运筹学部分课后习题解答
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运筹学部分课后习题解答P47 用图解法求解线性规划问题
a）
12
12
12
12
min z=23
466 ..424
,0
x x
x x
s t x x
x x
+
+≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≥
⎩
解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为
min
3
z=2303
2
⨯+⨯=
P47 用图解法和单纯形法求解线性规划问题
a）
12
12
12
12
max z=10x5x
349 ..528
,0
x x
s t x x
x x
+
+≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩
解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值
点，即
1
12
122
1
349
3
528
2
x
x x
x x x
=
⎧
+=
⎧⎪
⇒
⎨⎨
+==
⎩⎪
⎩
，即最优解为*
3
1,
2
T
x
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
这时的最优值为
max 335
z=1015
22
⨯+⨯=
单纯形法： 原问题化成标准型为
121231241234
max z=10x 5x 349
..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪
++=⎨⎪≥⎩ j c →
10
5
B C
B X
b 1x
2x
3x
4x
0 3x 9 3 4 1 0 0
4x
8
[5] 2 0 1 j j C Z -
10
5
0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10
1x
8/5
1 2/5 0 1/5 j j C Z -
1 0 -
2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10
1x
1
1
-1/7
2/7
所以有*max
3335
1,,1015222T
x z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭
P78 已知线性规划问题：
1234
12
4122341231234max
24382669,,,0
z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪
++≤⎨
⎪++≤⎪≥⎪⎩
求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 解：（1）该线性规划问题的对偶问题为：
1234
12
4123434131234min
86692234
11,,,0
w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =+++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪
+≥⎨
⎪+≥⎪≥⎪⎩
（2）由原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，根据互补松弛性得：
12
412343422341y y y y y y y y y ++=⎧⎪
+++=⎨⎪+=⎩
把)0,4,2,2(*=X 代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号，即4224890y ++=<⇒=
从而有12
123322341y y y y y y +=⎧⎪
++=⎨⎪=⎩
得123443,,1,055
y y y y ====
所以对偶问题的最优解为*43(,,1,0)55
T y =，最优值为min 16w =
P79 考虑如下线性规划问题：
123123123123123min 6040803224342223,,0
z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≥⎧⎪++≥⎪⎨
++≥⎪⎪≥⎩
（1）写出其对偶问题；（2）用对偶单纯形法求解原问题；
解：（1）该线性规划问题的对偶问题为：
123123123123123max 2433426022403280,,0w y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩
（2）在原问题加入三个松弛变量456,,x x x 把该线性规划问题化为标准型：
12312341235123
6max 60408032243422230,1,,6j z x x x x x x x x x x x x x x x x j =------+=-⎧⎪---+=-⎪⎨
---+=-⎪⎪≥=⎩