双曲线与抛物线的参数方程(教学设计)

2.2.2双曲线与抛物线的参数方程（教学设计）

教学目标：

知识与技能目标：掌握双曲线与抛物线的参数方程，理解参数的几何意义。会用曲线的参数方程解决一些实际问题。

过程与方法：通过双曲线与抛物线参数方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法。

情感态度价值观：数学问题解法的多样性，思维多样性。

教学重点：双曲线与抛物线参数方程的应用。

教学难点：双曲线与抛物线参数方程的推导。

教学过程：

一、复习回顾：

1、椭圆的参数方程： 椭圆122

22=+b y a x （a>b>0）参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）； 椭圆2

2221(0)y x a b b a +=>>的参数方程是cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） 二、师生互动，新课讲解：

1、双曲线的参数方程的推导：

1）双曲线122

22=-b y a x 参数方程 ⎩

⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数） 双曲线 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）

2、判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法．

如果x 对应的参数形式是sec φ，则焦点在x 轴上．

如果y 对应的参数形式是sec φ，则焦点在y 轴上．

例1：如图，设M 为双曲线122

22=-b

y a x （a>0,b>0）任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？

2a 222y x -=1(a>0,b>0)的参数方程为：b

变式训练1：化下列参数方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线?由此你有什么想法？

小结：参数方程的表示不唯一，如何判断是哪种曲线，必须化为普通方程。

4、抛物线的参数方程的推导：

1）抛物线方程y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数).

2）抛物线方程x 2

=2py(p>0)的参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩ （t 为参数） 3）抛物线方程y 2

=-2px (p>0)的参数方程为2

22x pt y pt ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）

4）抛物线方程x 2

= -2py (p>0)的参数方程为222x pt y pt =-⎧⎨=-⎩

例2：如图O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线y 2=2px (p>0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，OM ⊥AB 并

于AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程。

变式训练2（探究）在本例中，点A 、B 在什么位置时，∆AOB 的面积最小？最小值是多少？

课堂练习：

a 1(2()1()2x t t t

b y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

）为参数,a>0,b>0()2(b )()2t t t t a x e e t b y e e --⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数,a>0,>02

1212121212121221(),,211x pt t M M t t M M y pt A t t B t t C D t t t t ⎧=⎨=⎩+-+-、若曲线为参数上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是（ ）、，、，、，、20022(1,0)M y x M P M M P =-、设为抛物线上的动点，给定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程。

三、课堂小结，巩固反思：、

1、双曲线的参数方程；

2、抛物线的参数方程。

3.对同一条曲线选取不同的参数，就得到不同形式的参数方程，对圆锥曲线的参数方程，只要求掌握上述几种

4.在研究圆锥曲线上的动点或未知点的有关问题时，可利用其参数方程设出点的坐标，从而拓广了解决问题的途径，优化了解题思路.

形式.

5.利用圆锥曲线的参数方程解题时，一般不考虑参数的几何意义，只利用参数方程的外在形式.

四、课时必记：

1、双曲线的参数方程

1）双曲线122

22=-b y a x 参数方程 ⎩

⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数） 2）双曲线 ⎩⎨⎧==θ

θtan sec b y a x （θ为参数） 2、抛物线的参数方程：

1）抛物线方程y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数).

2）抛物线方程x 2=2py(p>0)的参数方程为222x pt y pt

=⎧⎨=⎩ （t 为参数） 3）抛物线方程y 2

=-2px (p>0)的参数方程为2

22x pt y pt ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）

4）抛物线方程x 2

= -2py (p>0)的参数方程为222x pt y pt =-⎧⎨=-⎩

五、分层作业：

1．双曲线⎩

⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0)

C ．(0，－3)，(0，3)

D ．(－3，0)，(3，0)

解：A

2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α

(α为参数)的普通方程为( ) 2a 222y x -=1(a>0,b>0)的参数方程为：b

A ．y 2－x 2＝1

B ．x 2－y 2＝1

C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)

D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)

解：C

3．点P (1，0)到曲线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( ) A ．0 B ．1 C.2 D ．2

解：B

4．若曲线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )

A ．t 1＋t 2

B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 2

解：A

5．双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec 2，y ＝tan 2

的顶点坐标为________． 解：(－3，0)、(3，0)

6．圆锥曲线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________． 解：(1，0)

B 组：

1、（课本P34习题3.2 NO:3）

证明：设等轴双曲线的普通方程为x 2－y 2＝a 2(a >0)，则它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a tan φ

(φ为参数)，设M ⎝⎛⎭

⎫a cos φ，a tan φ是双曲线上任意一点，则点M 到两渐近线y ＝x 及y ＝－x 的距离之积是⎪⎪⎪⎪a cos φ－a tan φ12＋12·⎪⎪⎪⎪a cos φ＋a tan φ12＋12＝|a 2cos 2 φ－a 2tan φ|2

＝a 2

2

(常数)．

2、（课本P34习题3.2 NO:4） 证明：设点A ，B 的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，则点C 的坐标为(2pt 22，－2pt 2)．直线AB 的

方程为y －2pt 1＝1t 1＋t 2(x －2pt 21)，所以点D 的坐标为(－2pt 1t 2，0)．直线AC 的方程为y －2pt 1＝1t 1－t 2

(x －2pt 21)，所以E 的坐标为(2pt 1t 2，0)．因为DE 的中点为原点O (0，0)，所以抛物线的顶点O 平分线段DE .