2021年中考复习数与式-第04讲 分式(教师版)A4

分式

一．分式的概念及性质

1．分式分概念：一般地，用A，B表示两个整式A B

÷就可以表示成A

B

的形式．如果B中含

有字母，式子A

B

就叫做分式．

（1）分式有意义的条件：分式的分母不为零．

（2）分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零．

（3）分式值为正的条件分式的分子分母符号相同（两种情况）．

（4）分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．

2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变用式

子表示A A C

B B C

⋅

=

⋅

，

A A C

B B C

÷

=

÷

(0

C≠)，其中A,B,C为整式．

二．分式的综合运算

1．分式的乘除法

（1）分式的乘除法：b d bd

a c ac

⋅=，

b d b

c bc

a c a d ad

÷=⋅=．（a、b、c、d既可以表示数，也

可以表示单项式/多项式等）

（2）分式的约分和通分：关键是先分解因式．

分式的约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，分式的值不变．

最简分式：分子与分母没有公因式．

分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，把几个异分母的分式化成同分母的分式，不改变分式的值．

最简公分母：“各个分母”和“所有因式”的最高次幂的积．

（3）分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．

2．分式的加减法：

（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，a b a b

c c c

±

±=．

（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，b d bc ad bc ad

a c ac ac ac

±

±=±=．

3．分式的综合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的．知识精讲

三．分式的化简与求值

分式的化简求值分为有条件和无条件两类．

有条件化简求值指导思想：瞄准目标，抓住条件，依据条件推导目标，根据目标变换条件．

方法点拨

1．分式的化简与求值常用方法和技巧：

（1）分步或者分组通分；（2）拆项相消或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或者利用倒数关系；（5）换元；（6）先约分后通分

2．通分技巧：分步通分，分组通分，先约分后再通分，换元后通分等．

一．考点：分式的性质、分式的混合运算及化简求值

二．重难点：分式的混合运算及化简求值

三．易错点：

1．分式的分母中含有根号时，根号下的代数式一定是负的．

题模一：分式的基本知识

例1.1.1要使3x -+1

21

x -有意义，则x 应满足（ ）

A ．12≤x ≤3

B ．x ≤3且x ≠12

C ．12＜x ＜3

D ．

1

2

＜x ≤3 【答案】D 【解析】

根据题意得：30210

x x -≥⎧⎨->⎩，解得：1

2＜x≤3．故选D ．

例1.1.2若分式21

-2x x a

+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．

【答案】1a >

【解析】分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同，因分子为1，所以分母2-2x x a +也一定为正时满足条件，将式子2-2x x a +变形为2-21-1x x a ++（）（），因2210x x -+≥，即当10a ->时，分式的值恒为正

例1.1.3当x ____时，分式1412x x 有意义；当x ____时，分式1

11

1

x 无意义；当x ____时，分式

222

4

x x x x 的值为0

【答案】2x ≠且6x ≠；2x =或1x =；0x =或1x =【解析】该题考查的是分式的性质． 分式有意义要求分母不为0，无意义要求分母为0，分式值为0要求分母不为0且分子为0，

三点剖析

题模精讲

分式

141

2x

x 有意义，则410220x x ⎧-≠⎪-⎨⎪-≠⎩，即4

122x x ⎧≠⎪

-⎨⎪≠⎩，即242x x -≠⎧⎨≠⎩，解得62x x ≠⎧⎨≠⎩； 分式

111

1

x 无意义，则1101x -

=-或10x -=，即1

11

x =-或1x =，解得2x =或1x =； 分式

()()()

()()

()

22+22114

222x x x x x x x x x x x x -+--=

=

--+-的值为0，则()10

20

x x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得0x =或1x =． 例1.1.4x 为何值时，分式

2||6

56

x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？

【答案】(1)6x =-（2）1x =-或6x =

【解析】（1）分式值为0则60x -=且2560x x --≠，得6x =-；（2）要使分式无意义，则分母2560x x --=，得1x =-或6x =

题模二：分式的运算及化简求值

例1.2.1化简2244

xy y

x x --+的结果是（ ）

A ．2x x +

B ．2x x -

C ．

2

y x + D ．

2

y x - 【答案】D 【解析】

2244xy y x x --+=2?(2)(2)y x x --=2

y

x -，

故选D ．

例1.2.2解答下列各题： （1）解方程：

；

（2）先化简，再求值：

，其中a 满足a 2+2a ﹣7＝0

【解答】解：（1）∵

，∴（x ﹣2）2＝（x +2）2+16，

∴x 2﹣4x +4＝x 2+4x +4+16，∴﹣4x ＝4x +16，∴x ＝﹣2， 经检验，x ＝﹣2是方程的增根，故原分式方程无解． （2）原式＝[

﹣

]•

＝

•

＝

，