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2024年天津高考数学真题(原卷版+解析版】

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （）A. {}1,2,3,4 B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}12. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，相关性系数最大的是（）的获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源A. B.C. D.4. 下列函数是偶函数的是（）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A. a b c>> B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（）A 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A. B. 32-C. 0D.328. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）.A.B.12+C.D.12-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．11. 在63333x xæö+ç÷èø展开式中，常数项为______．12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤的的16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．的2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =I ，获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源2. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4. 下列函数是偶函数的是（）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -¹，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ¹-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x j +=，函数定义域为R ，因为()sin141e j +=，()sin141ej ---=，则()()11j j ¹-，则()x j 不是偶函数，故D 错误.故选：B.5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A. a b c >>B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（）A. 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m a ，n Ìa ，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n a a ，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,a a ^m n ，过m 作平面b ，使得s b a =I ，因为m b Ì，故//m s ，而s a Ì，故n s ^，故m n ^，故C 正确. 对于D ，若//,a a ^m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF Ð=°，设2PF m =，211122,PF F PF F q q Ð=Ð=，由21tan 2PF k q ==，求得1sin q =，因为1290F PF Ð=°，所以121PF PF k k ×=-，求得112PF k =-，即21tan 2q =，2sin q =，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F q q =°=，则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =×=×=V 得m =，则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A.B.12+ C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==´´´=.故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+×-=+-+=-.故答案为：7-.11. 在63333x xæö+ç÷èø的展开式中，常数项为______．【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+æöæö===×××ç÷ç÷èøèø，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y xì-+=ïí=ïî可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC uuu r uuu r 为基底向量，根据向量的线性运算求BE uuu r，即可得l m +，设BF BE k =uuu r uur ，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ×uuu r uuur 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE uuu r，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×uuu r uuur 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uur ，则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=uuu r uuu r uuu r uuu r，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Îuuu r uuu r uuu r uuu r，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëûuuu r uuur uuu r uuu ruuu r uuur22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×uuu r uuur取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èøuuu r uuu r uuu r ，因为(),BE BA BC l m l m =+=-uuu r uuu r uuu r ，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èøuuu r uuur ，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèøuuu r uuur ，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×uuu r uuur 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-È【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ³或0x £，计算可得(]0,2a Î时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a Î时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -³，当0a =时，x ÎR，有211=--=，则x =±当0a >时，则23,2121,ax x a ax x a ì-³ïï--=íï-<ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得x a ³或0x £，当0x £时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a Î，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a Î+¥时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a Î时，210ax --+=在0x £时有唯一解，则当(]0,2a Î时，210ax --+=在x a ³时需无解，当(]0,2a Î，且x a ³时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a æöç÷èø上单调递减，在23,a a æöç÷èø上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a æö-ç÷-ø=è，故x a ³时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x æö=-ç÷èø，其斜率为2，又(]0,2a Î，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a ³时的斜率(]0,2a Î，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +¥上单调递增，故有13a aa a ì<ïïíï>ïî，解得1a <<，故1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax x a ì-£ïï--=íï->ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-£ïï=íï->ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得0x ³或x a £，当0x ³时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a Î-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a Î-¥时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a Î-时，210ax --+=在0x ³时有唯一解，则当[)2,0a Î-时，210ax --+=在x a £时需无解，当[)2,0a Î-，且x a £时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-£ïï=íï->ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a æöç÷èø上单调递减，在32,a a æöç÷èø上单调递增，同理可得：x a £时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分渐近线方程为22a y x æö=-+ç÷èø，其斜率为2-，又[)2,0a Î-，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a <时的斜率[)2,0a Î-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），的且函数()g x 在(),a -¥上单调递减，故有13a aa aì>ïïíï<ïî，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a Î-U .故答案：()(1-È.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．【答案】（1）4 （2（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，为即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos22564bc a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A ==小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===，2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´+=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148AA æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sinB ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=【17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP Ì平面1CB M ，1D N Ë平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-uuur 、()1,0,1CM =-uuuu r 、()10,0,2BB =uuur，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r，则有111111200m CB x y z m CM x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuur r uuuu r r ，1222122020n CB x y z n BB z ì×=-+=ïí×==ïîuuur r uuur r ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r，则cos ,m =r ，故平面1CB M 与平面11BB CC；【小问3详解】由()10,0,2BB =uuur ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r，=即点B 到平面1CB M.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ×uur uuu r，再根据0TP TQ ×£uur uuu r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C æ-ççè，故122ABC S c =´=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ì+=ïí=-ïî可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-uur uuu r，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t æöæö×=+--=+----ç÷ç÷èøèøuur uuu r ()()22121233122kx x k t x x t æöæö=+-++++ç÷ç÷èøèø()22222731231342342k k k t t k k æöæöæö=+´--+´++ç÷ç÷ç÷++èøèøèø()2222222327271812332234k k k t t t k k æö----++++ç÷èø=+()22223321245327234t t k t k æöéù+--++-ç÷ëûèø=+，因为0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立，故()223212450332702t t t ì+--£ïíæö+-£ïç÷èøî，解得332t -££.若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -££，两者结合可得332t -££.综上，存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．【答案】（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=å【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k Î³，当124kk n a +=³=时，则111221111k k k k k a n n a a -++ì=<-=-í-=-<î，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--×=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--³--=-×³-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -³×；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ³，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-éù=×+=×=---ëûå，所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+éù=+´-´+´-´+×××+---=ëûå，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=å.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå.20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．【答案】（1）1y x =- （2）{}2（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】的由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x =¢+.所以()10f =，()11f ¢=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t¢-=-=，从而当01t <<时()0h t ¢<，当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+¥上递增，这就说明()()1h t h ³，即1ln t t -³，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g æö--=-=-=×ç÷øè.当()0,x ¥Î+的取值范围是()0,¥+，所以命题等价于对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³.一方面，若对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³，则对()0,t ¥Î+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø，取2t =，得01a £-，故10a ³>.再取t =，得2022a a a £+-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ¥Î+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -³，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a --=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x =¢+，可知当10ex <<时()0f x ¢<，当1e x >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,eæùçúèû上递减，在1e ,éö+¥÷êëø上递增.不妨设12x x £，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ££<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <££时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c æùÎçúèû，设()ln ln x x x c c j =--()ln 1x x j =+¢.由于()x j ¢单调递增，且有11110j =+<+=-+=¢，且当2124ln 1x c c ³-æö-ç÷èø，2cx >2ln 1c ³-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c j æö=+>++=-³ç÷èø¢.所以()x j ¢在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x j ¢单调递增，即知00x x <<时()0x j ¢<，0x x c <<时()0x j ¢>.故()x j 在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ££时，有()()0x c j j £=；②当00x x <<112221e e f f cæö=-£-=<ç÷èø，故我们可以取1,1q c öÎ÷ø.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cj ö=-<-<--=-<÷ø.再根据()x j 在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x j <；综合①②可知对任意0x c <£，都有()0x j £，即()ln ln 0x x x c c j =--£.根据10,ec æùÎçúèû和0x c <£的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -£.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-£.情况三：当12101ex x <££<时，根据情况一和情况二讨论，可得()11e f x f æö-££ç÷èø，()21e f f x æö-££ç÷èø而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f æö-£-ç÷èø或()()()1221e f x f xf f x æö-£-ç÷èø.故一定有()()12f x f x -£成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。

高考天津卷命题说明数学学科解读

2019年高考天津卷命题说明数学学科解读《2019年一般高等学校招生全国统一考试天津卷说明》数学学科（以下简称“数学考试说明”）的编写依据《一般中学数学课程标准（试验）》和教化部考试中心制定的《2019年一般高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准试验版）》，并充分考虑天津市中学数学教学实际。

“数学考试说明”符合课程标准及素养教化的理念，体现适应时代特点及对人才培育的要求，着力于稳定，坚持“以实力立意命题”的指导思想，对实力要求、考试要求、考试形式与试卷结构等予以全面、详细的说明与说明。

“数学考试说明”既是高考数学（天津卷）命题的重要依据，也是学生复习和老师指导学生复习的重要参考。

体现“以实力立意命题”的指导思想“数学考试说明”中指出：数学学科的命题将根据“考查基础学问的同时，留意考查实力”的原则，确立以实力立意命题的指导思想，将学问、实力和素养融为一体，全面检测考生的数学素养。

以实力立意命题首先要确定试题的实力考查目标，并由此选择相宜的学科内容，进而选定试题的表述形式。

以实力立意命题还包括：在命题理念上体现以学科学习实力测试评价学生；在试卷框架结构上突出全面的实力因素、多元化的实力层次结构和合理的难度分布；在命题构思上强化实力点的设计，强调用数学基本方法解决数学问题；在试卷设计上有适度的创新型试题，开发、拓展已有题型的功能。

留意对数学实力的考查“数学考试说明”坚持对五种实力和两个意识的考查，将数学实力考查置于命题的核心位置，以实力立意为中心，把握学科的整体意义，着眼于用统一的数学观点组织材料，通过对数学实力的考查检测出学生接着学习的潜能。

“数学考试说明”中对实力的考查要求具有如下特点：全面性高考中考查的数学实力和数学意识包括空间想象实力、抽象概括实力、推理论证实力、运算求解实力、数据处理实力以及应用意识和创新意识。

推理论证实力和抽象概括实力是考查的重点。

高考数学试题是以数学学科实力为基础，以思维实力为核心，全面考查学生应具备的实力。

天津高考文数知识点

天津高考文数知识点天津高考文数试卷中的数学部分包含了广泛而丰富的知识点，涉及到数与代数、几何与形状、数据处理与统计等多个方面。

本文将为大家详细介绍天津高考文数试卷中的数学知识点，并提供相应的解题思路和方法。

一、数与代数1. 数的性质：涉及自然数、整数、有理数、无理数、实数等性质和特点。

包括数的分类、数的运算法则以及数的性质与运算的关系等。

2. 方程与不等式：包括一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式等的解法与应用。

3. 函数与图像：涉及函数的定义、性质、图像及其变换等。

常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

4. 数列：介绍等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的特点、性质及其应用。

5. 概率与统计：包括事件与概率、频率与概率的比较、统计参数的计算等内容。

二、几何与形状1. 平面几何：涉及点、线、面等基本概念及其性质。

包括平面几何的基本公理、基本定理和相关性质等。

2. 直线与圆：涉及直线与圆的性质、相交关系以及相关的证明方法。

3. 三角形：包括三角形的性质、分类以及三角形中的角度关系、边长关系等。

4. 四边形与多边形：介绍四边形和多边形的性质、分类、对角线长度、正多边形等相关知识。

5. 空间几何：介绍空间几何中的点、直线、平面、棱柱、棱锥、球等基本概念及其性质与应用。

三、数据处理与统计1. 统计图表：介绍各种统计图表的绘制和分析方法，包括频数分布表、频率分布直方图、折线图、饼图、散点图等。

2. 统计性描述：包括数据的集中趋势和离散程度的衡量，如均值、中位数、众数、极差、四分位数等概念和计算方法。

3. 抽样调查与统计推断：介绍抽样调查的方法、样本容量的确定以及利用样本数据做出总体性推断的方法。

4. 概率与统计推断：介绍概率与统计推断的基本概念、公式及其应用，包括事件概率、条件概率、独立事件、贝叶斯定理等。

综上所述，天津高考文数试卷中的数学知识点十分丰富多样，需要考生在备考过程中全面系统地掌握各个知识点，并能够熟练应用于解题过程中。

2022年新高考天津数学高考真题文档版(含答案)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）1．设全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{0,1,2},{1,2}A B ==-，则()U AB =（） A ．{0,1} B ．{0,1,2}C ．{1,1,2}-D ．{0,1,1,2}-2．“x 为整数”是“21x +为整数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．函数21()x f x x -=的图象为（）A ．B ．C ．D ．4．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A ．8B ．12C ．16D ．185．已知0.70.72112,,log 33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>6．化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．67．已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -= 8．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120︒，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A ．23B ．24C ．26D ．279．已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法： ①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为33,44⎡-⎢⎣⎦； ④()f x 的图象可由1()sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10．已知i 是虚数单位，化简113i 12i -+的结果为_______________． 11．523x x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为_______________． 12．直线0(0)x y m m -+=>与圆22(1)(1)3x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =_______________．13．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为_______________；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽取A 的概率为_______________．14．在ABC △中，,CA a CB b ==，D 是AC 的中点，2CB BE =，试用,a b 表示DE 为________﹔若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为___________15．设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a --+-=．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为_________．三、解答题（本题共5小题，共75分）16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知16,2,cos 4a b c A ===-．（1）求c 的值；（2）求sin B 的值；（3）求sin(2)A B -的值．17．直三棱柱111ABC A B C -中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；（3）求平面1A CD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．18．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-﹔（3）求()211[1]n kk k k k a a b +=--∑．19．椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB =．（1）求椭圆的离心率e ；（2）直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于点N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若OM ON =，且OMN △3，求椭圆的标准方程．20．已知a b ∈R ，，函数()()e sin ,x f x a x g x b x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点；（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ⅱ）求证：22e a b +>．2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）数学参考答案一、选择题1. A2. A3. A4. B5. C6. B7. C8. D9. A二、填空题10. 15i -##5i 1-+11. 1512. 213. ①.1221 ②. 117 14. ①. 3122b a - ②. 6π 15. 10a ≥三、解答题16.（1）1c =（2）sin 104B = （3）10sin(2)8A B -=17.（1）略（2）45（3）101018.（1）121,2n n n a n b -=-=19.（1）6e = （2）22162x y += 20.（1）(1)1=-+y a x（2）（i ）)2e,b ∞⎡∈+⎣；（ii ）略。

2020年天津卷数学高考试题文档版(word版含答案)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UA B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A．10 B．18 C．20 D．365．若棱长为23A．12πB．24πC．36πD．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(2)4A +的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学参考解答一．选择题：每小题5分，满分45分．1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．32i - 11．1012．513．16；2314．4 15．16；132三．解答题 16．满分14分．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6．（Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ．所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 18．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．满分15分．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<．（Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==．对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k nn k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑．因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑．所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯． 20．满分16分．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+．对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x xx x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。

天津高考考试大纲解读,天津高考考试大纲变化详解 .doc

2018年天津高考考试大纲解读,天津高考考试大纲变化详解2018年天津高考考试大纲解读,天津高考考试大纲变化详解语文考试大纲与去年相比，不论是考试性质还是考试内容，均保持一致。

的高考语文试题，在试卷结构及命题的内容范围上仍趋稳定态势。

复习建议1.关注题型变化，做好能力提升训练。

试题中出现了一些新题型，如“文言文阅读”第5小题“古代文化常识”题，复习应做好整理强调；第17小题“图文转换”题也有变化，该考点需将各种类型都做复习。

2.重视“选考题”，提高答题能力。

近几年全国课标卷对选考题部分考查点和题型相对稳定，连续六年考查的都是小说+人物传记，这两种文本阅读仍是备考重点。

还应重视文学类文本阅读的散文、实用类文本阅读的新闻报道和人物访谈等文体的复习，做到题型变化与否，复习备考都不遗漏考点。

3.做好教材梳理，巩固古代诗文知识。

要回归课本，做好文言知识积累，对于重点的文言实词、虚词、文言句式等知识要结合习题归纳强调；名篇名句要通晓其意，理解背诵，默写要整理好出错频率较高的字。

4.加强作文训练，突破重难点。

应重点加强审题训练，立意要力求深刻，见解要力求新颖；要积累新鲜素材，运用要灵活；语言要讲求修辞，凸显文采；还应强调文章的合理布局，注意细节，如段落字数、书写标点等。

考纲解读今年的考纲跟去年比没有明显的变化，和前年相比有三个变化：1。

词汇量变化为3000-3500。

2。

增加阅读中对词义推断的要求。

把“根据上下文推断生词的词义”改为“根据上下文推断单词和短语的含义”。

由此看出考试中“词语猜测题”的难度会加大，尤其会加大考生对单词和短语在具体语境中特殊含义的考查力度。

3。

改变语法填空题中所填词数的要求。

把“在空白处填入适当的内容（不多于3个单词）或括号内单词的正确形式”改为“在空白处填入适当的内容（1个单词）或括号内单词的正确形式”。

复习建议1.重视词汇的记忆和应用。

考纲及其说明要求考生掌握约3500个单词，这是高考命题的词汇范围。

天津高考数学数列专题

天津高考数学数列专题
天津高考数学数列专题是数学考试中的一个重要部分，主要涉及数列的定义、性质、通项公式、求和公式等知识点。

以下是一些常见的数列题型和解题方法：
1. 等差数列：等差数列是一种常见的数列，其相邻两项的差是一个常数。

对于等差数列，需要掌握通项公式和求和公式，并能灵活运用。

2. 等比数列：等比数列是一种常见的数列，其相邻两项的比是一个常数。

对于等比数列，需要掌握通项公式和求和公式，并能灵活运用。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种常见的数列，其前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

对于斐波那契数列，需要掌握前n项和的公式。

4. 递推数列：递推数列是一种较为复杂的数列，其相邻两项之间有一定的关系。

对于递推数列，需要先找出相邻两项之间的关系，再通过递推公式求解。

5. 数列求和：数列求和是数列考试中的常见题型，要求考生掌握求和公式，并能灵活运用。

对于一些较为复杂的数列求和问题，需要先进行适当的变形或裂项，再利用求和公式求解。

以上是天津高考数学数列专题的一些常见题型和解题方法，希望对您有所帮助。

在备考过程中，建议多做一些模拟题和真题，以加深对数列知识点的理解和掌握。

天津数学高考知识点集合

天津数学高考知识点集合数学作为一门重要的学科，对于高中生来说尤为关键。

在高考中，数学作为一门必考科目，往往成为制约同学们继续深造的一个重要因素。

而在天津的高考数学试卷中，也有许多重要的知识点需要我们掌握。

在这篇文章中，我们将会对这些知识点进行一一梳理和介绍，希望对广大考生有所帮助。

第一章：函数与方程1. 一元二次方程及其根的性质- 一元二次方程的一般形式- 一元二次方程解的情况分类- 一元二次方程的根与系数的关系2. 函数的概念与性质- 函数的定义与符号表示- 函数的奇偶性与周期性- 函数的增减性与极值问题第二章：数列与数学归纳法1. 数列的基本概念- 数列的定义与符号表示- 等差数列与等比数列的特点2. 数列的通项公式与常用性质- 等差数列通项公式及其性质- 等比数列通项公式及其性质3. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想与步骤- 利用数学归纳法证明数学命题第三章：三角函数1. 三角函数的定义与性质- 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性 - 三角函数的图像与性质2. 三角函数的基本关系式- 三角函数的基本关系式定义与意义 - 三角函数之间的相互关系第四章：解析几何1. 平面与空间直角坐标系- 平面直角坐标系的建立与性质- 空间直角坐标系的建立与性质2. 点、向量与直线- 点的坐标与距离- 向量的运算与性质- 直线的方程与性质3. 圆与球- 圆的方程与性质- 球的方程与性质第五章：概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的定义与性质- 概率的基本性质与计算方法2. 离散型随机变量- 随机变量的定义与性质- 离散型随机变量的分布律与期望值3. 一元统计分析- 数据的收集与整理- 数据的统计分析方法与推断通过对天津数学高考知识点的梳理，我们可以清晰地看到高中数学所包含的内容及重点。

掌握这些知识点不仅有助于我们在高考中取得好成绩，更能够为今后的学习打下坚实的基础。

因此，我们在备考过程中应注重对知识点的理解和记忆，并结合各种题型进行练习。

天津高考数学考试大纲

2011高考数学考试大纲必修部分和选修部分以及选修4系列的4-1，4-4共19个模块：（1）集合与常用逻辑用语（必修1及2-1）（2）函数概念，指数函数，对数函数，幂函数（必修1）（3）三角函数，三角恒等变换，解三角形（必修4，必修5）（4）数列（必修5）（5）不等式（必修4）（6）推理与证明（选修2-2）（7）平面向量（必修4）（8）导数及其应用（选修2-2）（9）数系的扩充与复数引入（选修2-2）（10）立体几何的初步（必修2）（11）空间向量与立体几何（必修2，选修2-1）（12）平面解析几何初步（必修2）（13）圆锥曲线与方程（选秀2-1）（14）算法初步（必修3）（15）计数原理（选修2-3）（16）统计（必修3）（17）概率（必修3，选修2-3）（18）几何证明选讲（选修4-1）（19）坐标系与参数方程（选修4-4）试卷分选择题8个（40分）填空题6个（30分）解答题6个（80分）人教B版高中数学必修1：第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算第二章函数2.1函数2.2一次函数和二次函数2.3函数的应用（I）2.4函数与方程第三章基本初等函数（I）3.1指数与指数函数3.2对数与对数函数3.3幂函数3.4 函数的应用（I）必修2：第一章立体几何初步1.1空间几何体1.2 点，线，面，之间的位置关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线方程2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系必修3：第一章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3中国古代算法案例第二章统计2.1随机抽样2.2用样本估计总体2.3变量的相关性第三章概率3.1 随机现象3.2古典概率3.3 随机数的含义与应用3.4概率的应用必修4：第一章基本初等函数1.1任意角的概念与弧度制1.2任意角的三角函数1.3三角函数的图像和性质第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.3平面向量的数量积2.4 向量的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.2倍角、半角公式3.3 积化和差、和差化积公式必修5：第一章解直角三角形1.1正、余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1 数列2.2 等差数列2.3 等比数列第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与线性规划选修1：第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.2基本逻辑连接词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算3.3 导数的应用选修1-2：第一章统计案例第二章推理与证明第三章数列的扩充与复数的引入第四章框图选修4-5：第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努力不等式3.1 数学归纳法3.2 用数学归纳法证不等式：贝努力不等式选修2-1：第一章1.1命题与量词、基本逻辑连接词1.2四种命题与充要条件第二章2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线2.4曲线的方程第三章3.1 空间向量及其运算3.2 空间向量在几何中的应用选修2-2 第一章1.1导数1.2导数的应用1.3定积分、微积分第二章2.1 命题推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明第三章3.1 数字的扩充与复数概念3.2 复数的运算。

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲一、考试性质天津市普通高校“高职升本科”招生考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性考试.二、考试能力要求高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述. 数学思维能力表现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简洁的运算途径. 运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生产、生活和相关学科中的简单数学问题.三、考试内容与要求《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为进一步学习奠定基础.对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求.了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用.理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列知识解决简单问题.掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题.全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题. 试题分选择题、填空题和解答题三种题型. 选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容易题、中等难度题和难题，总体难度适当，以中等难度题为主.五、参考书目《天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学复习指南》，天津市教育招生考试院组编，天津人民出版社，2012年版。

高考天津卷数学考核知识点

高考天津卷数学考核知识点中国的高考被誉为世界上最为艰难的考试之一，其难度可见一斑。

而其中数学科目更是让许多学生望而生畏。

本文将从数学高考的角度，讨论天津卷数学考核的一些重要知识点。

希望能为考生提供一些有益的帮助。

一、函数与方程数学的基础有赖于对函数与方程的理解和掌握。

高中数学中，函数与方程是数学的基础，也是高考中必不可少的一部分。

1.1 函数与方程的概念与性质函数是数学中的一种关系。

它可以将自变量和因变量联系起来。

高考中，对于函数的定义和性质的考察非常常见。

考生需熟练掌握函数的定义，知道如何判断一个关系是否为函数，还要了解函数的单调性、奇偶性等性质。

方程也是数学中的基本概念。

高考数学中，方程的考察包括方程解的存在性、方程的基本性质以及解方程的方法等。

考生需要熟悉一元一次方程、一元二次方程等常见类型的方程，掌握解方程的基本步骤。

1.2 一元二次函数及其图像一元二次函数是高考数学中的热点考点之一。

考生需了解一元二次函数的标准形式以及其图像特征，包括顶点坐标、开口方向、对称轴等。

同时，还需掌握一元二次函数与二次方程之间的关系，如怎样根据二次方程的解来判断一元二次函数的图像特征等。

1.3 指数与对数指数与对数是数学中的重要概念。

高考数学中，指数与对数有着广泛的应用。

考生需了解指数与对数的定义及其基本性质，掌握指数与对数之间的相互转化关系。

此外，还需熟悉指数函数与对数函数的图像特征，理解指数函数与对数函数的增减性。

二、几何与向量几何与向量也是高考数学中的重要考点。

几何与向量的应用广泛而深入，是数学能力的重要体现。

2.1 平面几何高考数学中，平面几何的考题主要包括直线与角、三角形、四边形等。

其中，对于直线与角的考察主要涉及直线的方程与特性，角的性质和相应定理。

对于三角形的考察，要求考生熟练掌握三角形的面积、周长等相关概念，掌握判定三角形相似、全等的条件与方法。

2.2 空间几何与向量空间几何是高考数学中相对较难的一部分。

天津高考数学题型分布

天津高考数学题型分布
天津高考数学题型分布：
一、单项选择题：单项选择题主要考查学生对基本数学概念的掌握情况，以及基础的解答能力。

其中以数的含义和概念占比重较大，计算
和分析等考查成绩也占比较大。

共计占20%～25%。

二、填空题：填空题考查学生根据题意填写所给答案，通常其答案为
单个数字。

填空题和单项选择题要求一样，解答要点也尽量在考生的
数学知识范围内，以及利用已有的知识解答题目。

共计占10%～15%。

三、判断题：判断题是根据题目要求，给出正误的选择。

考生只需要
把握数学结论的正确性，并根据题意表达出答案即可。

判断题通常用
于验证考生对数学概念的掌握情况，也可以用来考查学生的推理能力。

共计占10%～15%。

四、解答题：解答题涵盖最全面的内容，主要考查学生在解答数学问
题时所具有的基本水平，以及他们的思考能力，推导能力，解答能力
和分析能力。

共计占50%～55%。

五、应用题：应用题客观性比较强，通常其标准答案是唯一的，考生
在进行解题时要充分考虑数学问题的本质性、实用性，以及系统性等。

考生需要根据条件，运用已知条件来进行推理，形成系统性结论。

共计占15%～20%。

天津高考数学所有知识点

天津高考数学所有知识点天津高考数学作为一门重要科目，是考生们备考中必不可少的一部分。

了解及熟练掌握高考数学的所有知识点，不仅对于应试非常有帮助，也对学生日后的学习和发展具有重要意义。

本文将详细介绍天津高考数学的所有知识点，希望能对考生们有所帮助。

1. 函数与方程在函数与方程这一模块中，考生需要掌握函数的性质与图像的特征，方程与不等式的解法，以及函数与方程在实际问题中的应用。

其中，函数的定义与性质包括函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等等，图像的特征指的是函数的凹凸性、最值、零点等等。

方程与不等式的解法涉及一元二次方程、绝对值方程、一元二次不等式等。

在实际问题中，函数与方程常常与几何、经济、物理等学科相结合，如最优化问题、人口增长问题等。

2. 三角函数与解三角形三角函数与解三角形是天津高考数学的重点内容。

考生需熟练掌握三角函数的定义、性质和图像，以及正弦、余弦、正切等函数的基本关系和周期性。

对于解三角形来说，需要了解三角函数的基本求解方法，包括正弦定理、余弦定理、正切定理等，并能熟练运用这些方法解决实际问题。

3. 平面向量与立体几何平面向量与立体几何也是天津高考数学的重要考点。

在平面向量部分，考生需要了解向量的定义、运算、模、方向角等基础知识。

同时，还要掌握向量的共线、垂直以及平面向量与数量积的相关性质。

在立体几何方面，需了解空间几何体的性质、投影、平行线等基本概念，并能运用这些知识解决实际问题。

4. 概率与统计概率与统计是数学中与现实生活联系最为紧密的部分。

在概率方面，考生需要了解基本的概念与性质，如事件的概率、条件概率、独立性等，并能运用概率的基本原理解决相关问题。

在统计方面，需要熟悉统计学中的基本概念，如频数、频率、均值、标准差等，并能灵活运用这些知识进行统计数据的分析和整理。

除了以上主要的知识点外，天津高考数学还包括了其他一些辅助性的内容，如数列、数理逻辑、复数等。

对于数列来说，考生需要了解等差数列、等比数列的特征与性质，并能应用数列求解相关问题。

天津高考数学高考必备知识点总结版

天津高考数学高考必备知识点总结版一、函数与方程1.函数的概念与性质2.方程的概念与性质3.一次函数与二次函数的性质与图像4.对数函数与指数函数的性质与图像5.三角函数与反三角函数的性质与图像6.高次函数与函数的性质二、数列与数学归纳法1.等差数列与等比数列2.等差数列与等比数列的性质与应用3.数列极限的概念与性质4.数学归纳法的概念与应用三、几何1.平面几何的基本概念与性质2.直线与平面的交点与夹角3.三角形的性质与判定4.四边形的性质与判定5.圆的性质与判定6.直角三角形、等腰三角形的性质与判定7.三角形的面积公式与应用8.圆的面积与弧长公式与应用四、向量与坐标1.向量的概念与性质2.向量的基础运算3.向量共线与垂直的判定4.向量的线性运算5.坐标系与坐标点的表示6.平面向量的坐标表示与应用五、概率与统计1.随机事件与概率的概念与性质2.条件概率与全概率公式3.期望与方差的概念与计算方法4.抽样与样本调查的方法与应用5.统计图的构造与解读六、导数与微分1.导数的概念与性质2.函数的连续与可导性3.导数的基本运算法则4.高阶导数与导数的应用5.极值与最大值最小值问题6.曲线的凸凹性与点的拐点七、积分与微积分应用1.不定积分与定积分的概念与性质2.定积分的定义与计算方法3.积分的基本运算法则与换元法4.定积分的应用：面积、体积与曲线长度等5.微分方程的概念与一阶微分方程的解法6.微分方程的应用：物理、经济与生活等以上为天津高考数学必备知识点的总结，包括函数与方程、数列与数学归纳法、几何、向量与坐标、概率与统计、导数与微分、积分与微积分应用等内容。

掌握了这些知识点，能帮助考生系统地理解和掌握数学的基本概念、性质和应用，提高数学思维和解题能力，为高考取得好成绩奠定基础。

整理天津数学高考大纲.doc

天津数学高考大纲考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备，对考纲也要特别了解。

下面是我为大家整理的，请认真复习!天津市高等院校春季招生统一考试数学考试大纲一、考试性质天津市高等院校春季招生统一考试是高等学校招生考试的重要组成部分，是由符合条件的中等职业学校含技工学校的毕业生参加的选拔考试.二、考试能力要求数学科目的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考察能力”的原则，测试考生的数学基础知识、基本技能、基本思想和方法。

考查计算技能、数据处理技能、空间想象能力、分析与解决问题的能力、数学思维能力.1计算技能：会根据法则、公式进行数、式、方程的正确运算、变形和处理资料;能根据问题的条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径.2数据处理技能：按要求对数据数据表格进行处理并提取有关信息。

3空间想象能力：能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象;能正确地分析图形中各种基本元素及其相互关系.4数学思维能力：依据所学的数学知识，运用类比、归纳、综合等方法，对数学及其应用问题能进行有条理的思考、判断、推理和求解;针对不同的问题或需求，会选择合适的模型模式。

5解决实际问题的能力：能对工作和生活中的简单数学相关问题，作出分析并运用适当的数学方法予以解决。

三、考试内容本学科的复习考试内容包括代数、三角、几何及概率与统计四个部分.对知识要求由低到高分为三个层次，依次是了解、理解、掌握。

高一级的层次要求包含低一级的层次要求.了解：要求对所列知识的意义有初步的感性认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中进行识别和直接应用.理解：要求对所列知识定义、定理、法则等有理性认识，能利用所列知识解决简单问题.掌握：要求对所列知识有较深刻的认识，并形成技能, 知道与其它相关知识的联系,能解决与所列知识有关的问题.考试内容及对应知识的要求见表1―表4.一考试方式考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为90分钟.二试卷结构试卷包括Ⅰ卷和Ⅱ卷.Ⅰ卷为选择题;Ⅱ卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答题三种题型.选择题是四选一的单项选择题;填空题只要求直接写结果，不必写出计算过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程.三种题型选择题、填空题、解答题题目数分别为8、，试卷共18道题;选择题和填空题占总分的56%，解答题占总分的44%.试卷包括容易题、中等难度题、较难题，总体难度要适当，以中等难度题为主.三试卷内容比例代数约40%三角约20%几何约32%概率与统计约8%看过" "的还:。

天津数学高考知识点大纲

天津数学高考知识点大纲天津高考数学考试对学生的数学知识水平和解题能力进行综合考察。

为了帮助学生更好地备考，天津市教育考试院发布了数学高考知识点大纲，明确了考试中重点、难点和易错点。

本文将对该大纲进行详细介绍，帮助学生全面了解考试要求。

一、函数与方程高中数学的核心概念之一是函数与方程。

在这一部分内容中，学生需要掌握函数的性质与基本性质，包括函数的定义域、值域和图像特征。

同时，学生还需要熟练掌握各种类型的方程，包括一次、二次和分式方程等，并能灵活运用各种解题方法解决实际问题。

二、数列与数列的增长速度数列是数学中的重要概念，也是高考中的热点考点。

学生需要掌握数列的定义、性质与判断收敛的方法，以及求和公式等。

此外，数列的增长速度也是考试的重点之一。

学生需要掌握数列的增长速度与数列项之间的关系，包括等差数列与等比数列的差值与比值等。

三、几何与三角函数几何与三角函数是数学高考中的另一个重要部分。

学生需要掌握平面几何与空间几何的基本原理与求解方法，包括线段的垂直平分线与外心、内心等相关概念。

此外，学生还需要熟练掌握三角函数的定义与性质，包括正弦、余弦、正切等函数的求值与图像。

四、立体几何与向量立体几何与向量是考试中的难点内容。

学生需要掌握空间几何体的表面积与体积计算方法，以及平面与直线的位置关系等。

同时，学生还需要掌握向量的定义与运算方法，包括向量的加法、减法与数量积等。

五、概率与统计概率与统计是高考数学中的常见考点。

学生需要掌握概率与统计的基本理论与计算方法，包括样本空间与事件的定义与计算，以及频率与概率的关系等。

此外，学生还需要通过实例分析和解决问题，灵活运用概率与统计的方法。

六、数学建模与实际问题数学建模是数学高考考试的高级要求。

学生需要通过数学理论与方法解决实际问题，包括数学建模的基本步骤与方法等。

此外，学生还需要对常见实际问题进行分析与求解，包括运用数学知识解决实际生活中的问题。

通过对天津数学高考知识点大纲的详细介绍，我们可以看到数学高考考试的内容较为广泛，涵盖了函数与方程、数列与数列的增长速度、几何与三角函数、立体几何与向量、概率与统计以及数学建模与实际问题等多个方面。

天津市数学高考知识点

天津市数学高考知识点作为高考科目之一，数学一直是考生们备战的重点科目之一。

而在天津市的高考数学中，也有一些重点的知识点，下面我们来逐一介绍一下。

1. 几何与图形几何是数学的一个重要分支，也是高考数学中的一个重点内容。

在几何与图形部分，涉及到的主题有点、线、面的相关性质、图形与变换、相似与全等三角形等。

在备考过程中，学生应该掌握这些知识点的定义、性质以及相关的解题方法。

同时，也要注重理解几何问题的实际意义，进行实际问题的建模与求解。

2. 函数与方程函数与方程是高考数学中的另一个重点部分。

这个主题涉及到的内容包括函数的概念、性质、图像与变换以及函数方程的解法等。

在备考过程中，学生应通过练习大量的题目，熟悉函数的各种类型如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，并熟练掌握各种类型函数的图像与特性。

3. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高考数学中的一个重点内容。

数列是一种按规律排列的一串数，而数学归纳法则是一种通过观察规律给出结论的方法。

在备考过程中，学生需要了解数列的概念、常见数列的求和公式以及数学归纳法的基本原理与应用。

通过练习相关的题目，能够提高对数列与数学归纳法的理解与应用能力。

4. 概率与统计概率与统计是高考数学中的另一个重要知识点。

概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，而统计是研究从样本信息推断总体信息的一种方法。

在备考过程中，学生需要了解概率的基本概念、计算方法以及统计的基本原理与应用。

此外，还要能够灵活运用概率与统计的知识，解决实际问题。

5. 解析几何解析几何是数学与几何相结合的一门学科。

在高考数学中，解析几何是一个必考的知识点。

在备考过程中，学生需要学会使用直线、曲线、圆的方程进行几何问题的求解，并能够理解几何问题与解析几何方法之间的联系。

以上是天津市高考数学的一些重点知识点，学生在备考过程中应注重基础知识的掌握与理解，多做相关的习题与模拟试卷，提高解题的能力和应试水平。

同时，也要注重思维的灵活运用，培养解决实际问题的能力。

天津数学高考大纲

研读《2011年普通高等学校招生全国统一考试天津卷说明》可以发现，今年数学学科高考变化的地方在于试卷结构。

全卷包括Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为选择题，Ⅱ卷为非选择题。

试卷采用单项选择题、填空题和解答题。

选择题的数量由往年的10个改为8个，每题分值还是5分，共计40分；填空题的数量还是6个，每题分值由往年的4分变为5分，共计30分；解答题的数量还是6个，前4小题每题分值由往年的12分变为13分，后两个小题的分值还是14分，共计30分，全卷合计150分。

简单说就是今年高考数学试卷比往年少了两道选择题，多出来的10分，6个填空题每个加1分，前4个解答题每个加1分。

那么这种试卷结构的改变会对试卷带来怎样的变化呢？我们先看选择题，从往年的统计数据来看10个选择题中，简单题、中等题和难题的比例一般是6:3:1，整体得分率应该在0.75左右，今年改为8个选择题，预计简单题、中等题和难题的比例是5:2:1，整体得分率保持不变。

再看填空题，往年6个填空题中，简单题、中等题和难题的比例一般是3:2:1，整体得分率应该在0.5至0.6之间，由此可见加在填空题上的6分有5分是加在简单题和中等难度题上。

最后再看解答题，解答题的前三个题一般情况下应该是三角函数、概率和立体几何题，这三个题的难度系数都在0.7以上，属简单题，第四题考查的一般是解析几何或导数等内容难度系数一般在0.4以上，属中等难度题。

由以上的分析可以看出，分配到填空题和解答题的10分中，有6分加在简单题上，3分加在中等难度题上，1分加在难题上。

我们在高考复习中应该怎样应对这种变化呢？给同学们以下几条建议：⒈强化数学基础知识与基本方法的落实由前面的分析可以看出，分配到填空题和解答题的10分中有9分加在简单题和中等难度题上，这些分数都是用来考查基础知识与基本方法的，所以在复习的过程中要注重双基的落实。

⒉重点知识重点复习，高考热点高度重视注重主干知识的复习：代数着重考查函数学、数列、不等式、三角等主要内容；立体几何着重考查线面关系、空间角、面积和体积的计算，理科着重坐标方法（即向量）的应用；解析几何着重考查直线与圆锥曲线的位置关系；向量、概率、统计、导数等新增加内容的考查，既保持了较高的比例，也达到了必要的深度。

天津高考数学教学大纲

天津高考数学教学大纲天津高考数学教学大纲天津高考数学教学大纲是指为了适应高考要求，规范天津地区高中数学教学内容和教学方法而制定的一项指导性文件。

它旨在明确高中数学课程的目标和要求，为教师提供教学参考，为学生提供学习指导。

本文将从数学教学大纲的背景、内容和实施效果三个方面进行探讨。

背景：天津高考数学教学大纲的制定是基于对高中数学教育发展趋势和高考要求的深入研究。

随着社会的进步和科技的发展，数学作为一门基础学科，在人们的生活中起着越来越重要的作用。

因此，培养学生的数学素养和应用能力成为高中数学教育的重要任务。

天津高考数学教学大纲的制定旨在提高学生的数学思维能力、解决问题的能力和创新意识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。

内容：天津高考数学教学大纲主要包括数学课程的目标、内容和教学要求。

在目标方面，大纲明确了培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和创新意识等方面的要求。

在内容方面，大纲涵盖了数学的各个分支，如代数、几何、概率与统计等，并对每个分支的重点内容进行了详细的说明。

此外，大纲还强调了数学与现实生活的联系，鼓励学生将数学知识应用于实际问题的解决中。

在教学要求方面，大纲要求教师注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，采用灵活多样的教学方法，激发学生的学习兴趣和创造力。

实施效果：天津高考数学教学大纲的实施效果得到了广泛认可。

首先，大纲明确了数学教学的目标和要求，为教师提供了明确的教学指导。

教师可以根据大纲的要求，有针对性地进行教学设计和教学实施，提高教学效果。

其次，大纲注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，使学生能够灵活运用数学知识解决实际问题。

这不仅有助于学生的学习成绩提高，也有助于培养他们的创新能力和实践能力。

再次，大纲鼓励教师采用多样化的教学方法，激发学生的学习兴趣和创造力。

这有助于提高学生的学习积极性和主动性，促进他们全面发展。

总结：天津高考数学教学大纲的制定和实施对于提高高中数学教育质量和学生的数学素养具有重要意义。