一元二次方程讲义全

一元二次方程讲义全

一元二次方程讲义

考点一、概念

1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)

注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配

方式。

3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数

是2；是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先

看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。

4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为0；

②未知数指数为2；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

A。(x+1)^3=2(x+1)

B。2√x+1-11=0

C。ax^2+bx+c=0

D。x^2+2x=x^2+1

变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元

二次方程。

例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。

考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。

例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.

说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。

例5、已知a≠b，a^2-2a-1=0，b^2-2b-1=0，求a+b的值。

变式：若a^2-2a-1=0，b^2-2b-1=0，则ab+ba的值为。

考点三、其他

例6、方程(a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0的一个根为-1，则另一个根为（）

A。a-c/b-a

B。b-a/c-b

C。c-b/a-c

D。-c/a-b

例7、若2x+5y-3=0，则4x/3+2y=（）.

1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

2）解法：直接开方法、因式分解法、配方法、公式法。

类型一、直接开方法：用直接开平方法解形如$x^2=m$的一元二次方程，其解为：$x=\pm\sqrt{m}$。对于形如

$(x+a)^2=m$、$(ax+m)=(bx+n)$等形式也适用直接开方法。

典型例题：

1）$（3x+1）^2=7(3)(1-x)-9$，解方程。

2）$2x^2-8=1$

3）$\frac{(x-1)}{(x+2)}=4$

4）$9x^2-24x+16=11$

类型二、配方法：基本步骤为：将常数c移到方程右边，将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，方程左边成为一个完全平方式。

典型例题：

1）试用配方法说明$x^2-2x+3$的值恒大于$-10x^2+7x-

4$的XXX小于。

2）已知$x$、$y$为实数，求代数式$x^2+y^2+2x-4y+7$的最小值。

变式：若$t=2-3x^2+12x-9$，则$t$的最大值为，最小值为。已知$x^2+y^2+4x-6y+13=0$，求$xy$的值。

类型三、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

典型例题：

1）$x^2-3x-4=0$

2）$2x^2+5x+2=0$

3）$x^2+5x+6=0$

注意：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为0的方程形式适用因式分解法。分解方法包括提公因式、利用平方差与完全平方公式、十字相乘法等。

例1、求解2x-3=5(x-3)的根。

解：首先将方程式化简为2x-3=5x-15，然后移项得到

3x=-12，最后解得x=-4.因此，方程的根为-4.

例2、化简4a-169b的平方差。

解：根据平方差公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)，可得4a-169b的平方差为(2a+13b)(2a-13b)。

例3、如果(4x+y+3)/(4x+y-4)=-4/3，求4x+y的值。

解：将分式化简为(4x+y+3)/(4x+y-4)=-(4/3)，然后移项得到16x+4y=-15，最后解得4x+y=-15/4.

例4、解方程x^2+x-6=0的根。

解：使用求根公式x=(-1±√(1+4*6))/2，可得到方程的根为x=-3或x=2.因此，方程的解为x=-3或x=2.

例5、解方程x^2+x+23/4=0的根。

解：将方程式移项得到x^2+x=-23/4，然后使用“完成平方”的方法，将左侧的x^2+x部分转化为(x+1/2)^2-1/4，得到

(x+1/2)^2=23/4+1/4=6，最后解得x=-1/2±√6/2.因此，方程的根为x=-1/2±√6/2.