蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨
参数方程证明蝴蝶定理
参数方程证明蝴蝶定理参数方程是许多数学问题的解决方法之一。
在几何学中，参数方程可以用来表达一个曲线或曲面上的点，其参数可以是时间、角度或其它变量。
蝴蝶定理是一个有趣的几何问题，它指出如果在一个翼型对称的机翼上，使左翼下降时右翼上升，左翼上升时右翼下降，那么这个机翼就会产生一个蝴蝶的翅膀般的运动轨迹。
为了证明蝴蝶定理，我们可以使用参数方程。
首先，我们可以将机翼上的点表示为(x,y)，其中x表示机翼前进的距离，y表示机翼的高度。
然后，我们可以定义一些参数来描述机翼的运动。
例如，我们可以定义角度θ表示机翼的倾斜角度，时间t表示机翼的运动时间。
根据这些参数，我们可以得出机翼上某一点的坐标：x = f(θ, t)y = g(θ, t)其中f和g是关于角度θ和时间t的函数。
这些函数可以根据机翼的形状和运动规律确定。
接下来，我们可以根据蝴蝶定理的要求，将左翼下降和右翼上升、左翼上升和右翼下降分别表示为以下参数方程：左翼下降：x = f(θ + δ, t), y = g(θ + δ, t) - h右翼上升：x = f(θ - δ, t), y = g(θ - δ, t) + h左翼上升：x = f(θ + δ, t), y = g(θ + δ, t) + h右翼下降：x = f(θ - δ, t), y = g(θ - δ, t) - h其中δ是一个小角度，h是机翼上下运动的幅度。
这些参数方程表示了机翼上每个点在不同时间和角度下的坐标。
通过计算这些参数方程，我们可以得出机翼上的每个点的轨迹。
我们会发现，这些轨迹形成了一个类似蝴蝶翅膀的图案，证明了蝴蝶定理的正确性。
因此，通过使用参数方程，我们可以很容易地证明蝴蝶定理，并且更好地理解机翼的运动规律和几何形状。
专题7.26：蝴蝶定理、相交弦定理的研究与拓展
专题7.26：蝴蝶定理、相交弦定理的研究与拓展【探究拓展】探究1：蝴蝶定理已知圆O 内，M 是弦AB 的中点，CD 、GH 是过M 点的两条弦，连结CH 、DG 分别交AB 于P 、Q 两点，则MQ MP =.类比联想：椭圆内，蝴蝶定理还能成立吗？可从特例实验一下： （1）已知过椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的中心的两条弦CD 和GH ，连结HC 、GD 与长轴AB 分别交于点P 、Q. 思考：OQ OP =成立吗？（2）过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 短轴上一点),0(m M 任作两条弦CD 、GH （D 在C 的上方，H 在G 的上方），CH 、GD 分别交直线0y y =于P 、Q.直线CD 、GH 的斜率分别为21k k 、.设),(11y x C ，),(22y x D ，),(33y x G ，),(44y x H .（1）思考：4343221211x x x x k x x x x k +=+ 成立吗？（2）思考：PM=MQ 还能成立吗？(过程中可以不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形).探究2：点圆位置关系已知圆O ：222r y x =+，则（1）点),(00y x M 在圆上⇔直线200r y y x x =+与圆O 相切于M ；（2）点),(00y x M 在圆外⇔直线200r y y x x =+与圆相交，且该直线为圆O 的切点弦所在直线；（3）点),(00y x M 在圆内⇔直线200r y y x x =+与圆相离，且该直线为圆在过),(00y x M 的弦AB 的两端点处切线的交点的轨迹.类比联想：点与椭圆的位置关系已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，完成下列命题，并作出判断和证明： （1）“点),(00y x M 在椭圆上⇔直线12020=+by y a x x 与椭圆________”还成立吗？ （2）“点),(00y x M 在椭圆外⇔直线12020=+b y y a x x 与椭圆________，且该直线为____________________________________________”还成立吗？；（3）“点),(00y x M 在椭圆内⇔直线12020=+by y a x x 与椭圆________，且该直线为椭圆内在过点),(00y x M 的弦的两端点处切线的交点轨迹”还成立吗？进一步思考1．类比联想：点与椭圆的位置关系的结论在双曲线中还能成立吗？抛物线呢？拓展1：设椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程 20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P 与圆222=+y x 的位置关 )系____________. 答案：点在圆内拓展2．过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 长轴上一点)0,(m M 任作两条弦CD 、GH （D 在C 的上方，H 在G 的上方），CG 、HD 分别交直线m x =于P 、Q. 直线CD 、GH 的斜率分别为21k k 、. 求证：MQ MP =.更进一步，M 为椭圆焦点时，结论又如何？若直线CG 与HD 相交，交点在哪里？ 探究3：相交弦定理 设点),(00y x M 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 内一点，过M 作两条斜率分别为21k k 、（21k k ≠）的弦CD 、GH.则MH MG MD MC ⋅=⋅⇔021=+k k .【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
蝴蝶模型经典必会题赏析
蝴蝶模型经典必会题赏析这是一道非常经典的几何题，有代数和几何两种精彩解法。
题目请看下图：求阴影面积有大小两个正方形，小正方形的边长是4，求阴影面积。
题目构思巧妙，没有冗余条件，只有一个数据。
下图是库库数学提供的代数解法。
代数解法这个代数解法很漂亮，但是有的同学看懂了，有的同学则是一脸茫然。
上面的解答图暗藏蝴蝶模型，把它画出来，可以帮助大家理解代数解法的道理。
请看下图：蝴蝶模型在梯形ABCD中，AB=AD=b=大正方形的边长，CD=a=4=小正方形的边长。
梯形的两条对角线相交于点E。
设DE=x，则AE=B－x。
两条对角线把梯形分为四个三角形，按顺时针方向，依次把三角形面积标记为S₁至S₄请看下图的解析解析上图解释了代数解法的第一步是怎么来的，第二步大家看懂了吗？比例的基本性质大家都知道比例式的内项乘积等于外项乘积，把第一步的比例式交叉相乘，再整理就得到了第二步。
即：ab－ax=bxab=ax+bxab=(a+b)x把上式的两边都乘以a+b的倒数，x的系数就变成了1，就得到了第二步。
第三步也很好理解，把a－x看作分数的减法就行了。
a的分母是1，把第二步带入x，x就是个分数。
然后分母通分，分子做减法，就得到第三步的结果。
最终结论就是用众所周知的三角形面积公式得出的，答案是8。
库库数学解完题后说：如图，随手解完一道题后，好奇有没有纯几何的挪移之法？评论区回复：@tangmingbing: 你这个做复杂了，先把右边的三角形右下顶点平移到右上，然后增加右边的对角线(45 度)，和左边45度平行，所以右上顶点可以平移到右边正方形的左下点。
这样就是左边正方形的一半。
优雅的几何解法请看下图：解法1如图添加辅助线后，构造出了蝴蝶模型。
第一步：因为ΔBHE和ΔBHF同底等高，所以面积相等。
下图的三个三角形面积相等，为什么呢？关键在于图中的两条直线是平行线。
它们的底边都是CE，第三个顶点只要在平行线上，无论如何平移，因为高不变，得到的三角形面积都是相等的。
高考数学定比点差法齐次化极点极线问题蝴蝶问题(解析版)
定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题【题型归纳目录】题型一：定比点差法题型二：齐次化题型三：极点极线问题题型四：蝴蝶问题【典例例题】题型一：定比点差法例1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF =3FB ，求k【解析】由e =32，可设椭圆为x 24+y 2=m 2(m >0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，F (3m ,0)，由AF =3FB ，所以3m =x 1+3x 21+30=y 1+3y 21+3，⇒x 1+3x 2=43m y 1+3y 2=0 ．又x 124+y 12=m 2(1)x 224+y 22=m 2(2) 按λ配型(2)×9 x 124+y 12=m 2(1)9x 224+9y 22=9m 2(3) 由(1)-(3)得(x 1+3x 2)(x 1-3x 2)4+(y 1+3y 2)(y 1-3y 2)=-8m 2⇒x 1-3x 2=-833m ，又x 1+3x 2=43m ⇒x 1=233m ⇒A 23m 3,±6m 3．又F (3m ,0)⇒k =±2．例2.已知x 29+y 24=1，过点P (0,3)的直线交椭圆于A ，B (可以重合)，求PA PB 取值范围．【解析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P (0,3)，由AP =λPB ，所以0=x 1+λx 21+λ3=y 1+λy 21+λ⇒x 1+λx 2=0y 1+λy 2=3(1+λ) ．由4x 12+9y 12=36(1)4x 22+9y 22=36(2) 配比(2)×λ2 4x 12+9y 12=36(1)4λ2x 22+9λ2y 22=36(3) 由(1)-(3)得：⇒4x 1+λx 2 x 1-λx 2 +9y 1+λy 2 y 1-λy 2 =361-λ2⇒y 1-λy 2 =41-λ 3，又y 1+λy 2=31+λ ⇒y 1=13+5λ6，又y 1∈-2,2 ⇒λ∈-5,-15 ，从而PA PB=λ ∈15,5 ．例3.已知椭圆x 26+y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且PF 1 =λF 1A ，PF 2 =μF 2B 若λ=2，求μ的值．【解析】设P x 0,y 0 ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，，由PF 1 =λF 1A ，PF 2 =μF 2B 得①F 1-c ,0 满足-c =x 0+λx 11+λ0=y 0+λy 11+λ⇒x 0+λx 1=-c 1+λ y 0+λy 1=0 F 2c ,0 满足c =x 0+μx 21+μ0=y 0+μy 21+μ⇒x 0+μx 2=-c 1+μ y 0+μy 2=0 ②由x 02a 2+y 02b 2=1(1)x 12a 2+y 12b 2=1(2) ⇒x 02a 2+y 02b 2=1(1)λ2x 12a 2+λ2y 12b2=λ2(3) ③由(1)-(3)得：x 0-λx 1 x 0+λx 1 a 2+y 0-λy 1 y 0+yx 1 b2=1-λ2⇒x 0-λx 1 x 0+λx 1 1-λ 1+λ =a 2⇒x 0-λx 1 =-a 2c 1-λ ，又x 0+λx 1 =-c 1+λ ⇒2x 0=a 2-c 2c λ-a 2+c 2c ，同理可得2x 0=-a 2-c 2c μ+a 2+c 2c⇒a 2-c 2c λ+μ =2⋅a 2+c 2c ⇒λ+μ =2⋅a 2+c 2a 2-c 2=10⇒μ=8．题型二：齐次化例4.已知抛物线C :y 2=4x ，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：∠POQ =90°．【解析】直线PQ :x =my +4,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2由x =my +4，得1=x -my 4则由x =my +4y 2=4x ，得：y 2=4x ⋅x -my 4，整理得：y x 2+m y x -1=0，即：y 1x 1⋅y 2x 2=-1．所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-1，则OP ⊥OQ ，即：∠POQ =90°．例5.椭圆E :x 22+y 2=1，经过点M (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A (0,-1)，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．【解析】设直线PQ :mx +n (y +1)=1,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2则m +2n =1．由mx +n (y +1)=1x 22+y 2=1，得：x 22+[(y +1)-1]2=1．则x 22+(y +1)2-2(y +1)[mx +n (y +1)]=0，故(1-2n )y +1x2-2m y +1x +12=0．所以y 1+1x 1+y 2+1x 2=2m 2n -1=2.即k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=2.例6.已知椭圆C :x 24+y 2=1，设直线l 不经过点P 2(0,1)且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：直线l 过定点．【解析】设直线l :mx +n (y -1)=1．．．．．．(1)由C :x 24+y 2=1，得x 24+[(y -1)+1]2=1即：x 24+(y -1)2+2(y -1)=0．．．．．．(2)由(1)(2)得：x 24+(y -1)2+2(y -1)[mx +n (y -1)]=0整理得：(1+2n )y -1x 2+2m ⋅y -1x +14=0则k P 2A +k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=-2m 1+2n=-1，则2m =2n +1，代入直线l :mx +n (y -1)=1，得：l :(2n +1)x +2n (y -1)=2显然，直线过定点(2,-1)．题型三：极点极线问题例7.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过A (-2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆M 的离心率；(2)设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上(P 不与椭圆M 的顶点重合)，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【解析】(1)因为点A (-2,0)，B (0,1)都在椭圆M 上，所以a =2，b =1．所以c =a 2-b 2=3．所以椭圆M 的离心率e =c a =32．(2)由(1)知椭圆M 的方程为x 24+y 2=1，C (2,0)．由题意知：直线AB 的方程为x =2y -2．设P (x 0,y 0)(y 0≠0，y 0≠±1)，Q (2y Q -2,y Q )，S (x S ,0)．因为C ,P ,Q 三点共线，所以有CP ⎳CQ ，CP =(x 0-2,y 0),CQ =(2y Q -2-2,y Q )，所以(x 0-2)y Q =y 0(2y Q -4)．所以y Q =4y 02y 0-x 0+2．所以Q 4y 0+2x 0-42y 0-x 0+2,4y 02y 0-x 0+2．因为B ,S ,P 三点共线，所以1-x s =y 0-1x 0，即x s =x 01-y 0．所以S x 01-y 0,0．所以直线QS 的方程为x =4y 0+2x 0-42y 0-x 0+2-x 01-y 04y 02y 0-x 0+2y +x 01-y 0，即x =x 02-4y 02-4x 0y 0+8y 0-44y 0(1-y 0)y +x 01-y 0．又因为点P 在椭圆M 上，所以x 02=4-4y 02．所以直线QS 的方程为x =2-2y 0-x 01-y 0(y -1)+2．所以直线QS 过定点(2,1)．例8.若双曲线x 2-y 2=9与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)共顶点，且它们的离心率之积为43．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线A 1P 与A 2Q 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1-15k 2=0．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由已知得双曲线的离心率为2，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为223；由题意知a =3，所以c =22，b =1．所以椭圆的标准万程为x 29+y 2=1．(2)当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：k 1=-k 2≠0，不满足k 1-15k 2=0，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x =ty +n ，由x =ty +n x 29+y 2=1，得：t 2+9 y 2+2tny +n 2-9=0，因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以Δ=4t 2n 2-4t 2+9 n 2-9 >0，整理得：t 2-n 2+9>0，设P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2tn t 2+9，y 1y 2=n 2-9t 2+9，k 1=y 1x 1+3，k 2=y 2x 2-3．因为k 1-15k 2=0，所以15=k 1k 2=y 1x 1+3y 2x 2-3=y 1x 2-3 y 2x 1+3 =y 1ty 2+n -3 y 2ty 1+n +3 ，整理得：4ty 1y 2+5(n -3)y 1-(n +3)y 2=0，4ty 1y 2+5(n -3)y 1+y 2 =(6n -12)y 2，将y 1+y 2=-2tn t 2+9，y 1y 2=n 2-9t 2+9代入整理得：t (n -2)(n -3)=(2-n )t 2+9 y 2要使上式恒成立，只需n =2，此时满足t 2-n 2+9>0，因此，直线l 恒过定点2,0 ．例9.如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA QB =PA PB 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知，点(2,1)在椭圆E 上.因此，2a 2+1b 2=1,a 2-b 2=c 2,c a =22,解得a =2,b =2.所以椭圆的方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则|QC ||QD |=|PC ||PD |=1，即|QC |=|QD |.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0,y 0).当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则M (0,2),N (0,-2)，由|QM ||QN |=|PM ||PN |，有|y 0-2||y 0+2|=2-12+1，解得y 0=1或y 0=2.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为Q (0,2).下面证明：对任意的直线l ，均有|QA ||QB |=|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =kx +1，A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立x 24+y 22=1y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.其判别式Δ=16k 2+8(2k 2+1)>0，所以，x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.因此1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k .易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为B (-x 2,y 2).又k QA =y 1-2x 1=k -1x 1,k QB =y 2-2-x 2=-k +1x 2=k -1x 1，所以k QA =k QB，即Q ,A ,B 三点共线.所以|QA ||QB |=|QA ||QB |=|x 1||x 2|=|PA ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |=|PA ||PB |恒成立.变式1.已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ，B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3 x +3 ，即：y =y09x +3联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 .同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1当y 20≠3时，∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1 =6y 0y 02+9--2y 0y 02+1 -3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1 ，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04 x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02 x -32所以直线CD 过定点32,0 ．当y 20=3时，直线CD ：x =32，直线过点32,0 ．故直线CD 过定点32,0 ．变式2.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-3,0)，且过点P 32,134 .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线x =1上任意一点，直线A 1Q ，A 2Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)椭圆的一个焦点F 1-3,0 ，则另一个焦点为F 23,0 ,由椭圆的定义知:PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2．又b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设Q 1,t ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则直线A 1Q :y =t 3x +2 ，与x 24+y 2=1联立，解得M -8t 2+184t 2+9,12t 4t 2+9同理N 8t 2-24t 2+1,4t 4t 2+1所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9-4t 4t 2+1-8t 2+184t 2+9-8t 2-24t 2+1=-2t 4t 2+3所以直线MN :y -12t 4t 2+9=-2t 4t 2+3x --8t 2+184t 2+9 =-2t 4t 2+3x -4 所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为4,0变式3.设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1)，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．【解析】(1)因为椭圆的左焦点为F 1-2,0 ，所以c =2，设椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-2=1，又因为椭圆过点M (2,1)，所以2a 2+1a 2-2=1，解得a 2=4,b 2=2所以椭圆方程为：x 24+y 22=1；(2)设直线AB 的参数方程是x =4+t cos αy =1+t sin α ，(t 为参数)，代入椭圆方程x 24+y 22=1，得：cos 2α+2sin 2α t 2+(8cos α+4sin α)t +14=0．由|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |，得|AP |(|QP |-|PB |)=(|AP |-|QP |)|PB |，即|QP |(|AP |+|PB |)=2|AP |⋅|PB |，则t Q =2t A t B t A +t B =-288cos α+4sin α，点Q 轨迹的参数方程是x =4-28cos α8cos α+4sin αy =1-28sin α8cos α+4sin α，则8(x -4)+4(y -1)=-28，所以点Q 在定直线2x +y -2=0上题型四：蝴蝶问题例10.在平面直角坐标系中，已知圆M :x +2 2+y 2=36，点N 2,0 ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。
关于椭圆中的蝴蝶模型问题的探究与思考
关于椭圆中的蝴蝶模型问题的探究与思考作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2024年第06期［摘要］蝴蝶模型在解析几何中十分常见，开展模型解读、挖掘模型本质、总结模型问题十分必要. 文章以椭圆中的蝴蝶模型为例，开展模型深度探究，并结合教学实践，提出教学建议.［关键词］解析几何；蝴蝶模型；特征；考点；解法蝴蝶模型解读蝴蝶模型是解析几何的重点模型，从外形来看，模型形如两个三角形对顶角相接，因形似蝴蝶的翅膀，故称为蝴蝶模型. 蝴蝶模型在解析几何中十分常见，是几何与函数相结合的典型代表. 探究解析需要把握模型特征，总结模型结论. 下面探究椭圆中的蝴蝶模型.1. 蝴蝶模型在图1所示的☉O中，△CFM和△DEM有共顶点M，两三角形的其他顶点F，C，D，E 位于☉O上. 蝴蝶模型中隐含着相应定理，即蝴蝶定理：点M是弦AB的中点，两条弦CD和EF过点M，连接DE，CF，与AB分别相交于点P，Q，则点M为线段PQ的中点.2. 本质探究高考中直接考查蝴蝶定理的情形并不多见，常将蝴蝶模型与解析几何相结合，对其赋予“数”与“形”的特征.蝴蝶模型背景下的椭圆综合题中，注重考查直线与椭圆的位置关系. 该类问题本质上是研究椭圆的内接四边形，即两对接三角形的四个顶点构成的四边形. 其中形如蝴蝶的四边形通常由椭圆的两条相交弦来构建. 在实际问題中，并不会直接给定弦，而是设定两条弦过定点，或由某固定线的斜率来确定.椭圆问题常围绕蝴蝶模型来构建，基于相交弦设定问题，如定点问题、定值问题、斜率问题等. 在具体求解时，注意分析模型特征，充分利用蝴蝶定理来推导条件，通过数形结合分析转化.典例探究椭圆中的蝴蝶模型问题多样，常见的有定点定值问题、斜率问题、弦长关系问题等. 下面结合实例具体探究，总结方法策略.1. 蝴蝶模型中的定点问题例1 在平面直角坐标系中，已知圆O：x2+y2=9，Q是圆O上任意一点，Q在x轴上的投影是点Q′，点P满足=，设点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若A（-3，0），B（3，0），过直线x=9上任意一点T（不在x轴上）作两条直线TA，TB与曲线E分别相交于点C（x，y），D（x，y）（异于点A和B），求证：直线CD 过定点.解析本题为椭圆综合题，问（2）中的弦AB与CD相交于点K，构成了蝴蝶模型，可将其归为椭圆中的蝴蝶模型问题.（1）该问求曲线E的方程，设点P（x，y），Q（x，y），由=推知x=x，y=y，将其代入方程x+y=9，可得+=1. 所以，曲线E的方程为+=1.（2）该问求证直线CD过定点，可根据韦达定理，采用“整体代换”的方法解析，具体如下：设直线CD的方程为x=my+t（t≠0），与椭圆+=1联立，并整理得（5m2+9）y2+10mty+5t2-45=0，由韦达定理得y+y=，yy=，Δ=180（5m2+9-t2）>0.利用点坐标表示蝴蝶模型中两条弦所在直线的解析式，则AC：y=（x+3），当x=9时，y=；BD：y=（x-3），当x=9时，y=. 所以，=，化简得2xy-xy=3y+6y1①. 又xy+xy=2myy+t （y+y）=②. 综合①和②可得xy=+2y++1y2，xy=-2y+-1y2.在直线CD的方程y-y=（x-x）中，令y=0，则x==. 分析可知，当-4+-2=0，即t=1时，直线CD过定点（1，0）.评析上述为蝴蝶模型中的定点问题，解析时把握模型特征，采用传统的待定系数法来代换简化. 问题解析有两大关键点：一是把握蝴蝶模型中的两条特殊弦，结合相关点分设直线方程；二是灵活构造对称式方程，形成对应的方程组，巧妙化简求解.2. 蝴蝶模型中的斜率比值问题例2 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F，M在椭圆C上，△MFF的周长为2+4，其面积的最大值为2，试解决下列问题.（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx（k>0）与椭圆C相交于A和B，连接AF，BF，并延长交椭圆C于D和E，连接DE，则AB与DE的斜率之比是否为定值？说明理由.解析本题为椭圆中的蝴蝶模型问题，其中△ABF和△DEF共顶点F，由椭圆的两条相交弦构建.题设两问，第（1）问求椭圆C的方程，转化△MFF的周长和面积最值条件即可求出椭圆方程的特征参数. 第（2）问是关于蝴蝶模型中两条关键弦的斜率之比的问题，探索其值是否为定值，可采用“设而不求”“整体代换”的方法构建斜率之比.（1）已知△MFF的周长为2+4，则FF+MF+MF=2a+2c=2+4，其最大面积S=·2c·b=bc=2，解得a=，b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1.（2）第一步，设定点坐标：设点A的坐标为（x，y），则点B的坐标为（-x，-y）.第二步，构建方程：推得直线AD的方程为x=y+2，将其代入椭圆C的方程，整理得［（x-2）2+5y］y2+4（x-2）yy-y=0①. 又+y=1，代入方程①，化简得（9-4x）y2+4（x-2）yy-y=0.第三步，斜率推导：设点D的坐标为（x，y），点E的坐标为（x，y），则yy=，所以y=，x=y+2.直线BE的方程可以表示为x=y+2，同理可得y=，x=y+2. 所以，直线DE的斜率为k===9·=9k，即k∶k=9∶1.评析上述蝴蝶模型中的斜率比值问题，属于解析几何中的斜率问题，探究解析时关注模型特点，采用“设而不求”“整体代入”的方法简化斜率比值. 问题突破有两大关键点：一是把握蝴蝶模型的相交弦的位置关系，推导所在直线的方程；二是充分利用类比推导简化的方法，整体代入化简直线斜率比值.实际上，可推广上述椭圆蝴蝶模型中的直线斜率比值结论，在求解相应问题时直接使用. 具体如下：如图4所示，在椭圆C：+=1（a>b>0）中，其左、右顶点为A，B，椭圆C的弦PQ过定点M（t，0），则k·k=3. 蝴蝶模型中的弦长关系问题例3 如图5所示，已知椭圆E：+=1（a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P，在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同的两点A和B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E相交于不同的两点C和D，求证：MA·MB=MC·MD.解析本题同样为椭圆中的蝴蝶模型问题，椭圆的两条弦CD和AB构成蝴蝶模型. 本题第（2）问为核心之问，求证弦长之间的关系，涉及四条弦，探究解析可采用“联立方程”“整体代换”的策略，即设点的坐标，推导线段的长，再整理化简.（1）把握几何特征，可得a=2b，再结合P，在椭圆E上，可得椭圆E的方程为+y2=1.（2）设直线l的方程为y=x+m （m≠0），点A（x，y），B（x，y），联立直线与椭圆的方程，有y=x+m，+y2=1，整理得x2+2mx+2m2-2=0. 结合韦达定理得x+x=-2m，xx=2m2-2，且Δ=4（2-m2）>0，可知参数m的取值范围为（-，）. 由点M的坐标-m，推得直线OM的方程为y=-x，与椭圆的方程联立，有y=-x，x2+4y2-4=0，可得點C-，，D，-. 结合点的距离公式得MC·MD=（-m+）·（m+）=（2-m2），MA·MB=AB2=（x+x）2-xx=（2-m2），所以MA·MB=MC·MD，得证.评析上述蝴蝶模型中的弦长关系问题，证明弦长乘积相等. 解析采用的是“联立方程”“整体代换”的策略，即设点的坐标，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理推导参数条件，将弦长乘积问题转化为与坐标参数相关的代数问题. 问题解析有两个关键点：一是挖掘其中的隐含模型，即蝴蝶模型，把握模型中的两条弦的特点；二是联立方程，设而不求，简化运算过程.教学思考上述深入探究了椭圆中的蝴蝶模型，剖析模型特征，结合实例探究常见问题，并探索解题过程，总结破题关键点. 下面对教学探究提出几点建议.1. 解析模型特征，挖掘模型本质蝴蝶模型是高中几何中常见的模型，教学探究要注意模型特征的解析，挖掘模型本质，让学生认识、理解、掌握模型. 上述模型探究按照“特征解析-本质挖掘-考点探究”来开展，探究过程具有连贯性、系统性，循序渐进、逐步深入. 教学时需要注意两点：一是模型解析中的数形结合，即探究时结合直观的模型图象，引导学生关注其几何特征；二是挖掘本质立足知识考点，即引导学生挖掘、理解模型的本质，掌握对应的知识考点.2. 关注模型考点，总结解题方法教学时教师要深入剖析模型的知识重点，围绕模型开展考点探究，精选问题，总结解题方法. 上述蝴蝶模型的探究，围绕三大典例问题开展，分析了定点问题、斜率比值问题、弦长关系问题的破解思路，总结了相应的解题方法. 教学引导时要注意两点：一是解题过程中的思维引导，即引导学生思考，锻炼学生思维能力；二是解法的归纳总结，即开展解后反思，让学生充分认识问题，掌握解题策略.3. 渗透数学思想方法，提升学生综合素养模型问题的探究教学要注意渗透数学思想方法，以提升学生的综合素养. 以上述蝴蝶模型的探究为例，其涉及了数形结合、模型构建、方程思想等，教学可分三个阶段进行：第一，讲解数学思想方法的内涵，引导学生初步理解数学思想方法；第二，结合模型解析渗透数学思想方法，引导学生感悟数学思想方法，体会数学思想方法的作用；第三，升华数学思想方法，促使学生独立使用数学思想方法构建解题思路，提升学生的思维能力.。
中学几何之蝴蝶定理大全
中学几何之蝴蝶定理大全在中学几何学中，蝴蝶定理是一项重要的定理，在解题过程中经常会用到。
本文就蝴蝶定理的各个方面进行全面介绍和总结。
定理的描述蝴蝶定理是指在平面几何中，如果一个三角形的两边分别与另外两个三角形的两边平行，并且这三个三角形的顶点都在同一直线上，那么这三个三角形的面积之比相等。
定理的证明蝴蝶定理的证明可以通过几何法或代数法进行。
几何法主要是利用平行线的性质和面积的性质进行推导，而代数法则是基于坐标系来进行计算。
定理的应用蝴蝶定理在求解平面几何问题时具有广泛的应用。
它可以简化问题的分析和计算过程，节省解题时间。
在解决平行线、相似三角形等问题时，可以通过蝴蝶定理的运用来得到解答。
注意事项在使用蝴蝶定理时需要注意以下几点：1. 确保题目中给出了足够的条件，以满足使用蝴蝶定理的要求。
2. 使用几何工具绘制图形，进行直观的观察和推导。
3. 确认计算中使用的单位和坐标系，保证计算的准确性。
例题分析以下是一个关于蝴蝶定理的例题分析：已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF并延长交BA于G，线段CG与线段EF交于H。
如果CG= 12 cm，EG = 9 cm，那么求CH。
根据蝴蝶定理，我们可以利用平行线的性质解答这个问题。
首先，由于EF为平行四边形的对角线，所以EF平分了CG。
根据平分线性质，可知EG = GF = 9/2 cm。
由此，我们可以通过相似三角形CGH和EGF的比例关系来计算出CH的长度。
通过以上的例题分析，我们可以看到蝴蝶定理在解决几何问题中的实际应用。
结论蝴蝶定理是中学几何中一个重要而实用的定理，它在求解平面几何问题时具有广泛的应用。
通过研究和掌握蝴蝶定理，我们可以更轻松地解答相关的几何题目，并在解题过程中提高思维能力和逻辑推理能力。
以上是关于中学几何之蝴蝶定理的全面介绍和总结，希望对读者有所帮助。
读者可以在实际的几何问题中尝试运用蝴蝶定理，提高解题的效率和准确性。
蝴蝶定理高中
蝴蝶定理高中
（实用版）
目录
1.蝴蝶定理的概述
2.蝴蝶定理的证明方法
3.蝴蝶定理在数学领域的应用
4.蝴蝶定理对高中数学教学的重要性
正文
【蝴蝶定理的概述】
蝴蝶定理，又称为蝶形定理，是一种数学公式，主要描述了三角函数的性质。
它的名字来源于它的形状像一只蝴蝶。
在数学中，蝴蝶定理是一种基本的公式，它在解决许多数学问题时都起到了关键的作用。
【蝴蝶定理的证明方法】
蝴蝶定理的证明方法比较简单，主要是通过将三角函数进行拆分和组合，然后通过化简，最后得到蝴蝶定理的公式。
具体的证明过程需要一定的数学技巧，但对于高中生来说，理解这个过程可以帮助他们更好地理解三角函数的性质。
【蝴蝶定理在数学领域的应用】
蝴蝶定理在数学领域中有广泛的应用，它不仅可以用来解决三角函数的问题，还可以用来解决复数和指数函数的问题。
在解决一些复杂的数学问题时，蝴蝶定理往往能够提供一种简单而优美的解决方案。
【蝴蝶定理对高中数学教学的重要性】
蝴蝶定理对高中数学教学具有重要的意义。
通过学习蝴蝶定理，学生可以更好地理解三角函数的性质，提高他们的数学技能和解决问题的能力。
同时，蝴蝶定理也是一种很好的教学工具，可以帮助教师更好地解释和教授三角函数。
探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题
探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题
圆锥曲线蝴蝶定理是几何学中古典的重要定理。
它指出：若将任意的圆锥曲线的外接圆截取两点，然后连接这两点到曲线上任意一点，两条直线朝向这点的“蝴蝶”背后必然形成一个平行四边形，该四边形内部及其外部分别由来自外接圆的直径和曲线的切线平分。
由于圆锥曲线蝴蝶定理在几何学中有重要的地位，高考中也考查相关的题目。
比如：曲线C的参数方程为x^2+y^2-2py-2q=0，P＞0，Q＞0。
若AB垂直x轴弦AB于C
的外接圆上，过点C作垂直于AB的交C的切线，连接ABC的三角形的面积为A，
则A的最大值是（A）.
符合圆锥曲线蝴蝶定理，AB到曲线C上任意一点C时，两条直线AB和C形成的蝴
蝶朝向C的平行四边形，其中之前AB为来自外接圆的直径，从而三角形ABC的面
积可表示为：A＝BC＊DC＊sinac。
其中BC和DC为两条切线的垂直距离，ac为AB
到曲线C的切点的角度。
可以推出：A最大值时，sinac最大，即ac最小，即AB
到曲线C的切点C最近，即AB到曲线C的最短距离最小，而AB距离最小时，P＞0，Q＞0，A最大值是4pq。
由此，最终结果是A的最大值是4pq，其中P＞0，Q＞0。
圆锥曲线蝴蝶定理作为几何学上古典的重要定理，能够指导高考考生完成高考数学题目。
本文运用圆锥曲线蝴蝶定理来解释高考中的一类几何问题，为学生提供了解答的思路和方法，是相关几何问题的重要参考。
椭圆蝴蝶定理过定点斜率之比-概述说明以及解释
椭圆蝴蝶定理过定点斜率之比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述椭圆蝴蝶定理是一种重要的数学定理，它研究了椭圆曲线上的点与过该点的切线之间的关系。
具体来说，该定理指出：过椭圆任意一点的切线斜率的平方与过该点的切线所形成的直线与椭圆的切线斜率的平方之比保持不变。
在本文中，我们将探讨这一定理并进一步研究其特殊情况——过定点斜率之比。
我们将通过介绍椭圆蝴蝶定理的基本原理和证明过程来解释这一定理的数学基础。
同时，我们还将介绍过定点斜率之比的定义和性质，并通过具体的示例来说明其应用。
通过研究椭圆蝴蝶定理过定点斜率之比，我们可以更深入地理解椭圆曲线的特性和几何性质。
这不仅对数学理论具有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
例如，在密码学中，椭圆曲线密码学利用了椭圆曲线上的点操作进行加密和解密，而椭圆蝴蝶定理可以帮助我们更好地理解椭圆曲线加密算法的安全性。
通过本文的阅读，读者可以对椭圆蝴蝶定理过定点斜率之比有一个较为全面的了解，并进一步探索其研究意义和应用领域。
在开始正文之前，我们将首先介绍文章的结构以及我们的研究目的，以帮助读者更好地理解和阅读后续内容。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式来编写：本文将分为引言、正文和结论三个部分，以探讨椭圆蝴蝶定理过定点斜率之比的相关内容。
在引言部分，我们将对整篇文章进行一个简要的概述，介绍研究的背景和目的。
首先，我们将概述椭圆蝴蝶定理及其在数学中的重要性。
接着，我们将说明本文的结构和组织方式，让读者能够清晰地了解本文的内容安排。
最后，我们将明确本文的目的，即探讨通过椭圆蝴蝶定理求解过定点斜率之比，并进一步说明此研究的意义和应用。
正文部分将详细介绍椭圆蝴蝶定理和过定点斜率之比的相关理论。
首先，我们将介绍椭圆蝴蝶定理的定义和基本性质。
通过数学推导和几何解释，我们将阐述椭圆蝴蝶定理的重要意义，并提供实例来帮助读者更好地理解该定理的应用。
接着，我们将探讨过定点斜率之比的求解方法。
几何里的蝴蝶定理
几何里的蝴蝶定理一、蝴蝶定理的内容1. 定理表述- 设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ 于点X和Y，则M是XY的中点。
2. 图形示例- 画出一个圆，圆内有弦PQ，M为PQ中点。
然后画出弦AB和CD，连接AD与PQ交于X点，连接BC与PQ交于Y点。
从图上直观地看，似乎XM = MY。
二、蝴蝶定理的证明方法（以初中几何知识为例）1. 利用相似三角形证明（一种常见方法）- 连接AC、BD。
- 因为∠AXM = ∠DYM（对顶角相等），∠AMX=∠DMY（对顶角相等），且由圆内接四边形的性质可知∠CAB = ∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠ACD = ∠ABD（同弧所对的圆周角相等）。
- 所以△AXM∽△DYM，△AMC∽△DMB。
- 根据相似三角形的性质，在△AXM和△DYM中，有(XM)/(YM)=(AM)/(DM)；在△AMC和△DMB中，有(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。
- 又因为在圆中，由相交弦定理可得AM× BM = CM× DM，即(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。
- 所以(XM)/(YM) = 1，即XM = YM，从而证明了蝴蝶定理。
2. 面积法证明（另一种思路）- 设∠ AXM=α，∠ DYM = β。
- 根据三角形面积公式S=(1)/(2)absin C。
- 对于 AXM和 DYM，frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(frac{1)/(2)AX· XM·sin α}{(1)/(2)DY· YM·sinβ}。
- 因为α=β（对顶角相等），所以frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(AX· XM)/(DY· YM)。
- 同理，通过连接其他线段，利用圆内的角关系和面积关系，经过一系列的等量代换，可以得出XM = YM的结论。
三、蝴蝶定理的拓展与应用1. 在椭圆中的推广- 在椭圆中也有类似蝴蝶定理的结论。
椭圆蝴蝶定理高考解析几何
椭圆蝴蝶定理高考解析几何
椭圆蝴蝶定理（又称汤逊定理）是一个著名的几何定理，由英国数学家Thomas Taylor Todd提出。
它的核心思想是，椭圆的内角有着特殊的和，表示椭圆的一条曲线将分成四个等份，三个角是相等的，而四个角总和为360°。
该定理是几何学中重要的一部分，经常在高考中出现，有助于考生从宽广的视野准确把握几何问题中的重要细节。
一、椭圆蝴蝶定理的概念
椭圆蝴蝶定理显示，椭圆的内角有着特殊的角和，表示在椭圆上任意四点确定的曲线将被分为四个等份，其中三个角是等角的，四个角的总和为360°。
二、椭圆蝴蝶定理的证明
1、由反证法可知：设系统存在四点确定的椭圆曲线，其中三个内角之和不是360°，则给出这样椭圆曲线与定理矛盾，故系统不存在，即椭圆蝴蝶定理正确。
2、由定义：椭圆曲线是椭圆的四点拟合线段，它的四个角的总和是360的倍数。
三、椭圆蝴蝶定理的应用
1、椭圆蝴蝶定理在几何中可以用来解决一类衍生问题：求另外三个内角的大小，从而求另外一个内角的大小，从而求此曲线的方程，求曲线上一点到其他点的距离等。
2、椭圆蝴蝶定理在高考数学中也能发挥作用，考生可以从宽广的视野准确把握几何问题中的重要细节，例如：三角函数的求解、八角形的求解、分段函数的求解等。
抛物线蝴蝶定理
抛物线蝴蝶定理
蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD 和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
最为欧氏几何的最精彩结论，“蝴蝶定理”仅仅停留在圆中，那是不可能的，今天我们一起来探讨圆锥曲线中的“蝴蝶定理”。
它能为我们高考数学做哪些帮助呢？
事实上，通过射影变换，显然可以知道“蝴蝶定理”对于圆锥曲线的情形是非常适合的。
但是如果针对一般情形，高考题不可能考察到，因为那样会使计算量异常恐怖。
故对于高中数学，我们需要掌握两类“蝴蝶”模型就好，我们把它们称之为“横蝴蝶”和“竖蝴蝶”。
横蝴蝶
定理1：过椭圆短轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与短轴垂直的直线为相等的线段，即：PM=MQ 定理2：过双曲线虚轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与虚轴垂直的直线为相等的线段，即：PM=MQ 定理3：过抛物线对称轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段即：PM=MQ 竖蝴蝶
定理1：过椭圆长轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB 和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM 定理2：过双曲线实轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM
定理3：过抛物线对称轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM。
蝴蝶定理定理
蝴蝶定理定理
蝴蝶定理是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。
这个命题最早出现在1815年，由W。
G。
霍纳提出证明。
而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。
这个定理的证法不胜枚举，至
今仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。
蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD 和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
蝴蝶定理的证明
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广（详见定理推广）：
1.M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。
2.圆可以改为任意圆锥曲线。
3.将圆变为一个筝形，M为对角线交点。
4.去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足。
高考数学试题的蝴蝶定理(完结版)
最是风华绝代时 更有蝴蝶翩翩来——高考数学试卷中的蝴蝶定理一.风华绝代之蝴蝶定理背景展现：1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：蝴蝶定理：设M 为园内弦PQ 的中点，过M 做弦,AB CD ，设AD 和BC 各相交PQ 于点,X Y 和点，则M 是线段XY 的中点.以上问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由。
由于蝴蝶定理意境优美、结论简洁、蕴理深刻，300多年来引无数中外数学爱好者为之驻足、也为之浮想联翩,时至今日，人们不仅发现了蝴蝶定理的60余种证法，而且还给出了定理的各种变形与推广。
多少年来,研究者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖息不定，变化多端。
特别是在高考数学的这个百花园中更是蝴蝶飞舞，令人流连忘返。
二.更有蝴蝶扑面来----高考数学试题中翩翩飞舞的蝴蝶 1.椭圆中的“蝴蝶定理”题目1(2003年高考数学北京理科卷)：如图：在直角坐标系xOy 中，椭圆的长轴12(2)A A a =与x 轴平行，短轴12(2)B B b =在y 轴上，中心在(0,)(0)M r b r >>.(1)写出椭圆的方程;(2)直线交椭圆于两点11(,)C x y ，222(,)(0)D x y y >, 直线2y k x =交椭圆于两点33(,)G x y ，444(,)(0)H x y y > 求证：2341121234k x x k x x x x x x =++. (3)对（2）中的,,,C D G H ,设CH 交x 轴于P ,GD 交x 轴于Q ,求证： OP OQ = (证明过程中不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情况)解：（1）椭圆的方程为2222()1x y r a b-+=. （2）将CD 的方程1y k x =代入椭圆的方程中，整理得:22222222211()20b a k x k a rx a r a b +-+-=由韦达定理：22222112122222222,k a r a r a b x x x x b a k b a k -+==++22121212x x r b x x k r -=+ 同理：22343422x x r b x x k r-=+, (韦达定理真“伟大”) 所以：2223411212342k x x k x x r b x x r x x -==++ 即：2341121234k x x k x x x x x x =++(3)证明：由三点共线知设(,0),(,0)P p Q q ,由三点共线知,11112122221122()x p k x k k x xp x p k x k x k x --=⇒=-- 同理：31312344241324()x p k x k k x x q x p k x k x k x --=⇒=--由2341121234k x x k x x x x x x =++则得：231412231124x x x x k x k x k x k x -=--进一步：1223121412231124()()k k x x k k x x k x k x k x k x ---=-- 所以：p q =,即OP OQ =.题目2（2016年高考数学四川理科卷）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;(2)设O 是坐标原点,直线l '平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点,A B ,且与直线l 交于点P ,证明：存在常数λ,使得2PT PA PB λ=⋅,并求λ的值. 题目3（2016年高考数学四川文科卷）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，直线1)2P 在椭圆上。
蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨
蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨
拓展蝴蝶定理是几何学中最精彩的探讨舞台，其能助学生窥探数学世界的大门，助学生深刻地理解几何解析几何题。
高考数学解析几何训练，不单是一种推理过程，更是拓展蝴蝶定理的有趣之处。
在应用蝴蝶定理中，学生首先要正确理解蝴蝶定理的含义，然后在实践中做准
确的推理。
其推理的步骤主要通过给定四点首先确定蝴蝶定理，然后再进行具体的计算运算。
通过仔细分析，我们还能发现其中蕴藏着定理证明和证明技巧的运用，因此，使用蝴蝶定理解决高考数学解析几何题，不仅能练习学生对定理的理解和实践能力，还能加强学生对定理证明如何得出结果的理解和掌握证明技巧的熟练程度。
此外，通过蝴蝶定理的探讨，学生还可以逐渐拓展自己的数学思维，培养解决
实际中几何问题的能力，理论知识的积累也会有所增加。
因此，在解决高考数学解析几何题时，尽可能利用蝴蝶定理来拓展学生的思维，有助于学生更好深刻理解几何，并能从数学世界中获得有趣而实用的知识。
蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨
蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨蝴蝶定理是代数几何学中最著名的定理之一，自17世纪以来就被广泛研究和应用，其中尤以高考解析几何题让其发挥了巨大的优势。
然而，随着数学发展的不断深入，蝴蝶定理的研究也在不断深入，因此，对于蝴蝶定理在高考数学解析几何题中的再探讨成为了必要。
首先，简述蝴蝶定理本身。
蝴蝶定理指出，若两个定点在同一条直线上，则边界上的四点构成的四边形的面积等于第一象限内的四点构成的四边形的面积。
虽然它的表达式简单，但它却有着深刻的含义，反映了它的概念性形态。
由于这一定理的非常具有抽象性，因此在数学论文中有不少的应用，但就其教学实践而言，也有许多学者使用蝴蝶定理来解答高考数学解析几何题，显示出蝴蝶定理在高考中的重要性。
蝴蝶定理在高考解析几何题中的再探讨主要有三个方面，即理论设计、数学归纳分析和数学计算。
首先，在理论设计方面，蝴蝶定理对高考解析几何题的解答主要是通过“斜率”、“相等”、“等位置”以及“平行”这几个方面，以这几个概念联系起来，就可以将蝴蝶定理作为一个数学模型，从而确定高考解析几何题的解答。
其次，在数学归纳分析方面，结合蝴蝶定理确定的数学模型，对其中涉及到的参数，如斜率、相等、等位置以及平行，可以用数学归纳分析的方法去探索，最终达到确定解答的目的。
最后，在数学计算方面，可以使用数学计算的方法去核实蝴蝶定理是否符合高考解析几何题的要求，有效的进行数值计算，以此来验证蝴蝶定理的正确性。
除此之外，蝴蝶定理在高考解析几何题中的再探讨还应涉及到计算机以及科学技术的应用，以便更有效、精准的解答高考解析几何题。
比如，可以利用计算机技术进行拓扑计算，在此基础上，利用科学技术模拟蝴蝶定理的关系，以此可以达到解答高考解析几何题的目的。
总之，蝴蝶定理在高考解析几何题中的再探讨，是当今数学学科不可或缺的研究课题，也是其实践性的体现。
未来在探索蝴蝶定理的同时，还需要更多的技术、工具和方法，以便更好的应用蝴蝶定理解决高考数学解析几何题。
蝴蝶定理的再探究
• 17 .
命 题 1 : 如图3,设 0/V为垂直于〇 0 弦 从 的 半 径 ，
它 与 相 交 于 点 M，P 为 优 弧 ^ 上 （位 于 0/V所在直径
上除外）的任意一点，若 PM 、pyv各 交 〇 0 于 点 (?、弦
于点 /；,则 M(? < «/V.
下面利用蝴蝶定理给出该命题的一种新的简捷证
法. 证 明 ：如 图 4,延 长 /V0 交 〇 0 于 点 C ,连 结 ⑶ 交
而 异 的 添 加 各 种 辅 助 线 ，斯 特 温 的 证 法 通 过 巧 妙 的 构
造一个形如U
. … .警 1 . . = 1 的面积恒等式，
再把相应的三角形面积公式代入该恒等式进行计算或 化 简 ，这样就回避了添加辅助线这个难点，这种证题方 法称之为斯特温面积法.
最 近 ，笔者在学习蝴蝶定理的各种证法及推广时 尝 试 将 添 加 辅 助 线 与 斯 特 温 面 积 法 联 合 起 来 ，并 用 三 角 形 面 积 比 定 理 （如 相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的平方，等 高 的 两 个 三 角 形 的 面 积 比 等 于 底 边 之 比 ） 去 替 代 斯 特 温 面 积 恒 等 式 中 相 应 的 三 角 形 面 积 比 ，又 获 得 了 一 个 十 分 简 捷 的 纯 几 何 证 法 ，该 证 法 比 斯 特 温 证法所用知识更为简单（不用三角函数知识），而且而 且这种证法还可用于证明蝴蝶定理的著名推广— 坎 迪 （Kandy) 定理.
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蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨以《蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨》为标题，写一篇3000字的中文文章
数学解析几何作为高考数学的重要考点，考生们在准备应考时，解题思路和技巧也是非常重要的。
其中，蝴蝶定理是数学解析几何中的重要定理，它能够有效地帮助考生提高数学解析几何的成绩，具有重要的意义。
蝴蝶定理是由18世纪的德国数学家黑格尔提出的。
它的定义是：“两个相交圆之间的两条射线被称为蝴蝶定理，它们的角的和等于180度”。
由于蝴蝶定理的定义非常简单，大多数学生都停留在一张图形上，在这张图形上大家可能都比较容易理解，因此当考生发现有蝴蝶定理出现时，他们能够反应迅速，准确地把握住它，并将它正确地附加在题目上，从而有效地求出结果。
尽管蝴蝶定理有着重要的理论地位，但是正确应用蝴蝶定理是关键，许多考生在运用蝴蝶定理解题时会遇到许多困难，错误地使用蝴蝶定理就会导致解题的失败，可能会给学生带来不可逆的损失。
因此，在高考数学解析几何中，如何利用蝴蝶定理准确而有效地求解题目是非常值得探讨的。
首先，应该重视蝴蝶定理对数学解析几何的重要性，比较系统地学习它，全面掌握它的解题方法和方法。
其次，应该学会灵活运用蝴蝶定理，根据题目的不同需求，从蝴蝶定理中提取有用的思想和知识。
最后，应该学会通过分析，把握蝴蝶定理的特点，灵活变通，把蝴蝶定理的普遍性与题目的特殊性结合起来，
从而求出高考数学解析几何题的正确答案。
总之，虽蝴蝶定理在高考数学解析几何中具有重要的意义，但正确应用蝴蝶定理仍然有一定的难度，并不是每个学生都能做到，希望考生能够在复习过程中重视蝴蝶定理，积极掌握它的解题方法，从而取得优异的数学解析几何成绩。