时间复杂度的计算

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c++计算时间复杂度的技巧

c++计算时间复杂度的技巧（原创实用版4篇）目录（篇1）一、引言二、C++中计算时间复杂度的方法1.循环次数的计算2.递归调用的计算3.函数调用的计算三、计算时间复杂度的技巧和注意事项1.忽略常数项和次要项2.关注最高次项的阶数3.考虑最坏情况四、总结正文（篇1）一、引言在 C++编程中，时间复杂度是用来衡量算法效率的重要指标，它能帮助我们了解程序在运行时所需的时间资源。

掌握计算时间复杂度的技巧，能更好地优化程序性能，提高代码质量。

本文将介绍 C++计算时间复杂度的方法及一些技巧和注意事项。

二、C++中计算时间复杂度的方法1.循环次数的计算在 C++中，循环是造成时间复杂度的主要因素。

通过分析循环语句的执行次数，可以计算出时间复杂度。

例如，以下代码：```cppfor (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {// 操作}}```在这个例子中，有两个嵌套循环，外层循环执行 n 次，内层循环也执行 n 次，因此总执行次数为 n^2，时间复杂度为 O(n^2)。

2.递归调用的计算递归调用也会对时间复杂度产生影响。

通过分析递归调用的次数，可以计算出时间复杂度。

例如，以下代码：```cppvoid recursiveFunction(int n) {if (n == 1) {return;} else {recursiveFunction(n / 2);// 操作}}```在这个例子中，递归函数 recursiveFunction(n) 会调用自身 n-1次，因此时间复杂度为 O(n)。

3.函数调用的计算在 C++中，函数调用也是影响时间复杂度的一个因素。

通过分析函数调用的次数，可以计算出时间复杂度。

例如，以下代码：```cppvoid function1(int n) {function2(n);}void function2(int n) {// 操作}int main() {function1(n);}```在这个例子中，函数 function1(n) 调用函数 function2(n) 一次，函数 function2(n) 执行 n 次操作，因此总执行次数为 n，时间复杂度为 O(n)。

求解算法的时间复杂度的具体步骤

求解算法的时间复杂度的具体步骤是：⑴ 找出算法中的基本语句；算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。

⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级；只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。

这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。

⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。

将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。

如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。

例如：for (i=1; i<=n; i++)x++;for (i=1; i<=n; i++)for (j=1; j<=n; j++)x++;第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2)=Ο(n2)。

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。

Ο(log2n)、Ο(n)、Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。

计算机科学家普遍认为前者是有效算法，把这类问题称为P类问题，而把后者称为NP问题。

O(1)Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。

算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。

如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。

此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n^2)2.1. 交换i和j的内容sum=0；（一次）for(i=1;i<=n;i++) （n次）for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）sum++；（n^2次）解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)2.2.for (i=1;i<n;i++){y=y+1; ①for (j=0;j<=(2*n);j++)x++; ②}解：语句1的频度是n-1语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2). O(n)2.3.a=0;b=1; ①for (i=1;i<=n;i++) ②{s=a+b; ③b=a; ④a=s; ⑤}解：语句1的频度：2,语句2的频度： n,语句3的频度： n-1,语句4的频度：n-1,语句5的频度：n-1,T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).O(logn )2.4.i=1; ①while (i<=n)i=i*2; ②解：语句1的频度是1,设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=logn取最大值f(n)= logn,T(n)=O(logn )O(n^3)2.5.for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<i;j++){for(k=0;k<j;k++)x=x+2;}}解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).。

算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法

算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法算法今天给⼤家带来⼀篇关于算法排序的分类,算法的时间复杂度,空间复杂度,还有怎么去优化算法的⽂章,喜欢的话,可以关注,有什么问题,可以评论区提问,可以与我私信,有什么好的意见,欢迎提出.前⾔: 算法的复杂度分为时间复杂度与空间复杂度,时间复杂度指执⾏算法需要需要的计算⼯作量,空间复杂度值执⾏算法需要的内存量,可能在运⾏⼀些⼩数据的时候,⼤家体会不到算法的时间与空间带来的体验. 优化算法就是将算法的时间优化到最快,将空间优化到最⼩,假如你写的mod能够将百度游览器的搜索时间提升0.5秒,那都是特别厉害的成绩.本章内容: 1,算法有哪些 2,时间复杂度,空间复杂度 3,优化算法 4,算法实例⼀,算法有哪些常见的算法有冒泡排序,快排,归并,希尔,插⼊,⼆分法,选择排序,⼴度优先搜索,贪婪算法,这些都是新⼿⼊门必须要了解的,你可以不会,但是你必须要知道他是怎么做到的,原理是什么,今天就给⼤家讲⼀讲我们常⽤的冒泡排序,选择排序,这两个排序算法,1,冒泡排序(Bubble Sort), 为什么叫他冒泡排序呢? 因为他就像是从海底往海⾯升起的⽓泡⼀样,从⼩到⼤,将要排序的数从⼩到⼤排序,冒泡的原理: 他会⼀次⽐较两个数字,如果他们的顺序错误,就将其调换位置,如果排序正确的话,就⽐较下⼀个,然后重复的进⾏,直到⽐较完毕,这个算法的名字也是这样由来的,越⼤的数字,就会慢慢的'浮'到最顶端. 好了该上代码了,下⾯就是冒泡排序的代码,冒泡相对于其他的排序算法来说,⽐较的简单,⽐较好理解,运算起来也是⽐较迅速的,⽐较稳定,在⼯作中也会经常⽤到,推荐使⽤# 冒泡排序def bubble_sort(alist):n = len(alist)# 循环遍历，找到当前列表中最⼤的数值for i in range(n-1):# 遍历⽆序序列for j in range(n-1-i):# 判断当前节点是否⼤于后续节点，如果⼤于后续节点则对调if alist[j] > alist[j+1]:alist[j], alist[j+1] = alist[j+1], alist[j]if__name__ == '__main__':alist = [12,34,21,56,78,90,87,65,43,21]bubble_sort(alist)print(alist)# 最坏时间复杂度: O(n^2)# 最优时间复杂度: O(n)# # 算法稳定性:稳定2,选择排序(selection sort) 选择排序(selection sort)是⼀种简单直观的排序⽅法, 他的原理是在要排序的数列中找到最⼤或者最⼩的元素,放在列表的起始位置,然后从其他⾥找到第⼆⼤,然后第三⼤,依次排序,依次类,直到排完, 选择排序的优点是数据移动, 在排序中,每个元素交换时,⾄少有⼀个元素移动,因此N个元素进⾏排序,就会移动 1--N 次,在所有依靠移动元素来排序的算法中,选择排序是⽐较优秀的⼀种选择排序时间复杂度与稳定性:最优时间复杂度: O(n2)最坏时间复杂度:O(n2)算法稳定性 :不稳定(考虑每次升序选择最⼤的时候)# if alist[j] < alist[min_index]:# min_index = j## # 判断min_index索引是否相同,不相同，做数值交换# if i != min_index:# alist[i],alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]### if __name__ == '__main__':# alist = [12,34,56,78,90,87,65,43,21]# # alist = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]# select_sort(alist)# print(alist)# O(n^2)# 不稳定def select_sort(alist):"""选择排序"""n = len(alist)for i in range(n - 1):min_index = i # 最⼩值位置索引、下标for j in range(i+1, n):if alist[j] < alist[min_index]:min_index = j# 判断min_index ,如果和初始值不相同，作数值交换if min_index != i:alist[i], alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]if__name__ == '__main__':alist = [8,10,15,30,25,90,66,2,999]select_sort(alist)print(alist)这是⼀些算法的时间复杂度与稳定性时间复杂度,空间复杂度接下来就要来说说时间复杂度与空间复杂度: 时间复杂度就是假如你泡茶,从开始泡,到你喝完茶,⼀共⽤了多长时间,你中间要执⾏很多步骤,取茶叶,烧⽔,上厕所,接电话,这些都是要花时间的,在算法中,时间复杂度分为 O(1)最快 , O(nn)最慢,O(1) < O(logn) <O(n)<O(n2)<O(n3)<O(2n) <O(nn) ⼀般游览器的速度都在O(n),做我们这⼀⾏,要注意客户体验,如果你程序的运⾏特别慢,估计别⼈来⼀次,以后再也不会来了下⾯给⼤家找了张如何计算时间复杂度的图⽚: 空间复杂度(space complexity) ,执⾏时所需要占的储存空间,记做 s(n)=O(f(n)),其中n是为算法的⼤⼩, 空间复杂度绝对是效率的杀⼿,曾经看过⼀遍⽤插⼊算法的代码,来解释空间复杂度的,觉得特别厉害,我就⽐较low了,只能给⼤家简单的总结⼀下我遇到的空间复杂度了, ⼀般来说,算法的空间复杂度值得是辅助空间,⽐如:⼀组数字,时间复杂度O(n),⼆维数组a[n][m] :那么他的空间复杂度就是O(n*m) ,因为变量的内存是⾃动分配的,第⼀个的定义是循环⾥⾯的,所以是n*O(1) ,如果第⼆个循环在外边,那么就是1*O(1) ,这⾥也只是⼀个了解性的东西,如果你的⼯作中很少⽤到,那么没有必要深究,因为⽤的真的很少优化算法这边带来了代码,你们在复制下来了python上运⾏⼀下,看⼀下⽤的时间与不同, ⾃然就懂了,这是未优化的算法''已知有a,b,c三个数,都是0-1000之内的数,且: a+b+c=1000 ⽽且 a**2+b**2=c**2 ,求a,b,c⼀共有多少种组合'''# 在这⾥加⼀个时间模块,待会好计算出结果import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001):for c in range(100):# 判断他主公式第⼀次,并未优化if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :# 打印print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 156.875001秒这是第⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):# 这⾥改成1001-a之后,他就不⽤再循环b了for b in range(1001-a):for c in range(100):# 判断他主公式第⼆次,优化了b,if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 50.557070秒最后⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001-a):c=1000 - a - b# 判断他主公式第三次,优化了b和cif a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 2.551449秒从156秒优化到l2秒, 基本运算总数 * 基本运算耗时 = 运算时间这之间的耗时和你的机器有着很⼤的关系今天是12⽉30⽇,明天就要跨年了,祝⼤家2019年事业有成,⼯资直线上升,早⽇脱单,。

matlab 时间空间复杂度计算

matlab 时间空间复杂度计算在计算机科学中，时间复杂度和空间复杂度是评估算法性能的两个重要指标。

而在MATLAB中，对于算法的时间复杂度和空间复杂度的计算与其他编程语言类似。

本文将从理论和实际应用的角度，详细介绍MATLAB中时间复杂度和空间复杂度的计算方法，并探讨如何优化算法以提高性能。

时间复杂度是衡量算法执行时间随输入规模增长而增长的程度，通常用大O符号表示。

它描述了算法执行所需的基本操作次数，并提供了一种粗略的估计。

在MATLAB中，我们可以使用复杂度符号库来计算时间复杂度。

常见的时间复杂度包括：-常数时间复杂度O(1)：算法的执行时间不受输入规模的影响，例如直接访问数组元素。

-线性时间复杂度O(n)：算法的执行时间与输入规模n成正比，例如遍历数组或链表。

-对数时间复杂度O(log n)：算法的执行时间随输入规模n的对数增加，例如二分查找。

-平方时间复杂度O(n^2)：算法的执行时间与输入规模n的平方成正比，例如嵌套循环。

在MATLAB中，可以通过分析循环、递归和函数的调用来判断算法的时间复杂度。

具体方法如下：1.计算循环次数：分析算法中的循环结构，找出循环变量的变化规律并计算循环次数。

通常情况下，循环结构的复杂度与循环次数成正比。

2.分析递归调用：递归算法的时间复杂度可以通过递归树来计算。

根据递推关系式和递归调用的次数，可以得到递归算法的复杂度。

3.考虑函数调用开销：函数调用也会耗费一定的时间，特别是输入和输出参数的传递。

因此，在计算算法复杂度时，需要考虑函数调用的开销。

空间复杂度是衡量算法在执行过程中所需的额外内存空间的大小，通常也用大O符号表示。

它描述了算法所需的内存空间随输入规模增长而增加的程度。

常见的空间复杂度包括：-常数空间复杂度O(1)：算法所需的额外内存空间是固定的，与输入规模无关，例如只使用有限个额外变量。

-线性空间复杂度O(n)：算法所需的额外内存空间与输入规模n成正比，例如需要创建一个与输入规模相同大小的数组来存储数据。

floyd算法时间复杂度

1.定义概览Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

2.算法描述1)算法思想原理：Floyd算法是一个经典的动态规划算法。

用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。

从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。

所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：a.从任意一条单边路径开始。

所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

b.对于每一对顶点u 和v，看看是否存在一个顶点w 使得从u 到w 再到v 比己知的路径更短。

如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角如下所示给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点。

时间复杂度详解

时间复杂度详解时间复杂度详解什么是时间复杂度•时间复杂度是一种衡量算法执行效率的方式。

•它表示算法的运行时间与输入大小的关系，为我们提供了衡量算法性能的指标。

时间复杂度的表示•时间复杂度使用大O符号（O）来表示。

•O(n)表示算法的时间复杂度与输入规模n成正比。

常见的时间复杂度•O(1)：常数时间复杂度，无论输入规模的大小，算法的执行时间都保持不变。

•O(log n)：对数时间复杂度，随着输入规模的增加，算法的执行时间逐渐增长，但增长速度很慢。

•O(n)：线性时间复杂度，算法的执行时间与输入规模n成比例增长。

•O(n log n)：线性对数时间复杂度，随着输入规模的增加，算法的执行时间逐渐增长，但增长速度比O(n)慢。

•O(n^2)：平方时间复杂度，算法的执行时间与输入规模n的平方成比例增长。

•O(2^n)：指数时间复杂度，算法的执行时间随着输入规模n的增加而急剧增长。

•O(n!)：阶乘时间复杂度，算法的执行时间随着输入规模n的增加而急剧增长。

如何计算时间复杂度•首先，确定算法的基本操作。

•其次，根据算法的基本操作，分析每个操作的时间复杂度。

•最后，根据每个操作的时间复杂度，确定整个算法的时间复杂度。

如何选择合适的算法•在设计算法时，我们应该选择时间复杂度低的算法。

•当输入规模较小时，可以选用时间复杂度较高但简单易懂的算法。

•当输入规模较大时，应该尽量选择时间复杂度较低的算法。

总结•时间复杂度是一种衡量算法执行效率的方式，它表示算法的运行时间与输入规模的关系。

•常见的时间复杂度包括常数时间复杂度、对数时间复杂度、线性时间复杂度等。

•计算时间复杂度的步骤包括确定算法的基本操作、分析每个操作的时间复杂度以及确定整体的时间复杂度。

•在选择算法时，应该根据输入规模选择合适的时间复杂度。

参考资料：[腾讯课堂-计算机科学与技术](。

时间的复杂度详解

时间的复杂度详解时间复杂度是衡量算法运行时间的一种度量方式，用大O符号（O）来表示。

它描述了算法所需的计算步骤数随问题规模的增长率。

在计算机科学中，时间复杂度主要关注的是算法在处理大规模问题时所需的时间。

为了更好地理解时间复杂度，我们需要先了解一些基本概念。

1.基本操作在算法中，基本操作是指运算的最小单位。

它们通常是赋值、比较、运算、访问数组元素等。

基本操作的数量是衡量算法运行时间的关键。

2.渐近表示法时间复杂度使用大O符号来表示，表示算法运行时间的上界。

例如，如果一个算法的时间复杂度为O(n)，意味着算法的运行时间最多是输入规模n的某个常数倍。

大O符号忽略了低阶项和常数项，只关注随问题规模增长最快的那一项。

下面我们来详细讨论几个常见的时间复杂度。

1.常数时间复杂度O(1)无论输入规模大小，常数时间复杂度的算法都具有固定的运行时间。

例如，访问数组元素或者执行一个赋值语句。

常数时间复杂度通常是最理想的情况，但在实际中很难实现。

2.线性时间复杂度O(n)线性时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间也会线性增长。

例如，遍历一个数组或者链表中的所有元素。

每个元素都需要进行常数次的基本操作，所以总的时间复杂度为O(n)。

3.对数时间复杂度O(log n)对数时间复杂度通常出现在数据规模减半的情况下。

例如，在二分查找算法中，每次查找都可以将问题规模减半。

对数时间复杂度的算法是非常高效的，因为随着问题规模的增长，算法的运行时间只会以对数方式增长。

4.平方时间复杂度O(n^2)平方时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间会呈平方级别增长。

例如，嵌套循环中的每次迭代都需要进行常数次的基本操作。

平方时间复杂度的算法常常效率较低，通常不适用于处理大规模问题。

5.指数时间复杂度O(2^n)指数时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间呈指数级别增长。

例如，在TSP（旅行商问题）的暴力求解方法中，对于每个城市，旅行商都需要选择下一个未访问的城市，因此总的时间复杂度会呈指数级别增长。

二叉树的复杂度计算公式

二叉树的复杂度计算公式二叉树是一种常见的数据结构，它在计算机科学中扮演着非常重要的角色。

在实际应用中，我们经常需要对二叉树的复杂度进行计算。

二叉树的复杂度计算涉及到许多方面，如平均时间复杂度、最坏时间复杂度、空间复杂度等。

在接下来的内容中，我们将介绍二叉树的复杂度计算公式，详细说明各种复杂度的计算方法。

二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。

在二叉树中，每个节点都有一个值，用来存储数据。

节点之间通过边相连，形成一个层次结构。

二叉树的一个特点是，每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，另一个称为右子节点。

1.平均时间复杂度平均时间复杂度是指对于具有相同大小输入的所有可能输入实例，算法的期望运行时间。

在计算平均时间复杂度时，我们通常采用平均情况分析的方法。

平均时间复杂度的计算公式如下所示：T(n)=Σ(Ti)/N其中，T(n)表示算法的平均运行时间，Ti表示第i个输入实例的运行时间，N表示所有可能输入实例的个数。

2.最坏时间复杂度最坏时间复杂度是指在最坏情况下，算法的运行时间。

在计算最坏时间复杂度时，我们通常采用最坏情况分析的方法。

最坏时间复杂度的计算公式如下所示：T(n) = max{Ti}其中，T(n)表示算法的最坏运行时间，Ti表示第i个输入实例的运行时间，max{}表示所有输入实例中的最大值。

3.空间复杂度空间复杂度是指在运行算法时所需的内存空间大小。

空间复杂度的计算公式如下所示：S(n)=Σ(Si)/N其中，S(n)表示算法的空间复杂度，Si表示第i个输入实例的内存空间大小，N表示所有可能输入实例的个数。

总结二叉树作为一种常见的数据结构，在计算机科学中应用广泛。

对于二叉树的复杂度计算，我们可以通过平均时间复杂度、最坏时间复杂度和空间复杂度等指标来评估算法的性能。

掌握二叉树复杂度计算的方法，有助于我们更好地分析和优化算法，在实际应用中取得更好的性能表现。

哈夫曼算法时间复杂度

哈夫曼算法时间复杂度哈夫曼算法是一种常用于数据压缩的算法，在计算机科学领域有着广泛的应用。

本文将对哈夫曼算法的时间复杂度进行整理，以帮助读者更好地理解其运行原理和性能特点。

1. 算法的概述哈夫曼算法是一种基于贪心思想的编码算法。

它的主要思想是将频率较高的字符采用较短的编码，频率较低的字符采用较长的编码，从而使得整个编码的长度尽量短。

在哈夫曼算法中，通常采用一棵哈夫曼树来表示最优编码方案，其中树的叶子节点代表各个字符，而从根节点到叶子节点的路径上的编码则代表该字符的编码。

2. 算法的原理在哈夫曼算法中，首先需要针对输入的字符集合计算每个字符的出现频率，然后将每个字符视为一个独立的节点，构建一棵有权二叉树（即哈夫曼树）。

构建哈夫曼树时，需按照节点的权值从小到大进行排序，然后选择两个权值最小的节点进行合并，形成新节点，其权值为两个节点的权值之和。

重复上述过程，直到所有节点都合并成为树的根节点为止。

在构建哈夫曼树的同时，需要记录每个字符的编码，规则是左子树标记为0，右子树标记为1。

最后，将每个字符的编码保存下来，即构造出了一个编码表。

3. 时间复杂度分析在哈夫曼算法中，计算每个字符的出现频率的时间复杂度为O(n)，其中n为字符集的大小。

而构建哈夫曼树的过程中，需要进行n-1次节点合并，每次合并需要找到权值最小的两个节点，因此需要对节点进行排序。

若采用堆来实现排序操作，则排序的时间复杂度为O(nlogn)。

在节点合并过程中，每个节点最多会被访问一次，因此哈夫曼树的构建时间复杂度为O(nlogn)。

而编码的时间复杂度为O(kn)，其中k为编码的平均长度。

由于哈夫曼编码是一种前缀编码，因此平均长度不超过log2n，所以编码的时间复杂度为O(nlogn)。

总的时间复杂度为O(nlogn)。

4. 算法的优化在实际应用中，为了进一步提高哈夫曼算法的效率，可以采用以下优化措施：（1）对于节点的排序，采用基数排序或桶排序等更高效的排序算法；（2）在构建哈夫曼树的过程中，可以使用堆来维护节点集合，从而避免对整个集合进行排序；（3）在编码过程中，采用位运算等更高效的技术来实现编码操作。

算法时间复杂度怎么算

算法时间复杂度怎么算一、概念时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)比如：一般总运算次数表达式类似于这样：a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+fa ！=0时，时间复杂度就是O(2^n);a=0,b<>0 =>O(n^3);a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推eg:(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2)for(j=1;j<=n;j++)s++;(2) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)for(j=i;j<=n;j++)s++;(3) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++)s++;(4) i=1;k=0;while(i<=n-1){k+=10*i; i++; }//循环了n-1≈n次，所以是O(n)(5) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x=x+1;//循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的二、计算方法1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。

复杂度的量级分类

复杂度的量级分类复杂度的量级分类复杂度是算法分析中的一个重要概念，它用来描述算法运行时间或空间资源的需求。

通常情况下，我们使用“大 O 记号”（Big O Notation）来表示一个算法的复杂度。

在计算机科学中，我们将算法的复杂度分为不同的量级，以便于比较和评估不同算法之间的性能差异。

一、常数时间复杂度常数时间复杂度（O(1)）指算法执行所需时间不随输入规模增加而增加。

例如，给定两个整数 a 和 b，计算它们的和 a+b 的时间复杂度是O(1)，因为无论 a 和 b 的值如何变化，计算它们的和所需时间都是相同的。

二、线性时间复杂度线性时间复杂度（O(n)）指算法执行所需时间随输入规模n 线性增长。

例如，在一个长度为 n 的数组中查找某个元素是否存在需要遍历整个数组，因此其时间复杂度是 O(n)。

三、对数时间复杂度对数时间复杂度（O(log n)）指算法执行所需时间随输入规模 n 增加而增长但增长速率逐渐减慢。

例如，在一个有序数组中查找某个元素是否存在可以使用二分查找算法，其时间复杂度是 O(log n)。

四、平方时间复杂度平方时间复杂度（O(n^2)）指算法执行所需时间随输入规模 n 的平方增长。

例如，在一个长度为 n 的数组中进行冒泡排序需要进行 n^2 次比较和交换操作，因此其时间复杂度是 O(n^2)。

五、指数时间复杂度指数时间复杂度（O(2^n)）指算法执行所需时间随输入规模 n 指数级增长。

例如，在一个长度为 n 的集合中求其所有子集需要枚举所有可能的组合，因此其时间复杂度是 O(2^n)。

六、多项式时间复杂度多项式时间复杂度（O(n^k)）指算法执行所需时间随输入规模 n 的 k 次幂增长。

例如，在一个长度为 n 的矩阵中进行矩阵乘法需要进行n^3 次乘法和加法操作，因此其时间复杂度是 O(n^3)。

七、指数级别的递归调用在某些情况下，递归调用会导致指数级别的运行时间。

例如，在斐波那契数列中，递归计算第n 个斐波那契数会导致指数级别的运行时间。

如何判断程序的复杂程度：时间和空间复杂度

如何判断程序的复杂程度：时间和空间复杂度1. 时间复杂度：使⽤⼤O表⽰法来表⽰程序的时间复杂度常见的7种时间复杂度（复杂度由低到⾼排序）O(1):常数时间复杂度O(log(n): 对数时间复杂度O(n): 线性时间复杂度O(n^2):平⽅时间复杂度O(n^3):⽴⽅时间复杂度O(k^n):指数时间复杂度，k表⽰常数O(n!):阶乘时间复杂度ps：这⾥我们并不考虑前边的系数；O(1) 并不表⽰复杂度为1，也可以是2、3等常数；O(n)表⽰程序运⾏了n次或者2n、3n次；以此类推其他时间复杂度时间复杂度的判断，以⼀段代码的最⾼复杂度为准；如何判断⼀段代码的时间复杂度简⽽⾔之就是看内部某段代码的执⾏次数O(1):常数复杂度int n = 1;System.out.println(n);12int n = 1;System.out.println(n);System.out.println(n+1)System.out.println(n+2)1234O(n)：线性时间复杂度for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.println(j);}123for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.println(i);}for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.println(j);}123456O(n^2)：平⽅时间复杂度for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.println(i + j);345O(n^3)：⽴⽅时间复杂度for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {for (int k = 0; k < n; k++) {System.out.println(i + j);}}}1234567O(log(n))：对数时间复杂度这⾥演⽰的是以2为底n的对数for (int i = 0; i < n; i = i * 2) {System.out.println(i);}123O(2^n)：指数时间复杂度/*** 递归求斐波那契数列的第n项；可以通过画运⾏树的⽅式获得时间复杂度*/int fib(int n) {if (n < 2) return n;return fib(n - 1) + fib(n - 2);}1234567O(n!)：阶乘时间复杂度todo⼩练习1：求和计算1~n的和O(n)int y = 2;for (int i = 0; i < n; i++) {y+=i;}1234O(1)使⽤了求和公式：sum = n(n+1)/2int y = 2;for (int i = 0; i < n; i++) {y+=i;4⼩练习2：求斐波那契数列O(2^n):int fib(int n) {if (n < 2) return n;return fib(n - 1) + fib(n - 2);}1234O(n)：该⽅法⽐递归要快得多int fib2(int n) {if (n == 1 || n == 2) {return 1;}int a = 1, b = 1, result = 0;for (int i = 3; i <= n; i++) {result = a + b;a = b;b = result;}return result;}123456789101112主定理主定理（英语：master theorem）提供了⽤渐近符号（⼤O符号）表⽰许多由分治法得到的递推关系式的⽅法常⽤算法中的应⽤算法递回关系式运算时间⼆分搜寻算法⼆叉树遍历最佳排序矩阵搜索(已排好序的⼆维矩阵)合并排序所有排序的最优算法都是O(nlog(n))2. 空间复杂度如何判断⼀段代码的空间复杂度主要通过两部分进⾏判断：数组的长度如果代码中应⽤了数组，那么数组的长度，基本上就是空间复杂度；e：⼀维数组的空间复杂度是O(n);⼆维数组的空间复杂度是O(n^2)递归的深度如果代码中有递归，那么递归的深度，就是代码的空间复杂度的最⼤值ps:如果代码中既有数组，⼜有递归，那么两者的最⼤值就是代码的空间复杂度leecode有个爬楼梯的复杂度分析情况；可以进⾏练习3. 数组和链表的时间复杂度分析数组随机增加：O(n)随机查询：O(1)随机删除：O(n)链表随机增加：O(1)随机查询：O(n)随机删除：O(1)跳表跳跃表（skiplist）是⼀种随机化的数据，由 William Pugh 在论⽂《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》中提出，跳跃表以有序的⽅式在层次化的链表中保存元素，效率和平衡树媲美 —— 查找、删除、添加等操作都可以在对数期望时间下完成，并且⽐起平衡树来说，跳跃表的实现要简单直观得多。

数据结构与算法（一）时间复杂度、空间复杂度计算

数据结构与算法（⼀）时间复杂度、空间复杂度计算⼀、时间复杂度计算1、时间复杂度的意义复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了⼀半1. 测试结果⾮常依赖测试环境2. 测试结果受数据规模的影响很⼤所以，我们需要⼀个不⽤具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执⾏效率的⽅法，即时间、空间复杂度分析⽅法。

2、⼤ O 复杂度表⽰法1)、可以将计算时间复杂度的⽅式和计算代码执⾏次数来进⾏类别int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}第 2、3 ⾏代码分别需要 1 个 unit_time 的执⾏时间，第 4、5 ⾏都运⾏了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执⾏时间，所以这段代码总的执⾏时间就是(2n+2) * unit_time。

可以看出来，所有代码的执⾏时间 T(n) 与每⾏代码的执⾏次数成正⽐。

2)、复杂⼀点的计算int cal(int n) { ----1int sum = 0; ----2int i = 1; ----3int j = 1; ----4for (; i <= n; ++i) { ----5j = 1; ----6for (; j <= n; ++j) { ----7sum = sum + i * j; ----8} ----9} ----10} ----11T(n) = (2n^2+2n+3)unit_timeT(n)=O(f(n))⼤ O 时间复杂度实际上并不具体表⽰代码真正的执⾏时间，⽽是表⽰代码执⾏时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度2、时间复杂度计算法则1. 只关注循环执⾏次数最多的⼀段代码2. 加法法则：总复杂度等于量级最⼤的那段代码的复杂度如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)3、常见的是时间复杂度复杂度量级（递增）排列公式常量阶O(1)对数阶O(logn)线性阶O(n)线性对数阶O(nlogn)平⽅阶、⽴⽅阶...K次⽅阶O(n2),O(n3),O(n^k)指数阶O(2^n)阶乘阶O(n!)①. O(1)：代码的执⾏时间和n没有关系，⼀般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万⾏的代码，其时间复杂度也是Ο(1)；②. O(logn)、O(nlogn)i=1;while (i <= n) {i = i * 2;}通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想⾼中应该就学过了，我就不多说了。

算法复杂度的计算方法

算法复杂度的计算方法算法复杂度的计算方法什么是算法复杂度算法复杂度是衡量一个算法执行效率的指标，常用来评估算法的时间和空间消耗情况。

它能够帮助我们选择更加高效的算法，在解决问题时更有效地利用计算资源。

时间复杂度常见的时间复杂度•O(1)：常数时间复杂度，表示算法的执行时间是固定的，不随问题规模的增加而变化。

例如，查找数组中某个元素的索引。

•O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈对数增长。

例如，二分查找算法。

•O(n)：线性时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈线性增长。

例如，遍历数组求和。

•O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈平方增长。

例如，多次嵌套循环遍历二维数组。

•O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈指数增长。

例如，解决旅行商问题的暴力穷举法。

如何计算时间复杂度通常情况下，通过分析算法中的循环次数或者递归调用次数，可以推导出算法的时间复杂度。

以下是一些常见的情况和计算方法：•单条语句执行：如果算法中只包含一条语句，那么它的时间复杂度为O(1)，即常数时间复杂度。

•顺序执行：如果算法中包含多条语句，并且按照顺序执行，那么算法的时间复杂度取决于耗时最长的那条语句的复杂度。

•循环语句：根据循环的次数和循环体内的代码复杂度，可以推导出循环语句的时间复杂度。

•递归调用：递归算法的时间复杂度和递归调用的次数以及每次调用的复杂度有关。

空间复杂度常见的空间复杂度•O(1)：常数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗是固定的，不随问题规模的增加而变化。

•O(n)：线性空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而线性增长。

•O(n^2)：平方空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而平方增长。

•O(2^n)：指数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而指数增长。

如何计算空间复杂度空间复杂度的计算方法与时间复杂度类似，但要注意算法中需要额外使用的空间。

奇异值分解时间复杂度计算

奇异值分解时间复杂度计算奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种常用的矩阵分解方法，广泛应用于数据降维、图像压缩、推荐系统等领域。

SVD能够将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，从而提取出矩阵的主要特征和结构。

本文将从奇异值分解的原理、计算方法和时间复杂度等方面进行介绍。

我们来了解一下奇异值分解的原理。

给定一个m×n的矩阵A，其奇异值分解可以表示为A=UΣVᵀ，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。

U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量，Σ的对角线上的元素称为奇异值。

奇异值分解的计算方法有多种，其中最常用的是基于Jacobi迭代的方法。

该方法首先将矩阵A转化为对称矩阵AᵀA，然后通过迭代的方式逐步求解出AᵀA的特征值和对应的特征向量，再根据特征值和特征向量计算出奇异值和奇异向量。

接下来，我们来分析奇异值分解的时间复杂度。

假设矩阵A的大小为m×n，其中m>n（即A是一个长方形矩阵）。

那么奇异值分解的计算过程可以分为三个步骤：计算AᵀA的特征值和特征向量、计算奇异值和奇异向量、计算U和V。

计算AᵀA的特征值和特征向量。

由于AᵀA是一个n×n的对称矩阵，其计算特征值和特征向量的时间复杂度为O(n³)。

这个步骤的计算量主要取决于矩阵A的列数n。

然后，计算奇异值和奇异向量。

根据特征值和特征向量的关系，我们可以通过AᵀA的特征值和特征向量来计算出A的奇异值和奇异向量。

由于AᵀA是一个n×n的对称矩阵，所以计算奇异值和奇异向量的时间复杂度同样为O(n³)。

计算U和V。

计算U的时间复杂度为O(mn²)，计算V的时间复杂度为O(n²)。

这两个步骤的计算量主要取决于矩阵A的行数m和列数n。

奇异值分解的时间复杂度主要取决于矩阵A的大小。

当矩阵A的行数m和列数n都较大时，奇异值分解的计算时间将会非常耗时。

分治复杂度计算定理

分治复杂度计算定理
分治算法的复杂度计算定理是：对于具有 n 个元素的问题，如果它可以被分解成 k 个规模较小的子问题，且每个子问题的规模为原问题的 1/b，而在合并子问题的解的时间复杂度为
O(n^d)，则整个问题的时间复杂度可以描述为 T(n) = kT(n/b) + O(n^d)，其中 T(n) 表示解决规模为 n 的问题所需的时间。

根据分治算法的复杂度计算定理，对于每个子问题的解的时间复杂度为 O(n^d)，而问题的规模是按 b 个单位缩小的，所以每个子问题的规模为原问题的 1/b，从而问题需要进行 k 次子问题的求解。

因此，问题的整体时间复杂度可以描述为 T(n) = kT(n/b) + O(n^d)。

根据该递归关系式，可以通过计算问题的规模变化和合并子问题的时间复杂度来计算整个问题的时间复杂度。

分治算法的复杂度计算定理还可以扩展到递归树的形式，通过对递归树进行遍历，可以推导出问题的时间复杂度。

例如，如果递归树的高度为 log_b(n)，而在每个递归层级上进行的合并操作的时间复杂度为 O(n^d)，则问题的整体时间复杂度可以描述为 T(n) = k^log_b(n) T(1) + O(n^d * log_b(n))。

其中 T(1) 是解决问题规模为 1 的子问题的时间复杂度。

将递归树中的每个层级上的子问题的规模和合并操作的时间复杂度相乘，并遍历整个递归树，可以计算出整个问题的时间复杂度。

时间复杂度的阿尔法函数

时间复杂度的阿尔法函数时间复杂度是计算算法效率的一种指标，是很多程序员必须掌握的基本概念。

在计算时间复杂度时，我们需要得出一个表示算法运行时间的函数式，这个函数式叫做阿尔法函数。

阿尔法函数是指，当输入规模趋近于无穷大时，算法的时间复杂度中最高项的次数就是这个算法的阿尔法（α）值。

它的定义如下：T(n) = O(n^α)其中，T(n)表示输入规模为n时的算法最坏情况下的时间复杂度，α则是阿尔法值。

阿尔法函数中的n可以表示任意算法问题的输入规模，比如输入字符串的长度、数组的元素个数、矩阵的阶数等。

阿尔法函数通常分为以下五种：O(1)：常数时间复杂度，算法的运行时间与输入规模无关。

O(log n)：对数时间复杂度，通常是一些分治算法的时间复杂度。

O(n^k)：多项式时间复杂度，其中k是一个正整数，算法的运行时间与输入规模的k 次幂成正比，这种复杂度通常是DP问题的时间复杂度。

在计算阿尔法函数时，我们需要根据具体算法问题的特征进行分析。

一般来说，算法的执行流程、数据结构的选择、循环结构的定义、递归调用的深度等因素均会影响算法的时间复杂度。

比如，当算法中出现了嵌套循环时，我们需要根据循环次数来计算时间复杂度。

如果内层循环次数为n，外层循环次数为m，那么整个算法的时间复杂度就是O(m*n)。

如果时间复杂度是由递归算法导致的，我们就需要根据递归的深度和每个递归函数的时间复杂度来计算总的时间复杂度。

在日常工作中，程序员通常需要评估算法的时间复杂度，以便更好地优化程序或选择更适合的算法。

无论是算法题还是实际应用中，理解阿尔法函数和时间复杂度都是人工智能工程师必须掌握的基本概念。

logn阶乘的时间复杂度

logn阶乘的时间复杂度logn阶乘的时间复杂度是指计算logn的阶乘所需的时间。

在计算机科学中，阶乘是一个常见的数学运算，表示从1到n的所有正整数的乘积。

logn阶乘的时间复杂度是一种特殊的阶乘计算方法，它可以在较短的时间内完成计算。

为了理解logn阶乘的时间复杂度，我们首先需要了解阶乘的基本概念。

阶乘是一种递归定义的数学运算，表示从1到n的所有正整数的乘积。

例如，5的阶乘表示为5!，计算公式为5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。

阶乘在数学和计算机科学中都有广泛的应用，特别是在组合数学和概率论中。

在传统的阶乘计算方法中，我们需要对从1到n的所有正整数进行逐个相乘。

这种计算方法的时间复杂度为O(n)，即需要执行n次乘法运算。

然而，在一些特定的情况下，我们可以利用数学性质和计算技巧来优化阶乘的计算过程，从而降低时间复杂度。

logn阶乘的计算方法是一种基于二分法的优化算法。

它的基本思想是将n的阶乘分解为两个较小数的阶乘的乘积。

具体地说，我们可以将n的阶乘表示为n! = (n/2)! × ((n/2)+1)! × … × (n-1)! × n!。

然后，我们可以继续将每个较小数的阶乘分解为更小数的阶乘的乘积，直到每个数的阶乘都变为1。

最后，我们将所有的乘积相乘，即可得到n的阶乘。

通过使用二分法进行阶乘计算，我们可以将计算时间缩短到logn的复杂度。

具体地说，每次将问题规模缩小一半，直到达到基本情况，即阶乘为1。

这样，我们只需要进行logn次乘法运算，就可以完成整个阶乘的计算过程。

需要注意的是，logn阶乘的时间复杂度只是一种近似估计。

实际上，计算logn阶乘的时间取决于具体的实现方式和计算环境。

例如，在使用递归算法计算阶乘时，可能会受到递归深度的限制，从而影响计算时间。

此外，计算机硬件的性能和算法的优化程度也会对计算时间产生影响。

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时间复杂度计算学习数据结构时，觉得时间复杂度计算很复杂，怎么也看不懂，差不多三年之后，还是不懂，马上就要找工作了，赶紧恶补一下吧：首先了解一下几个概念。

一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。

前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。

当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。

此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。

但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。

以保证算法的运行时间不会比它更长。

常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。

1. 大O表示法定义设一个程序的时间复杂度用一个函数 T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下：int seqsearch( int a[], const int n, const int x){int i = 0;for (; a[i] != x && i < n ; i++ );if ( i == n) return -1;else return i;}这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。

在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，……，在第n个元素找到需要比较n次。

对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为:f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = (n+1)/2 = O(n)这就是传说中的大O函数的原始定义。

用大O来表述要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代价。

对于最坏情况，采用大O表示法的一般提法（注意，这里用的是“一般提法”）是：当且仅当存在正整数c和n0,使得 T(n) <= c*f(n)对于所有的n >= n0 都成立。

则称该算法的渐进时间复杂度为T(n) = O(f(n))。

这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识。

这里f(n) = (n+1)/2, 那么c * f(n)也就是一个一次函数。

就是在图象上看就是如果这个函数在c*f(n)的下面，就是复杂度为T(n) = O(f(n))。

对于对数级，我们用大O记法记为O(log2N)就可以了。

规则1）加法规则T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) )2) 乘法规则T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))3)一个特例在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝O©， c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) ).也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。

4)一个经验规则有如下复杂度关系c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高，如果是 2^n , 3^n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意.1）基本知识点：没有循环的一段程序的复杂度是常数，一层循环的复杂度是O(n),两层循环的复杂度是O(n^2)? （我用^2表示平方，同理 ^3表示立方）；2）二维矩阵的标准差，残差，信息熵，fft2,dwt2,dct2的时间复杂度: 标准差和残差可能O(n)，FFT2是O(nlog(n))，DWT2可能也是O(nlog(n))；信息熵要求概率，而dct的过程和jpeg一样。

因为和jpeg一样,对二难矩阵处理了.Y=T*X*T'，Z=Y.*Mask，这样子,还有分成8*8子图像了;3)example：1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn请判断下列关系是否成立：（1） f(n)=O(g(n))（2） g(n)=O(f(n))（3） h(n)=O(n^1.5)（4） h(n)=O(nlgn)这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。

"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。

这么一来，就好计算了吧。

◆(1)成立。

题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。

◆（2）成立。

与上同理。

◆（3）成立。

与上同理。

◆（4）不成立。

由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。

2、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。

(1) i=1; k=0while(i<n){ k=k+10*i;i++;}解答：T(n)=n-1， T(n)=O(n)，这个函数是按线性阶递增的。

(2) x=n; // n>1while (x>=(y+1)*(y+1))y++;解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)，最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。

(3) x=91; y=100;while(y>0)if(x>100){x=x-10;y--;}else x++;解答： T(n)=O(1)，这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n没有? 没。

这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。

同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。

算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。

一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。

1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。

但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。

并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。

记为T(n)。

（2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。

但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。

为此，我们引入时间复杂度概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。

记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...，k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。

随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

2、空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。

记作:S(n)=O(f(n))我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。

讨论方法与时间复杂度类似，不再赘述。

（3）渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。

【例3．7】有两个算法A1和A2求解同一问题，时间复杂度分别是T1(n)=100n2，T2(n)=5n3。

（1）当输入量n＜20时，有T1(n)＞T2(n)，后者花费的时间较少。

（2）随着问题规模n的增大，两个算法的时间开销之比5n3/100n2=n/20亦随着增大。

即当问题规模较大时，算法A1比算法A2要有效地多。

它们的渐近时间复杂度O(n2)和O(n3)从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量。

在算法分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。

【例3．8】算法MatrixMultiply的时间复杂度一般为T(n)=O(n3)，f(n)=n3是该算法中语句(5)的频度。

下面再举例说明如何求算法的时间复杂度。

【例3．9】交换i和j的内容。

Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。