一元二次方程讲义全

一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。

3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。

4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。

(x+1)^3=2(x+1)B。

2√x+1-11=0C。

ax^2+bx+c=0D。

x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。

例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。

考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。

例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。

例5、已知a≠b，a^2-2a-1=0，b^2-2b-1=0，求a+b的值。

变式：若a^2-2a-1=0，b^2-2b-1=0，则ab+ba的值为。

考点三、其他例6、方程(a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0的一个根为-1，则另一个根为（）A。

a-c/b-aB。

b-a/c-bC。

c-b/a-cD。

-c/a-b例7、若2x+5y-3=0，则4x/3+2y=（）.1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

2）解法：直接开方法、因式分解法、配方法、公式法。

类型一、直接开方法：用直接开平方法解形如$x^2=m$的一元二次方程，其解为：$x=\pm\sqrt{m}$。

对于形如$(x+a)^2=m$、$(ax+m)=(bx+n)$等形式也适用直接开方法。

典型例题：1）$（3x+1）^2=7(3)(1-x)-9$，解方程。

2）$2x^2-8=1$3）$\frac{(x-1)}{(x+2)}=4$4）$9x^2-24x+16=11$类型二、配方法：基本步骤为：将常数c移到方程右边，将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，方程左边成为一个完全平方式。

典型例题：1）试用配方法说明$x^2-2x+3$的值恒大于$-10x^2+7x-4$的XXX小于。

2）已知$x$、$y$为实数，求代数式$x^2+y^2+2x-4y+7$的最小值。

变式：若$t=2-3x^2+12x-9$，则$t$的最大值为，最小值为。

已知$x^2+y^2+4x-6y+13=0$，求$xy$的值。

类型三、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

典型例题：1）$x^2-3x-4=0$2）$2x^2+5x+2=0$3）$x^2+5x+6=0$注意：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为0的方程形式适用因式分解法。

分解方法包括提公因式、利用平方差与完全平方公式、十字相乘法等。

例1、求解2x-3=5(x-3)的根。

解：首先将方程式化简为2x-3=5x-15，然后移项得到3x=-12，最后解得x=-4.因此，方程的根为-4.例2、化简4a-169b的平方差。

解：根据平方差公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)，可得4a-169b的平方差为(2a+13b)(2a-13b)。

例3、如果(4x+y+3)/(4x+y-4)=-4/3，求4x+y的值。

解：将分式化简为(4x+y+3)/(4x+y-4)=-(4/3)，然后移项得到16x+4y=-15，最后解得4x+y=-15/4.例4、解方程x^2+x-6=0的根。

解：使用求根公式x=(-1±√(1+4*6))/2，可得到方程的根为x=-3或x=2.因此，方程的解为x=-3或x=2.例5、解方程x^2+x+23/4=0的根。

解：将方程式移项得到x^2+x=-23/4，然后使用“完成平方”的方法，将左侧的x^2+x部分转化为(x+1/2)^2-1/4，得到(x+1/2)^2=23/4+1/4=6，最后解得x=-1/2±√6/2.因此，方程的根为x=-1/2±√6/2.例6、已知2x^2-3xy-2y^2=0，求x+y和x-y的值。

解：将2x^2-3xy-2y^2=0化简为2(x-y)(x+2y)=0，可得到x-y=0或x+2y=0.如果x-y=0，则x=y；如果x+2y=0，则x=-2y。

因此，x+y的值可以表示为2x或-y，而x-y的值为0或3y，具体取决于x和y的取值。

例7、解方程组(2x-3)^2=(3x-2)^2和4x+14=5(x+2)。

解：对于第一个方程，将其化简为x=-5或x=1.对于第二个方程，移项得到-x=-8，因此x=8.因此，方程组的解为(-5,-13)和(1,-1)。

3(x-1)-x^2+1 -3x+2=0，求代数式的值。

解题思路：将3(x-1)-x^2+1化简，得到-x^2+3x-2=0，再用韦达定理求解，得到x1=2，x2=1.将x1=2代入原式，得到-1/3.二、解方程组2x-y=6。

x-5xy+6y=22.解题思路：先消元，再降次，得到y=2，代入方程组中得到x=5.另一种方法是先降次，再消元，得到y=2，代入方程组中得到x=5.三、根与系数的关系对于ax2+bx+c=0，当满足a≠0、Δ≥0时，才能用XXX定理。

x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

应用：整体代入求值。

四、根与系数的关系的典型例题已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2-8x+7的两根，则这个直角三角形的斜边是（）。

解题思路：将直角三角形的两直角边长表示为x1和x2，代入勾股定理得到(x1+x2)^2=x1^2+x2^2，再用韦达定理求解，得到斜边长为3.五、根与系数的关系的例题已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

解题思路：根据韦达定理，得到x1+x2=(2k-1)/k，x1x2=1/k^2.根据不等式k^2>0，得到k的取值范围为k≠0.当x1=-x2时，代入x1+x2=(2k-1)/k得到k=±1/2.六、变式已知a≠b，a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，求ab/(ba+1)的值。

解题思路：将ab/(ba+1)化简，得到ab/(ab+a+b)，代入已知条件，得到(a+b)/(ab)=2，代入a2-2a-1=0和b2-2b-1=0，得到a+b=4，ab=1，代入原式，得到1/3.七、测试题目1.解方程：3x2+27=0得（）。

A。

x=-3B。

x=3C。

x=±3iD。

无解答案：B。

x=3.1.下面列出的是方程的根，请选择正确的方程式。

A) x=±3B) x=-3C) 无实数根D) 方程的根有无数个2.方程(x-1)²=4的根是（）。

A) 3,-3B) 3,-1C) 2,-3D) 3,-23.方程9x²=25的根是___________。

4.已知二次方程x²+(t-2)x-t=0有一个根是2，则t=________，另一个根是_________。

5.关于x的方程6x²-5(m-1)x+m²-2m-3=0有一个根是0，则m的值为__________。

6.关于x的方程(m²-m-2)x²+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________。

7.方程(x+2)(x-a)=0和方程x²+x-2=0有两个相同的解，则a=________。

8.用因式分解法、配方法、公式法解方程2x²+5x-3=0.A) 因式分解法B) 配方法C) 公式法9.解关于x的方程：x²-2x+1-k(x²-1)=010.已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx(x+1)-5(x+1)(x-1)=x²11.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。

针对此回答：1) 当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

2) 商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？12.将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

1) 要使这两个正方形的面积之和等于17cm²，那么这两段铁丝的长度分别为多少？2) 两个正方形的面积之和可能等于12cm²吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。