变式训练
变式训练
变式训练一、变式训练的含义变式教学在中国由来已久，被广大教师自觉或不自觉地运用. 心理学研究表明：“概念的本质特征越明显，学习越容易，非本质特征越多，学习越困难”. 所谓变式就是变更概念或问题的认识角度，以突出概念或问题中那些隐蔽的本质特征，以便学生在变式中思维，从而使学生更好地掌握概念或问题的本质规律. 具体来说，变式训练注重问题的情境变化，把一些解决问题的思想和思路相同或相关的题目用变式的形式串联起来，在变式中（条件变化、形式变化、结论发散、适时引深、过程变化、背景复杂化等等）求不变，从而使学生在解决变式的问题中，感受知识的形成过程，并获得对知识的概括性的认识，提高学生识别、应变、概括的能力，促进学生思维的发展.变式训练其主导思想是：面向全体学生，抓基本，重宗旨，促进全面发展，提高学生综合素质. 其教学思想采用从特殊到一般的归纳法，这有益于学生创新思维的发展. 其教学方法不同于传统的“灌输”法，也不同于“题海战术”，它是在教师的指导下，放手让学生自己去探究、尝试、归纳、总结，从而使学生解决问题的思路由窄变宽，由低到高，分析问题、解决问题的能力逐渐提高，主动钻研的精神和创新思维得到培养，创新能力得到增强.二、变式训练在数学解题教学中的实施数学教学离不开解题训练，变式训练作为在数学解题教学中实施的一种手段，要求教师要有组织地对学生进行变式训练，训练的思维性要有一定的梯度，逐渐增加创造性的层次. 变式训练可以实施在数学解题教学的不同阶段，如用于对概念的理解、掌握和形成的过程中；用于巩固知识、形成技能的过程中；用于对问题引申的过程中；用于解决问题的过程中；用于阶段性综合复习的过程中，等等. 学生通过变式训练，解决这些变化性的问题，便能更清楚地理解概念的本质，更快地探求解题规律并形成技能.1. 用于对概念的理解、掌握和形成的过程每一个数学概念都有一个形成的过程，在进行对数学概念的教学过程中，教师向学生提供变式，让学生体验这个概念的形成过程，促使学生对相关知识进行比较，分析出其中最本质的成份，并对它们进行概括. 如在学习三角形的高这一概念时，教师为学生提供一些在形状（锐角、直角、钝角三角形）位置等方面变化的不同三角形的高的典型题目，让学生从多角度理解并对几种典型高的变式进行思维加工，从中抽象、概括出三角形高的概念. 同时，通过变式训练，使学生懂得怎样从事物千变万化的复杂现象中抓住本质，举一反三，从而培养学生的概括能力以及思维的深刻性和灵活性.2. 用于巩固知识、形成技能的过程变式训练不仅在形成概念的教学中具有重要作用，而且在掌握知识，启发思维，形成技能中也具有着重要作用. 在学习了概念后，教师或学生若能把课后练习或习题进行选择分类，排列层次，适当变式，然后进行训练，会收到事半功倍的效果. 如学习了平方差公式后，教师对书后习题适当调整或进行变式，并做有序练习：①（3x + 2y）（3x - 2y）；②（m + 2n）（2n - m）；③（-2a + b）（-2a - b）；④（-5a - 3）（5a - 3）；⑤（-m + 1）（-m - 1）（m2 + 1），效果定会良好.3. 用于数学问题引申的教学过程适时地对数学教学中的问题进行引申变式，可以培养学生的应用能力和创新能力. 如对高中解析几何题：△abc的两个顶点a，b 的坐标分别是（-6，0），（6，0），边ac，bc所在直线的斜率乘积等于- 求顶点c的轨迹方程. 进行引申变式练习，变式1：若边ac，bc所在直线的斜率乘积为求顶点c的轨迹方程. 变式2：若两个顶点a，b的坐标分别是（a，0），（-a，0），边ac，bc所在直线的斜率乘积为- a > b），求点c的轨迹方程. 变式3：若ac，bc所在的直线的斜率乘积等于 a > b），求点c的轨迹方程. 变式4：若ac，bc所在直线的斜率乘积等于常数k（k ≠ 0），求点c的轨迹方程. 学生通过解决这些变式性的题目，可以创造性地发现椭圆和双曲线还可以有新定义.4. 用于解决问题的过程在解决数学问题时，一条基本思路就是“将未知的问题化归为已知的问题，将复杂的问题化归为简单的问题”. 但由于未知（复杂）问题与已知（简单）问题之间往往没有明显联系，因此需要设置一些过程性的多层次的变式，在两者之间进行适当铺垫，作为化归的台阶，从而使学生对问题解决过程本身的结构有一个清晰认识，这有益于提高学生解决问题的能力，同时也培养了学生的创新思维.当然，变式训练还可以实施在数学解题教学的其他过程中. 同时变式训练的方法可以灵活多样，可以是教师有组织的变式训练，也可以是学生自编题目进行的变式训练. 变式训练可以灵活多样，可以是一些相关题目组合，也可以是一个题目分层次的变化，等等.三、结论《数学课程标准》指出：“既要关注学生学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展，既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中表现出来的情感与态度……”教学应是教与学相互统一的过程，学生积极性、主动性的调动，全在于老师创造性地发挥与教学技巧的恰当运用. 总之，变式训练在中学数学解题教学中是富有成效的训练途径. 它符合基础教育课程改革的新形势，有利于克服教学只重结果，而轻过程的现象，也有利于避免学生死记硬背，单纯接受知识的学习方式. 对学生实施变式训练，不仅使中学数学的“双基”教学得到了进一步的加强，而且可使学生亲身体验到了数学知识的形成过程，提高了学生理解、探究、掌握和运用数学知识的能力. 更重要的是培养了学生创新思维的综合品质，促进了学生创新能力的发展.。
变式训练——思维的训练
变式训练———思维的训练黑龙江农业经济职业学院附中周为变式训练——思维的训练变式训练是中学数学教学中的一种重要教学策略,在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用。
通过变式训练可以使教学内容变得更加丰富多彩, 使学生的思路更加宽广。
这种方法在我国数学教学中的应用由来已久, 在教学中往往被广大教师自觉或不自觉地运用。
所谓变式训练就是通过将原命题中的条件、结论、形式、内容、图形等作适当变换, 也就是通过一个问题的变式, 解决一类问题的变化, 逐步养成学生深入反思数学问题的习惯, 善于抓住数学问题的本质和规律, 探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系, 进而培养学生创新思维能力。
笔者在日常教学中对部分习题通过图形变式、等价变式、思想变式、条件、结论互变等途径，不仅对一些综合题铺设了适当的台阶, 降低了它们的难度, 也使学生掌握了学习知识的方法, 而且训练了学生的思维能力, 培养了创新精神。
下面是笔者在初中数学教学中运用变式训练的一点尝试: 一、图形变式初中低年级数学中的几何知识的学习是培养学生观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力的重要载体, 学生对图形的认识能力也是由具体到抽象、由简单到复杂过渡的, 教师如果能在教学中把有些习题的图形加以变化, 借助变化来反映图形的空间形状及位置关系, 让图形动起来, 引导学生去思考探讨, 那么可以使学生真正掌握知识之间的内在联系。
例：求下图∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数。
学生在教师的指导启发下, 通过讨论,定理达到题目考察的目的,为了使学生能更进一步对图形及相关知识做到灵活使用、触类旁通变式训练(“图形变换”) 将大显身手。
在学生切实掌握了上述图形问题的讨论后, 再作如下变式:求如下两图∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数。
以上两题仍然是利用外角和内角和的定理解决。
由此可见，在这一系列的图形变化过程中， 本质的东西并没有发生变化， 掌握了这些不变性，也就把握住了事物的本质特征，这必将有助于我们从纷繁复杂的众多事物中寻找共性，从千姿百态的现象中总结出反映本质的基本规律。
初中数学“变式训练”的方法与思维
初中数学“变式训练”的方法与思维培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。
如何培养学生良好的数学思维呢？经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。
那么，什么是变式训练呢？所谓变式训练，就是保持原命题的本质不变，不断变换原命题的条件，或结论，或形式，或空间，或内容，或图形等，产生新的情境，引导学生从不同的角度，用不同的思维去探究问题，从而提高对事物认知能力。
也就是通过一个问题的变式，解决一类问题的变化，逐步养成深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系，进而培养数学创新思维的能力。
当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。
1 多题一解，求同存异，通过变式让学生理解数学练习的内在联系许多数学练习看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路，方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集，比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。
例1：已知二次函数的图像经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式。
变式1：已知二次函数的图像经过一次函数y=-x-3的图像与x轴、y轴的交点A、C，并且经过点B（1，0），求这个二次函数的解析式。
变式2：已知抛物线经过两点B（1，0）、C（0，-3）。
且对称轴是直线x=-1，求这条抛物线的解析式。
变式3：已知一次函数的图像经过点（1，0），且在y轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于A（1，m）、B（n，4）两点，又知二次函数的对称轴是直线x=2，求这两个函数的解析式。
变式题的教学，先让学生议练，教师在知识的转折点上提出一些关键性的问题进行点拨，在思路上为学生扫除障碍。
对变式1，先让学生比较它与例题的已知条件有什么不同？再思考怎样转化为例题求解，然后讨论怎样求A、C两点的坐标。
数学教学的“变式训练”
数学教学的“变式训练”高考题虽然一般不直接取材于课本，但所考查的知识大多来源于课本或间接地涉及课本例习题，或改变于历年高考题、模拟试题。
这就要求我们在平时的教学中要加强变式训练，变式训练是指变换问题的条件或外部特征，而不改变问题的本质，变式训练必须要呈现概念的本质和外延，突出问题的结构特征，揭示知识的内在联系，保持其本质特征.学生对知识点的掌握往往需要通过数量和强度这两个指标，而变式训练时是强化联络强度的有效手段。
在经历了尝试探究过程之后所获得的知识必须加以巩固，拓展应用，但并非简单重复练习，要依赖变式处理，获得新知。
著名的数学家波利亚形象地指出“问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆生长，找到一个后，你应当在周围再找找，很有可能附近有好几个”。
有效的变式练习能达到举一反三的效果，化解重复操作的弊端。
作为教师，应该潜心钻研教材，整体把握教学方向，明确教学目标，不能单纯为解题而引申研究，加强内容本质，分析特点。
训练的习题必须是精心设计的，揭示数学的本质。
使变式训练要达到想学生所“难”、研学生所“疑”，解学生所“困”的效果，必须先要加强对试题所包含的基本知识的理解，熟练把握知识点在形式上满足的外在条件，挖掘知识点的本质原理。
充分利用课本上的例题、习题，通过一题多变挖掘教材潜力，抓住题目的“蛛丝马迹”进行变式训练.例1，（苏教版必修2第95页探究.拓展21题）已知M（-1，3），N（6，2），点P在x轴，且使PM+PN取最小值，求点P的坐标。
变式训练：①点M（-1，-3），N（6，2），点P在x轴，求使PM+PN取最小值时点P 的坐标。
②M（-1，-3），N（6，2），P在x轴，求使|PM-PN|取最大值时P的坐标。
③M（-1，3），N（6，2），P在x轴，求使|PM-PN|取最大值时P的坐标。
通过变换点的位置及式子的最值让学生掌握三点共线原理：动点P在直线l 上，若M、N在直线l的同侧，则|PM-PN|≤MN，当且仅当M、N、P三点共线时，|PM-PN|取最大值，P即为l与MN的交点；若M与M′关于x轴对称，则PM+PN=PM′+PN≥M′N，当且仅当M′、N、P三点共线时PM+PN取最小值，所求P即为直线l与M′N的交点；若M、N在直线l的异侧，因PM+PN≥MN，则当且仅当M、N、P三点共线时，PM+PN取最小值，当M与M′关于x轴对称，|PM-PN|=|PM′-PN|≤MN，当且仅当M′、N、P三点共线时，|PM-PN|取最大值。
谈谈变式训练的设题方法
方式．为 了更好地进行 变式训练 ，现介绍 几种有效 方法 ：（ ） １ 恰 多项式 ，这既是公式应用 的重点 ，又是难点 ；（ ） ３ 应训练学生牢
当地 变 换 题 目的条 件 或 变换 题 目的 结 论 ；（ ） 行 数 形 变换 或 图 ２进
记两数 和与两数差 的平 方 ，展 开的 中间项应 是 “ 前后 两项 乘积
例 １ （ 对北师大版课标教材 七年级下册 第一章 第 ８节 “ 完
全 平 方公 式 ”教 学 时的 变式 处 理 ）
数 ” 教 学 时 的 变 式 处理 ） 原 题 ：如 图 １ ，有 一 座 抛 物 线 形 拱 桥 ，在 正 常 水 位 时 水 面
师 生 共 同 总 结 ：（ ）（ ｔ ）＝ａ ＋２ｂ＋ｂ；（ ） Ⅱ一ｂ １ 口－ｂ ２ ａ － ２ ２ （ ）＝
生 的问 题 意 识 和 创 新 意 识 ，又 可 以 提 高 学 生 的 学 习 能 力 和 综 合 以促使学生巩 固刚学到 的知识 ，既有利于培养学生 的创新意识 ，
素质．
又可 以提高学生在解决 问题后的反思能力．
例 ２ （ 人 教 版 课 标 教 材 九 年 级 下 册 “ 际 问题 与 二 次 函 对 实
二 、变 换题 目的 结 论 从 一 道 例 （ ） 题 出 发 ，运 用 逆 向思 维 ，通 过 改 变 题 目的 习
、
变换 题 目 的条 件
从 一 道 例 （ ） 题 出发 ，运 用 逆 向 或 横 向思 维 ，通 过 改 变 习 题 目的 条 件 、变 换 题 型 、变 数 字 、变 字 母 、 变 符 号 、一 般 化 、
答 下 面 的 问题 ． 练 习 ： （ ） ｎ ＇ 哪 ２ 数 的 和 的平 方 ？ １ （ ＋２ ）是 ， 个 （ ＋２ ）＝（ ０ ｙ ）＋２ （ ） （ ） ＋（ ） ．
小学生乘法题的变式与拓展训练
小学生乘法题的变式与拓展训练近年来，小学生数学水平的提高已成为教育界关注的焦点之一。
而乘法作为数学的基础运算之一，在小学阶段的学习中具有重要的地位。
为了更好地培养小学生的乘法思维能力和解决问题的能力，引入乘法题的变式与拓展训练是非常必要的。
一、乘法题的变式1. 乘法交换律的变式在学习乘法的早期，小学生通常会接触到乘法交换律的概念。
通过交换乘法中的因数，乘法的结果不变。
在此基础上，可以设计以下变式乘法题进行训练：例子1：将乘法算式中的因数位置交换，让学生计算交换后的算式结果。
4 ×5 = ? 变为 5 × 4 = ?例子2：给出乘法的结果，让学生自行确定因数，并列出所有可能的算式。
结果：12，因数可能为 2, 3, 4 或 6；所有可能算式为 2 × 6, 3 × 4, 4× 3, 6 × 2。
2. 乘法分配律的变式乘法分配律是指对于三个数 a、b 和 c，有 a × (b + c) = (a × b) + (a ×c)。
通过引入乘法分配律的变式题，可以让学生更好地理解数学概念，并提高解决实际问题的能力。
例子1：给出两个算式，让学生判断它们的结果是否相等。
3 × (4 + 2) = ? 和 (3 × 4) + (3 × 2) = ? 结果是否相等？例子2：给出一个算式，让学生找出可以使用乘法分配律进行简化的等价算式。
7 × (6 + 2) = ? 可以简化为 7 × 6 + 7 × 2 = ?二、乘法题的拓展训练1. 多位数乘法问题在小学生掌握了基本的乘法概念和计算能力后，可以引入多位数乘法问题进行拓展训练。
通过多位数的乘法运算，培养学生的数字意识和计算能力。
例子：123 × 45 = ?2. 乘法与其他运算的结合将乘法与其他运算结合，可以培养学生的综合运算能力，提高解决实际问题的能力。
变式训练的设计理念
变式训练的设计理念作者：刘瑞来源：《中学生数理化·教研版》2010年第05期变式训练”主要是指对例题或习题进行变通推广,在重新认识的基础上进行改编题目的训练.恰当合理的变式训练能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围,开阔学生的视野,激发学生的情趣,有助于培养学生的探索精神和创新意识,并能使学生举一反三.然而,在教学过程中,有些教师对变式训练的“度”把握不准确,不能因材施教,单纯地为了变式而变式,给学生造成了过重的学习和心理负担,使学生产生了逆反心理,导致“高投入、低产出”.下面就变式训练的设计理念谈几点个人的看法.1.变式要在原例习题的基础上进行,要自然流畅,不能“拉郎配”,要有利于学生通过变式题目的解答,加深对所学知识的理解和掌握.2.变式要限制在学生思维水平的“最近发展区”上,变式题目的解决要在学生已有的认知基础之上,并且要结合教学的内容、目的和要求,要有助于学生对本节课内容的掌握.例如,在复习定理当且仅当时,取‘=’号)”的应用时,如果把引申3改为“已知求y=4x-5+14x-5的最小值”则显得有些不妥.因为本节课的重点是让学生熟悉不等式的应用,而解答引申3不但要指出函数的最小值不是2,而且还要借助于函数的单调性求出最小值,这样本堂课就要用不少时间去证明单调性,“干扰”了“不等式应用”这一“主干”知识的传授.但若作为课后思考题让学生去讨论,则将是一种较好的设计.3.变式要有梯度,循序渐进,切不可搞“一步到位”,否则会使学生产生畏难情绪,影响问题的解决,降低学习的效率.例如,在学习导数的几何意义时,设计求切线问题及变式如下:求曲线-1上点P(1,2)的切线方程.变式1:判断点P(0,-1)是否在曲线-1上,并求出点P处的切线方程.变式2:判断点Q(0,1)是否在曲线-1上,并求出点Q处的切线方程.变式3:将原例中的点P(1,2)改为任意一点结果如何?上述变式3在变式1与变式2的基础上很容易掌握,并且可以总结出此类题的做题步骤:①判断已知点是否在曲线上,求切点坐标;②求出切点处的导数;③点斜式写出切线方程.若没有变式1与变式2,而直接给出变式3,学生解决起来就非常困难,不利于树立学生的学习信心,从而也降低了学习的效率.4.提倡让学生参与题目的变式变式并不是教师的“专利”,教师必须转变观念,发扬教学民主,师生双方密切配合,交流互动,只要是学生能够变式的,教师绝不包办代替.学生变式有困难的,可在教师的点拨与启发下完成,这样可以调动学生学习的积极性,提高学生参与创新的意识.例如,若y=kx+1与-只有一个公共点,求直线方程.这个例题设计的很巧妙,问题核心是直线和双曲线只有一个公共点,为学生提出以下变式打下了伏笔.变式1:在上题中,若直线与双曲线相交于不同两点A、B,且A、B在异支,则应该如何判断k 的取值范围.变式2:如果条件改为直线与双曲线相交于A、B两点,且A、B同在左支,则判断k的取值范围.在课堂教学的变式训练中,教师要准确发现学生在知识理解、方法运用等方面的优点和不足,要给予必要的肯定和及时矫正,引导学生总结寻找突破口的方法,总结易混易错处,归纳同类习题的共性与异性习题的联系与区别,达到解题时会一类通一片的目的,实现习题课真正的教学目标.5.变式题目的数量要有“度”变式过多,不但会造成题海,会增加无效劳动和加重学生的负担,而且还会使学生产生逆反心理,对解题产生厌烦情绪.有位青年教师对一道例题连续给出了10个变式,而且在难度上逐渐加大,最后引申的题目与例题无论在内容上还是在解题方法上都相关不大,这样的变式不仅对学生学习本节课内容没有帮助,而且超出了学生的接受能力,教学效果也就会大打折扣.综上所述,变式教学中习题变式的方式、形式及内容,要根据教材的内容和学生的情况来安排,因材施教是课堂教学永远要坚持的原则,恰当合理的变式,可使学生一题多解或多题一解,有助于学生把知识学活,有助于学生举一反三、触类旁通,有助于学生产生学习的“最佳动机”和激发学生的灵感,它能升华学生的思维,培养学生的创新意识。
例谈变式训练在课堂教学中的运用
例谈变式训练在课堂教学中的运用【摘要】变式训练是一种教学方法，通过反复练习同一知识点的不同变式，促进学生对知识的深入理解和灵活运用。
在课堂教学中，变式训练不仅可以提高学生的学习兴趣和参与度，还可以帮助他们培养逻辑思维、问题解决能力和学习策略。
采用多样的方法和技巧进行变式训练，如递进式发问、案例分析和游戏化教学，能够激发学生的思维潜能，提高学习效果。
不同学科可以根据具体知识点和学生特点有针对性地运用变式训练，进一步增强教学效果。
通过对变式训练的效果评价，可以及时调整教学方法，提升教学质量。
变式训练在课堂教学中具有重要意义，有助于提高学生成绩和综合素质的培养。
【关键词】变式训练、课堂教学、概念、特点、意义、方法、技巧、不同学科、效果评价、结论。
1. 引言1.1 引言变式训练是指通过对知识或技能进行变异、组合、扩展等方式进行训练，以提高学生的学习能力和创新能力。
在课堂教学中，变式训练是一种常见的教学方法，通过设计不同形式的练习题目和活动，引导学生运用所学知识解决问题，培养其思维灵活性和创造力。
变式训练的本质是在原有知识基础上进行变化和拓展，让学生不仅掌握基本概念和方法，还能灵活运用于各种复杂情境中。
通过不同形式的变式训练，学生可以更好地理解知识点，提高问题解决能力和学习深度。
在实际教学中，教师可以通过设计不同难度和形式的变式训练题目，激发学生的学习兴趣和主动性。
变式训练还可以帮助学生巩固知识、整合知识、拓展知识，提高学习效果和成绩表现。
变式训练在课堂教学中具有重要意义，是促进学生思维发展和能力提升的有效手段。
2. 正文2.1 变式训练的概念与特点变式训练是指在教学中通过设计不同形式和难度的题目，让学生在掌握基础知识的基础上进行灵活运用和拓展，以提高他们的学习能力和解决问题的能力。
变式训练的特点包括：1. 灵活多样：变式训练可以通过设计不同形式的题目，如填空题、选择题、解答题等，以适应不同学生的学习方式和能力水平。
变式训练案例
A
D
A
D
F
A
D
F
F
B E C GB 图1
EC
G
B
图2
CE G 图3
欢迎指导，谢谢！
•
在初中数学的教学过程中，老师经常会发现
一种现象，很多学生对一种固定的题目模式较容
易掌握，而对较灵活的题型缺乏理解、感知，改
变已知条件，变换了图形位置后就束手无策，学
生的思维常常局限于一些固定的框框里，以致产
生厌学，缺乏自信心。
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
以“变式教学”为研究平台，培养和发展学
生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，开发学
AC=CB
AD
B
N
∴△ADC≌△CEB (AAS)
∴AD=CE，DC=EB ∴DE=DC-CE=BE-AD
练习：如图1，四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠B=∠BCD=90°， 点E是边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角∠DCG的平分 线CF于点F． （1）求证：AE=EF（提示：在AB上截取BH=BE，连接HE，构造 全等三角形，经过推理使问题得到解决）． （2）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上 （除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论 “AE=EF”仍然成立吗？说明理由． （3）如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其 他条件不变，结论“AE=EF”是否成立？说明理由．
求证： ①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE． （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
求证：DE=AD-BE． （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，请直接
写出DE，AD，BE之间的数量关系．
平方差公式和完全平方公式强化训练变式精品
平方差公式和完全平方公式强化训练变式精品在平方差公式中，对两个数进行平方并相减，可以得到一个差的平方。
这个公式可以通过一些变化来扩展其应用范围。
变式1：三数之差的平方给定三个数a、b和c，求(a-b)^2-c^2的值。
解法：首先，根据平方差公式，有(a - b)^2 - c^2 = (a - b +c)(a - b - c)。
然后，可以将这个式子展开得到(a - b)^2 - c^2 =(a^2 + b^2 - 2ab) - c^2 = a^2 + b^2 - 2ab - c^2、因此，只需要将给定的三个数代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
变式2：多个数之差的平方之和给定n个数a1、a2、..、an，求(a1 - a2)^2 + (a2 - a3)^2 + ... + (an-1 - an)^2的值。
解法：首先，根据平方差公式，可以将每个差的平方展开，并将它们相加。
然后，可以发现每个差的平方之和可以表示为每个数平方之和减去两倍的交叉相乘之和。
因此，只需要将给定的n个数代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
在完全平方公式中，一个多项式的平方可以通过分解进行简化。
这个公式也可以通过一些变化来扩展其应用范围。
变式1：两个三项式的平方和给定两个三项式a^2 + 2ab + b^2和c^2 + 2cd + d^2，求它们的和的完全平方。
解法：首先，根据完全平方公式，可以将每个三项式平方进行分解，然后将它们相加。
然后，可以将这个和的平方进行分解得到一个完全平方。
因此，只需要将给定的两个三项式代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
变式2：多个多项式的平方之和给定n个多项式a_1^2 + 2a_1b_1 + b_1^2，a_2^2 + 2a_2b_2 +b_2^2，...，a_n^2 + 2a_nb_n + b_n^2，求它们的和的完全平方。
解法：首先，根据完全平方公式，可以将每个多项式平方进行分解，并将它们相加。
变式训练专题教案5.16
变式训练专题教案5.16-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2变式训练专题教学设计一、教学目标1．使学生经历变式训练的探索过程，了解数学内容的本质，明确知识之间的相互联系，激活学生的联想和再创造能力。
2．通过观察和探索，使学生经历观察、猜测、推理、交流、反思等理性思维基本过程，培养问题意识及运用数学思想方法解决问题的能力。
3．培养学生主动探索、勇于发现、敢于实践和合作交流的习惯。
二、教学重、难点1．在解题中分析、观察、根据需要选择运用数形结合、分类讨论、化归和转化等基本的数学思想。
2．树立整体思想和运动变化观点，能从多角度考虑问题，理顺解题思路，设计解题方案，尽量做到全面、灵活、快速解题。
三、教法与学法教法：以问题为载体，以学生自主探究、合作交流为主的“问题—解决—新问题—再解决”的模式展开。
学法：根据“回顾—联想—猜想”的思维过程，引导学生体会数学知识之间的联系，感受数学的整体性、不断积累解决问题的策略，提高解决问题的能力。
四、教学过程 活动一 检查预习1.抛物线()02≠++=a c bx ax y 的对称轴是x=2，且经过点（3，0），则a+b+c 的值为 。
2．抛物线53212++=x x y 关于y 轴对称的抛物线的解为 .3设计意图：意在夯实基础，为后续问题的解决作铺垫。
活动二 变式练习1. 已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 经过点A （－2，7），B （6，7），C （3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一个点的坐标为 .2. 抛物线53212++=x x y 关于x 轴对称的抛物线的解析式为 . 师生行为：教师走下讲台，倾听、了解各层次学生解题的准确性与速度；一定时间后展示学生探究成果，师生共同评价并适时对2题进行变式。
设计意图：将基础知识进行稍加综合性的迁移，培养用联系的观点分析、解决问题。
适当安排变式，使学生在新情境中引发新思想和新方法。
初中数学“变式训练”的方法与思维
初中数学“变式训练”的方法与思维初中数学的变式训练旨在培养学生分析和解决问题的能力，提高数学思维的灵活性。
变式训练要求学生通过对不同形式的问题进行变换和转化，掌握不同解题方法和技巧，从而提高解题的速度和准确性。
下面我将介绍一些变式训练的具体方法和思维。
1.规律和特点：变式训练中，学生需要通过分析已知的问题，寻找问题中的规律和特点。
例如，其中一类问题的解法经常采用同一种方法，或者其中一种运算法则在不同题目中都得到了运用。
通过发现问题的规律和特点，学生可以避免重复的计算和推理，提高解题的效率。
2.转换和等价变形：变式训练要求学生将已知的问题转换成其他形式或等价的形式，从而探索不同的解题方法和思路。
例如，将一个复杂的问题分解成若干简单的小问题，或者将两个具有关联的问题合并成一个问题。
转换和等价变形可以帮助学生从不同的角度去思考和理解问题，提高解题的灵活性。
3.探索和猜测：变式训练鼓励学生主动去探索和猜测，不拘泥于固定的解题方法和步骤。
通过试错和反思，学生可以逐步积累解题经验，并培养自主思考和创造性思维。
4.形象化和图像化：变式训练中，学生可以通过构建模型、绘制图像等方式将抽象的问题形象化，从而更加清晰地理解问题的本质和解题方法。
形象化和图像化可以帮助学生走出数学符号和运算，将问题转化成一个具体的实物或几何图形，提高解题的可视化和直观性。
总之，在初中数学的变式训练中，学生需要培养的核心思维是灵活性思维。
灵活性思维是指学生能够根据问题的特点和要求，灵活地选择合适的解题方法和策略。
这需要学生具备扎实的基础知识和技能，同时还需要培养学生发散思维和创新思维的能力。
只有掌握了灵活性思维，学生才能在不同形式的问题中游刃有余地解题，提高数学解题的能力和水平。
在变式训练的过程中，老师和家长可以采用以下方法来指导学生：1.引导学生分析和总结问题的规律和特点。
通过针对性的练习，帮助学生理解同一类问题的解题方法和技巧，培养他们归纳和概括的能力。
小学变式训练教案设计
小学变式训练教案设计教案标题：小学变式训练教案设计教学目标：1. 了解什么是变式训练，并能够运用变式训练的方法提高学生的思维能力和解决问题的能力。
2. 学会运用不同的变式训练方法，如替换、扩展、逆向等，来解决问题。
3. 提高学生的创造力和创新思维，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学步骤：1. 导入（5分钟）- 利用图片或实例引入变式训练的概念，让学生了解什么是变式训练。
- 引导学生思考变式训练的作用和意义。
2. 知识讲解（10分钟）- 介绍不同的变式训练方法，如替换、扩展、逆向等，并给出相应的例子。
- 解释每种方法的应用场景和解决问题的思路。
3. 实践演练（20分钟）- 给学生提供一些具体的问题，要求他们运用变式训练的方法解决。
- 引导学生分组讨论，分享自己的解题思路和方法。
- 鼓励学生尝试不同的变式训练方法，培养他们的创造力和创新思维。
4. 总结归纳（10分钟）- 让学生总结变式训练的方法和应用场景。
- 引导学生思考变式训练对他们的思维能力和解决问题的能力有何帮助。
5. 拓展练习（15分钟）- 给学生提供更多的变式训练题目，让他们继续练习和应用所学的方法。
- 鼓励学生尝试解决更复杂的问题，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
6. 小结与反思（5分钟）- 让学生回顾本节课所学的内容，并进行自我评价。
- 鼓励学生思考如何将变式训练方法应用到其他学科或生活中。
教学资源：- 图片或实例- 变式训练的例子和题目- 分组讨论的材料- 拓展练习题目教学评估：- 观察学生在实践演练中的表现，包括解题思路和方法的运用。
- 收集学生的拓展练习答案，评估他们对变式训练方法的掌握程度。
- 学生自我评价和反思的内容。
教学延伸：- 鼓励学生在其他学科或生活中运用变式训练方法解决问题。
- 提供更多的变式训练资源，让学生进行自主学习和练习。
- 引导学生深入探究变式训练的原理和方法，培养他们的独立思考和创新能力。
变式训练助提高
变式训练助提高所谓变式训练就是通过将原命题中的条件、结论、形式、内容、图形等作适当变换，也就是通过一个问题的变式，解决一类问题的变化，逐步养成学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系，进而培养学生创新思维能力。
在日常教学中对部分习题通过“变变图形、变变数据、变变文字”等手段，不仅对一些综合题铺设了适当的台阶，降低了它们的难度，也使学生掌握了学习知识的方法，而且训练了学生的思维能力，培养了创新精神。
一、在形成概念的过程中，利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。
如在讲分式的意义时，一个分式的值为零是指分式的分子为零而分母不为零，因此对于分式321-+x x 的值为零时，在得到答案1-=x 时，实际上学生对“分子为零而分母不为零”这个条件还不是很清晰，难以辨析出学生是否考虑了“分母不为零”这个条件，此时可以做如下变形：变形1：当x__________时，分式3212--x x 的值为零？（分子为零时x=1±） 变形2：当x__________时，分式112--x x 的值为零？（1=x 时分母为零因此要舍去） 变形3：当x__________时，分式654322----x x x x 的值为零？（此时分母可以因式分解为)1)(6(+-x x ，因此x 的取值就不能等于6且不能等于-1）通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，防止教师盲目出题，学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。
二、在定理和公式的教学中，利用变式，展现相关定理和公式之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断，运用。
如在九年级学习垂径定理时：学生对定理“如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直这条弦，并平分这条弦所对的弧”理解不透，经常在判断中出错，实际上学生的错误是可以理解的，而教师却要去思考学生出错的根源是什么？我认为是学生没有理解这句话中几个关键字或词：直径、平分、不是直径，因此我们可以通过变式给出如下语句让学生去判断，并在错误的判断中给出反例，让学生理解错误的原因。
数学变式训练
数学变式训练激活学生思维松江二中（集团）初级中学刘艳杰《上海市中小学数学课程标准》中指出：“数学素养是人们通过数学教育以及自身的实践和认识活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和。
数学课程及其教学，不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生理解数学的社会价值，领略数学文化的内涵，体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素养得到全面提高。
”可见，培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。
如何培养学生良好的数学思维呢?经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。
那么，什么是数学变式训练呢？所谓数学变式训练,即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式,以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化,使其条件或结论的形式或内容发生变化,而本质特征却不变.也就是所谓“万变不离其宗”.变式训练是提高学生的发散思维能力,化归、迁移思维能力和思维灵活性的有效方法之一.数学教学改革专家顾泠沅创立的青浦四条经验中,其中一条“组织好课堂层次序列,进行变式教学”,就强调了变式训练的重要性.运用变式训练可以提高数学题目的利用率,提高教学有效性,起到综合运用知识,有效培养学生综合思维能力,充分理解数学本质属性的作用.这同时也符合新课程标准的基本理念.下面结合课堂教学实践谈谈在数学教学中如何运用变式训练，激活数学思维。
一、概念的变式训练数学思维能力的发展离不开数学概念的形成，尤其是对概念的内涵和外延的理解。
因而在概念形成过程中的训练主要是通过多方面呈现概念的外延和触及一些“貌似神离”的情况，以便突出概念的内涵，使学生能深刻、准确地理解掌握概念。
如在学习平方根的概念时，可以设计这样的变式训练，例题：16的平方根是。
此例题主要是让学生理解、掌握平方根的概念。
但本节课还介绍了“正的平方根，负的平方根这两个概念，学生在刚刚学习这几个概念时，往往区分不开，为了让学生加深对几个概念的理解，我在例题的基础上设置了变式1，变式1：16的正的平方根是。
变式训练教学的方法及问题
变式训练教学的方法及问题变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律的一种教学方式。
数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学学习的能力都具有很好的积极作用。
一、变式训练的方法1.类比变式初中数学具有一定的抽象性，许多数学概念概括性比较强，学生理解非常困难；有些知识包含了隐性内容，有仅仅依靠老师的情景创设和知识讲解学生可能无法全面理解数学的内涵的，所以需要运用更加丰富的教学手段帮助学生理解数学知识。
例如在学习“分式的意义”时，一个分式的值为零是包含两层含义：(1)分式的分子为零，(2)分母不为零。
因此，如果仅有“当x为何值时分式的值为零”，此类简单模仿性的问题，学生对“分子为零且分母不为零”这个条件还是很不清晰的，考虑“分母不为零” 意识还不会很强。
但如果以下的变形训练，通过分子，分母的不同差别，来体现分式的值为0，通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此，数学变式教学有助于养成学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系。
2．模仿变式数学方法是数学学习的一个重要内容，而这些数学方法的掌握往往需要通过适当改变问题的背景或者提问方式，通过模仿训练来熟悉。
所以，在教学中通过精心设计变式问题，或挖掘教材自身的资源可以更快地帮助学生熟悉数学的基本方法。
3．阶梯变式初中数学内容的形式化趋势比较明显，而学生的对形式化的数学知识理解普遍感到困难，对某些规律的形式化的归纳往往更是无从下手，所以，适当地从学生的实际出发，设计变式教学环节，让学生从变式问题中“变化量”的相互关系中，帮助学生总结数学规律。
变式训练
1.据图中的等值线，下列 判断正确的是（ C ） A.丙地年蒸发量小雨500毫 米 B.图幅南部地区年蒸发量 由东向西递减 C.单位距离年蒸发量变化 甲地大于乙地 D.400毫米等值线同内、外 流区分界线基本一致
（2011年四川卷，5～6）下图为我国部分地 区地表年蒸发量等值线图。读图回答1～2题。
2.在乙地区土壤中水盐 运动表现为淋盐特征的 时期，丁区域可出现的 地理现象是（ C ） A.油菜花黄蜜蜂忙 B.阴雨绵绵梅子黄 C.稻田受旱暑骄阳 D.落叶遍地秋风狂
1．C【解析】第1题，以地表年蒸发量等值线图为 载体，考查相关基础知识以及等值线图的判读能 力。图中丙地位于闭合等值线600mm内，根据闭 合等值线判读规律“大于大的，小于小的”，可 判断丙地年蒸发量大于600mm，选项A错误；图幅 南部地区三条年蒸发量等值线都是600mm，说明 南部地区年蒸发量由东向西先递增再递减，然后 又递增，选项B错误。图中甲地区等值线分布密 集，乙地区等值线分布稀疏，说明甲地区单位距 离年蒸发量变化甲地区大于乙地区，选项C正确； 我国内、外流区域分界线大致是：大兴安岭西麓 向西南，经阴山——贺兰山——祁连山(东端)— —200毫米等降水量线，图中400mm等值线位置偏 南，选项D错误。 2．C【解析】第2题，乙地区土壤中水盐运动表现 为淋盐特征时，华北地区正值雨季(七、八月)， 此时长江中下游地区受副高控制，正值伏旱天气。
B
下图中各箭头及其代表符号①②③④⑤表示太阳、 地面、大气、宇宙空间之间的热力作用，其中包 括太阳辐射、地面辐射、大气辐射、大气逆辐射、 削弱作用(吸收反射和散射)。据此回答1～4题。
4．长江中下游平原比 华北平原纬度低，但 年太阳辐射总量却比 华北平原小，其原因 主要与图中的哪个因 素数值大小有关( ) A. ① B．② C．③ D．④
变式训练的重要性
变式训练的重要性
变式训练的⽬的是使学⽣在练习过程中把握题⽬的本质特征，达到“以不变应万变”。
变式训练有两个好处：⼀是通过变化了⾮本质特征的题组训练，使学⽣熟悉技能的操作程序；⼆是通过变式训练，学⽣在形式变化中把握不变的东西，将程序性知识内化，从⽽促进技能向纵深⽅向迁移。
变式训练能够提⾼初中学⽣的数学综合技能，主要表现为：
1.变式训练能够培养学⽣的练习兴趣。
变式训练是提⾼数学技能的源动⼒。
兴趣是学⽣主体探索数学知识的⼼理基础和内动⼒，对训练数学技能起着重要作⽤。
明确变式练习的⽬的，根据内容的内在联系，通过针对性的变式训练让学⽣了解每⼀种变式都有它的特定⽬的，从⽽激发学⽣的练习兴趣，使他们⾃觉地产⽣完成练习的内动⼒，提⾼练习效率。
2. 变式训练能够培养学⽣的练习技巧
变式训练是提⾼数学技能灵活运⽤的关键。
训练要讲究技巧并要有针对性，训练得巧可以达到事半功倍的效果。
利⽤变式训练设置合适的梯度，然后逐步增加技巧性因素，从⽽在变式的过程中掌握、保持和巩固数学技能。
3. 变式训练能够适当延伸所学知识。
变式训练是提⾼数学技能的有效途径。
学⽣在变化的题⽬的探究过程中巩固所学知识并拓展思维，不但能有效促进数学技能按正确的⽅向发展，⽽且能使数学技能之间的组合优化，从⽽提⾼了数学技能形成的效率。
综上所述，变式训练可以把⼀个看似孤⽴的问题从不同⾓度向外扩散，并形成⼀个有规律可寻的系列，帮助学⽣在解答问题过程中寻找解决类似问题的思路、⽅法。
我们应以变式训练为载体，坚持从提⾼学⽣练习质量和效率⼊⼿，切实提⾼学⽣的数学技能。
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数学习题的变式训练简而言之即举一反三。
它需要教师去领会、研究，并引导学生深入思考、探究，从中提炼出方法。
在数学教学中，搞好习题变式的教学，特别是搞好基本、简单习题的变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是能发展学生智力，培养和提高学生的数学素质。
从初中数学现状来看，“教师教，学生学；教师讲，学生听”仍是主导模式，基本上是“把学生当作消极、被动地接受知识的容器”，“狂轰乱炸”的“题海”战术“淹没”了生动活泼的数学思维过程，这种“重复低效”的数学课堂教学，使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣。
思维变的狭窄，学知识只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。
这些促使我们思考：如何提高学生的数学学习兴趣，如何提高数学课堂的有效性？而反复进行的一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性有效方法。
下面本人谈谈数学习题变式教学中的一些做法。
一、变图形训练、
初中低年级数学中的几何知识的学习是培养学生观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力的重要载体，学生对图形的认识能力也是由具体到抽象、由简单到复杂过渡的，教师如果能在教学中把有些习题的图形加以变化，借助变化来反映图形的空间形状及位置关系，让图形动起来，引导学生去思考探讨，那么可以使学生真正掌握知识之间的内在联系。
例：如图1，AB∥CD，点P是直线AB和CD所在平面内一点，试讨论∠ABP、∠BPD、∠PDC之间的关系：
（解略）
学生在教师的指导启发下，通过讨论，可以利用添加不同的辅助线达到题目考察的目的，为了使学生能更进一步对图形及相关知识做到灵活使用、触类旁通，变式训练（“变变图形”）将大显身手。
例：如果将点P移动到如下三种不同位置（图2-图4），同样讨论∠ABP、∠BPD、∠PDC之间的关系。
在学生切实掌握了上述图形问题的讨论后，再作如下变式：
二．多题一解
如在确定二次函数的解析式教学时，我设置了这样一组变式题目：
例题：已知二次函数的图像经过A（-3,0）、B（1，0）、C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式。
在求解完本题后，接着提出：
变式1：已知二次函数的图像经过一次函数y=-x-3 的图像与x轴、y轴的交点A、C，并且经过点B（1，0），求这个二次函数的解析式。
变式2：已知一次函数的图像经过点（1，0），且在y轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于A（1，m）、B（n，4）两点，又知二次函数的对称轴是直线x=2，求这两个函数的解析式。
变式1，先让学生比较它与例题的已知条件有什么不同？再思考怎样转化为例题求解，然后讨论怎样求A、C两点的坐标。
变式2，要善于应用“化整为零、各个击破”的思想方法把一个综合题分解为几个简单问题来解决，逐步引导学生把变式2分解为三个简单问题：①求一次函数的解析式；②求m、n的值并画出草图分析；③求二次函数的解析式。
这组题目最终都是通过设二次函数一般式，利用三点法建立方程组来求解。
通过这组“多题一解”变式训练，既可巩固强化解题思想方法，又让学生通过多题一解，抓住本质，触一通类，培养学生的变通能力，发展智力，激活思维，收到举一反三，少而胜多的效果。
新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。
一题多变，不仅可以培养学生的发散思维能力及相关知识点迁移能力，还可以大大扩大学生的知识容量，一点也不浪费时间，经常做这种训练，不仅可以提高学生思维质量，还可以培养学生面对难题的良好的从容心态。
神话中的“孙悟空”能战胜取经途中的众多妖魔。
我想，其中一个很重要的原因是“大圣”有高超的武艺，会72变。
由此想到，对一个普通的数学题目的“变化”，以总结、发现题与题中的联系，体会出“数学美”。