高考专题突破四(高考中的立体几何问题)解析

(时间：70分钟)

1．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )

A ．4 B.143 C.163 D ．6

答案 B

解析 由三视图知四棱台的直观图为

由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14

3

.

2．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.

其中正确的是()

A．①②B．②③

C．③④D．①④

答案D

解析根据面面垂直的判定定理知①正确；②若m∥n，则得不出α∥β，错误；③n与α还可能平行，错误；易知④正确．

3.如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：

①DF⊥BC；

②BD⊥FC；

③平面DBF⊥平面BFC；

④平面DCF⊥平面BFC.

在翻折过程中，可能成立的结论是________．(填写结论序号)

答案②③

解析因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；设点D 在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故答案为②③.

4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当CF

FD ＝______时，D1E⊥平面AB1F.

答案1

解析如图，连接A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影．

∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，

又∵D1E⊥平面AB1F⇒D1E⊥AF.

连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影，

∴D1E⊥AF⇒DE⊥AF.

∵ABCD是正方形，E是BC的中点，

∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，

即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F，

∴CF

FD＝1时，D1E⊥平面AB1F.

5．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．(1)证明如图，取AB的中点O，连接CO、A1O.

∵CA ＝CB ，∴CO ⊥AB ，又∵AA 1＝AB ，∴AA 1＝2AO ， 又∠A 1AO ＝60°，∴∠AOA 1＝90°，即AB ⊥A 1O ， ∵CO ∩A 1O ＝O ，∴AB ⊥平面A 1OC ， ∵A 1C ⊂平面A 1OC ，∴AB ⊥A 1C .

(2)解 以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OA 1所在直线为y 轴，OC 所在直线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，

则A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，B (－1,0,0)，C (0,0，3)，B 1(－2，3，0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→

＝(－1，3，0)，A 1C →

＝(0，－3，3)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·BC →＝0n ·BB 1→＝0，

所以取n ＝(3，1，－1)为平面BB 1C 1C 的一个法向量，所以直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值sin θ＝|cos 〈n ·A 1C →

〉|＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪n ·A 1C →|n |·|A 1C →

|＝105. 6．(2015·浙江)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，

AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点． (1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；

(2)求二面角A 1BDB 1的平面角的余弦值．

(1)证明 设E 为BC 的中点，由题意得A 1E ⊥平面ABC ， 因为AE ⊂平面ABC ，所以A 1E ⊥AE . 因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC . 又A 1E ∩BC ＝E ，故AE ⊥平面A 1BC . 由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得

DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ， 所以四边形A 1AED 为平行四边形．故A 1D ∥AE . 又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC .

(2)解 方法一 如图所示，作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F .

由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1B ＝A 1A ＝4. 由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等． 由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，

因此∠A 1FB 1为二面角A 1-BD -B 1的平面角． 由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得 BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝4

3.

由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－1

8.

方法二

以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz ，如图所示．

由题意知各点坐标如下：

A 1(0,0，14)，

B (0，2，0)，D (－2，0，14)，B 1(－2，2，14)． 因此A 1B →＝(0，2，－14)，BD →

＝(－2，－2，14)， DB 1→

＝(0，2，0)．

设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 平面B 1BD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．