为e ．椭圆上一点C 满足：C 在x 轴上方，且2CF ∴x 轴．（1）如图1，若OC ∴AB ，求e 的值；（2）如图2，连结1CF 并延长交椭圆于另一点D．若12e ≤11CF F D 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）7,133⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据2CF x ⊥轴，设C 0(,)c y ，00y >，再根据点C 在椭圆上求得其坐标，然后再根据OC ∴AB ，由AB OC k k =求解.（2）设11(,)D x y ，11CF F D λ=，由（1）2(,)b C c a，1(,0)F c -，然后用λ表示D 的坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】（1）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ．∴2CF x ⊥轴可设C 0(,)c y ，00y >，因为220221y c a b+=，所以4202b y a=，解得20b y a=，∴C 2(,)b c a∴OC ∴AB ，所以22AB OC b bb a k k ac ac==== ∴b =c∴2c e a ===. （2）设11(,)D x y ，11CF F D λ=，由（1）知：2(,)b C c a ，1(,0)F c -，212,b CF c a=--（），111(,)F D x c y =+，∴11CF F D λ=∴12()c x c λ-=+，21b y aλ-=所以12x c λλ+=-，21b y aλ=-， ∴22(,)b D c aλλλ+--又∴D 在椭圆上 ∴222222()()1b c a a bλλλ+--+=， 化简得：222(43)1e λλλ++=-又∴0λ>，2221-1414333e λλλλλλ-===-++++∴102e λ≤≤>），21344e ≤≤， 则1431434λ≤-≤+， 解得：7133λ≤≤ 所以11CF F D 取值范围是7,133⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率的常用方法：∴直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列出方程组，解出a ，c 的值；∴构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；∴通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．8．已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>经过点(. （1）求曲线C 的方程；（2）设直线:l y x =C 交于,A B 两点，点M 为OA 中点，BM 与曲线C 的另一个交点为N ，设BM mMN =，试求出m 的值.【答案】（1）2213y x +=；（2）53m =. 【分析】（1）由椭圆的离心率及经过的点列方程即可得解；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，由韦达定理得12x x 、12y y ，再由平面向量的数乘运算可得()()012012112112m x x x m m m y y y m m ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程运算即可得解. 【详解】（1）由题意得222231a c a abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为2213y x +=； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，将:=+l y x 2213y x +=得2410x +-=，所以12121,24x x x x +=-=-，所以()12121212324y y x x x x x x ==++=，由点M 为OA 中点得1111,22M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由BM mMN =得121201011111,,2222x x y y m x x y y ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()012012112112m x x x m m m y y y m m ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩， 因为N 在椭圆上，所以220013y x +=， 所以()()22121211111+=1232m m x x y y mm m m ++⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()()2222212121212222111+14333m m y y y y x x x x m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为2222121212121,1,0333y y y y x x x x +=+=+=， 所以()22211+14m m m+=，化简得23250m m --=，解得53m =（负值舍去）. 【点睛】 解决本题的关键是设出点的坐标，利用韦达定理及向量的数乘对条件合理转化，细心计算即可得解.9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F，焦距为l ：1y x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，()0,Q m ，若3OM ON OQ λ+=（O 为坐标原点），求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）113m <<或113m -<<-. 【分析】（1）31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点, 设()11,A x y ，()22,B x y ,代入椭圆方程利用点差法可求解.（2）由M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+，根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ=，将直线l 的方程和椭圆C 方程联立，利用韦达定理即可求得答案.【详解】（1）∴焦距为c =()11,A x y ，()22,B x y ， ∴31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点，根据中点坐标公式可得：1232x x +=，1212y y +=-， 又∴将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆C ：22221x y a b+= ∴2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩ ∴将两式作差可得：()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=， 所以()()22121222121231AB b x x y y b k x x a y y a +-==-==-+， 所以223a b ………∴. ∴222a c b -=………∴由∴∴得：2231a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆的标准方程为2213x y +=. （2）∴M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+ ∴根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ= 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212033x x +=， ∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得：()222136330k x kmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>………∴， 根据韦达定理：122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 代入122x x =-，可得：22613km x k =+，222233213m x k--=+， ∴()222222363321313k m m k k --⨯=++，即()2229131m k m -⋅=-. ∴2910m -≠，219m ≠， ∴22213091m k m -=≥-………∴，代入∴式得22211091m m m --+>-，即()22211091m m m -+->-， ∴()()2221910m m m --<，∴2119m <<满足∴式， ∴113m <<或113m -<<-. 【点睛】本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属于中档题.10．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B .（1）若190∠=F AB ，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且222AF F B =，求椭圆的方程.【答案】（1）2；（2）22132x y +=. 【分析】（1）根据190∠=F AB 得到b c =，a =，可得c e a ==；（2）设(),B x y ，根据222AF F B =得到32x =，2b y =-，代入22221x y a b+=，解得23a =，可得222312b a c =-=-=，从而可得椭圆方程.【详解】（1）若190F AB ∠=︒，则12F AF 和2AOF △为等腰直角三角形．所以有2OA OF =，即b c =．所以a =，2c e a ==． （2）由题知()0,A b ，()21,0F ，设(),B x y ，由222AF F B =，得()()1,21,b x y -=-，所以32x =，2b y =-． 代入22221x y a b +=，得2229441b a b +=． 即291144a +=，解得23a =．所以222312b ac =-=-=， 所以椭圆方程为22132x y +=． 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题.11．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），O 为坐标原点，长轴长为4，离心率12e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，点A 为椭圆C 在x 轴正半轴上的顶点，过点A 作AB l ⊥，垂足为M ，点B 在椭圆上（不同于点A ）且满足：25MB AM =，求直线l 的斜率k ．【答案】（1）22143x y +=；（2）k =． 【分析】（1）由长轴长为4求a ，再由离心率12e =求c ，根据椭圆的性质求b ，从而得到椭圆方程． （2）椭圆C 的右顶点A 为(2,0)．直线1:1l x y k=+，直线AB 的方程为2x ky =-+，分别与椭圆方程联立，求出,B M 的纵坐标，利用向量关系，转化求解直线的斜率即可．【详解】（1）由椭圆的离心率12e =，长轴长为4可知2a =，1c =，∴23b =， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）椭圆C 的右顶点A 为()2,0．由题可知0k ≠，直线l ：11x y k =+，直线AB 的方程为2x ky =-+， 由112x y k x ky ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，可知21M k y k =+， 由2234120x ky x y =-+⎧⎨+-=⎩，得()2234120k y ky +-=，则21234B k y k =+， ∴25MB AM =，∴()()250B M M y y y -=-，则22212523411k k k k k k ⎛⎫-=⎪+++⎝⎭ ∴0k ≠，∴243k =，解之，3k =±． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于综合题.12．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆1C 和圆222x y a +=截得的弦长分别为2和（1）求1C 的标准方程；（2）已知动直线l 与抛物线2C ：24y x =相切（切点异于原点），且l 与椭圆1C 相交于M ，N 两点，问：椭圆1C 上是否存在点Q ，使得6OM ON OQ +=，若存在求出满足条件的所有Q 点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点坐标为⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭【分析】（1）（1）设直线方程为x c =-，分别与椭圆方程，圆联立解得交点坐标，再根据弦长分别为2和.求解.（2）设l ：()0x my n m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，与抛物线方程联立，根据l 与2C 相切，则2100m n ∆=⇒+=，与椭圆方程联立，由63OM ON OQ +=结合韦达定理得到Q 坐标代入椭圆方程求解.【详解】（1）设直线方程为x c =-，与椭圆方程()222210x y a b a b +=>>联立解得2b y a=±，所以222b a=， 直线方程为x c =-，与圆222x y a +=联立解得y b =±，所以2b =解得2,a b ==故1C ：22142x y +=. （2）由题知l 存在且斜率不为0，设l ：()0x my n m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ， 联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， 因为l 与2C 相切，故2100m n ∆=⇒+=，联立2224x my n x y =+⎧⎨+=⎩，得()2222240m y mny n +++-=， 所以12222mn y y m +=-+，212242n y y m -=+， 22202424n m n ∆>⇒<+=-+，又20m n =->，所以()1n ∈-. 因为63OM ON OQ +=，所以120120x x x y y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由韦达定理，代入计算得020222x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，因为点()00,Q x y 在椭圆上，即220024x y +=，代入得()()22222222412422n m n m m +=++，即2221322n n m n==+-，()1n ∈-， 解得1n =-或23n =（舍）， 所以1m =±，此时Q点坐标为⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆，直线与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是12，且椭圆C经过点P ⎭，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2MF FN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（220y ±+=. 【分析】（1）依题意得到方程组222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得即可；（2）设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由2MF FN =，可得122y y -=，从而求出参数的值， 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .由题意可得222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得24a =，23b =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -当直线l 的斜率为0时，()2,0M -，()20N ，或()20M ，，()2,0N -， 此时2MF FN ≠，不符合题意.当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y .联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则1212229,63434y y y y m m m ==-+++， 因为2MF FN =，所以122y y -=.从而1222634my y y m +=-=+，21221222269,23434m y y y y y y m m +=-==-=-++， 则2226923434m m m ⎛⎫-⨯=- ⎪++⎝⎭，解得m =. 故直线l20y ±+=.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题. 14．已知过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于A ，B 两点. （1）若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；（2）若点A ，B 在直线2y =-上的射影分别为1A ，1B ，线段1A B 的中点为Q ，求证1//BQ PA .【答案】（1）122y x =+；（2）证明见解析； 【分析】（1）由题意，设过点(0,2)P 的直线l 的斜率为k ，则:2l y kx =+．然后由2AP PB =，根据定比分点的知识，可得12223x x +=，12203y y +=．将112y kx =+，222y kx =+代入最终可得到k 的值，则即可求出直线AB 的方程；（2）先联立直线l 与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有124x x k +=，128x x =-．再根据题意写出∴122(2x x BQ x +=-，22)y --，11(PA x =，4)-．再根据平行向量的坐标公式12210x y x y -=进行代入计算即可证明1//BQ PA ． 【详解】（1）解：由题意，设过点(0,2)P 的直线l 的斜率为k ，则:2l y kx =+． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．2AP PB =，∴根据定比分点的知识，有12203x x +=，12223y y +=， 1220x x ∴+=．联立224y kx x y =+⎧⎨=⎩，消去y ，整理得2480x kx --=．解得12(x k =+，22(x k =，1222(4(0x x k k ∴+=+-=，整理，得30k =>，解得12k =． ∴直线AB 的方程为122y x =+． （2）证明：根据（1），联立直线l 与抛物线方程，得224y kx x y=+⎧⎨=⎩， 整理，得2480x kx --=． 则124x x k +=，128x x =-．11(A x ，2)-，12(B x ，2)-．12(2x x Q +∴，2)-． ∴122(2x x BQ x +=-，22)y --，11(PA x =，4)-． 12212()(4)(2)2x x x x y +----- 2112211212124(2)22222x x x y x x x y x x x y -=++=-++=+ 222212122244x xx x x x x =+=+222(8)04x x =+-=． 1//BQ PA ∴．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查了定比分点的应用，平行向量坐标公式的应用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．属于中档题．15．已知222:4)(0E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若2m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF 的范围；（2）若l 过点(,)2mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）[]2,1-；（2）k =. 【分析】（1）求得焦点坐标，设(,)K x y ，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率． 【详解】解：（1）2m =时，椭圆22:14x E y +=，两个焦点1(F )，2F 0)，设(,)K x y ，可得2214x y +=，即2244x y =-，1(F K x =，)y，2(F K x =-)y ，2221212331KF KF F K F K x y y ==-+=-+，因为11y -，所以12KF KF 的范围是[]2,1-；（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，可得12(2x x M +，12)2y y +， 则222112222244x y m x y m⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 12121212()()140()()y y y y x x x x +-+=+-，即140OM l k k +=，故14OM l k k =-，又设(P P x ，)P y ，直线:()(0,0)2ml y k x m m k =-+≠≠，即直线l 的方程为2m y kx km =-+， 从而1:4OM y x k =-，代入椭圆方程可得，2222414P m k x k =+，由()2m y k x m =-+与14y x k=-，联立得224214M k m kmx k -=+，若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点， 所以2MP x x =，即2222224244()1414k m km m k k k-=++，整理可得2121630k k -+=，解得k =，经检验满足题意，所以当46k ±=时，四边形OAPB 为平行四边形． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16．设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点．（∴）若60BFD ∠=︒，BFD △的面积为3，求p 的值及圆F 的方程； （∴）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．【答案】（∴）2p =，圆F 为：()221613x y -+=；（∴）13λ=．【分析】（∴）依题意可得BFD △为正三角形，且BF =根据BFD △的面积，即可求出p ，从而得到圆F 的方程；（∴）依题意可得直线AB 的倾斜角为3π或23π，由对称性可知，设直线l ：2p x =+，()11,A x y ，()22,C x y ，联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理，由CF FA λ=，即可得到()2143λλ-=，解得即可；【详解】解：（∴）焦点到准线l 的距离为p ，又∴BF FD =，60BFD ∠=︒，∴BFD △为正三角形．∴BF =2p B ⎛- ⎝，∴21sin 602BFD S BF =︒=△2p ∴=， ∴圆F 为：()221613x y -+=． （∴）若A 、F 、B 共线，则AF BF DF ==，2BDA π∴∠=∴12AD AF AB ==，6DBA π∴∠= ∴直线AB 的倾斜角为3π或23π， 由对称性可知，设直线l ：2px =+，()11,A x y ，()22,C x y ，CF FA λ=，联立()121222221211202py y yxy y py y p yy pxλλ⎧⎧+==-⋅=+⎪⎪⇒-=⇒⎨⎨⎪⎪⋅=-=-⋅=⎩⎩，∴()2143λλ-=，231030λλ∴-+=，3λ∴=或13λ=，又AF BF p=>，12px>，01λ∴<<，所以13λ=．【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，向量共线求出参数的值，属于中档题.17．已知抛物线()2:20C y px p=>，过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于,P Q两点，4PQ=.（1）求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线l的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点,A B，直线OA与准线l交于点M.连接MF，过点F作MF的垂线与准线l交于点N.求证：,,O B N三点共线.【答案】（1）抛物线C的方程为24y x=，焦点F坐标为()1,0，准线l方程为1x=-（2）证明见解析【分析】（1）根据抛物线通径的性质，得出2p=，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；（2）根据题意，设直线:1AB x ty =+，与抛物线方程联立，求出则124y y t +=，124y y =-，通过直线相交分别求出141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和()11,N y -，从而求出1ON k y =-和24OB k y =，通过化简求出0OB ON k k -=，即可证出,,O B N 三点共线.【详解】解：（1）24PQ p ==，则2p =，故抛物线C 的方程为：24y x =，其焦点F 坐标为()1,0，准线l 方程为：1x =-（2）设直线:1AB x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩， 得2440y ty --=，则216160t =+>△，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.法1：直线11:y OA y x x =， 由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 直线MF 的斜率1140211MFy k y --==--， 则直线FN 的斜率12FN y k =-，直线()1:12y FN y x =--，则点()11,N y - 直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OB k y =， 则()12122244440OB ON y y k k y y y y +--=--===， 所以,,O B N 三点共线.法2：直线11:y OA y x x =， 由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由124y y =-，得()21,M y -.直线MF 的斜率220112MF y y k -==---， 直线()22:1FN y x y =-，得点241,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由124y y =-，得()11,N y -.直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OB k y =， 由124y y =-，得1OB k y =-，则有OB ON k k =.所以,,O B N 三点共线.法3：（1）∴4PQ =，∴2PF =，∴22OF =，∴1OF =，2p =，∴抛物线C 的标准方程为：24y x =，则焦点坐标为：()1,0F ，准线方程为：:1l x =-.（2）设直线:1AB x ty =+，联立得：2440y ty --=， 212121616044t y y ty y ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩， 设()11,A x y ，()22,B x y ，∴直线11:y AO y x x =， 当1x =-时，11y y x =-，∴111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴112MF y k x =，∴1121FN MF x k k y =-=-， ∴直线()112:1x FN y x y =--， 当1x =-时，114x y y =，∴1141,x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴114NO x k y =-，22BO y k x =，∴21214BO NO y x k k x y -=+ ()()1212121221214114y y y y y y x x x y x y ++++++== ()()12122142144y y y y x y ++++++=()22442116240x y -+++++==， ∴BO NO k k =，∴,,B O N 共线.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力.18．已知抛物线E 上的焦点为(0,1)F .（1）求抛物线E 的标准方程；（2）过F 作斜率为k 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，若3BF FA =，求直线l 的方程.【答案】（1）24x y =；（2）13y x =±+. 【分析】（1）根据焦点坐标求得p ，结合抛物线的开口方向求得抛物线E 的标准方程.（2）联立直线l 的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合3BF FA =求得k 的值，进而求得直线l 的方程.【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为()0,1F ，开口向上，2,24p p ==，所以曲线E 的方程为：24x y =； （2）设过F 的斜率为k 的直线方程为：1y kx =+，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并化简得2440x kx --=. 令11(,)A x y 、22(,)B x y ， 所以124x x k +=，124x x -=，由题可知：3BF FA =，即：2211(,1)3(,1)x y x y --=-，即得213x x -=，由124x x k +=，124x x -=，213x x -=得：213k =，3k =±，所求直线l 的方程为：1y x =+. 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.19．已知椭圆22:24C x y +=（1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=，2e =；（2）存在，7x ＝0或7x ﹣＝0 【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a ，b ，c ，由离心率公式可得所求值；（2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程，消去x 可得y 的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．【详解】（1）由22142x y +=，得2,a b ==c ==c e a ==； ∴2∴假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，∴＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜47， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22942m m-+，∴ 由2PB PA =，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，∴将∴代入∴可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22942m m -+，消去y 1，可得22232m m ++•22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<，所以m =，故存在这样的直线l ，且方程为7x ＝0或7x y ﹣＝0．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60,1F 到直线l 的距离为（1）求椭圆C 的焦距；（2）如果222AF F B =，求椭圆C 的方程.【答案】（1）4；（2）22195x y +=. 【分析】（1）由题意可设直线l的方程为)y x c =-，再利用点到直线的距离公式即可求解.（2）由（1）可得)2y x =-，联立方程)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消x ，求出两交点的纵坐标，再由222AF F B =得出两交点纵坐标的关系即可求解.【详解】（1）由题意可得：直线l的方程为)y x c =-，()1,0F c -到直线l的距离为=2c =，∴椭圆C 的焦距24c =.（2）由（1）可得)2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，10y <，20y>， 联立)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()22224330a b y y b ++-=，解得()2122223a y a b +=+，()2222223a y a b-=+， 因为222AF F B =，所以122y y -=，即()()2222222222233a a a b a b+-=⋅++，解得3a =， 又2c =，故b ==故椭圆C 的方程为22195x y +=. 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算求解能力，属于中档题.21．设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>左焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为45︒，且3AF FB =（1）求椭圆C 的离心率；（2）若||AB =，求椭圆C 的方程. 【答案】（1（2）2212x y +=. 【分析】（1）设直线方程为y x c =+，联立22221y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12,y y ，根据3AF FB =，由123y y -=求解.（2）根据2121||3AB y y y y =-=-=，结合（1）的数据代入求解. 【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得120,0y y ><，直线方程为：y x c =+，联立22221y x c x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222420a b y b cy b +--=，解得)()22122222,c b c b y y a b a b+==++， 因为3AF FB =，所以123y y -=，即)()2222223c b c b a b a b +--=++，所以2c e a ==. （2）因为22121224||ab AB y y y a b =-=-==+， 所以222322ab a b =+，又2c e a ==，则2b a =，解得1a b ==， 所以椭圆C 的方程是2212x y +=.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法以及平面向量的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．如图，已知椭圆：2214x y +=，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E 、F 两点．（∴）若6ED DF =，求k 的值；（∴）求四边形AEBF 面积的最大值.【答案】（∴）23k =或38k =；（∴）. 【分析】（∴）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =，0(D x ，0)kx ，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，且1x ，2x 满足方程22(14)4k x +=，进而求得2x 的表达式，进而根据6ED DF =，求得0x 的表达式，由D 在AB 上知0022x kx +=，进而求得0x 的另一个表达式，两个表达式相等求得k ．（∴）由题设可知BO 和||AO 的值，设11y kx =，22y kx =，进而可表示出四边形AEBF 的面积，进而根据基本不等式的性质求得最大值．【详解】（∴）椭圆：2214x y +=，(2,0)A ，(0,1)B ， 直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 如图，设0(D x ，0)kx ，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，其中12x x <， 且1x ，2x 满足方程22(14)4k x +=， 故21x x =-=．∴由6ED DF =，知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==， 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+，212k=+， 化简得2242560k k -+=， 解得23k =或38k =． （∴）由题设，1BO =，||2AO =．由（∴）知，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，不妨设11y kx =，22y kx =，由∴得20x >，根据E 与F 关于原点对称可知210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为OBE OBF OAE OAF S S S S S ∆∆∆∆=+++12211111·()?··()2222OB x OB x OA y OA y =-+++- 21212211()()222OB x x OA y y x y =-+-=+2222(x ==+=当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为． 【点评】本题主要考查了直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大． 23．已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形.【答案】（1）26x y =；（2）证明见解析. 【分析】（1）设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，证明112MF NF p+=，则可求解. （2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据切线分别表示出直线PA 、PB 的方程，则C 、D 的坐标能表示出，联立直线PA 、PB 的方程，则P 的坐标可表示出，表示出直线AB 的方程，则Q 的坐标可表示出，最后说明CP QD =即可.【详解】解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x xy x +=-； 令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形. 【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题.24．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于点()11,A x y 和()22,B x y ，且恒124y y =-.（1）求p 的值；（2）直线1l 过B 与x 轴平行，直线2l 过F 与AB 垂直，若1l 与2l 交于点N ，且直线AN 与x 轴交于点()4,0M ，求直线AB 的斜率.【答案】（1）2p =；（2）±. 【分析】（1）直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得12y y ， 建立关于p 的方程，从而得到答案；（2）分别求出,,A M N 三点坐标用m 表示，由三点共线得到关于m 的方程，求得答案. 【详解】（1）由条件得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭. 易知AB 不垂直于y 轴，可设AB ：2p x ty =+. 由22,,2y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y pty p --=， 所以2124y y p =-=-，所以2p =.（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F .设()2,2A m m ，由题易知0m ≠且1m ≠±.因为124y y =-，所以212,B mm ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以AB 的斜率为22222211m m m m m m--=--，直线2l 的斜率为212m m -. 直线1l ：2y m =-，直线2l ：()2112my x m -=-，所以2232,1m N m m ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭.由A ，M ，N 三点共线得2222222341m m m m m m m +=+---，解得m =.所以直线AB的斜率为±.【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系.属于中档题.25．已知圆()22:620C x y -+=，直线:l y kx =与圆C 交于不同的两点 A B ，． （1）求实数k 的取值范围；（2）若2OB OA =，求直线l 的方程．【答案】（∴）k <<（∴）y x =± 【详解】试题分析：（∴）由直线与圆有两个不同交点得，圆心到直线距离小于半径，或利用直线方程与圆方程联立方程组有两个不同的解列判别式恒大于零，列出关于k 的限制条件，解出k 的取值范围；（∴）由2=OB OA得A 为OB 的中点，设()11 A x y ，，则()112? 2?B x y ，，代入圆方程得()2211620x y -+=，()221126420x y -+=，解方程组可得112? 2x y ==，或112? 2x y ==-，，因此可出求直线l 的方程 试题解析：（∴）将直线l 的方程y kx =代入圆C 的方程()22620x y -+=后，整理得()22112160k xx +-+=，依题意，直线l 与圆C 交于不同的两点．又∴210k +≠，∴只需()()221241160k ∆=--+⋅>，解得k 的取值范围为22k -<<． （∴）由已知A 为OB 的中点，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则 ()2211620x y -+=，∴()221126420x y -+=，∴解∴∴可得112?2x y ==，或112? 2x y ==-，，∴直线l 的方程为y x =± 考点：直线与圆位置关系三、填空题26．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l：10x -=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______【答案】5+【分析】先求出(5P +、(5Q --、(1,0)F，再求出(4PF =----和(4FQ =-，最后建立方程求λ即可.【详解】解：由题意联立方程组2410y x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得5x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 因为P 在x轴上方，所以(5P ++、(5Q -,因为抛物线C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，所以(4PF =---，(4FQ =-因为PF FQ λ=，所以(4(4λ---=-，解得：5λ==+故答案为：5+【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题27．已知点()1,2P 在抛物线E ：()220y px p =>上，过点()1,0M 的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，若3AM MB =，则直线l 的倾斜角的正弦值为______.【分析】求出2p =，设过点()1,0M 的直线方程为1x my =+，将直线与抛物线联立，利用韦达定理可得124y y m +=，124y y =-，根据向量可得123y y -=，从而求出直线的倾斜角，即求.【详解】因为点在抛物线E ：()220y px p =>上，所以421p =⨯，得2p =，所以24y x =，设过点()1,0M 的直线方程为：1x my =+，所以214x my y x=+⎧⎨=⎩，所以2440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以124y y m +=，124y y =-，又因为3AM MB =，所以123y y -=，所以m =，因为直线的斜率tan k θ==由()0,θπ∈，所以3πθ=或23π，所以sin 2θ=.故答案为：2【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题.28．设1F ，2F 分别是椭圆()222:101y E x b b+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若113AF F B =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为________．【答案】22312y x +=【分析】根据2AF x ⊥轴，可求得A 点坐标，又113AF F B =，得113AF F B =，则可求得B 点坐标，代入椭圆方程，即可求得223b =，即可得答案. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -， 因为2AF x ⊥轴，所以A x c =，代入椭圆方程得()2,A c b ，设(),B x y ，因为113AF F B =，得113AF F B=，。
2021届高考数学(理)客观题重难点专题07 圆锥曲线(考点精讲)(解析版)
专题07 圆锥曲线-考点精讲重点突破——圆锥曲线性质的2个常考点考法(一) 椭圆、双曲线的离心率的求值及范围问题 1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .[典例] (1)已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP ―→⊥BP ―→，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，2)D ．(1， 2 ][解析] 设P (x ，y )，由题设条件得动点P 的轨迹方程为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)(y －2)＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay＝0，因此由题意可得2a a 2＋b 2>1，即2a c >1，则e ＝ca <2，又e >1，故1<e <2.[答案] A(2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解析] 如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． [答案] 2[解题方略]椭圆、双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[针对训练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22B ．2－3 C.5－2D.6－3【解析】选D 设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c 2＝4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2，即有c 2＝(9－62)a 2，即c ＝(6－3)a ，即e ＝ca＝6－ 3.2．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF ―→1·NF ―→1＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)【解析】选B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝b 2a ，不妨设M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， 则MF ―→1·NF ―→1＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ·⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0， 即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0， 故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22， 又e ＞1，所以1＜e 2＜3＋22， 解得1＜e ＜1＋ 2.考法(二) 圆锥曲线中的最值问题[典例] (1)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1[解析] 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y 03.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)， 故直线OM 的斜率的最大值为22. [答案] C(2)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若点A (3,2)，则|P A |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________．[解析] 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．如图，设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 有最小值，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时点P 纵坐标为2，代入y 2＝2x，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．[答案] (2,2) [解题方略]圆锥曲线中最值问题的求解策略(1)利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值．(2)求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值，则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线间的距离即为所求．(3)利用基本不等式求最值．[针对训练]1．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317【解析】选B 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝233，c ＝7，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，c 2＝7，则双曲线C 的方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，又点P 在第一象限，则|PF ′|＋|P A |的最小值为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10.2．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3【解析】选D 由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又x 1＋x 2＋4＝233|AB |，得|AF |＋|BF |＝233|AB |，所以|AB |＝32(|AF |＋|BF |)．所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |2＋|BF |2－⎣⎡⎦⎤32(|AF |＋|BF |)22|AF |·|BF |＝14|AF |2＋14|BF |2－32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |＝18⎝⎛⎭⎫|AF ||BF |＋|BF ||AF |－34≥18×2|AF ||BF |·|BF ||AF |－34＝－12，而0＜∠AFB ＜π，所以∠AFB 的最大值为2π3.失误防范——警惕圆锥曲线中的3个易错点1．忽略直线斜率不存在情况致误直线与圆锥曲线位置关系问题中，易忽视直线的斜率不存在这一情形.[练1] 过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±12x ，点P 在直线y ＝12x 上．①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx ＋1－2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－2k ，x 2－4y 2＝4，消去y 得x 2－4(kx ＋1－2k )2＝4， 即(1－4k 2)x 2－8(1－2k )kx －4(1－2k )2－4＝0(*)． 若1－4k 2＝0，则k ＝±12，当k ＝12时，方程(*)无实数解，因此k ＝12不满足题意；当k ＝－12时，方程(*)有唯一实数解，因此k ＝－12满足题意．若1－4k 2≠0，即k ≠±12，此时Δ＝64k 2(1－2k )2＋16(1－4k 2)[(1－2k )2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k 不存在．综上所述，满足题意的直线l 共有2条．2．忽略条件致误应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中的条件而导致错误.[练2] 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．【解析】如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B 两点．连接MC 1，MC 2. 根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2. 所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)，可设轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0，x <0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <0)． 答案：x 2－y 28＝1(x <0) 3．忽略焦点的位置致误当焦点位置没有明确给出时，应对焦点位置进行分类讨论，椭圆、双曲线有两种情况，抛物线有四种情况.[练3] 已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.【解析】①当椭圆的焦点在x 轴上时，则a 2＝4，即a ＝2. 又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝4－(3)2＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.则b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故1－b 2a 2＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝4.故m ＝a 2＝16. 综上，m ＝1或16. 答案：1或16。
2021高考北京版数学教师用书(课件)9.7 圆锥曲线的综合问题(讲解部分)
解析 (1)因为M(1,-2)在抛物线G:y2=2px(p>0)上,所以(-2)2=2p×1,
所以p=2,所以抛物线G的方程为y2=4x.
当点A与点O重合时,易知kAM=-2,
因为以线段AB为直径的圆恒过点M,所以AM⊥ MB,所以kBM= 12 . 所以直线MB的方程为y+2= 1 (x-1),即x-2y-5=0.
=
x
1 2
2
+
x2
-
1 4
2
=x2+x+ 14 +x4- 12 x2+1 16
=x4+ 12 x2+x+ 156 .
∴
|AP|·|PQ|=-x4+ 32 x2+x+1 36 - 12
x
3 2
.
设f(x)=-x4+ 32 x2+x+ 136 - 12
x
3 2
,
则f '(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,
解析 (1)由题意知
2a 4,
c
1,
a 2
a2 b2
c2
,
解得
a b
c
2, 3, 1.
所以椭圆E的方程为 x42 + y32 =1.
(2)存在.由(1)知A(-2,0),B(2,0),
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1.
将x=1代入 x42 + y32 =1,得y1= 32 ,y2=- 32 .
1
2 y0 x0 -2
=
x02
4y02 4x0 y0 -4x0 -8y0 2(x0 y0 -x0 -2 y0 2)
圆锥曲线综合应用知识点讲解(含解析)
圆锥曲线的综合应用一、知识梳理1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.5.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2.6.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.7.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|.()解析(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条；直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).答案 C3.已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.解析 法一 直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.法二 如图所示，过F 作AD 的垂线，垂足为H ，则|AF |＝|AD |＝p ＋|AF |sin 60°，即|AF |＝p 1－sin 60°＝21－sin 60°.同理，|BF |＝21＋sin 60°，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝16.答案 164.(2019·浙江八校联考)抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且这两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则( ) A.x 3＝x 1＋x 2B.x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C.x 1＋x 2＋x 3＝0D.x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0解析 由⎩⎨⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－ba ，令kx＋b ＝0得x 3＝－bk ，所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3. 答案 B5.(2019·唐山市五校联考)直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( ) A.3B.2C. 3D.2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，把A ，B 两点坐标分别代入双曲线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，又⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，所以x 0a 2＝y 0（y 1－y 2）b 2（x 1－x 2），所以b 2a 2＝y 0（y 1－y 2）x 0（x 1－x 2）＝k OM k l ＝1，所以e 2＝1＋b 2a 2＝2，又e >1，所以e ＝ 2. 答案 D6.(2019·潍坊二模)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则a ＝________.解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线l ：y ＝－14a ，双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别为y ＝12x ，y ＝－12x ，可得x A ＝－12a ，x B ＝12a ，可得|AB |＝12a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝4，解得a ＝14.答案 14考点一 最值问题 角度1 利用几何性质求最值【例1－1】 设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A.9，12B.8，11C.8，12D.10，12解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.答案 C角度2 利用基本不等式或二次函数求最值【例1－2】 (2019·郑州二模)已知动圆E 经过点F (1，0)，且和直线l ：x ＝－1相切.(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；(2)已知点A (3，0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，∴动点E 的轨迹是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故轨迹G 的方程是y 2＝4x .(2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3<m <0，C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立得方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x 消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0，Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )>0恒成立.由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，∴|CB |＝42（1－m ）， 点A 到直线l ′的距离d ＝3＋m2， ∴S △ABC ＝12×42（1－m ）×3＋m 2＝21－m ×(3＋m )，令1－m ＝t ，t ∈(1，2)，则m ＝1－t 2，∴S △ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3， 令f (t )＝8t －2t 3，∴f ′(t )＝8－6t 2，令f ′(t )＝0，得t ＝23(负值舍去). 易知y ＝f (t )在⎝⎛⎭⎪⎫1，23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减. ∴y ＝f (t )在t ＝23，即m ＝－13时取得最大值为3239. ∴△ABC 面积的最大值为3239.规律方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【训练1】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12. (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值.解 (1)由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，②12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，③联立①②③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)根据题意可知直线MN 的斜率存在，且不为0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，代入椭圆方程，整理得(3m 2＋4)y 2－24my ＋36＝0，则Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋所以m 2>4. y 1＋y 2＝24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，则△MNF 1的面积S △MNF 1＝|S △NTF 1－S △MTF 1|＝12|TF 1|·|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫24m 3m 2＋42－1443m 2＋4＝18m 2－44＋3m 2＝6×1m 2－4＋163m 2－4＝6×1m 2－4＋163m 2－4≤62163＝334. 当且仅当m 2－4＝163m 2－4，即m 2＝283时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.故△MNF 1面积的最大值为334.考点二 范围问题【例2】 (2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围.(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于(2)解 由(1)可知⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 2， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△P AB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练2】 (2019·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.解 (1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，∴(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，② 由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2），又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.考点三 证明问题【例3】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差. (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内，∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故k <－12. (2)解 由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0).由(1)及题设得 x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22. 所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1. 所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128.【训练3】 (2018·唐山模拟)如图，圆C 与x 轴相切于点T (2，0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(1)解 设圆C 的半径为r (r >0)，依题意，圆心C 的坐标为(2，r ).因为|MN |＝3，所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝254.所以r ＝52，圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254.(2)证明 把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0，1)，N (0，4).①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0. 设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2. 所以k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3（x 1＋x 2）x 1x 2＝1x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋2k 2＋12k 1＋2k 2＝0. 所以∠ANM ＝∠BNM .综合①②知∠ANM ＝∠BNM .三、课后练习1.(2019·烟台一模)已知抛物线M ：y 2＝4x ，过抛物线M 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，且交抛物线的准线于点E .若AE→＝2BE →，则直线l 的斜率为( )A.3B.2 2C. 3D.1解析 分别过A ，B 两点作AD ，BC 垂直于准线，垂足分别为D ，C ， 由AE→＝2BE →，得B 为AE 的中点，∴|AB |＝|BE |， 则|AD |＝2|BC |，由抛物线的定义可知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，∴|AB |＝3|BC |，∴|BE |＝3|BC |，则|CE |＝22|BC |，∴tan ∠CBE ＝|CE ||CB |＝22，∴直线l 的斜率k ＝tan ∠AFx ＝tan ∠CBE ＝2 2.答案 B2.(2019·河北百校联考)已知抛物线y 2＝4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点(A 在第一象限内)，AF→＝3 FB →，过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ，则△ABG 的面积为( ) A.839 B.1639 C.3239 D.6439解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF→＝3FB →， 所以y 1＝－3y 2，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x 得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4， ∴⎩⎨⎧y 1＝23，y 2＝－233，∴y 1＋y 2＝4m ＝433， ∴m ＝33，∴x 1＋x 2＝103，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，过AB 中点且垂直于直线l 的直线方程为y －233＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53，令y ＝0，可得x ＝113，所以S △ABG ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫113－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋233＝3239. 答案 C3.(2018·全国Ⅲ卷)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析 法一 由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|).又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案 24.(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意.所以，k 的值为－12.5.已知抛物线y 2＝4x ，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为________.解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝1.由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝（x 1＋1）（x 2＋1）－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1.令x 2－1＝t (t ≥1)，则x 2＝t ＋1，所以|AF |－2|BF |＝11＋t t 2＋2t ＋2＝11＋12＋t ＋2t≥11＋12＋22＝2（1＋2）3＋22＝21＋2＝22－2(当且仅当t ＝2时等号成立)；当直线l 的斜率不存在时，易得|AF |－2|BF |＝1.综上，|AF |－2|BF |的最小值为22－2.答案 22－2。
圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编
圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ， 当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ， 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。
【高考数学 常考问题】第7讲 圆锥曲线设点与设线-解析版
第7讲 设点与设线典型例题【例1】已知面积为16的等腰Rt AOB 内接于抛物线22(0),y px p O =>为坐标原点,,OA OB F ⊥为抛物线的焦点,点()1,0N -.若M 是抛物线上的动点,则MNMF 的最大值为（ ）A.221- 2 3 221+ 【答案】 B【解析】 设等腰 Rt OAB 的直角边OA OB a ==,所以212a 16=,所以42a =故点 ()4,4A , 所以 2p =.设 点 2220022002220014,,414y y MN y M y MF y y ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2220114y y =+⎛⎫+ ⎪⎝⎭令 2y t =, 所以 111162MN tt MFt =+++112112162t t +=⋅+【例2】已知F 为抛物线24y x =的焦点,过点F 作斜率为1k 的直线交抛物线于,A B 两点,延长,AM BM 交抛物线于,C D 两点,直线CD 的斜率为2k .若点()4,0M ,则12kk =_______. 【答案】 4【解析】 设点 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y , ()44,D x y .由 ,,A F B 三点共线可得 124AB AF k k y y =⇒=+112110114y yy x -=--所以 12121,4x x y y ==-.同理可得 1324x x x x ==132416,16y y y y ==-.于是 341122123444y y k y y k y y y y ++==++ 121212161616 4.y y y y y y --==-=+ 【例3】设点()11,P x y 在椭圆2212x y +=上,点()22,Q x y 在直线440x y +-=上,则12122x x y y -+-的最小值是_______.【答案】 62【解析】解法 1： 令22y y '=,则:240l x y +-='.由直线1:22l y x =-+'可知纵向距离最小, 设 与直线 l ' 平行的切线方程为 12y x m =-+.22221,34440,2220,y x m x mx m x y ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪+-=⎩由 Δ0= 得m =故 ()1212min22x x y y -+-=. 解法2：同解法1, 知纵向距离最小, 设与直线 l ' 平行的直线与䐈圆相切于点()00,P x y ,易知切线方 程为0012x x y y +=, 其斜率 00122x k y =-=-,所以0x 0y =.代人椭圆方程得003x y ==, 即点 P33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 此时点,236Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 故 ()1212min222x x y y -+-=-. 【例4】已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(),4A m 到其焦点的距离为174. (1)求p 与m 的值;（2）设抛物线C 上点P 的横坐标为(0)t t >,过点P 的直线交抛物线C 于另一点Q ,交x 轴于点M ,过点Q 作PQ 的垂线交抛物线C 于另一点N ,若MN 是抛物线C 的切线,求t 的最小值.【答案】 (1) ()12;223p t =.【解析】（1）由抛物线方程得其准线方程;y =2p-.根据抛物线定义,点(),4A m 到焦点的距离等于它到准线的距离,即17424p +=,解得12p =.抛物线方程为 2x y =.将点(),4A m代人抛物线的方程,解得2m =±.(2) 设点 ()00,N x y , 所以 0MV:02y y l x x +=, 所以002y x x y =-.0y =, 得02M xx =.从而可得直线 MP 的方程20022x t y x x t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-.由点差法可得MP Q P Q k x x x t =+=+. 所以 002Q x t x t x =-,于是 2000000322NQ x t tx x k x t x t x -=+=--.因为 1NQ PQ k k ⋅=-,即 22000032122tx x t t x t x -⋅=--- ，所以 ()22940t t -, 所以 23t .【例5】已知圆223:(1)8M x y -+=,椭圆22:13x C y +=.若直线l 与椭圆交于,A B 两点,与圆M 相切于点P ,且P 为AB 的中点,则这样的直线l 有（ ）A.2条B.3条C.4条D.6条 【答案】C【解析】 当直线AB 斜率不存 在且与圆M 相切时,点P 在x 轴上,故满足条件的直线有2条;当直线 AB 斜率存在时, 设点 ()(112,,A x y B x , )()00,,z y P x y .由 222212121,133x x y y +=+=,两式相咸, 整理得1212121213y y x xx x y y -+=-⋅-+则 00MP AE 00,,131AB AB x yk k k k y x =-=⋅=--, 则 0000131MP AB x yk k y x ⋅=-⋅=--, 得 032x =. 由332<P 在椭圆内部,则这样的点P 有2个,即直线AB 斜率存在时,也有2条.综上所述,所求直线l 有4条.【例6】如图,已知抛物线2y x =,过点()1,0M 作斜率为(0)k k >的直线l 交抛物线于,A B 两点,其中点A 在第一象限,过点A 作抛物线的切线与x 轴相交于点P ,直线PB 交抛物线于另一点C ,线段AC 交x 轴于点N ,记,APC AMN 的面积分别为12,S S . (1)若1k =,求AB ; (2)求12S S 的最小值.【答案】; (2) 3+【解析】 (1) 由 221,10,y x y y y x =-⎧⇒--=⎨=⎩, 所以AB ==. (2) 设点 ()()()222,,,,,A a a B b b C c c . 由 ()()()22,,1,0,,A a a M B b b 三点共线得22211a b a ab a b a --=⇒=---同理, 由 ()()()22,,,0,,N A a a N x C c c 三点共线 得 2222N Na c a x ac a c a x --=⇒=---.而切线 PA 的方程 ()212ay x a =+, 所以点 ()2,0P a -所以由 ()()22211,0,,,,P a B C c c aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 三点 共线得 3c a =-.于是2121(),22A c a S PN y y a c S =⋅-=-()112ac a =--.所以()()23221432()21111a a S a c a S ac a a +-===-+----3223++. 【例7】如图,设点()0,,P t t ∈R ,已知F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,直线PF 与抛物线交于,A B 两点()AF BF <,点C (不同于原点)在抛物线上,PC 不平行于x 轴,且PC 与抛物线有且只有一个公共点.当t =,12AF FB =. (1)求p 的值;(2)若,CA CB 分别与x 轴交于点,D E ,设,ADF BEF 和ABC 的面积分别为1S ,2,S S ,求122S S S 的最大值.【答案】 (1) 2; (2)116. 【解析】 (1) 设点 ()()()()11221122,,,,,,A x y B x y A x y B x y .由题意可知点(0,,,02p P F ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以直线AB 的方程为21x p +=. 22221,102,xy p p y px ⎧+=⎪⇒-=⎨⎪=⎩, 所以212y y += (1)()2122y y p =-因为 12AF BF =,所以 ()2123y y =-由(1)(2)(3)三式解得 2p =.(2) 方法 1 , 设点 ()()23,,0,C x y P t . 由 (1) 知点()1,0F , 则直线AB 的方程为 ()1y t x =--.()221,440,4,y t x ty y t y x ⎧=--⇒+-=⎨=⎩ 得 12124,4y y y y t +=-=-.弦长 ()2241t AB t +=.设直线 PC 的方程为 y kx t =+.22,440,4,y kx t ky y t y x =+⎧⇒-+=⎨=⎩ 由 Δ16160kt =-=, 即 1kt =.所以 1424y t k==, 所以点 ()2,2C t t . 点 C 到直线 AB的距离为d =由直线AC 的方程为 ()13114y y y x y y +=+, 得134D y y x =-同理可得2384y y x =-所以12121122S S DF y EF y ⋅=⋅⋅⋅ ()()2132312144164y y y y y y t =++=+ ()222211,2t S AB d t+=⋅=所以()21222221114411S S t S t t t ⋅=⋅=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭116,当且仅当1t =± 时取得等号方法 2 设点 ()()()222,2,,2,,2A a a B b b C c c ,则 2AB PP k k t a b===-+, 即 2a b t +=-.由 ,,A F B 三点共线得22211aab a b a =⇒=-+-;由,,C A D 三点共 线 得222DA C x x x a c =⋅=, 所以 D x ac =-.由 ,,C E D 三点共线得 222EB C x x x b c =⋅=,所以 E x bc =-. 所以 ()()111212S ac a a ac =+⋅=+, ()()()21S 121,2bc b b bc =---=+ 所以 ()()()12111S S ab bc ac bc ⋅=++=-+.()1ac +.又切线21PC cy x c =+, 所以2ct c =, 所以 c t =.所以 321211S S ac bc abc t ⋅=-+++=+.又直线 AB 的方程为()1y t x =--.()221,440,4,y t x ty y t y x ⎧=--⇒+-=⎨=⎩ 得 12124,4y y y y t +=-=-.点C 到直线AB的距离为d =.()122211.2t S AB d t+=⋅= 所以()21222221114411S S t S t t t ⋅=⋅=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭116,当且仅当1t =± 时取得等号,【例8】已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>,点()0,1是椭圆1C 的一个顶点.过抛物线22:1C y x =+上一点P ,作抛物线2C 的切线l 与椭圆1C 交于两个不同点,A B .(1)求椭圆1C 的方程;(2)若PA AB =,求切线l 的方程.【答案】 (1) 2251y x +=; (2) 2y x =±. 【解析】 (1) 由题可知1a =,又5e =,可得2b =15,所以椭圆1C 的方程是 22115x y +=,即225y x + 1=.（2）解法1：()00,P x y 设点,因为2y x '=,则抛物线的切线l 的方程为002(y y x x -=- )0x ,整理可得 20021y x x x =-+. 2002221,51,y x x x y x ⎧=-+⎨+-⎩ 得 ()222002151x x x x -++= 可 得：()()()2222200000454120x x x x x x x ++-+-=()()()2222222000000Δ161445256x x x x x x =--+-= ()4320002041450x x x -=->, 即 20145x <.设点 ()()1122,,,A x y B x y , 则 ()2001224145x x x x x -+=+.设 0120,xx x >>, 由 PA AB = 可得 A 为 PB 的中点.所以 1022x x x =+, 于是 ()10123x x x x =++,所以003245x x=++()()22000220041814545x x x xx x -+=++所以 ()()()220000330022181345245x x x x x x ⎡-++⎣⎦⋅=++. 所以 3027x =+, 即420047377x x +-0=,所以()()220047710x x +-=, 解得 21x =. . 所以切线 l 的方荁为 2y x = 或 2y x =-. 解法 2： 设切线 l 的方程为 y kx m =+.32,10.1,y kx m x kx m y x =+⎧⇒--+=⎨=+⎩ 因为 l 与抛物线 2C 相切, 所以 2Δ440k m =+-=,可得 ()241k m =--(1)设点 ()00,P x y , 可知 02k x =. ()22222,5210.51,y kx m k x kmx m y x =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩因为 l 与梛圆 1C 交于不同的两点,所以 ()22Δ4550k m =-+> (2)由(1)(2)两式可得 9,15m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.设点 ()()1122,,,A x y B x y ,212122221,,55km m x x x x k k -+=-=++由PA AB = 01x x -=12x x -,即0112x x x x -=-. 考虑 012x x x >> 的情形,由 0112x x x x -=- 可得 12022kx x x -==.122122,52,2km x x k k x x ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪-=⎪⎩得 12222141,356356km km x k x k k k =⋅+=-⋅-++. 所以 1222143563kmx x k k ⎛⎫⎛=-⋅+⋅- ⎪ +⎝⎭⎝. 22211565km m k k k -⎫-=⎪++⎭ 成立.即 ()2222222228119953655k m k m k m k k k -⋅-⋅-=+++, 将(1)式代人上式, 得 ()2213249(49)9m m m --⋅+-+. ()()21111,49949m m m m m m --+-=-++ 即()()214810(49)m m m m --=-+ ，所以 0m = 或 1m = (舍) 或 814m =(舍), 当 0m = 时, 24k =, 则 2k =±.所以切线 l 的方程为 2y x = 或 2y x =-.【例9】抛物线2:4C x y =上任取两点()()1122,,,A x y B x y .已知AB 的垂直平分线l 分别交x轴、y 轴于点,P Q .(1)若AB 的中点坐标为()1,2,求直线AB 的斜率; (2)若PQ 的中点恰好在拋物线C 上,且AB =,求直线AB 的斜率.【答案】 (1) ()122k ⎧⎪=⎨⎪⎩.【解析】 (1) 方法 1 , 设点 ()()1122,,,A x y B x y .因为 AB 的中点坐标为 ()1,2,则 12122,4x x y y +=+=,所以 2211224,4x y x y ==.所以 ()()121224x x y y -=-,所以 121212y y x x -=-,则直线 AB 的斜率为 12. 方法 2 设直线 :AB y kx b =+,点()11,,A x y B ()22,x y ,代人24x y =得2440x kx b --=,得12x x +42k ==,则直线AB 的斜率为12. (2) 方法 1 设 ABAB 的中点 (),,0,0M m n m n ≠>, 点 ()()1122,,,A x y B x y , 则由 (1) 知, 直线 AB 的斜率 为2m. 所以 ()2:,:(2m AB y x m n PQ y x m =-+=-- )m n +, 所以点()()2,0,0,22m n P Q n ⎛⎫++⎪⎝⎭, 所以 PQ 的中点为 ()22,42m n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 代人抛物线方程得 22(2)24162m n n ++=⋅ 因为 20n +≠, 所以 2322m n =+. 因为 ()2,24,m y x m n x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩ 得222240x mx m n -+-=,所以 212122,24x x m y y m n +=+=-. 因为AB =. 所以122P Q k x x x x ⋅-=-,所 以22m=()22m n +所以 2n =+,所以 2321645(2)2n n n ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭.令 2(2)t n t =+>,则 23216485t t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 。
2021届山东高考数学教学案：解专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题含解析
2021届山东高考数学一轮创新教学案：解答题专项突破（五）圆锥曲线的综合问题含解析解答题专项突破(五)圆锥曲线的综合问题圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算,对考生解决问题的能力要求较高,通常以压轴题的形式呈现．热点题型1圆锥曲线中的定点问题典例1(2019·广州二模）已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C:错误!＋错误!＝1(a〉b>0）的一个焦点重合,且点F关于直线y ＝x的对称点在椭圆上．(1)求椭圆C的标准方程;(2）过点Q0，－错误!且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点,在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标,若不存在，说明理由．解题思路（1)求出抛物线的焦点F关于直线y＝x的对称点，结合已知条件及a，b,c的关系，求解椭圆的标准方程．(2)假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点，求出AB垂直于两坐标轴时以AB为直径的圆的方程,联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论．规范解答(1）由抛物线y2＝4x，得其焦点为F(1,0)，从而得点F关于直线y＝x的对称点为(0，1)，故b＝1，c＝1,因此a＝错误!，∴椭圆C 的标准方程为错误!＋y 2＝1。
（2)假设存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点． 当AB ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1。
①当AB ⊥y 轴时,以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y ＋错误!2＝错误!。
②联立①②,得错误!∴定点M (0,1)．证明：设直线l ：y ＝kx －错误!，代入错误!＋y 2＝1，有(2k 2＋1)x 2－错误!kx －错误!＝0。
设A （x 1，y 1)，B （x 2，y 2），x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝－错误!。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
2021年高考数学专题10 圆锥曲线 (解析版)
专题10 圆锥曲线易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”如图，已知点0(1)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅，求动点P 的轨迹．【错解】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP QF FP FQ ⋅=⋅，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ．【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别． 【试题解析】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP QF FP FQ ⋅=⋅，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ． 故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．【参考答案】动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点(),Q x y ''的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x '，y '表示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程．（4）参数法：若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()P x y 的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点,()P x y 中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．1．已知定点(1,0)A -及直线:2l x =-,动点P 到直线l 的距离为d ,若||PA d =. （1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）设,M N 是C 上位于x 轴上方的两点，B 坐标为(1,0),且AM BN ∥,MN 的延长线与x 轴交于点(3,0)D ,求直线AM 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）(1)2y x =+.【解析】（1）设(,)P x y ，则由(1,0)A -，知||PA = 又:2l x =-，∴|2|d x =+，2=∴2221(1)(2)2x y x ++=+， ∴2222x y +=，∴点P 的轨迹方程为2212x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ()120,0y y >>，∵(1,0)(1,0),(3,0)A B D -，， ∴B 为AD 中点， ∵//AM BN ，∴1212,322x x y y +==， ∴1223x x =-，又221112x y +=，∴()222223412x y -+=， 又222212x y +=，∴2151,42x x ==-，∵0y >，∴14y =，∴1112AM y k x ==+， ∴直线AM的方程为1)2y x =+. 【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等．易错点2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围已知曲线C ：y＝x 2－2x ＋2和直线l ：y ＝kx (k ≠0)，若C 与l 有两个交点A 和B ，求线段AB 中点的轨迹方程.【错解】依题意，由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ＋2，y ＝kx ，分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有12212212121x x x k y y k y k +⎧==⎪⎪-⎨+⎪==⎪-⎩，故线段AB 中点的轨迹方程为220x y x --=.【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y 的允许范围，故应对x ，y 加以限制．【试题解析】依题意，由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ＋2y ＝kx，分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝11－k 2， ③y ＝y 1＋y 22＝k1－k 2， ④又对②应满足222212221221044(2)(1)0201201k k k k k y y k k y y k ∆⎧-≠⎪=-⨯-⨯->⎪⎪⎨+=>-⎪⎪⎪=>-⎩，解得22<k <1.结合③④，则有x >2，y > 2.所以所求轨迹方程是x 2－y 2－x ＝0(x >2，y >2)． 【参考答案】轨迹方程是x 2－y 2－x ＝0(x >2，y >2).1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明x ,y的取值范围.2．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x yD ．221(1)8y x x -=≥【答案】B【解析】设动圆的圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ， 则由题意可得121,3MC r MC r =+=+，相减可得21122MC MC C C -=<，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支， 由题意可得22,3a c ==，所以b =，故点M 的轨迹方程为221(1)8y x x -=≤-，故选B.【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.易错点3 忽略椭圆定义中的限制条件若方程22186x y k k +=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为________________．【错解】由8060k k ->⎧⎨->⎩，可得68k <<，所以实数k 的取值范围为(6，8)．【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a ＞b ＞0这一限制条件，当a ＝b ＞0时表示的是圆的方程．【试题解析】由806086k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得68k <<且7k ≠，所以实数k 的取值范围为(6，7)∪(7，8)．【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．【参考答案】(6，7)∪(7，8)．平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.3．已知F 1，F 2为两定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段【答案】D【解析】虽然动点M 到两个定点F 1，F 2的距离为常数8，但由于这个常数等于|F 1F 2|，故动点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D ．平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F 1F 2|＜2a 这一隐含条件，就会错误地得出点M 的轨迹是椭圆.易错点4 忽略对椭圆焦点位置的讨论已知椭圆的标准方程为2221(0)36x ykk+=>，并且焦距为8，则实数k的值为_____________．1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.②表示焦点在y 轴上的椭圆⇔0,0m n >>且m n <； ③表示椭圆⇔0,0m n >>且m n ≠．对于形如：Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B )的椭圆的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况，当B ＞A 时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当B ＜A 时，表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B ).求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.4．关于曲线C ：222214x y a a +=-性质的叙述，正确的是A ．一定是椭圆B ．可能为抛物线C ．离心率为定值D ．焦点为定点【答案】D【解析】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B 错误；因为24a -可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则()22244c a a =--=，∴2c =，2e a=，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-，为定点. 若曲线为双曲线，方程为222214x y a a-=-，则()22244c a a =+-=，∴2c =，2e a =，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-为定点，故选D.【名师点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程和性质,体现了分类讨论的思想.易错点5 忽略椭圆的范围设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率32e =，已知点3(0,)2P 到椭圆的最远距离为7，求椭圆的标准方程．1．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的范围就是方程中变量x,y的范围，由22221x ya b+=得222211x ya b=-≤，则||x a≤；222211y xb a=-≤，则||y b≤.故椭圆落在直线x=±a，y=±b围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x，y的取值范围.2．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处． 3．（1）解决椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有：①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； ②离心率0<e <1；③一元二次方程有解，则判别式0∆≥.（2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种： ①利用定义转化为几何问题处理；②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理； ③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；④利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x 、y 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)B ，且过点2P ． （1）求椭圆C 的方程及其离心率；（2）斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点，当直线,OM ON 的斜率之积是不为0的定值时，求此时MON △的面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=，2e =；（2）1. 【解析】（1）由题意可得1b =．又2P 在椭圆C 上，所以22212a +=，解得2a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，所以c C 的离心率2c e a ==.（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠．由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222418440k x kmx m +++-=， 所以22222(8)4(41)(44)6416160km k m k m ∆=-+-=-+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k --+==++． ()()()2212121212121212OM ONkx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++===222222244841414441m kmk km m k k m k --⨯+⨯+++=-+222444m k m -=-， 由题意，OM ON k k 为定值，所以21444k -=-，即214k =，解得12k =±．此时MN===， 点O 到直线y kx m =+的距离|5m d =．11||22MON S MN d m ==△== 显然，当21m =（此时214k =，21m =满足226416160k m ∆=-+>），即1m =±时，S 取得最大值，最大值为1．易错点6 忽略双曲线定义中的限制条件已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，点P 的轨迹分别为A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线； 当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．6．如图，在ABC △中，已知||AB =A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程．【答案】221(26x y x -=>．【解析】由题意可得(A -，B ．因为2sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得||||||22BC AB AC +=，故|||||12|||AC BC AB AB -=<=， 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为22221()x y x a a b-=>，因为a =c =2226b c a =-=，故所求轨迹方程为221(26x y x -=>．【名师点睛】求解与双曲线有关的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．易错点7 忽略双曲线中的隐含条件已知M 是双曲线2216436x y -=上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且1||17MF =，则2MF =_____________．1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意d c a ≥-这一隐含条件．2．双曲线方程中,a b 的大小关系是不确定的，但必有0,0c a c b >>>>.3．由22221(0,0)x y a b a b-=>>,知x 2a2≥1,所以x ≤-a 或x ≥a ,因此双曲线位于不等式x ≥a 和x ≤-a 所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.7．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线,交双曲线于,P Q ,1F 是另一焦点,若1=3PFQ π∠,则双曲线的离心率e 等于 A 1 BC 1D 2+【答案】B【解析】由双曲线的对称性可知，12PF F △是以点2F 为直角顶点，且126PF F π∠=，则122PF PF =，由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==， 在12Rt PF F △中，212122tan 2PF a PF F F F c ∠===c e a∴== B. 【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题.易错点8 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论已知双曲线的渐近线方程是23y x=±，焦距为226，求双曲线的标准方程． 2b1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.8．已知双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=，且过点()12P ，--，则该双曲线的标准方程为__________．【答案】22133y x -=【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=，可设双曲线方程为()220x y λλ-=≠，∵双曲线过点()12P ，--，∴14λ-=，即3λ=-．∴所求双曲线方程为22133y x -=，故答案为22133y x -=．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．易错点9 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况若过点(1,1)P 且斜率为k 的直线l 与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则k =___________．【方法点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐21． 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线． （2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点． （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．2．研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．9．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点． 【答案】见解析．【解析】由22416x y y kx -==⎧⎨⎩消去y 得22(4)160k x --= ①，当240k -=，即2k =±时，方程①无解；当240k -≠时，2204(4)(16)64(4)k k ∆=---=-， 当0∆>，即22k -<<时，方程①有两解； 当0∆<，即2k <-或2k >时，方程①无解； 当0∆=，且240k -≠时，这样的k 值不存在．综上所述，（1）当22k -<<时，直线与双曲线有两个公共点； （2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的k 值； （3）当2k ≤-或2k ≥时，直线与双曲线没有公共点．【名师点睛】研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．易错点10 忽略抛物线定义中的限制条件已知点P 到F (4，0)的距离与到直线5x =-的距离相等，求点P 的轨迹方程．【参考答案】2189y x =+.1．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．2．抛物线定义中要求直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线．因此当动点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义．10．已知圆C 的方程22100x y x +-=，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．【答案】220(0)y x x =>或)00(y x =<．【解析】设P 点坐标为(x ，y )，动圆的半径为R ，∵动圆P 与y 轴相切，∴R x =，∵动圆与定圆C ：2252)5(x y -+=外切，∴5PC R =+，∴5PC x =+．当点P 在y 轴右侧，即x ＞0时，5PC x =+，点P 的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心P 的轨迹方程为220(0)y x x =>；当点P 在y 轴左侧，即x ＜0时， 5PC x =-+，此时点P 的轨迹是x 轴的负半轴，即方程)00(y x =<．故点P 的轨迹方程为220(0)y x x =>或)00(y x =<．【名师点睛】抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以转化为利用抛物线的定义求解，利用抛物线的定义求解的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离，需要依据条件进行转化．易错点11 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程.【错解】易知准线方程为x ＝－m4，因为准线与直线x ＝1的距离为3， 所以准线方程为x ＝－2， 所以－m4＝－2，解得m ＝8，故抛物线方程为y 2＝8x .【错因分析】题目条件中未给出m 的符号，当m >0或m <0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠周到．【试题解析】当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－(－m4)＝3，所以m ＝8.此时抛物线方程为y 2＝8x ； 当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x . 【参考答案】y 2＝8x 或y 2＝－16x .1．抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：图 形标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦点坐标(,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =注：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0． 2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.11．顶点在原点，且过点(1,1)-的抛物线的标准方程是A ．2y x =-B ．2x y =C ．2y x =-或2x y =D ．2y x =或2x y =-【答案】C【解析】当焦点在x 轴上时，设方程为2y ax =，将(1,1)-代入得1a =-，2y x ∴=-；当焦点在y 轴上时，设方程为2x ay =，将(1,1)-代入得1a =，2x y ∴=．故选C ．本题若只考虑焦点在x 轴的负半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在y 轴的正半轴上的情况，则会出现漏解．易错点12 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求过定点(11)P -,，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线l 的方程．直线l y kx b =+：与抛物线22(0)y px p =>公共点的个数等价于方程组22y x p bxy k ⎧⎨==+⎩的解的个数．（1）若0k ≠，则当0∆>时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当0∆＝时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当0∆<时，直线和抛物线相离，无公共点．（2）若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点．特别地，当直线l 的斜率不存在时，设x m =，则当0m >时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；当0m =时，直线l 与抛物线相切，有一个公共点；当0m <时，直线l 与抛物线相离，无公共点．12．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件．故选A ．本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉k =0.一、曲线与方程 1．求曲线方程的步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x ，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程． 2．两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.二、椭圆 1．椭圆的定义平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.3．椭圆的几何性质标准方程22221x y a b +=(a ＞b ＞0) 22221y x a b +=(a ＞b ＞0) 图形范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1 (－c ，0)，右焦点F 2 (c ，0)下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )顶点1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b -- 1212(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b --三、双曲线 1． 双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支；当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+.（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+． 3．双曲线的几何性质标准方程22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0) 22221y x a b -=(a ＞0，b ＞0) 图形范围 ||x a ≥，y ∈R ||y a ≥，x ∈R对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1(－c ，0)，右焦点F 2(c ，0)下焦点F 1(0，－c )，上焦点F 2(0，c )顶点12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -轴线段A 1A 2是双曲线的实轴，线段B 1B 2是双曲线的虚轴；实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率e22c ce a a==(1)e >在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2PF PF a -=的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用． 4．等轴双曲线四、抛物线 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>；（2）顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->；（3）顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>；（4）顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 3．抛物线的几何性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图 形几 何 性质范 围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R0,y x ≥∈R0,y x ≤∈R对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称焦点(,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F(0,)2p F -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =顶 点 坐标原点(0，0)离心率1e =4．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->。
2021-2022年高考数学一轮复习 8.7 圆锥曲线的综合问题教案
2021年高考数学一轮复习 8.7 圆锥曲线的综合问题教案●知识梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口.（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识.（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号.●点击双基1.（xx年春季北京，5）设abc≠0，“ac>0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：ac>0曲线ax2+by2=c为椭圆.反之成立.答案：B2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是A.椭圆B.AB所在直线C.线段ABD.无轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0≤x≤3.答案：C3.若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为A.1B.－1C.－D.以上都不对解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x－2）代入椭圆方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.令Δ=0，k=±.∴k min=－.答案：C4.（xx年春季上海，7）双曲线9x2－16y2=1的焦距是____________.解析：将双曲线方程化为标准方程得－=1.∴a2=，b2=，c2=a2+b2=+=.∴c=，2c=.答案：5.（xx年春季北京）若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有____________个.解析：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0.令Δ<0得m2+n2<3.又m、n不同时为零，∴0<m2+n2<3.由0<m2+n2<3，可知|n|<，|m|<，再由椭圆方程a=，b=可知公共点有2个.答案：0<m2+n2<3 2●典例剖析【例1】（xx年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：+=；（3）当a=2p时，求∠MON的大小.剖析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px 交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=.由·=0易得∠MON=90°.亦可由k OM·k ON=－1求得∠MON=90°.（1）解：直线l的截距式方程为+=1. ①（2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0. ②点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=，y1y2=－2pa.所以+===.（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=.当a=2p时，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2===4p2，因此k1k2===－1.所以OM⊥ON，即∠MON=90°.评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.【例2】（xx年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线－=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当=λ时，求λ的最大值.剖析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b.（2）由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°=.∴a=b.又a2+b2=4，∴a2=3，b2=1.故椭圆C的方程为+y2=1.（2）由已知l：y=（x－c），与y=x解得P（，），由=λ得A（，）.将A点坐标代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2.∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2.∴λ2==－［（2－e2）+］+3≤3－2.∴λ的最大值为－1.评述：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.【例3】设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标.剖析：设椭圆方程为+=1，由e =知椭圆方程可化为x 2+4y 2=4b 2，然后将距离转化为y 的二次函数，二次函数中含有一个参数b ，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y =－是否在y 的取值范围内，最后求出椭圆方程和P 点坐标.解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中a ＞b ＞0待定.由e 2===1－（）2可知===，即a =2b .设椭圆上的点（x ，y ）到点P 的距离为d ，则d 2=x 2+（y －）2=a 2（1－）+y 2－3y += 4b 2－3y 2－3y +=－3（y +）2+4b 2+3，其中－b ≤y ≤b .如果b ＜，则当y =－b 时d 2（从而d ）有最大值，由题设得（）2=（b +）2，由此得b =－＞，与b ＜矛盾.因此必有b ≥成立，于是当y =－时d 2（从而d ）有最大值，由题设得（）2=4b 2+3，由此可得b =1，a =2.故所求椭圆的直角坐标方程是+y 2=1.由y =－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－，－），点（，－）到点P 的距离都是. 解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是 x =a cos θ，y =b sin θ，∵e =，∴a =2b .设椭圆上的点（x ，y ）到点P 的距离为d ，则d 2=x 2+（y －）2=a 2cos 2θ+（b sin θ－）2=－3b 2·（sin θ+）2+4b 2+3.如果＞1，即b ＜，则当sin θ=－1时，d 2（从而d ）有最大值，由题设得（）2=（b +） 2，由此得b =－＞，与b ＜矛盾.因此必有≤1成立，于是当sin θ=－时，d 2（从而d ）有最大值，由题设得（）2=4b 2+3. x =2cos θ， y =sin θ.消去参数得+y 2=1，由sin θ=，cos θ=±知椭圆上的点（－，－），（，－）到P 点的距离都是.评述：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论. 深化拓展 根据图形的几何性质，以P 为圆心，以为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P 的距离为，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.x 2+（y －）2=7，x 2+4y 2=4b 2， 得3y 2+3y －=4b 2－7，由Δ=0得b 2=1，即椭圆方程为x 2+4y 2=4. 所求点为（－，－）、（，－）. ●闯关训练 夯实基础1.（xx 年北京东城区目标检测）以正方形ABCD 的相对顶点A 、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e =.其中a ＞b ＞0待定，0≤θ＜2π， 由此得b =1，a =2.所以椭圆参数方程提示：由答案：D2.已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝时，△F1PF2的面积最大，则有A.m=12，n=3B.m=24，n=6C.m=6，n=D.m=12，n=6解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3.答案：A3.（xx年启东市第二次调研）设P1（，）、P2（－，－），M是双曲线y=上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=2；②以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于|MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP1|可知正确.答案：①②③4.（xx年全国Ⅱ，15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.解析：双曲线中，a==b，∴F（±1，0），e==.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为.∴长半轴长为，短半轴长为1.∴方程为+y2=1.答案：+y2=15.（1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件.解：（1）3－k2>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1－k>3－k2>0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－k2>0k=－1，表示的是一个圆；（1－k）（3－k2）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.（2）由（k2+k－6）（6k2－k－1）<0（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0k∈（－3，－）∪（，2）.6.（xx年湖北八市模拟题）已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.（1）求证：点A、B关于x轴对称；（2）求△AOB外接圆的方程.（1）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22.又∵y12=2px1，y22=2px2，∴x22－x12+2p（x2－x1）=0，即（x2－x1）（x1+x2+2p）=0.又∵x1、x2与p同号，∴x1+x2+2p≠0.∴x2－x1=0，即x1=x2.由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称.（2）解：由（1）知∠AOx=30°，则y2=2px，x=6p，∴y=x y=2p.∴A（6p，2p）.方法一：待定系数法，△AOB外接圆过原点O，且圆心在x轴上，可设其方程为x2+y2+dx=0.将点A（6p，2p）代入，得d=－8p.故△AOB外接圆方程为x2+y2－8px=0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为r，则圆心（r，0）.培养能力7.（理）（xx年北京，17）如下图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.解：（1）当y=时，x=.又抛物线y2=2px的准线方程为x=－，由抛物线定义得所求距离为－（－）=.（2）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB.由y12=2px1，y02=2px0，相减得（y1－y0）（y1+y0）=2p（x1－x0），故k PA==（x1≠x0）.同理可得k PB=（x2≠x0）.由PA、PB倾斜角互补知k PA=－k PB，即=－，所以y1+y2=－2y0，故=－2.设直线AB的斜率为k AB.由y22=2px2，y12=2px1，相减得（y2－y1）（y2+y1）=2p（x2－x1），所以k AB==（x1≠x2）.将y1+y2=－2y0（y0＞0）代入得k AB==－，所以k AB是非零常数.（文）如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线上.（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.∵点P（1，2）在抛物线上，∴22=2p·1，得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=－1.（2）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB.则k PA=（x1≠1），k PB=（x2≠1）.∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA=－k PB.由A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1，①y22=4x2，②∴=－.∴y1+2=－（y2+2）.∴y1+y2=－4.由①－②得直线AB的斜率k AB===－=－1（x1≠x2）.8.（xx年北京东城区模拟题）从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM.（1）求椭圆的离心率；（2）若Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程.解：（1）由已知可设M（－c，y），则有+=1.∵M在第二象限，∴M（－c，）.又由AB∥OM，可知k AB=k OM.∴－=－.∴b=c.∴a=b.∴e==.（2）设|F1Q|=m，|F2Q|=n，则m+n=2a，mn＞0.|F1F2|=2c，a2=2c2，∴cos∠F1QF2===－1=－1≥－1=－1=0.当且仅当m=n=a时，等号成立.故∠F1QF2∈［0，］.（3）∵CD∥AB，k CD=－=－.设直线CD的方程为y=－（x+c），即y=－（x+b）.+=1，y=－（x+b）.（a2+2b2）x2+2a2bx－a2b2=0.设C（x1，y1）、D（x2，y2），∵a2=2b2，∴x+x2=－=－=－b，x1·x2=－=－=－.∴|CD|=|x1－x2|=·=·==3.∴b2=2，则a2=4.∴椭圆的方程为+=1.探究创新9.（xx年春季上海，22）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（－2，－）的椭圆的标准方程.（2）已知椭圆C的方程是+=1（a>b>0）.设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB 的中点为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.（1）解：设椭圆的标准方程为+=1，a>b>0，∴a2=b2+4，即椭圆的方程为+=1.则消去y，整理得∵点（－2，－）在椭圆上，∴+=1.解得b2=4或b2=－2（舍）.由此得a2=8，即椭圆的标准方程为+=1. （2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），y=kx+m，+=1.解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2－a2b2=0.∵Δ>0，∴m2<b2+a2k2，即－<m<.则x1+x2=－，y1+y2=kx1+m+kx2+m=，∴AB中点M的坐标为（－，）.∴线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上.（3）解：如下图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连结直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连结直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心.●思悟小结在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：1.客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决.2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.3.注意用好以下数学思想、方法：①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想.除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法.在复习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力.●教师下载中心教学点睛本节是圆锥曲线的综合应用，主要是曲线方程的运用、变量范围的计算、最值的确定等，解决这类问题的关键是依据解析几何本身的特点，寻找一个突破口，那么如何找到解决问题的突破口呢？（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.（2）建立目标函数，转化为求函数的最值问题.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题.则有（5）构造一个二次方程，利用判别式Δ≥0.拓展题例【例1】（xx年启东市第二次调研题）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0>3p；（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当0<p<1时，求++…+的值.（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px.得k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.Δ=4（k2p－2p）2－4k2·k2p2>0，得0<k2<1.令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=－，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，AB中点坐标为（，）.AB垂直平分线为y－=－（x－）.令y=0，得x0==p+.由上可知0<k2<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.（2）解：∵l的斜率依次为p，p2，p3，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，…（0<p<1）.∴点N n的坐标为（p+，0）.|N n N n+1|=|（p+）－（p+）|=，=，所求的值为［p3+p4+…+p21］=.【例2】（xx年南京市模拟题）已知双曲线C：－=1（a＞0，b＞0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.（1）求证：·=·；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.（1）证法一：l：y=－（x－c）.y=－（x－c），y=x.解得P（，）.∵||、||、||成等比数列，∴A（，0）.∴=（0，－），=（，），=（－，）.∴·=－，·=－.∴·=·.证法二：同上得P （，）. ∴PA ⊥x 轴，·－·=·=0. ∴·=·.y =－（x －c ），b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2. ∴b 2x 2－（x －c ）2=a 2b 2，即（b 2－）x 2+2cx －（+a 2b 2）=0.∵x 1·x 2=24222224)(ba b b a b c a -+-＜0， ∴b 4＞a 4，即b 2＞a 2，c 2－a 2＞a 2.∴e 2＞2，即e ＞.（2）解：。
2021年新课标新高考数学复习课件：§9.6 圆锥曲线的综合问题
知识拓展 1.圆锥曲线中的最值和范围问题的求解方法 求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题:一是注意题目中的几何特征, 充分考虑图形的性质;二是运用函数思想,建立目标函数,求解最值.在利用 代数法解决最值和范围问题时常从以下五个方面考虑: (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是两个参数 之间建立等量关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 2.求有关圆锥曲线的最值问题时应注意以下几点: (1)圆锥曲线上本身存在最值问题,如(i)椭圆上两点间的最大距离为2a(长
1 4
=k
x
1 2
,y-
9 4
=-
1 k
x-
3 2
.
联立直线AP与BQ的方程
kx-y
1 2
k
1 4
0,
x
ky-
9 4
k-
3 2
0,
解得点Q的横坐标是xQ=
-k 2 4k 2(k 2
1)
3
.
因为|PA|=
1
k2
x
1 2
=
1 k2 (k+1),
|PQ|= 1 k 2 (xQ-x)=- (k-1)(k 1)2 ,
故所求椭圆方程为 x2 +y2=1.
2
(2)由题意知,直线l的斜率存在,
设l:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2).
x2
由 2
y2
1,
y kx m,
得(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-1)=0,
第7讲圆锥曲线第一篇2021高考数学解答题提分特训营教师
2 y + = x y x 2 y 2第 7 讲 圆锥曲线方程最值范围问题[考点分析]通过比较近几年的高考题，不难发现，集中考察的是抛物线和椭圆，椭圆出现的较多，主要考察的是直线与椭圆或抛物线的位置关系，近几年也出现了与圆的综合问题，难度没有特别大的跳跃，比较平稳，都是以运算为主要考察对象.从考查形式上分析，主要是求解圆锥曲线方程，轨迹问题（也涉及到挖点），定点 问题，范围问题等.[特训典例]题型一 求圆锥曲线方程例 1 【高考新课标 1 卷】（本小题满分 12 分）设圆 x 2 + y 2+ 2x -15 = 0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B （1,0） 且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C ,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . （I ）写出点 E 的轨迹方程；2 2 【答案】（Ⅰ） + 4 3= 1（ y ≠ 0）例 2 【课标 II ，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ： x 2 + 22= 1上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满足 NP = 2 NM 。
(1) 求点 P 的轨迹方程；解析：（1）设 P (x , y ), M (x 0 , y 0 ),设 N (x 0 , 0),NP = (x - x 0 , y ), NM = (0, y 0 )。
由 NP = 2 NM 得 x 0 = x , y 0 =y 。
因为 M (x 0 , y 0 )在 C 上，所以 1。
2 2 2因此点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2= 2 。
例 3 （江苏省高邮市 2020 届高三期中考试）已知动点 P (x , y )到定点 B (2，0)的距离与到定直线l ：x = 8 1的距离之比为 ，2（1）求 P 点的轨迹 H 的方程。
【答案】x2＋y2＝116 121 2[特训跟踪]1．与圆 C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1 外切，且与圆 C 2：(x －3)2＋y 2＝81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为．【答案】(1) x 2 ＋ y 2＝125 16 2.已知圆 C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点 A (－3，0)，则过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M 的轨迹方程为 ．【解析】设动圆 M 的半径为 R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，∴|MC |－|MA |＝2， 由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以 A ，C 为焦点的双曲线的左支，且 a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ y 2＝1(x <－1)．83.如图，圆O 与圆O 的半径都是 1，O O = 4 . 过动点 P 分别作圆O 、圆O 的切121 222线 PM ，PN （ M ，N 分别为切点），使得 PM = 2PN . 并求动点 P 的轨迹方程.【解析】以O 1O 2 的中点O 为原点， O 1O 2 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1 (-2，0) ， O 2 (2，0) .由已知 PM = 2PN ，得 PM 2 = 2PN 2 .因为两圆半径均为 1，所以PO 2 - 1 = 2(PO 2 - 1) .设P (x ，y ) ，则( x + 2) 2 + y 2 - 1 = 2[( x - 2) 2 + y 2 - 1] ，即( x - 6) 2 + y 2 = 33 .(或 x 2 + y 2 - 12x + 3 = 0 ) 题型二 最值范围问题例 4 (2020·南昌调研)已知椭圆 C ： x 2＋ y 2＝1(a >b >0)的离心率为 3，短轴长为 2. a 2 b 2 2 (1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l ：y ＝kx ＋m 与椭圆 C 交于 M ，N 两点，O 为坐标原点，若 k OM ·k ON ＝5，求原点 O 到直线 l 的距4 离的取值范围.解 (1)由题知 e ＝c ＝ 3，2b ＝2，又 a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆 Ca 2 x2y 2＝1.的标准方程为 ＋ 4y ＝kx ＋m ，(2)设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程 x 2 2＋y ＝1， 4圆锥曲线方程求法(1)待定系数法，(2)直接法，(3)定义法，(4)相关点法。
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第7讲 共线问题一、解答题1．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率2e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为21-, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且. （1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．【答案】（1）y 2212x +=1．（2）（﹣1，12-）∪（12，1）．【详解】（1）由条件知a ﹣c ＝12-2c a =， ∴a ＝1，b ＝c =，故C 的方程为：y 2212x +=1． （2）设l ：y ＝kx +m 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立得（k 2+2）x 2+2kmx +（m 2﹣1）＝0△＝（2km ）2﹣4（k 2+2）（m 2﹣1）＝4（k 2﹣2m 2+2）＞0 （*）x 1+x 2222km k =-+，x 1x 22212m k -=+ ∵AP =3PB ，∴﹣x 1＝3x 2∴x 1+x 2＝﹣2x 2，x 1x 2＝﹣3x 22，消去x 2，得3（x 1+x 2）2+4x 1x 2＝0，∴3（222km k -+）2+42212m k -⨯=+0整理得4k 2m 2+2m 2﹣k 2﹣2＝0m 214=时，上式不成立； m 214≠时，k 2222241m m -=-， 因λ＝3，∴k ≠0，∴k 2222241m m -=-＞0， ∴﹣1＜m 12-＜或12＜m ＜1 容易验证k 2＞2m 2﹣2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（﹣1，12-）∪（12，1）．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线与C 相交于A ，B ，且AB OB ⊥，O 坐标原点.（1）求椭圆的离心率e ；（2）若1b =，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点.（ⅰ）求OP OQ k k ⋅的值；（ⅰ）点M 满足2OMOP =，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NM NQ 的值.【答案】（1；（2）（ⅰ）15-；（ⅰ）38. 【分析】（1）由几何关系可得B 点坐标，代入椭圆方程即得a =，又222,c a b c e a=+=即得； （2）（ⅰ）将直线PQ 与椭圆联立即得1212OP OQ y y k k x x ⋅=结果； （ⅰ）,(01)NM NM NQ NQλλλ==<<将其坐标化，利用P ，Q ，N 在椭圆上求得结果即可． 【详解】（1）已知||,||,26a OA a OB BAF π==∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225,a a b==，∴2c b =，∴5c e a ==． （2）（ⅰ）由（1）可得1,b a ==22:15x C y += 设直线l：()()()1122332,,,,,,x P x y Q x y N x y =+∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 联立直线l 与椭圆C的方程：22255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810,0y +-=∆>恒成立121218y y y y +==-∴))12121212522348x x y y y y =++=+++= ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅰ）设,(01)NM NM NQ NQλλλ==<< ()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴12312322(1)22(1)x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩ ()()312312122(1)122(1)x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴22222211223355,55,55x y x y x y +=+=+= ()()2212122222554(1)4(1)x x y y λλλλ--+=-- ∴()()222222112212125454520(1)x y x y x x y y λλλ+++-+=-由（ⅰ）可知121250x x y y +=，∴22144(1)λλ+=-， ∴38λ= ∴38NM NQ =． 3．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.【答案】（1）()(),25,-∞+∞；（2）()3.5,5；（3）见解析 【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则250m m ->->，解得m 的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合()23223k =-，解得k ，设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，求出MB 的方程，可得316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【详解】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得：()()25m ∈-∞⋃+∞，，. （2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则：250m m ->->， 解得：7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）当4m =，曲线C 可化为：2228x y +=，当0x =时，2y =±， 故A 点坐标为：()02，，()02B -，， 将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得：()222116240k x kx +++=， 若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，则()232230k =->，解得232k >， 由韦达定理得：21621m n k x x k +=-+ ①， 22421m n x x k ⋅=+ ② 设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，， MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，， ∴3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+， 欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，即()326M N N M x kx x kx +=-+， 将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.4．已知圆O 的方程为224x y +=，圆O 与y 轴的交点为A ，B (点A 在点B 的上方)，直线:1l y kx =+与圆O 相交于M ，N 两点（1）当k =1时，求弦长MN ；（2）若直线y =4与直线BM 交于点D ，求证：D 、A 、N 三点共线.【答案】（1；（2）证明见解析；【分析】（1）先求出圆心到直线的距离d，再由MN =（2）联立2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，借用韦达定理表示出,DA AN →→，证明//DA AN →→，即可证明D 、A 、N 三点共线.【详解】（1）∵1k =，∴直线l 的方程为10x y -+=.圆心到直线的距离2d ==，∴MN === （2）由题可得()0,2A ，()0,2B -，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得：()221230k x kx ++-=，12221k x x k +=-+，12231x x k -=+，112:2BM y l y x x ++=，令4y =， 得1162x x y =+，∴116,42x D y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 116,22x DA y →⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，()22,2AN x y →=-，∵()12121212211162612242222x y x y x x y x x y y y ---+++=++++ 1221121621242x y x y x x y -+++=+ ()()122112*********x kx x kx x x y -+++++=+ 12112212166221242kx x x kx x x x x y --++++=+ ()221212113246461122k k kx x x x k k y y --⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭==++ 22112121102k k k k y -++==+，//DA AN →→∴，∴D 、A 、N 三点共线.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解，韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力. 5．已知椭圆C ： 2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ， O 为原点， M ， N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ， D 两点．（ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值；（ⅰ）证明： E ， O ， D 三点共线.【答案】（1）1；（2）详见解析。
【解析】试题分析：（ⅰ）设()0,M m ， ()0,N n ，然后根据MF NF ⊥求得mn 的值，从而得到AMFN S 的表达式，从而利用基本不等式求出最小值，；（ⅰ）首先设出直线AM 的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理得到点,E D 坐标间的关系，从而使问题得证．试题解析：（ⅰ）设()0,M m ， ()0,N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，1122AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||2MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当MF NF =时等号成立．∴min ||2MN =，∴()min 112MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（ⅰ）∵()A ， ()0,M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,{22,y x m x y =++=得()()22221210m x x m +++-=，由()22211E m x m -=+，得)2211E m x m -=+，①同理可得)2211D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221111D m x m ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭)221,1m m -=+② 故由①②可知： E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ， N 分别在x 轴两侧， E D y y =-， ∴E D E Dy y x x =，∴E ， O ， D 三点共线．点睛:解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．6．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点.（1）若直线l 的方程为3y x ，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =，求||MN .【答案】（1）18；（2）3. 【分析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果. 【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=.（2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-，且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =.因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||33MN x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.7．已知抛物线2:3C x y =的焦点为F ，斜率为1的直线l 与C 的交点为A B 、，与y 轴的交点为P . （1）若5AF BF +=，求直线l 的方程；（2）若2AP PB =，求线段AB 的长度.【答案】（1）1:4l y x =+（2）【分析】（1）设直线l 方程为()()1122,,,y x b A x y B x y =+,，1232AF BF y y +=++，直线方程与抛物线方程联立，由根与系数关系求出12x x +，进而得出12y y +建立b 的方程，求解即可； （2）由2AP PB =，得122x x -=，结合（1）中的12,x x 关系，即可求出结论. 【详解】()1 设直线l 方程为()()1122,,,y x b A x y B x y =+,，联立223330x yx x b y x b⎧=⇒--=⎨=+⎩ 由0∆>得34b >-，1212123, 223x x y y x x b b +=+=++=+. 由抛物线的定义知123323522AF BF y y b +=++=++=所以14b =，满足0∆>，符合题意，所以直线l 方程为14y x =+.()2由（1）得12123,3x xx x b +==-.由2AP PB =得122x x -=，解得126,3,6x x b ==-=，满足0∆>，符合题意，所以12|AB x x =-= 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系在解题的中应用，不要遗漏两交点存在满足的条件，考查计算求解能力，属于基础题.8．在平面直角坐标系中，A （﹣1.0），B （1，0），设△ABC 的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知|CP |＝1，记动点C 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过G （2，0）的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA ⊥x 轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若S △SMG ＝6S △SHN ，求直线MN 的方程.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠；（2）12y x =+或12y x =-+.【分析】（1）由椭圆定义可知，曲线E 为除去与x 轴的交点的椭圆，由定义即可求出方程； （2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），依题意可得||3||SM SN =即有x 1＝﹣3x 2，分直线MN 斜率存在及不存在两种情况讨论，当斜率不存在时易知不符合条件，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由此建立等式，解出即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，|CA |+|CB |＝|CP |+|CQ |+|AP |+|BQ |＝2|CP |+|AB |＝4＞|AB |， ∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x 轴的交点），设曲线E ：22221(0,0)x y a b y a b +=>>≠，则c ＝1，2a ＝4，即a ＝2，b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠；（2）因为HA ⊥x 轴，所以3(1,)2H -，设S （0，y 0），∴03223y --=-，解得y 0＝1，则S （0，1），因为a ＝2c ，所以|SG |＝2|SH |，∴1||||sin 2||261||||||sin 2SMG SHN SM SG MSG S SM S SN SN SH NSH ∆∆∠===∠， ∴||3||SM SN =，则3SM SN =-， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则1122(,1),(,1)SM x y SN x y =-=-，则x 1＝﹣3x 2， ①当直线MN 斜率不存在时，MN 的方程为x ＝0，此时||2||SM SN ==+ ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx +1，联立221143y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8＝0，∴122122834834k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 将x 1＝﹣3x 2代入得，2222282348334k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴222483()3434k k k =++， ∴232k =，解得k = ∴直线MN的方程为12y x =+或12y x =-+. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查定义法求轨迹，以及直线与椭圆的位置关系的应用，解题关键是由S △SMG ＝6S △SHN 通过合适的面积公式转化为3SM SN =-，进而找到,M N 的横坐标关系，再通过直线与椭圆联立，由韦达定理建立等式解出．9．已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （2，0），且过点（．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l ：y=kx （k ＞0）与椭圆在第一象限的交点为M ，过点F 且斜率为-1的直线与l 交于点N，若FN MN=sin ∠FON （O 为坐标原点），求k 的值． 【答案】（1）2211612x y +=；（2）32k 或926 【分析】（1）根据题意列出有关a 2、b 2的方程组，求出这两个数的值，即可求出椭圆的标准方程；（2）设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标（x 2，y 2），利用已知条件3FN MN=sin ∠FON ，得出1252y y =，然后将直线l 的方程分别与椭圆方程和直线NF 的方程联立，求出点M 、N 的坐标，结合条件1252y y =可求出k 的值．【详解】（1）由题意可知222241231a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得a 2＝16，b 2＝12（负值舍去），所以椭圆方程为2211612x y +=；（2）设点M 的坐标为11x y （，），点N 的坐标22x y （，），由题可知120y y ＞＞，故12MN sin FON y y ∠＝﹣， 因为2y FN sin OFN =∠，而4OFN π∠=，所以2FN =，由FN FON MN=∠)2123y y =-， 所以1252y y =， 由2211612y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，可得1y =，易知直线NF 的方程为20x y+﹣＝， 由20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，消去x ，可得221ky k =+，5221kk =⋅+，整理得52k 2﹣96k +27＝0， 解得32k =或926k =． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆综合问题的求解，解决本题的关键在于求出一些关键的点和直线方程，考查计算能力，属于中等题．10．如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ,且过点12⎫⎪⎭,原点O 到经过两点(c ,0),(0,b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的方程;(2)A 为椭圆E 上异于顶点的一点,点P 满足OP AO λ=,过点P 的直线交椭圆E 于B,C 两点,且BP BC μ=,若直线OA,OB 的斜率之积为14-,求证:221λμ=-. 【答案】（1）2214x y +=.（2）见解析【详解】试题分析：（1）利用点到直线距离公式得等量关系：12bc c a =,即a =2b .再利用点在椭圆上的条件得223114a b+=,解得a=2,b=1,（2）设()()()112333,,,,,,A x y B x y C x y 化简BP BC μ=,得3123121{1x x x y y y λμμμλμμμ-=-+-=-+,代入椭圆方程得()221212221114x x y y λμλμμμμ-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再根据直线OA,OB 的斜率之积为14-,得121240x x y y +=，即得221λμ=-. 试题解析：(1)过点(c ,0),(0,b )的直线方程为bx +cy -bc =0,则原点O到直线的距离为12bc d c a ===, 得a =2b .又椭圆过点12⎫⎪⎭,则223114a b +=,联立得a=2,b=1, 所以椭圆方程为2214x y +=.(2)证明:设()()()112333,,,,,,A x y B x y C x y 因为()11,OP AO x y λλλ==--, 又BP BC μ=,得()()12123232,,x x y y x x y y λλμ----=--,故3123121{1x x x y y y λμμμλμμμ-=-+-=-+,代入椭圆方程得:2212121114x x y y λμμμλμμμ⎛⎫--+ ⎪⎛⎫-⎝⎭+-+= ⎪⎝⎭, 整理得()2222221212121222111444x x x x y y y y λμλμμμμ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.① 因为A,B 在椭圆E 上,所以222212121,144x x y y +=+=,②又直线OA,OB 的斜率之积为14-即121212121404y y x x y y x x =-⇒+=.③ 将②③两式代入(1)得2221121λμλμμμ⎛⎫⎛⎫-+=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.11．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上的点到右焦点F1．()1求椭圆C 的方程；()2如图，过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线l 的斜率为1k ，A 为椭圆上的一点，直线OA 的斜率为2k ，且121k k =，B 是线段OA 延长线上一点，且4.5ABMN =过原点O 作以B 为圆心，以AB为半径的圆B 的切线，切点为.P 令OP MNλ=，求2λ取值范围．【答案】(1)22 12x y +=；(2)211 62λ<< 【分析】()1依题1a c +=，结合离心率求得a 与c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；()2由已知可得直线l 的方程，与椭圆C ：2212x y +=联立，化为关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求得弦MN ，写出OA 所在直线方程，与椭C ：2212x y +=联立求得OA ，得到OA MN ，利用换元法求得OA MN 的范围，把222||||OP MN λ=转化为含OA MN 的代数式求解．【详解】() 1依题1a c +=，2c a=，解得a =1c =，222211b a c ∴=-=-=．∴椭圆C 的方程为2212x y +=；()2由已知可得直线l 的方程为：112y kx =+，与椭圆C ：2212x y +=联立，得()221124430k x k x ++-=，由题意0>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则11221212k x x k +=-+，()12213212x x k -=+．∴弦1MN ==OA 所在直线方程为2y k x =，与椭C ：2212x y +=联立，解得222212x k =+，OA∴=2OAMN==．令2121(1)t k t=+>，则2112tk-=，则OAMN==，2OAMN<<，222222222||()||||||||||OB AB OA AB ABOPMN MN MNλ-+-∴===①224()2()25OA AB OA OA OAMN MN MN MN MN=+⋅=+⋅⋅．令OAMNω=，由①知，62ω<<，换元得：2285λωω=+ω<<．21162λ∴+<+【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．12．已知抛物线21:2(0)C y px x=>与椭圆2222:2(0)C x y m m+=>的一个交点为(1,)P t，点F是1C的焦点，且32PF=.(1)求1C与2C的方程；(2)设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆2C上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线1C于B，直线AB交y轴于E，且OAE EOB∠=∠?若存在，求出点A的坐标和AOB∆的面积；若不存在，说明理由.【答案】(1) 22212:2,:2 5.C y x C x y =+= (2) 见解析 【分析】（1）利用抛物线的定义求p ，点的坐标代入求出t ，m 的值；（2）设出OA ，OB 的方程与椭圆、抛物线分别联立，求出A 的横坐标，利用OAE EOB ∠=∠，即可得出结论． 【详解】（1）由抛物线定义：3122p PF =+=，所以11,p C =的方程为22y x =，将()1,P t 代入21:2c y x =得22t =，即t =(1,p 代入2222:2c x y m +=，得25m =，故2C 方程为2225x y +=.即22212:2,:2 5.C y x C x y =+=（2）由题意：直线OA 的斜率存在且不为0，设OA 的方程为()0y kx k =≠，由于OA OB ⊥，则OB 的方程为1y x k =-，由2225x y y kx⎧+=⎨=⎩得22225,x k x x +=∴= 由221y xy xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得222x x k =，得0x =（舍）或22.x k =在第一象限内，若满足OAE EOB ∠=∠的点A 存在，则0k >，此时()2,2,2A B k k -， 设直线AB 与x 轴交于点D ，由于0,90OAE EOB AOB DOE ∠=∠∠=∠=，所以,OAD AOD DOB OBD ∠=∠∠=∠，故AD OD BD ==，即D 为线段AB 中点，因此A B y y =-，即2k，解得21,8k A ⎛= ⎝⎭，故存在适合题意的2,2A ⎛ ⎝⎭，此时1,42B ⎛- ⎝⎭，此时4AB k == AB方程为)227y x -=-，即714y x =-， 点O 到AB的距离2h =，94AB ==，所以1922416AOB S ∆== 【点睛】本题考查抛物线、椭圆的方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为()1,0F ，且点 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．()1求椭圆C 的方程；()2设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．【答案】（1）22143x y += （2）见解析【分析】（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690my my ++-=，根据韦达定理求出点Q 的坐标，根据向量即可求出//AN AQ ，且向量AN 和AQ 有公共点A ，即可证明．【详解】（1）不妨设椭圆的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>.由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，故椭圆的方程22143x y +=.（1）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得22(34)690m y my ++-=223636(34)0m m ∆=++>122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， 直线BM 的方程可表示为11(2)2y y x x =--， 将此方程与直线4x =成立，可求得点Q 的坐标为112(4,)2y x -， 22(2,)AN x y ∴=+，112(6,)2y AQ x =-， ()()()211212211622226222y x y x y y x x x --+-+=--()()()2112161221212y my y my my ⎡⎤⎡⎤+--++⎣⎦⎣⎦=+-()22121211964()6()463434011mm my y y y m m my my ----+++===--，//AN AQ ∴，向量AN 和AQ 有公共点A ，A ∴，N ，Q 三点在同一条直线上．【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．14．已知点F 是抛物线2C:2(0)y px p =>的焦点，若点()0,4P x 在抛物线C 上，且5.2PF p =()1求抛物线C 的方程；()2动直线()l:1x my m R =+∈与抛物线C 相交于,A B 两点，问：在x 轴上是否存在定点(),0(D t 其中0)t ≠，使得向量DA DB DADB+与向量OD 共线(其中O 为坐标原点)？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）存在，()1,0D -. 【分析】()1求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得P 的坐标，代入抛物线方程，解得2p =，进而得到抛物线的方程；()2在x 轴上假设存在定点(),0(D t 其中0)t ≠，使得DA DB DADB+与向量OD 共线，可得x 轴平分ADB ∠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立1x my =+和24y x =，根据120k k +=恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得,m t 的方程，求得1t =-，可得结论． 【详解】()1抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为,02p⎛⎫⎪⎝⎭， 准线方程为2p x =-，即有0522p p PF x =+=，即02x p =， 则2164p =，解得2p =， 则抛物线的方程为24y x =；()2在x 轴上假设存在定点(),0(D t 其中0)t ≠，使得DA DB DADB+与向量OD 共线，由DA DA，DB DB均为单位向量，且它们的和向量与OD 共线，可得x 轴平分ADB ∠， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立1x my =+和24y x =， 得2440y my --=，()21610m =+>恒成立．124y y m +=，12 4.y y =-①设直线DA 、DB 的斜率分别为1k ，2k ， 则由ODA ODB ∠=∠得，()()()()122112121212y x t y x t y yk k x t x t x t x t -+-+=+=---- ()()()()()()()()1221121212121121y my t y my t my y t y y x t x t x t x t +-++-+-+==----，()()1212210my y t y y ∴+-+=，②联立①②，得()410m t -+=， 故存在1t =-满足题意，综上，在x 轴上存在一点()1,0D -，使得x 轴平分ADB ∠，即DA DB DADB+与向量OD 共线．【点睛】本题考查抛物线的方程、定义和性质，以及直线和抛物线的位置关系、转化与划归思想的应用，属于综合题．存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.15．已知圆()2221:1F x y t ++=，圆()()2222:1F x y t-+=， 0t <<点时，所有可能的公共点组成的曲线记为C . （1）求出曲线C 的方程；（2）已知向量()1,3a =， M ， N ， P 为曲线C 上不同三点， 22F M F N a λμ==，求PMN 面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】试题分析：（1）看到12,F F 具有对称性所以要联想到椭圆或双曲线的定义，曲线C 上的点满足1212|2PF PF F F +==,∴曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆（2）∵22F M F N a λμ==，∴2,,M N F 三点共线，且直线MN l∴直线MN l 的方程为)1y x =-，与椭圆方程联立得271240x x -+=，借助弦长公式求得三角形的底边长，利用椭圆得参数方程设出动点设),sin Pθθ，利用点到直线距离公式求得高的最大值，从而得三角形面积最大值 试题解析：（1）曲线C 上的点满足1212|2PF PF F F +==, ∴曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆∴1,1a c b ===∴曲线C 的方程是2212x y +=（2）∵22F M F N a λμ==，∴2,,M N F 三点共线，且直线MN l∴直线MN l 的方程为)1y x =-， 与椭圆方程联立得271240x x -+=，∴MN =7=.设),sin Pθθ，∴P 到直线MN l 的距离d ==∴max 2d =，∴MNP S点睛：看到此类题首先联想到圆锥曲线的三个方程定义，根据定义得几何关系从而确定方程求解，在求三角形面积最值问题时首先明确其表达式一般是算弦长，算高，对于本题而言，要特别注重参数方程在此题得应用，这样求解高显得很简单16．已知方向向量为(1,3)v =的直线l 过点(0,-和椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的右焦点，且椭圆的离心率为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）若已知点()3,0D ，点M,N 是椭圆C 上不重合的两点，且DM DN λ=， 求实数λ的取值范围.【答案】（1）22162x y +=；（2）(5)(1,5-⋃+. 【分析】（1）求出直线方程可得椭圆的焦点坐标，结合离心率3c e a ==，以及222b a c =-列方程求得,a b 的值，从而可得结果；（2）设出直线MN 的方程，直线方程与椭圆方程联立，利用DM DN λ=，结合韦达定理得2221123621033m m m λλ+=-=-++，结合m 的范围，得到关于λ的不等式，进而可得结果. 【详解】（1）∵直线 的方向向量为∴直线 的斜率为 ，又∵直线 过点∴直线 的方程为∵，∴椭圆的焦点为直线 与 轴的交点∴椭圆的焦点为∴，又∵∴ ，∴∴椭圆方程为（2）设直线MN 的方程为由 ， 得设 坐标分别为则(1)(2)＞0∴, ∵ ，显然，且∴∴代入(1) (2)，得∵ ,得 ，即解得 且【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是椭圆C 上一点.若椭圆C 的离112PF F F ⊥，12PF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 是坐标原点，向量()1,1m =，过点（2，0）的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.若点(),Q x y 满足1OQ m ⋅=，OM ON OQ λ+=，求λ的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）min 2λ=【分析】（1）根据题意可得方程组联立2222222a b b c a c a b ⎧=⎪⎪⋅=⎨⎪=-⎪⎩，解得b ，a ，进而得出椭圆C 的方程.（2）设直线l 的方程为：()2y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线l 与椭圆的方程消元，然后韦达定理得2122812k x x k +=+，21228212k x x k-⋅=+，因为OM ON OQ λ+=，得()()1212,,x x y y x y λ++=，当0k =时，0λ=，当0λ≠时，()2122812x x k x k λλ+==+，()()1212214412y y ky k x x k k λλλ+-==+-=⎡⎤⎣⎦+，因为1OQ m ⋅=，所以1x y +=，代入化简得()228412k k k λ-=+，然后变形利用基本不等式可得出答案.【详解】 （1）依据题意得2c a =， 所以2222222112c a b b a a a -==-=，所以222a b =， 因为112PF F F ⊥，故设()0,P c y -，代入椭圆方程得20b y a=±， 所以12PF F △的面积为：2120122b F F yc a ⋅⋅=⋅=.联立2222222a b b c a c a b ⎧=⎪⎪⋅=⎨⎪=-⎪⎩，解得1b =，a == 所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）由题意可知直线l 的斜率显然存在，故设直线l 的方程为：()2y k x =-，联立()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2222128820k x k x k +-+-=， 所以()()()22228412820kk k ∆=--+->，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122812k x x k +=+，21228212k x x k-⋅=+， 因为OM ON OQ λ+=， 所以()()1212,,x x y y x y λ++=， 当0k =时，0λ=，当0λ≠时，()2122812x x k x k λλ+==+，()()1212214412y y k y k x x k k λλλ+-==+-=⎡⎤⎣⎦+，因为1OQ m ⋅=，所以1x y +=，所以()()2228411212k k k k λλ-+=++， 所以()()()222284114141121221413k k k k k k k k λ⎛⎫-++⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭+-++⎝⎭()1414232141k k ⎛⎫⎪=-≥= ⎪ ⎪++-+⎝⎭当且仅当12k =-时取等号，且12k =-满足>0∆，所以2λ≥综上min 2λ=. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，考查了学生的转化能力和计算能力，属于中档题. 18．已知椭圆经过点，其离心率为，经过点，斜率为的直线与椭圆C 相交于两点．（ⅰ）求椭圆C 的方程； （ⅰ）求的取值范围；（ⅰ）设椭圆C 与轴正半轴、轴正半轴分别相交于两点，则是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．【答案】（ⅰ）2212x y +=；（ⅰ）⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，；（ⅰ）没有符合题意的常数k ． 【解析】试题分析：（ⅰ）由已知椭圆C 的离心率为可得，，即椭圆的方程为；又因为其图像过点2(1)2M ，，将其坐标直接代入即可计算出参数，即可写出椭圆的方程；（ⅰ）首先写出直线l 的方程y kx =l 和椭圆方程并将直线l 的方程代入椭圆方程整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由题意知，2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，即可解出k 的取值范围；（ⅰ）假设存在常数k ，使得向量与共线，则设1122()()P x y Q x y ，，，，则，由（ⅰ）知，可用含k 的式子表示出来，然后根据假设可得等式关系12122()x x y y +=-+，即可解出k 的值，最后验证k 的值是否满足（ⅰ）中解出的k 的取值范围. 试题解析：（ⅰ）因为椭圆C 的离心率，222212x y b b ∴+=椭圆方程为，将点2(1)2M ，代入，得，∴所求椭圆方程为2212x y +=．（ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. （ⅰ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则，由方程①，12x x +=②又1212()y y k x x +=++ 而，．所以与共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得k = 由（1）知2k <-或k >k ． 考点：椭圆的综合应用；向量的共线.。