中心极限定理

E X , D X 2. 则 X P
证明关键步骤:
EX ,DX 1 2 n
定理5.2 切比雪夫大数定律
设 X1, X 2 ,K 是两两不相关的随机变量序列. 且
方差一致有界. 则
1
n
n i 1
Xi
P 1 n
n i 1
i 1
标准化后得
n
Xi n
i 1
: N 0,1
n 2
因此:

n
Xi n

P i1
b b
n



定理5.5 独立同分布的中心极限
设 X1, X 2,L , X n ,L 是独立同分布的随机变量序列, 且
E Xi p, D Xi 2 0
此时, np

Yn :
50, np 1
B
p
30205,016,

,
由中心极限定理得
6
P40
X

60 P
40 50

Yn np

60 50

250 / 6 np 1 p 250 / 6
1.55 1.55
21.55 1 0.8788.
定理5.5中限定条件得到如下定理5.6
定理 5.6 设 X1, X 2,L , X n 是一个独立同分布的
随机变量序列,且Xi : B1, p, 令
n
Yn Xi , i 1
则对任意的 x x , 有

lim P
Yn np
x
1
x t2
e 2 dt,
n

10

0

n3



2

10 0 n3


1

0.99
10 0 n3

u0.995

2.576
所以
n

3
10 2.576
2


45
例6. 某单位有200台分机, 每台使用外线通话的概率
为15%, 若每台分机是否使用外线是相互独立的, 问该
单位至少需要装多少多少条外线, 才能以95%的概率保
保证每台分机能随时接通外线电话.
解 以Yn表示在时刻 t使用的外线数, 则
Yn : B200,0.15. 此时有np 30, np1 p 25.5. 若以N表示安装的外
线数, 则分机能使用外线意味着此时有 Yn N. 由
中心极限定理得:

0
20 4

Yn np

30

20

np 1 p 4
2.5 5 0.9938.
例4. 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用
电 Q瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的 时候只占工作总时间的3/ 4, 问应该供应多少瓦电力能
例3. 有一批钢材, 其中80%的长度不小于3m, 现从钢材
中随机取出100根, 试利用中心极限定理求小于3m的钢
不超过30根的概率.
解 以Yn为100根钢材中小于3m的钢材根数, 由题意知:
Yn : B100,0.2, np 20,np1 p 16,
则
P0

Yn

30

P
X 300 2.326 20 3 300 20 320. 4
即: 只要供应 320Q 瓦的电力, 就能以99%的把握保证该
车间的机器能正常工作.
例5. 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件
来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: kg）服从区
间1,1上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试
任意的 x, 有

P
Yn np

x x,
np 1 p
由条件所设, 所求的概率为
x 0.99.
而 x为标准正态分布的分布函数, 查表得x 2.326.
即:

P
X np

2.326 0.99.
np 1 p

从而
设 X1, X 2 ,K 是一个随机变量序列. 如果存在一个常数c
使得对任意一个正数 , 总有
lim P
n
Xn c
1
则称随机变量序列 X1, X 2 ,K 依概率收敛于c
记作: X n P c
定理5.1 如果 X n P a,Yn P b, 且函数
g x, y 在 a,b 处连续, 则 g Xn ,Yn Pg a,b
在§1.3中, 我们曾经提到频率的稳定性. 设随机事件A的概率P(A)=p, 在n重贝努利试验中事件A
发生的频率为 fn A .当n很大时, 将与p非常接近. 由 于 fn A 本质上是一个随机变量，它随着不同的n次试
验可能取不同的值, 因而需要对随机变量序列引进新 的收敛性定义.
定义5.1 依概率收敛
n2
n
§5.2 中心极限定理
在数理统计中经常要用到n个独立同分布的随机变量
n
X1, X 2,L , X n的和 Xi 的分布, 但要给出其精确分布
时很困难. 有 i1
正态分布具有可加性，若
X1, X2 ,K Xn iid, Xi : N , 2
则:
n
Xi : N n, n 2
n np 1 p 2
பைடு நூலகம்
即当 n 充分大时, Yn np 近似服从标准正态分布.
np1 p
例2. 在次品率为1/6的一大批产品中, 任意取出300件产 品利用, 中心极限定理, 计算抽取的产品中次品数在40到60
之间的概率.
解 以Yn表示300件产品中次品的总数, 由题意得
问至多分成多少个部件才能以不低于99%的概率保证 机床的称量总误差的绝对值不超过10.
解 以 X i 表示第i 个部件的称量误差, 设分成n个部件
Xi : R1,1.
从而 0, 2 1 ,
3
n

P

n
Xi
i1

10


P

Xi n
i1
第五章 随机变量序列的极限
概率论的基本任务是研究随机现象的统计规律性. 引进 随机变量之后, 我们集中研究了随机变量取值的统计 规律性. 在一个具体问题中, 这种统计规律性往往通过 大量的重复观测来体现, 对大量的重复观测作数学处理 的常用方法是研究极限.
§5.1 大数定律 law of large numbers
1200
解 设第i 段的测量误差为 Xi , 所以累计误差为 X i , i 1
又 X1, X 2 ,L , X1200 为独立同分布的随机变量, 由
Xi : R0.5,0.5
得
E

X
i


0,
D

X
i


1 12
,
i 1,2,,1200.
由独立同分布情形下的中心极限定理:
n
P

n
Xi
i 1

20


P

Xi n
i 1
n




20

1200 1 12

n

Xi n
1 P i1
2
n



1 2 2
21 2 0.0456.
下面, 考虑频率的稳定性
定理5.4 贝努里大数定律
设 X1, X 2 ,K 是一个随机变量序列. 且每一个随机变量
都服从0-1分布B1, p , 则 X P p
证明关键步骤:
E X p, D X 1 p 1 p n
定理5.3 独立同分布情形下大数定律
设 X1, X 2 ,K 是一个独立同分布的随机变量序列. 且
E
Xi
证明关键步骤:
E


1 n
n i1
Xi


1 n
n i1
E
Xi
D

1 n
n i 1
Xi


1 n2
D

n i 1
Xi


1 n2
n
i1
D Xi


cov
Xi,X j
i j

1
c
nc

P Yn

N

P
Yn np

N

30


0.95,
np 1 p 25.5
查表得: N 30 1.645, 即: N 38.3068, 所以可取
25.5
N 39方能以95%的把握保证在该时刻分机可以使用外
线.
作业: 习题五 6,8,10
则对任意的 x x , 有
i 1,2,L ,


n
Xi np

lim P i1
x x.
n
n



应 用
P

a

n
Xi

b

当

i 1

n 充 分 大


P

a

n

n i 1
Xi
n


b

n

时
n
n 2
n







b
n n




a
n n

例1 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他
分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从
区间0.5,0.5上的均匀分布, 试求总距离测量误差的
绝对值超过 20 厘米的概率.
99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作 期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）.
解 令Yn 表示在时刻 t 时正在开动的机器数, 则Yn 可以表
示在400次相互独立的重复实验试验中事件“A ”发生的
次数, 由前面所讨论的知:
p 0.75,
及Yn : B400,0.75,因 n 400, 由中心极限定理知, 对