新中国第一次高考数学卷
史上最难的1984全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解（1） （2）解：1. 2.四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,，∴所以a ，b ，c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b ，则由c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ，b ，c 互相平行五．（本题满分14分）设c ，d ，x 为实数，c ≠0，x 讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) ((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得 .12cdx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0，1-d ＞0，即c ＞0，d ＜1；②c ＜0，1-d ＜0，即c ＜0，d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0，d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0，d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1，z 2.再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分）解：1.因为p ，q 为实数，0≠p ，z 1，z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1，z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b =|z 1+z 2|=2|p |，焦距离=2c =|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+， 长轴长=2a =.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x ，y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d =1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得1)2(432(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有,sin sin cos cos ABB A = .2sin 2sin cos sin cos sin B A B B A A =∴=∴ 因为A ≠B ，所以2A =π-2B ，即A +B 2由此可知△ABC 是直角三角形 由c =10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC =.12)6810(21=++但上式中AD+DB =c =10，所以内切圆半径r = EC = 2.如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x -2)2+(y -2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x ，y )，则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， 于是S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设α＞2，给定数列{x n }，其中x 1=α，)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x n n 那么如果α3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n 必有时那么当如果α1．证：先证明x n ＞2(n =1，2，…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n =1，2，…）成立）再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n =1，2，…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立， 从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n =k +1时成立用以下证法： 由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP =43π时，点P 的速度为v 求这时点M解：作CD ⊥AM ，并设AP = x ，AM = y ，∠COD =θ由假设，AC 的长为x AP 3232=，半径OC =1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴ 而.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(x x y xy x DC x y DM --=∴=--=dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y )32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(2----+--=∴--=解得.)43()843(2 ,,4322v dt dy M v dt dx x ---===ππππ点的速度代入上式得时当（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。
第一次全国高考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -3/4D. 无理数2. 如果a+b=5，ab=6，那么a²+b²的值为（）A. 17B. 25C. 35D. 493. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x²B. y = 2xC. y = |x|D. y = x³4. 已知等差数列{an}的第一项a₁=3，公差d=2，则第10项a₁₀的值为（）A. 15B. 17C. 19D. 215. 下列各式中，能表示圆的方程是（）A. x²+y²=4B. x²+y²-2x-2y=0C. x²+y²-2x+2y=0D. x²+y²+2x+2y=06. 下列命题中，正确的是（）A. 所有的奇数都是无理数B. 所有的偶数都是整数C. 所有的整数都是有理数D. 所有的无理数都是实数7. 已知函数f(x) = 2x + 3，如果f(x+1) = 7，那么x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 下列各对数中，等价的是（）A. log₂8 和 log₄2B. log₃27 和 log₉3C. log₅25 和 log₁₀100D. log₆36 和 log₈89. 已知等比数列{bn}的第一项b₁=1，公比q=2，则第5项b₅的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 12810. 下列各图中，表示函数y=f(x)的图像是（）（此处应插入一张图像）二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
）11. 已知sinα=1/2，且α为锐角，则cosα的值为______。
12. 二项式(2x-3)³的展开式中，x²的系数为______。
13. 若log₃x + log₃(x+1) = 2，则x的值为______。
1949-1961年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
1949年北大清华联合招生数学试题 一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=． 三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）． 四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅． 五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分． 六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+． 七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足 八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线， 其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上． 九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条． 十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题 一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根． 二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长． 三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？ 四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数． 五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形． 六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高． 七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-． 八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组 第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为 ．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为 ． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为 ．甲组 第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为 ． 2．32452x x x -+-的因子是 ． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之 ．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有 边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年 岁． 乙、丙组 第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-． （3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---． 乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和． 戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件： （1）被1x -整除， （2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数． 丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为 的中点，E 为 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值 戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求 （1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。
(1978-1985)高考数学全国卷汇编(文理)附答案
消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.∴ (x+m)2=1-a. 因而当1-a≥0即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a<0即a>1时,直线l与抛物线不相交.
即直线l与抛物线两交点横坐标为 因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45°. ∵ 直线l被抛物线截出的线段等于 而这与m无关. 因此直线l被各抛物线截出的线段都相等.
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Echo（1978-1985）高考数学全国卷汇编
1979年全国高考数学试题（理）
1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列. [Key] 证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2
=(x+z)2-2·2y(z+x)+4y2=(z+x-2y-x,所以,x,y,z成等差数列, 证法二：令x-y=a,y-z=b,则x-z=x-y+y-z=a+b.
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Echo（1978-1985）高考数学全国卷汇编
1978年全国高考数学试题
注意事项: 1.理工科考生要求除作（一）棗（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要 求作（一）棗（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题. 2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.
[Key]解:∵log189=a,∴18a=9.又 18b=5,∴ 45=9×5=18a·18b=18a+b, 设 log3645=x,则36x=45=18a+b,∴ log1836x=log1818a+b
第一张高考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点为A、B，且OA = OB，则A、B两点的坐标分别是（）A. (1, 0) 和 (3, 0)B. (2, 0) 和 (2, 0)C. (1, 0) 和 (3, 0)D. (2, 0) 和 (1, 0)2. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.1010010001...D. -1/33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，S10 = 165，则第11项a11的值为（）A. 17B. 18C. 19D. 204. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，cosB=3/5，则sinA的值为（）A. 4/5B. 3/5C. 2/5D. 1/55. 已知复数z = 1 + 2i，若w是z的共轭复数，则|w|的值为（）A. √5B. 2C. 1D. √36. 若不等式2x - 3 < x + 1的解集为（-∞，a），则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 下列函数中，在定义域内是单调递增的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = 2xC. f(x) = |x|D. f(x) = -x8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若x1、x2是f(x)的两个不同零点，则x1 + x2的值为（）A. 0B. 3C. -3D. 不存在9. 下列各命题中，正确的是（）A. 两个等腰三角形一定相似B. 两个等边三角形一定相似C. 两个等腰直角三角形一定相似D. 两个等腰三角形一定全等10. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，S4 = 32，则公比q的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 1611. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 1，若函数g(x) = f(x + 1)，则g(x)的图像关于（）A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 任意直线对称12. 下列各方程中，无解的是（）A. x + 1 = 0B. x^2 + 1 = 0C. x^2 - 1 = 0D. x^2 + x + 1 = 0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像经过点(1, 4)，则a + b + c的值为______。
创难度之最的1984年数学试题
创难度之最的1984年数学试题1984年理科数学试卷（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负11．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin2cosθ-=θ-θ那么2θ （ B ）（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log25.0++x x 在什么区间上是增函数？答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim +-∞→nnn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解（1） （2）解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由1. 2.a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,，∴所以a ，b ，c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b ，则由a c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ，b ，c 互相平行五．（本题满分14分）设c ，d ，x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) ((3) ,0(2) ,0(1) ,01x x d cx x d cx x d cx x由条件（4）知1)(=+xd cx x ，所以2=+d cx再由c ≠0，可得 .12cd x -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xd cx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1) ,02c dx由条件（1）（6）知.01>-cd 这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0，1-d ＞0，即c ＞0，d ＜1；②c ＜0，1-d ＜0，即c ＜0，d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0，d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0，d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1，z 2.再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分）解：1.因为p ，q 为实数，0≠p ，z 1，z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--pq q p由z 1，z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b =|z 1+z 2|=2|p |，焦距离=2c =|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+， 长轴长=2a =.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x ，y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为),23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d =1根据21||=dMF 及两点间距离公式，可得 1)2(432(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =10，34cos cos ==a b BA ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由ab BA =cos cos ，运用正弦定理，有,sin sin cos cos AB BA =.2sin 2sin cos sin cos sin B A B B A A =∴=∴因为A ≠B ，所以2A =π-2B ，即A +B 由此可知△ABC 是直角三角形由c =10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c ba ab 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC =.12)6810(21=++但上式中AD+DB =c =10，所以内切圆半径r = EC = 2.如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x -2)2+(y -2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x ，y )，则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， 于是S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设α＞2，给定数列{x n }，其中x 1=α，)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证：1．);2,1(1,21 =<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x n n 那么如果α3．.3,34lg3lg,31<≥>+n x an 必有时那么当如果α 1．证：先证明x n ＞2(n =1，2，…）用数学归纳法 由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n =1，2，…）成立）再证明).2,1(11 =<+n x x nn 由条件及x n >2(n =1，2，…）知,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n nn x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x x nn 也成立（也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n nn x x x还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x x nn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2)212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k kk kk kk k kk x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n =k +1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k kk x x x然后用反证法若当34lg3lga n >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211nnn n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++即34lg3lga n <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AP32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP =43π时，点P 的速度为v 求这时点M解：作CD ⊥AM ，并设AP = x ，AM = y ，∠COD =θ由假设，AC 的长为xAP 3232=，半径OC =1，可知θx32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDM APAM =∴而.32sin)32cos 1(,32sin),32cos1(xx y xy x DC x y DM --=∴=--=dtdx x x x x x x x x x x dt dy x x x x y )32sin()32cos 321)(32cos 1()32sin3232cos1)(32sin([/.32sin)32cos1(2----+--=∴--=解得.)43()843(2,,4322v dtdy M v dtdx x ---===ππππ点的速度代入上式得时当（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。
1955年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1955年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、以二次方程x 2-3x-1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=-1，又，α2 +β2 =(α+β)2-2αβ=11，α2β2 =1，故所求的二次方程为 x 2-11x +1=0乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦解：设AB=AC=4BC ，而AD 为底边上的高， 于是ACBC BC BC BC AC AB BC AC AB A ⋅⋅−+=⋅−+=4216162cos 222222.81cos ,81421cos ,3231323122======C AC BCAB BD B BCBC 同理 AB D C丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高解：设S-ABCD 为正四棱锥，SO 为它的高，底边长为a ，∠SAO=450∵AO=a 22 ∴由△SOA 为等腰直角三角形， 故棱锥S-ABCD 的高SO=a 22 丁、写出二面角的平面角的定义 略2．求b ，c ，d 的值，使多项式x 3+bx 2+cx+d 适合于下列三条件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除时余2， （3）被x+2除时与被x-2除时的余数相等解：根据余数定理及题设条件可得f(1)=1+b+c+d =0…………………………………① f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………② -8+4b-2c+d= 8+4b+2c+d …………………………③ 化简③式可得 c=-4将其分别代入①②可得b+d=39b+d=-13 解得b=-2,d=5. 综上，b=-2,c=-4,d=5 S3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项证：连接GA 、GB ，则△AGB 也是一个直角三角形因为EG 为直角△AGB 的斜边EG 为EA 和EB 的比例中项，即EG 2=EA ·EB ∵∠AFE=∠ABC ，∴直角△AEF ∽直角△DEB ，.EF ED EB EA EBEDEF EA ⋅=⋅=即 但是∵EG 2=EA ·EB ，∴EG 2=ED ·EF （等量代换）. 故 EG 也是ED 和EF 的比例中项4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值解：x x x x sin cos sin cos 22+=−，)(.22,2,424,22)4cos(,22sin 22cos 22,1sin cos 01sin cos )(.4,1,010sin cos .0)1sin )(cos sin (cos ,0)sin (cos )sin )(cos sin (cos 为整数则得如果为整数则得如果k k k x k x x x x x x x x k k x tgx tgx x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧π−ππ=∴π±π=π+∴=π+∴=−∴=−=−+π−π=∴−==+=+=−−+=+−−+5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形证：可设其长分别为x-d,x,x+d.F C B因为三角形的周长为12尺， ∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺） 于是该三角形的三边又可表示为4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6，三边长为4-d,4,4+d ，代入求面积的计算公式，得.1,1),2)(2(1236)]4(6)[46)](4(6[662±==−+=+−−−−=d d d d d d由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形。
历代高考数学试卷题目
一、1977年恢复高考1. 题目：求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点。
解析：此题考查了二次方程的求解，属于基础题。
2. 题目：已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，求第10项an。
解析：此题考查了等差数列的通项公式，属于基础题。
二、1980年代1. 题目：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，求第5项an。
解析：此题考查了等比数列的通项公式，属于基础题。
2. 题目：已知函数f(x) = (x-1)^2 + 2x，求f(x)的最小值。
解析：此题考查了二次函数的最值问题，属于基础题。
三、1990年代1. 题目：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，且f(0) = 1，f(1) = 3，求a、b、c的值。
解析：此题考查了二次函数的性质和解析几何，属于中档题。
2. 题目：已知函数f(x) = log2(x+1)，求f(x)的单调性。
解析：此题考查了对数函数的性质，属于中档题。
四、21世纪初1. 题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn = n^2 + n，求第10项an。
解析：此题考查了数列的前n项和与通项公式的求解，属于中档题。
2. 题目：已知函数f(x) = e^x + 1，求f(x)在区间[0, 1]上的最大值。
解析：此题考查了指数函数的性质和最值问题，属于中档题。
五、21世纪10年代1. 题目：已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的极值点。
解析：此题考查了导数的应用，属于中档题。
2. 题目：已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(x)的周期。
解析：此题考查了三角函数的性质，属于中档题。
六、21世纪20年代1. 题目：已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求f(x)的零点。
解析：此题考查了多项式的因式分解，属于中档题。
2. 题目：已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - n + 1，求数列的前n项和Sn。
2001年高考数学试卷 (江西、山西、天津卷)理科类
2001年高考数学试卷 (江西、山西、天津卷)理科类第Ⅰ卷 (选择题共60分)参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的 概率是P ，那么n 次独立重复试 验中恰好发生k 次的概率 k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）函数)32sin(3π+=xy 的周期、振幅依次是（A ）4π、3（B ）4π、－3（C ）π、3（D ）π、－3（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞ （D ）),0(+∞（5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c=（A ）21-a +23b （B ）21a －23b（C ）23a 21-b（D ）－23a 21+b（6）若A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长. 棱锥、圆锥的体积公式 sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高.（C ）042=--x y （D ）072=-+y x（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab（D ）2>ab（8）函数331x x y -+=有（A ）极小值－1，极大值1 （B ）极小值－2，极大值3 （C ）极小值－2，极大值2（D ）极小值－1，极大值3（9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分， 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA（A ）43 （B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜。
1991高考数学全国卷及答案文
1991年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分．一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内(1) 已知sin α=54，并且α是第二象限的角，那么tg α的值等于 ( )(A) 34- (B) 43- (C) 43(D)34(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是( )(A) y 2=8(x ＋1) (B) y 2=－8(x ＋1) (C) y 2=8(x －1)(D) y 2=－8(x －1)(3) 函数y =cos 4x －sin 4x 的最小正周期是( )(A)2π (B) π(C) 2π(D) 4π(4) P (2，5)关于直线x ＋y =0的对称点的坐标是( )(A) (5，2)(B) (2，－5)(C) (－5，－2)(D) (－2，－5)(5) 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )(A) 12对 (B) 24对(C) 36对(D) 48对(6) 函数y =sin(2x ＋25π)的图像的一条对称轴的方程是 ( )(A) x =－2π (B) x =－4π (C) x =8π (D) x =45π(7) 如果三棱锥S －ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 内心(8) 已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6=25，那么a 3＋a 5的值等于( )(A) 5 (B) 10(C) 15(D) 20(9) 已知函数y =156-+x x (x ∈R ，且x ≠1)，那么它的反函数为 ( )(A) y =156-+x x (x ∈R ，且x ≠1)(B) y =65-+x x (x ∈R ，且x ≠6)(C) y =561+-x x (x ∈R ，且x ≠－65)(D) y =56+-x x (x ∈R ，且x ≠－5)(10) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )(A) 140种(B) 84种(C) 70种（D ）35种(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 (12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n (1)21+n )]的值等于 ( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果AC <0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C =0不通过．．．( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(14) 如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( )(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5(D) 减函数且最大值为－5(15) 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3=0上到直线x ＋y ＋1=0的距离为2的点共有( ) (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16) 双曲线以直线x =－1和y =2为对称轴，如果它的一个焦点在y 轴上，那么它的另一焦点的坐标是__________________．(17) 已知sin x =215-，则sin2(x －4π)=____________(18) 不等式lg(x 2＋2x ＋2)<1的解集是_____________(19) 在(ax ＋1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，若实数a >1，那么a =_____________(20) 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知顶点A 上三条棱长分别是32、、2．如果对角线AC 1与过点A 的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ=_________三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最大值． (22) (本小题满分8分)已知复数z =1＋i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．(23) (本小题满分10分)如图，在三棱台A 1B 1C 1－ABC 中，已知A 1A ⊥底面ABC ，A 1A = A 1B 1= B 1C 1=a ，B 1B ⊥BC ，且B 1B 和底面ABC 所成的角45º，求这个棱台的体积．(24) (本小题满分10分) 设{a n }是等差数列，b n =(21)a n ．已知b 1＋b 2＋b 3=821, b 1b 2b 3=81．求等差数列的通项a n ． (25) (本小题满分12分)设a >0，a ≠1，解关于x 的不等式.)1(2242a x x aa >- (26) (本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x ＋1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210．求椭圆的方程．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 五．只给整数分数．一．选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A (2)D (3)B (4)C (5)B (6)A (7)D (8)A (9)B (10)C (11)A (12)C (13)C (14)B (15)C二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分．(16) (－2，2) (17) 2－5 (18) {x |－4<x <2} (19) 1+510(20) 2三．解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．解：y =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x=(sin 2x ＋cos 2x )+2sin x cos x +2cos 2x ——2分 =1+sin2x+(1＋cos2x ) ——4分 =2+sin2x+cos2x =2+2sin(2x+4π)． ——6分 当sin(2x+4π)=1时，函数y 有最大值，这时y 的最大值等于2+2． ——8分 注：没有说明“当sin(2x+4π)=1时，函数y 有最大值”而得出正确答案，不扣分．(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=ii+-23 ——2分 =1－i ． ——4分1－i 的模r=22)1(1-+=2．因为1－i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=－1，所以辐角的主值θ=47π． ——8分 (23)本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：因为A 1A ⊥底面ABC ，所以根据平面的垂线的定义有A 1A ⊥BC ．又BC ⊥BB 1，且棱AA 1和BB 1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC ⊥侧面A 1ABB 1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC ⊥AB ．∴ △ABC 是直角三角形，∠ABC =90º．并且∠ABB 1就是BB 1和底面ABC 所成的角， ∠ABB 1=45º． ——3分 作B 1D ⊥AB 交AB 于D ，则B 1D ∥A 1A ，故B 1D ⊥底面ABC ． ∵ Rt △B1DB 中∠DBB 1=45º， ∴ DB =DB 1=AA 1=a ，∴AB =2a ． ——6分 由于棱台的两个底面相似，故 Rt △ABC ∽Rt △A 1B 1C 1． ∵ B 1C 1=A 1B 1=a ，AB =2a ，∴ BC =2a ．∴ S 上=21A 1B 1×B 1C 1=22a ．S 下=21AB ×BC =2a 2． ——8分 V 棱台=31·A 1A ·()下下上上S S S S +⋅+=31·a ·.67222232222a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+ ——10分 (24)本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力．满分10分．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1+(n －1)d ．∴ ()dn a n b 1121-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b 1b 3=121a⎪⎭⎫ ⎝⎛·da 2121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=()d a +⎪⎭⎫ ⎝⎛1221=22b ．由 b 1b 2b 3=81，得32b =81， 解得 b 2=21． ——3分 代入已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=.82181321321b b b b b b ， 整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ， 解这个方程组得b 1=2，b 3=81或b 1=81，b 3=2 ——6分 ∴ a 1=－1，d =2或a 1=3，d =－2． ——8分 所以，当a 1=－1，d =2时a n =a 1+(n －1)d =2n －3． 当a 1=3，d =－2时a n =a 1+(n －1)d =5－2n ． ——10分 (25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分． 解法一 原不等式可写成 2242a x xa a -->． ① ——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论： (Ⅰ)当0<a <1时，由①式得x 4－2x 2+a 2<0， ② ——3分 由于0<a <1时，判别式 △=4－4a 2>0, 所以②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-+<-->.11112222a x a x ，——5分 解③式得 x <－211a --或x >211a --， 解④式得 －211a-+<x <211a-+． ——7分所以，0<a <1时，原不等式的解集为 {x |－211a-+<x <－211a --}∪{x |211a --<x <211a-+}．——8分 (Ⅱ) 当a >1时，由①式得x 4－2x 2＋a 2>0， ⑤ ——9分 由于a >1，判别式△<0，故⑤式对任意实数x 成立，即得原不等式的解集为 {x |－∞<x <＋∞}． ——12分 综合得当0<a <1时，原不等式的解集为 {x |－211a-+<x <－211a --}∪{x |211a --<x <211a-+}；当a >1时，原不等式的解集为 {x |－∞<x <＋∞}．解法二 原不等式可写成 2242a x x a a-->． ① ——1分③ ④(Ⅰ) 当0<a <1时，由①式得x 4－2x 2＋a 2<0， ② ——3分 分解因式得 (x 2－1＋21a -)(x 2－1－21a -)<0． ③即 ⎪⎩⎪⎨⎧<--->-+-;011,0112222a x a x或 ⎪⎩⎪⎨⎧>---<-+-.011,0112222a x a x ——5分解由④、⑤组成的不等式组得 －211a -+<x <－211a --．或211a --<x <211a -+ ． ——7分由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0<a <1时，原不等式的解集为 {x |－211a-+<x <－211a --}∪{x |211a --<x <211a-+}；——8分 (Ⅱ) 当a >1时，由①式得x 4－2x 2＋a 2>0， ⑧ ——9分 配方得 (x 2－1)2＋a 2－1>0， ⑨对任意实数x ，不等式⑨都成立，即a >1时，原不等式的解集为{x |－∞<x <＋∞}． ——12分 综合得当0<a <1时，原不等式的解集为 {x |－211a-+<x <－211a --}∪{x |211a --<x <211a-+}；当a >1时，原不等式的解集为 {x |－∞<x <＋∞}．(26) 本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．解法一 设所求椭圆方程为.12222=+by a x 依题意知，点P 、Q 的坐标满足方程组④ ⑤ ⑥⑦⎪⎩⎪⎨⎧+==+.1,12222x y b y ax 将②式代入①式，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2x ＋a 2(1－b 2)=0, ③ ——2分 设方程③的两个根分别为x 1，x 2，那么直线y =x ＋1与椭圆的交点为P (x 1，x 1＋1)，Q (x 2，x 2＋1)． ——3分 由题设OP ⊥OQ ,|PQ |=210，可得 ()()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++--=+⋅+.2101111122122122211x x x x x x x x ，整理得()()⎩⎨⎧=--+=+++.0516*******212121x x x x x x x x ，——6分 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=；，23412121x x x x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=.21412121x x x x ， 根据根与系数的关系，由③式得(Ⅰ)()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+；，4112322222222b a b a b a a 或 (Ⅱ)()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+.4112122222222b a b a b a a ， ——10分 解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ，故所求椭圆的方程为① ② ④ ⑤132222=+y x ， 或 .123222=+y x ——12分 解法二 同解法一得(a 2+b 2)x 2+2a 2x +a 2(1－b 2)=0， ③ ——2分 解方程③得22222222222111ba b a ab a x b a b a ab a x +-+--=+-++-=，． ④ ——4分 则直线y =x +1与椭圆的交点为 P (x 1，x 1+1)，Q (x 2，x 2+1)． 由题设OP ⊥OQ ，得。
解放前的高考数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若一个等差数列的首项为2，公差为3，则该数列的第10项为：A. 29B. 31C. 33D. 352. 已知函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1，求f(x)的顶点坐标：A. (1, -2)B. (1, 2)C. (2, -2)D. (2, 2)3. 若一个正方形的对角线长为10cm，则该正方形的面积是：A. 25cm²B. 50cm²C. 100cm²D. 125cm²4. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于y轴的对称点坐标为：A. (-2, 3)B. (2, -3)C. (-2, -3)D. (2, 3)5. 若等比数列的前三项分别为2, 4, 8，则该数列的公比为：A. 2B. 4C. 8D. 166. 已知圆的方程为x² + y² = 16，则该圆的半径为：A. 2B. 4C. 8D. 167. 若三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积是：A. 6B. 8C. 10D. 128. 在直角坐标系中，直线y = 2x + 1与y轴的交点坐标为：A. (0, 1)B. (1, 0)C. (0, -1)D. (-1, 0)9. 若一个等差数列的首项为-5，公差为2，则该数列的第n项为：A. -5 + (n-1)×2B. -5 + n×2C. -5 - (n-1)×2D. -5 - n×210. 已知函数g(x) = x³ - 3x² + 4x - 6，求g(x)的极值点：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4二、填空题（每题5分，共50分）1. 若等差数列的第5项为10，公差为2，则该数列的首项为______。
2. 已知函数h(x) = -2x² + 3x - 1，则h(x)的对称轴为______。
首次高考数学试卷
考试时间：150分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确选项的字母填在题后的括号内。
）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且过点(1, 3)，则a的取值范围是（）。
A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≤ 02. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则第10项an等于（）。
A. 19B. 21C. 23D. 253. 下列函数中，在其定义域内为增函数的是（）。
A. y = x^2B. y = 2xC. y = -xD. y = x^34. 若log2(3x + 1) = 3，则x的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则角A的余弦值为（）。
A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/46. 下列复数中，不属于纯虚数的是（）。
A. 2iB. -3iC. 1 + 2iD. 4 - 5i7. 若等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则第5项an等于（）。
A. 54B. 81C. 162D. 2438. 下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（）。
A. y = x^2B. y = 2xC. y = -xD. y = x^39. 若log5(2x - 1) = 1，则x的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 410. 在等腰三角形ABC中，底边BC = 6，腰AB = AC = 8，则顶角A的度数为（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
请将答案填写在题后的横线上。
）11. 函数y = 2x - 1在x = 2时的函数值为______。
首届高考数学试卷
考试时间：3小时满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确选项的字母填在题后的括号内。
）1. 下列各数中，有理数是（）。
A. √2B. -3C. πD. 0.1010010001…2. 如果a、b、c是等差数列的前三项，且a + b + c = 12，那么b的值是（）。
A. 4B. 6C. 8D. 103. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，那么f(x)的最小值是（）。
A. 0B. 2C. 4D. 64. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a² + b² = c²，那么△ABC是（）。
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形5. 下列命题中，正确的是（）。
A. 所有的实数都是有理数B. 所有的有理数都是整数C. 所有的整数都是自然数D. 所有的自然数都是实数6. 若函数y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则a的值是（）。
A. 1B. 2C. -1D. -27. 已知数列{an}的前三项分别为1，3，5，那么数列的通项公式an = （）。
A. 2n - 1B. 3n - 2C. 4n - 3D. 5n - 48. 下列各数中，无理数是（）。
A. √9B. 0.1010010001…C. 2/3D. π9. 若直线y = kx + b与抛物线y = x² - 4x + 4相交于点（2，0），则k的值是（）。
A. -2B. -1C. 1D. 210. 在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a = 5，b = 6，c = 7，则△ABC的面积是（）。
A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
请将答案填写在题后的横线上。
第一届高考试卷和答案
第一届高考试卷和答案****一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪项不是中国古代四大发明之一？A. 造纸术B. 指南针C. 印刷术D. 望远镜答案：D2. 我国古代著名的水利工程都江堰位于哪个省份？A. 四川省B. 陕西省C. 河南省D. 山西省答案：A3. 下列哪部作品不是鲁迅的代表作？A. 《狂人日记》B. 《阿Q正传》C. 《边城》D. 《呐喊》答案：C4. 以下哪个不是中国传统节日？A. 春节B. 端午节C. 圣诞节D. 中秋节答案：C5. 以下哪个选项是正确的化学方程式？A. 2H2 + O2 → 2H2OB. 2H2 + O2 → H2OC. H2 + O2 → H2OD. 2H2 + O2 → 2H答案：A6. 以下哪个不是太阳系的行星？A. 水星B. 金星C. 地球D. 冥王星答案：D7. 下列哪个国家不是G20成员国？A. 中国B. 美国C. 巴西D. 挪威答案：D8. 以下哪个不是中国历史上的朝代？A. 商朝B. 周朝C. 秦朝D. 汉朝答案：D9. 下列哪个不是世界七大奇迹之一？A. 金字塔B. 巴比伦空中花园C. 长城D. 埃菲尔铁塔答案：D10. 下列哪个不是中国古典四大名著？A. 《红楼梦》B. 《西游记》C. 《水浒传》D. 《聊斋志异》答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 中国的首都是______。
答案：北京12. 长江是中国最长的河流，其长度约为______公里。
答案：630013. 地球围绕太阳公转一周的时间是______年。
答案：114. 元素周期表中，原子序数为6的元素是______。
答案：碳15. 中国古代四大美女之一的貂蝉，与______、______、______并称。
答案：西施、王昭君、杨玉环三、简答题（每题10分，共30分）16. 简述中国历史上的“四大发明”对世界文明的影响。
答案：中国古代的四大发明——造纸术、印刷术、火药和指南针，对世界文明产生了深远的影响。
高考第一次国试题
高考第一次全国大联考〔集合、简易逻辑、函数、数列〕一、选择题〔本大题一一共10个小题；每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个符合题目要求.〕1．集合22{|230},{|log (1)1},M x x x N x x =--≤=-≥那么M N ⋂=()A.φB.{3}C.{|23}x x ≤≤ D.{|13}x x -≤≤2．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，假设1200100101,1,a a a a ++成等比数列，那么200S 等于() A.100或者-100B.－1003.给出两个命题：p ：|x|=x 的充要条件是x 为正实数;q:存在反函数的函数一定是单调函数，那么以下复合命题中为真命题的是( ) A.p 且qB.p 或者qC.p ⌝且qD.p ⌝或者q{}n a 中，12a =，假设数列{1}n a +也是等比数列，其前n 项和为n S ，那么n S 等于()A ．122n +-B.3nC.2nD.31n-5.条件P ：关于x 的不等式2(3)10x a x +-+≤的解集是空集;条件q ：关于x 的不等式2(1)(1)10a x a x -+-+>的解集为R,那么p 是q 的( )6.(6)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的增函数,那么a 的取值范围是( )A.(1,)+∞B.6[,6)5C.(0,6)D.(1,6)7．假如二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间11(,)42上是减函数，那么(2)f 的取值范围是( ) A ．(,7]-∞B.(,7)-∞C.(7,)+∞D.[7,)+∞8．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)和g(x)的图象关于直线y=x 对称，现将y=g(x)的图象按向量(2,1)a =-平移后,所得的图象是由两条线段组成的折线〔如下图〕，那么函数()f x 的表达式为()A.22,10()2,022x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩B.22,10()2,022x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩C.22,12()1,242x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩D.26,12()3,242x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩为正整数）a R a a x x f ,(,2)(∈-=，数列{}n a 满足：)(,11n f a a a a n n =--=+，那么数列{}n a 的通项公式为()A.n a n a n )1(2+-=B.2(1)n a n a n =++C.2(1)n a n a n =--+D.2(1)n a n a n =-++10．定义两种运算：222,()a b a b a b a b ⊕=-⊗=-，那么函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-的解析式为()A ．24(),[2,0)(0,2]x f x x x-=∈-⋃B.24(),(,2][2,)x f x x x-=∈-∞-⋃+∞ C.24(),(,2][2,)x f x x x -=-∈-∞-⋃+∞ D.24(),[2,0)(0,2]x f x x x-=-∈-⋃ 二.填空题：〔本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分，把答案填在题中横线上〕 11.设0<x<1,那么函数111y x x=+-的最小值是_______________.()f x 是R 上的偶函数,在(,0]-∞上是增函数，且(2)0f =，那么使得()0xf x <的x 的范围是_________.13．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=-，假设()55,f =- 那么()()1ff =_______________.14.lg ,lg ,lg a b c 成等差数列，且公差为0d <，a b 、、c 分别是Rt ABC ∆的A 、B 、C 的对边，那么sinC=________________01a <<,函数2()log (33)x x a f x a a =-+，那么使()0f x <的x 的取值范围是____________2()32x f x x x =++，点0A 表示坐标原点，点n A 的坐标为(,())()n f n n N *∈,n k 表示直线0n A A 的斜率，设12n n S k k k =+++,那么n S =_____________________________________.三、解答题：(本大题一一共5大题；一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者推演步骤.)17.(本小题满分是12分)记函数()f x =的定义域是A ，()lg[(1)(2)](1)g x x a a x a =---<的定义域为B.〔1〕求集合A ；〔2〕假设B A ⊆，务实数a 的取值范围.18．(本小题满分是14分)某HY 工企业消费一种精细电子仪器的固定本钱为20000元，每消费一台仪器需增加投入100元，总收益满足函数：21400,(0400)()280000,(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器的月产量.〔1〕将利润表示为月产量的函数.〔2〕当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？〔总收益＝总本钱＋利润〕. 19．.(本小题满分是14分)正项等比数列{}n a 的首项1a 和公比q 是方程231022x x -+=的两个根，n S 是数列{}n a 的前n 项和. (1) 求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设数列{}n a 是递减数列,求{}n na 的前n 项和n T20.(本小题满分是16分)数列{}n a 和数列{}n b ，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，11,a =121,(1)n n a S n +=+≥,点54(3,)n n n a b -⋅在对数函数3log y x =的图象上，〔1〕求数列{}n b 的通项公式； 〔2〕设13n n n c b b +=⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m.21．(本小题满分是14分)函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1,假设()(),[1,1],0,0f m f n m n m n m n+∈-+≠>+，(1)证明：f(x)在[-1,1]上是增函数； (2)解不等式11()()21f x f x +<- (3)假设()4323ttf x ≤-⋅+对所有[1,1]x ∈-恒成立,务实数t 的取值范围.[参考答案] :// DearEDU 〔集合、简易逻辑、函数、数列〕1.B 提示：{|13},{|3},{3}M x x N x x M N =-≤≤=≥∴⋂=.2.A解析：据等差数列的性质：21200100101120012001200,()1,11a a a a a a a a a a +=+∴+=∴+=+=-或,200100100.S ∴=-或3.D 由题意：p:|x|=x 0x ⇔≥，故p 为假命题；q:存在反函数的函数也不一定是单调函数，例如1(10)2(01)x x y x x +-≤≤⎧=⎨-<<⎩p ⌝或者q 为真命题.4.B 解析：数列{1}n a +是等比数列，设公比为q,数列{}n a 的公比为p,那么11(1)1n n n n a q a qa q pa ++=+=+=+,()10n q p a q ∴-+-=.因为此式对于一切正整数n 都成立.即得p=q=1.1113,3n n a a S n ∴+=+==.5．A 解析：由不等式2(3)10x a x +-+≤的解集是空集,得21(3)40a ∆=--<,即2650a a -+<,所以条件P 为15,a <<由不等式2(1)(1)10a x a x -+-+>的解集为R,得10a -=或者2210(1)4(1)0a a a ->⎧⎨∆=---<⎩,解得条件q ：15a ≤<,∴条件p 是条件q 的充分非必要条件.6. B 提示：f(x)是R 上的增函数，又1x ≥得log (1),1a x f a ≥∴>，又由x<1，(6)4(1)0a x a f --<=,(6)40a a ∴--≤,65a ≥,又60,6a a ->∴<,故665a ≤<. 7. A 解析：二次函数()f x 在区间11(,)42上是减函数，由于图象开口向上，∴对称轴11222a a -≥∴≥， 故2(2)22(1)51127f a a =--+=-≤.8.A 解析：所给图像对应的函数解析式为1(20)221(01)xx y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩由图象按向量(2,1)a =-的相反向量平移后可得()g x 的图象，()g x ∴的表达式为11(02)()224(23)x x g x x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,又函数()f x 和g(x)的图象关于直线y=x 对称22,[1,0]()2,(0,2]2x x f x x x +∈-⎧⎪∴=⎨+∈⎪⎩.9.A 解析：11()2,(),n n f x x a a a f n a a +=--==-,1213212()()()(2)(4)(6)[2(1)]n n n n a a a a a a a a a a a a n a -∴≥=+-+-++-=-+-+-+-++--时，22462(1)(1)n na n a n =++++--=-+,因为n=1时，1a 也满足上式，所以n a n a n )1(2+-=.10.D 解析：22|2|x x x ⊕=⊗==-()|2|2f x x ∴=--,注意到定义域22240[2,0)(0,2]04|2|2x x x x x x -≤≤⎧-≥⎧⇒⇒∈-⋃⎨⎨≠≠-≠⎩⎩且20x ⇒-≤.()[2,0)(0,2]f x x ∴=∈-⋃ 11.4解析：1(1)y x x =-,1(1)4x x -≤,4y ∴≥ 12.解:(2,0)(2,)-+∞.画出函数()f x 图象的示意图后得:()0xf x <0()0x f x >⎧⇔⎨<⎩或者0()0x f x <⎧⎨>⎩220.x x ⇒>-<<或 13.解：1(4)(),()(2)f x f x f x f x +=-=∴+具有周期性，其周期T 为4，()5(1)5,f f ∴==- ()()1(5)(1)f f f f ∴=-=-,()()1112(1)5,(1)15f f f f -+=-==-∴-=-.()()115f f ∴=.14.解析： lg ,lg ,lg a b c 成等差数列，且公差d<0,2b ac ∴=,且a b c >>,又知a b 、、c 分别是Rt ABC ∆的A 、B 、C 的对边,222a b c ∴=+.消去b 得22,a ac c =+即2()10,c ca a+-=解得sin c C a ==. 15.(,log 2)(0,)a -∞⋃+∞解析：01a <<,f(x)<0,2331,20 1.log 20x x x x a a a a a x x -+>∴><<∴<>或或.16． 2()01111032(1)(2)12n f n k n n n n n n n -====--++++++.111111112334122224n nS n n n n ∴=-+-++-=-=++++. 17.解：(1)由3201x x +-≥+得11x x ≥<-或,(,1)[1,)A ∴=-∞-⋃+∞(2)由(1)(2)0x a a x --->得21a x a <<+.(2,1)B a a ∴=+,B A ⊆111a a ∴+≤-≥或2,1212a a ∴≤-≤<或.18．解：〔1〕设月产量为x 台，那么总本钱为20000+100x ，从而：2130020000,(0400)()260000100,(400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩〔2〕当0400x ≤≤时，21()(300)250002f x x =--+,当300x =时，有最大值25000; 当x>400时，()60000100f x x =-是减函数，()6000010040025000f x <-⨯<, 所以，当x=300时，有最大值25000.即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 19．解：〔1〕方程231022x x -+=的两个根为1211,2x x ==. 11112112a a q q =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或 111()22n n n a a -∴==或(2)数列{}n a 是递减数列11()2n n a -∴=11()2n n na n -∴=2313411222n n n T -∴=+++++3411113412222222n n n n n T --∴=++++++ 以上两式相减得234111111112222222n n nnT -=++++++- 111()122()122212nn n n n n --=-=--- 2114()22n n n nT --∴=--20.解：(1)〔Ⅰ〕由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=5454133log (3)log (33)65()n n n n n b a n n N ---*∴=⋅=⋅=-∈(2)133111()(65)[6(1)5]26561n n n c b b n n n n +===-⋅-+--+故11111111[(1)()()](1)277136561261n T n n n =-+-++-=--++ 因此，使得11(1)()26120m n N n *-<∈+成立的m 必须且仅须满足1220m≤，即10m ≥，故满足要求的最小整数m 为10.21．证明：(1)任取121 1.()x x f x -≤<≤为奇函数，1212121212()()()()()()(),f x f x f x f x f x f x x x x x +-∴-=+-=⋅--12121212()()0,0,()()f x f x x x f x f x x x +->-<∴<-，()f x ∴在[-1,1]上是增函数(2)11121113()()11{|1}21121121x f x f x x x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪⎪+<⇔-≤≤⇔-≤<-⎨--⎪⎪+<⎪-⎩(3)由〔1〕知()f x 在[－1,1]是增函数，且f(1)=1，[1,1]x ∴∈-时，()1f x ≤.()4323t t f x ≤-⋅+对所有[1,1]x ∈-恒成立43231t t ∴-⋅+≥恒成立， 2(2)3220t t ∴-⋅+≥即2221tt≥≤或10t t ∴≥≤或四季寄语情感寄语在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。
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1952年试题
数学试题分两部分
第一部分
注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横线,将正确的答案就填写在横线上.
例题:若2x-1=x+3,则x= 4 .
本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.
1.分解因式:x4-y4= .
2.若log102x=2log10x,问x= .
5.
6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.
7.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN 的面积是平方寸.
8.正十边形的一内角是度.
9.祖冲之的圆周率π= .
10.球的面积等于大圆面积的倍.
11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.
12.正多面体有种,其名称为 .
14.方程式tan2x=1的通解为x= .
15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高= .
16.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.
17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式
为 .
18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式
为 .
19.原点至3x+4y+1=0之距离= .
20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为 .
第二部分
注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.
1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.
2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.
3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？
4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.
1952年试题答案
第一部分
1. (x-y)(x+y)(x2+y2).
2. 2.
3. -1.
4. ±3.
5. -24
7. 15.
8. 144°
10. 4.
11. 12π.
12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.
16. 3.
17. x+y+1=0.
18. x2+y2-6x-8y=0
20. (1,-3)
第二部分1. 2,-6,ω,ω2.
A,B,C皆为锐角。