高中数学-基本初等函数图像及性质小结
最全高数基本初等函数概念图像及性质完整版
基本初等函数. 幂函数(a 为实数 )要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形..指数函数定义域：，值域：，图形过（ 0， 1）点， a>1 时，单调增加； a 时，单调减少。
今后用的较多。
.对数函数定义域：，值域：，与指数函数互为反函数，图形过（1， 0）点， a>1 时，单调增加；a<1 时，单调减少。
.三角函数，奇函数、有界函数、周期函数；，偶函数、有界函数、周期函数；，的一切实数，奇函数、周期函数，的一切实数，奇函数、周期函数；，.反三角函数；；；。
以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握注：（ 1）指数式与对数式的性质由此可知，今后常用关系式，如：（ 2）常用三角公式积化和差sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2和差化积sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10 题已知抛物线y x2mx 2m 2 (m 0)．（ 1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（ 2）过点P(0，n)作y 轴的垂线交该抛物线于点 A 和点 B （点 A 在点 P 的左边），是否存在实数 m，n ，使得 AP2PB ？若存在，则求出m，n 满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（ 1）证法 1：29 m2，y x2mx 2m2x m24当 m0 时，抛物线顶点的纵坐标为9 m20 ，4顶点总在 x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当 m 0 时，抛物线与y 轴的交点(0，2m2)在x轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点．）证法 2：m2 4 1 ( 2m2 ) 9m2，当 m0时， 9m20 ，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点．（ 2）存在实数m，n，使得AP2PB ．设点 B 的坐标为(t，n)，由 AP2PB 知，y①当点 B 在点 P 的右边时， t0，点 A 的坐标为(2t， n) ，A PBx 且 t， 2t是关于 x 的方程 x2mx2m2n 的两个实数根．O m24( 2m2n) 9m24n 0 ，即 n9 m2．4且 t ( 2t )m （I）， t ( 2)t2（II）m n由（ I）得，t m，即m 0．将 t m代入（II）得， n0 ．y 当 m0且 n0 时，有 AP2PB ．②当点 B 在点 P 的左边时， t0，点 A 的坐标为(2 t，n)，且 t，2t 是关于x的方程 x 2mx2m2n 的两个实数根．xOm24( 2m2n) 9m24n 0 ，即 n9 m2．4AB P且 t 2t m （I），t 2t2m2n （II）由（ I）得，t m0 ．3，即m将 t m代入（ II ）得，n20 m2且满足 n9 m2．32094当 m0 且n m2时，有AP2PB9第 11 题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为S 10t t 2，若滑到坡底的时间为 2 秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ． 12 3 米Ｄ．6米答案：Ｂ第 12 题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月 25日起的 180 天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（ 1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．y (天)z(元 )16060140（ 180， 92）5012040100858036020401020140160100120O20 40 6080 100 120150 180t(天)O204060 80110140160 180t(天 )（ 1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（t0）的函数关图 (1)图 (2)系式；（ 2）求出图（ 2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t （天）（t 0）的函数关系式；（ 3 ）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明： 市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500 克．）答案：解：（ 1）依题意，可建立的函数关系式为：2 t 160 (0t，3 120)y 80 (120 ≤ t，150)2 20 (150 ≤t ≤ ．5（ 2）由题目已知条件可设za(t 110) 220 ．85图象过点 (60， ) ，385 a(60 110) 2 20． a1 ． 3300z1(t 110) 2 20 (t 0 )． 300（ 3）设纯收益单价为W 元，则 W =销售单价 成本单价．2 1601110) 220 (0 t，t(t120)3300故W 801 (t 220(120 ≤t，300 110)150)2 201 220 (150 ≤ t≤．5300化简得1 2100(0，300W1(t 110)2 60 (120≤ t 150)， 30012 56 (150 ≤ t ≤．300①当 W1 (t 10)2 100(0 t 120) 时，有 t 10时， W 最大，最大值为 100；300②当 W1 (t 110)2 60(120 ≤ t 150) 时，由图象知，有 t 120 时， W 最大，最大300值为 59 2 ；3③当 W1 (t 170)2 56(150 ≤ t ≤ 180) 时，有 t 170 时， W 最大，最大值为 56．300综上所述，在 t 10 时，纯收益单价有最大值，最大值为100 元．第 13 题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1 米的 A 处飞出（ A 在 y 轴上），运动员乙在距O 点6 米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（ 1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（ 2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 43 7）（ 3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取26 5）y4 M2 1 AOBCDx答案：解：（ 1）（ 3 分）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为ya(x6) 2 4．y由已知：当 x 0 时 y 1．即 1 36a 4， a1 ． 4M12E FN表达式为 y124． 2 ( x 6)1 A1 x2 12OBCDx（或 yx 1 ）12 1（ 2）（3 分）令 y0， ( x6)2 4 0．12(x6)2 48． x 4 3 6 ≈ 13，x4 3 6 0 （舍去）．12足球第一次落地距守门员约 13 米．（ 3）（4 分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意： CDEF （即相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位）21( x 6) 24解得 x6 2 6，x2 6 26．121CD x 1 x 2 4 6 ≈10．BD 13 6 1017 （米）．解法二： 令1( x 6) 2 4 0．12解得x 1 6 4 3 （舍）， x 26 4 3 ≈13．点 C 坐标为（ 13， 0）．设抛物线 CND 为 y1( x k) 2 2．12将 C 点坐标代入得：1(13 k) 2 2 0．12解得：k 1 13 2 613 （舍去），k 2 6 4 3 2 6 ≈ 6 7 5 18．y1( x 18)2 212 令 y0， 01( x 18)2 2．12x 118 2 6 （舍去）， x 2 18 2 6≈23．BD 23 6 17 （米）．解法三：由解法二知， k 18，所以 CD 2(18 13) 10， 所以 BD(136) 10 17．答：他应再向前跑17 米．第 14 题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费 2.7 万元；购置滴灌 设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为 0.9 ；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 0.3 万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5 万元．y （万元），（ 1）基地的菜农共修建大棚 x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为写出 y 关于 x 的函数关系式．（ 2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 5 万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（ 3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外， 其它设施 3 年内不需增加投资仍可继续使用． 如果按 3 年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（ 1） y 7.5x2.7x 0.9x 20.3x0.9x 2 4.5x ．（ 2）当 0.9x 24.5x5 时，即 9x 245x 50 0 ， x 15 ， x 2 1033从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建5公顷大棚．（3）设3Z （万元）3年内每年的平均收益为Z 7.5x0.9x 0.3x20.3x0.3x2 6.3x20.3 x 10.5 33.075（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5 公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当 0.3x2 6.3x0时， x10 ， x2 21．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第 15 题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18 元，按定价 40元出售，每月可销售 20 万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价 1元，月销售量可增加 2 万件．（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（2）求出月销售利润z（万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；（3）请你通过（ 2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于 480 万元．答案：略．第 16 题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为 2m ，隧道最高点P 位于 AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？yPA BO Cx答案：（ 1）由题意可知抛物线经过点A0，2 ，P 4，6 ，B 8，2设抛物线的方程为y ax2bx c将 A，P，D 三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为y1x22x 24（ 2）令 y4 ，则有 1 x 2 2x2 44解得x 14 2 2， x 2 4 2 2x 2 x 14 2 2货车可以通过．（ 3）由（ 2）可知1x 2 x 1 2 2 22 货车可以通过．第 17 题如图，在矩形ABCD 中， AB 2 AD ，线段 EF 10 ．在 EF 上取一点 M ，分别以EM ， MF 为一边作矩形 EMNH 、矩形 MFGN ，使矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD ．令 MN x ，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大 D C值是多少？ABHN GEMF答案：解：矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD ，MN MF ．AD ABAB2 AD ， MN x ，MF 2x ．EMEFMF 10 2x ．Sx(10 2x) 2 x 2 10x22 52 x52．2当 x5时， S 有最大值为25．22第 18 题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润 y A （万元）与投资金额 x （万元）之间存在正比例函数关系： y A kx ，并且当投资 5 万元时，可获利润 2 万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额 x （万元）之间存在二次函数关系：y B ax 2 bx ，并且当投资2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资4 万元时，可获利润 3.2 万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当x 5 时，y1，，0.4 ，2 25k ky A0.4x ，当x 2 时，y B 2.4 ；当x 4 时，y B 3.2．2.44a2b3.216a4ba0.2解得1.6by B0.2x2 1.6 x ．（ 2）设投资B种商品x万元，则投资 A 种商品(10x) 万元，获得利润W万元，根据题意可得W0.2x2 1.6 x0.4(10 x)0.2 x2 1.2x4W0.2( x3)2 5.8当投资 B 种商品 3 万元时，可以获得最大利润 5.8 万元，所以投资A种商品7万元， B种商品 3 万元，这样投资可以获得最大利润 5.8 万元．第 19 题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱 A3 B3 50m ， 5 根支柱 A1 B1， A2 B2， A3 B3， A4 B4，A5 B5之间的距离均为15m ，B1B5∥ A1 A5，将抛物线放在图（ 2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（ 2）中点 B1， B3， B5的坐标；（2）求图（ 2）中抛物线的函数表达式；（ 3）求图（ 1）中支柱 A2 B2， A4 B4的长度．B3yB2B430m B3B1B5B1B5A1A2 A3 A4 A5O l图 (1)图(2)答案：B1 ( 30， 0) ， B3 (0，30) ， B5 (30，0) ；（1）（ 2）设抛物线的表达式为y a(x 30)( x30) ，把 B3 (0，30) 代入得 y a(030)(030)30 ．∴ a 1．301( x∵ 所求抛物线的表达式为：y30)( x30) ．30（ 3）∵B4点的横坐标为15，∴ B4的纵坐标 y41(1530)(1530)45．302∵ A3B350 ，拱高为30，∴立柱 A4B4 204585(m) ．2285(m) 。
人教版高中数学必修一-第二章-基本初等函数知识点总结
人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结第二章 基本初等函数一、指数函数（一)指数与指数幂的运算 1．根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。
注意：(1)na =(2）当 n a = ，当 n 是偶数时,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2．分数指数幂正数的正分数指数幂的意义,规定：0,,,1)m na a m n N n *=>∈>且正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m nm naa m n N n a*=>∈>且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)rsr s a a aa r s R +=>∈（2）()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ （3)(b)(0,0,)rrra ab a b r R =>>∈注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122[(1]11≠ （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数xy a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 2a>1注意： 指数增长模型：y=N （1+p)指数型函数： y=ka 3 考点：(1)a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧;当b 〈0时，a,N 在1的 异侧.（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进1(=a 0）进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性. （4)分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。
(5）指数型函数：y=N （1+p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 （一)对数1．对数的概念：一般地，如果x a N = ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a x N = （ a - 底数， N — 真数，log a N — 对数式）说明：1。
(2020-1-8)高中数学必修1第二章-基本初等函数告知知识点小结
下列函数中不是幂函数的是（ ）
A． y 3x
B． y x
C． y 3 x
D． y x0
幂函数的图像过点
2,
1 4
，则它的单调递增区间是（
）
A． (0, )
B．[0, )
C． (, 0)
D． (, )
B
在 y 2 x , y log 2 x, y x 2 , 这三个函数中，
方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 n a 表示.
(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反
数，这时，正数的正的n次方根用符号 n a 表示，负的n次 方根用符号 n a表示.正负两个n次方根可以合写为 n a
(a＞0)
(3) n a n a (4)当n为奇数时，n a n a ；当n为偶数时，
1
y=x3 y x 2
y=x-1
R [0,+∞) {x|x≠0}
R [0,+∞) {y|y≠Leabharlann }奇 非奇非偶 奇增
(0,+∞)减
增
(-∞，0)减
(1,1)
图 2.3-1 是幂函数 y x 在第一象限的图像，
已知 取 2, 1 四个值， 则相应于曲线 2
C1, C2 , C3, C4 的 的值依次是_______________．
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二次函数 y ax2 bx c
1、定义域 2、值域 3、单调性
4、图象
a>0
a<0
R
4ac b2
[
, )
基本初等函数及其性质(高中数学)
01 函数及其表示函数的概念【知识简介】函数与映射的概念【典例】1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.(－∞，3)∪(3，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞)D.(3，＋∞)【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.【答案】C3．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫125＝( ) A ．4 B.14C.－4D.－14【解析】∵f ⎝⎛⎭⎫125＝log 5125＝log 55－2＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫125＝f (－2)＝2－2＝14，故选B. 【答案】B 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 【解析】[∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 【答案】-2 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． 【解析】由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N)的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确． 【答案】① 求函数的定义域 【知识简介】求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解，高考中常以选择题形式出现，难度较低． 【典例】 1(1)(2014·山东，3)f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) (2)(2013·大纲全国，4)已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，1【答案】 (1)C (2)B 【名师点睛】(1)求定义域时对于解析式先不要化简；(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． 1.(2012·江西，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x1．D 函数y ＝13x 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，与函数y ＝sin xx 的定义域相同，故选D.2．若典型例题1(2)改为函数f (x 2－1)的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤－12，32,求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．求函数的解析式 【知识简介】高考中直接考查求函数解析式的题目很少，主要考查应用问题，备考时熟练掌握换元法、待定系数法求解析式，高考中常以选择题或填空题形式出现，难度不大．【典例】 2(1)(2014·浙江，6)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9(2)(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|(3)(2013·安徽，14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.【解析】 (1)由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，∴f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c .由0<f (－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c ≤3，即6<c ≤9，故选C.(3)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．【答案】 (1)C (2)D (3)－12x (x ＋1),【名师点睛】题(2)中判断对应关系“f ”是否是函数关键在于对于∀x ∈R 在f 的作用下是否有唯一的y 与之对应．求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f (x )． 分段函数分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，试题常以选择题、填空题形式出现，考查求值、解方程(零点)、解不等式、函数图象及函数性质等问题．解题过程中常渗透分类讨论的数学思想．【典例】3(1)(2015·课标Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ）， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2014·浙江，15)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2， x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1)C (2)(－∞，2] 【名师点睛】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．(2015·山东临沂调研，5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45 C ．2 D ．9 C ∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2. ∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ， ∴a ＝2.故选C.,分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．【针对训练】1．(2016·湖南三校联考，3)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg(x －1)的定义域是( ) A ．[－1，4] B ．(－1，4] C ．[1，4] D ．(1，4] 1．D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4. 2．(2016·福建厦门一模，4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．(2016·湖南衡阳联考，3)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋13．C f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.4．(2015·河北唐山统考，5)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x )4．C 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )． 5．(2016·广东广州一模，8)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12，2 5．B 要使函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12（2－x ）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1⇒32≤x ＜2.故选B.6．(2016·陕西西安一中一模，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，－2)D ．(－2，1)7．(2015·湖北武汉质检，6)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围( )A ．[－1，1]B ．[－2，0]C ．[0，2]D ．[－2，2]7．D 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋（－a ）2＋2（－a ）≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，（－a ）2－2（－a ）＋a 2＋2a ≤0， 解得a ∈[－2，2]，故选D.8．(2015·安徽合肥二模，7)设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B .若x 0∈A ，且 f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，14 B.⎝⎛⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎣⎡⎦⎤0，38思路点拨：解答本题关键是要分清x 0∈A 时，f (x 0)的取值范围，以决定如何求f (f (x 0))的值． 9．(2016·浙江慈溪、余姚联考，10)若函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.9． 【解析】 用1x 替换2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x 中的x ，得到2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，两个方程联立消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f (x )＝2x －1x. 【答案】 2x －1x10．(2016·湖北武昌调考，14)新定义函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)sgn x >2的解集是________． 10． 【解析】 ①当x >0时， sgn x ＝1，不等式的解集为{x |x >1}； ②当x ＝0时，sgn x ＝0，不等式无解；③当x <0时，sgn x ＝－1，不等式的解集为{x |x <－3}， 所以不等式(x ＋1)sgn x >2的解集为{x |x <－3或x >1}． 【答案】 {x |x <－3或x >1}【点击高考】1．(2014·江西，2，易)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)1．C 要使函数有意义，需满足x 2－x >0，解得x <0或x >1，故选C.2．(2014·江西，3，易)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f (g (1))＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1 2．A 由已知条件可知 f (g (1))＝f (a －1)＝5|a -1|＝1， ∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.3．(2012·安徽，2，易)下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x4．(2015·山东，10，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1， x <1，2x ， x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)4．C 令f (a )＝t ，则由f (f (a ))＝2f (a )得f (t )＝2t .由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1可知t ≥1.∴f (a )≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a ≥1⇒23≤a <1或a ≥1⇒a ≥23.故选C. 5．(2015·湖北，6，中)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]6．(2015·湖北，10，难)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．B 由题可知： 当n ＝1时，1≤t <2.当n ＝2时，2≤t 2<3，即2≤t <3满足条件．当n ＝3时，3≤t 3<4，即33≤t <34满足条件． 当n ＝4时，4≤t 4<5，即44≤t <45满足条件． 当n ＝5时，5≤t 5<6，即55≤t <56， 而33>56.所以正整数n 的最大值为4.7．(2015·浙江，10，易)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3， x ≥1，lg （x 2＋1）， x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．8．(2015·山东，14，中)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．8．【解析】 当0<a <1时，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.当a >1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，解得b ＝－1，∴1a ＝0，无解．综上a ＋b ＝－32. 【答案】 －3202 函数的单调性求函数的单调区间 【知识简介】对于高考中函数的单调性是重点考查内容．备考时要熟记基本初等函数的图象和性质．往往以选择题、填空题形式出现，难度中等，解答题部分一般与导数结合，考查难度较大． 【典例】 1(1)(2015·湖南，5)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2014·天津，4)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数y ＝x 2－4的单调减区间，结合函数的定义域x 2－4>0，可知所求区间为(－∞，－2)． 【答案】 (1)A (2)D(2015·河南洛阳二模，6)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1] B 由图象可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12. ∵0<a <1，∴函数y ＝log a x 在定义域内单调递减．由题意可知，0≤log a x ≤12，解得a ≤x ≤1，即所求递减区间为[a ，1]，故选B.,判断函数单调性(单调区间)的常用方法(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间．(3)复合函数法：适用于形如y ＝f (φ(x ))的复合函数，具体规则如下表：函数 增减情况内函数t ＝φ(x ) 增 增 减 减 外函数y ＝f (t ) 增 减 增 减 y ＝f (φ(x ))增减减增y ＝f (φ(x ))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)． (5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性． 函数的值域 【知识简介】确定函数的值域或最值一般先探求函数在定义域内的单调性，通常出现在选择题或填空题中，函数求值域问题涉及到的函数是基本初等函数，或由基本初等函数经过变换得到．在备考时熟练掌握几个常见函数模型的图象与性质，如y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)或y ＝x ＋ax (a ≠0)．此外，在解答题中常与恒成立、有解问题综合考查，属于中高档题．【典例】 2(1)(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8(2)(2015·福建，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)①当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a 2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.②当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上可得a ＝－4或a ＝8.【答案】 (1)D (2)(1，2](2015·福建福州一模，6)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．－1常见求函数值域的方法(1)配方法：对形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)形式的函数，配方转化为顶点式，利用二次函数值域的求法求 解．(2)单调性法(图象法)：若f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )min ＝f (a )，f (x )max ＝f (b )；若f (x )在[a ，b ] 上单调递减，则f (x )min ＝f (b )，f (x )max ＝f (a )．(3)对于形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数，利用基本不等式：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)求最值．(4)导数法． 单调性的应用 【知识简介】函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力．在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等． 【典例】 3(1)(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．c <b <a(2)(2013·安徽，4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3)(2014·课标Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．【解析】 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴m ＝0， ∴f (x )＝2|x |－1.图象如图，由函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∵a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故选C.(3)由题知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x －1|<2，解得－1<x<3.【答案】(1)C(2)C(3)(－1，3),比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．含“f”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数在区间A上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决．若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决．如f(x)在区间A上为增函数，求参数a的范围，则转化为：f′(x)≥0在A上恒成立且f ′(x )＝0在A 的任意子区间不恒成立，若求得a ≥2，则需检验a ＝2时是否符合题意．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，2)下列函数中是偶函数并且在(0，＋∞)内单调递增的是( ) A ．y ＝－(x －1)2 B ．y ＝cos x ＋1 C ．y ＝lg|x |＋2 D ．y ＝2x2．(2015·河北保定三模，6)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 2．C 要使函数f (x )的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12，故选C.3．(2015·湖南株洲一模，7)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．123．C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．(2016·黑龙江哈尔滨联考，8)已知函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关 系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c4．D 由函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c ，故选D.5．(2016·江西八校联考，10)定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，且函数y＝f (x －1)的图象关于点(1，0)中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，t －2ss ＋t 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－3，－12B.⎣⎡⎦⎤－3，－12 C.⎣⎡⎭⎫－5，－12 D.⎣⎡⎦⎤－5，－12①不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≤t ，s ＋t ≤2的解只有⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝1，此时t －2s s ＋t＝－12.②∵t －2s s ＋t ＝t ＋s －3s s ＋t＝1－31＋t s，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≥t ，s ＋t ≥2表示的可行域如图中阴影部分所示，6．(2016·吉林长春质检，15)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．6．【解析】 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1， ∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)． 【答案】 (－∞，1]∪[3，＋∞)【点击高考】1．(2014·北京，2，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)1．A 对于A ，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故符合；对于B ，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故不符合；对于C ，函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故不符合；对于D ，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合．2．(2014·陕西，7，易)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x3 C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x2．D ∵f (x ＋y )＝f (x )f (y )， ∴f (x )为指数函数模型，排除A ，B.又∵f (x )为单调递增函数，∴排除C ，故选D.3．(2012·广东，4，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x ＋1x4．(2012·陕西，2，易)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |4．D (逐项验证法)对于A ，注意到函数y ＝x ＋1不是奇函数；对于B ，注意到函数y ＝－x 3是在R 上的减函数；对于C ，注意到函数y ＝1x 在其定义域上不是增函数；对于D ，注意到－x ·|－x |＋x |x |＝0，即函数y ＝x |x |是奇函数，且当x ≥0时，y ＝x |x |＝x 2是增函数，因此函数y ＝x |x |既是奇函数又是R 上的增函数，故选D.5．(2015·北京，14，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________． 5．【解析】 (1)若a ＝1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，－1<2x －1<1.当x ≥1时，4(x －1)(x －2)＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.6．(2012·上海，7，中)已知函数f (x )＝e |x-－a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．6．【解析】 方法一：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数， 则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.方法二：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），当x ≥a 时，f (x )＝e x －a ，f ′(x )＝e x －a .由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0在[1，＋∞)上是恒成立的， ∴a ≤x min ，∴a ≤1.当x ＜a 时，f ′(x )＝－e x －a ＜0恒成立，不符合题意． 综上所述，a ≤1. 【答案】 (－∞，1]7．(2016·浙江，16，15分，中)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．7．解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，当x>1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．03 函数的奇偶性与周期性函数奇偶性的判断及应用【知识简介】函数的奇偶性常与函数单调性相结合，解决求值、求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现，常以选择题或填空题形式出现，难度不大，属于中低档题．【典例】1(1)(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1(2)(2014·湖南，3)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(3)(2015·课标Ⅰ，13)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝______．【答案】(1)A(2)C(3)1(2013·四川，14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】 (－7，3),判断函数奇偶性的方法 (1)定义法首先确定函数的定义域，若定义域关于原点对称，则确定f (x )与f (－x )的关系，进而得出函数的奇偶性；否则该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)图象法观察f (x )的图象，若关于原点对称，则f (x )为奇函数，若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．应用奇偶性可解决的问题及方法(1)求函数值：利用奇偶性转化到已知区间上求解．(2)求解析式：步骤：①求谁设谁；②转化到已知解析式的区间；③利用已知区间解析式求出f (－x )；④利用奇偶性求出f (x )．(3)求解析式中参数的值：利用待定系数法求解，由f (x )±f (－x )＝0得出关于参数的恒等式，进而求解． 函数的周期性 【知识简介】函数的周期性常与函数的奇偶性、图象的对称性结合，考查函数求值等问题，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现．【典例】 2(1)(2012·山东，8)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( ) A ．335 B ．338 C ．1 678 D ．2 012(2)(2014·四川，12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 【解析】 (1)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.(2)由已知易得f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1，又由函数的周期为2， 可得f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝1. 【答案】 (1)B (2)1,函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期． 函数性质的综合应用 【知识简介】函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常将它们综合在一起命题，奇偶性多与单调性结合，周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现． 【典例】 3(1)(2014·大纲全国，12)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8) ＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1(2)(2012·课标全国，16)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(2)显然其定义域为全体实数，f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 【答案】 (1)D (2)2,函数性质综合应用的注意点函数的周期性常通过奇偶性得到，奇偶性体现的是一种对称关系．而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．【针对训练】1．(2016·山东潍坊联考，4)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列结论中一定正确的是( ) A ．函数f (x 2)＋x 2是奇函数 B ．函数[f (x )]2＋|x |不是偶函数 C ．函数x 2f (x )是奇函数 D ．函数f (x )＋x 3不是奇函数2．(2016·甘肃兰州一模，12)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎣⎡⎭⎫12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0，2]2．C 因为f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，所以原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，故选C.3．(2016·广东东莞一模，6)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (21.8)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c3．B ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴b ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)，∵21.8＞2＞log 23＝log 49>log 47， ∴log 47<log 49<21.8，∵f (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 则f (log 47)>f (log 49)>f (21.8)， 即c <b <a .4．(2015·湖北名校联考，7)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)∴在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根可转化为函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象有且只有三个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧log a （2＋2）<3，log a（6＋2）>3， 解得34＜a ＜2，故选D.5．(2016·河北石家庄模拟，15)若函数f (x )＝2x ＋sin x 对任意的m ∈[－2，2]，有f (mx －3)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．【答案】 (－3，1)6．(2016·山东济南二模，13)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (2 015)＝________.6．【解析】 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )， ∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2 015)＝f (7＋251×8)＝f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝f (1)＝2. 【答案】 27．(2016·山西太原三模，16)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________. 7．【解析】 ∵奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝－f (－x )， ∴f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x ＋3)， ∴f (x )是以3为周期的周期函数， ∵S n ＝2a n ＋n ，① ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1，②②－①可得a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1＝2(a n －1)，∴数列{a n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，即a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，即a n ＝－2n ＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63，∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3. 【答案】 38．(2016·河南郑州质检，15)设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin πx ＋2图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－1)＋f ⎝⎛⎭⎫－1920＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1920＋f (1)＝________. 【答案】 82【点击高考】1．(2016·山东，9，中)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．21．D 由题意得，当x ＞12时，f (x ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－12＝f (x )，所以当x ＞12时，f (x )的周期为1，所以f (6)＝f (1)．又f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2，故选D.2．(2016·课标Ⅱ，12，难)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m3．(2015·广东，3，易)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x3．D A 中函数y ＝1＋x 2为偶函数；B 中f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，故为奇函数；C 中f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x＋2x ＝f (x )，故为偶函数；D 中f (－x )＝－x ＋e －x ，为非奇非偶函数，故选D.4．(2014·课标Ⅰ，3，易)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数4．C 若f (x )为奇函数，则|f (x )|为偶函数；若g (x )为偶函数，则|g (x )|为偶函数，且两函数相乘奇偶性“同偶异奇”，对照选项可知C 正确．5．(2013·山东，3，易)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．25．A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A.6．(2012·福建，7，中)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0，1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数7．(2016·天津，13，中)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－2)，则a的取值范围是________．7．【解析】由f(x)是偶函数且f(x)在(－∞，0)上单调递增，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(2|a－1|)>f(－2)，f(－2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)>f(2)，∴2|a－1|<2，即|a－1|<1 2，∴12<a<32.【答案】12<a<328．(2012·上海，9，易)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．04 二次函数与幂函数二次函数 【知识简介】在高考中，二次函数图象常与其他函数结合考查，多以选择题形式出现，难度偏大，属于中高档题． 二次函数性质中单调性及最值在高考中出现频率较高，在解答题中常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、零点与不等式问题，难度较大．【典例】 1(1)(2015·四川，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D.812(2)(2013·辽宁，12)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．16③当m －2<0，即0≤m <2时，f (x )开口向下，对称轴x ＝－n －8m －2＝8－n m －2≤12，整理得m ＋2n ≤18.∴mn ＝12×2mn ≤12×⎝⎛⎭⎫m ＋2n 22≤812，当且仅当m ＝2n ，m ＋2n ＝18，即n ＝92，m ＝9时，等号成立，而m ＝9与0≤m <2矛盾；故不合题意．综上可知，mn 的最大值为18，故选B.(2)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图．由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a ＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.【答案】(1)B(2)C,【名师点睛】(1)首先根据函数的单调性建立关于m，n的不等式，然后运用基本不等式求最值．注意需对二次项系数进行分类讨论．(2)比较两个函数的大小可以转化成两图象的上下位置关系，故可用图象法求解，在画图时要抓好轴与顶点．二次函数图象的主要考查方向(1)二次函数的图象的识别问题，主要有以下三个要点：一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)与其他图象的公共点问题，解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所涉及的相应函数图象，要注意其相对位置关系．二次函数性质应用的求解策略(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数大于0，等于0，小于0. (2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算． 幂函数 【知识简介】高考中考查幂函数的概念、图象及性质，利用幂函数性质求参数，很少单独考查，一般结合指数函数、对数函数考查基本初等函数的图象与性质，以选择题、填空题的形式呈现，难度不大．【典例】 2(1)(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是 ( )(2)(2014·上海，9)若f (x )＝x 23－x －12，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)令y 1＝x 23，y 2＝x －12，则f (x )<0即为y 1<y 2.函数y 1＝x 23，y 2＝x －12的图象如图所示，由图象知当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0，1)． 【答案】 (1)D (2)(0，1)(2016·山东实验中学三模，5)幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，4)已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 1．A ∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数为f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数为f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.2．(2016·浙江宁波二模，6)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )2．A [考向1，2]由f (x )的图象知，0<a <1，b <－1.由0<a <1可排除C ，D ，又由g (0)＝1＋b <0可排除B.故。
一篇文章掌握高中函数图像,不看别后悔!
函数图像是必考点，对于研究函数的单调性、奇偶性以及最值（值域）、零点有举足轻重的作用，但是很多同学看到眼花缭乱的函数解析式，就已经晕头转向了。
今天给大家整理了高中函数相关资料，希望能帮助高中生数学得高分！下面是基本初等函数的图像以及函数变换的规律，希望大家能学明白！一、基本初等函数的图像1.一次函数性质：一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。
2.二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
3.反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
4.指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图：不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
5.对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的：6.幂函数y=x^a性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。
7.对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
二、函数图像的变换注意：对于函数图像的变换，有的时候，看到解析式，可能会有两种以上的变换，尤其是针对x轴上的，那么此时，一定要根据上面的规则，判断好顺序，否则顺序错了，可能就没办法经过变换得到了！例如：画出函数y=ln|2-x|的图像通过研究这个函数解析式，我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx 通过变换而来，那么这个函数经过了几步变换呢？变换的顺序又是如何？通过解析式x上附加的东西，我们会发现，会有对称变换，x前面加了负号，还有翻折变换，x上面还有绝对值，还有平移变换，前面加了一个2，既然有3种变换，那么顺序如何呢？牢记住一点：针对x 轴上的变换，那就一定要看x这个符号有啥变化。
高中数学函数初等函数性质分析
高中数学函数初等函数性质分析一、引言函数是数学中的重要概念，它描述了一种变量之间的关系。
在高中数学中，我们学习了许多不同类型的函数，其中包括初等函数。
初等函数是指可以通过有限次的四则运算、指数函数、对数函数和三角函数来表示的函数。
本文将对初等函数的性质进行分析，并通过具体题目进行举例，帮助读者理解和掌握这些性质。
二、初等函数的性质1. 定义域和值域初等函数的定义域是指使函数有意义的输入值的集合，而值域则是函数所有可能的输出值的集合。
例如，对于函数f(x) = √(x+2)，它的定义域是x≥-2，值域是y≥0。
在解题时，我们需要注意确定函数的定义域和值域，以保证问题的解在函数的范围内。
2. 奇偶性初等函数的奇偶性是指函数关于坐标轴的对称性。
如果对于任意x，有f(-x) =f(x)，则函数为偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数，而函数f(x) = x^3是一个奇函数。
在解题时，可以利用函数的奇偶性简化计算，例如，对于奇函数的积分，可以简化为对称区间的一半。
3. 单调性初等函数的单调性是指函数在定义域上的增减性。
如果对于任意x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数为增函数；如果对于任意x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数为减函数。
例如，函数f(x) = x^2是一个增函数，而函数f(x) = -x^2是一个减函数。
在解题时，可以通过函数的单调性来确定函数的最值和解方程。
4. 对称轴和极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a≠0，它的对称轴可以通过公式x = -b/2a来求得。
对称轴是函数图像的对称轴，对称轴上的点称为顶点，顶点的纵坐标即为函数的极值。
例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1，它的对称轴是x = -1，顶点为(-1, 0)，即函数的最小值为0。
知识点整理-[高中数学]第三章 基本初等函数(I)
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如果 a=1，y=1x=1，是一个常量，对它就没有研究的必要。
为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0 且 a≠1。
1
③如 y=2·3x，y= 2 x ，y= 3 x2 ，y=3x+1 等函数都不是指数函数，要注意区分。
（2）指数函数的图象和性质
y=ax
0＜a＜1
a＞1
图 象
定义域为 R，值域为(0,+∞)
质对于无理指数幂也适用，这样，指数概念就扩充到了整个实数范围。
（3）利用分数指数进行根式与幂的计算
在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指
数幂，并尽可能的统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，
以利于运算、达到化繁为简的目的。
对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示，如
a0=1，即 x=0 时，y=1，图像都过点(0,1)
性 a1=a，即 x=1 时，y 等于底数 a，图像都经过点(1,a)
质 在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
x＜0 时，ax＞1；
x＜0 时，0＜ax＜1；
x＞0 时，0＜ax＜1
x＞0 时，ax＞1
既不是奇函数，也不是偶函数
4
学习指数函数的图象和性质，需要注意的几个问题： ①当底数 a 大小不定时，必须分“a＞1”和“0＜a＜1”两种情况讨论。 ②当 0＜a＜1 时，x→+∞，y→0；当 a＞1 时，x→-∞，y→0。当 a＞1 时 a 的值越大， 图象越靠近 y 轴，递增速度越快；当 0＜a＜1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的 速度越快。（其中“x→+∞”意义是：“x 接近于正无穷大”）。 ③在同一直角坐标系中指数函数图象的位置与底数大小的关系：在 y 轴右侧，图象从 上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。 规律：当 a＞1，b＞1 时，指数函数 y=ax，y=bx 的图象在同一坐标系中，在直线 x=0 的右边，当 a＞b 时，y=ax 的图象在 y=bx 的图象上方，在直线 x=0 的左边正好相反。 当 0＜a＜1，0＜b＜1 时，指数函数 y=ax，y=bx 的图象的关系与 a＞1，b＞1 正好相反。 （3）指数函数的定义域与值域 指数函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）的定义域是(-∞,+∞)，值域是(0,+∞)。 求由指数函数构成的复合函数的定义域时，可能涉及解指数不等式（即未知数在指数 上的不等式）。解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底的幂的形式，利用指数 函数的单调性脱去幂的形式，从而转化为熟悉的不等式。同时还应注意负数不能开偶次方， 分母不能为零，限制 x 的取值。 求由指数函数构成的复合函数的值域，一般用换元法即可，但应注意在中间变量的值 域以及指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况。 （4）指数函数图象的变换规律 ①平移规律 若已知 y=ax 的图象，则把 y=ax 的图象向左平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax+b 的图 象，向右平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax-b 的图象，向上平移 b（b＞0）个单位，则得 到 y=ax+b 的图象，向下平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax-b 的图象。 一般的，把函数 y=f(x)图象向右平移 m 个单位得到函数 y=f(x-m)的图象（m∈R，m＜ 0，就是向左平移|m|个单位）；把函数 y=f(x)的图象向上平移 n 个单位，得函数 g(x)=f(x)+n 的图象（n∈R，n＜0，就是向下平移|n|个单位）。
高中数学知识点全总结
高中数学知识点全总结必修一第一章：集合和函数的基本概念这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。
次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
第二章：基本初等函数——指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。
另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。
第三章：函数的应用这一章主要考是函数与方程的结合，其实就是函数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。
这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间灵活转化，以求能最简单的解决问题。
关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这些难点对应的证明方法都要记住，多练习。
二次函数的零点的Δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。
必修二第一章：空间几何三视图和直观图的绘制不算难，但是从三视图复原出实物从而计算就需要比较强的空间感，要能从三张平面图中慢慢在脑海中画出实物，这就要求学生特别是空间感弱的学生多看书上的例图，把实物图和平面图结合起来看，先熟练地正推，再慢慢的逆推（建议用纸做一个立方体来找感觉）。
在做题时结合草图是有必要的，不能单凭想象。
后面的锥体、柱体、台体的表面积和体积，把公式记牢问题就不大。
(完整版)高中数学常用函数图像及性质
1.指数函数0(>=a a y x 且)1≠a图像：性质：恒过定点（0,1）；当0=x 时，1=y ；当1>a 时，y 单调递增，当)0,(-∞∈x 时，)1,0(∈y ；当),0(+∞∈x 时，),1(+∞∈y .当10<<a 时，y 单调递减，当)0,(-∞∈x 时，),1(+∞∈y ；当),0(+∞∈x 时，)0,1(∈y .2.对数函数0(log >=a x y a 且)1≠a对数运算法则：N M MN a a a log log log += N M NMa a alog log log -= M n M a n a log log =)(R n ∈ N N a a =log （对数恒等式）aNN b b a log log log =（换底公式） 图像x)1>(=a y x性质：恒过定点（1,0）；当1=x 时，0=y ；当1>a 时，y 单调递增，当)1,0(∈x 时，)0,(-∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，),0(+∞∈y .当10<<a 时，y 单调递减，当)1,0(∈x 时，),0(+∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，)0,(-∞∈y .指数函数和对数函数的关系：互为反函数3.初等函数⑴：2x y ±= 图像2x y = ：开口向上，)0,(-∞∈x 时，),0(+∞∈y ，函数单调递减；),0(+∞∈x ，时，),0(+∞∈y ，函数单调递增，且是偶函数。
2x y -= ：开口向下，)0,(-∞∈x 时，)0,(-∞∈y ，函数单调递增；),0(+∞∈x ，时，)0,(-∞∈y ，函数单调递减。
)0(>a x )10(<<a x性质：图像都是关于y 轴对称 ⑵：3x y = 图像性质：R y R x ∈∈,，函数是增函数，也是奇函数 ⑶：1-=x y 图像x性质：R x ∈且0≠x ，R y ∈且0≠y ；函数在)0,(-∞∈x 内和),0(+∞∈x 内都是单调递减，且函数是奇函数。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节 函数的图象)
第五节 函数的图象一、基础知识1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f x 整体上加减.(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图象． ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻折变换 ①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．二、常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；(3)函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a 2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图象关于点(0，b )对称； (4)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． 考点一 作函数的图象[典例] 作出下列函数的图象．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，其图象如图③所示．[变透练清]1.[变条件]若本例(2)变为y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2，试作出其图象．解：y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象是由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移2个单位长度得到的，其图象如图 所示．2.[变条件]若本例(3)变为y ＝|x 2－2x －1|，试作出其图象．解：y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋1，1－2<x <1＋2，其图象如图所示．考点二 函数图象的识辨[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )[解析] ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项；当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项；又e>2，∴1e <12，∴e －1e >1，排除C 选项．故选B.[答案] B[例2] 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )[解析] 法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.[答案] D [解题技法]1．函数图象与解析式之间的4种对应关系(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反；(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点． 2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)； (2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换． 3．借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．[题组训练]1．(2019•郑州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x <0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：选D 法一：由题设得函数g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，1x ，x >0，据此可画出该函数的图象，如题图选项D 中图象．故选D.法二：先画出函数f (x )的图象，如图1所示，再根据函数f (x )与－f (－x )的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x )，即g (x )的图象，如图2所示．故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：选C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.考点三 函数图象的应用考法(一) 研究函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案] C[解题技法] 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二) 在不等式中的应用[典例] 若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．[答案] A [解题技法]当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．[题组训练]1．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －x x <0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为f (x )为奇函数， 所以不等式f x－f －xx<0可化为f xx<0， 即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示． 所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．2．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小值是________．解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如图所示， 由图象可得，其最小值为32.答案：323．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫－x2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x >－1，若f (x )在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m 的取值范围为________．解析：作出函数f (x )的图象，当x ≤－1时，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫－x2单调递减，且最小值为f (－1)＝－1，则令log 2⎝⎛⎭⎫－x 2＝2，解得x ＝－8；当x >－1时，函数f (x )＝－13x 2＋43x ＋23在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2，又f (4)＝23<2，f (－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．答案：[－8，－1][课时跟踪检测]A级1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度解析：选B因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()解析：选C要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．3．(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()解析：选D 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ， 令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x . ∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数． ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A 、B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z)，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C ，选D.4．下列函数y ＝f (x )图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A 、B.在C 中，f ⎝⎛⎭⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝⎛⎭⎫14＜f (3)，排除C ，选D.5.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.6．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________．解析：因为函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，所以函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．答案：(4，－2)7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4,0)， ∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14.故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0 8．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 答案：{x |－1<x ≤1} 9．画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解：(1)因为函数的定义域为{x |x >0}且y ＝e ln x ＝x (x >0)， 所以其图象如图所示． (2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.B 级1．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在 (－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1,2) 解析：选C 作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．4．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1. 令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1， 当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.。
函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结
函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结函数是数学中一种重要的概念，它描述了一种特定的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数在高中数学中占据了重要的地位，是数学学习的基础。
在这篇文章中，我们将总结函数的概念以及一些基本的初等函数的知识点。
一、函数的概念函数是一种特定的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
通常用字母f表示函数，例如f(x)。
其中x是函数的自变量，f(x)是函数的值或因变量。
函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数可能取值的集合。
函数可以用图像、表格或公式来表示。
函数有一些重要的特点：1.单值性：对于定义域中的每个自变量值，函数只能有一个对应的值。
2.定义域：函数的自变量可能取值的集合。
3.值域：函数的值可能取值的集合。
4.对称性：函数可能具有一些对称性质，例如奇函数和偶函数。
5.增减性：函数可能随着自变量的增大或减小而增加或减少。
初等函数是一类经过常见运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等）和函数复合（如求和、求积、复合函数等）得到的函数。
下面是一些常见的初等函数及其特点和知识点：1.幂函数：幂函数的表达式是y=x^m，其中m是实数。
幂函数的图像可能是一条直线、二次曲线、指数曲线等。
幂函数的正负性、单调性和奇偶性与指数m的关系密切。
2.指数函数：指数函数的表达式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的实数。
指数函数的图像是一个递增的曲线。
指数函数的性质包括连续性、正负性、单调性和极限等。
3.对数函数：对数函数的表达式是 y = log_a(x)，其中 a 是大于 0 且不等于 1 的实数。
对数函数是指数函数的反函数，其图像是对数曲线。
对数函数的性质包括连续性、正负性、单调性和极限等。
4.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的图像是周期性的波浪曲线。
三角函数的性质包括周期性、奇偶性、单调性和求导等。
5.反三角函数：反三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数的反函数，用sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)、tan^(-1)(x) 表示。
必修1第二章基本初等函数小结1课件人教新课标
代兵
高中数学必修1同步辅导课程——基本初等函数本章小结
本章知识网络：
指数函数
基
（
本 初
Ⅰ
）
等 函
数
互为反函数
对数函数
幂函数
指数 性质 对数 性质 定义 性质
高中数学必修1同步辅导课程——基本初等函数本章小结
指数函数与对数函数的联系：
图像：
高中数学必修1同步辅导课程——基本初等函数本章小结
a>1
0<a<1
五个具体
的幂函数
(a=-1, 1 ,0,1,2)
2
如果a<0,则图象过点(1,1),
并在(0,+∞)上为减函数;
a<0
logb N
lo0g且b aa
1)
式：
图
像：
性质 定义域：（0,）
值域：R
单调性：a>1时为增函数,0<a<1时为减函数
定点：（1，0）
幂函数
高中数学必修1同步辅导课程——基本初等函数本章小结
定义：形如 y xa （a是常数）
如果a>0,则图象过点(0,0)、
(1,1)并在(0,+∞)上为
增函数;
典型题例：
例1：（1）化简： a 3 b 3 b a3 3 a b
（2）求值：1 lg 32 4 lg 8 lg 245
2 49 3
高中数学必修1同步辅导课程——基本初等函数本章小结
变式：（1）已知：10
2,10
3,
求1002
1 3
的值。
（2）已知：9a 2b 1 ,求 1 2 的值。
若不等式f (x) 4的解集为 2,2求a的值。
高中数学必修4-基本初等函数小结
高中数学必修4-基本初等函数小结高中数学必修4-基本初等函数小结基本初等函数是高中数学中最重要的内容之一，它是研究数学的基础，也是理解其他数学分支的重要工具。
基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
幂函数是一种非常基础的函数，它的形式为y=x^n，其中n为任意实数。
它有两个特殊情况：n为正整数时，函数图像是单调递增的，n为负整数时，函数图像是单调递减的。
幂函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，奇偶性的判断和函数图像的变化规律。
指数函数是以指数为自变量，以底数为底的函数，它的形式为y=a^x，其中a为一个实数且大于0且不等于1。
指数函数是以底数是常数的变异函数，具有指数函数特有的性质。
指数函数的图像具有一些重要的特点，比如当a>1时，函数图像是上升的；当0<a<1时，函数图像是下降的；在反比例函数中，a=1时，函数图像变为常数。
对数函数是指数函数的逆函数，它的形式为y=loga(x)，其中a 为一个实数且大于0且不等于1。
对数函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，奇偶性的判断和函数图像的变化规律。
对数函数和指数函数是基本相关的，可以通过对数函数求解指数函数问题。
三角函数是研究三角关系的基础，它的形式为y=sin(x)，y=cos(x)和y=tan(x)。
三角函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，周期性和奇偶性的判断。
在解决三角关系的问题中，三角函数起着重要的作用，可以通过三角函数的计算来求解各种三角关系。
反三角函数是三角函数的逆函数，它的形式为y=arcsin(x)，y=arccos(x)和y=arctan(x)。
反三角函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，函数图像的变化规律。
在解决三角关系的问题中，反三角函数起着重要的作用，它可以通过三角函数的计算来求解各种三角关系。
总结而言，基本初等函数在高中数学中起着非常重要的作用，它们是数学学习的基础，也是理解其他数学分支的重要工具。
高考数学中的基本初等函数题型总结
高考数学中的基本初等函数题型总结作为全国高中生的普及性质考试，高考中必定会考到数学这个科目，而其中初等函数部分则是数学中的基础知识。
初等函数常常出现在多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等高中知识点当中。
因此，对于考生来说，掌握初等函数的知识点，对高考数学考试及日后的数学学习都非常重要。
本文就高考数学中的基本初等函数题型进行总结。
1. 最值问题求函数的最值是很常见的一种初等函数题型。
以一些典型的例子为参考，可更好地掌握这类题型。
例1：已知$f(x)=x^2-2x+2$，求$f(x)$的最小值。
解：首先，把$f(x)$变形为完全平方的形式。
即$$f(x)=(x-1)^2+1$$显然，当$x=1$时，$(x-1)^2$取最小值$0$。
故$f(x)$在$x=1$时取得最小值$1$。
例2：已知$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3x+5$，求$f(x)$的最大值。
解：同样把$f(x)$变形为完全平方的形式。
即$$f(x)=\dfrac{1}{2}(x-3)^2+\dfrac{1}{2}$$显然，当$x=3$时，$(x-3)^2$取最小值$0$。
故$f(x)$在$x=3$时取得最大值$\dfrac{1}{2}$。
2. 解方程解初等函数的方程是另一种常见的题型。
以下为几个典型的例子，例3：已知$y=2^x-x$，求$y=0$时的$x$的值。
解：根据方程可得$$2^x-x=0$$$$x=2^x$$把函数$y=2^x-x$作图，可以看出在$x=1$时交于$y=0$。
因此，方程的解为$x=1$。
例4：已知$y=\dfrac{1}{2}\log_2(x-1)+2$，求$y=1$时$x$的值。
解：根据方程可得$$\dfrac{1}{2}\log_2(x-1)+2=1$$$$\log_2(x-1)=2$$$$x-1=2^2=4$$因此，方程的解为$x=5$。
3. 函数图像解题函数图像是初等函数题目中重要的一部分。
高中数学教案二：一年级基本初等函数的性质及图像研究
高中数学教案二：一年级基本初等函数的性质及图像研究一. 引言初等函数是高中数学中的基本概念，它不仅是应用数学中的基础概念，也是理论数学中的基础概念。
初等函数包括数学中的六个基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数。
本篇文章将以一年级基本初等函数为研究对象，探究其性质及图像研究的详细内容。
二. 常数函数常数函数是指可能的x值都返回同样的y值的函数，即f（x）= c，其中c是常数。
常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，斜率为0，向上或向下平移与原图像重叠。
同时，常数函数不存在反函数。
三. 幂函数幂函数是指以一个自变量为底数，以常数为指数的函数，即f（x）= x^n，其中n是正整数。
幂函数的图像取决于n的奇偶性，当n为偶数时，x轴正半轴和负半轴都有对称轴，图像经过原点；当n为奇数时，图像经过原点，而且一定有一个斜率为正的拐点。
四. 指数函数指数函数是以指数为自变量，以底数为常数的函数，即f（x）= a^x，其中a是正实数且不等于1。
指数函数的图像与底数a有关，当a>1时，图像随着x的增大递增；当0<a<1时，图像随着x的增大递减。
指数函数的反函数是对数函数。
五. 对数函数对数函数是反映指数函数的幂次逆运算过程的函数，即f（x）= log_a x，其中a是正实数且不等于1， x是正实数。
对数函数的图像是关于y=x的反对称图形，当x趋近于0时，函数值趋近于负无穷。
六. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数等。
正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数和余切函数的周期为π。
三角函数的图像是周期函数，随着自变量的增大，函数值的正负性也会变化。
七. 总结初等函数是高中数学中的基本概念，其性质和图像的研究在不同的数学领域中具有广泛的应用。
通过本次探究，我们可以清楚地了解到常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质及其图像研究方法，为进一步的数学学习打下了坚实的基础。
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些事奇函数，那些是偶函数
周期性：
0.指数函数八
定义域：.，■‘I
有界性:
单调性：
若a>1函数单调增加；若0<a<1函数单调减少
奇偶性:
周期性:
、、亠
注意：
图形过（0,1）点暨aA0=1
直线y=0为函数图形的水平渐近线今后」"用的多 这个函数的图形，性质要记清楚
O.对数函数"司唯口几3>0卫圧1)
1、定义域：：• r值域：'」‘)
有界性：
单调性：a>1时，函数单调增加；0<a<1时，函数单调减少
奇偶性：
周期性：
主要性质：与指数函数互为反函数，图形过(1,0)点，
直线x=0为函数图形的铅直渐近线
“丄「—- -e=2.7182……，无理数 经常用到以e为底的对数
基本初等函数
1•函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则
2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这
四个方面去研究函数。
3.每个函数的图像很重要
定义域：随a的不同而不同，但无论a取什么值，xAa在「’内总有定义 值域：随a的不同而不同 有界性:
单调性：若a>0,函数在；…内单调增加； 若a<0,函数在人-内单调减少。