1有限单元法的基本概念和理论基础

u ) A 1( Au ( ) A ( u ) 0 2 ...
x
在 内
边界条件
) B 1(u B (u ) B ( u ) 0 2 ... 在 上

• • • •
应力场----弹性力学 温度场----热传导 电磁场----电磁学 流速场----流体力学
<<结构分析中的有限单元法>>
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By Xiaojun Wang
有限元法的应用实例
某型飞机前机身Catia模型图
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有限元法的应用实例
某型飞机前机身有限元模型图
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By Xiaojun Wang
有限元法的应用实例
某型飞机全机有限元模型图
u Nue , 其中N 为形函数, ue 为结点位移
选择位移函数的一般原则： 1 ）位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部 是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。 注： 为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单 元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解。
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By Xiaojun Wang
有限元法的收敛准则
影响有限元解的误差： 1) 离散误差
边界上以直线代曲线导致离散化模型与实际物体的差异。
单元数目←→计算量 2) 位移函数误差 一般情况下单元位移函数不可能与实际单元的位移场一致。 3) 计算机计算误差 计算机字长的限制、相差悬殊的数值加减运算。
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By Xiaojun Wang
有限元法的基本概念
单元与结点
• 单元：即原始结构离散后，满足 一定几何特性和物理特性的最小 结构域 • 结点：单元与单元间的连接点。 • 结点力：单元与单元间通过结点 的相互作用力 • 结点载荷：作用于结点上的外载 荷 注意： 1) 结点是有限元法的重要概念，有 限元模型中，相邻单元的作用通 过结点传递，而单元边界不传递 力，这是离散结构与实际结构的 重大差别； 2) 结点力与结点载荷的差别
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By Xiaojun Wang
有限元法的基本概念
结构离散（有限元建模）
内容： 1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理 为结点约束和结点载荷
要求： 1）离散结构必须与原始结构保形---单元的几何特性 2）一个单元内的物理特性必须相同---单元的物理特性
（a）三角形单元
（b）四边形单元
二维结构的有限元离散
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有限元法的基本思想
（a）四面体单元
（b）六面体单元
三维实体的有限元离散
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有限元法的基本思想
(2) 有限元法用每一个单元内所假设的近似函数来分片地表示 全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未 知函数或其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函 数来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同 的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来， 求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数结点 值的有限自由度问题。 (3) 有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件） 等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数 的结点值）的代数方程组或微分方程组。此方程组称为有限元 求解方程，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法求解此 方程，从而得到问题的解答。
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有限单元法 的基本概念和理论基础
王晓军 航空科学与工程学院固体力学研究所
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有限元法的基本思想
(1) 有限元法，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结 构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它 们边界上的结点相互联结成为组合体。
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有限元法的收敛准则
在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影 响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛 的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。
收敛准则： 1) 位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）； 2) 位移函数必须包括常量应变（即线性项）； 3) 位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）； 4) 位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）； 注： 上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件； 前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的 单元称为完备协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元； 满足前两个条件的单元称为完备元。
2
① Y2 X2 ②
结点载荷
1
3
F y12
F y22
结点力
F x22
2
F y11
①
F x12
2
②
F y23
1
F x11
3
F x23
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有限元法的基本概念
非法结构离散
结点不合法 不同材料
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有限元法的基本概念
单元类型
杆单元 梁单元
单元图形
典 型 单 元 类 型
结点数 结点自由度 2 2 2 3 3 4 3 4 4 2 2 2 6 3
平面单元
平面四边形
轴对称问题 板壳单元 四面体单元
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有限元法的基本概念
插值函数（或位移函数） 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。 由于该近似函数常由单元结点物理量值插值构成，故称为插 值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。
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有限元法的基本步骤
P
• 研究问题的力学建模 • 结构离散
力学模型 (平面应力问题)
• 单元分析
• 整体分析与求解 • 结果分析及后处理
P
有限元模型
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场问题的一般描述


y
微分方程组