【初中数学同步练习】二次函数拓展(一)
人教版数学九年级上册二次函数专题训练
二次函数专题训练1．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．2．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．6. 如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线233y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由； （3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．7. 如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．8. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1，0），C （3，0），D （3，4）．以A 为顶点的抛物线y=ax 2+bx+c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动．同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P ，Q 的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t 秒．过点P 作PE⊥AB 交AC 于点E ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．9．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x=-与抛物线214y x bx c=-++交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方．．的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.11.已知点A（3，4），点B为直线x=﹣1上的动点，设B（﹣1，y）．（1）如图1，若点C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．12．如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A 的坐标为（－3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．13. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？14 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？15. 某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．（1）用含x和n的式子表示Q；（2）当x = 70，Q = 450时，求n的值；（3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值；（4）设n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－b2a，4ac－b24a）16. 如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A （2，0），交y 轴于点B （0，25）．直线y=kx 过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ． （1）求抛物线y=x 2+bx+c与直线y=kx 的解析式；（2）设点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点（不与点A 、D 重合），过点P 作 y 轴的平行线，交直线AD 于点M ，作DE ⊥y 轴于点E ．探究：是否存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，作PN ⊥AD 于点N ，设⊥PMN 的周长为L ，点P 的横坐标为x ，求l 与x 的函数关系式，并求出L 的最大值．17. 某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1（元）与国内销售数量x （千件）的关系为：()()1159002513026x x y x x ⎧+⎪=⎨-+⎪⎩＜≤≤＜ 若在国外销售，平均每件产品的利润y 2（元）与国外的销售数量t （千件）的关系为：()()210002511026t y t t ⎧⎪=⎨-+⎪⎩＜≤≤＜ （1） 用x 的代数式表示t 为：t＝ ；当0＜x≤4时，y 2与x 的函数关系为y 2＝ ；当≤x＜ 时，y 2＝100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w （千元）与国内的销售数量x （千件）的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？822--=x x y 交y 轴于点A ，交x 轴正18. 如图，抛物线半轴于点B.（1）求直线AB 对应的函数关系式；（2）有一宽度为1的直尺平行于y 轴；在点A 、B 之间平行移动；直尺两边长所在直线被直线AB 和抛物线截得两线段MN 、PQ.设M 点的横坐标为m ；且30<<m .试比较线段MN 与PQ 的大小.线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－52）三19. 如图，抛物点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．20. 如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使⊥AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使⊥POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出⊥POB的面积；若不存在，请说明理由．21. 如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与⊥BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，⊥PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）24.如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O 点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②⊥AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．。
初中数学重点梳理：二次函数拓展
二次函数拓展知识定位本节主要内容有运用两点式求二次函数表达式，以及二次函数中一些技巧规律和方法，综合题函数与方程的转化思想，二次函数也一直都是高考和高中联赛一试的重要内容之一.本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.注意点：二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上； 当0<a 时，开口向下；当a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .注意点：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 4.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点;②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 5.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）两点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121例题精讲【试题来源】1996年全国高中数学联赛【题目】如果在区间[1，2]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x +1x 2在同一点取相同的最小值，求f (x )在该区间上的最大值 【答案】4－5232+34【解析】 解：由于g(x)= x +1x 2=12x +12x+1x 2≥3314=3232．当且仅当12x=1x 2，即x=32时等号成立． 由于32∈[1，2]，故x=32时g(x)取得最小值．因为f (x )=x 2+px +q =22()24p p x q ++-，所以－p 2=32且 4q －p 24=3232， 解得p =－232，q =3232+34． 由于32－1<2－32．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－5232+34．【知识点】二次函数拓展 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】1992年全国高中数学联赛【题目】求函数f (x )=x 4－3x 2－6x +13－x 4－x 2+1的最大值。
人教版九年级上数学《22.1.1二次函数》同步拓展(含答案)
22.1.1二次函数基础闯关全练拓展训练1.(2020湖北孝感孝南三校月考)对于y=ax2+bx+c,有以下四种说法,其中正确的是()A.当b=0时,二次函数是y=ax2+cB.当c=0时,二次函数是y=ax2+bxC.当a=0时,一次函数是y=bx+cD.以上说法都不对2.(2020北京昌平期末)已知y=(m-2)x|m|+2是关于x的二次函数,那么m的值为()A.-2B.2C.±2D.03.(2020山东潍坊昌乐期末)有长24m的篱笆,一面利用长为12m的围墙围成如图所示中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃垂直于墙的一边长为x m,面积为S m2,则S与x的函数关系式是,x的取值范围为.能力提升全练拓展训练1.已知函数y=(m-2)x m2-2+4x+7是二次函数,则代数式√m2+2m+8的值为()A.4B.2√2C.4或2√2D.±2√22.已知函数y=(m-1)x m2-5m+6+3x是关于x的二次函数,且等腰直角△ABC的一边长为m,则等腰直角△ABC的周长为.三年模拟全练拓展训练1.(2020河南漯河临颍期中,4,★★☆)如果函数y=(k-2)·x k2-2k+2+kx+1是关于x的二次函数,那么k的值是()A.1或2B.0或2C.2D.02.(2020云南红河弥勒江边中学月考,12,★☆☆)国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分比为x,该药品的原价为36元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系式为()A.y=72(1-x)B.y=36(1-x)C.y=36(1-x2)D.y=36(1-x)2五年中考全练拓展训练(2020湖南怀化中考,3,★☆☆)下列函数是二次函数的为()A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=1x-22核心素养全练拓展训练1.已知函数y=x k2-2k-1是关于x的二次函数,则一次函数y=kx的图象大致是()2.(2020湖北孝感孝南三校月考)已知两个变量x,y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+2)x-3.(1)当时,x,y之间是二次函数关系;(2)当时,x,y之间是一次函数关系.22.1.1 二次函数基础闯关全练拓展训练1.答案 D 当b=0,a ≠0时,二次函数是y=ax 2+c,选项A 中缺少对a 的限制,不符合题意;当c=0,a ≠0时,二次函数是y=ax 2+bx,选项B 中缺少对a 的限制,不符合题意;当a=0,b ≠0时,一次函数是y=bx+c,选项C 中缺少对b 的限制,不符合题意;选项D,以上说法都不对,符合题意.故选D.2.答案 A 由y=(m-2)x |m|+2是关于x 的二次函数,得|m|=2且m-2≠0.解得m=-2.故选A.3.答案 S=(24-3x)x;4≤x<8解析 由题意得S=(24-3x)x,∵围墙长12 m,∴24-3x ≤12,解得x ≥4,∵3x<24,∴x<8,∴4≤x<8.能力提升全练拓展训练1.答案 B ∵函数y=(m-2)x m 2-2+4x+7是二次函数,∴{m 2-2=2,m -2≠0,解得{m =±2,m ≠2,∴m=-2.∴√m 2+2m +8=√(-2)2+2×(-2)+8=2√2. 2.答案 8+4√2或4√2+4解析 ∵函数y=(m-1)x m 2-5m+6+3x 是关于x 的二次函数,∴{m 2-5m +6=2,m -1≠0,解得{m =4或m =1,m ≠1,∴m=4.当等腰直角△ABC 的直角边长为4时,则斜边长为4√2,∴周长为4+4+4√2=8+4√2;当等腰直角△ABC 的斜边长为4时,则直角边长为2√2,∴周长为2√2+2√2+4=4√2+4.三年模拟全练拓展训练1.答案 D ∵函数y=(k-2)x k 2-2k+2+kx+1是关于x 的二次函数,∴{k 2-2k +2=2,k -2≠0,解得k=0.故选D.2.答案D因为该药品的原价为36元,所以第一次降价后的价格为36(1-x)元,第二次降价后的价格为36(1-x)(1-x)元,即y与x之间的函数关系式为y=36(1-x)2.故选D.五年中考全练拓展训练答案C选项A,B,D中的函数都是一次函数,只有选项C中的函数是二次函数.核心素养全练拓展训练1.答案B一次函数y=kx的图象是过原点的直线,故首先排除C;∵y=x k2-2k-1是关于x的二次函数,∴k2-2k-1=2,解得k1=3,k2=-1.当k=3时,一次函数y=kx的图象经过第一、三象限,且图象靠近y轴,选项B中图象相符;当k=-1时,一次函数y=kx的图象经过第二、四象限,且为第二、四象限的角平分线,无相符图象.故选B.2.答案(1)a≠2(2)a=2且b≠-2解析(1)当x,y之间是二次函数关系时,a-2≠0,即a≠2.(2)当x,y之间是一次函数关系时,a-2=0且b+2≠0,即a=2且b≠-2.。
完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-
完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线y=-1/2x向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物线.2.函数y=-2x+x^2图象的对称轴是x=1，最大值是1.3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y=x^2+6x+9.4.二次函数y=-2x+8x-6，通过配方化为y=a(x-2)^2-2的形为.5.二次函数y=ax+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是x1+x2=-2a/c.6.抛物线y=ax^2+bx+c当b=0时，对称轴是x=0，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在x=-b/2a 处.7.抛物线y=-2(x+1)^2-3开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1,-3).如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是x<-1.8.若a5/2a时，函数值随x的增大而减小.9.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）当a>0时，图象的开口向上；当a<0时，图象的开口向下，顶点坐标是(-b/2a,c-b^2/4a).10.抛物线y=-2(x-2)^2+2，开口向下，顶点坐标是(2,2)，对称轴是x=2.11.二次函数y=-3(x-1)^2+2的图象的顶点坐标是（1，2）.12.已知y=(x+1)^2-2，当x≥1时，函数值随x的增大而减小.13.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x+k交点的横坐标为2，则k=9，交点坐标为(2,13).14.用配方法将二次函数y=x^2+x-2化成y=a(x-(-1/2))^2-9/4的形式是y=(x+1/2)^2-9/4.15.如果二次函数y=x^2-6x+m的最小值是1，那么m的值是10.二、选择题：16.在抛物线y=2x^2-3x+1上的点是（D）（3，4）17.直线y=5x/2-2与抛物线y=x^2-x的交点个数是（C）2个18.关于抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（A、B、C）①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a<0时，情况相反。
2020年人教版九年级数学上册22.2《二次函数与一元二次方程》拓展练习 学生版
2020年人教版九年级数学上册22.2《二次函数与一元二次方程》同步拓展一、选择题1．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=42．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧3．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=55．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．6．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣7．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2C．当n＜0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＜x18．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞49．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A．②③ B．③④ C．①② D．①④10．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x ﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a＞0C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x2二、填空题13．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是．14．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为．17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．18．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是．三、解答题19．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20.已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）21．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．22．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．23．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？24．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．。
人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练(一)(含答案)
人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练（一）（含答案）一．选择题（共10小题）1．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝x2﹣x（x+2）B．y＝x2﹣C．x＝y2 D．y＝（x﹣1）（x+3）2．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④当m＜﹣2时，am2+bm＞0．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．14．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+36．抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）过点A（1，m），点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，则实数m的取值范围是（）A．m≥3B．m≤2C．2＜m＜3D．m≤37．如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限8．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上两点，若x1＜x2且x1+x2＝2﹣a．则（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1与y2大小不能确定10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）11．点P1（﹣2，y1），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．12．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是．13．抛物线y＝2x2﹣ax+b与x轴相交于不同两点A（x1，0），B（x2，0），若存在整数a，b使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，则ab＝．14．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是．15．已知二次函数y＝mx2+nx与y＝nx2+mx（其中m，n为常数），若这两个函数图象的顶点关于x轴对称，则m和n满足的关系为．三．解答题（共5小题）16．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣3．（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．17．如图，已知二次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求线段BC的长；（2）当0≤y≤3时，请直接写出x的范围；（3）点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP，当∠BCP＝90°时，求点P的坐标．18．某酒店试销售某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为7元，该店每天固定支出费用为200元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售300份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少30份，设该店每份套餐的售价为x元（x为正整数），每天的销售量为y份，每天的利润为w元．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）求出w与x的函数关系式；并求出利润w的最大值．19．已知二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的顶点坐标为（5，9）．（1）求a，c的值；（2）二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．20．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、y＝x2﹣x（x+2）＝﹣2x为一次函数；B、y＝x2﹣不是二次函数；C、x＝y2 不是函数；D、y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3为二次函数．故选：D．2．解：∵二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．3．解：∵抛物线经过原点，∴c＝0，所以①正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以②正确；即x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+0＝3a，所以③错误；当x＜﹣2或x＞0时，y＞0，∴m＜﹣2时，am2+bm＞0．所以④正确．故选：B．4．解：∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x的三点，∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2，∴a＞c＞b，故选：D．5．解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；故选：D．6．解：∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣，∵点A（1，m）到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，∴0＜|1+|≤，∴0＜≤，∴a≥1，把A（1，m）代入y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）得：a+1﹣2a+3＝m，∴4﹣a＝m，∴a＝4﹣m，∴4﹣m≥1，∴m≤3，故选：D．7．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，∴m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n经过第一、三、四象限．故选：B．8．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．9．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵x1＜x2且x1+x2＝2﹣a，∴＝1﹣a＜1，∴点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）的距离，∴y1＞y2，故选：A．10．解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＜0，∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的二次项系数a＝﹣1，∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．12．解：令y＝（a﹣1）x2+2x﹣1＝0，∵y＝（a﹣1）x2+2x﹣1是二次函数，∴a﹣1≠0，∴a≠1，∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴△＝4+4（a﹣1）＞0，∴a＞0，∴a的取值范围是a＞0且a≠1，故答案为：a＞0且a≠1．13．解：∵抛物线y＝2x2﹣ax+b，∴抛物线开口向上，∵1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，∴当x＝1时，y＞0；当x＝3时，y＞0；1＜对称轴x＜3；判别式△≥0．∴∴4＜a＜12，∵a是整数，则a＝5，6，7，8，9，10，11当a＝5时，无整数解；当a＝6时，无整数解；当a＝7时，b＝6；当a＝8时，b＝7；当a＝9时，无整数解；当a＝10时，b＝9；当a＝11时，无整数解，综上所述，整数a＝7，b＝6或a＝8，b＝7或a＝10，b＝9时，使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立．故答案为：42或56或90．14．解：将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y ＝（x+1﹣2）2+3，即y＝（x﹣1）2+3．故答案为：y＝（x﹣1）2+3．15．解：函数y＝mx2+nx＝m（x+）2﹣的顶点坐标为（，﹣），y＝nx2+mx＝n（x+）2﹣的顶点坐标为（，﹣），∵这两个函数图象的顶点关于x轴对称，∴，解得，m＝﹣n，故答案为：m＝﹣n．三．解答题（共5小题）16．解：（1）在y＝（x﹣1）2﹣3中，∵a＝＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴为x＝1；（2）∵二次函数开口向上，∴函数y有最小值，∵其顶点坐标为（1，﹣3），∴y的最小值为﹣3．17．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，当y＝0时，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，在Rt△BOC中，BC＝＝5，（2）由（1）可知y＝0时，x＝﹣1或4，当y＝3时，x＝0或3，观察图象可得当0≤y≤3时，x的取值范围是：﹣1≤x≤0或3≤x≤4．（3）过点P作PD⊥y轴，设点P坐标为（x，），则点D坐标为（0，），∴PD＝x，CD＝﹣3＝，∵∠BCP＝90°，∴∠PCD+∠BCO＝90°，∵∠PCD+∠CPD＝90°，∴∠BCO＝∠CPD，∵∠PDC＝∠BOC＝90°，∴△PDC∽△COB，∴，∴，∴x＝或x＝0（舍去），当x＝时，y＝，∴点P坐标为（，）．18．解：（1）∵每份售价超过10元且每天的销售量不为负数，∴y＝300﹣30（x﹣10）＝﹣30x+600，∵﹣30x+600≥0，∴x≤20．（2）当7≤x≤10时，w＝300（x﹣7）﹣200＝300x﹣2300；当10＜x≤20时，w＝（﹣30x+600）（x﹣7）﹣200＝﹣30x2+810x﹣4400．∴w＝，∵当7≤x≤10时，∵k＝300＞0，y随x增大而增大，∴当x＝10时，w最大值＝700元；∵当10＜x≤20时，∵a＝﹣30＜0，w有最大值，∴当时，∵x取整数，∴x应取13或14，w最大，∴x＝13时，w取最大值：元．∵700＜1060，∴每份套餐的售价应定为13元，此时，最大利润为1060元．19．解：（1）根题意，得，，解得；故a＝﹣1，c＝﹣16；（2）由（1）可知该二次函数的解析式为y＝﹣x2+10x﹣16，今x＝0，则y＝﹣16．∴点C的坐标为（0，﹣16），令y＝0，则﹣x2+10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，AB＝8﹣2＝6．∴S△ABC＝AB•OC＝×6×16＝48．20．解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），∴﹣＝1，＝2，解得m＝﹣2，n＝3；（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，∴﹣2≤x Q≤2，由图象可知，2≤y Q≤11即2≤b≤11．（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m，∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，∴n＝0，∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．。
人教版九年级数学上册22.3：实际问题与二次函数 拓展练习
22.3实际问题与二次函数拓展练习一、选择题1．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为A ．60元B ．70元C ．80元D ．90元2．某地网红秋千在推出后吸引了大量游客前来，其秋千高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，已知秋千在静止时的高度为0.6m ．根据图象，当推出秋千3s 后，秋千的高度为（ ）A ．10mB ．15mC ．16mD ．18m 3．已知函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是（ ）． A ．当1a =时，函数图象经过点(1,1)-B ．当2a =-时，函数图象与x 轴有两个交点C ．若0a <，函数图象顶点始终在x 轴的下方D ．若0a >，当1x ≥时，y 随x 的增大而减小4．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为A．60元B．70元C．80元D．90元5．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（）A．m B．C mD m6．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）7．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（）A．﹣1≤t≤0B．﹣1≤t12≤-C．12t-≤≤D．t≤﹣1或t≥08．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是2y x2x3=-++，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m ；②小球运动的时间为6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；④当t ＝1.5s 时，小球的高度h ＝30m ．其中正确的是（ ）A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②④ 10．小明研究二次函数2221y x mx m =-+-+（m 为常数）性质时有如下结论：①该二次函数图象的顶点始终在平行于x 轴的直线上；②该二次函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当12x -<<时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为2m ≥；④点()11,A x y 与点()22,B x y 在函数图象上，若12x x <，122x x m +>，则12y y >.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题11．如图，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为____.12．航天飞机从某个时间t 秒开始，其飞行高度为h ＝﹣10t 2+700t+21000（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 秒．13．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y=60t ﹣232t ．在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_____m ． 14．某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A 、B 两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B 商品的数量比A 商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A 商品正打九折销售，而B 商品的价格提高了20%，小明决定将A 、B 产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为_____元．15．已知经过原点的抛物线y =−2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A ，现将抛物线向右平移m(m >0)个单位长度，所得抛物线与x 轴交于C,D ，与原抛物线交于点P ，设ΔPCD 的面积为S ，则用m 表示S =__________三、解答题16．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系y ＝﹣0.1x 2+2.6x+43（0≤x≤30）．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？（2）某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？17．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg ，每日销售量(kg)y 与销售单价x （元/kg ）满足关系式：1005000y x =-+．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg ．当每日销售量不低于4000kg 时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W （元）．（1）请求出日获利W 与销售单价x 之间的函数关系式（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当40000W ≥元时，网络平台将向板栗公可收取a 元/kg(4)a <的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a 的值．18．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶E ，以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则此抛物线的表达式可设为20.9y ax bx =++.（1）求该抛物线的表达式；（2）求绳子甩到最高处时的最大高度；（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，求出t的取值范围.19．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点D．如图，若该抛物线经过原点O，且a＝－1 3 .(1)求点D的坐标及该抛物线的解析式；(2)连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图是某地区一条公路隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A 和A1、点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8 m，点B离路面AA1的距离为6 m，隧道宽AA1为16 m.(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．21．如图，抛物线()220y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点()0,4C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为()4,0．()1求该抛物线的解析式；()2抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK KN +最小，并求出点K 的坐标；()3点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；()4若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为()2,0．问：是否存在这样的直线l ，使得ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案1． C2． B3． D4． C5． A6． A7． A8． D9． C10． D11． 412． 3013． 2414． 312.15． s ={−12m 2+2(0<m <2)12m 2−2(m >2) 16． 解：（1）∵y ＝﹣0.1（x 2﹣26x+169）+16.9+43＝﹣0.1（x ﹣13）2+59.9 ∴对称轴是：直线x ＝13即当（0≤x≤13）提出概念至（13分）之间，学生的接受能力逐步增强；（2）当x ＝10时，y ＝﹣0.1×102+2.6×10+43＝59．17． （1）22100550027000(610)100560032000(1030)x x x w x x x ⎧-+-≤≤=⎨-+-<≤⎩；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）2a =18． (1) 20.10.60.9y x x =-++;(2) 最大高度为1.8米;(3) 当 1.4y >时，15t <<.19． （1）D 点的坐标是(3，1)．y ＝－13x 2＋43x ；（2）在抛物线上存在点P 1(52，54)，P 2(112，－114)，使得∠POB 与∠BCD 互余． 20． （1）y ＝－132x 2＋8(－8≤x≤8)；（2）该货车能安全通过这个隧道．理由略. 21． （1）2142y x x =-++；（2）点K 的坐标为8,017⎛⎫ ⎪⎝⎭；（1）略。
新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.4 二次函数y= ax2+bx+c的图象与性质(1)
优质文档新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.4 二次函数y= ax2＋bx ＋c 的图象与性质(1)———提优清单———提优点1：二次函数y = ax 2＋bx ＋c 的图象 提优点2：二次函数y = ax 2＋bx ＋c 的性质———典型例题———【例1】（2014•福建厦门市二模）抛物线y =ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … － 2 －1 0 1 2 … y…4664…从上表可知，下列说法中错误的是（ ） A ．抛物线与x 轴的一个交点为（3，0） B ．函数y =ax 2＋bx ＋c 的最大值为6 C ．抛物线的对称轴是直线x ＝12D ．在对称轴左侧，y 随x 增大而增大【方法总结】（1）二次函数y =ax 2＋bx ＋c总可以化成y =a（x －h ）2＋k 的形式，故抛物线y =ax 2＋bx ＋c 也可以看作由抛物线y =ax 2平移得到的．（2）可以用配方法把y =ax 2＋bx ＋c 化为顶点式．因此，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－ab2，顶点坐标为（－ab2，a b ac 442-）．（3）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象可看作y =ax 2向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|a b ac 442-|个单位得到的．【例2】（2014•安徽省）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x 的二次函数y 1=2x 2－4mx ＋2m 2＋1，和y 2=ax 2＋bx ＋5，其中y 1的图象经过点A （1，1），若y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求当0≤x ≤3时，y 2的最大值．【方法总结】本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，二次函数的性质（开口方向、增减性），利用分类讨论的思想，阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．变式：（2014•浙江绍兴）如果二次函数的二次项系数为l ，则此二次函数可表示为y =x 2＋px ＋q ，我们称[p ，q ]为此函数的特征数，如函数y =x 2＋2x ＋3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标． （2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？【例3】（2014•湖南邵阳）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2－（m ＋n ）x ＋mn （m ＞n ）与x 轴相交于A 、B 两点（点A 位于点B 的右侧），与y 轴相交于点C ． （1）若m =2，n =1，求A 、B 两点的坐标；（2）若A 、B 两点分别位于y 轴的两侧，C 点坐标是（0，－1），求∠ACB 的大小；（3）若m =2，△ABC 是等腰三角形，求n 的值．【方法总结】注意运用数形结合思想和分类讨论思想，结合因式分解、二次函数性质，利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识求解．———分层提优———复习巩固提优1．（☆2013•江苏徐州）二次函数y=ax2＋bx ＋c图象上部分点的坐标满足下表：x …－3 －2 －1 0 1 …y…－3 －2 －3 －6 －11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A．（－3，－3）B．（－2，－2）C．（－1，－3）D．（0，－6）2．（☆☆2013•内蒙古呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx＋m和y=－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A BC D3．（☆☆☆2014•广西南宁）如图，已知二次函数y=－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．－1＜a≤1C．a＞0 D．－1＜a＜2 4．（☆☆2012•江苏南京）已知下列函数①y=x2；②y=－x2；③y=（x－1）2＋2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2＋2x－3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．5．（☆2014•黑龙江牡丹江）抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A （－3，0），对称轴是直线x=－1，则a＋b＋c= ．6．（☆☆☆2014•吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC 的周长为a，则四边形AOBC的周长为（用含a 的式子表示）．7．（☆☆☆2014•浙江杭州）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2－（4kx＋1）x－k＋1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写道黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．8．（☆☆☆☆2014•河北省）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点，抛物线l的解析式为y=（－1）n x2＋bx＋c（n为整数）．（1）n为奇数且l经过点H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点．（2）n为偶数，且l经过点A（1，0）和B（2，0），通过计算说明点F（0，2）和H（0，1）是否在该抛物线上．（3）若l经过九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．综合运用提优9．（☆☆2014•普陀区一模）二次函数y=ax2－2x－3（a＜0）的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（☆☆2013•陕西省）已知两点A（－5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞－5 B．x0＞－1C．－5＜x0＜－1 D．－2＜x0＜311．（☆☆☆2013•新疆乌鲁木齐）已知m，n，k为非负实数，且m－k＋1=2k＋n=1，则代数式2k2－8k＋6的最小值为（）A．－2 B．0 C．2 D．2.5 12．（☆☆2014•河南省）已知抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A、B两点．若点A的坐标为（－2，0），抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为．13．（☆☆☆2014•武汉市江岸区二模）已知抛物线y=1 2 x2＋bx经过点A（4，0）．设点C（1，－3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD－CD|的值最大，则D 点的坐标为．14．（☆☆☆☆2014•浙江湖州）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=12x2＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．15．（☆☆☆☆2014•甘肃兰州）如图，抛物线y=－12x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（－1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．16．（☆☆☆☆浙江省竞赛题）已知二次函数y=ax2＋2（m ＋1）x－m＋1．（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．（2）如果直线y=x＋1经过二次函数y=x2＋2（m＋1）x －m＋1图象的顶点P，求此时m的值．拓广探究提优17．（☆☆☆☆☆2014•吉林省）如图①，直线l：y=mx＋n （m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=－2x＋2，则P表示的函数解析式为；若P：y=－x2－3x＋4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=－2x＋4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx－4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=10，直接写出l，P表示的函数解析式．———参考答案———例1．【答案】B【解析】根据表格数据知道：抛物线的开口方向向下，∵x=0，x=1的函数值相等，∴对称轴为x=12，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），在对称轴左侧，y随x增大而增大，最大值大于6．故错误的说法为B．例2．【解析】（1）答案不唯一，如y=2x2与y=x2，y=2（x－3）2＋4与y=3（x－3）2＋4等．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12－4×m×1＋2m2＋1=1．整理得m2－2m＋1=0，解得m1=m2=1．∴y1=2x2－4x＋3=2（x－1）2＋1，∴y1＋y2=2x2－4x＋3＋ax2＋bx＋5=（a＋2）x2＋（b－4）x＋8．∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1＋y2=（a＋2）（x－1）2＋1=（a＋2）x2－2（a＋2）x＋（a＋2）＋1．其中a＋2＞0，即a＞－2．∴42(2),8(2)1,b aa-=-+⎧⎨=++⎩解得5,10.ab=⎧⎨=-⎩∴函数y2的表达式为y2=5x2－10x＋5．∴y2=5x2－10x＋5=5（x－1）2，∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0－1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3－1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．变式：【解析】（1）由题意可得y=x2－2x＋1=（x－1）2，∴此函数图象的顶点坐标为（1，0）；（2）①由题意可得y=x2＋4x－1=（x＋2）2－5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到y=（x＋2－1）2－5＋1=（x＋1）2－4=x2＋2x－3，∴图象对应的函数的特征数为[2，－3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为y=x2＋2x＋3=（x＋1）2＋2．∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为y =x 2＋3x ＋4=（x ＋32）2＋74，∴原函数的图象向左平移12个单位，再向下平移14个单位得到． 例3．【解析】（1）∵y =x 2－（m ＋n ）x ＋mn =（x －m ）（x －n ），∴x =m 或x =n 时，y 都为0． ∵m ＞n ，且点A 位于点B 的右侧，∴A （m ，0），B （n ，0）． ∵m =2，n =1，∴A （2，0），B （1，0）．（2）∵抛物线y =x 2－（m ＋n ）x ＋mn （m ＞n ）过C （0，－1），∴－1=mn ，∴n =－1m． ∵B （n ，0），∴B （－1m，0）． ∵AO =m ，BO =1m，CO =1， ∴AC 22AO OC+21m +BC 22OB OC+21m +AB =AO ＋BO =m ＋1m， ∵（m ＋1m）2=21m +）2＋（21m m +）2，∴AB 2=AC 2＋BC 2，∴∠ACB =90°．（3）∵A （m ，0），B （n ，0），C （0，mn ），且m =2，∴A （2，0），B （n ，0），C （0，2n ）． ∴AO =2，BO =|n |，CO =|2n |， ∴AC 22AO OC +21n +，BC 22OB OC +5n |，AB =x A －x B =2－n ．①当AC =BC 时，21n +5n |，解得n =2（A 、B 两点重合，舍去）或n =－2；②当AC =AB 时，21n +=2－n ，解得n =0（B 、C 两点重合，舍去）或n =－43；③当BC =AB 时，5n |=2－n ，当n ＞0时，5=2－n ，解得n=512，当n ＜0时，5n =2－n ，解得n =－512． 综上所述，n =－2，－4351+51-时，△ABC 是等腰三角形．1．【答案】B【解析】∵x =－3和－1时的函数值都是－3相等，∴二次函数的对称轴为直线x =－2，∴顶点坐标为（－2，－2）． 2．【答案】D【解析】当二次函数开口向下时，－m ＜0，m ＞0，一次函数图象过一、二、三象限．当二次函数开口向上时，－m ＞0，m ＜0，对称轴x =22m =1m＜0，这时二次函数图象的对称轴在y 轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选D ． 3．【答案】B【解析】二次函数y =－x 2＋2x 的对称轴为直线x =1，∵－1＜x ＜a 时，y 随x 的增大而增大，∴a ≤1，∴－1＜a ≤1． 4．【答案】①③【解析】原式可化为y =（x ＋1）2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y =x 2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y =（x ＋1）2－4，的图象，故①正确；函数y =（x ＋1）2－4的图象开口向上，函数y =－x 2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y =（x －1）2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y =（x ＋1）2－4的图象，故③正确． 5．【答案】0【解析】抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点为（1，0），∴a ＋b ＋c =0． 6．【答案】a ＋4【解析】∵对称轴为直线x =－2，抛物线经过原点、x 轴负半轴交于点B ，∴OB =4．∵由抛物线的对称性知AB =AO ，∴四边形AOBC 的周长为AO ＋AC ＋BC ＋OB =△ABC 的周长＋OB =a ＋4．7．【解析】①真，将（1，0）代入，可得2k －（4k ＋1）－k ＋1=0，解得k =0．运用方程思想； ②假，反例：k =0时，只有两个交点．运用举反例的方法； ③假，如k =1，－2b a =54，当x ＞1时，先减后增；运用举反例的方法； ④真，当k =0时，函数无最大、最小值；k ≠0时，y 极值=244ac b a-=－22418k k+，∴当k ＞0时，有最小值，最小值为负；当k ＜0时，有最大值，最大值为正． 运用分类讨论思想．8．【解析】（1）n 为奇数，y =－x 2＋bx ＋c ．∵点A （1，0）和C （2，1）在抛物线上，∴21,221,c b c =⎧⎨-++=⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩由于y =－x 2＋2x ＋1=－（x －1）2＋2，顶点坐标为（1，2），∴格点E 是该抛物线的顶点． （2）n 为偶数，y =x 2＋bx ＋c ．∵点A （1，0）和B （2，0）在抛物线上，∴2210,220,b c b c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩解得3,2.b c =-⎧⎨=⎩∴y =x 2－3x ＋2． 当x =0时，y =2≠1．∴点F （0，2）在该抛物线上，而点H （0，1）不在这条抛物线上． （3）所有满足条件的抛物线共有8条．【提示】当n 为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得3条抛物线，如图1；当n 为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得3条抛物线，如图2．共8条．9．【答案】A【解析】∵二次函数y =ax 2－2x －3（a ＜0）的对称轴为直线x =－2b a =－22a =1a＜0，∴其顶点坐标在第二或第三象限， ∵当x =0时，y =－3，∴抛物线一定经过第四象限，∴此函数的图象一定不经过第一象限． 10．【答案】B【解析】∵点C （x 0，y 0）是抛物线的顶点，y 1＞y 2≥y 0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a ＞0；∴25a －5b ＋c＞9a ＋3b ＋c ，∴2b a ＜1，∴－2ba＞－1，∴x 0＞－1，∴x 0的取值范围是x 0＞－1． 11．【答案】D【解析】∵m ，n ，k 为非负实数，且m －k ＋1=2k ＋n =1，∴m ，n ，k 最小为0，当n =0时，k 最大为12，∴0≤k ≤12．∵2k 2－8k ＋6=2（k －2）2－2，∴a =2＞0，∴k ≤2时，代数式2k 2－8k ＋6的值随k 的增大而减小，∴k =12时，代数式2k 2－8k＋6的最小值为2×（12）2－8×12＋6=2.5． 12．【答案】8【解析】根据抛物线的对称性，点A 到对称轴x =2的距离是4，又点A 、点B 关于x =2对称，∴AB =8． 13．【答案】（2，－6）【解析】∵抛物线y =12x 2＋bx 经过点A （4，0），∴12×42＋4b =0，∴b =－2，∴抛物线的解析式为y =12x 2－2x =12（x －2）2－2，∴抛物线的对称轴为直线x =2．∵点C （1，－3），∴作点C 关于x =2的对称点C′（3，－3），直线AC′与x =2的交点即为D ，因为任意取一点D （AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC ．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD －CD |＜AC′．所以最大值就是在D 是AC′延长线上的点的时候取到|AD －C′D |=AC′．把A ，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式为y =3x －12，当x =2时，y =－6，∴D 点的坐标为（2，－6）． 14．【答案】m ＞－52【解析】∵正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且a ＜b ＜c ，∴a 最小是2，∵y 1＜y 2＜y 3，∴－122m ⨯＜2.5，解得m ＞－52． 15．【解析】（1）∵抛物线y =－12x 2＋mx ＋n 经过A （－1，0），C （0，2）， ∴10,22,m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为y =－12x 2＋32x ＋2；（2）∵y =－12x 2＋32x ＋2，∴y =－12（x －32）2＋258，∴抛物线的对称轴是直线x =32． ∴OD =32． ∵C （0，2），∴OC =2．在Rt △OCD 中，由勾股定理，得CD =52． ∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=CP 2=CP 3=CD ．作CH ⊥x 轴于H ，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（32，4），P2（32，52），P3（32，－52）；（3）当y=0时，0=－12x2＋32x＋2，∴x1=－1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx＋b，由图象，得2,04,bk b=⎧⎨=+⎩解得1,22.kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC的解析式为y=－12x＋2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，－12a＋2），F（a，－12a2＋32a＋2），∴EF=－12a2＋32a＋2－（－12a＋2）=－12a2＋2a（0≤a≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD＋S△CEF＋S△BEF=12BD•OC＋12EF•CM＋12EF•BN=12×52×2＋12a（－12a2＋2a）＋12（4－a）（－12a2＋2a）=－a2＋4a＋52=－（a－2）2＋132（0≤a≤4）．∴a=2时，四边形CDBF的面积S最大=132，∴E（2，1）．16．【解析】（1）该二次函数图象的顶点P 是在某条抛物线上．求该抛物线的函数表达式如下： 利用配方，得y =（x ＋m ＋1）2－m 2－3m ，顶点坐标是P （－m －1，－m 2－3m ）．方法一：分别取m =0，－1，1，得到三个顶点坐标是P 1（－1，0）、P 2（0，2）、P 3（－2，－4），过这三个顶点的二次函数的表达式是y =－x 2＋x ＋2．将顶点坐标P （－m －1，－m 2－3m ）代入y =－x 2＋x ＋2的左右两边，左边=－m 2－3m ， 右边=－（－m －1）2＋（－m －1）＋2=－m 2－3m ，∴左边=右边．即无论m 取何值，顶点P 都在抛物线y =－x 2＋x ＋2上． 即所求抛物线的函数表达式是y =－x 2＋x ＋2．方法二：令－m －1=x ，则m =－x －1，将其代入－m 2－3m ，得－（－x －1）2－3（－x －1）=－x 2＋x ＋2． 即所求抛物线的函数表达式是y =－x 2＋x ＋2上．（2）如果顶点P （－m －1，－m 2－3m ）在直线y =x ＋1上， 则－m 2－3m =－m －1＋1， 即m 2=－2m ，∴m =0或m =－2，∴当直线y =x ＋1经过二次函数y =x 2＋2（m ＋1）x －m ＋1图象的顶点P 时，m 的值是－2或0． 17．【解析】（1）若l ：y =－2x ＋2，则A （1，0），B （0，2）． ∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△COD ，∴D （－2，0）． 设P 表示的函数解析式为y =ax 2＋bx ＋c ，将点A 、B 、D 坐标代入，得0,2,420,a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩解得1,1,2.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴P 表示的函数解析式为y =－x 2－x ＋2；若P ：y =－x 2－3x ＋4=－（x ＋4）（x －1），则D （－4，0），A （1，0）．∴B （0，4）． 设l 表示的函数解析式为y =kx ＋b ，将点A 、B 坐标代入，得0,4,k b b +=⎧⎨=⎩解得4,4.k b =-⎧⎨=⎩ ∴l 表示的函数解析式为y =－4x ＋4．（2）直线l ：y =mx ＋n （m ＞0，n ＜0），令y =0，即mx ＋n =0，得x =－nm；令x =0，得y =n ． ∴A （－nm，0）、B （0，n ），∴D （－n ，0）． 设抛物线对称轴与x 轴的交点为N （x ，0）， ∵DN =AN ，∴－n m －x =x －（－n ），∴2x =－n －n m ， ∴P 的对称轴为x =－2mn nm+． （3）若l ：y =－2x ＋4，则A （2，0）、B （0，4），∴C （0，2）、D （－4，0）． 可求得直线CD 的解析式为y =12x ＋2．由（2）可知，P的对称轴为x=－1．∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，∴FQ∥CE，且FQ=CE．设直线FQ的解析式为y=12x＋b．∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．则|x F－（－1）|=|x F＋1|=1，解得x F=0或x F=－2．∵点F在直线l l：y=－2x＋4上，∴点F坐标为（0，4）或（－2，8）．若F（0，4），则直线FQ的解析式为y=12x＋4，当x=－1时，y=72，∴Q1（－1，72）；若F（－2，8），则直线FQ的解析式为y=12x＋9，当x=－1时，y=172，∴Q2（－1，172）．∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（－1，72）、Q2（－1，172）．（4）如答图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，∴OG=12AB，OH=12CD．由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点G为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，∴OG2OM2105，∴AB=2OG5∵l：y=mx－4m，∴A（4，0），B（0，－4m）．在Rt△AOB中，由勾股定理得OA2＋OB2=AB2，即：42＋（－4m）2=（52，解得m=－2或m=2．∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=－2．∴l表示的函数解析式为y=－2x＋8；∴B（0，8），D（－8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=－14x2－x＋8．16．【答案】【解析】17．【答案】【解析】18．【答案】【解析】19．【答案】【解析】。
人教版数学九年级上册第22章【二次函数】专项拓展训练(一)
【二次函数】专项拓展训练（一）一．选择题1．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣52．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＞0B．a+b+c＝0C．4a﹣2b+c＜0D．b2﹣4ac＜03．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣3C．顶点坐标为（﹣3，0）D．当x＜﹣3 时，y随x的增大而减小4．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（）A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣55．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（）A．1m B．2m C．m D．m7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c ＞0；③（a+c）2＞b2；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m ＜8时，总有n＜1，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣29．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC 于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（）A．3B．3C．D．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（）个．A．2B．3C．4D．5二．填空题11．若y＝（a+2）x|a|+1是以x为自变量的二次函数，则a＝．12．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为．13．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是．14．若﹣3≤a＜1，则满足a（a+b）＝b（a+1）﹣3a的整数b的值有个．15．点P1（﹣2，y1），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．三．解答题16．如图，平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）点D为x轴下方二次函数图象上一点，连接AC，BC，AD，BD，若△ABD的面积是△ABC 面积的一半，求D点坐标．17．某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．（1）试求出y与x的函数关系式；（2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？18．定义：抛物线上的点到直线距离的最小值叫做抛物线到该条直线的距离，取到距离最小的抛物线上的点叫做距离点．（1）下列说法正确的是（填序号）①若抛物线和直线有交点，则抛物线到该条直线的距离为0；②若抛物线和直线没有交点，则抛物线顶点就是距离点；③若抛物线到直线的距离为a（a＞0），那么距离点只有一个；④若抛物线到直线的距离为a（a＞0），把该条直线向上平移a个单位后所得的直线与抛物线一定有交点．（2）已知抛物线的解析式为y＝+bx﹣2b﹣1，直线l1的解析式为y＝kx﹣2k+1（k≠0）．①求证：无论k，b为何值，抛物线到直线l1的距离都是0；②当距离点只有一个时，求该距离点的坐标．（3）在（2）的条件下，直线l2的解析式为y＝mx（m≠0），求抛物线到直线l2的距离的最大值，并求出此时抛物线的解析式．19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？20．已知抛物线y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0）经过原点，其顶点为P，与x轴的另一交点为A．（1）P点坐标为，A点坐标为；（用含m的代数式表示）（2）求出a，m之间的关系式；（3）当m＞0时，若抛物线y＝a（x﹣m）2+2m向下平移m个单位长度后经过点（1，1），求此抛物线的表达式；（4）若抛物线y＝a（x﹣m）2+2m向下平移|m|个单位长度后与x轴所截的线段长，与平移前相比有什么变化？请直接写出结果．参考答案一．选择题1．解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．故选：D．2．解：由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故选项A正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项B错误；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故选项C错误；该函数图象与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项D错误；故选：A．3．解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故A、B、C正确，D不正确，故选：D．4．解：y＝x2+4x﹣1＝y＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，故选：B．5．解：y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），对称轴是直线x＝﹣＝1，即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），∵2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故选：A．6．解：如右图建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2，由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，则﹣2＝a×22，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2，当y＝﹣0.5时，﹣x2＝﹣0.5，解得x＝±1，此时水面的宽度为2m，故选：B．7．解：①由图象可知：a＜0，c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故此选项错误；②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；当x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故此选项错误；④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．故②④⑤正确．故选：B．8．解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），∴抛物线的顶点为（5，9），∵当7＜m＜8时，总有n＜1，∴a不可能大于0，则a＜0，∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，∴m＝3时，n≤1，m＝7时，n≥1，∴，∴4a+9＝1，∴a＝﹣2，故选：D．9．解：如图，作HM⊥AB于M，∵AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝2，∵∠EDF＝90°，∴∠ADG+∠MDH＝90°，∵∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠MDH，∵DG＝DH，∠A＝∠DMH＝90°，∴△ADG≌△MHD（AAS），∴AD＝HM，设AD＝x，则BD＝2﹣x，＝＝BD•AD＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣）2+，∴S△BDH∴△BDH面积的最大值是，故选：C．10．解：二次函数表达式为：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc＜0，故结论正确；②函数在y轴右侧的交点为x＝1，x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论正确；③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故结论错误；④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，故有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，故结论正确；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，由根和系数的关系得：其两个根的和为﹣4，同理当ax2+bx+c+1＝0时，其两个根的和也为﹣4，故结论正确．故选：C．二．填空题11．解：由题意得：|a|＝2，且a+2≠0，解得：a＝2，故答案为：2．12．解：∵抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，∴b2﹣4ac＝0，即m2﹣36＝0，解得m＝±6．故答案为：±6．13．解：将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x+1﹣2）2+3，即y＝（x﹣1）2+3．故答案为：y＝（x﹣1）2+3．14．解：∵a（a+b）＝b（a+1）﹣3a，∴a2+ab＝ab+b﹣3a，∴b＝a2+3a（﹣3≤a＜1）．将二次函数化为顶点式得：b＝（a+）2﹣（﹣3≤a＜1），则二次函数开口朝上，顶点为（﹣，﹣），当a＜﹣时，b随a的增大而减小，当a＞﹣时，b随a的增大而增大．因此当a＝﹣时，b取得最小值﹣；当a＝1时，b取得最大值4；∴﹣≤b＜4，∴满足a（a+b）＝b（a+1）﹣3a的整数b的值有﹣2，﹣1，0，1，2，3共6个．故答案为：6．15．解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的二次项系数a＝﹣1，∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．三．解答题16．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），把（0，6）代入得6＝a×（0+2）（0﹣4），解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+6；（2）设D（t，﹣t2+t+6），∵△ABD的面积是△ABC面积的一半，∴×（2+4）×[﹣（﹣t2+t+6）]＝××（2+4）×6整理得t2﹣2t﹣12＝0，解得t1＝1+，t2＝1﹣，∴D点坐标为（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．17．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，，得，即y与x的函数关系式是y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）；（2）w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣20x+1000）＝﹣20x2+1400x﹣20000＝﹣20（x﹣35）2+4500，故当x＝35时，w取得最大值，此时w＝4500，答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．18．解：（1）根据定义：抛物线上的点到直线距离的最小值叫做抛物线到该条直线的距离，取到距离最小的抛物线上的点叫做距离点判定下列说法正确的是①③，故答案为①③；（2）①由抛物线的解析式为y＝+bx﹣2b﹣1得y＝+（x﹣2）b﹣1，∴无论b取何值，抛物线始终过点（2，1），由直线l1的解析式为y＝kx﹣2k+1（k≠0）得y＝k（x﹣2）+1，∴无论k为何值，直线始终经过点（2，1），∴抛物线和直线的一个交点一定是（2，1），∴无论k，b为何值，抛物线到直线l1的距离都是0；②当距离点只有一个时，距离点的坐标为（2，1）；（3）如图①由（2）得，抛物线过定点P（2，1），假设距离点为A，过A点作AB⊥l2，过P点作PD⊥l2，连接PO，∴AB≤PD≤PO，则当AB＝PO时，抛物线到直线l2的距离最大，最大值为＝，如图②，由题意可知PO⊥l2，∵直线l2的解析式为y＝mx（m≠0），∴直线OP的解析式为y＝﹣x，∵P（2，1），∴1＝﹣，∴m＝﹣2，∴直线l2为y＝﹣2x，过P点作直线l3∥l2，∵距离点只有一个，∴直线l3与抛物线有且只有一个交点P，设直线l3的解析式为y＝﹣2x+n，把P（2，1）代入得，1＝﹣2×2+n，解得n＝5，∴直线l3为y＝﹣2x+5，解+bx﹣2b﹣1＝﹣2x+5，整理得+（b+2）x﹣2b﹣6＝0，则△＝（b+2）2﹣4×（﹣2b﹣6）＝0，解得b＝﹣4，∴此时抛物线解析式为y＝﹣4x+7．19．解：（1）如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：64a+8＝6，解得：a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8．（2）根据题意，把x＝±4代入解析式y＝﹣x2+8，得y＝7.5m．∵7.5m＞7m，∴货运卡车能通过．20．解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0），∴P（m，2m），∴对称轴为直线x＝m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0）经过原点，∴A（2m，0）．故答案为：（m，2m），（2m，0）．（2）将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣m）2+2m，得am2+2m＝0，m≠0，∴am+2＝0．∴am＝﹣2，∴a＝﹣．（3）当m＞0时，抛物线y＝a（x﹣m）2+2m向下平移m个单位长度后，得y＝a（x﹣m）2+m．∵抛物线经过点（1，1），∴a（1﹣m）2+m＝1，∴am2﹣2am+a+m＝1．又∵am＝﹣2，∴a＝m﹣3．把a＝m﹣3代入am＝﹣2，解得a1＝﹣1，m1＝2或a2＝﹣2，m2＝1．∴此抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+4或y＝﹣2（x﹣1）2+2．（4）①∵a＝﹣∴当m＞0时，a＜0，∵抛物线y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0）经过原点∴y＝ax2﹣2amx向下平移m个单位后为y＝ax2﹣2amx﹣m平移前d＝2m平移后：令ax2﹣2amx﹣m＝0得：a（x﹣m）2＝am2+m化简得：（x﹣m）2＝∴x1＝m﹣，x2＝m+m∴d'＝m∴＝；②当m＜0时，a＞0，a＝﹣原抛物线为y＝ax2﹣2amx，向下平移|m|个单位后为y＝ax2﹣2amx+m 平移前d＝﹣2m平移后：令ax2﹣2amx+m＝0得：a（x﹣m）2＝am2+m化简得：（x﹣m）2＝m2解得：x1＝m﹣m，x2＝m+m∴d'＝﹣m∴＝综上所述，与x轴所截的线段长，与平移前相比是原来的或倍．。
人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比 例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下， ∴a＜0，
∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴在 y 轴左侧， ∴a，b 同号， ∴b＜0， ∴一次函数 y=ax+c，图象经过第二、四象限，
A．①④
B．②④
C．②③
D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①抛物线与 x 轴由两个交点，则 b2 4ac 0 ，即 b2 4ac ，所以①正确；②由二次函
数图象可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以 abc 0 ，故②错误；
③对称轴：直线 x b 1， b 2a ，所以 2a b c 4a c ， 2a
有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．2 个 【答案】B 【解析】
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线 x=1，∴ b 2a
=1，∴b=﹣2a＞0，∵与 y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误； 3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确； ∵与 x 轴交于点 A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣
∴函数 y＝ 的图象在第二、第四象限，
故选 B． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围是本题的关键．
二次函数提高拓展题(含答案)
二次函数提高拓展题一、选择题1. 如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m ，0)和点B ，且m>4，那么AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m2.已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值围是( ) A ．k ＜4 B ．k ≤4 C．k ＜4且k ≠3 D ．k ≤4且k ≠33.若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程（x-a ）（x-b ）=1（a ＜b ）的两个根，则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为（ ）A 、x 1＜x 2＜a ＜bB 、x 1＜a ＜x 2＜bC 、x 1＜a ＜b ＜x 2D 、a ＜x 1＜b ＜x 2 4.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A ．2425y x =B ．225y x =C ．2225y x =D ．245y x =5.如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B （4,2），一次函数1y kx =-的图象平分它的面积，关于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为（ ）. A ．0B ．21-C ．－1D ．0或21-或－1二、填空题6.如图所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向ABA BC D第5图 第6图作垂线PQ，Q为垂足．延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0≤x≤1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是______________________．7.如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象写出y 2≥y1时，x的取值围______________．8.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是---------------------。
人教版数学九年级上册第22章【二次函数】拓展练习
九年级上册第22章【二次函数】拓展练习一．选择题1．对于抛物线y＝ax2+2ax，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知抛物线y＝ax2+1过点（﹣2，0），则方程a（x﹣2）2+1＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝﹣4，x2＝0D．x1＝，x2＝3．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.100.110.120.130.14y﹣5.6﹣3.1﹣1.50.9 1.8则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13D．0.13＜x＜0.144．二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的对应值如下表：x…﹣1012…y…﹣1m1n…下列关于该函数性质的判断①该二次函数有最大值；②当x＞0时，函数y随x的增大而减小；③不等式y＜﹣1的解集是﹣1＜x＜2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣1＜x＜和＜x＜2之间．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．下列关于二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．只有一个交点，且它位于y轴的右侧B．只有一个交点，且它位于y轴的左侧C．有两个交点，且它们位于y轴的两侧D．有两个交点，且它们位于y轴的右侧7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点：则下列判断中正确的是（）①图象的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线②当x＞1时，y随x的增大而减小③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3④当﹣1＜x＜3时，y＜0A．①②B．①②④C．①②③D．④8．如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）A．或B．或C．或D．或9．对于每个自然数n，抛物线与x轴交于A n、B n两点，以|A n B n|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|的值为（）A．B．C．D．10．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上，且|x1﹣3|＜|x2﹣3|，则下列说法错误的是（）A．直线x＝3是该二次函数图象的对称轴B．当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4C．该二次函数图象与坐标轴一定有一个或三个交点D．当a＞0时，y1＜y2二．填空题11．抛物线y＝（m﹣1）x2+4x+1与x轴有公共点，则实数m的取值范围是．12．若二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为．13．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（4，0）与（2，0），则抛物线的对称轴为直线x＝．14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．15．如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC，BC．点P是该抛物线在第一象限内上的一点．过点P作y轴的平行线交BC于点E，连结AP交BC于点F，则的最大值为．三．解答题16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1与x轴交于点A，B．（1）若AB＝2，求该抛物线的顶点坐标；（2）过点（0，1）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．当MN≥2时，结合函数图象，求m的取值范围．17．已知抛物线y＝x2﹣4x+3（1）求这条抛物线与x轴的交点的坐标；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围；（3）当﹣1＜x＜3时，直接写出y的取值范围．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）二次函数图象的开口方向，顶点坐标是，m的值为；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1y2（填＜、＞、＝）；（3）当y＜0时，x的取值范围是；（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），对称轴是直线x＝1，且关于x的方程ax2+bx+c＝x 有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）设（m，y1），（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3交于A、B两点，点A在y轴上，抛物线交x轴于C、D两点，已知C（﹣3，0）（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值．参考答案一．选择题1．解：当x＝1时，y＝a+2a＝3a＞0，函数的对称轴为：x＝﹣1，顶点纵坐标为：0﹣＝﹣a＜0，故顶点的横坐标和纵坐标都为负数，故选：C．2．解：抛物线y＝ax2+1的对称轴为：x＝0，抛物线与x轴的一个交点为：（﹣2，0），则另外一个交点为：（2，0），抛物线y＝ax2+1向右平移2个单位得到：y＝a（x﹣2）2+1，故a（x﹣2）2+1＝0的根是：x＝0或4，故选：A．3．解：由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为0.12＜x＜0.13．故选：C．4．解：由表格可知，x＝﹣与x＝时y的值相同，∴函数的对称轴为x＝，由表格可知顶点为（，），∴y＝a（x﹣）2+，将点（1，1）代入解析式可得，a＝﹣1，∴y＝﹣x2+x+1；①∵a＜0，∴函数有最大值，故①正确；②当x＞时，y随x值的增大而减小，故②错误；③y＜﹣1即﹣x2+x+1＜﹣1，∴x＞2或x＜﹣1，故③错误；④由表格可知，ax2+bx+c＝0的一个根在﹣1＜x＜，由函数的对称性可知另一个在＜x＜2之间．故④正确；故选：B．5．解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，此时的A点坐标为（﹣1，0），当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），此时A点的坐标最小为（﹣3，0），故点A的横坐标的最小值为﹣3，故选：A．6．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1（a＞1），∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，当y＝0时，△＝（﹣2a）2﹣4a×1＝4a2﹣4a＝（2a﹣1）2﹣1＞0，即该函数与x轴有两个交点，当x＝0时，y＝1＞0，∴该函数与x轴两个交点，且它们位于y轴的右侧，故选项D正确，选项A、B、C错误；故选：D．7．解：二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），抛物线的对称轴直线为：x＝＝1，故①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），∴一元二次方程的两个根是﹣1，3，故③正确；∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴的上方，∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，故④错误．综上，正确的选项有①②③．故选：C．8．解：∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x+1）2﹣4a，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B（1，0），点D（﹣1，﹣4a），∴D′（3，4a），C（5，0），∵△CDD′是直角三角形，∴当∠DD′C＝90°时，4a＝×（5﹣1）＝2，得a＝，当∠D′CD＝90°时，CB＝DD′，∴5﹣1＝，解得，a1＝，a2＝﹣（舍去），由上可得，a的值是或，故选：A．9．解：当n＝1时，y＝x2﹣x+，设y＝x2﹣x+＝0的两根式a，b，则a+b＝，ab＝，A1B1＝＝＝＝1﹣，当n＝2时，y＝x2﹣x+，同法可求出：A2B2＝＝﹣，当n＝3 时，y＝x2﹣x+，同法可求出：A3B3＝＝﹣，…当n＝2011 时，y＝x2﹣x+×，同法可求出：A2011B2011＝×＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|的值为1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，故选：D．10．解：∵二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4＝a（x﹣3）2﹣4，∴直线x＝3是该二次两数图象的对称轴，当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4，故选项A、B正确；∵|x1﹣3|＜|x2﹣3|，点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上，∴当a＞0时，y1＜y2，故选项D正确；当x＝0，y＝0时，得a＝，即a＝时，该函数图象与坐标轴有两个交点，故选项C错误；故选：C．二．填空题11．解：由题意得：△＝42﹣4（m﹣1）＝16﹣4m+4＝20﹣4m≥0且m≠1，解得：m≤5，故答案为：m≤5且m≠1．12．解：当x＝0时，y＝x2﹣（m﹣1）x＝0，即二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（0，0），而二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象也经过点（3，0），故二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x与x轴的交点为（0，0）和（3，0），故关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为0或3，故答案为0或3．13．解：函数的对称轴为：x＝（4+2）＝3，故答案为：3．14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．15．解：∵抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，∴A（﹣1，0），B（9，0），令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴BC＝＝3设直线BC的解析式为y＝kx+b．∵将B、C的坐标代入得：，解得k＝﹣，b＝3，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设点P的横坐标为m，则纵坐标为﹣（m+1）（m﹣9），点E（m，﹣m+3），∴PE＝﹣（m+1）（m﹣9）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．作PN⊥BC，垂足为N．∵PE∥y轴，PN⊥BC，∴∠PNE＝∠COB＝90°，∠PEN＝∠BCO．∴△PNE∽△BOC．∴＝＝＝．∴PN＝PE＝（﹣m2+3m）．∵AB2＝（9+1）2＝100，AC2＝12+32＝10，BC2＝90，∴AC2+BC2＝AB2．∴∠BCA＝90°，又∵∠PFN＝∠CFA，∴△PFN∽△AFC．∴＝＝＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝﹣＝时，的最大值为．故答案为．三．解答题16．解：（1）抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1的对称轴为直线x＝﹣＝1．∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝2，∴抛物线与x轴交于点A（0，0）、B（2，0），将（0，0）代入y＝mx2﹣2mx+m﹣1中，得m﹣1＝0，即m＝1，∴该抛物线解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）；（2）抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1与x轴有两个交点，∴△＞0即（﹣2m）2﹣4m（m﹣1）＞0，解得：m＞0，∴该抛物线开口向上，当MN≥2时，则有m﹣1≤1，解得m≤2，所以，可得0＜m≤2．17．解：（1）y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x＝1或3，故抛物线与x轴的交点的坐标为：（1，0）或（3，0）；（2）y＞0时，x＞3或x＜1；（3）当x＝﹣1时，y＝8，函数顶点坐标为：（2，﹣1），故当﹣1＜x＜3时，y的取值范围为：﹣1≤y＜8．18．解：（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），根据函数的对称性m＝5；故答案为：向上；（1，﹣4）；5；（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；故答案为：＞；（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3；（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝﹣2或4，故答案为：x＝﹣2或4．19．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a+2b+c①，函数的对称轴为x＝1＝﹣，即b＝﹣2a②，关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立①②③并解得：，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；（2）（m，y1），（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则y2﹣y1＝﹣（m+2）2+（m+2）+m2﹣m＝﹣2m，故当m≥0时，y2﹣y1≤0；当m＜0时，y2﹣y1＞0．20．解：（Ⅰ）当x＝0时，y＝x+3＝3，则A（0，3），把A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x+3；（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∵C点和D点关于直线x＝﹣对称，∴MC＝MD，∵|MB﹣MC|≤BC（当B、C、M共线时，取等号），∴|MB﹣MC|的最大值为BC的长，解方程组，解得，则B（﹣4，1），∴BC＝＝，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把B（﹣4，1），C（﹣3，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，当x＝﹣时，y＝﹣x﹣3＝﹣，则此时M点的坐标为（﹣，﹣），∴点M的坐标为（﹣，﹣）时，|MB﹣MD|的值最大，最大值为．。
九年级数学二次函数同步练习
1 二次函数1. 下列五个函数关系式：①256y ax x =-+，②y ＝－x 2＋1，③y ＝32＋2x ，④2325y x x =--，⑤2256y x x =-+.其中是二次函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2. 下列结论正确的是（ ）A ．关于x 的二次函数y ＝a (x ＋2)2中，自变量的取值范围是x ≠－2 B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ．在函数y ＝－x 22中，自变量的取值范围是x ≠0D ．二次函数自变量的取值范围是非零实数3. 如图，直角三角形AOB 中，AB ⊥OB ，且AB =OB =3，设直线x =t 截此三角形所得的阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为（ ）A ．S=tB ．212S t =C ．S=t 2D ．2112S t =-4. 当m =_________时，2(2)mmy m x +=+是关于x 的二次函数．5. 国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为 ．2 二次函数y =ax ²的图象1. 关于函数y ＝2x 2的图象的描述：（1）图象有最低点，（2）图象为轴对称图形，（3）图象与y 轴的交点为原点，（4）图象的开口向上，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2.（2013丽水）若二次函数y=ax 2的图象过点P (－2, 4)，则该图象必经过点（ ） A ．(2, 4) B ．(－2, －4) C ．(2, －4) D ．(4, －2)3. 在抛物线212y x =，y ＝－3x 2，y ＝x 2中，开口最大的是（ ）A ．212y x =B ．y ＝－3x 2C ．y ＝x 2D ．无法确定4. （1）若抛物线y ＝ax 2 与y =－2x 2的形状相同，开口方向相同，则a = _____ .（2）把抛物线223y x =绕原点旋转180°后的抛物线是____.5．跳伞运动员在打开降落伞之前,下落的路程s （米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为s =at 2. （1）根据表中的数据，写出s 关于t 的函数解析式；（2）完成上面自变量t 与函数s 的对应值表；（3）如果跳伞运动员从5100米的高空跳伞，为确保安全，必须在离地面600米之前打开降落伞.问运动员在空中不打开降落伞的时间至多有几秒？3 二次函数y =a (x －h )²与y =a (x －h )²+k 的图象(1)1．把抛物线2=3y x 向右平移1个单位长度后，所得的函数解析式为（ ） A ．2=31y x - B ．2=3(1)y x - C ．2=3+1y xD ．2=3(+1)y x2. 已知二次函数y =3(x +3)2，若函数值y 恒大于0，则x 的取值范围是（ ） A ．x 为全体实数 B ．x ＞－3 C ．x ＜－3D ．x ≠－33. 将抛物线y ＝－3(x ＋1)2向右平移4个单位后，所得抛物线是____________, 顶点坐标是 ．4. 把抛物线y =x 2先向右平移4个单位，再向下平移2个单位所得的抛物线的解析式是____________ .5. 已知二次函数y =a (x －h )2(a ≠0)的图象的顶点坐标是（－5, 0），且经过点(－3, 1). （1）求此函数的解析式；（2）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？4 二次函数y =a (x －h )²与y =a (x －h )²+k 的图象(2)1．（2012青海）把抛物线2=3y x 向右平移1个单位长度后，所得的函数解析式为（ ） A ．2=31y x - B ．2=3(1)y x - C ．2=3+1y xD ．2=3(+1)y x2. 已知二次函数y =3(x +3)2，若函数值y 恒大于0，则x 的取值范围是（ ） A ．x 为全体实数 B ．x ＞－3 C ．x ＜－3D ．x ≠－33. 将抛物线y ＝－3(x ＋1)2向右平移4个单位后，所得抛物线是____________, 顶点坐标是 ．4. 把抛物线y =x 2先向右平移4个单位，再向下平移2个单位所得的抛物线的解析式是____________ .5. 已知二次函数y =a (x －h )2(a ≠0)的图象的顶点坐标是（－5, 0），且经过点(－3, 1). （1）求此函数的解析式；（2）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？t （秒） 0 12 3 4 … s （米）45…5 二次函数y=ax²+bx+c的图象1．要由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2(x－1)2＋3，则抛物线y＝2x2必须（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位2．关于二次函数y＝2－(x＋1)2的图象，下列判断:（1）开口向上，（2）有最小值为2，（3）有最大值为2, （4）对称轴是x = 1,（5）对称轴是x = －1, 其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3. 设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y24. 已知二次函数y＝2（x－3）2＋1．其图象的对称轴是________；顶点坐标是________；当x= _____时，有最_____值为_____.5. 将y=x2－2x－3用配方法化为y=a(x－h)2+k的形式，并指出图象的对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标．6 用待定系数法求二次函数的解析式1. 已知抛物线y＝x2＋kx＋k＋3，若抛物线的顶点在y轴上，则抛物线的解析式是（）A．y＝x2＋3 B．y=x2+3x+2C．y=x2－2x+3D．y=x2+3x2. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2－2x+3 B．y=x2－2x－3C．y=x2+2x－3 D．y=x2+2x+33. 若y=ax2+bx+c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（）x －1 0 1ax2 1ax2+bx+c8 3A．y=x2－4x+3 B．y=x2－3x+4C．y=x2－3x+3 D．y=x2－4x+84. 已知某二次函数，当x=3时，函数有最小值－2，且函数图象与y 轴交于502⎛⎫⎪⎝⎭，，该二次函数的解析式是___________.5. 如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式．7 用函数观点看一元二次方程1. 已知抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的交点为（m ，0），则代数式m 2－m ＋2013的值为（ ） A ．2011 B ．2014 C ．2013 D ．20122. 根据下列表格的对应值，判断方程ax 2+bx +c =0(a ≠0，a 、b 、c 为常数)的一个解的范围是（ ）x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2+bx +c－0.06－0.020.030.09A ．3<x <3.23B ．3.23<x <3.24C ．3.24<x <3.25D ．3.25<x <3.26 3. 抛物线y =2（x －3）（x +2）与x 轴的交点坐标为 .4. 如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 经过点（0，－3），请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你确定的b 的值是 ．5. 已知二次函数y ＝2x 2－mx －m 2，若该二次函数图象与x 轴有两个公共点A ，B ，且A 点坐标为(1，0)，求B 点坐标．8 实际问题与二次函数二次函数与最大利润问题1. 出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6－x）个，则当x= 时，一天出售该种文具盒的总利润最大．2. 某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元/件）的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？3. 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．（1）已知销售单价提高4元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个；销售这种篮球每月的总利润是元；（2）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个（用含x的代数式表示）；（3）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？9 实际问题与二次函数专题一阅读理解型问题1．如图，抛物线y=―x2+bx+c与x轴交于Ａ、Ｂ两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点Ｆ在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）求△ABD的面积；（3）将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°，点Ａ对应点为点Ｇ，问点Ｇ是否在该抛物线上？请说明理由．专题二操作型问题2．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？专题三图表信息型题3．张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？4．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？【知识要点】1．利润最大问题.2．几何图形中的最值问题.3．抛物线型问题.【温馨提示】1．实际问题中自变量的取值范围要看清，不要认为自变量取全体实数.2．由几何图形中的线段长度转化为坐标系中点的坐标时，不要忽视点所在的象限.【方法技巧】1．最大利润问题一般先运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件商品利润×销售数量”建立利润与价格之间的二次函数解析式，应用配方法或公式法求出最值.2．几何图形问题常见的有面积的最值、用料的最佳方案、动态几何中的最值等.解题时一般结合面积公式等知识，把要讨论的量表示成另一个量的二次函数的形式，结合二次函数的性质进行分析.3．抛物线型问题解决的关键是进行二次函数建模，依据题意有效的将线段的长度转换为点的坐标.将实际问题中的线段长度转化为两点之间的距离.。
人教版数学九年级上册第22章二次函数拓展训练
九年级上册第22章拓展训练一．选择题（共10小题）1．下列函数是二次函数的是（）A ．B ．C．y＝x+1D．y＝2（x2+2）﹣2x22．对于二次函数y＝﹣2x2+3的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣3C．顶点坐标为（0，3）D．x＞0时，y随x的增大而减小3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（）A．b＜0B．c＜0C．a﹣b+c＞0D．4a+2b+c＞0第1页（共1页）4．若点（1，y1），（2，y2），（3，y3）都在二次函数y＝﹣x2的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2 5．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2﹣2x+5向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的为（）A．y＝（x﹣5）2+4B．y＝（x+3）2+8C．y＝（x+3）2+1D．y＝（x﹣5）2+1 6．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0≤x≤3时，y的取值范围是（）A．﹣3≤y≤0B．﹣4＜y≤0C．﹣3＜y＜0D．﹣4≤y≤0 7．无论m取任何实数，抛物线y＝ax2+2max+am2+m（a≠0）的顶点都（）A．在y＝x直线上B．在y＝﹣x直线上C．在x轴上D．在y轴上8．二次函数y＝2x2的顶点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，0）9．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＝y3C．y1＝y3＞y2D．y1＝y2＞y3 10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（）A ．B ．第1页（共1页）C ．D ．二．填空题（共5小题）11．点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+4x﹣1的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）．12．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是．13．若方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）有一个根为x＝﹣1，那么抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴正半轴的交点坐标为．14．将抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，所得到的抛物线为．15．已知二次函数y＝mx2+nx与y＝nx2+mx（其中m，n为常数），若这两个函数图象的顶点关于x轴对称，则m和n满足的关系为．三．解答题（共5小题）16．已知二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3．（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．第1页（共1页）17．如图，抛物线y ＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N ．（1）求抛物线的解析式；（2）当MN最大时，求运动的时间；（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？18．某名贵树木种植公司计划从甲，乙两个品种中选取一个种植并销售，市场预测每年产销x棵，已知两个品种的有关信息如表：品种每棵售价（万元）每棵成本（万元）每年其他费用（万元）预测每年最大销量（棵）甲12a20160乙201260﹣2x+0.05x280其中a为常数，且7≤a≤10，销售甲，乙两个品种的年利润分别为y1万元，y2万元．第1页（共1页）（1）直接写出y1与x的函数关系式为．y2与x的函数关系式为．（2）分别求出销售这两个品种的最大年利润．（3）为了获得最大年利润，该公司应该选择哪个品种？请说明理由．19．已知二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的顶点坐标为（5，9）．（1）求a，c的值；（2）二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．20．已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好有≥≥，求m，n的值．第1页（共1页）参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意；B、是二次函数，故本选项符合题意；C、是一次函数，故本选项不符合题意；D、化简得y＝4，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B．2．解：∵二次函数y＝﹣2x2+3，∴该函数的图象开口向下，故选项A正确；对称轴是直线x＝0，故选项B错误；顶点坐标为（0，3），故选项C正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D正确；故选：B．3．解：A、抛物线开口方向向下，则a＜0；对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0，故本选项不符合题意．B、抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故本选项不符合题意．C、当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，故本选项不符合题意．D、根据抛物线的对称性质得到：当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项符合题意．故选：D．第1页（共1页）4．解：由二次函数y＝﹣x2可知，图象的开口向下，对称轴是y轴（直线x＝0），∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵1＜2＜3，∴y1＞y2＞y3，故选：A．5．解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴把抛物线y＝x2﹣2x+5，向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1﹣4）2+4﹣3，即y＝（x﹣5）2+1．故选：D．6．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4中a＝1＞0，∴有最小值﹣4，当x＝3时y有最大值＝（3﹣1）2﹣4＝0，∴当0≤x≤3时，y的取值范围﹣4≤y≤0，故选：D．7．解：∵y＝ax2+2max+am2+m＝a（x+m）2+m，∴顶点坐标是（﹣m，m），∴顶点在直线y＝﹣x上．故选：B．8．解：∵y＝2x2，∴顶点坐标为（0，0），第1页（共1页）故选：D．9．解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1），∵2＜4，∴y2＞y1＝y3，故选：B．10．解：由一次函数y＝ax﹣a＝a（x﹣1）可知，直线经过点（1，0），故A可能是正确的，故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：由二次函数y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3可知，其图象开口向下，且对称轴为x ＝2，∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，∴y1＞y2．故答案为：＞．12．解：令y＝（a﹣1）x2+2x﹣1＝0，∵y＝（a﹣1）x2+2x﹣1是二次函数，∴a﹣1≠0，∴a≠1，第1页（共1页）∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴△＝4+4（a﹣1）＞0，∴a＞0，∴a的取值范围是a＞0且a≠1，故答案为：a＞0且a≠1．13．解：抛物线的对称轴是直线x ＝﹣＝1．∴方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）的另一根为x＝3．则抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴正半轴的交点坐标为（3，0）．故答案是：（3，0）．14．解：抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的函数图象解析式是y＝3（x+1）2+2，故答案为：y＝3（x+1）2+2．15．解：函数y＝mx2+nx＝m（x +）2﹣的顶点坐标为（，﹣），y＝nx2+mx＝n（x +）2﹣的顶点坐标为（，﹣），∵这两个函数图象的顶点关于x轴对称，∴，解得，m＝﹣n，故答案为：m＝﹣n．三．解答题（共5小题）第1页（共1页）16．解：（1）在y＝2（x﹣1）2﹣3中，∵a＝2＞0，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1；（2）∵二次函数开口向上，∴函数y有最小值，∵其顶点坐标为（1，﹣3），∴y的最小值为﹣3．17．解：（1）∵抛物线y ＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0，∴AB＝n+1，OC ＝n，由S△ABC ＝×AB×OC＝5，∴n（n+1）＝5，∴n（n+1）＝20，∴取正根n＝4，∴y ＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）由（1），B（4，0），C（0，2），∴直线BC为y ＝﹣x+2，第1页（共1页）设M（m ，﹣m+2），N（m ，﹣m2+m+2），∴MN ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m ＝﹣（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，MN最大，∴OP＝2，∴AP＝3，即经过3s，MN最大；（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，∴△CDE～△COB∴＝＝，由（2），BC＝2，D（2，1），∴DE＝2CD＝2，∴CE＝5，∴OE＝3，∴E（0，﹣3），∴直线DE为y＝2x﹣3，第1页（共1页）由﹣x2+x+2＝2x﹣3，移项整理得：x2+x﹣5＝0，∴x2+x﹣10＝0，取正根x ＝，∴OP ＝，∴AP ＝，即经过秒，点N到点B、点C的距离相等．18．解：（1）y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160），y2＝（20﹣12）x﹣60+2x﹣0.05x2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）．故答案为：y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160）；y2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）；（2）对于y1＝（12﹣a）x﹣20，∵12﹣a＞0，∴x＝160时，y1的值最大＝（1900﹣160a）万元．对于y2＝﹣0.05（x﹣100）2+440，∵0＜x≤80，∴x＝80时，y2最大值＝420万元．（3）①1900﹣160a＝420，解得a＝9.25，②1900﹣160a＞420，解得a＜9.25，③1900﹣160a＜420，解得a＞9.25，第1页（共1页）∵7≤a≤10，∴当a＝9.25时，选择甲乙两个品种的利润相同．当7≤a＜9.25时，选择甲品种利润比较高．当9.25＜a≤10时，选择乙品种利润比较高．19．解：（1）根题意，得，，解得；故a＝﹣1，c＝﹣16；（2）由（1）可知该二次函数的解析式为y＝﹣x2+10x﹣16，今x＝0，则y＝﹣16．∴点C的坐标为（0，﹣16），令y＝0，则﹣x2+10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，AB＝8﹣2＝6．∴S△ABC ＝AB•OC ＝×6×16＝48．20．解：（1）由题意可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，∴，∴b＝6，c＝2019；（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：，∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0，第1页（共1页）化简得：c＝2x02+2020，又∵x0≠0，∴c＞2020；（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．∴y≤1，∵0＜m＜n，当m≤x≤n 时，恰好有≥≥，化简得：≥≥，∵反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，∴m+2≤y+2≤n+2，∴m≤y≤n，又∵y≤1，∴m≤y≤n≤1或m≤y≤1≤n，当m≤y≤n≤1时，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，且开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x的增大而增大．∴当x＝m时，y最小值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最大值＝﹣2n2+4n﹣1，又∵m≤y≤n，∴有，第1页（共1页）解得：m＝1或，n＝1或，∵m＜n≤1，∴．当m≤y≤1≤n时，∵y的最大值为1，∴n＝1，x＝m时，最小值为m，即m＝﹣2m2+4m﹣1，解得m＝1或，∵m＜1，∴m ＝，综上所述，满足条件的m 的值为，n的值为1．第1页（共1页）。
人教版九年级数学上《二次函数与一元二次方程》拓展练习
《二次函数与一元二次方程》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣72．（5分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜﹣B．﹣5＜m＜﹣C．﹣5＜m＜﹣3D．﹣3＜m＜﹣3．（5分）对于代数式ax2+bx+c（a≠0），下列说法正确的是（）①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+cA．③B．①③C．②④D．①③④4．（5分）已知关于x的二次函数y＝（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+2的图象在x轴上方，关于m的分式方程有整数解，则同时满足两个条件的整数k值个数（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+与y轴交于点B，将该抛物线平移，使其经过点A（﹣，0）、B两点，且与x轴交于另一点C．若b≤﹣2，则线段OB，OC的大小关系是（）A．OB≤OC B．OB＜OC C．OB≥OC D．OB＞OC二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，AB＝4，点C是抛物线上一点，如果线段AC被y轴平分，那么点C的坐标为．7．（5分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则a﹣b+c的最小值是．8．（5分）抛物线y＝2x2﹣ax+m﹣a与x轴相交于不同两点A（x1，0）、B（x2，0），若存在整数a及整数m，使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，则m＝．9．（5分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（m，0），若2＜m＜4，则a的范围10．（5分）如图，抛物线y1的顶点在y轴上，y2由y1平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且2BC＝3AB＝3OD＝6，则抛物线y2的顶点E的坐标是；若过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤时，直接写出x的取值范围是．12．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．（1）当a＝1时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．13．（10分）如图，二次函数y＝+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD、DE，求△BDE的面积．14．（10分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．15．（10分）已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△P AB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．《二次函数与一元二次方程》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A 时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．2．（5分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜﹣B．﹣5＜m＜﹣C．﹣5＜m＜﹣3D．﹣3＜m＜﹣【分析】直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，正好处于l1、l2之间的区域，即可求解．【解答】解：令：y＝﹣x2+4x﹣3＝0，可以得到：A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，∵AB＝BD，∴BD＝2，∴OD＝5，则：D（5，0），则：右侧抛物线方程为：y＝﹣（x﹣3）（x﹣5），直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，正好处于l1、l2之间的区域，其中：l1与抛物线上方相切，l2过点B，将l1方程和右侧抛物线方程联立得：x+m＝﹣（x﹣3）（x﹣5），△＝b2﹣4ac＝0，解得：m＝﹣；点B（3.0）代入y＝x+m中，则：m＝﹣3，∴﹣3＜m＜﹣，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数的平移、图象相切等知识点，综合性较强．3．（5分）对于代数式ax2+bx+c（a≠0），下列说法正确的是（）①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+cA．③B．①③C．②④D．①③④【分析】根据二次函数的性质，根的判别式一一判断即可；【解答】解：①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x ﹣p）（x﹣q），错误，理由：x＝p或q时，ap2+bp+c与aq2+bq+c不一定＝0，；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c，错误．最多存在两个实数存在三个实数m≠n，使得am2+bm+c＝an2+bn+c；③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，正确，理由：∵ac＜0，则△＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，故一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c；④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，错误，理由：∵ac＞0，∴△不一定＞0，抛物线可能与x轴没有交点，结论不一定成立；故选：A．【点评】本题考查二次函数与x轴的交点、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．（5分）已知关于x的二次函数y＝（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+2的图象在x轴上方，关于m的分式方程有整数解，则同时满足两个条件的整数k值个数（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】二次函数的图象在x轴上方，则k﹣1＞0，△＝（2k﹣3）2﹣4（k﹣1）（k+2）＜0，联立解得：k；解分式方程，（m≠3），m＝，当k＝2，5，11时，m为不为3的整数，即可求解．【解答】解：（1）二次函数的图象在x轴上方，则k﹣1＞0，△＝（2k﹣3）2﹣4（k﹣1）（k+2）＜0，联立解得：k；（2）解分式方程，（m≠3），解得：m＝，当k＝2，5，11时，m为不为3的整数，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数与数轴的关系，涉及到分式方程，在求分式方程解时，别忘记分母不为0，这是一道综合性的题目．5．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+与y轴交于点B，将该抛物线平移，使其经过点A（﹣，0）、B两点，且与x轴交于另一点C．若b≤﹣2，则线段OB，OC的大小关系是（）A．OB≤OC B．OB＜OC C．OB≥OC D．OB＞OC【分析】平移后函数过点B、C，则其表达式为y＝x2+x+，则OC＝﹣b，即可求解．【解答】解：如下图所示：平移后函数过点B，则其表达式为：y＝x2+mx+，将点A的坐标代入上式得：0＝+m+，解得：m＝，故函数的表达式为：y＝x2+x+，令y＝0，则x＝﹣b或﹣b，即点C的坐标为（﹣b，0），OB﹣OC＝b2+b＝b（b+2）≥0，故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，AB＝4，点C是抛物线上一点，如果线段AC被y轴平分，那么点C的坐标为（3，12）或（﹣1，﹣4）．【分析】根据题目中的函数解析式可以得到该函数的对称轴，然后根据抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，AB＝4，即可求得点A和点B的坐标，再根据点C是抛物线上一点，线段AC被y轴平分，即可求得点C的坐标．【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，AB＝4，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）或点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0），当点A的坐标为（﹣3，0）时，0＝（﹣3+1）2+k，得k＝﹣4，∵线段AC被y轴平分，点C是抛物线上一点，∴点C的横坐标为3，纵坐标为：（3+1）2﹣4＝12，即点C的坐标为（3，12）；当点A的坐标为（1，0）时，0＝（1+1）2+k，得k＝﹣4，∵线段AC被y轴平分，点C是抛物线上一点，∴点C的横坐标为﹣1，纵坐标为：（﹣1+1）2﹣4＝﹣4，即点C的坐标为（﹣1，﹣4）；故答案为：（3，12）或（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，注意点A有两种情况．7．（5分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则a﹣b+c的最小值是﹣15．【分析】由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为﹣3，可以求出抛物线的a值；当顶点在N处时，y＝a﹣b+c取得最小值，即可求解．【解答】解：由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为﹣3，则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4，将点A坐标（﹣3，0）代入上式得：0＝a（﹣3+1）2+4，解得：a＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，顶点在N处时，y＝a﹣b+c取得最小值，顶点在N处，抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+1，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣（﹣1﹣3）2+1＝﹣15，故答案为﹣15．【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，本题的核心是确定顶点在M、N处函数表达式，其中函数的a值始终不变．8．（5分）抛物线y＝2x2﹣ax+m﹣a与x轴相交于不同两点A（x1，0）、B（x2，0），若存在整数a及整数m，使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，则m＝13或15或19．【分析】存在．根据抛物线与x轴相交于不同两点，可知△＞0，根据1＜x1＜3和1＜x2＜3，及开口向上，可知当x＝1或3时，y＞0，对称轴也在1与3之间，列不等式组，根据4＜a＜12，得整数a的值，分情况代入不等式组分别解出即可．【解答】解：存在．理由：∵抛物线y＝2x2﹣ax+m﹣a与x轴相交于不同两点A（x1，0）、B（x2，0），∴△＝（﹣a）2﹣4×2×（m﹣a）＞0，a2﹣8m+8a＞0，∵2＞0，∴抛物线开口向上，∴当x＝1或3时，y＞0；且对称轴也在1和3之间，由题意可知，，∴4＜a＜12，∵a是整数，∴a＝5或6或7或8或9或10或11，当a＝5时，代入不等式组，得：，不等式组无整数解．当a＝6时，代入不等式组，得：，不等式组无整数解．当a＝7时，代入不等式组，得：，解得：12＜m＜13，则m＝13．当a＝8时，代入不等式组，得：，解得：14＜m＜16，则m＝15．当a＝9时，代入不等式组，得：，解得：18＜m＜19，则m＝19．当a＝10时，代入不等式组，得：，不等式组无整数解．当a＝11时，代入不等式组，得：，不等式组无整数解．综上所述，整数m＝13或15或19时，使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立．故答案为：13或15或19．【点评】本题考查二次函数的性质、不等式组等知识，解题的关键是灵活运用已知列不等式，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．9．（5分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（m，0），若2＜m＜4，则a的范围或﹣4＜a＜﹣2【分析】根据题意和二次函数的解析式可以求得该函数与x轴的交点，然后根据m的取值范围即可求得a的取值范围．【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，∵二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（m，0），2＜m ＜4，∴2＜＜4或2＜﹣a＜4，解得，或﹣4＜a＜﹣2，故答案为：或﹣4＜a＜﹣2．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．（5分）如图，抛物线y1的顶点在y轴上，y2由y1平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且2BC＝3AB＝3OD＝6，则抛物线y2的顶点E的坐标是（）；若过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为y＝x．【分析】（1）由2BC＝3AB＝3OD＝6，可求出：A、B、D、C点的坐标，把A、B、D三点坐标代入函数表达式，即可求出y1的方程，同样可以求出y2的表达式；（2）设过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0），联立抛物线y1的方程，得：2x2+kx﹣2＝0，则：x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣1，则：G、A两点横坐标差＝x2﹣x1，同理可以求出K、H 两点横坐标差，由AG＝KH，即可求解．【解答】解：（1）2BC＝3AB＝3OD＝6，则：BC＝3，AB＝2，OD＝2，则：A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，2）、C（4，0），把A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，2）三点坐标代入：y＝ax2+bx+c，解得：y1＝﹣2x2+2…①，设：y2＝﹣2（x﹣h）2+k＝﹣2x2+10x﹣4，把B、C坐标代入上式，解得：h＝，k＝，y2＝﹣2x2+10x﹣4…②；（2）设：过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0）…③，联立①、③得：2x2+kx﹣2＝0，则：x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣1，则：G、A两点横坐标差＝x2﹣x1＝＝，同理：K、H两点横坐标差＝，∵AG＝KH，∴＝，解得：k＝，故：直线的解析式为y＝x．【点评】本题考查的是函数与x轴的交点，涉及到函数几何变换、一次函数的运用、韦达定理的运用，是一道综合性较强的题目，难度较大．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤时，直接写出x的取值范围是x或x．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解；（2）把点D的y坐标代入y＝﹣x2+2x+3，即可求解；（3）直线EF下侧的图象符合要求．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，解得：a＝﹣1，b＝2，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）把点D的y坐标y＝，代入y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝或，则EF长＝﹣（﹣）＝2；（3）由题意得：当y≤时，直接写出x的取值范围是x或x，故答案为：x或x．【点评】本题考查的是函数与直线的交点，是一道基本题，难度不大．12．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．（1）当a＝1时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．【分析】（1）①把a＝1代入二次函数表达式得：y＝4x2﹣8x﹣1，令y＝0，即可求解；②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x＝﹣1时，y≥0（已经成立），x＝n时，y＜0，且n＞﹣1，即可求解；（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x＝﹣1时，y≥0，x＝n时，y≥0，即可求解．【解答】解：（1）①把a＝1代入二次函数表达式得：y＝4x2﹣8x﹣1，令y＝0，即4x2﹣8x﹣1＝0，解得：1±，即抛物线G与x轴的交点坐标为：（1+，0）、（1﹣，0）；②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x＝﹣1时，y≥0（已经成立），x＝n时，y＜0，且n＞﹣1，4n2﹣8n﹣1＜0，解得：﹣1﹣＜n＜即：﹣1＜n＜；（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x＝﹣1时，y≥0，x＝n时，y≥0，即：，解得：，即：n的取值范围为：n≤a﹣1或n≥a+1．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，其核心是利用二次函数解不等式，本题难度较大．13．（10分）如图，二次函数y＝+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD、DE，求△BDE的面积．【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可求出二次函数解析式，（2）把二次函数式转化可直接求出顶点坐标，由A对称关系可求出点D的坐标．（3）由待定系数法可求出BC所在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点E的坐标，利用△BDE的面积＝△CDB的面积+△CDE的面积求出△BDE的面积．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）∴，解得∴二次函数解析式为：y＝x2﹣4x+6，（2）由y＝x2﹣4x+6，得y＝（x﹣4）2﹣2，∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），∵点A，D是y＝x2+bx+c与x轴的两个交点，又∵点A（2，0），对称轴为x＝4，∴点D的坐标为（6，0）．（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．∴C点的坐标为（4，0）∵B（8，6），设BC所在的直线解析式为y＝kx+b′，∴，解得，∴BC所在的直线解析式为y＝x﹣6，∵E点是y＝x﹣6与y＝x2﹣4x+6的交点，∴x﹣6＝x2﹣4x+6解得x1＝3，x2＝8（舍去），当x＝3时，y＝﹣，∴E（3，﹣），∴△BDE的面积＝△CDB的面积+△CDE的面积＝×2×6+×2×＝7.5．【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是利用待定系数的方法求出函数解析式以及三角形面积的转化．14．（10分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．【分析】（1）将抛物线解析式配方成顶点式即可得；（2）①画出函数的大致图象，由图象知直线l经过顶点式时，直线l与抛物线只有一个交点，据此可得；②画出翻折后函数图象，由直线l与新的图象恰好有三个公共点可得﹣2m+3＝﹣7，解之可得；（3）由开口向上及函数值都不小于1可得，解之即可．【解答】解：（1）∵y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5＝（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，∴对称轴方程为x＝1．（2）①如图，由题意知直线l的解析式为y＝n，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴n＝﹣2m+3．②依题可知：当﹣2m+3＝﹣7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点．∴m＝5．（3）抛物线y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的顶点坐标是（1，﹣2m+3）．依题可得解得∴m的取值范围是﹣2＜m≤1．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点及解不等式组得能力，根据题意画出函数的图象，结合函数图象得出对应方程或不等式组是解题的关键．15．（10分）已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△P AB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．【分析】（1）把A点和B点坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）通过解方程﹣x2+2x+3＝0得到E点坐标，再把一般式配成顶点式得到D点坐标，然后根据三角形面积公式计算△ODE的面积；连接BE交直线x＝1于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时P A+PB的值最小，然后求出BE的解析式后易得P点坐标．【解答】解：（1）根据题意得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则E（3，0）；y＝﹣（x﹣1）2+4，则D（1，4），∴S△ODE＝×3×4＝6；连接BE交直线x＝1于点P，如图，则P A＝PE，∴P A+PB＝PE+PB＝BE，此时P A+PB的值最小，易得直线BE的解析式为y＝﹣x+3．，当x＝1时，y＝﹣x+3＝3，∴P（1，2）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了最短路径问题．。
2020--2021学年北师大版数学九年下册第2章【二次函数】拓展训练
【二次函数】单元知识点拓展训练一．选择题1．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．2．将如图所示的两条水平直线a，b中的一条作为x轴，且令向右为正方向；两条铅垂线c，d中的一条作为y轴，且令竖直向上为正方向，并在此坐标平面上画二次函数y＝2ax2﹣4ax﹣1的图象，关于x轴和y轴的叙述，正确的是（）A．a为x轴，c为y轴B．a为x轴，d为y轴C．b为x轴，c为y轴D．b为x轴，d为y轴3．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b＝﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；③；④方程有两个不相等的实数根，结论正确的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（）A．﹣1B．2C．3D．46．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有下列结论①abc＜0；②2c＜3b；③4a+2b+c＜0；④a+b＜m（am+b），其中正确的结论有（）A．①②B．②③C．①④D．②④7．已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y28．如图，现要在抛物线y＝x（﹣x+2）上找点P（m，n），针对n的不同取值，所找点P的个数，四人的说法如下，甲：若n＝﹣1，则点P的个数为2；乙：若n＝0，则点P的个数为1；丙：若n＝1，则点P的个数为1；丁：若n＝2，则点P的个数为0．其中说法正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将抛物线y＝（x﹣2）（x﹣4）先绕坐标原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝x2+10x+24B．y＝﹣x2﹣10x﹣24C．y＝﹣x2﹣2x D．y＝x2+2x10．如图，抛物线y1＝x2﹣2向右平移一个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S＝（）A．4B．3C．2D．1二．填空题11．当m≠时，函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数．12．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c图象时，列出了下面的表格：x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…由于粗心，他算错了一个y值，则这个错误的数值是．13．若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c＝．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③m （am+b）+b＞a（m≠﹣1）；④方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2＜1，x1＞﹣3，其中正确结论的是．15．已知（2，y1）、（4，y2）、（6，y3）是抛物线y＝x2﹣mx上的三点，若要满足y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围必须是．三．解答题16．二次函数y＝x2+px+q的顶点M是直线y＝﹣x和直线y＝x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）①当x≥2时，y＝x2+px+q的值均随x的增大而增大，求m的取值范围；②若m＝6，且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围．（3）试证明：无论m取任何值，二次函数y＝x2+px+q的图象与直线y＝x+m总有两个不同的交点．17．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a，b是常数，且a≠0）的图象过点（3，﹣1）．（1）试判断点（2，2﹣2a）是否也在该函数的图象上，并说明理由．（2）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数的表达式．（3）已知二次函数的图象过（x1，y1）和（x2，y2）两点，且当x1＜x2≤时，始终都有y1＞y2，求a的取值范围．18．已知关于x的二次函数y＝x2+（k﹣1）x+3，其图象经过点（1，8）．（1）求k的值；（2）求出函数图象的顶点坐标．19．已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．。
2020年春北师大版数学九年级下册同步练习：资源拓展 1二次函数
1 二次函数基础闯关全练拓展训练1.(2019 上海嘉定一模)下列函数中,是二次函数的是( )A.y=2x+1B.y=(x-1)2-x2C.y=1-x2D.y= 1x22.若关于x 的函数y=(2-a)x2-x 是二次函数,则a 的取值范围是( )A.a≠0B.a≠2C.a<2D.a>23.已知y 与x2 成正比例,且当x= 2时,y=6.(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)当y=12 时,求x 的值.4.如图所示,在边长为4 cm 的正方形中挖去一个直径为x cm 的圆,设剩余部分的面积为S(cm2),求S 关于x 的函数关系式,并指出x 的取值范围.5.某宾馆客房部有60 个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200 元时,房间可以住满; 当每个房间每天的定价每增加10 元时,就会有一个房间空闲.设每个房间每天的定价增加x 元,列出:(1)房间每天的入住量y(间)关于x(元)的函数解析式;(2)该宾馆客房部每天的收入z(元)关于x(元)的函数解析式.能力提升全练拓展训练1.若y=(m-1)x N2 +1是二次函数,则m 的值为( )A.1B.-1C.1 或-1D.22.有一块矩形场地如图所示(单位:m),长为40 m,宽为30 m,现要将这块地划分为四块,分别种植:A:兰花;B:菊花;C:月季;D:牵牛花.这块场地中种植菊花的面积y 与B 场地的一边长x 之间的函数关系式是.3.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12 mm,BC=24 mm,动点P 从点A 开始沿边AC 向C 以2 mm/s 的速度移动,动点Q 从点C 开始沿边CB 向B 以4 mm/s 的速度移动.(1)如果P,Q 两点同时出发,那么△PCQ 的面积S1(mm2)随出发时间t(s)如何变化?写出函数表达式及t 的取值范围;(2)在(1)的条件下,请写出四边形APQB 的面积S2(mm2)关于运动时间t(s)的函数表达式.4.一块草地是长为100 m、宽为80 m 的矩形(如图所示),欲在中间修筑两条互相垂直且宽都为x(m)的小路,这时草地面积为y(m2).(1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)当小路的宽为1 m,2 m 时,草地的面积分别为多少?5.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=6,点P 是线段BC 上一点(点P 不与点B,C 重合),点M 是线段DB 上一点,且BP=DM,设BP=x,△MBP 的面积为y,求y 与x 之间的函数关系式.核心素养全练拓展训练1.若函数y=x N2-5m+8是二次函数,求出m的值.若m的值有一个,求以m的值为边长的等边三角形的周长.若m的值有两个,求以m的值为边长的等腰三角形的周长.2.2 条直线相交最多有1 个交点,3 条直线相交最多有3 个交点,4 条直线相交最多有6 个交点,……若有n 条直线相交,交点最多有m 个,求m 关于n 的函数表达式,并指出它是什么函数.1 二次函数基础闯关全练拓展训练1. 答案 C A.y=2x+1 是一次函数,故此选项不符合题意;B.y=(x-1)2-x 2=-2x+1 是一次函数,故 此选项不符合题意;C.y=1-x 2 是二次函数,符合题意;D.y= 1 不是二次函数,不符合题意.故选 C. x 22. 答案 B ∵函数 y=(2-a)x 2-x 是二次函数,∴2-a≠0,即 a≠2,故选 B.3.解析 (1)设 y=kx 2(k≠0),∵x= 2时,y=6,∴6=2k.∴k=3.∴y 与 x 之间的函数表达式为 y=3x 2.(2)当 y=12 时,12=3x 2,∴x 1=2,x 2=-2,即 x 的值为±2.4.解析 根据图形面积之间的关系,得S=42-π 2=-πx 2+16, 4∴S 关于 x 的函数关系式为 S=-πx 2+16. 4当挖去的圆的面积最小时,x=0;当挖去的圆的面积最大时,圆的直径与正方形的边长相等,此时 x=4.∴x 的取值范围为 0≤x≤4.5.解析 (1)由已知得,空闲的房间数为x ,10则 y=60- x ,即 y=- x+60. 10 10(2)由题意得,z=(200+x) - x + 60 ,10即 z=-x 2+40x+12 000.10 能力提升全练拓展训练1.答案 B 由二次函数的定义可知 m 2+1=2 且 m-1≠0,解得 m=-1,故选 B.2.答案 y=-x 2+30x(0<x<30)解析 由题意知,B 场地的长为 x 的边的邻边长为(30-x)m,∴y=x(30-x)=-x 2+30x(0<x<30).3.解析 (1)当 0<t≤3 时,S 1 随 t 的增大而增大;当 3<t<6 时,S 1 随 t 的增大而减小.∵出发时间为 t s,点 P 的速度为 2 mm/s,点 Q 的速度为 4 mm/s,∴PC=(12-2t)mm,CQ=4t mm.∴S 1=1×(12-2t)×4t=-4t 2+24t. 2 ∵t>0,12-2t>0,∴0<t<6.(2)S 2=S △ABC -S 1=1×24×12-(-4t 2+24t)=4t 2-24t+144(0<t<6). 2 x24.解析(1)由题意知小路的面积为(100x+80x-x2)m2,∴y=80×100-(100x+80x-x2),即y=x2-180x+8 000(0<x<80).(2)当x=1 时,y=12-180×1+8 000=7 821;当x=2 时,y=22-180×2+8 000=7 644.∴当小路的宽为1 m,2 m 时,草地的面积分别为7 821 m2,7 644 m2.5.解析如图,过点M作MN⊥BC于点N,则△BMN∽△BDC,∴M t=B M.DC BD∵AB=8,AD=BC=6,∴BD=10.又∵BP=DM,BP=x,∴DM=x,∴BM=10-x,∴M t=10-x,即MN=4(10-x),8 10 5∴y=1BP·MN=1x·4(10-x)=-2x2+4x,2 2 5 5即y=-2x2+4x(0<x<6).5核心素养全练拓展训练1.解析由题意,得m2-5m+8=2,解这个方程,得m1=2,m2=3,若m=2 是腰,则周长=2+2+3=7,若m=3 是腰,则周长=2+3+3=8,故以m 的值为边长的等腰三角形的周长为7 或8.2.解析每一条直线与其他(n-1)条直线相交都有1 个交点,这样在一条直线上共有(n-1)个交点,而共有n 条直线,则应共有n(n-1)个交点.而在这n(n-1)个交点中,有一半的交点与另一半的交点重合,故n 条直线相交,交点个数最多为m=1n(n-1),化简得m=1n2-1n,是二次函数.2 2 2。