辽宁省沈阳市二十一中高三数学复习教学案：直线、圆的位置关系

§9.4 直线、圆的位置关系1.若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交，则P （a ，b ）与圆的位置关系为 . 答案 在圆外2.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是 . 答案 -6＜a ＜43.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线条数为 . 答案 24.若直线y =k (x -2)+4与曲线y =1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 答案 ⎥⎦⎤⎝⎛43,1255.(2008·重庆理，15)直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0 (a ＜3)相交于两点A ,B ,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为 . 答案 x -y +1=0例1 已知圆x 2+y 2-6mx -2（m -1）y +10m 2-2m -24=0（m ∈R ）. （1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； （2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明 配方得：（x -3m ）2+［y -(m -1)］2=25，设圆心为（x ，y ），则⎩⎨⎧-==13m y m x ，消去m 得l ：x -3y -3=0，则圆心恒在直线l ：x -3y -3=0上. （2）解 设与l 平行的直线是l 1：x -3y +b =0， 则圆心到直线l 1的距离为d =10)1(33bm m +--=103b +.∵圆的半径为r =5，∴当d ＜r ，即-510-3＜b ＜510-3时，直线与圆相交； 当d =r ,即b =±510-3时，直线与圆相切；当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离.基础（3）证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x -3y +b =0，由于圆心到直线l 1的距离d =103b +，弦长=222d r -且r 和d 均为常量.∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点B （b ,0)，则k AB =33+-b ,根据光的反射定律，反射光线的斜率k 反=33+b . ∴反射光线所在直线的方程为 y =33+b (x -b ), 即3x -(b +3)y -3b =0.∵已知圆x 2+y 2-4x -4y +7=0的圆心为C （2,2）， 半径为1, ∴2)3(932)3(6++-⨯+-b bb =1,解得b 1=-43,b 2=1. ∴k AB =-34或k AB =-43. ∴l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法二 已知圆C ：x 2+y 2-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x -2)2+(y +2)2=1，其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切. 设l 的方程为y -3=k (x +3),则22155kk ++=1,即12k 2+25k +12=0. ∴k 1=-34，k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法三 设入射光线方程为y -3=k (x +3),反射光线所在的直线方程为y =-kx +b ,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=--1122332k b k k bk k ,消去b 得11552=++kk . 即12k 2+25k +12=0,∴k 1=-34,k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.例3 已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0,圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切；（2）圆C 1与圆C 2内含？解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1:(x -m )2+(y +2)2=9;C 2:(x +1)2+(y -m )2=4.（1）如果C 1与C 2外切，则有22)2()1(+++m m =3+2. (m +1)2+(m +2)2=25.m 2+3m -10=0,解得m =-5或m =2.（2）如果C 1与C 2内含，则有22)2()1(+++m m ＜3-2. (m +1)2+(m +2)2＜1,m 2+3m +2＜0, 得-2＜m ＜-1,∴当m =-5或m =2时，圆C 1与圆C 2外切； 当-2＜m ＜-1时，圆C 1与圆C 2内含.例4 （14分）已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2+4x -12y +24=0. （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.解 （1）方法一 如图所示，AB =43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD =23，圆x 2+y 2+4x -12y +24=0可化为（x +2）2+（y -6）2=16， 圆心C （-2，6），半径r =4，故AC =4， 在Rt △ACD 中，可得CD =2.2分设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y -5=kx ,即kx -y +5=0.由点C 到直线AB 的距离公式：22)1(562-++--k k =2，得k =43. 此时直线l 的方程为3x -4y +20=0.4分又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x =0.6分则y 2-12y +24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23, ∴y 2-y 1=43,故x =0满足题意.∴所求直线的方程为3x -4y +20=0或x =0.8分方法二 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为 y -5=kx ,即y =kx +5,联立直线与圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++=024124522y x y x kx y , 消去y 得（1+k 2）x 2+(4-2k )x -11=0 ①2分设方程①的两根为x 1,x 2,由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221111142k x x k k x x②4分由弦长公式得21k +|x 1-x 2| =]4))[(1(212212x x x x k -++=43, 将②式代入，解得k =43， 此时直线的方程为3x -4y +20=0.6分又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x =0. ∴所求直线的方程为x =0或3x -4y +20=0.8分（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x ,y ）, 则CD ⊥PD ，即CD ·PD =0，10分（x +2,y -6）·(x ,y -5)=0,化简得所求轨迹方程为 x 2+y 2+2x -11y +30=0.14分1.m 为何值时，直线2x -y +m =0与圆x 2+y 2=5. （1）无公共点； （2）截得的弦长为2； （3）交点处两条半径互相垂直.解 （1）由已知，圆心为O （0，0），半径r =5, 圆心到直线2x -y +m =0的距离 d =22)1(2-+m =5m ，∵直线与圆无公共点，∴d ＞r ,即5m ＞5,∴m ＞5或m ＜-5.故当m ＞5或m ＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知 r 2-d 2=12，即5-52m=1.得m =±25,∴当m =±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d =22r ，即225=m ·5, 解得m =±225. 故当m =±225时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 2.从圆C ：x 2+y 2-4x -6y +12=0外一点P （a ，b ）向圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |=|PO | （O 为原点）.求|PT |的最小值及此时P 的坐标.解 已知圆C 的方程为(x -2)2+(y -3)2=1. ∴圆心C 的坐标为（2，3），半径r =1. 如图所示，连结PC ，CT .由平面几何知， |PT |2=|PC |2-|CT |2=（a -2）2+（b -3）2-1.由已知，|PT |=|PO |，∴|PT |2=|PO |2， 即（a -2）2+（b -3）2-1=a 2+b 2. 化简得2a +3b -6=0. 得|PT |2=a 2+b 2=91（13a 2-24a +36）. 当a =1312时， |PT |min =3136131224)1312(132+⨯-⨯=13136.|PT |的最小值为13136，此时点P 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛1318,1312. 3.求过点P （4，-1）且与圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0切于点M （1，2）的圆的方程. 解 方法一 设所求圆的圆心为A （m ,n )，半径为r , 则A ,M ,C 三点共线，且有|MA |=|AP |=r ，因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0的圆心为C （-1，3）， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-+-=--r n m n m m n 2222)1()4()2()1(113212, 解得m =3,n =1,r =5,所以所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=5.方法二 因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0过点M （1，2）的切线方程为2x-y =0, 所以设所求圆A 的方程为 x 2+y 2+2x -6y +5+λ(2x -y )=0,因为点P （4，-1）在圆上，所以代入圆A 的方程，解得λ=-4,所以所求圆的方程为x 2+y 2-6x -2y +5=0.4.圆x 2+y 2=8内一点P （-1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=43π时,求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程. 解 （1）当α=43π时，k AB =-1， 直线AB 的方程为y -2=-（x +1），即x +y -1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =2100-+=22， 从而弦长|AB |=2218-=30. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-2，y 1+y 2=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 1+x 2）（x 1-x 2）+（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0， 即-2（x 1-x 2）+4（y 1-y 2）=0， ∴k AB =212121=--x x y y .∴直线l 的方程为y -2=21（x +1），即x -2y +5=0.一、填空题1.（2008·辽宁理）若圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点，则k 的取值范围为 . 答案 (-3,3)2.（2008·重庆理，3）圆O 1：x 2+y 2-2x =0和圆O 2：x 2+y 2-4y =0的位置关系是 . 答案 相交3.已知圆C ：（x -a ）2+(y -2)2=4 (a ＞0)及直线l :x -y +3=0,当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 4.（2008·全国Ⅰ文）若直线1=+b y a x 与圆x 2+y 2=1有公共点，则2211ba +与1的大小关系是 . 答案2211b a +≥15.能够使得圆x 2+y 2-2x +4y +1=0上恰有两个点到直线2x +y +c =0距离等于1的c 的取值范围为 .答案 （-35，-5）∪（5，35）6.（2008·湖北理）过点A （11，2）作圆x 2+y 2+2x -4y -164=0的弦，其中弦长为整数的共有 条. 答案 327.设直线ax -y +3=0与圆（x -1）2+(y -2)2=4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a = . 答案 08.（2008·湖南文，14）将圆x 2+y 2=1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是 ；若过点（3，0）的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是 . 答案 （x -1）2+y 2=1 33或-33二、解答题9.已知圆C ：x 2+y 2+2x -4y +3=0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程. 解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1，或切线过原点.当切线不过原点时，设切线方程为y =-x +b 或y =x +c ,分别代入圆C 的方程得2x 2-2（b -3）x +（b 2-4b +3）=0. 或2x 2+2(c -1)x +(c 2-4c +3)=0,由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0， 即［2(b -3)］2-4×2×（b 2-4b +3)=-b 2+2b +3=0, ∴b =3或-1,Δ2=0,即［2(c -1)］2-4×2×(c 2-4c +3)=-c 2+6c -5=0.∴c =5或1,当切线过原点时，设切线为y =kx ,即kx -y =0. 由212kk +--=2，得k =2±6,∴y =(2±6)x .故所求切线方程为：x +y -3=0，x +y +1=0，x -y +5=0，x -y +1=0,y =(2±6)x . 10.已知曲线C ：x 2+y 2-4ax +2ay -20+20a =0. （1）证明：不论a 取何实数，曲线C 必过定点；（2）当a ≠2时，证明曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上； （3）若曲线C 与x 轴相切，求a 的值. （1）证明 曲线C 的方程可变形为 (x 2+y 2-20)+(-4x +2y +20)a =0，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+0202402022y x y x ,解得⎩⎨⎧-==24y x ，点（4，-2）满足C 的方程，故曲线C 过定点（4，-2）（2）证明 原方程配方得(x -2a )2+(y +a )2=5(a -2)2,∵a ≠2时，5(a -2)2＞0, ∴C 的方程表示圆心是（2a ,-a ),半径是5|a -2|的圆.设圆心坐标为（x ,y ），则有⎩⎨⎧-==a y ax 2,消去a 得y =-21x ,故圆心必在直线y =-21x 上.（3）解 由题意得5|a -2|=|a |,解得a =255±. 11.已知圆C ：x 2+y 2-2x +4y -4=0,问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解 假设存在直线l 满足题设条件，设l 的方程为y =x +m ,圆C 化为（x -1）2+(y +2)2=9,圆心C （1，-2），则AB 中点N 是两直线x -y +m =0与y +2=-(x -1)的交点即N ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-21,21m m ,以AB 为直径的圆经过原点，∴|AN |=|ON |，又CN ⊥AB ，|CN |=221m++，∴|AN |=2)3(92m +-.又|ON |=22)21()21(-++-m m ， 由|AN |=|ON |，解得m =-4或m =1. ∴存在直线l ，其方程为y =x -4或y =x +1.12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x -6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解 （1）曲线方程为（x +1）2+(y -3)2=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m =-1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直，∴设P （x 1，y 1）、Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y =-x +b . 将直线y =-x +b 代入圆的方程， 得2x 2+2(4-b )x +b 2-6b +1=0. Δ=4(4-b )2-4×2×(b 2-6b +1)＞0, 得2-32＜b ＜2+32. 由根与系数的关系得 x 1+x 2=-(4-b ),x 1·x 2=2162+-b b . y 1·y 2=b 2-b (x 1+x 2)+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2-6b +1+4b =0, 解得b =1∈(2-32,2+32), ∴所求的直线方程为y =-x +1.。