07_非线性弹性本构关系_2010_969806132

ν
E

需要根据试验数据，给出任意应力应变状态和应 力应变历史下E11，E22……G31等参数取值
9
需要根据试验数据，给出混凝土的屈服准则F、流 动法则G和硬化法则A
10
7.2 非线性指标(Nonlinear Index)
7.2 非线性指标
非线性指标的建立方法： 单一指标法



对混凝土一维应力应变关系研究得比较透彻 如何将一维的结果拓展到三维？
以理论模型为基础， 根据试验数据修改理 论模型使之与试验相 吻合
试验是真实的，但不是完美的
+ 各种理论模型可以得到混凝土的任意应力应变关系 - 但是未必和真实情况一致 + 试验得到的混凝土应力应变关系是真实的 - 但是不能得到任意应力应变数值
7 8
7.1.6 非线性弹性本构模型

7.1.7 弹塑性本构模型
σ x σ y σ z {σ } = τ xy τ yz τ zx
ε x ε y ε z {ε } = γ xy γ yz γ zx
3
4
7.1.2 弹性本构矩阵－E ν 形式 7.1.3 弹性本构矩阵－K G形式
E 3(1 − 2ν )
0
2 K− G 3 2 K− G 3 4 K+ G 3

sym
0 0 0.5(1 − 2ν )E0
4 K + 3 G D=
0 0 0 0 0 0 0 G 0 0 G 0 G
12
非线性弹性模型的分类


非线性弹性模型的分类 增量形式模型

全量形式模型



采用割线模量 简单 难以模拟加卸载
采用切线模量 稍复杂 可以模拟加卸载
{
t + ∆t
t + ∆t
σ } = [Ds ]{t + ∆t ε } = [Ds ]({t ε }+ {dε })
{ { }
= tσ + [Dt ]{dε }
提纲
1. 2. 3.
1. 2.
第七讲
Ottosen模型 江见鲸模型
4.
1. 2.
本构关系的定义 非线性指标 非线性弹性全量模型
混凝土非线性弹性本构关系
非线性弹性增量模型
Darwin模型 ADINA模型
陆新征 清华大学土木工程系 2010年10月
5.
课堂演示：在MARC中加入新的本构模型
1
2
7.1 本构关系
等效一维应力应变关系 割线模量计算式
β=
fc
Es =
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
等效一维应力应变关系 采用Sargin表达式(Ottosen建议)
σ
σ ε
2
ε ε A ε + (D − 1) ε 0 0 σ = k3 f c 2 ε ε 1 + ( A − 2 ) + D ε0 ε0
2
Es =
25
1 1 1 1 E0 − β E0 − Ec ± E0 − β E0 − Ec + βEc2 [D(1 − β ] − 1] 2 2 2 2
26
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
等效一维应力应变关系 Ef 取值 王传志公式
E

νs
E
Cedolin 模型
σ oct = 3K sε oct τ oct = 3Gsγ oct
0
Ks = ab −ε oct / c + d K0
Gs = pq −γ oct / v + sγ oct + t G0

(1 −ν s ) (1 +ν )(1 − 2ν ) Es s s D=
一维非线性 应力应变关系
三维非线性 应力应变关系

将三维应力/应变归一化，寻找一个合适的非线性指标， 以该指标为基础建立本构模型 Ottosen, 江见鲸模型，过镇海模型

多指标法

等效依据
非线性指标： 非线性弹性本构 β ε pl 弹塑性本构 损伤力学本构 D
11

在主应力空间里分别建立各个主应力方向的非线性指 标，而后建立各个主应力－主应变的关系，然后用经验 /假设方法确定本构矩阵的非对角项 ADINA, Darwin等程序
(I1, J2f, θ)
三维非线性指标 比例增大法（王传志等提出） 比例增大(σ1, σ2, σ3)，直至与破坏面相交得到交点 (σ1f, σ2f, σ3f) 引入调整系数k
k
β=
J2
J2 f
23
σ3 β = σ 3f

0 ≤ k ≤1
24
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
β=

σ
fc
σ
fc

非线性指标

等效应力应变关系

该准则的框架比较具有代表性，很多研究者在他 的基础上又提出了很多各自的模型
β =1
处于破坏状态
ε
19 20
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
三维非线性指标 Ottosen法 保持σ1, σ2不变，改变σ3直至与破坏面相交得到交 点(σ1, σ2, σ3f)

基本的非线性弹性本构模型
E 0 0 0 0 0 0 G31

(1 −ν ) (1 + ν )(1 − 2ν ) E11 D=
(1 +ν )(1 − 2ν ) 12 (1 +ν )(1 − 2ν ) 13 (1 −ν ) E ν E (1 +ν )(1 − 2ν ) 22 (1 +ν )(1 − 2ν ) 23 (1 −ν ) E (1 +ν )(1 − 2ν ) 33
基本的弹塑性本构模型
ν
0 0 0 G12 G23 0 0 0
T ∂G ∂F D De e ∂σ ∂σ Dep = De − T ∂F ∂G A + De ∂σ ∂σ
7.1.1 空间应力应变关系
σ ij = Cijkl ε kl



本构模型定义：反映物质宏观性质的数学模型。 把本构关系写成具体的数学表达形式就是本构方 程。 不同的本构方程：



{σ } = [D]{ε }

胡克定律 热传导方程 理想气体状态方程 牛顿粘性定律

本课程所涉及本构关系只涉及应力－应变关系
J 3 = S11S 22 S 33 + 2S12 S 23 S 31 − S11 S 23 − S 22 S 31 − S 33 S12 = −2
2 2 2
2
2
2
J 2 = 5.292

求

当前的割线模量和泊松比
4J 2 = 5.292 r= 3 J 4 cos 3θ = 3 = 31.03D r3
σ } = {tσ }+ {dσ }
13
14
7.3 全量模型
7.3.1 K－G全量模型 全量模型
0 0 0 Gs 0 0 0 0 Gs

K－G 模型

分别建立K和G 随应力/应变的变化关系

E－ν 模型
2 K s − Gs 3 4 K s + Gs 3

分别建立E和ν 随应力/应变的变化关系
4 K s + 3 Gs D=
2
if β ≥ β a

a

计算主应力 计算非线性指标 计算割线模量 计算割线泊松比 形成非线性本构矩阵
29
30
7.3.3 E－ν 全量模型例题 全量模型例题
7.3.3 E－ν 全量模型例题 全量模型例题


已知：
求主应力
I1 = −6 − 6 − 12 = −24

σm =
[ s ] = [ 2 2 − 4 2 2 1]T
0 0 0 0 1 Es 2(1 +ν s )
两个基本位置量 Es和νs
17
18
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
一维非线性指标

Ottosen以他提出的破坏准则为基础的E－ν全量本 构模型，包含以下主要内容 破坏准则（Ottosen准则或其他准则）
E=
ν=
9 KG 2K + G
3K − 2G 2(3K + G )
E 2(1 + ν )
6
7.1.4 混凝土的本构模型
7.1.5 混凝土的本构模型
常用的混凝土本构模型 非线性弹性本构模型（弹性力学） 弹塑性本构模型（塑性力学） 损伤本构模型（损伤力学） 断裂力学本构模型（断裂力学）
理论是完美的，但不是真实的
0 0
De = 0
sym
1 0
×
2 K− G 3 4 K+ G 3
源自文库
(1 + ν )(1 − 2ν ) νE0 (1 − ν )E0 ( − 1 ν )t E0
0 0 0 0.5(1 − 2ν )E0
K=
G=
5
νE0 νE0 (1 − ν )E0
0 0 0 0 0.5(1 − 2ν )E0

2 K s − Gs 3 2 K s − Gs 3 4 K s + Gs 3
0 0 0 0 0 Gs
两个基本位置量 Ks和Gs
15
16
7.3.1 K－G 全量模型 全量模型
νs
0 0 0 1 Es 2(1 +ν s ) 0 0 0 1 Es 2(1 +ν s ) 0
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
(1 + ν s )(1 − 2ν s ) s (1 +ν s )(1 − 2ν s ) s νs (1 −ν s ) E E (1 + ν s )(1 − 2ν s ) s (1 +ν s )(1 − 2ν s ) s (1 −ν s ) E (1 +ν s )(1 − 2ν s ) s
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
二维非线性指标
β=
OP σ2 σ = 1 = σ 2 f σ 1 f OF
β=
σ3 σ3f
21
22
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
三维非线性指标：

J 2 法（江见鲸等提出）

保持I1, θ不变，改变J2直至与破坏面相交得到交点
2
等效一维应力应变关系 三维混凝土应力应变关系 峰值应力和应变都要增大
Es =
2
1 1 1 1 E0 − β E0 − Ec ± E0 − β E0 − Ec + β Ec2 [D(1 − β ] − 1] 2 2 2 2

E f = Ec (0.18 − 0.0015θ + 0.038
σ oct
fc
−1.75
)
Es =
1 1 1 1 E 0 − β E 0 − E f ± E 0 − β E 0 − E f + β E 2 f [D (1 − β ] − 1] 2 2 2 2
Ottosen公式
Ef = Ec ≥0 J2 E0 1 1 + 4 f − 3 E − 1 c f c
27
28
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型


7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
本构矩阵计算步骤 已知
混凝土强度，初始弹性模量和泊松比，单轴应力应变关 系，破坏准则，当前应力水平

割线泊松比计算
νs =ν0

if β < β a
β − βa ν s = ν f − (ν f − ν 0 ) 1 − 1− β
− 24 = −8 3

混凝土强度为fc=20MPa，ft=2MPa，初始弹性模量 E0=30GPa，泊松比为ν0=0.18 一点应力状态为{-6 -6 -12 2 2 1}T，选用江见鲸四参数破 坏准则，中国规范建议应力应变曲线
J 2 = − S11S 22 − S 22 S33 − S11S 33 + S12 + S 23 + S 31 = 21
β 1 + ( A − 2 )

2 2 ε ε ε ε + D = A + ( D − 1 ) ε ε ε ε0 0 0 0
E ε σ fc = / =β c Es ε 0 Es Ec