实数_知识点+题型归纳

第六章实数

知识讲解+题型归纳

知识讲解

一、实数的组成

1、实数又可分为正实数，零，负实数

2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应

二、相反数、绝对值、倒数

1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。

2.绝对值：表示点到原点的距离，数a 的绝对值为

3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

非0实数a的倒数为1

a

. 0没有倒数。

4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.

三、平方根与立方根

1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。

开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。数a的立方根用3a表示。

任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。

开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。

四、实数的运算

有理数的加法法则：

a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法则：

a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．

a

| |a

b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0

4.有理数除法法则：

a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。

b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

5.有理数的乘方:

在a n中，a叫底数，n叫指数

a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0

b）a0=1（a不等于0）

6.有理数的运算顺序：

a）同级运算，先左后右

b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。五·实数大小比较的方法

1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数

2）比差法：若a-b>0则a>b；若a-b<0则a

3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b；a/b<1则a

B.两个数均为负数时，

a/b>1则ab

C.一正一负时，正数>负数4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b；均为负数时相反

5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）

●题型归纳

●经典例题

●类型一．有关概念的识别

●

1．下面几个数：0.

23…，，3π，

，，其中，无理数的个数有（）

●A、1 B、2

C、3

D、4

●…，3π，是无理数

●故选C

●举一反三：

●【变式1】下列说法中正

确的是（）

●A 、的平方根是±3

B、1的立方根是±1 C 、

=±1 D 、是5的平方根

的相反数

●【答案】本题主要考察平

方根、算术平方根、立方根的

概念，

●∵=9，9的

平方根是±3，∴A正确．

●∵1的立方根是

1，=1，是5的平方

根，∴B、C、D都不正确．●

●【变式2】如图，以数轴

的单位长线段为边做一个正方

形，以数轴的原点为圆心，正

方形对角线长为半径画弧，交

数轴正半轴于点A，则点A表

示的数是（）●

●A、1 B、1.4

C 、

D 、

●【答案】本题考察了数轴

上的点与全体实数的一一对应

的关系．∵正方形的边长为

1，对角线为，由圆的定义

知|AO|=，∴A

表示数为

，故选C．

●

●【变式3】

●【答案】∵π= 3.1415…，

∴9＜3π＜10

●因此3π-9＞0，

3π-10＜0

● ∴

●

● 类型二．计算类型题 ●

2．设

，则下

列结论正确的是（ ） ● A.

B.

● C. D.

●

解析：（估算）因为

，所以选B

● 举一反三：

● 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根

是__________. 3）___________，

___________，___________.

● 【答案】1）；.2）

-3. 3），

，

●

● 【变式2】求下列各式中的

● （1）

（2

）

（3）

● 【答案】（1）（2）

x=4或x=-2（3）x=-4 ●

● 类型三．数形结合 ●

3. 点A 在数轴上表示的数为

，点B 在数轴上表示的数为

，则A ，B 两点的

距离为______