1有限单元法的基本概念和理论基础
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
土木工程中的数值方法-3-有限单元法-概述
259
8 奇异摄动理论
222
9 力学的公理化体系
199
10 克服声障、热障的力学理论
196
弹性力学基本方程：
体系形成
方法拓展
商用软件
学科交叉
60年代
70~80年代
90年代
至今
Turner &Clough
Argyris Melosh Jones Pian 冯康 Besseling
单元求解区 域上插值
(2) 变分方法 有限元方法最早的严格理论论证就是以这种形式给出的。
Ritz法要求被分析的问题存在一个“能量泛函”，由泛函取驻 值建立有限元方程。对于线性弹性问题就表现为最小位能/势 能原理、最小余能原理或其他形式的广义变分原理。Galerkin 法只要求被分析问题的 “本构关系/方程”存在。
(3) 加权残值法
Zienkiewicz (1921- )是需要特别提到的一位学者，他是英国威尔士(Wales)大学土木 工程学院教授，担任联合国教科文组织工程数值计算委员会主席，他在工程FEM计算方面作 出了卓越贡献，这些贡献主要体现在他的600多篇论文与25部专著中。1968年创办FEM主流 杂志《International Journal for Numerical Methods in Engineering》，有力地推动了 有限元在工程计算中的应用。
FEM求解工程问题过程
(1) 选取恰当的单元，建立单元有限元方程； (2) 网格剖分，离散求解域； (3) 将单元由局部坐标系转换到整体坐标系，并叠加 单元有限元方程，形成总体有限元方程； (4) 在总体有限元方程中引入强制边界条件； (5) 求总体有限元方程，得到节点解； (6) 后处理，求出单元内力、应力、应变、变形等。
第1章 有限元法概述
第一章有限元法概述第一节有限元法的发展及基本思想随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。
为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移。
但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。
弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。
因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。
有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。
这个方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。
1960年美国的克劳夫(C l o u g h)采用此方法进行飞机结构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”(finite element method），简称“有限元法”。
有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。
对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。
图1.1是用有限元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析，其中图1.1(a)为有限元模型，图1.1(b)是最大切应力等应力线图。
在图1.1(a)中采用8节点四边形等参数单元把轮齿划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。
有限单元法的数学基础
有限单元法的数学基础1、引言有限元方法归根结底是一种数值计算方法，它有严格的数学证明作为其近似的客观性和合理性的保证。
力学问题最终归结为一组微分方程的边值问题或者初值问题抑或是混合问题。
比如弹性静力学最终归结为L-N 方程的微分提法。
在很难或者根本不可能得到所得方程的理论解的情况下，究竟用什么样的方法才能得到方程的近似解（这种近似解已经能够满足实际工程的需要），在这种情况下，二十世纪五六十年代由结构力学家进而由数学家提出和证明了这种思想方法的合理性。
有限元方法产生于力学计算，但是，它本质上并不是力学的专利。
世间万物的变化过程很多都可以通过微分方程特别是偏微分方程来描述，也就是说，微分方程是很多现象和过程的数学结构，而大多数的微分方程是不能得到理论解的，这时候就可以使用有限元方法来求其近似解，因为有限元方法是求解微分方程（组）的数值计算方法。
它适用于力学的微分方程，也同样适用于其它领域的相应的微分方程的数值求解。
2、有限元方法数学根源对于一个给定的微分方程定解问题，为了求其近似解，我们可以使用Ritz 方法和Galerkin 方法。
下面分别阐述这两种方法，然后讨论有限元方法和他们的关系。
（1） Ritz 法Ritz 法源于最小势能原理，设H 是可分的Hilbert 空间，在H 中取有限维空间Sn ，它是由N 个线性无关向量12,,,N φφφ 张成，即：121,,(,,)NN n n i i N N i S C C C C R ωωφ=⎧⎫≡=∀∈⎨⎬⎩⎭∑用N S 代替H ，在N S 上求泛函J(w)的极值,即求N U ∈N S ，使得()N J U =min ()N N S N J ωω∈实际上寻求N U 只需通过解一个线性方程组1()(,)()02J D F ωωωω=-≥D--------双线性形式 F--------线性泛函1NN i i i C ωφ==∑111,111()(,)()21(,)()2N N NN i i i i i i i i i NN i j i j i ii j i J D C C F C D C C F C ωφφφφφφ====== =-∑∑∑∑∑－因此，()N J ω是一个以12,,,N C C C 为未知数（自变量）的二次多项式12(,,,)N j C C C ，如果二次项的系数矩阵,1,2,,[(,)]i j i j N D φφ= 是正定的，那么12(,,,)N j j C C C = 在N+1维空间是一个开口向上的椭球抛物面，它有且只有一个极（最）小值点，所谓在N S 上求()N J ω的极值，就是确定00012,,,N C C C ，使得：00012(,,,)N j C C C ＝1000,,12min (,,,)N C C R N j C C C ∈极值条件：ijC ∂∂|00012,,,N C C C ＝0 （1,,i N = ） 得:01()()ni ji i i D CF φφφ==∑ (1,,i N = )即：00012[,,,]T N C C C C = 适合方程组：KC=F11[(),,()]T F F F φφ=112111222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,),(,),,(,)N N N N N N D D D D D D K D D D φφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，， 。
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
有限元法概述
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
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汽车碰撞实验
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刹车制动时地盘的应力分析
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钢板精轧机热轧制分析
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三维椭圆封头开孔补强
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水轮机叶轮的受力分析模拟
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人体股骨端受力分析
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半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
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2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
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4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
有限元法基础重点归纳(精)
30、有限元法的任务:建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间的关系的平衡方程。31、单元刚度矩阵:表达了单元节点位移与节点力之间的转换关系。
32、单元刚度矩阵的性质:①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义②K e是对称矩阵③K e的每一行或每一列元素之和为零,因此K e为奇异矩阵④K e不随单元的平行移动或作n π角度的转动而改变。33、刚度集成法集成规律:①先对每个单元求出其单元刚度矩阵K e ,而且以分块形式按节点编号顺序排列②将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n ,并将单元刚度矩阵中的子块按局部码与总码的对应关系,搬到扩大后的矩阵中,形成单元贡献矩阵K e。③将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵,各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K。34、整体刚度矩阵的性质:①整体刚度矩阵是对称矩阵②整体刚度矩阵中每一元素的物理意义:整体刚度矩阵的第一列元素代表使第一个节点在x方向有一单元位移,而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加的里。对于K的其余各列也有类似意义③整体刚度矩阵K的主对角线上的元素总是正的④整体刚度矩阵K是一个稀疏阵⑤整体刚度矩阵K是一个奇异阵。35、带形矩阵:整体刚度矩阵K的非零元素分布在以主对角线为中心的斜带形区域内的矩阵。
γxy
=E 1−μ
2∗
1−μ2
γxy
42、制造位移函数:{u (x,y =α1+α2x +α3y
v (x,y =α4+α5x +α6y
43、等参单元精度比四边形单元高,四边形精度比三角形精度高。
44、轴对称问题:很多工程物件,它们的几何形状承受的载荷以及约束条件都对称于其一固定轴,这即为对称轴,此时载荷作用下的位移、应变和应力也对称于该对称轴的问题。45、等参数单元:优点:①形状方位任意,适应性好,精度高,容易构造高阶单元②具有统一形式,规律性强,采用数值积分算,程序处理方便③高阶等参单元精度高,描述复杂边界,形状能力强,所需单元少。缺点:①单元各方向尺寸要尽量接近②单元边界不能过于曲折,不能有拐点折点,尽量接近直线或抛物线③边之间夹角要尽量接近直角④单元形状不能过度畸变,边中节点不能过于偏离中间。46、有限元法基础理论:弹性力学,材料力学
第三章 有限单元法
般形式u 是
n
u u Niai Na i1 其中 是待定参数； 是称之为试探函数（或基函数，形函数），它取自完全
的函数ai序列，是线性独Ni立的。所谓完全的函数序列是指任一函数都可以用此序列
得到满足。这个结论的证明式显然的，假如微分方程 A(u) 在域内某些点或 一部分子域中不满足，即出现 A(u) 0，马上可以找到适当的函数V使(3.2.5)
的积分形式亦不等于零。上述结论则得到证明。
同理，假如边界条件(3.2.2)亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组
任意函数 V 应当成立
(3.2.7)
第2节：近似解法——加权余量法与变分原理
2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法
基于微分方程等效积分方法的加权余量法是求解线性和非线性微分 方程近似解的一种有效方法。有限单元法中可以应用加权余量法来建立 有限元求解方程，但他本身又是一种独立的数值求解方法。这一节中我 们将阐明加权余量法的基本概念，求解步骤和不同形式加权余量法的特 点。
2.1.1 等效积分的“弱”形式
在很多情况下可以对(3.2.8)式进行分部积分得到另一种形式
(3.2.9)
其中C,D,E,F是微分算子，它们中所包括的导数阶数较(3.2.8)式的A低，这样对于 函数u只需要求较低阶的连续性就可以了。在(3.2.9)式中降低u的连续性要求是以
提高v及 v 的连续性要求为代价的，由于原来对v及v (在(3.2.8)式中)并无连续要求
，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。 这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分 重要的。(3.2.9)式称为微分方程(3.2.1)和边界条件(3.2.2)的等效积分“弱”形式。值 得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数u的连续性要求降低了，但对实际的物理 问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，因为原始微分方程往往对解提出了 过分“平滑”的要求。
有限单元法
有限单元法
答：一、定义
有限单元法的基本前提是：将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，这样的组合体能解析地模拟或逼近求解区域。
由于单元能按各种不同的连接方式组合在一起，且单元本身又可以有不同的几何形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域，有限元法作为一种数值分析方法的另一重要步骤是利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。
单元内的近似函数通常由未知场函数在各个单元节点上的数值以及插值函数表达。
这样一来，一个问题的有限单元分析中，未知场函数的节点值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
一旦求解出这些未知量，就可以利用插值函数确定单元组合体上的场函数。
显然，随着单元数日的增加，单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
二、有限单元法主要学什么
1、有限单元法主要讲述线弹性有限元法的基本理论、matlab编程实现及相应商业有限元软件的应用，对线弹性动力有限元法及材料、几何和接触三类非线性有限元法的基本概念和程序应用也进行了介绍。
2、主要内容是：matlab编程及符号运算、分部积分、泛函极值与变分法、直接刚度法、有限元求解方法、杆单元力学基础、单元组
装、弹性固体结构、板壳结构。
有限单元法简介
3．非线性边界(接触问题) 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 接触和摩擦的作用不可忽 接触和摩擦 视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到一些接触问题，如： • 齿轮传动； • 冲压成型； • 轧制成型； • 橡胶减振器； • 紧配合装配等 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑 非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
(2)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解 域内待求的未知场变量。 • 每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各 个节点上的数值和与其对应的插值函数来表达(此表达式 通常表示为矩阵形式)。 • 由于在联结相邻单元的节点上，场函数应具有相同的数 值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。
2．几何非线性问题 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系 应变与位移的关系是非线性关系，这意味 应变与位移的关系是非线性关系 着结构本身会产生大位移或大转动，而单元中的应变却可大可小。 研究这类问题时一般都假定材料的应力与应变呈线性关系 假定材料的应力与应变呈线性关系。 假定材料的应力与应变呈线性关系 这类问题包括： • 大位移大应变问题 如：橡胶部件成形过程 • 大位移小应变问题 如：如结构的弹性屈曲问题
6 有限元法的发展、现状和未来 有限元法的发展、
有限元法的早期工作
•从应用数学的角度考虑，有限元法的基本思想可以追溯到Courant在1943年的工作。 他首先尝试应用在一系列三角形区域上定义的分片连续函数和最小位能原理相结合， 来求解St.Venant扭转问题。 •此后，不少应用数学家、物理学家和工程师分别从不同角度对有限元法的离散理论、 方法及应用进行了研究。 •有限元法的实际应用是随着电子计算机的出现而开始的。首先是Turner，Clough等 人于1956年将刚架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题，并用于飞机结构的分 析。他们首次给出了用三角形单元求解平面应力问题的正确解答。三角形单元的特 性矩阵和结构的求解方程是由弹性理论的方程通过直接刚度法确定的。他们的研究 工作开始了利用电子计算机求解复杂弹性力学问题的新阶段。 •1960年Clough进一步求解了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称， 使人们更清楚地认识到有限单元法的特性和功效。
有限元法和应用总结
4.有限元法涉及旳内容有哪些？
有限元法在数学和力学领域所根据旳理论； 单元旳划分原则； 形状函数旳选用及协调性； 有限元法所涉及旳多种数值计算措施及其误
差、收敛性和稳定性； 计算机程序设计技术； 向其他各领域旳推广。
5.有限元法旳分类
• 有限元法能够分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元 法是非线性有限元法旳基础，两者不但在 分析措施和研究环节上有类似之处，而且 后者经常要引用前者旳某些成果。
线弹性有限元
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象旳， 所考虑旳变形建立在小变形假设旳基础上。在 此类问题中，材料旳应力与应变呈线性关系， 满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系， 线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以 只需要较少旳计算时间。假如采用高效旳代数 方程组求解措施，也有利于降低有限元分析旳 时间。
• 一般而言，虚位移原理不但能够合用于线弹性 问题，而且能够用于非线性弹性及弹塑性等非 线性问题。
• 但是否合用全部旳问题呢？
3.虚功原理（续）
——平衡方程和几何方程旳等效积分“弱” 形式
• 虚应力原理旳力学意义：假如位移是协调旳，则虚应 力和虚边界约束反力在他们上面所作旳功旳总和为零。 反之，假如上述虚力系在他们上面所作旳功旳和为零， 则它们一定是满足协调旳。所以，虚应力原理表述了 位移协调旳必要而充分条件。
移，另一部分基本未知量为节点力。
*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元位移法计算过程旳系统性、规律性强，尤 其合适于编程求解。一般除板壳问题旳有限元应 用一定量旳混正当外，其他全部采用有限元位移 法。所以，一般不做尤其申明，有限元法指旳是 有限元位移法。
• 有限元分析旳后处理主要涉及对计算成果旳加工 处理、编辑组织和图形表达三个方面。它能够把 有限元分析得到旳数据，进一步转换为设计人员 直接需要旳信息，如应力分布状态、构造变形状 态等，而且绘成直观旳图形，从而帮助设计人员 迅速旳评价和校核设计方案。
第一章 有限元法的理论基础
法得到了广泛的应用。本课程主要介绍位移法。
9/23/2014 北京航空航天大学 17
第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
(1)结构离散化
假定：梁的长度比宽度大得多，为简单均匀的梁单元。
9/23/2014
北京航空航天大学
18
第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
9/23/2014 北京航空航天大学 2
第1章 有限元法的理论基础__概述 ¾刚度矩阵： 对n个点，可写出n个表示式
写成矩阵形式为
⎡ F1 ⎤ ⎡ k11 ⎢ F ⎥ ⎢k ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎢" ⎥ ⎢ # ⎢ ⎥= ⎢ ⎢ Fi ⎥ ⎢ ki1 ⎢" ⎥ ⎢ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ Fn ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ kn1
[ p]
式中
9/23/2014
= [ k ] [δ ]
e
e
⎡ k1 e k = [ ] ⎢ ⎣ − k1
− k1 ⎤ ⎡ k11 =⎢ ⎥ k1 ⎦ ⎣ k21
k12 ⎤ k22 ⎥ ⎦
为单元刚度矩阵
8
北京航空航天大学
第1章 有限元法的理论基础__简例
有限单元法
37
•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而
来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析, 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从 理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足 够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
系统和32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元
分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的
有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平
台上。
42
43
44
4.2 有限单元法的分析步骤
40
但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处 理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸 张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以 上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都 有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强 调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友 好的GUI(Graphics User Interface),使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限 元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成 变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的 列表输出。
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平面应力
平面应变
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有限元法的基本概念
单元类型
杆单元 梁单元
单元图形
典 型 单 元 类 型
结点数 结点自由度 2 2 2 3 3 4 3 4 4 2 2 2 6 3
平面单元
平面四边形
轴对称问题 板壳单元 四面体单元
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的基本概念
插值函数（或位移函数） 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。 由于该近似函数常由单元结点物理量值插值构成，故称为插 值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的收敛准则
在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影 响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛 的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。
收敛准则： 1) 位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）； 2) 位移函数必须包括常量应变（即线性项）； 3) 位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）； 4) 位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）； 注： 上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件； 前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的 单元称为完备协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元； 满足前两个条件的单元称为完备元。
（a）三角形单元
（b）四边形单元
二维结构的有限元离散
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的基本思想
（a）四面体单元
（b）六面体单元
三维实体的有限元离散
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的基本思想
(2) 有限元法用每一个单元内所假设的近似函数来分片地表示 全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未 知函数或其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函 数来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同 的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来， 求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数结点 值的有限自由度问题。 (3) 有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件） 等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数 的结点值）的代数方程组或微分方程组。此方程组称为有限元 求解方程，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法求解此 方程，从而得到问题的解答。
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的基本步骤
P
• 研究问题的力学建模 • 结构离散
力学模型 (平面应力问题)
• 单元分析
• 整体分析与求解 • 结果分析及后处理
P
有限元模型
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
场问题的一般描述
y
微分方程组
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的基本概念
单元与结点
• 单元：即原始结构离散后，满足 一定几何特性和物理特性的最小 结构域 • 结点：单元与单元间的连接点。 • 结点力：单元与单元间通过结点 的相互作用力 • 结点载荷：作用于结点上的外载 荷 注意： 1) 结点是有限元法的重要概念，有 限元模型中，相邻单元的作用通 过结点传递，而单元边界不传递 力，这是离散结构与实际结构的 重大差别； 2) 结点力与结点载荷的差别
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的应用实例
某型飞机前机身Catia模型图
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的应用实例
某型飞机前机身有限元模型图
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的应用实例
某型飞机全机有限元模型图
u ) A 1( Au ( ) A ( u ) 0 2 ...
x
在 内
边界条件
) B 1(u B (u ) B ( u ) 0 2 ... 在 上
• • • •
应力场----弹性力学 温度场----热传导 电磁场----电磁学 流速场----流体力学
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的收敛准则
影响有限元解的误差： 1) 离散误差
边界上以直线代曲线导致离散化模型与实际物体的差异。
单元数目←→计算量 2) 位移函数误差 一般情况下单元位移函数不可能与实际单元的位移场一致。 3) 计算机计算误差 计算机字长的限制、相差悬殊的数值加减运算。
2
① Y2 X2 ②Leabharlann 结点载荷13
F y12
F y22
结点力
F x22
2
F y11
①
F x12
2
②
F y23
1
F x11
3
F x23
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的基本概念
非法结构离散
结点不合法 不同材料
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
u Nue , 其中N 为形函数, ue 为结点位移
选择位移函数的一般原则： 1 ）位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部 是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。 注： 为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单 元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解。
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的基本概念
结构离散（有限元建模）
内容： 1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理 为结点约束和结点载荷
要求： 1）离散结构必须与原始结构保形---单元的几何特性 2）一个单元内的物理特性必须相同---单元的物理特性
<<结构分析中的有限单元法>>
有限单元法 的基本概念和理论基础
王晓军 航空科学与工程学院固体力学研究所
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
有限元法的基本思想
(1) 有限元法，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结 构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它 们边界上的结点相互联结成为组合体。