高中数学变化率问题导数的概念(老师版)

变化率的“视觉化”， %越大，曲线y = f(x)在区间［X 1, X 2］上越“陡峭”，反之亦然 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 则

fx2

― fx1

X 2 — X 1

知识点二瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度

.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数

s = s(t)描述，设 A 为时间改

变量，在t o + A t 这段时间内，物体的位移 (即位置)改变量是A s = s(t o ^ At) — s(t 0)，那么位移改变量 A s 与时间改变量

A t 的比就是这段时间内物体的平均速度

s s t o + A t — s t o

V ，即 V = A t = A t

1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念

［学习目标］1•理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念 .2.掌握函数平均变化率的求法 3掌握导数的概念，会用导 数的定义求简单函数在某点处的导数 . 知识梳理

自主学习

知识点一函数的平均变化率 1•平均变化率的概念 设函数y = f(x), X 1, X 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子

f X2 — f X1我们把这个式子称 X 2 — X 1 为函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率，习惯上用 A x 表示X 2 — X 1，即A x = X 2— X 1，可把A x 看作是相对于X 1的一个 “增量”，可用 X 1+ A x 代替X 2；类似地，A y = f(X 2)— f(X 1).于是，平均变化率可以表示为

A y A

2•求平均变化率 求函数y = f(x)在［*, x 2］上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量 A x = X 2— X 1 ； ⑵求函数值的增量 A y = f(x 2)- f(x 1); ⑶求平均变化率A x X 2 — X 1 A y f X 2 — f X 1 f X 1 + A x — f X 1 A x 思考 (1)如何正确理解 A x , A y? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案(1) A 是一个整体符号，而不是 △与X 相乘，其值可取正值、负值，但 时0 ；

A y 也是一个整体符号，若 A x

=X 1 — x 2，贝U A y = f(X 1)— f(X 2)，而不是 A y = f(X 2)— f(X 1), A y 可为正数、负数，亦可取

零

(2)如图所示: y = f(x)在区间［X 1, X 2］上的平均变化率 “数量化”，曲线陡峭程度是平均 y = f(x)图象上有两点 A(X 1, f(X 1)) , B(X 2, f(X 2)),

物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t o 的速度，即t o 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在t o 时

刻的瞬时速度 v 就是运动物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均变化率 s

+弓+_

在A t T 0时的极限，即v = lim

A s

s t o + A t — s t o 一 一

△t = ym o 石 •瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率 .

思考(1)瞬时变化率的实质是什么？

(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案⑴其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 o 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢 •

⑵①区别：平均变化率刻画函数值在区间

［X 1, X 2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x o 点处变化的快慢；②

联系：当A X 趋于o 时，平均变化率A y 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x o 处的瞬时变化率，它是一个固定值 • 知识点三导数的概念

函数y = f(x)在x = x o 处的导数

一般地，函数y = f(x)在x = xo 处的瞬时变化率是 |im o 多=妁。彳％十 ％~~~,我们称它为函数 y = f(x)在x = xo 处的 导数记作

f

，(X 。)或 y ，i x 牟，即 f ‘(x o )=如。A x = Jim o

fxo

+

fxo

思考(1)函数f(x)在x o 处的导数满足什么条件时存在？ ⑵求解函数f(x)在x o 处导数的步骤是什么？

答案(1)函数f(x)在 x o 处可导，是指 A x — o 时，舟有极限，如果f l 不存在极限，就说函数在点 x o 处无导数.

⑵求解函数f(x)在x o 处导数的步骤如下： ① 求函数值的增量： A y = f(x o + A x) — f(x o ); y f x o + A x — f x o ② 求平均变化率： =—— -;

x A x ③取极限，得导数： y

f x o + A x — f x o

f (xo)

=如0 &=妁0

&

常题型探究

重点突破

题型一求平均变化率

1

例1 求函数y = f(x) = 2x 2 + 3在x o 到x o + A x 之间的平均变化率，并求当 x o = 2, A x = ?时该函数的平均变化率

解 当自变量从x o 变化到x o + A x 时，函数的平均变化率为

A y f x o + A x — f x o [2 x o + A x 2+ 3] — 2x 3+ 3 A x A x 1 1 当x o = 2, A x = 1时，平均变化率的值为 4 X 2 + 2X 2 = 9.

反思与感悟平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值， 所以求函数在给定区间［x o, x o + A x ］上的平均

变化率问题，即求今f xo +

(

—f x0

.

x

A x

跟踪训练1

(1)已知函数y = f(x)= 2x 2— 1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1 + A x,1 + A y),则学= _____________________ .

ZA/v

4x o A x + 2 A x 2

—A x =4xo + 2 M

A x