高考满分数学压轴题13 与球相关的外接与内切问题(可编辑可打印)

一．方法综述

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。

研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：

（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体. （2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决. （3）球自身的对称性与多面体的对称性；

二．解题策略

类型一 柱体与球

【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106π

C ．56π

D ．53π

【答案】A 【解析】

【分析】由题意得出11118104

AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可

求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.

【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，

所以，()()2

222

11112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，

故外接球半径r =

=，

因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==.故选：A.

【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径. 【举一反三】

1.（2020·

2，若

与球相关的外接与内切问题

该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．

73

π B ．

113

π C ．5π D ．8π

【答案】D

【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图，

则其外接球的半径2

2

221123222sin 60R OB OO BO ⎛⎫ ⎪⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪︒⎝⎭

⎝⎭， 外接球的表面积428S ππ=⨯=.故选：D

【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 2.（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为a ，则这个球的表面积为（ ）． A ．2

3

4

a π B ．23a π C ．26a π

D ．2

32

a π

【答案】D

【解析】由已知作出截面图形如图1，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的位置关系如图2所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为m ,外接球的半径为

R ，则2a m =，23R m =，所以64R a =，所以外接球的表面积为2

2

2634442a S R a πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭

， 故选：D .

【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键，

3．（2020·河南高三（理））有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：2 1.414,3 1.732,5 2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个

C ．26个

D ．28个

【答案】C

【解析】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为52cm ，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球， 则最上层球面上的点距离桶底最远为()()

10521n +-cm ，

若想要盖上盖子，则需要满足()10521100n +-≤，解得19213.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球．故选：C 类型二 锥体与球

【例2】5．已知球O 的半径为

10

2

，以球心O 为中心的正四面体Γ的各条棱均在球O 的外部，若球O 的球面被Γ的四个面截得的曲线的长度之和为8π，则正四面体Γ的体积为_________． 【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题 【答案】182

【解析】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为2π，半径为1，故球心

O 到正四面体各面的距离为2

106

122⎛⎫-=

⎪⎝⎭

，设正四面体棱长为a ，如图所示，则斜高332

AE EF a ==

，体高6

3=

AF a ，在Rt AEF 和R t AGO 中，13OG EF AO AE ==，

即

61236632

a =

-，∴6a =，∴23

1362618234312

V a a =⋅⋅=⋅=． 【举一反三】

1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______． 【答案】

【解析】如图，

设正四面体ABCD 的棱长为，过A 作AD ⊥BC ， 设等边三角形ABC 的中心为O ，则

，

，

，即

．

再设正四面体ABCD 的外接球球心为G ，连接GA ， 则

，即

．

∴正四面体ABCD 的外接球的体积为

.故答案为：

．

2．（2020·宁夏育才中学）《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h 的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h 的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 【答案】288π

【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，

其外接球的直径是23R h =，设圆柱的底面圆半径为r ，母线长为l h =， 则232r ππ=，解得42r =222(2)(3)l r h +=， 222(82)9h h ∴+=，解得4h =，