钢结构板的屈曲理论.

本章只介绍外力作用于等厚度中面 内的薄板的屈曲问题。
1 小挠度理论
1.1 平衡方程
1）基本假定 a、板很薄，微元体上的应力 z， zx 和 zy 远小于应力 x，
y 和 xy，由他们产生的正应变 z 和剪应变 zx 与 zy 都可忽
略不计。 z =0，可用板中面的挠度代表沿厚度方向任何 一点挠度； b、与板的厚度相比，垂直于中面的挠度是微小的，这样 一来，可以忽略中面因弯曲变形伸长而产生的薄膜力,这 样微元体两侧的中面力相同N x =p x , N y p y , N xy pxy ; c、板为各向同性弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。
5)内力与挠度关系 单位宽度上板元的弯矩和扭矩为：
M x M y M xy

t 2 t 2

2w 2w x zdz D 2 x 2 y t 2w 2w 2 zdz D x 2 y 2 t y 2
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设满足边界条件的曲面方程为： w Amn sin
m 1 n 1
m x a
sin
式中m和n分别是板屈曲时在x和y方向的半波数 对w微分两次和四次后代入偏微分方程：
m 4 4 m 2 n 2 4 n 4 4 px m 2 2 m x n y Amn a 4 2 a 2b 2 b 4 D a 2 sin a sin b 0 m 1 n 1

板的屈曲条件： m 4 4 m 2 n 2 4 n 4 4 px m 2 2 2 2 2 4 2 0 4 a ab b D a px a D m n D mb n a 2 2 2 2 m a b b a mb
t 2 zdz t xy 2


2w D 1 xy
Et 3 式中：D ,为单位宽度板的抗弯刚度 2 12(1 ) 6)板受弯的挠曲微分方程式，将内力的公式代入 力的平衡方程有： 4w 4w 4w 1 2w 2w 2w 2 2 2 4 N x 2 2 N xy Ny 2 4 D xy x x y y x y
2w 2w M x D 2 ，Qx 0，M xy 0 x 2 y
1.2 弹性屈曲荷载
1）单项均匀受压简支板 板的中面力N x Px N y 0 N xy 0 微分方程变为： w
4
Px w
2
D x n y b
可解出应力表达式 ，并用几何关系 表为挠度关系 zE 2 w 2w 2 2 x 2 1 x y zE 2 w 2 w 2 2 y 2 1 x y E 2w xy z 1 xy
板的屈曲理论
基本思路
钢结构板受力时产生弹塑性变形，研究这类问题的 基本思路是经过三个方面的分析： （1）力的平衡条件 （2）几何变形协调条件 （3）本构关系 从而获得三类基本方程，再满足具体的边界条件，通 过特定的求解方法求解。
板的分类
t 1 1 厚板： ~ b 5 8 1 1 t 1 1 薄板: ~ ~ 80 100 b 5 8 薄膜：板的厚度极小，抗弯刚度几乎降为零，板完全 靠薄膜拉力来支承荷载的作用。 式中：t为板厚，b为板的最小板宽
u、v与挠度w的关系 w w u z v z x y
将此二式代入上三式有： 2w x z 2 x 2w y z 2 y 2w xy 2 z xy 4）本构关系 由广义虎克定律有： 1 x E ( x y ) 1 y ( x y ) E xy 2(1 ) xy xy G E
2）力的平衡方程
2 M x x
2
2
2 M xy xy

2 M y y
2
Nx
2w x
2
2 N xy
2w xy
Ny
2w y
2
0
3）几何方程
距中面为z处的dz厚度板的变形
1 v / x 2 u / y
u v v u x y xy x y x y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
mb n a 令k 称为屈曲系数， mb a 可得： b2 当a/b 4时，k接近最小值4。所以对于狭长的均匀受压的四边简支 板，屈曲系数均可用最小值。 板的屈曲应力： k 2E pcrx / t 2 12(1 v ) (b / t ) 2 pcrx k
7）边界条件
以x 0的边界为例。 1)简支边
2w 2w 2w 2w w 0, M x D 2 0, 2 0 2 0 x 2 y y x
2w 即在简支边有：w 0, 2 0 x 2）固定边 w w 0, 0 x 3）自由边
2D
crx
对于单项均匀受压狭长 的板，通过使用横向加劲肋 来改变比值a/b从而提高屈曲 系数并无明显效果，把加劲 肋的间距取得小于2b又很不 经济。对于很宽的薄板，可 以采用纵向加劲肋来减少宽 边b。