离散数学第六章
《离散数学》 第六章 集合的基数

定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中,由左上端开始,其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同,依次为2,3,4,…,各斜线上元素的个
数依次为1,2,3,4,…,故A的排列为: a11,a21,a12,a31,a22,a13,… 故S是可数的,定理得证。
(3)card X = card Y。
6.3 基数的比较
定理6.3.3 设X、Y为任意两个集合, 如果cardX ≼· cardY,cardY ≼· cardX, 则cardX=cardY。
例6.3.1
证明[0,1]和(0,1)有相同的基数。
解 根据定理6.3.3,我们只需构造两个单射函数:
f:(0,1) → [0,1],f(x)=x
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.5
证明 为:
可数个可数集的并集仍然是一可数集。
设S1,S2 , S3,……是可数个可数集,分别表示 S1={a11,a12,a13,…,a1n,…} S2={a21,a22,a23,…,a2n,…} S3={a31,a32,a33,…,a3n,…} …………
6.1 基数的概念
定义 6.1.3 设 X 为任意集合,称 card X 为集合 X 的基数,并作 以下规定: ( 1 )对于任意的集合 X 和 Y ,规定 card X = card Y ,当且仅当 X≈Y; (2)对于任意有限集合X,规定与X等势的那个唯一的自然数n为X 的基数,记作 card X = n (3)对于自然数集合N,规定 card N = (读作阿列夫零) (4)对于开区间(0,1),规定 card(0,1)= (读作阿列夫)
⑵ 若X≈Y,则X≼· Y且Y≼· X。
离散数学第六章 集合-包含与排斥原理

│A1∪A2│=│A1│+│A2│–│A1∩A2│ = 12+18-5 = 2Ar是r个有限集。则
| A1 A2 Ar | | Ai |
i 1
r
1i j r j
| A A
i
j
|
1i j k r
| A A
例 (p71-72) 求出在1和300之间,不能被2、3、5、7中 任意一个整除的整数的个数。
分析:
A1表示1和300之间能被2整除的整数集合 A2表示1和300之间能被3整除的整数集合 A3表示1和300之间能被5整除的整数集合 A4表示1和300之间能被7整除的整数集合
│A1∪A2∪A3∪A4 │=?
a1表示1和300之间能被2整除的整数集合a2表示1和300之间能被3整除的整数集合a表示1和300之间能被5整除的整数集合a3表示1和300之间能被5整除的整数集合a4表示1和300之间能被7整除的整数集合a1a2a3a4
第六章 集合
6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理
例 (p71-72)求出在1和300之间,不能被2、3、5、7中
任意一个整除的整数的个数。
解:设A1,A2,A3,A4分别表示1和300之间能被2整除的、能被3整除的 、能被5整除的和能被7整除的整数集合。故有: │A1│=150,│A2│=100,│A3│=60,│A4│=42, │A1∩A2│=50,│A1∩A3│=30,│A1∩A4│=21 │A2∩A3│=20,│A2∩A4│=14,│A3∩A4│=8 │A1∩A2 ∩A3 │=10,│A1∩A2 ∩A4 │=7 │A1∩A3 ∩A4 │=4, │A2∩A3 ∩A4 │=2 │A1∩A2 ∩A3 ∩A4 │=1 于是,我们有: │A1∪A2∪A3∪A4 │ =150+100+60+42– (50+30+21+20+14+8)+(10+7+4+2)–1 =231 因此, 所求个数为 300-231=69.
《离散数学》第六章 集合代数

例3: 4个x ,3个y,2个z的全排列中,求不出现xxxx,yyy ,zz图象的排列。
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ,那么x∉Ai,i= 1,2,…m。则它对等式左边计数的贡献为1,对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0.而 由于x具有n个性质,它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
总体上还是多采用命题逻辑中的等值式,但在叙述
上采用半形式化的方法。
例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).
证明: 对于∀x
x ∈ A-(B∪C) Ù x ∈ A ∧ x ∉(B∪C) Ù x ∈ A ∧ ⎤ (x∈B ∨ x∈C) Ù x ∈ A ∧ (⎤x∈B ∧ ⎤x∈C) Ù x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C) Ù x∈A∧x∉B∧x∉C Ù (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) Ù x ∈ A- B ∧ x ∈ A- C Ù x ∈( A- B) ∩(A- C)
全排列的个数为:9!/(4!3!2!)=1260; 所以要求的排列数为
1260-(60+105+280)+(12+20+30)-6 =871.
4.4 三个练习
练习1:求由a,b,c,d构成的n位符号串中,a,b,c,d都至 少出现一次的符号串的数目。
离散数学第六章---群论

第6章 群论
定理6.1 一个半群(S,),如果它有一个子代 数 (M, ) ,则此子代数也是一个半群。
定义6.2 一个半群(S,)的子代数 (M, )也是 半群,称为(S,)的子半群。
第6章 群论
一个半群(S,)中的元素a ,可定义它的幂: a1=a , a2=a a , …,an+1=an a
第6章 群论
定理6.5 一个单位半群(S,),如果存在一个
子代数 (M, ) ,且其单位元 e ∈M,则 (M, )
也是一个单位半群。
定义6.5 一个单位半群(S,),如果存在一个
子代数 (M, ) ,且其单位元 e ∈M,则 (M, )
也是一个单位半群,称为(S,)的子单位半群 。
Hale Waihona Puke 第6章 群论定义6.5 :一个单位半群(S,)如果由它的一个 元素a 所生成,则称为由 a 所生成的循环单位半 群,元素 a 称为此单位半群的生成元素。
定理6.6 :一个循环单位半群是一个可换单位半 群。
第6章 群论
6.2 群
一、群与群的同构 1、群的有关定义
定义6.7 如果代数系统(G, )满足 (1) (G, )为一半群; (2) (G, )中有单位元e; (3) (G,)中每一元素a∈G都有逆元 a-1 则称代数系统(G, )为群。
第6章 群论
第六章 群论 6.1 半群与单元半群 6.2 群
第6章 群论
群在代码的查错、改错的研究,自动机理论等 方面都有应用。
第6章 群论
6.1 半群与单元半群
半群与群都是具有一个二元运算的代数系 统,群是半群的特殊例子。事实上,群是历史 上最早研究的代数系统,它比半群复杂一些, 而半群概念是在群的理论发展之后才引进的。 逻辑关系见图6.1.1。
离散数学_第06章代数结构概念及性质

【例】(1)以实数集 R 为基集,加法运算" +"为二元,运算组成一代数系统,记为〈R, +〉。 (2)以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集,矩阵加"+"为二元运算,组成一代 数系统,记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}, “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后,便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算,其中i=1,2,…,m。由S及f1, f2,…,fm组成的结构,称为代数结构,记 作<S,f1,f2,…,fm>。
此外,集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合,则说代数结构 是有限代数结构;否则便说是无穷代数结构。
分配律,或者⊙对于○是可左分配的,即
(x)(y)(z)
(x,y,z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的,即(x)(y)(z) (x,y,z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律, 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e);
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S,⊙>及幺元e;x,y∈S,则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然,若y是x的逆元,则x也是y的逆元,
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学第六章集合代数

集合算律
6.3 集合恒等式
1.只涉及一个运算的算律:
交换律、结合律、幂等律
交换 结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
16
2.涉及两个不同运算的算集律合:算 律 分配律、吸收律
与
分配
A(BC)=
(AB)(AC)
A(BC)=
(AB)(AC)
吸收
A(AB)=A
A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
17
3.涉及补运算的算律: 集合算律 DM律,双重否定律
D.M律
双重否定
A(BC)=(AB)(A C)
A(BC)=(AB)(A C)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
18
4.涉及全集和空集的算律集:合 算 律 补元律、零律、同一律、否定律
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真,其余为假.
28
(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法:
把 #2022 a 作为整体检查它在A中是否出现,注意这里的 a 可
能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法
若A,B是用枚举方式定义的,依次检查A的每个元素是否 在B中出现.
(交换律)
八. = A E
(零律)
九. = A
(同一律)
22
例6 证明AB AB=B AB=A AB=
#2022
①
②
③
④
证明思路:
确定问题中含有的命题:本题含有命题 ①, ②, ③, ④
离散数学 第六章

第二部分集合论引言集合是数学中最为基本的概念,又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。
集合论是离散数学的重要组成部分,是现代数学中占有独特地位的一个分支。
G.康托尔是作为数学分支的集合论的奠基人。
1870年前后,他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。
1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。
1878年,他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。
然而,朴素集合论中包含着悖论。
第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。
1901年罗素发现了有名的罗素悖论。
1932年康托尔也发表了关于最大基数的悖论。
集合论的现代公理化开始于1908年E.策梅罗所发表的一组公理,经过A.弗兰克尔的加工,这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论(ZF),其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。
另外一种系统是冯*诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。
公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设(CH)。
K.哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性,P.J.科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。
现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。
本部分主要介绍朴素集合论的主要内容,其中包括集合代数(第六章)、二元关系(第七章)、函数(第八章)、集合的基数(第九章)等。
本部分的先行知识及各部分的关系如下图所示:6.1 集合的基本概念一.集合的表示集合是不能精确定义的基本概念。
直观地说,把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合,而这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如:方程x2-1=0的实数解集合;26个英文字母的集合;坐标平面上所有点的集合;……集合通常用大写的英文字母来标记,例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数),整数集合Z,有理数集合Q,实数集合R,复数集合C等。
表示一个集合的方法有两种:列元素法和谓词表示法,前一种方法是列出集合的所有元素,元素之间用逗号隔开,并把它们用花括号括起来。
离散数学第六章

离散数学第六章

6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|=n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群:<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学第6章

33
图的运算
v2 v1 v3 v7 v2 v4 v6 v3 v8 G1∪G2 v5 v2 v4 v2 v5 v4 v6 v2 v3 v8 v7 v4 v6 v3 v8 G1 G2
34
v7 v4 v5
v1
Байду номын сангаасv1
v3 v5 G1∩G2 v5
图的运算
若V1∩V2=空集,说明图G1和G2没有公 共顶点, G1∩G2是空图。称G1和G2不 相交。 若E1∩E2=空集,说明图G1和G2没有公 共边,则
3
无向图与有向图
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1) V同无向图的顶点集, 元素也称 为顶点 (2) E为VV的多重子集,其元素 称为有向边,简称弧. 用无向边代替D的所有有向边 所得到的无向图称作D的基图 右图是有向图,试写出它的V和E
4
图的基本概念
边又分为两种:有向边和无向边。在有向边的两个端 点中,一个是始点,另一个是终点,有向边的箭头方 向自始点指向终点。 如果图中各边都是有向边,则称此图为有向图。 如果图中各边都是无向边,则称此图为无向图。 如果图中既有有向边又有无向边,则称此图为混合图 由于无向边可以用两条方向相反的有向边来替代,所 以混合图可以转化为有向图。
若vi vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次 数为1; 若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与 vi 的关联次数为2; 若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关
联次数为0.
无边关联的顶点称作孤立点.
8
定义 设无向图G=<V,E>, 边e=(a,b),则称a,b为边e的两个端 点,称点a,b是邻接的; 关联于同一顶点的边是相邻(邻 接)的.
离散数学第六章

第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言:简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形(一般地正n 边形)、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等;三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。
画图解释:2.用根式求解代数方程的根(1)一元二次方程:20x bx c ++=⇒122b x -±=,。
注:①约公元前2000年即出现二次方程求根问题; ②约公元9世纪时,阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。
(2)三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。
先作变换:用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=(不含二次项), (*)其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。
利用恒等式:333()3()u v uv u v u v -+-=-,把它与(*)比较得:33,3,x u v uv m u v n =-=-=。
由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= (即*方程的解) 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式, 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。
关于四次方程的求根公式这里从略,可以肯定的是, 四次一般方程也有求根公式,并且也叫卡丹公式。
(3从1545年之后的近300年间,人们都没能找到五次(当然,这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根)。
直到1830年由法国人Galois (伽珞瓦)解决,证明出:五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式,所用方法就是现在已广为接受的群的思想。
可是在当时,很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。
3.群在其它方面的应用:如编码理论、计算机等。
一.群的定义及简单性质1定义:设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统,如果⋅同时满足(1)结合律:即,,a b c G ∀∈,()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立;(2)存在单位元(也称为幺元,记为e ),即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈(3)中每个元素a 都有逆元(记为1a -):即存在1a G -∈,使得11a a a a e --⋅=⋅=,则称G 关于运算⋅构成一个群。
离散数学第6章

14
注: 此定义是由美国哈佛大学爱伦堡教授给出的; 此定义规定了严格的点、线之间的关系,适应面很广、特别 适合多重图(比如上节的七桥图);缺点是边表示比较复杂, 简单图一般不采用。 标号实际上是为了区别两点间的平行边而设的;标号集的大 小一般就是图中平行边的最大条数(图的重数,参见下面概念)。 当图的重数为1,即图无平行边时(简单图,参见下面概念), 有 ={1},各边标号一样,全为1 ,这时可取掉各边标号及标 号集,定义3就变成了定义2;所以定义3适合于图的一般情况, 特别是(有平行边的)多重图,而定义2适合于(无平行边的)简单 图。
(D,PSC) (PDSC,) (DC,PS)
(PDS,C)
(PDC,S)
(S,PDC)
(,PDSC)
(PS,DC)
(C,PDS) (PSC,D) 图4 注:上述问题统称“渡河问题”。 “三对忌妒的夫妇渡河问题”参见《离散数学基础》 [美]C.L.Liu著 刘振宏译 P162; “三个传教士与三个吃人肉的野人渡河问题”参见《Prolog高 级程序设计》[美]L.斯特林 E.夏皮罗著 刘家佺 邓佑译 郑守淇校 P197; 渡河问题的条件也是可变的。比如夫妇的对数可以是四对, 五对;渡河能力或渡河工具-小船的容量也是可变的。
(13)孤立点: (isolated vertex) 不与任何边相关联的结点称为孤立点。
(14)自环: (loop ) 两个端点相同的边称为自环。
18
(15)平行边: (parallel edges ) 有相同端点(相同的起点,相同的终点)的两条边称 为平行边。
(16)重数: (multiplicity) 两结点间平行边的条数称为平行边的重数。
注:此定义的优点是简单,规定了清楚的点、线之间 的关系,很适合简单图、特别是有向图(比如第二章的 关系图、哈斯图);缺点是无法表示平行边,因此不适 合多重图(比如上节的七桥图)。 例2. 有四个程序,它们之间存在如下的调用关系:P1 能调用P2 , P2能调用P3 ,P2能调用P4 。 上述事实也可用一图G = (V, E)来表示。图中结点集 V={v1 , v2 , v3 , v4} ,边集E={(v1, v2), (v2, v3), (v2, v4)} 。
离散数学第六章 集合-全集和集合的补

6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理
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全集
定义: 我们在研究某一个具体问题时,往往 规定一个集合,使所涉及的集合都是它 的子集合,称这个集合为全集, 记为U (或E )。
全集是个有相对性的概念,不同的问题, 可以规定不同的全集。
任一集合的补集合是唯一的。
推论
设A是任意一个集合,则
A A
定理3 德· 摩根定律
(Augustus De Morgan, 1806-1871, 英國數學家)
A B A B
A B A B
证明:( A B) ( A B)
[ A ( A B)] [ B ( A B)] [( A A) B] [(B B) A] [ B] [ A]
补运算: Ā
定义:设A是一个集合,U 是全集合,我们 称集合U–A为A的补集,记为Ā,即有: Ā={ x│x∉A且x∊U }
Ā
A
U
定理1 A是一个任意集合,则
A∪Ā= U A∩Ā= Ø
定理2 Ā=B当且仅当A∪B=U且A∩B=Ø
证明: “” 由定理1结论成立。 “” 设A∪B=U 且A∩B=Ø ,则 B =B∩U =B∩(A∪Ā)=(B∩A)∪(B∩Ā) =Ø∪(B∩Ā) = (A∩Ā) ∪(B∩Ā) =(A∪B)∩Ā=U∩Ā=Ā
因而结论得证。
例 (p68)
证明:
(A–B)∩(A–C)=A– (B∪C)
( A B) ( A C ) ( A B) ( A C ) A (B C) A (B C) A (B C)
离散数学 第6章 命题逻辑

(P Q) R m1 m3 m5 m6 m7 (1,3,5,6,7)
三、主合取范式
如组成合取范式的每一个括号中都包括所有的命题 变项或其否定形式,则该合取范式称为主合取范式。 在主合取范式中的每一个括号是一个包括所有的命题 变项或其否定形式的简单析取式,称为大项。 如果将大项中各命题变项看成为0,其否定看成为1, 按字母顺序排列后的二进制数为i,该大项表示为 M i , 注意:M 1不是 (P Q R) ,而是 ( P Q R) 例如,在某命题公式A中P,Q,R为(0,0,1)和(1,1,1)时真 值为0,则A的主合取范式可记作为:
(P Q R) (P Q R) (1,7)
由主析取范式可直接求出主合取范式
例如,上面的例3 ( P Q) R 主析取范式已经求得,为 那么,它的主合取范式为:
(1,3,5,6,7)
( P Q R) ( P Q R) (P Q R)
5。等价 如果两个命题P和Q有 P Q P Q 的真值表 同时又有 Q P 则记作 P Q P Q P Q P Q 就是 ( P Q) (Q P) 0 0 1 合取、析取和等价都满足交换 0 1 0 律,而蕴含是不满足交换律的。 1 0 0 P 例如, Q Q P , P Q Q P 1 1 1 P Q Q P 在一个命题公式中如果没有括号, 各种联结词的运算顺序从先到后依次为:
例题5: 用真值表证明命题公式P ( P Q R) 是重言式 解: P ( P Q R) P Q R PQ R 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
离散数学第六章

二. 格是代数系统
2.偏序集合的格、代数系统的格二者定义是等价 的
定理4.若<L, ,>是一个格(作为代数系统), 那么,L 中存在一偏序关系≤, 使a,bL ,有 ab=lub(a,b), ab=glb(a,b). 证:在集合L上定义的二元关系如下: a,bL,若a≤b ab=a 分三步: 1) 证明’≤’是L上的偏序关系 2)证明 a,bL, {a,b}的最大下界存在, 且 ab=glb(a,b)。 3)a,bL, {a,b}的最小上界存在,且 lub(a,b)=ab
6.3布尔代数
3.原子 设<A, ≤> 是一个格,且具有全下界0,若有a盖 住0,称a为原子。
例:1盖住d,e,b,则 a,b,c为原子
1 d a 0
b
e c
6.3布尔代数
定理: 若<A, ≤>为具有0的有限格,则
bA,b≠0,aA, a为原子,且a≤b
证明:
若b为原子,则b≤b 得证。
1.定义: 若<A,≤>是一个格,由它诱导的代数系统 <A, ,>,如果对于任意的a,b,c∈A,有 b≤a a(bc)=b(ac), 称<L, ≤>是模格。
例1:
1 a c b d
它是模格,但不是分配格 b≤a: a(cd)=a1=a (ac)(ad)=bb=b
6.2
但 a(bc)=a1=a
b(ac)=b0=b
分配格
1 a b 0 c
例2:它不是模格,b≤a,
3.分配格是模格
证:a(bc)=(ab)(ac) = b(ac)
6.3 有补格
1.全上界(全下界)定义 给定格<L,≤> , 若存在aL, 使bL,有b≤a (a≤b), 称a为<L,≤>的全上界(全下界)。 注:一个格的全上界(全下界)是唯一的。
离散数学第六章

树的举例
树G:
a
取a为根: 取b为根:b
a a d c
取e为根:
e
b
c
d
e c
b
d e a
e
d
b
取d为根: d
b
c
e
a c
显然它们是同构的。 数据结构中的树指定了一个特殊的顶点为根。
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树的应用举例
树的用途极其广泛,比如计算机网络中的最短
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树是点比边多一的连通图
证明:因G是树,所以G连通,
明 q=p–1: (1) p=1时,显然q=p–1 ; (2)假设对顶点数少于p的树,结论成立; (3) 对于p个顶点的树G ,p2 , 取e=uv ∈E(G) , 由 定理6.1.1知,e是唯一的(u,v)––通路,于是, G–e不连通而且恰有两个连通分支G1(p1,q1)和 G2(p2,q2),显然,p1<p且p2<p .由归纳假设, q1=p1–1 , q2=p2–1 , 从而q=q1+q2+1=p1+p2–1=p–1 。
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少条边就不连通的图是树的证明图示
P不含e:
u
C
v
P含e:
u
C
v
x
e
y
x
e y
P
P
G
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G
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平凡树和森林
只有一个顶点的图(平凡图)称为平凡
树。 具有多个连通分支,且每个连通分支都 是树的图称为森林。
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树是点比边多一的连通图
证明:因G是树,所以G连通,
明 q=p–1: (1) p=1时,显然q=p–1 ; (2)假设对顶点数少于p的树,结论成立; (3) 对于p个顶点的树G ,p2 , 取e=uv ∈E(G) , 由 定理6.1.1知,e是唯一的(u,v)––通路,于是, G–e不连通而且恰有两个连通分支G1(p1,q1)和 G2(p2,q2),显然,p1<p且p2<p .由归纳假设, q1=p1–1 , q2=p2–1 , 从而q=q1+q2+1=p1+p2–1=p–1 。
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树若减条边就会不连通
证明:任取u,v ∈V(G) , 若uv∈E(G) , 则u和v
是连通的;若uv E(G) , 则有(4)知,G+uv有 唯一的回路C。由于G中无回路,所以,u,v必 在回路C上,显然,C – uv是G的连通子图,从 而G中含(u,v)–通路,即uv,故G是连通图。
树中至少有两个悬挂点
定理
6.1.3 任何非平凡树G(p,q)中至少有两个 顶点的度数为1(悬挂点 )。 证明:(反证) 已知G中每个点的度 dG(v)1 , 若G中最多只有一个点的度数为1,则G中至少 有p–1个顶点的度数大于或等于2,于是, 2q= d (v) 2(p–1) +1 > 2(p–1) = 2q
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去边破回路法
定理6.2.1给出了一种求连通图的生成树的方法:
= {e1,e2,…,eq} for i = 1 to q do //逐条考察G的边// if 删去ei后G仍然是连通的 then 删去ei。 这种方法称为去边破回路法。 e14 e13 例如: e
令E(G)
e1
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Kruskal 算法
⑴初始化:E’:= E(G); ET:=; i:=1; j:=1; ⑵sort(E’); //将G的边按权从小到大排序// ⑶while j< p do ⑷ begin //循环挑选p-1条边// ⑸ if G[ET∪{ei}]无回路 then begin ET:= ET∪{ei}; j:= j+1 end ⑹ i:= i + 1; ⑺end{while}
构)的数目。设 e=xy是图G的一条边,x≠y,于是 (G) = (G–e) + (G e ) 证明:将G的生成树按含e与否分为两类: (1)不含e的生成树即为G–e的生成树;而G–e的生成 树都不含e,所以G的不含e的生成树有(G–e) 个。 (2)包含e的生成树即为包含了收缩e边后的那个顶点 的生成树,故G的含了e的生成树数目为(G e )个。 由(1)和(2)知结论成立。
对任意e∈E(G)
, 若G – e仍连通,则说明G中含 有回路,此与(4)矛盾,故G – e不连通。
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少条边就会不连通的图是树
只须证G中无回路。
若G中含回路C,取e=xy∈E(C) ,则 C – e仍连 通,任取u,v∈V(G) ,因G连通,故G中有(u,v)––通 路P。若P不含e,则u,v在G – e中仍连通;若 P中 含e,则P中的e可以用C – e中的(x,y)––通路代替, 从而u,v在G – e中仍连通。总之,u与v在G – e中 连通,此与(5)矛盾。故G无回路,因此,G是树。
第六章 树
§6.1 树的定义
定义6.1.1:
连通无回路的图称为树。 让我们来看一下《数据结构》中的树的定义: 一棵树是一个或多个顶点的有限集合T,使得, ⑴有一个特殊标识的顶点,称为根; ⑵除根以外的其余顶点形成n≥0个划分,T1 , T2 ,… ,Tn,它们也都是树,称为根的子树。 这里的树的定义更为一般。《数据结构》中树 的定义与此定义的区别只是指定了一个特殊的 顶点 ——根,并由此使得顶点之间形成了层次 结构,而它同样也是一个无回路的连通图。
通路、二叉树排序,各种层次结构的表示、等 等。可以说,在计算机领域中几乎处处可以见 到她的婆娑身影。
例如:右图就是用树
– * + a b
4
表示的算术表达式: (a+b)* c – d /c
/ c d e
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离散数学
树中只有单通路
y P1 x 树T中任何两个顶点之间恰有一条 6.1.1 通路。 v u Pxy 证明: (存在性)因为树是连通图,所以任意两点 P2 之间有通路。 (唯一性)设u,v∈V(T),若u和v之间有两条不同的 (u,v)通路P1,P2,于是必有边xy,xy∈E(P1),但 xyE(P2),显然H=P1∪P2-xy是连通图,从而H中 存在(x,y)-通路Pxy.于是Pxy+xy是T中的一条回路, 与树的定义相矛盾。所以定理得证。 此定理的逆不一定成立。
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去边破回路法
定理6.2.1给出了一种求连通图的生成树的方法:
令E(G)
= {e1,e2,…,eq} for i = 1 to q do //逐条考察G的边// if 删去ei后G仍然是连通的 then 删去ei。
这种方法称为去边破回路法。 例如:
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连通是有生成树的充要条件
定理6.2.1:
图G有生成树当且仅当G是一
个连通图。 证明:若G连通,则存在一个G的连通子 图T满足:T连通且从T中去掉任何一条边 后T不连通,于是由定理6.1.2(5)知,G的 生成子图T是树,故T是G的生成树; 反之,若G不连通,则G的任何生成 子图也不连通,故G无生成树。
oc
c b 3 2
a b 3(1)
定理6.2.2 树的任意一条边被收缩后仍为树。 证明:树的任意一条边被收缩后,其顶点数减1, 边数也减1,且收缩后的图仍为连通图,由定理 6.1.2(2)知结论成立。
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图的生成树的数目
定理
6.2.3 以下用(G)表示图G的不同生成树(包括同
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求一个图的生成树的数目
给定图G为: (G) = = + +( + +
=
=
(
)
+
(
+
+
)
)+ (
+ + +
)+ (
+ +
离散数学
)
=8
22
=
+
Байду номын сангаас
+
+
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例中图G的八棵生成树
计算(G)中最后出现了八个图:
除第一个外,它们并不是图G的生成树。
图G的八个生成树是:
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Kruskal 算法的思想
给定连通图G,设G的各边权非负且无环: 首先选择一条权值最小的边; 然后逐条增加边的数目。增加的方法是: 从未选入的边中挑选一条不会形成回路 的权值最小边。 这样一直到选满p-1条边。 显然,这样得到的是无回路的p-1条边的 子图,由定理6.1.2可知这是一棵生成树。
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完全图的生成树的数目
定理 6.2.4 (Cayley公式):(Kn) = nn–2 , n2。 证明:完全图Kn的生成树的数目就是所有由n
个顶点构成的树的数目。 由前面对树的编码可知,每棵n个顶点的 树有一个n-2位的编码,而每个n-2位的编码对 应一棵n个顶点的树。因此编码与树是一对一 的映射。有多少个编码就有多少棵树。 n-2位的编码有nn-2个,所以, (Kn) = nn–2。 注意不同的生成树可以是同构的。例如: (K6) = n4=1296,可是K6互不同构生成树只有6个。
定理
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几种等价说法
定理
6.1.2 设G(p,q) 是一个图,于是,下列五 种说法相互等价: G是树; (1) (2) G连通且q = p – 1; (2) (3) G无回路且q = p – 1; (3) (4) G无回路,但对任意的u,v∈V(G),若uv E(G),则 G+uv中恰有一条回路; (4) (5) G连通,但对任意e ∈E(G) , G–e不连通。(5) (1)
e2
e5
e3
e4
e6
e7
e9 e10 e8
e11
15
e12
19
显然,考察边的顺序不同会产生不同的生成树。
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边的收缩运算
定义6.2.2:
设G是连通图,e∈E(G),删去e并 使e的两端点重合,此过程称为e的收缩。所得 的图记为Goe 。 例如: G:1 G :
a 2
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少条边就不连通的图是树的证明图示
P不含e:
u
C
v
P含e:
u
C
v
x
e
y
x
e y
P
P
G
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G
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平凡树和森林
只有一个顶点的图(平凡图)称为平凡
树。 具有多个连通分支,且每个连通分支都 是树的图称为森林。
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离散数学
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下对p做归纳证
树是点比边多一的无回路图
假设G有回路,则显然可以依次从各回路中去
掉边而保持G的连通性。设从G中去掉了k条边 得到G的一个无回路的连通生成子图T,由定义 知T是G的生成树,且其边数是q–k ,顶点数是p, 由(2)知 q– k = p –1 但已知 q =p–1, 因此必有k =0 .这说明G本身就 无回路。