高中数学选修一第2章-2.4抛物线-知识点

高中数学选修一第2章-2.4抛物线-知识点

1、抛物线：平面内到一个定点F (焦点)和到一条定直线l(准线)的距离相等的点的轨迹。

2、抛物线的标准方程/焦点和准线

方程/焦点/准线图形方程/焦点/准线图形

方程：y2=2px,(p>0）焦点：(p/2,0)，

准线：x=-p/2。方程：y2=-2px,(p>0）焦点：(-p/2,0)，

准线：x=p/2。

方程：x2=2py,(p>0）焦点：(0,p/2)，

准线：y=-p/2。方程：x2=-2py,(p>0）焦点：(0,-p/2)，

准线：y=p/2。

3、抛物线的性质[以y2=2px(p>0）为例进行说明].①范围：x≥0,抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，抛物线向右上方和右下方无限延伸。②对称性：关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。③顶点：坐标原点。

④顶点是（0，0），⑤离心率e=1 。

4、抛物线的方程，多用定义法，通过数形结合来确定，或建立方程求出参数 p。

5、抛物线与二次函数的关系：①当焦点在x轴上时，抛物线不是函数，②当焦点在y轴上时，抛物线是二次函数。

6、求弦长：①若AB过抛物线焦点，则AB=x

1+x

2

+p （p>0时）；②若不过焦点，

则必须用弦长公式。

7、与抛物线有关的最值问题的两个转化策略：①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”。②将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，构造出“与直线上所有点的连线段中垂线段最短”。

8、直线与抛物线的位置关系(以直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0）为例).①k=0时,相交;②k≠0时,联立方程组,若△>0,则相交;△=0，则相切;△<0,则相离。9、“设而不求”思想：在研究直线与曲线相交的相关问题时，我们通常把两个交点的坐标设出来（却又不求出），利用韦达定理及相关已知（弦长/中点/距离等）得到与参数相关的方程，从而解决问题。典例：直线y=1.5x+t与抛物线y2=3x（焦

1

2

点为F ）相交与A ，B 两点，若AF+BF=4，求t.思路：设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AF+BF=x 1+x 2+1.5=4，∴x 1+x 2=2.5；联立方程组消去y 可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0，由韦达定理有：x 1+x 2=-12(t-1)/9；由以上两式可求出t 。

10、解题方法之点差法：与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为中点弦问题。在解决中点弦问题时，可设两交点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，将这两点代入曲线方程，并对两式做差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。典例：直线l 与抛物线y 2

=2mx （m ≠0）相交于点M ，N 两点，点P （x 0，y 0）是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线斜率为k ，求证：ky 0=m 。解析：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 12

=2mx 1，y 22

=2mx 2，两式相减可得：y 12

-y 22

=2m （x 1-x 2），整理得：

m =2y +y x -x y -y 2

12121 ，即

ky 0=m 。