辽宁省沈阳市二十一中高三数学复习教学案：直线、圆的位置关系

§9.4 直线、圆的位置关系

1.若直线ax +by =1与圆x 2

+y 2

=1相交，则P （a ，b ）与圆的位置关系为 . 答案 在圆外

2.若直线4x -3y -2=0与圆x 2

+y 2

-2ax +4y +a 2

-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是 . 答案 -6＜a ＜4

3.两圆x 2

+y 2

-6x +16y -48=0与x 2

+y 2

+4x -8y -44=0的公切线条数为 . 答案 2

4.若直线y =k (x -2)+4与曲线y =1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 答案 ⎥⎦

⎤

⎝⎛43,125

5.(2008·重庆理，15)直线l 与圆x 2+y 2

+2x -4y +a =0 (a ＜3)相交于两点A ,B ,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为 . 答案 x -y +1=0

例1 已知圆x 2

+y 2

-6mx -2（m -1）y +10m 2

-2m -24=0（m ∈R ）. （1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； （2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明 配方得：（x -3m ）2

+［y -(m -1)］2

=25，

设圆心为（x ，y ），则⎩⎨⎧-==13m y m x ，消去m 得

l ：x -3y -3=0，则圆心恒在直线l ：x -3y -3=0上. （2）解 设与l 平行的直线是l 1：x -3y +b =0， 则圆心到直线l 1的距离为d =10

)1(33b

m m +--=

10

3b +.

∵圆的半径为r =5，

∴当d ＜r ，即-510-3＜b ＜510-3时，直线与圆相交； 当d =r ,即b =±510-3

时，直线与圆相切；

当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离.

基础

（3）证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x -3y +b =0，由于圆心到直线l 1的距离d =10

3b +，

弦长=222d r -且r 和d 均为常量.

∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2

-4x -4y +7=0相切，求光线l 所在直线的方程.

解 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点B （b ,0)，则k AB =3

3

+-b ,根据光的反射定律，反射光线的斜率k 反

=3

3+b . ∴反射光线所在直线的方程为 y =

3

3

+b (x -b ), 即3x -(b +3)y -3b =0.

∵已知圆x 2

+y 2

-4x -4y +7=0的圆心为C （2,2）， 半径为1, ∴

2

)3(932)3(6++-⨯+-b b

b =1,解得b 1=-

4

3

,b 2=1. ∴k AB =-

34或k AB =-4

3. ∴l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.

方法二 已知圆C ：x 2

+y 2

-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x -2)2

+(y +2)2

=1，其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切. 设l 的方程为y -3=k (x +3),则

2

2

155k

k ++=1,

即12k 2

+25k +12=0. ∴k 1=-34，k 2=-4

3. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.

方法三 设入射光线方程为y -3=k (x +3),反射光线所在的直线方程为y =-kx +b ,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.

∴⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=+-+=--1122332k b k k b

k k ,消去b 得

11552=++k

k . 即12k 2

+25k +12=0,∴k 1=-34,k 2=-4

3. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.

例3 已知圆C 1：x 2

+y 2

-2mx +4y +m 2

-5=0,圆C 2：x 2

+y 2

+2x -2my +m 2

-3=0,m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切；

（

2）圆C 1与圆C 2内含？

解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1:(x -m )2

+(y +2)2

=9;C 2:(x +1)2

+(y -m )2

=4.

（1）如果C 1与C 2外切，则有22)2()1(+++m m =3+2. (m +1)2

+(m +2)2

=25.

m 2

+3m -10=0,解得m =-5或m =2.

（2）如果C 1与C 2内含，则有22)2()1(+++m m ＜3-2. (m +1)2

+(m +2)2

＜1,m 2

+3m +2＜0, 得-2＜m ＜-1,

∴当m =-5或m =2时，圆C 1与圆C 2外切； 当-2＜m ＜-1时，圆C 1与圆C 2内含.

例4 （14分）已知点P （0，5）及圆C ：x 2

+y 2

+4x -12y +24=0. （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.

解 （1）方法一 如图所示，AB =43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD =23，

圆x 2

+y 2

+4x -12y +24=0可化为（x +2）2

+（y -6）2=16， 圆心C （-2，6），半径r =4，故AC =4， 在Rt △ACD 中，可得CD =2.

2分

设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y -5=kx ,

即kx -y +5=0.

由点C 到直线AB 的距离公式：

2

2)1(562-++--k k =2，得k =

4

3. 此时直线l 的方程为3x -4y +20=0.

4分

又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x =0.

6分

则y 2

-12y +24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23, ∴y 2-y 1=43,故x =0满足题意.

∴所求直线的方程为3x -4y +20=0或x =0.

8分

方法二 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为 y -5=kx ,即y =kx +5,

联立直线与圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++=0241245

2

2y x y x kx y , 消去y 得（1+k 2

）x 2

+(4-2k )x -11=0 ①

2分

设方程①的两根为x 1,x 2,