高考满分数学压轴题13 与球相关的外接与内切问题(可编辑可打印)
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)-精选.pdf

一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上, 那么称这个多面
体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接
球的问题, 是立体几何的一个重点, 也是高考考查的一个热点 . 考查
学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题,既要
学习 .
五 .确定球心位置法
例 5 在矩形 ABCD 中, AB 4, BC 3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一
个直二面角 B AC D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为
125
A. 12
125
B. 9
125
C. 6
125
D. 3
D
A
O
C
图4 B
解 设矩形对角线的交点为 O ,则由矩形对角线互相平分,可知
例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的
表面积为 24 ,则该球的体积为 ______________.4 3 . 2、求长方体的外接球的有关问题
例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上, 且一个顶点上的三条
棱长分别为 1,2,3 ,则此球的表面积为
.14 .
例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,
只是希望能有个人,在我说没事的时候,知道我不是真的没事;能有个人,在我强颜欢笑的时候,知道我不是真的开心。 ——张小娴
OA OB OC OD .∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相
等,即点 O 为四面体的外接球的球心,如图 2 所示 .∴外接球的半径
5 R OA
V 球 4 R3 125
2 .故
3
6 .选 C.
2023年高考数学---外接球与内接球问题真题练习(含答案解析)

2023年高考数学---外接球与内接球问题真题练习(含答案解析)1.(2022·全国·高考真题(文))已知球O 的半径为1,四棱锥的顶点为O ,底面的四个顶点均在球O 的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( ) A .13B .12CD【答案】C【解析】[方法一]:【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD ,四边形ABCD 所在小圆半径为r , 设四边形ABCD 对角线夹角为α,则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=(当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时,底面ABCD 面积最大值为22r 又设四棱锥的高为h ,则22r h 1+=,2123O ABCDV r h −=⋅⋅=当且仅当222r h =即h .故选:C[方法二]:统一变量+基本不等式由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设底面边长为a ,底面所在圆的半径为r ,则r =,所以该四棱锥的高h13V a = (当且仅当22142a a =−,即243a =时,等号成立)所以该四棱锥的体积最大时,其高h =. 故选:C .[方法三]:利用导数求最值由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设底面边长为a ,底面所在圆的半径为r ,则2r a =,所以该四棱锥的高h 13V a =2(02)a t t =<<,V =设()322t t f t =−,则()2322t f t t −'=,403t <<,()0f t '>,单调递增, 423t <<,()0f t '<,单调递减,所以当43t =时,V 最大,此时h故选:C.【整体点评】方法一:思维严谨,利用基本不等式求最值,模型熟悉,是该题的最优解; 方法二:消元,实现变量统一,再利用基本不等式求最值;方法三:消元,实现变量统一,利用导数求最值,是最值问题的常用解法,操作简便,是通性通法.2.(2021·全国·高考真题(理))已知A ,B ,C 是半径为1的球O 的球面上的三个点,且,1AC BC AC BC ⊥==,则三棱锥O ABC −的体积为( )A B C D 【答案】A【解析】,1AC BC AC BC ⊥==,ABC ∴为等腰直角三角形,AB ∴=则ABC ,又球的半径为1, 设O 到平面ABC 的距离为d ,则d =所以11111332O ABC ABCV Sd −=⋅=⨯⨯⨯故选:A.3.(2022·全国·高考真题)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A .100π B .128πC .144πD .192π【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ,所以123432,260sin 60r r =,即123,4r r ==,设球心到上下底面的距离分别为12,d d ,球的半径为R ,所以1d 2d =121d d −=或121d d +=,1=1,解得225R =符合题意,所以球的表面积为24π100πS R ==. 故选:A .4.(2022·全国·高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为l ,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3l ≤≤ )A .8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .[18,27]【答案】C【解析】∵球的体积为36π,所以球的半径3R =,[方法一]:导数法设正四棱锥的底面边长为2a ,高为h , 则2222l a h =+,22232(3)a h =+−, 所以26h l =,2222a l h =−所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯−⨯− ⎪⎝⎭,所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫−'=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当3l ≤≤0V '>,当l <≤0V '<,所以当l =V 取最大值,最大值为643,又3l =时,274V =,l =814V =, 所以正四棱锥的体积V 的最小值为274, 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.故选:C.[方法二]:基本不等式法由方法一故所以()()()3221224211646122(333333h h h V a h h h h h h h ⎡⎤−++==−=−⨯⨯=⎢⎥⎣⎦…当且仅当4h =取到),当32h =时,得a =,则22min 11327;3324V a h ==⨯=当l =39322h =+=,a =正四棱锥体积221119816433243V a h ==⨯=<,故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].435.(2020·全国·高考真题(理))已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点,⊙1O 为ABC 的外接圆,若⊙1O 的面积为4π,1AB BC AC OO ===,则球O 的表面积为( ) A .64π B .48πC .36πD .32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ,球的半径为R ,依题意,得24,2r r ππ=∴=,ABC 为等边三角形,由正弦定理可得2sin60AB r =︒=,1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ,11,4OO O A R OA ∴⊥==,∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选:A6.(2020·全国·高考真题(理))已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为( )AB .32C .1D 【答案】C 【解析】设球O 的半径为R ,则2416R ππ=,解得:2R =. 设ABC 外接圆半径为r ,边长为a ,ABC212a ∴=,解得:3a =,2233r ∴=∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选:C.。
立体几何中球的内切和外接问题完美版

性质
内切球的球心位于旋转体 的轴线上,且球的半径等 于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中,内 切球常用于研究旋转体的 体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋 转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体 外侧,且球的半径等于旋 转体轴线到旋转体外侧的 垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中,外 接球常用于研究旋转体的 空间位置和关系。
立体几何中球的内 切和外接问题完美 版
目 录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面 体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法:设多面体的 每个面为$S_i$,内切球的半径
03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体,且与多面体的每个面都相切 。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决,例如欧拉公式和球内切 定理。例如,一个正方体的内切球就是其中心,半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质:外接球与 多面体的每个顶点都相切 ,且外接球的直径等于多 面体的对角线长度。
外接球的应用:在几何、 物理和工程领域中,外接 球的概念被广泛应用于研 究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题
(完整版)高考数学中的内切球和外接球问题.

(完整版)高考数学中的内切球和外接球问题.高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为().A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为8 9,底面周长为3,则这个球的体积为 .解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有==h x x 24368936==213x h ∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ,球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积:334R V π=. 小结本题是运用公式222d r R +=求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_______________.例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积ππ942==r S .小结:一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为c b a ,,,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。
与球有关的内切、外接问题

(2)三棱锥A-BCD,侧棱长为2 5 ,底面是边长为2 3 的等边三角形, 125
则该三棱锥外接球的体积为___6__π__.
解析 如图所示,该三棱锥为正三棱锥,O为底面 BCD的中心且AO垂直于底面BCD,O′在线段AO上, O′为外接球球心, 令 O′A=O′D=R,OD=23DE=23×2 3× 23=2, AD=2 5,
(2) 三 棱 锥 A - BCD 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 , 且 侧 棱 AB 垂 直 于 底 面
BCD,BC⊥CD,AB=BC=2,且VA-BCD=
4 3
,则该三棱锥A-BCD外接
球的体积为__4___3_π__.
解析 因为AB⊥BC,BC⊥CD,构造如图所示的长方体, 则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径. 设外接球的半径为R. ∵VA-BCD=13×12×BC×CD×AB=16×2×CD×2=43, ∴CD=2,∴该长方体为正方体,∴AD=2 3,∴R= 3, 外接球体积为 V=43πR3=4 3π.
B,C,D都在同一球面上,则此球的体积为___3__.
解析 如图,设正四棱锥的底面中心为O1, ∴SO1垂直于底面ABCD,令外接球球心为O, ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆, 外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中,由 SA=SC= 2,AC=2,
得SA2+SC2=AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴A2C=1 是外接圆的半径,也是外接球的半径. 故 V 球=43π.
∴AO= AD2-OD2=4,∴OO′=4-R,
又OO′2+OD2=O′D2, ∴(4-R)2+4=R2,解得 R=52,∴V 球=43πR3=1625π.
反思 感悟
高考球的内切和外接常考类型全归纳

多面体与球的内切和外接常有种类概括在平时教课中, 立体几何的多面体与球的地点关系, 是培育学生的立体感,空间想象能力的好教材。
但是学生在两个几何体的组合后,常常感觉无从下手。
针对这类状况,笔者把平时教课中相关这方面的习题加以总结和归类以下:一.正四周体与球以下图, 设正四周体的棱长为 a ,r 为内切球S的半径, R 为外接球的半径。
则高 SE= 23a, 斜高 SD=3a ,OE=r=SE-SO ,又 SD=BD,BD=SE-OE, F4O则在ABE直角 OEB 中,OE 2EB 2 BD 2 (SE OE)2DCr= 6a 。
R=SO=OB=6a124特点剖析:1. 因为正四周体是一其中心对成图形,因此它的内切球与外接球的球心为同一个。
2. R=3r. r=6a R= 6a 。
此结论能够记忆。
124例题一。
1、一个四周体的全部棱长都为2 ,四个极点在同一球面上,则此球的表面积为()剖析:借助结论, R= 6a = 62 = 3, 因此 S=4 R 2 =3 。
44 22、球的内接正四周体又有一个内切球,则大球与小球的表面积之比是()剖析:借助 R=3r ,答案为 9:1。
二、特别三棱锥与球四个面都是直角三角形的三棱锥。
SA 面 ABC , ABC 为直角三角形,BC AB因为 SA AC ,SB BC ,球心落在 SC 的中点处。
因此 R=SC。
2三.正方体与球。
1.正方体的外接球SSOOCABC即正方体的 8 个定点都在球面上。
重点找出截面图 :ABCD 为正方体的体对角面。
设正方AB体的边长为 a ,则 AB= 2 a ,BD=2R , AD=a ,OR= 3a 。
2DCCD2. 正方体的内切球。
(1)与正方体的各面相切。
如图: ABCD 为正方AB体的平行侧面的正方形。
R=a2(2)与正方体的各棱相切。
如图:大圆是正方形ABCD 的外接圆。
AB=CD=a ,R= 2a 。
2ABD C3. 在正方体以一个极点为交点的三条棱构成的三棱锥,特点是:三棱锥的三条侧棱相互垂直且相等,它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球,再求解。
(完整版)高考外接球内切球专题练习

高考外接球与内接球专题练习(1)正方体,长方体外接球1. 如图所示,已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2,长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动,另一端点N 在正方形ABCD 内运动,则MN 的中点的轨迹的面积为( )A. 4πB. 2πC. πD. 2π 2. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A. 1:3 B. 1:3 C. 1:33 D. 1:93. 长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=3,AA 1=1, 则该球的表面积为( )A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π4. 底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为A. 323π B. 4π C. 2π D. 43π 5. 已知正三棱锥P ﹣ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A ,PB ,PC 两两垂直,则球心到截面ABC 的距离为 _________ .6. 在三棱椎A ﹣BCD 中,侧棱AB ,AC ,AD 两两垂直,△ABC ,△ACD ,△ADB 的 面积分别为22,32,62,则该三棱椎外接球的表面积为( ) A. 2π B. 6π C. 46π D. 24π7. 设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点,且满足AB ⊥AC 、AD ⊥AC 、AB ⊥AD , 则S △ABC +S △ABD +S △ACD 的最大值为( )A. 4B. 8C. 12D. 168. 四面体ABCD 中,已知AB=CD=29,AC=BD=34,AD=BC=37,则四面体的 外接球的表面积为( )A. 25πB. 45πC. 50πD. 100π9. 如图,在三棱锥S ﹣ABC 中,M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点,且MN ⊥AM ,若AB=22,则此正三棱锥外接球的体积是A. 12πB. 43πC. 433π D. 123π 10. 已知三棱锥P ABC -的顶点都在同一个球面上(球O ),且2,6PA PB PC ===, 当三棱锥P ABC -的三个侧面的面积之和最大时,该三棱锥的体积与球O 的体积的比值为( )A. 316πB. 38πC. 116πD. 18π (2)直棱柱外接球11. 已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC , AA 1=12,则球O 的半径为A. 3172B. 210C. 132D. 310 12. 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为( )A. 2a πB. 273a πC. 2113a π D. 25a π 13. 直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA 1=2,∠BAC=120°, 则此球的表面积等于_________ .14. 三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的表面上,SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,又SA=AB=BC=1,则球O 的表面积为( )A. 32πB. 32π C. 3π D. 12π 15. 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ,DA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,DA=AB=BC=3, 则球O 的体积等于 _________ .(3)正棱锥外接球16. 棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1,则该四面体的棱长为___________17. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为AB的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起,使A 、B重合于点P ,则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为( )A. 4327πB. 62π C. 68π D. 624π 18. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在表面积为28916π的球面上,底面ABC 是边长为 3的等边三角形,则三棱锥P ABC -体积的最大值为__________19. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积 为( )A. 814π B. 16π C. 9π D. 274π 20. 已知正三棱锥P ﹣ABC 的顶点均在球O 上,且P A=PB=PC=25,AB=BC=CA=23, 则球O 的表面积为( )A. 25πB. 1256πC. 52π D. 20π21. 在球O 的表面上有A 、B 、C 三个点,且3AOB BOC COA π∠=∠=∠=,△ABC 的外接圆半径为2,那么这个球的表面积为( ) A. 48π B. 36π C. 24π D. 12π 22. 半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ﹣ABCDEF ,则此正六棱锥的侧面积是 ____.23. 表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为( )A. 23πB. 3π C. 23π D. 223π 24. 正四棱锥P ﹣ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上,点P 在球面 上,如果163P ABCD V -=,则求O 的表面积为( ) A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π(4)棱锥外接球25. 已知A ,B ,C ,D 在同一个球面上,AB ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,若AB=6,213AC =, AD=8,则此球的体积是 _________ .26. 在矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ﹣AC ﹣D , 则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A. 12512πB. 1259πC. 1256πD. 1253π 27. 点A ,B ,C ,D 在同一个球的球面上,AB=BC=2,AC=22,若四面体ABCD 体积 的最大值为43,则该球的表面积为( ) A. 163π B. 8π C. 9π D. 12π 28. 四棱锥S ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形,侧面SAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角 形,且侧面SAB ⊥底面ABCD ,若AB=23,则此四棱锥的外接球的表面积为( )A. 14πB. 18πC. 20πD. 24π29. 三棱锥S ﹣ABC 的四个顶点都在球面上,SA 是球的直径,AC ⊥AB ,BC=SB=SC=2, 则该球的表面积为( )A. 4πB. 6πC. 9πD. 12π30. 已知四棱锥V ﹣ABCD 的顶点都在同一球面上,底面ABCD 为矩形,AC∩BD=G ,VG ⊥平面ABCD ,AB=3,AD=3,VG=3,则该球的体积为( )A. 36πB. 9πC. 123πD. 43π(5)内接球31. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A. 1B. 2C. 3D. 432. 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球,若AB BC ⊥,6,8AB BC ==,13AA =,则V 的最大值为A. 4πB. 92πC. 6πD. 323π 33. 已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O 的体积为( ) A. 823π B. 833π C. 863π D. 1623π 34. 把一个皮球放入一个由8根长均为20的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面 与8根铁丝都有接触点(皮球不变形),则皮球的半径为( )A. 103B. 10C. 102D. 3035. 棱长为23的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小 球,则这些球的最大半径为( )A. 2B. 22C. 24D. 2636. 如图,在四面体ABCD 中,截面AEF 经过四面体的内切球球心O ,且与BC ,DC 分别截于E 、F ,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A ﹣BEFD 与三棱锥A ﹣EFC的表面积分别是S 1,S 2,则必有( )A. S 1<S 2B. S 1>S 2C. S 1=S 2D. S 1,S 2的大小关系不能确定(6)球的截面问题37. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为,则此球的体 积为( )A. 6πB. 43πC. 46πD. 63π38. 已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形, SC 为球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( )A. 26B. 36C. 23D. 2239. 高为2的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形,点S ,A ,B ,C ,D 均在半 径为1的同一球面上,则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )A. 102B. 232+C. 32D. 240. 已知三棱锥S ﹣ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在AB 上,SO ⊥底面ABC ,AC =,则球的体积与三棱锥体积之比是( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π41. 在半径为13的球面上有A ,B ,C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则(1)球心到平面ABC 的距离为 _________ ;(2)过A ,B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角为(锐角)的正切值为 ____.42. 设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到 该平面的距离是球半径的一半,则球的体积是( )A. B. C. D.43. 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2, 则球面面积是( ) A. 169π B. 83π C. 4π D. 649π 44. 已知OA 为球O 的半径,过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M . 若圆M 的面积为3π,则球O 的表面积等于 _________ .45. 三棱锥P ﹣ABC 的各顶点都在一半径为R 的球面上,球心O 在AB 上,且有P A=PB=PC , 底面△ABC 中∠ABC=60°,则球与三棱锥的体积之比是 _________ .46. 已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截 球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为__________(7)旋转体的外接内切47. 半径为4的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面 积之差是 _________ .48. 将4个半径都是R 的球体完全装入底面半径是2R 的圆柱形桶中,则桶的最小高度 是 _________ .1. D ;2. C ;3. B ;4. D ;5. 3; 6. B ; 7. B ; 8. C ; 9. B ;10. A ; 11. C ; 12. B ; 13. 20π; 14. C ; 15. 92π; 16. ;17. C ; 19. A ; 20. A ; 21. A ; 22. ; 23. A ; 24. D ; 25. 2563π; 26. C ; 27. C ; 28. D ; 29. B ; 30. D ; 31. B ; 32. B ; 33. A ; 34. B ; 35. C ; 36. C ; 37. B ; 38. A ; 39. A ; 40. D ;41. 12;3;42. A;43. D;44. 16π;45.3;46.92π47. 30π;48.(2R+;。
球体的外接与内切专题

(3)外接球半径:正方体的八个顶点都在球面上,如图 5,以对角面 AA1 作截面图得,圆 O 为矩形
AA1C1C 的外接圆,易得 R A1O
3 a 。(图 3) 2
图1
图2
图3
跟踪练习 1:
1.一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是(
A. 8
B. 6
C. 4
) D.
2.体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( )
2 EF 的中点,则多面体 M﹣ABCD 的外接球的表面积为 3.在三棱锥 A﹣BCD 中,AB=AC=DB=DC=AD=2,BC= 2 2 ,则三棱锥 A﹣BCD 外接球的 体积为 4.已知三棱锥 P﹣ABC,在底面△ABC 中,∠A=60°, BC 3 ,PA⊥面 ABC,PA=2,则此三棱锥 的外接球的体积为 5.如图 ABCD﹣A1B1C1D1 是边长为 1 的正方体,S﹣ABCD 是高为1的正四棱 锥,若点 S,A1,B1,Cl,D1 在同一个球面上,则该球的表面积为( )
h
h
锥底面半径 h 是圆锥的高)(图 17)
跟踪练习 5:
1.已知一圆柱内接于球 O,且圆柱的底面直径与球的半径都为 2,则圆柱的侧面
积为
.
2.已知一个圆锥底面半径为 4,高为 8,则该圆锥外接球的表面积为
图 17 .
3.已知一个圆锥底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内切球的表面积为( )
A.π
S
1 2
(a
b
c)r内 (等面积法)】
跟踪练习 3:
1.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 底面是边长为 6 的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表
面积为 12π,则该三棱柱的体积为
高考理数球与各种几何体切、接问题(供参考)

球与各种几何体切、接问题近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主,大题很少见。
首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球.1 球与柱体的切接规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体(1)正方体的内切球,如图1. 位置关系:正方体的六个面都与一个球都相切,正方体中心与球心重合;数据关系:设正方体的棱长为a ,球的半径为r ,这时有2r a =.(2)正方体的外接球,如图2. 位置关系:正方体的八个顶点在同一个球面上;正方体中心与球心重合;数据关系:设正方体的棱长为a ,球的半径为r ,这时有2r =.(3)正方体的棱切球,如图3. 位置关系:正方体的十二条棱与球面相切,正方体中心与球心重合; 数据关系:设正方体的棱长为a ,球的半径为r ,这时有2r =.例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ,分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为( )A B .1 C .1 D 思路分析:由题意推出,球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12AD R ==得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径. 1.2 球与长方体例2 自半径为R 的球面上一点M ,引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,,求222MC MB MA ++的值.结论:长方体的外接球直径是长方体的对角线.例 3(全国卷I 高考题)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为( ).A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π思路分析:正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,可得长方体的长、宽、高分别为2,2,4,长方体内接于球,它的体对角线正好为球的直径.2 球与锥体的切接规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1正四面体与球的切接问题(1) 正四面体的内切球,如图4.位置关系:正四面体的四个面都与一个球相切,正四面体的中心与球心重合;数据关系:设正四面体的棱长为a ,高为h ;球的半径为R ,这时有64R h ==; 例4 正四面体的棱长为a ,则其内切球的半径为______.【解析】 如图正四面体A -BCD 的中心为O ,即内切球球心,内切球半径R 即为O 到正四面体各面的距离.∵AB =a, ∴正四面体的高h =63a ,又V A -BCD =4V O -BCD ,()∴R =14h =612a . (2)正四面体的外接球,位置关系:正四面体的四个顶点都在一个球面上,正四面体的中心与球心重合;数据关系:设正四面体的棱长为a ,高为h ;球的半径为R ,这时有436R h a ==;(可用正四面体高h减去内切球的半径得到)例5 求棱长为1的正四面体外接球的半径。
最新高中数学:球的内切-外接问题

图1 处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点,但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形,明确切点和接点的位置及球心的位置,画好截面图是关键,可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少?由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高),且外接球的半径43h ,从而可以通过截面图中OBE Rt ∆建立棱长与半径之间的关系。
例2.设棱锥ABCD M -的底面是正方形,且MD MA =,AB MA ⊥,如果AMD ∆的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.(满足条件的球最大半径为12-.)练习:一个正四面体内切球的表面积为π3,求正四面体的棱长。
(答案为:2)【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置,作出截面图是解题的关键。
二、球与棱柱的组合体问题1. 正方体的内切球:球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ,球半径为R 。
如图3,截面图为正方形EFGH 的内切圆,得2a R =; 2. 与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图4作截面图,圆O 为正方形EFGH 的外接圆,易得a R 22=。
图3 图4 图 53. 正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图5,以对角面1AA 作截面图得,圆O 为矩形C C AA 11的外接圆,易得a O A R 231==。
例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直,且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.练习:一棱长为a 2的框架型正方体,内放一能充气吹胀的气球,求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。
高三数学复习---球的切、接、截面问题(有答案)

数学复习---球的切、接、截面问题(附参考答案)一.选择题(共16小题)..2.(2014•宝鸡三模)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是()D.3.(2014•锦州一模)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为()D4.(2014•西藏一模)三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上,且,则该球的体积为.C5.(2014•临汾模拟)三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上,其中△ABC是正三角形,PA⊥平面ABC,π6.(2014•沈阳模拟)四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12,点E、F分别为棱AB、AC的中点,7.(2013•辽宁)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,.C D.8.(2013•河池模拟)将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角,得到四面体A﹣BCD,则9.(2013•黄梅县模拟)已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦为4,若其中的.C D.10.(2013•郑州一模)在三棱锥A﹣BCD中,侧棱AB、AC、AD两两垂直,△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、,则该三棱锥外接球的表面积为()11.(2013•河池模拟)一个四面体A﹣BCD中,AC=BD=3,AD=BC=4,AB=CD=5,那么这个四面体的外接球的D.12.(2012•南宁模拟)已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上,且AB=3,BC=2,∠ABC=,则棱锥O .C D.13.在正四棱锥S﹣ABCD中,侧面与底面所成角为,则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为()C.14.已知球O的表面积为20π,SC是球O的直径,A、B两点在球面上,且AB=BC=2,,则三棱锥S﹣.C D15.(2014•安阳一模)如图,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,,将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上,则该球的体积为().D16.(2011•琼海一模)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大(柱体体积=.C D.二.填空题(共8小题)17.(2014•乌鲁木齐二模)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于_________.18.(2014•江西模拟)正四面体ABCD的棱长为4,E为棱BC的中点,过E作其外接球的截面,则截面面积的最小值为_________.19.(2014•呼伦贝尔二模)设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点,且满足AB⊥AC,AD⊥AC,AB⊥AD,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是_________.20.(2014•河南模拟)已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形,所有侧棱长相等且等于a,若其外接球的半径为R,则等于_________.21.(2012•辽宁)已知正三棱锥P﹣ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两垂直,则球心到截面ABC的距离为_________.22.(2009•湖南)在半径为13的球面上有A,B,C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则(1)球心到平面ABC的距离为_________;(2)过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为_________.23.正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上,若正三棱锥的侧棱长为2,则正三棱锥的底面边长是_________.24.与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球,则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=_________.截面问题一.填空题(共8小题)1.过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图,则它的侧面三角形的面积是__.2.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为_________(只填写序号).3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是_________.4.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球,过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图,则此三棱锥的侧面积为_________.5.(2012•桂林模拟)如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为_________.6.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切,经过DD1和BB1作一个截面,正确的截面图是_________.7.已知空间中动平面α,β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π,其截面圆心分别为M,N,则线段|MN|的长度最大值为_________.8.球O的球面上有三点A,B,C,且BC=3,∠BAC=30°,过A,B,C三点作球O的截面,球心O到截面的距离为4,则该球的体积为_________.9.(2014•上海二模)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并浸入半径为r的一个实心球,使球与水面恰好相切,试求取出球后水面高为多少?2015年高三数学复习---球的切接问题组参考答案与试题解析一.选择题(共16小题)..)R=).2.(2014•宝鸡三模)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是()D.r=,球的表面积.3.(2014•锦州一模)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为()D它的对角线的长为球的直径:,球的半径为:4.(2014•西藏一模)三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上,且,则该球的体积为.C解:由题意所以球的体积为:5.(2014•临汾模拟)三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上,其中△ABC是正三角形,PA⊥平面ABC,π.=2所求球的体积为:2=326.(2014•沈阳模拟)四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12,点E、F分别为棱AB、AC的中点,,正方体的对角线长为:6=67.(2013•辽宁)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,.C D.所以球的半径为:8.(2013•河池模拟)将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角,得到四面体A﹣BCD,则AC=×=259.(2013•黄梅县模拟)已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦为4,若其中的.C D.=,E==2=3的半径为10.(2013•郑州一模)在三棱锥A﹣BCD中,侧棱AB、AC、AD两两垂直,△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、,则该三棱锥外接球的表面积为()的面积分别为、,,,,AD=∴半径为=611.(2013•河池模拟)一个四面体A﹣BCD中,AC=BD=3,AD=BC=4,AB=CD=5,那么这个四面体的外接球的表面积为()D.=5R=12.(2012•南宁模拟)已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上,且AB=3,BC=2,∠ABC=,则棱锥O .C D.,∴AC==的体积为=13.在正四棱锥S﹣ABCD中,侧面与底面所成角为,则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为()C.,设出正四棱锥的底面边长,求出斜高,侧棱长,求出内切球的半径与解:由于侧面与底面所成角为)R=所以两者的比为:14.已知球O的表面积为20π,SC是球O的直径,A、B两点在球面上,且AB=BC=2,,则三棱锥S﹣.C D的半径为,cosA==215.(2014•安阳一模)如图,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,,将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上,则该球的体积为().D,球的半径为:;所以球的体积为:=16.(2011•琼海一模)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大(柱体体积=.C D.正六棱柱的体积为,则,得极值点二.填空题(共8小题)17.(2014•乌鲁木齐二模)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于20π.易得球半径18.(2014•江西模拟)正四面体ABCD的棱长为4,E为棱BC的中点,过E作其外接球的截面,则截面面积的最小值为4π.R=点的截面到球心的最大距离为,再利用球的截面圆性质可∴正方体的棱长为,解得r=19.(2014•呼伦贝尔二模)设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点,且满足AB⊥AC,AD⊥AC,AB⊥AD,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是8.=AC=20.(2014•河南模拟)已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形,所有侧棱长相等且等于a,若其外接球的半径为R,则等于.外接圆的半径是AO=PO==∴四棱锥的外接球的半径为:R==故答案为:21.(2012•辽宁)已知正三棱锥P﹣ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两垂直,则球心到截面ABC的距离为.的半径为V=S h=PC=××2=22=×=的距离为﹣22.(2009•湖南)在半径为13的球面上有A,B,C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则(1)球心到平面ABC的距离为12;(2)过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为3.OED==323.正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上,若正三棱锥的侧棱长为2,则正三棱锥的底面边长是3.PF=,底面三角形的高为:24.与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球,则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=.EF=ED=×==,R=故答案为:参考答案与试题解析一.填空题(共8小题)1.过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图,则它的侧面三角形的面积是.则正三角形的高为,边长为RR=•R R=2.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为①②③(只填写序号).3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.,故答案为:4.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球,过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图,则此三棱锥的侧面积为.R=SD==×故答案为:5.(2012•桂林模拟)如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为.,π××.6.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切,经过DD1和BB1作一个截面,正确的截面图是(2).7.已知空间中动平面α,β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π,其截面圆心分别为M,N,则线段|MN|的长度最大值为.OM===4的最大距离为:故答案为:8.球O的球面上有三点A,B,C,且BC=3,∠BAC=30°,过A,B,C三点作球O的截面,球心O到截面的距离为4,则该球的体积为.R=求出球2r=R=V=,故答案为:二.解答题(共1小题)9.(2014•上海二模)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并浸入半径为r的一个实心球,使球与水面恰好相切,试求取出球后水面高为多少?AC= ==即圆锥内的水深是。
高考球的外接、内接球问题

途径4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方 体或正方体.
途径1:正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面 都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.
例1、如下图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,DAB 60
.
途径3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方 体或正方体或直棱柱.
例3、在三棱锥中A-BCD中,AB 平面BCD ,CD BC ,
AB=3,BC=4,CD=5, 则三棱锥A-BCD外接球的表面
积
. 50
途径3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方 体或正方体或直棱柱.
.( 1)6
结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.
例2、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该
正六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 9 ,底
面周长为3,则这个球的体积为 4 .
8
3
结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的 中点.
(1)截面图为正方形的内切圆EFGH,得
;
(2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,
如图4作截面图,圆o为正方形EFGH的外接圆,易得
。
(3)正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图5,以对角面AA1
作截面图得,圆O为矩形AA1C1C的外接圆,易得
。
图3
图4
图5
2.棱锥的内切球(分割法)
.
4
3
结论5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共
斜边的中点就是其外接球的球心.
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

C 1
注意:①割补法,② V多面体 3 S全 r内切球
变式训练:一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如 图所示,则截面的可能图形是( )
①
②
③
④
• A .①② B.②④ C.①②③ D.②③④
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变式训练:已知正四面体内接于一个球,某人画出四 个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下,
的动点,当弦 MN 的长度最大时, PM • PN 的取值范围是
.
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球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系?
.r
a
一、 球体的体积与表面积
①
②
二、球与多面体的接、切
定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,
则称这个多面体是这个球的内接多面体,
这个球多是面这体个的外接球
。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,
,即 为该四面体的外接球的球心
A
O
C
所以该外接球的体积为
03
破译规律-特别提
醒
2 例题剖析-针对讲 解
04
举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提 升 1、(2015 海淀二模)已知斜三棱柱的三 视图如图所示,该斜三棱柱的体积为 ______.
4 举一反三-突破提 升
2、(2015 郑州三模) 正三角形ABC的2 边3 长
5 正棱锥的外接球的球心是在其 高上
与球有关的切、接问题(有答案)

与球有关的切、接问题1.球的表面积公式:S =4πR 2;球的体积公式V =43πR 3 2.与球有关的切、接问题中常见的组合: (1)正四面体与球:如图,设正四面体的棱长为a ,内切球的半径为r ,外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ,连接CD ,SE 为正四面体的高,在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切,圆心在高SE 上的圆.因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为O .此时,CO =OS =R ,OE =r ,SE = 23a ,CE =33a ,则有R +r = 23a ,R 2-r 2=|CE |2=a 23,解得R =64a ,r =612a . (2)正方体与球:①正方体的内切球:截面图为正方形EFHG 的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为a ,则|OJ |=r =a 2(r 为内切球半径). ②与正方体各棱相切的球:截面图为正方形EFHG 的外接圆,则|GO |=R =22a . ③正方体的外接球:截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆,则|A 1O |=R ′=32a . (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥A 1-AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合.如图,设AA 1=a ,则R =32a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,则可以补形为一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R 2=a 2+b 2+c 24=l 24(l 为长方体的体对角线长). 角度一:正四面体的内切球1.(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则S 1S 2=________.解析:设正四面体棱长为a ,则正四面体表面积为S 1=4·34·a 2=3a 2,其内切球半径为正四面体高的14,即r =14·63a =612a ,因此内切球表面积为S 2=4πr 2=πa 26,则S 1S 2=3a 2π6a 2=63π. 角度二:直三棱柱的外接球2.(2015·唐山统考)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB =AC ,侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB 1A 1的面积为( )A .2B .1 C. 2 D.22解析:选C 由题意知,球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上,BC 为截面圆的直径,∴∠BAC =90°,△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点,同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中心.设正方形BCC 1B 1的边长为x ,Rt △OMC 1中,OM =x 2,MC 1=x 2,OC 1=R =1(R 为球的半径),∴⎝⎛⎭⎫x 22+⎝⎛⎭⎫x 22=1,即x =2,则AB =AC =1,∴S 矩形ABB 1A 1=2×1= 2.角度三:正方体的外接球3.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形),则该几何体外接球的体积为________.解析:依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球,要求的直径就是正方体的体对角线;∴2R =23(R 为球的半径),∴R =3,∴球的体积V =43πR 3=43π. 答案:43π角度四:四棱锥的外接球4.(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A.81π4 B .16π C .9π D.27π4解析:选A 如图所示,设球半径为R ,底面中心为O ′且球心为O ,∵正四棱锥P -ABCD中AB =2,∴AO ′= 2.∵PO ′=4,∴在Rt △AOO ′中,AO 2=AO ′2+OO ′2,∴R 2=(2)2+(4-R )2,解得R=94,∴该球的表面积为4πR 2=4π×⎝⎛⎭⎫942=81π4,故选A. [类题通法]“切”“接”问题的处理规律1.“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.2.“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.[牛刀小试]1.(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆,那么这个空间几何体的表面积等于( )A .100π B.100π3 C .25π D.25π3解析:选A 易知该几何体为球,其半径为5,则表面积为S =4πR 2=100π.2.(2014·陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A.32π3 B .4π C .2π D.4π3解析:选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r =1212+12+(2)2=1,所以V 球=4π3×13=4π3.故选D. 3.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的底面边长为6时,其高的值为( )A .3 3 B.3 C .2 6 D .2 3解析:选D 设正六棱柱的高为h ,则可得(6)2+h 24=32,解得h =2 3. 4.(2015·山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起,得到四面体A -BCD ,则四面体A -BCD 的外接球的体积为________.解析:设AC 与BD 相交于O ,折起来后仍然有OA =OB =OC =OD ,∴外接球的半径r =32+422=52,从而体积V =4π3×⎝⎛⎭⎫523=125π6. 5.一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O 的球面上,则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________.解析:设等边三角形的边长为2a ,则V 圆锥=13·πa 2·3a =33πa 3;又R 2=a 2+(3a -R )2,所以R =233a ,故 V 球=4π3·⎝⎛⎭⎫233a 3=323π27a 3,则其体积比为932. [高考全国课标卷真题追踪]1.(15课标1理)已知,A B 是球O 的球面上两点,090AOB ∠=,C 为该球面上的动点,若O ABC -三棱锥体积的最大值为36,则球O 的表面积为( C )(A)36π (B)64π (C)144π (D)256π2.(13课标1理)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( A )(A )3cm 3500π (B )3cm 3866π (C )3cm 31372π (D )3cm 32048π 3.(12课标理)已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为( A )(A)26 (B)36 (C)23 (D )224.(12课标文)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 ( B )(A )6π (B )43π (C )46π (D )63π5.(10新课标理)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B )(A) 2a π (B) 273a π (C) 2113a π (D) 25a π 6.(10新课标文)设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B )(A )23a π (B )26a π (C )212a π (D )224a π 7.(07新课标文)已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在AB 上,SO ⊥底面ABC ,2AC r =,则球的体积与三棱锥体积之比是(D)A.π B.2π C.3π D.4π8.(13新课标2文)已知正四棱锥O ABCD -的体积为322,底面边长为3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为24π。
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力•研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_________________ 27—例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体积为_________________ 3届.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为 _________ .14.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为().CA. 16兀B. 20兀C. 24兀D. 32兀3•求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知 8,底面周长为3,则这个球的体积为的半径的常用公式.二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 ' 3,则其外 接球的表面积是 __________________ 护.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外 接球的表面积是 ________ .2故其外接球的表面积S=4「:R =9二.小结:一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分 别为a 、b 、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体, 于是长方体的 体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为R ,该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 解 设正六棱柱的底面边长为x ,咼为h,则有6x =3, 9 3 2U 6 x h,841 x ,2_ h = . 3.二正六棱柱的底面圆的半径 接球的半径R ^-:r 2d 2.体积:小结本题是运用公式R 2 1r = 2 ,球心到底面的距离4兀3VR 3. 3d 2求球的半径的,该公式是求球则有 2R 二、•. a 2 b 2 c 2 .出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。
专题13 球的内切、外接问题(原卷版)

2021届高考理数热点题型大通关专题13球的内切、外接问题1、已知三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上,ABC △和DBC △所在平面互相垂直,AC =,3,AB BC CD ===,则球O 的体积为( )A.4π3 B . C .36π D .32π32、三棱锥的三条侧棱两两垂直,,则该三棱锥的外接球的表面积( )A. 24πB. 18πC. 10πD. 6π3、一正三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球O 的表面上,则球O 的半径为( )A.B. C. D. 34、如图所示,已知四棱锥P ABCD -的高为3,底面ABCD 为正方形,PA PB PC PD ===且AB =则四棱锥P ABCD -外接球的半径为( )A.32 B .3 C D .25、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为( )A .4π3BCD .π66、平面四边形ABCD 中,1,AB AD CD BD BD CD ===⊥,将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -,使平面'A BD ⊥平面BCD ,若四面体'A BCD -顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )B.3πC.3D.2π7、设,,,A B C D 是半径为6.5的球面上的四点,ABC △的三边长依次为3,4,5,则四面体ABCD 的体积的最大值为( )A.26B.25C.18D.138、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )A .16πB .20πC .24πD .32π9、已知长方体1111ABCD A B G D -,内接于半球O ,且底面ABCD 落在半球的底面上,底面1111A B C D 的四个顶点落在半球面上.若半球的半径为3,AB BC =,则该长方体体积的最大值为( )A. B. C.48 D.7210、某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为( )A.3π8B.3π2 11、已知A B C D ,,,是同一球面上的四个点,其中ABC △是正三角形,AD ⊥平面ABC ,212AD AB ==,则该球的表面积为( )A. B.96π C.192π D.48π12、已知矩形.,1,ABCD AB AD E =为AD 的中点.现分别沿,BE CE 将,ABE DCE △△翻折,使点,A D 重合,记为点P 则几何体P BCE -外接球的表面积为( )A.10πB.5πC.5π2 13、设,,,A B C D 是半径为6.5的球面上的四点,ABC △的三边长依次为3,4,5,则四面体ABCD 体积的最大值为( )A.26B.25C.18D.1314、已知三棱锥P ABC -中,90,PAB PAC BAC ∠=∠=∠=°1,2,PA AB AC ===,M N 分别为,PB PC 的中点,则直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为( )D.15、已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上,SD ⊥平面,ABCD 底面ABCD 是等腰梯形,//AD CD 且满足222,AB AD DC ===且π,3DAB SC ∠=则球O 的表面积是( ) A.5π B.4π C.3π D.2π。
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一.方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题:(1)多面体外接球半径的求法,当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时,可构造长方体或正方体. (2)与球的外切问题,解答时首先要找准切点,可通过作截面来解决. (3)球自身的对称性与多面体的对称性;二.解题策略类型一 柱体与球【例1】(2020·河南高三(理))已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208,118AB BC AA ++=,则该长方体的外接球的表面积为( ) A .116π B .106πC .56πD .53π【答案】A 【解析】【分析】由题意得出11118104AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩,由这两个等式计算出2221AB BC AA ++,可求出长方体外接球的半径,再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意,118AB BC AA ++=,11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=,所以,()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=,故外接球半径r ==,因此,所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==.故选:A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算,解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径. 【举一反三】1.(2020·2,若与球相关的外接与内切问题该棱柱的顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A .73π B .113π C .5π D .8π【答案】D【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱,上下底面中心连线的中点就是球心,如图,则其外接球的半径22221123222sin 60R OB OO BO ⎛⎫ ⎪⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪︒⎝⎭⎝⎭, 外接球的表面积428S ππ=⨯=.故选:D【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上,确定球心,用球心、一底面的外接圆的圆心,一顶点构成一个直角三角形,用勾股定理得关于外接球半径的关系式,可球的半径. 2.(2020·安徽高三(理))已知一个正方体的各顶点都在同一球面上,现用一个平面去截这个球和正方体,得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形,若此正三角形的边长为a ,则这个球的表面积为( ). A .234a π B .23a π C .26a πD .232a π【答案】D【解析】由已知作出截面图形如图1,可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长,正方体与其外接球的位置关系如图2所示,可知外接球的直径等于正方体的体对角线长,设正方体的棱长为m ,外接球的半径为R ,则2a m =,23R m =,所以64R a =,所以外接球的表面积为222634442a S R a πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭, 故选:D .【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力,分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键,3.(2020·河南高三(理))有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计),底面直径为20cm ,高度为100cm ,现往里面装直径为10cm 的球,在能盖住盖子的情况下,最多能装( ) (附:2 1.414,3 1.732,5 2.236≈≈≈) A .22个 B .24个C .26个D .28个【答案】C【解析】由题意,若要装更多的球,需要让球和铁皮桶侧面相切,且相邻四个球两两相切, 这样,相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体,易求正四面体相对棱的距离为52cm ,每装两个球称为“一层”,这样装n 层球, 则最上层球面上的点距离桶底最远为()()10521n +-cm ,若想要盖上盖子,则需要满足()10521100n +-≤,解得19213.726n ≤+≈, 所以最多可以装13层球,即最多可以装26个球.故选:C 类型二 锥体与球【例2】5.已知球O 的半径为102,以球心O 为中心的正四面体Γ的各条棱均在球O 的外部,若球O 的球面被Γ的四个面截得的曲线的长度之和为8π,则正四面体Γ的体积为_________. 【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题 【答案】182【解析】由题知,正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆,每个圆的周长为2π,半径为1,故球心O 到正四面体各面的距离为2106122⎛⎫-=⎪⎝⎭,设正四面体棱长为a ,如图所示,则斜高332AE EF a ==,体高63=AF a ,在Rt AEF 和R t AGO 中,13OG EF AO AE ==,即61236632a =-,∴6a =,∴231362618234312V a a =⋅⋅=⋅=. 【举一反三】1.(2020四川省德阳一诊)正四面体ABCD 的体积为,则正四面体ABCD 的外接球的体积为______. 【答案】【解析】如图,设正四面体ABCD 的棱长为,过A 作AD ⊥BC , 设等边三角形ABC 的中心为O ,则,,,即.再设正四面体ABCD 的外接球球心为G ,连接GA , 则,即.∴正四面体ABCD 的外接球的体积为.故答案为:.2.(2020·宁夏育才中学)《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h 的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h 的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 【答案】288π【解析】如图所示,根据圆柱与圆锥和球的对称性知,其外接球的直径是23R h =,设圆柱的底面圆半径为r ,母线长为l h =, 则232r ππ=,解得42r =222(2)(3)l r h +=, 222(82)9h h ∴+=,解得4h =,∴外接球的半径为3462R =⨯=,∴外接球的体积为3344628833R V πππ⨯===.3.(2020·贵阳高三(理))在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为4的正方形,PAD ∆是一个正三角形,若平面PAD ⊥平面ABCD ,则该四棱锥的外接球的表面积为( ) A .143πB .283πC .563πD .1123π【答案】D 【解析】【分析】过P 作PF AD ⊥,交AD 于F ,取BC 的中点G ,连接,PG FG ,取PF 的三等分点H (2PH HF =),取GF 的中点E ,在平面PFG 过,E F 分别作,GF PF 的垂线,交于点O ,可证O 为外接球的球心,利用解直角三角形可计算PO .【详解】如图,过P 作PF AD ⊥,交AD 于F ,取BC 的中点G ,连接,PG FG ,在PF 的三等分点H (2PH HF =),取GF 的中点E ,在平面PFG 过,E F 分别作,GF PF 的垂线,交于点O .因为PAD ∆为等边三角形,AF FD =,所以PF ⊥AD . 因为平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD平面ABCD AD =,PF ⊂平面PAD ,所以PF ⊥平面ABCD ,因GF ⊂平面ABCD ,故PF GF ⊥. 又因为四边形ABCD 为正方形,而,G F 为,BC AD 的中点,故FG CD ,故GF AD ⊥,因ADPF F =,故PF ⊥平面PAD .在Rt PGF ∆中,因,OE GF PF GF ⊥⊥,故OE PF ,故OE ⊥平面ABCD ,同理OH ⊥平面PAD .因E 为正方形ABCD 的中心,故球心在直线OE 上,因H 为PAD ∆的中心,故球心在直线OH 上,故O 为球心,OP 为球的半径. 在Rt PGF ∆中,2234343323PH PF ==⨯⨯=,2OH EF ==, 故16282214333OP =+==,所以球的表面积为28112433ππ⨯=. 类型三 构造法(补形法)【例3】已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上,PA ⊥底面ABC ,AB AC ⊥,6AB =,8AC =,D 是线段AB 上一点,且2AD DB =.过点D 作球O 的截面,若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π,则球O 的表面积为( ) A .128π B .132πC .144πD .156π【答案】B【解析】PA ⊥平面ABC ,AB AC ⊥,将三棱锥P ABC -补成长方体PQMN ABEC -,如下图所示:设AE BC F =,连接OF 、DF 、OD ,可知点O 为PE 的中点,因为四边形ABEC 为矩形,AE BC F =,则F 为AE 的中点,所以,//OF PA 且12OF PA =,设2PA x =,且2210AE AB BE =+=,222225PE PA AE x ∴+=+所以,球O 的半径为21252R PE x ==+, 在Rt ABE △中,2ABE π∠=,6AB =,10AE =,3cos 5AB BAE AE ∠==,在ADF 中,243AD AB ==,5AF =, 由余弦定理可得222cos 17DF AD AF AD AF BAE =+-⋅∠=,PA ⊥平面ABCD ,OF ∴⊥平面ABCD ,DF ⊂平面ABCD ,则OF DF ⊥,12OF PA x ==,22217OD OF DF x ∴=+=+, 设过点D 的球O 的截面圆的半径为r ,设球心O 到截面圆的距离为d ,设OD 与截面圆所在平面所成的角为θ,则22sin d OD R r θ==-.当0θ=时,即截面圆过球心O 时,d 取最小值,此时r 取最大值,即2max 25r R x ==+;当2πθ=时,即OD 与截面圆所在平面垂直时,d 取最大值,即2max 17d OD x ==+,此时,r 取最小值,即()22min max 22r R d =-=. 由题意可得()()()222max min 1725r r x πππ⎡⎤-=+=⎣⎦,0x,解得22x =.所以,33R =,因此,球O 的表面积为24132S R ππ==.故选:B.【举一反三】1.(2020宁夏石嘴山模拟)三棱锥中,侧棱与底面垂直,,,且,则三棱锥的外接球的表面积等于 .【答案】【解析】把三棱锥,放到长方体里,如下图:,因此长方体的外接球的直径为,所以半径,则三棱锥的外接球的表面积为.2.(2020菏泽高三模拟)已知直三棱柱的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和,此三棱柱的高为,则该三棱柱的外接球的体积为A.B.C.D.【答案】C【解析】如图所示,将直三棱柱补充为长方体,则该长方体的体对角线为,设长方体的外接球的半径为,则,,所以该长方体的外接球的体积,故选C.3.(2020·贵州高三月考(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.43B.53C.83D.163【答案】A【解析】【分析】如图所示画出几何体,再计算体积得到答案.【详解】由三视图知该几何体是一个四棱锥,可将该几何体放在一个正方体内,如图所示:在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,取棱11,,,,B C DA AB BC CD 的中点分别为,,,,E M N P Q ,则该几何体为四棱锥E MNPQ -,其体积为()2142233⨯⨯=.故选:A 类型四 与球体相关的最值问题【例4】(2020·福建高三期末(理))在外接球半径为4的正三棱锥中,体积最大的正三棱锥的高h =( ) A .143B .134C .72D .163【答案】D 【解析】【分析】设正三棱锥底面的边长为a ,高为h ,由勾股定理可得22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,则22183h h a -=,三棱锥的体积()23384V h h =-,对其求导,分析其单调性与最值即可得解. 【详解】解:设正三棱锥底面的边长为a ,高为h ,根据图形可知22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,则22180,3h h a -=>08h ∴<<. 又正三棱锥的体积21334V a h =⨯()2384h h h =-()23384h h =-,则()231634V h h '=-, 令0V '=,则163h =或0h =(舍去), ∴函数()23384V h h =-在160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在16,83⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,∴当163h =时,V 取得最大值,故选:D. 【点睛】本题考查球与多面体的最值问题,常常由几何体的体积公式、借助几何性质,不等式、导数等进行解决,对考生的综合应用,空间想象能力及运算求解能力要求较高. 【举一反三】1.(2020·广东高三(理))我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形,且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵,AC BC ⊥,若12AA AB ==,当阳马11B A ACC -体积最大时,则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为( )A .22πB .823C .23D .2π【答案】B【解析】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b ==,则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=,当且仅当2AC BC ==时取得最大值.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形,所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ,故半径221111222OB A B AA AB ==⨯+=.所以外接球的体积为()34π82π233⋅=. 特别说明:由于BC ⊥平面11ACC A ,1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形,所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值,即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值,堑堵111ABC A B C -外接球保持不变,所以可以直接由直径1A B 的长,计算出外接球的半径,进而求得外接球的体积.故选:B2.(2020·遵义市南白中学高三期末)已知A ,B ,C ,D 四点在同一个球的球面上,6AB BC ==,90ABC ∠=︒,若四面体ABCD 体积的最大值为3,则这个球的表面积为( )A .4πB .8πC .16πD .32π【答案】C 【解析】根据6AB BC ==可得直角三角形ABC ∆的面积为3,其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上,设小圆的圆心为Q , 由于底面积ABC S ∆不变,高最大时体积最大,所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大,最大值为为133ABC S DQ ∆⨯=,即133,33DQ DQ ⨯⨯=∴=,如图, 设球心为O ,半径为R ,则在直角AQO ∆中,即222(3)(3,)2R R R =∴+=-, 则这个球的表面积为24216S ππ=⨯=,故选C.3.(2020·河南高三(理))菱形ABCD 的边长为2,∠ABC =60°,沿对角线AC 将三角形ACD 折起,当三棱锥D -ABC 体积最大时,其外接球表面积为( ) A .153π B .2153π C .209π D .203π 【答案】D 【解析】【分析】当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大,如图所示,利用勾股定理得到2223(3)()3R OG =-+和22223()3R OG =+,计算得到答案. 【详解】易知:当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大. 如图所示:E 为AC 中点,连接,DE BE ,外接球球心O 的投影为G 是ABC ∆中心,在BE 上 3BE =,3DE =,33EG =,233BG =设半径为R ,则2223(3)()3R OG =-+,22223()3R OG =+ 解得:153R =,表面积22043S R ππ== 故选:D三.强化训练一、选择题1.(2020·广西高三期末)棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥E BCD -的表面积为( ) A .2334a + B .2336a + C .2336a - D .2334a - 【答案】A【解析】由题意,多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球, 由题意可知AE ⊥面BCD 交于F ,连接CF ,则233323CF a a =⋅= 且其外接球的直径为AE ,易求正四面体ABCD 的高为223633a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎝⎭-. 设外接球的半径为R ,由2226333R a R a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=⎭-⎝-得64R a =. 设正三棱锥E BCD -的高为h ,因为6623AE a a h ==+,所以66h a =. 因为底面BCD ∆的边长为a ,所以2222EB EC ED CF h a ===+=, 则正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两垂直.即正三棱锥E BCD -的表面积222121333322224S a a a ⎛⎫+=⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭,故选:A .2、(2020辽宁省师范大学附属中学高三)在三棱锥中,,则三棱锥外接球的表面积为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】如图,把三棱锥补形为长方体,设长方体的长、宽、高分别为,则,∴三棱锥外接球的半径∴三棱锥外接球的表面积为.故选:C.3.(2020·安徽高三期末)如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形,而且每个顶点都引出相同数目的棱,那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图,并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同,则它们的棱长之比为()A23B.223C.22D.223【答案】Ba b c R【解析】设正四面体、正方体、正八面体的棱长以及外接球半径分别为,,,则2223,23,22R a R b R c =⨯==, 即222,,2::2:2:333R R a b c R a b c ===∴=故选:B 4.(2020·北京人大附中高三)如图,在四棱锥S ABCD -中,四边形ABCD 为矩形,23AB =,2AD =,120ASB ∠=︒,SA AD ⊥,则四棱锥外接球的表面积为( )A .16πB .20πC .80πD .100π 【答案】B【解析】由四边形ABCD 为矩形,得AB AD ⊥,又SA AD ⊥,且SA AB A ⋂=,∴AD ⊥平面SAB ,则平面SAB ⊥平面ABCD ,设三角形SAB 的外心为G ,则23322sin 2sin12032AB GA ASB ====∠︒. 过G 作GO ⊥底面SAB ,且1GO =,则22215OS =+=.即四棱锥外接球的半径为5. ∴四棱锥外接球的表面积为24(5)20S ππ=⨯=.故选B .5.(2020河南省郑州市一中高三)在三棱锥中,平面,M 是线段上一动点,线段长度最小值为,则三棱锥的外接球的表面积是( ) A . B .C .D .【答案】C【解析】解:如图所示:三棱锥中,平面,M是线段上一动点,线段长度最小值为,则:当时,线段达到最小值,由于:平面,所以:,解得:,所以:,则:,由于:,所以:则:为等腰三角形.所以,在中,设外接圆的直径为,则:,所以外接球的半径,则:,故选:C.6、(2020河南省天一大联考)某多面体的三视图如图所示,其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形,侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形,俯视图为一矩形,则该多面体的外接球的表面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可得,该几何体为一个三棱锥,放在长、宽、高分别为2,1,2的长方体中,此三棱锥和长方体的外接球是同一个,长方体的外接球的球心在体对角线的中点处,易得其外接球的直径为,从而外接球的表面积为.故答案为:C.7.(2020·江西高三期末(理))如图,三棱锥P ABC -的体积为24,又90PBC ABC ∠=∠=︒,3BC =,4AB =,410PB =,且二面角P BC A --为锐角,则该三棱锥的外接球的表面积为( )A .169πB .144πC .185πD .80π【答案】A【解析】因90PBC ABC ∠=∠=︒,所以BC ⊥平面PAB ,且PBA ∠为二面角P BC A --的平面角, 又3BC =,4AB =,410PB =,由勾股定理可得13PC =,5AC =, 因为1sin 8102PAB S PB AB PBA PBA ∆⋅=⋅∠=∠,所以三棱锥的体积1181032433PAB V S BC PBA ∆=⋅=⨯∠⨯=,解得310sin PBA ∠=,又PBA ∠为锐角,所以10cos 10PBA ∠=, 在PAB ∆中,由余弦定理得2101601624410144PA =+-⨯⨯=, 即12PA =,则222PB PA AB =+,故PA AB ⊥, 由BC ⊥平面PAB 得BC PA ⊥,故PA ⊥平面ABC ,即PA AC ⊥,取PC 中点O , 在直角PAC ∆和直角PBC ∆中,易得OP OC OA OB ===,故O 为外接球球心, 外接圆半径11322R PC ==,故外接球的表面积24169S R ππ==.故选:A. 8.(2019·湖南长沙一中高三)在如图所示的空间几何体中,下面的长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长4AB AD ==,12AA =,上面的四棱锥1111P A B C D -中11D E C E =,1111PE A B C D ⊥平面,1PE =,则过五点A 、B 、C 、D 、P 的外接球的表面积为( )A .311π9B .311π18C .313π9D .313π18【答案】C【解析】问题转化为求四棱锥P ABCD -的外接球的表面积.4913PC =+=,∴3sin 13PCD ∠=.所以PCD ∆外接圆的半径为131336213r ==⨯,由于PE ⊥平面1111D C B A ,则PE ⊥平面ABCD ,PE ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面ABCD , 所以外接球的222169313243636R r =+=+=.所以2313π4π9S R ==球表面积.9.三棱锥P —ABC 中,底面ABC 满足BA=BC , ,点P 在底面ABC 的射影为AC 的中点,且该三棱锥的体积为,当其外接球的表面积最小时,P 到底面ABC 的距离为( ) A .3 B .C .D .【答案】B【解析】设外接球半径为,P 到底面ABC 的距离为,,则,因为,所以, 因为,所以当时,,当时,,因此当时,取最小值,外接球的表面积取最小值,选B.10.(2019·河北高三月考)在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BD ,∠BCD =30°,2246AB BD +=,若将△ABD 沿BD 折成直二面角A -BD -C ,则三棱锥A-BDC 外接球的表面积是( ) A .4π B .5πC .6πD .8π【答案】C【解析】取,AD BD 中点,E F ,设BCD ∆的外心为M ,连,,MB MF EF , 则01,30,22MF BD BMF DMB BCD BM BF BD ⊥∠=∠=∠=∴== 分别过,E M 作,MF EF 的平行线,交于O 点, 即//,//OE MF OM EF ,,BD AB E ⊥∴为ABD ∆的外心,平面ABD ⊥平面BCD ,AB ⊥平面BCD ,//,EF AB EF ∴⊥平面BCD ,OM ∴⊥平面BCD ,同理OE ⊥平面ABD ,,E M 分别为ABD ∆,BCD ∆外心,O ∴为三棱锥的外接球的球心,OB 为其半径, 22222221342OB BM OM BD EF BD AB =+=+=+=, 246S OB ππ=⨯=球.故选:C11.(2020·梅河口市第五中学高三期末(理))设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上,PAB ∆是面积为3的等边三角形,45ACB ∠=︒,则当三棱锥P ABC -的体积最大时,球O 的表面积为( ) A .283π B .10πC .323π D .12π【答案】A【解析】如图,由题意得2334AB =,解得2AB =.记,,AB c BC a AC b ===, 12sin 24ABC S ab C ab ∆==,由余弦定理2222cos c a b ab C =+-,得224222a b ab ab ab =+-≥-,42(22)22ab ≤=+-,当且仅当a b =时取等号.所以CA CB =且平面PAB ⊥底面ABC 时,三棱锥P ABC -的体积最大.分别过PAB ∆和ABC ∆的外心作对应三角形所在平面的垂线,垂线的交点即球心O , 设PAB ∆和ABC ∆的外接圆半径分别为1r ,2r ,球O 的半径为R ,则123r =,21222sin 45r =⨯=︒.故222211172233R r r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭, 球O 的表面积为22843R ππ=.故选:A.12.(2020四川省成都外国语学校模拟)已知正方形ABCD 的边长为4,E ,F 分别是BC ,CD 的中点,沿AE ,EF ,AF 折成一个三棱锥P-AEF (使B ,C ,D 重合于P ),三棱锥P-AEF 的外接球表面积为( )A .B .C .D .【答案】C 【解析】如图,由题意可得,三棱锥P-AEF 的三条侧棱PA ,PE ,PF 两两互相垂直, 且,,把三棱锥P-AEF 补形为长方体,则长方体的体对角线长为, 则三棱锥P-AEF 的外接球的半径为,外接球的表面积为.故选:C .13.已知球O 夹在一个二面角l αβ--之间,与两个半平面分别相切于点,A B .若2AB =,球心O 到该二面角的棱l 的距离为2,则球O 的表面积为( ) A .8πB .6πC .4πD .2π【来源】江西省萍乡市2021届高三二模考试数学(文)试题 【答案】A【解析】过,,O A B 三点作球的截面,如图:设该截面与棱l 交于D ,则OA l ⊥,OB l ⊥,又OA OB O =,所以l ⊥平面AOB ,所以OD l ⊥,所以||2OD =,依题意得,OA AD OB BD ⊥⊥,所以,,,O A D B 四点共圆,且OD 为该圆的直径,因为||2||AB OD ==,所以AB 也是该圆的直径,所以四边形OADB 的对角线AB 与OD 的长度相等且互相平分,所以四边形OADB 为矩形,又||||OA OB =,所以该矩形为正方形,所以2||||22OA AB ==,即圆O 的半径为2,所以圆O 的表面积为24(2)8ππ⨯=. 故选:A14.已知点,,A B C 在半径为2的球面上,满足1AB AC ==,3BC =,若S 是球面上任意一点,则三棱锥S ABC -体积的最大值为( ) A .32312+ B .3236+ C .23312+ D .3312+ 【答案】A【解析】设ABC 外接圆圆心为O ',三棱锥S ABC -外接球的球心为O ,1AB AC ==,设D 为BC 中点,连AD ,如图,则AD BC ⊥,且O '在AD 上,221()22BC AD AB =-=, 设ABC 外接圆半径为r ,222231()()()242BC r AD r r =+-=+-,解得1r =, 22||23OO r '∴=-=要使S ABC -体积的最大,需S 到平面ABC 距离最大, 即S 为O O '32,所以三棱锥S ABC -体积的最大值为11112)2)3322ABCS ⨯=⨯⨯⨯=故选:A15.已知半球O 与圆台OO '有公共的底面,圆台上底面圆周在半球面上,半球的半径为1,则圆台侧面积取最大值时,圆台母线与底面所成角的余弦值为( )A B C .6D 【答案】D【解析】如图1所示,设BC x =,CO r '=,作CF AB ⊥于点F ,延长OO '交球面于点E ,则1BF r =-,OO CF '===2得CO O D ''⋅=()()11O E O H OO OO ''''⋅=+⋅-,即((211r =+⋅,解得212x r =-,则圆台侧面积(2π1102x S x x ⎛⎫=⋅+-⋅<< ⎪⎝⎭,则'2322S x ππ=-,令'0S =,则3x =或x =,当0x <<时,'0S >x <<'0S <,所以函数2π112x S x ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪⎝⎭在⎛ ⎝⎭上递增,在⎝上递减,所以当3x =时,S 取得最大值.当3x BC ==时,21123x r =-=,则213BF r =-=.在轴截面中,OBC ∠为圆台母线与底面所成的角,在Rt CFB △中可得cos 3BF OBC BC ∠==故选:D .16.(2020·重庆八中高三)圆柱的侧面展开图是一个面积为216π的正方形,该圆柱内有一个体积为V 的球,则V 的最大值为 【答案】323π【解析】设圆柱的底面直径为2r ,高为l ,则222π16πr l l =⎧⎨=⎩,解得24πr l =⎧⎨=⎩.故圆柱的底面直径为4,高为4π,所以圆柱内最大球的直径为4,半径为2,其体积为34π32π233⨯=. 17.(2020·江西高三)半正多面体(semiregular solid )亦称“阿基米德多面体”,如图所示,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的边长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为2,则该二十四等边体外接球的表面积为【答案】8π【解析】2,侧棱长为2的正四棱柱的外接球,2222(2)(2)(2)2R ∴=++,2R ∴,∴该二十四等边体的外接球的表面积24πS R =24π(2)8π=⨯=.18.(2020·福建高三期末(理))在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为1AA ,BC 的中点,点M 在棱11B C 上,11114B M BC =,若平面FEM 交11A B 于点N ,四棱锥11N BDD B -的五个顶点都在球O 的球面上,则球O 半径为 【答案】2293【解析】如图1,2,,B M F 三点共线,连结22,B E B MF ∈从而2B ∈平面FEM ,则2B E 与11A B 的交点即为点N ,又12Rt B B N ∆与1Rt A EN ∆相似,所以1112112A E A NB B NB ==; 如图2,设11B D N ∆的外接圆圆心为1O ,半径为r ,球半径为R ,在11B D N ∆中,111445,103NB D D N ︒∠==,由正弦定理得453r =,所以1853D P =,在1Rt DD P ∆中,解得4293DP =,即42293R =,所以所求的球的半径为2293.19.(2020·黑龙江高三(理))设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点,在ABC 中,6BC =,60BAC ∠=︒,则三棱锥D ABC -体积的最大值为【答案】183【解析】ABC 中,6BC =,60BAC ∠=︒,则643223sin sin 60a r r A ===∴=︒,22max 6h R r R =-=,222222cos 36a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥∴≤ ,1sin 932S bc A =≤ 当6a b c ===时等号成立,此时11833V Sh ==20.(2020·河北承德第一中学高三)正三棱锥S -ABC 的外接球半径为2,底边长AB =3,则此棱锥的体积为【答案】934或334【解析】设正三棱锥的高为h ,球心在正三棱锥的高所在的直线上,H 为底面正三棱锥的中心因为底面边长AB=3,所以2222333332AH AD ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭当顶点S 与球心在底面ABC 的同侧时,如下图此时有222AH OH OA += ,即()()222322h +-=,可解得h=3因而棱柱的体积113393333224S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=当顶点S 与球心在底面ABC 的异侧时,如下图有222AH OH OA +=,即()222322h +-=,可解得h=1所以113333313224S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=9333421.(2020·江西高三(理))已知P,A,B,C 是半径为2的球面上的点,PA=PB=PC=2,90ABC ∠=︒,点B 在AC 上的射影为D ,则三棱锥P ABD -体积的最大值为 【答案】338【解析】如下图,由题意,2PA PB PC ===,90ABC ∠=︒,取AC 的中点为G ,则G 为三角形ABC 的外心,且为P 在平面ABC 上的射影,所以球心在PG 的延长线上,设PG h =,则2OG h =-,所以2222OB OG PB PG -=-,即22424h h --=-,所以1h =. 故G CG 3A ==,过B 作BD AC ⊥于D ,设AD x =(023x <<),则23CD x =-,设(03)BD m m =<≤,则~ABD BCD ,故23m xx m-=, 所以()223m x x =-,则()23m x x =-,所以ABD 的面积()3112322S xm x x ==-,令()()323f x x x =-,则()2'634f x x x =-(),因为20x >,所以当3032x <<时,()'0f x >,即()f x 此时单调递增;当33232x ≤<时,()'0f x ≤,此时()f x 单调递减.所以当332x =时,()f x 取到最大值为24316,即ABD 的面积最大值为1243932168=.当ABD 的面积最大时,三棱锥P ABD -体积取得最大值为19333388⨯=.22.已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:3AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为__________.【来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试数学(文)试题 【答案】163π【解析】如下图所示,设AH x =,可得出3HB x =,则球O 的直径为4AB x =,球O 的半径为2x ,设截面圆H 的半径为r ,可得2r ππ=,1r ∴=,由勾股定理可得()2222OH r x +=,即()22214x AH x -+=,即2214x x +=,33x ∴=,所以球O 的半径为2323x =,则球O 的表面积为22316433S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 23.如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2PA AB ==,22AC =,M 是BC 的中点,则过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最小值为___【答案】π 【解析】PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,将三棱锥P ABC -补成长方体ABCD PEFN -,则三棱锥P ABC -的外接球直径为22222223R PC PA AB AD PA AC ==++=+=,所以,3R =,设球心为点O ,则O 为PC 的中点,连接OM ,O 、M 分别为PC 、BC 的中点,则//OM PB ,且2211222OM PB PA AB ==+=, 设过点M 的平面为α,设球心O 到平面α的距离为d . ①当OM α⊥时,2d OM ==;②当OM 不与平面α垂直时,2d OM <=. 综上,2d OM ≤=.设过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面圆的半径为r ,则221r R d =-≥,因此,所求截面圆的面积的最小值为2r ππ=.24.若正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为8,M 为侧棱PA 的中点,则四棱锥M ABCD -外接球的表面积为___________.【来源】山西省运城市2021届高三上学期期末数学(文)试题 【答案】132π【解析】在正四棱锥P ABCD -中M 为侧楼PA 中点,∴四棱锥M ABCD -外接球即为棱台MNEF ABCD -的外接球,如图,四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为8,1214,42AB O N O M ===∴ 212242AO MO ==∴设球心为O ,则图中12,OO A OMO △△均为直角三角形, 设1OO h =,222(42)OA h ∴=+,222(22)(4)OM h =++,A , M 都在球面上,222O O M R A =∴=,解得21,33h R =∴=,24132S R ππ∴==球25.已知P 为球O 球面上一点,点M 满足2OM MP =,过点M 与OP 成30的平面截球O ,截面的面积为16π,则球O 的表面积为________.【来源】广西钦州市2021届高三第二次模拟考试数学(理)试题 【答案】72π 【解析】如图所示:设截面圆心为1O , 依题意得130OMO ∠=, 设1OO h =,则2OM h =, 又2OM MP =,所以3OP h =,即球的半径为3h ,所以3ON h =,又截面的面积为16π,所以()2116O N ππ=,解得14O N =,在1Rt OO N 中,()22316h h =+, 解得2h =,所以球的半径为32, 所以球的表面积是()243272S ππ==,故答案为: 72π 26.如图是数学家GeminadDandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型):在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥侧面、截面相切,设图中球1O 和球2O 的半径分别为1和3,128O O =,截面分别与球1O 和球2O 切于点E 和F ,则此椭圆的长轴长为___________.【来源】江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高三上学期期末数学试题【答案】15【解析】如图,圆锥面与其内切球12,O O 分别相切与,B A ,连接12,O B O A ,则12,O B AB O A AB ⊥⊥,过1O 作12O D O A 于D ,连接12,,O F O E EF 交12O O 于点C ,设圆锥母线与轴的夹角为α,截面与轴的夹角为β,在Rt △12O O D 中,2312DO ,22182215O D11221515cos 84O D O O α===128O O = , 218CO O C =-,△2EO C △1FO C ,11218O C O C EO O F -= 解得12O C =,26O C = 222211213CF O C FO ∴=-=-= ,即13cos 2CFO C , 所以椭圆离心率为cos 25cos 5c e aβα=== 在△2EO C 中223cos cos 2EC ECO O C β=∠== 解得33EC =,432EF c ==2325155a a =⇒= 2215a ∴=故答案为:21527.在长方体1111ABCD A B C D -中,13AB =,5AD =,112AA =,过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内,则在平面α变化的过程中,这两个球的半径之和的最大值为___________.【来源】江苏省六校2021届高三下学期第四次适应性联考数学试题 【答案】16538【解析】如图所示:平面ABMN 将长方体分成两部分,MN 有可能在平面11CDD C 上或平面1111A D C B 上,根据对称性知,两球半径和的最大值是相同的,故仅考虑在平面11CDD C 上的情况,延长11B C 与BM 交于点P ,作1O Q BC ⊥于Q 点,设1CBP BPB α∠=∠=,圆1O 对应的半径为1r ,根据三角形内切圆的性质, 在1Rt O QB 中,12QBO α∠=,15BQ BC CQ r =-=-,111tan 25O Q r BQ r α==-, 则15tan5251tan 1tan 22r ααα==-++,又当BP 与1BC 重合时,1r 取得最大值,由内切圆等面积法求得1512251213r ⨯≤=++,则2tan 23α≤ 设圆2O 对应的半径为2r ,同理可得266tan2r α=-, 又252r ≤,解得7tan 212α≥. 故1255566tan 176(1tan )221tan 1tan 22r r αααα+=-+-=--+++,72tan 1223α≤≤, 设1tan 2x α=+,则195[,]123x ∈,()5176f x x x=--, 由对号函数性质易知195[,]123x ∈,函数()f x 单减,则19519165()()1761912123812f x f ≤=--⨯=,即最大值为16538 故答案为:16538 28.设A B C D ,,,是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D ABC -体积的最大值为___________.【来源】江苏省南京市秦淮中学2021届高三下学期期初学情调研数学试题【答案】183【解析】ABC 为等边三角形且其面积为93,则23934ABC SAB ==,6AB ∴=,如图所示,设点M 为ABC 的重心,E 为AC 中点,当点D 在平面ABC 上的射影为M 时,三棱锥D ABC -的体积最大,此时,4OD OB R ===, 点M 为三角形ABC 的重心,2233BM BE ∴==, Rt OMB ∴中,有222OM OB BM =-=,426DM OD OM ∴=+=+=,所以三棱锥D ABC -体积的最大值19361833D ABC V -=⨯=29.已知四面体ABCD 的棱长均为6,,EF 分别为棱,BC BD 上靠近点B 的三等分点,过,,A E F 三点的平面与四面体ABCD 的外接球O 的球面相交,得圆'O ,则球O 的半径为___________,圆'O 的面积为__________.【来源】河南省九师联盟2021届高三下学期3月联考理科数学试题【答案】3 8π【解析】。