【附20套高考模拟试题】2020届河北省景县中学高考数学模拟试卷含答案

2020届河北省景县中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=.以下能使11A C BC ⊥的是（ ） A ．AB AC =B ．1AA AC= C ．1BB AB= D ．1CC BC=2．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21π-B ．2π C ．22π D ．221π- 3．函数f （x ）=sin （2x+3π2）是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．已知,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．33a b > B ．11a b < C ．22a b > D ．||a b b >+5．将函数2sin(2)cos(2)()36y x x x R ππ=--+∈的图像向右平移4π个单位长度，所得图像对应的函数（ ） A ．在(,0)2π-上递增 B ．在(,0)2π-上递减C ．在(0,)6π上递增 D ．在(0,)6π上递减 6．已知i 为虚数单位，且复数z 满足1z 2i 1i-=- ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ） A ．132 B ．262C ．102D ．527．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数,01()ln ,0xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =又有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1(,0](,1)e -∞⋃B ．1(,0)(,1)e -∞⋃C ．1(,1)e D ．1[0,)e 9．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．23D ．6310．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A ．15B ．16C ．18D ．2111．已知p ：k ＝3；q ：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切．则p ⌝是q ⌝的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件12．设a r，b r是非零向量，则“a b =rr”是“a r2a b =⋅rr ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线y kx m =+与抛物线24y x =相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为0(,2)x ，则k 等于_______．14．平面向量 , , a b c r r r不共线，且两两所成的角相等，若||||2,||1a b c ===r r r ，则||a b c ++=r r r ___．15．已知函数22()cos sin ()6f x x x π=-+，则()6f π=____，该函数的最小正周期为_____． 16．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设f(x)=xln x –ax 2+(2a –1)x ，a R.令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a 的取值范围.18．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，点2263P ⎛ ⎝⎭在C 上.求椭圆C 的方程；若直线l ：y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.19．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 过点(0,)P m 且倾斜角为45︒.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2:2cos 10C ρρθ--=.求曲线C 的直角坐标方程；设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求直线l 的直角坐标方程.20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求11PA PB+的值．21．（12分）已知向量(a sin ,x =r，()b 1,cosx r=，且函数()a bf x =⋅r r ．若a b ⊥rr ，求tan2x 的值；在ABC V 中，2AC =且()0f B =，求ABC V 面积的最大值．22．（10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且sin sin sin sin()a A c C b B A B +-=+.求B 的值；若向量(cos ,cos 2)m A A =v ，(12,5)n =-v ，4a =，当m n ⋅u r r取得最大值时，求b 的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．A8．B 一、单选题 9．D 10．C 11．B 12．A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．114．115．016．6三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出，然后讨论当时，当时的两种情况即得.（Ⅱ）分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.试题解析：（Ⅰ）由可得，则，当时，时，，函数单调递增；当时，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.所以当时，单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.①当时，，单调递减.所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以在x=1处取得极小值，不合题意.②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，可得当当时，，时，，所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以在x=1处取得极小值，不合题意. ③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，所以当时，，单调递减，不合题意. ④当时，即，当时，，单调递增, 当时，，单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为.【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.18．（1）22143x y +=（2）见解析【解析】 【分析】()1先求出c 的值，再根据2248193a b+=，又22221a b c b =+=+，即可得到椭圆的方程;()2假设y 轴上存在点()0,M t ，ABM V 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ，根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM BM ⊥，MN l ⊥，即可求出m 的值，可得点M 的坐标 【详解】()1由题意可得1c =，点2,33P ⎛ ⎝⎭在C 上，2248193a b ∴+=， 又22221a b c b =+=+， 解得24a =，23b =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=， ()2假设y 轴上存在点()0,M t ，ABM V 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ，由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得22784120x mx m ++-=， ()()2226428412162130m m m =--=->V ，解得27m <， 1287m x x ∴+=-，2124127m x x -=，120427x x m x +∴=-=-，0037m y x m =+=， 43,77m m N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，依题意有AM BM ⊥，MN l ⊥，由MN l ⊥，可得3711407mt m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得7m t =-， 由AM BM ⊥可得12121y t y tx x --⋅=-， 11y x m =+Q ，22y x m =+，代入上式化简可得()()2121222()0x x m t x x m t +-++-=，则()222241288()()0777m m m --+=，解得m =当m =0,M ⎛ ⎝⎭满足题意，当m =M ⎛⎝⎭满足题意 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．19．（1）22210x y x +--=；（2）0x y --=【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用直线参数方程中t 的几何意义即可解得直线直角坐标方程. 【详解】（1）由222x y ρ=+，cos x ρθ=得，曲线C 的直角坐标方程为22210x y x +--=.（2）直线l的参数方程为,,x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将其代入曲线C的直角坐标方程得2210t t m ++-=，设1t ，2t 是方程的两个实数根，则22460m m ∆=--+>即31m -<<，且2121t t m ⋅=-，由t 的几何意义得，2121212PA PB t t t t m ⋅=⋅=⋅=-=， 所以23m =或21m =-（舍去）， 又因为31m -<<，所以m =，故直线l的直角坐标方程为y x =0x y -=. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 20．（Ⅰ）:10l x +-=，()22:24C x y -+=；【解析】 【分析】（Ⅰ）由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）直接消去参数t ，可得直线的普通方程，把cos ρθ=4两边同时乘以ρ，结合222x y ρ=+，x cos ρθ=可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）把1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x +-=，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t 的几何意义求解． 【详解】解：（Ⅰ）由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t，可得10x +-=． ∵cos ρθ=4，∴24cos ρρθ=，即2240x y x +-=． ∴曲线的直角坐标方程为()2224x y -+=；（Ⅱ）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x +-=，得230t +-=． 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t则12t t +=123t t =-． 不妨设10t <，20t >，∴1212121111t t PA PB t t t t ++=+===． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数t 的几何意义是解题的关键，是中档题．21．（1）；（2 【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算可得sin x x =，利用正角函数的二倍角公式即可求解（2）由()0f B =，可得3B π=，再根据余弦定理及均值不等式得4ac ≤，即可求出三角形面积的最值.【详解】（1）因为()a b fx =⋅r r ，(a sin ,x =r ，()b 1,cosx r =，且a b ⊥rr ，所以()a b sin 0f x x x =⋅==r r ，即sinx x =， 所以tan x =，所以22tan tan21tan xx x==-（2）由题可得()a b sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭r r ， 因为()0f B =，所以2sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0B π<<，所以3B π=．在ABC V 中，由余弦定理可得22221422a c ac a c ac ac =+-⋅=+-≥，即4ac ≤．所以11sin 422ABC S ac B =≤⨯=V ，当且仅当2a c ==时等号成立，故ABC V ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，属于中档题.22．（1）4B π=；（2）2b =. 【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理可求a 2+c 2﹣b 2=，进而利用余弦定理可求cosB 的值，即可得解B 的值．（2）利用平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求m n ⋅r r，结合已知可求sinA 的值，利用正弦定理即可得解b 的值． 【详解】（1）因为ABC ∆中，()sin sin A B C +=，所以()sin sin sin sin a A c C b B A B +-=+变形为sin sin sin sin a A c C b B C +-=.由正弦定理得：222a c b +-=.由余弦定理得：222cos 22a cb B ac +-==， 又因为0B π<<，∴4B π=.（2）因为12cos 5cos2m n A A ⋅=-v v2234310cos 12cos 510cos 55A A A ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当3cos 5A =时，m n ⋅v v取得最大值，此时4sin 5A =，由正弦定理得sin sin 2a Bb A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 高考模拟数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上） 1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ▲ ．【答案】(0,1) 2. 复数z ＝a ＋i1－i为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】13. 执行如图所示流程图，得到的结果是 ▲ ．【答案】784. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，那么该双曲线的离心率为 ▲ ． 【答案】535. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为▲ ． 【答案】346. 函数f (x)＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x)为奇函数”的 ▲ 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）． 【答案】充要7. 若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 ▲ ．【答案】15π8. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．【答案】4 解：x ＋2y ＝8－x·(2y)≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得()x ＋2y 2＋4()x ＋2y －32≥0，即()x ＋2y －4()x ＋2y ＋8≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4． 9. 函数y ＝sinα·(sinα－cosα) (a ∈[－π2,0])的最大值为 ▲ ． 【答案】12+2210. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足AB u u u r ＋12AC u u u r ＝AD u u u r，且|CD uuu r |＝3，那么DA DC ⋅u u u r u u u r ＝▲ ． 【答案】311. 已知函数f (x)＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若∃x 1,x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(－∞,4)12. 已知函数f (x)满足f (x)＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x)＝lnx ，若在区间[13,3]内，函数g(x)＝f (x)－ax 与x轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】⎣⎡ln33,⎭⎫1e13. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有▲ 项． 【答案】7解：a 21＋a 2＋a 3＋···＋a n ＝a 21＋(n －1)(a 2＋a n )2＝a 21＋(n －1)(a 1＋n)＝a 21＋(n －1)a 1＋n(n －1)＝⎝⎛⎭⎫a 1＋n －122＋n(n －1)－(n －1)24＝⎝⎛⎭⎫a 1＋n －122＋(n －1)(3n ＋1)4≤33 为了使得n 尽量大，故⎝⎛⎭⎫a 1＋n －122＝0，∴(n －1)(3n ＋1)4≤33 ∴(n －1)(3n ＋1)≤132，当n ＝6时，5×19＜132；当n ＝7时，6×22＝132， 故n max ＝7．【注】不易猜测：－3，－1，1，3，5，7，9．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. （本小题满分14分）已知函数f (x)＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f (x)的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A)＝35，f (B)＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x)＝sin(x ＋φ) ………2分∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2 ……5分 ∴f (x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cosx ． ………6分注意：不写φ的范围，直接得φ的值扣1分，f (x)的解析式不化简不扣分． （2）∵f (A)＝cosA ＝35，f (B)＝cosB ＝513， ∴A,B ∈(0,π2)∴sinA ＝45，sinB ＝1213 ………8分 ∴sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝5665 ………10分 ∵在△ABC 中a sinA ＝bsinB ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12absinC ＝12×13×15×5665＝84． ………14分 注意：其他解法参照给分 15. （本小题满分14分）在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点． （1）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；（2）设M 为棱CC 1的点，且满足BM ⊥B 1D ， 求证：平面AB 1D ⊥平面ABM ．证明：(1) 记A 1B ∩AB 1＝O ，连接OD.∵四边形AA 1B 1B 为矩形，∴O 是A 1B 的中点， 又∵D 是BC 的中点，∴A 1C ∥OD. ………2分 又∵A 1C ⊂∕平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D. ………6分 注意：条件“A 1C ⊂∕平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！(2)∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC. ………8分 ∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C.【或利用CC 1⊥平面ABC 证明AD ⊥平面BB 1C 1C.】 ………10分 ∵BM ⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥BM. ………12分 又∵BM ⊥B 1D ，AD ∩B 1D ＝D ，AD,B 1D ⊂平面AB 1D ， ∴BM ⊥平面AB 1D.又∵BM ⊂平面ABM ，∴平面AB 1D ⊥平面ABM ． ………14分 16. （本小题满分15分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB 内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（02θπ<<），其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切，且与OA 、OB 相切．（1）求半径较大的花坛⊙P 的半径（用θ表示）； （2）求半径较小的花坛⊙Q 的半径的最大值．解：(1)设⊙P 切OA 于M ，连PM ，⊙Q 切OA 于N ，连QN ，记⊙P 、⊙Q 的半径分别为r P 、r Q ．BAABDMC1A 1B 1C ABDMC1A 1B 1C O∵⊙P 与⊙O 内切，∴|OP |＝80－r P ，∴r Psin θ＋r P ＝80， ………4分 ∴r P ＝80·sin θ1＋sin θ (0＜θ＜π2) ………6分(2)∵|PQ |＝r P ＋r Q ∴|OP |－|OQ |＝r P sin θ－r Qsin θ＝r P ＋r Q∴r Q ＝80·sin θ(1－sin θ)1＋sin θ (0＜θ＜π2) ………10分法一：令t ＝1＋sinθ∈(1,2)，∴r Q ＝80·(t －1)(2－t)t 2＝80⎝⎛⎭⎫－1－2t 2＋3t令m ＝1t ∈（12,1)，r Q ＝80(－2m 2＋3m －1) ∴m ＝34时，有最大值10． ………14分 注意：换元不写范围扣1分 法二：∵2sin θ(1－sin θ)≤2sin θ＋(1－sin θ)2＝1＋sin θ2 ∴sin θ(1－sin θ)≤(1＋sin θ)28 ∴r Q ≤10．此时sin θ＝13 ………14分 注意：不指出取等号的条件扣1分法三：令t ＝sinθ∈(0,1)，r Q ＝80(t －t 2)(1＋t)2，∴r Q'＝80(1－3t)(1＋t)3令r Q '＝0得：t ＝13，【列表略】故t ＝13时，⊙Q 的半径的最大值为10．………14分 注意：不列表扣1分答：⊙Q 的半径的最大值为10． ………15分 注意：应用题不写答扣1分 17. （本小题满分15分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为55，短轴长为4，F 1、F 2为椭圆左、右焦点，点B 为下顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P(x 0, y 0)是椭圆C 上第一象限的点．① 若M 为线段BF 1上一点，且满足→PO ＝6·→OM ， 求直线OP 的斜率；② 设点O 到直线PF 1、PF 2的距离分别为d 1、d 2， 求证：y 0d 1＋y 0d 2为定值，并求出该定值．解：（1）由题意知，2b ＝4，∴b ＝2，又∵e ＝c a ＝55，且a 2＝b 2＋c 2，解得：a ＝5，c ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 24＝1； ………4分 （2）①由（1）知：B(0,－2)，F 1(－1,0)，∴BF 1：y ＝－2x －2 ………5分设M(t,－2t －2)，由→PO ＝6·→OM 得：⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6t y 0＝26(t ＋1)………7分代入椭圆方程得：6t 25＋6(t ＋1)2＝1，∴36t 2＋60t ＋25＝0，∴(6t ＋5)2＝0， ∴t ＝－56 ，∴M(－56，－13) ………9分 ∴OM 的斜率为25，即直线OP 的斜率为25； ………10分【或】设直线OP 的方程为y kx =，由22154y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得P x = ………6分 由22y kx y x =⎧⎨=--⎩得22M x k -=+， ………8分由→PO ＝6·→OM 得P M x =解得：25k = ………10分②由题意，PF 1：y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)，即y 0x －(x 0＋1)y ＋y 0＝0 ………11分∴d 1＝y 0y 20＋(x 0＋1)2，同理可得：d 2＝y 0y 20＋(x 0－1)2∴y 0d 1＋y 0d 2＝y 20＋(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＝PF 1＋PF 2＝2a ＝2 5 ………15分【或】∵S △OPF1＝12PF 1·d 1＝12OF 1·y 0，∴PF 1·d 1＝y 0，∴y 0d 1＝PF 1．同理在△OPF 2中，有y 0d 2＝PF 2．∴y 0d 1＋y 0d 2＝PF 1＋PF 2＝2a ＝25． ………15分18. （本小题满分16分）已知a 为实数，函数f (x)＝a·lnx ＋x 2－4x ．（1）是否存在实数a ，使得f (x)在x ＝1处取极值？证明你的结论； （2）若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（3）设g(x)＝2alnx ＋x 2－5x －1＋ax ，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g(x 0)成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）函数f (x)定义域为(0,＋∞)，f '(x)＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x)在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ………2分 此时，f '(x)＝2(x －1)2x ，∴当0＜x ＜1时，f '(x)＞0，f (x)递增；当x ＞1时，f '(x)＞0，f (x)递增． ∴x ＝1不是f (x)的极值点．故不存在实数a ，使得f (x)在x ＝1处取极值． ………4分 （2）f '(x)＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a≥2时，∴f '(x)≥0，∴f (x)在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分 ②当a ＜2时，令f '(x)＞0，则x ＞1＋1－a2或x ＜1－1－a 2，∴f (x)在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：－6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分 （3）法一：记F(x)＝x －lnx(x ＞0)，∴F '(x)＝x －1x (x ＞0)，∴当0＜x ＜1时，F '(x)＜0，F(x)递减；当x ＞1时，F '(x)＞0，F(x)递增． ∴F(x)≥F(1)＝1＞0由f (x 0)≤g(x 0) 得：(x 0－lnx 0)a ≥x 20－2x 0 ………12分 ∴a ≥x 20－2x 0x 0－lnx 0，记G(x)＝x 2－2x x －lnx ，x ∈[1e ,e]∴G '(x)＝(2x －2)(x －lnx)－(x －2)(x －1)(x －lnx)2＝(x －1)(x －2lnx ＋2)(x －lnx)2∵x ∈[1e ,e]，∴2－2lnx ＝2(1－lnx)≥0，∴x －2lnx ＋2＞0∴x ∈(1e ,1)时，G '(x)＜0，G(x)递减；x ∈(1,e)时，G '(x)＞0，G(x)递增 ∴G(x)min ＝G(1)＝－1 ∴a ≥G(x)min ＝－1．故实数a 的取值范围为[－1,＋∞)． ………16分 法二：记2()()()ln (2)h x f x g x a x x a x =-=+-+，原题等价于：01[,]x e e∃∈，0min ()0h x ≤，求a 的范围.∵22(2)(2)(1)'()x a x a x a x h x x x -++--==,令12'()0,12ah x x x =⇒==………12分（1）当122a a e e ≤≤即时, 0min ()(1)101h x h a a ==--≤⇒≥- ∴21a e-≤≤； （2）当2a e>时，(1)10h a =--<，故0min ()0h x ≤成立． 故实数a 的取值范围为[－1,＋∞)． ………16分 注意：其他解法酌情给分 19. （本小题满分16分）已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足12n n a a +-=，2214n n b b +=，且111,1a b ==-．（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数()r r N *∈，使得1r r c c +<，称数列{}n c 为“梦r 数列”；设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ， ① 若数列{}n a 为“梦5数列”，求n S ；② 若{}n a 为“梦1r 数列”，{}n b 为“梦2r 数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求出m 的值及对应的12,r r ；若不存在，请说明理由．解：（1）数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴12n n a a +-=，21212,2,n n b b b b n N *++=-=∈，∴21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩； ………4分（2）①∵数列{}n a 满足：存在唯一的正整数=5r ，使得1r r a a +<，且12n n a a +-=，∴数列{}n a 必为1,3,5,7,9,7,9,11,⋅⋅⋅，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，故S n ＝⎩⎨⎧n 2 (1≤n ≤5)n 2－4n ＋20 (n ≥6)； ………8分②∵2214n n b b +=即12n n b b +=±，1||2n n b -∴= ………9分 而数列{}n b 为“梦数列”且11b =-，∴数列{}n b 中有且只有两个负项．假设存在正整数m ，使得+1m m S T =，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，∴m 必为偶数． ………10分 首先证明：6m ≤．若7m >，数列{}n a 中()()21max 1321(1)m S m m +=++⋅⋅⋅++=+，而数列{}n b 中，m b 必然为正，否则()()1121212122230m m m m T b ---=-++⋅⋅⋅+-≤-++⋅⋅⋅++-=-<，显然矛盾；（※） ∴()()()13211min 12+22223m m m m m T ----=-++⋅⋅⋅++-+=-，设122(1)3m m c m -=-+-，易得11223,m m m m d c c m -+=-=-- 而11220m m m d d -+-=->，()7m >，∴{}m d ()7m >为增数列，且70d >进而{}m c ()7m >为增数列，而80c >， ∴()()min max m m T S >，即6m ≤． ………14分 当6m =时，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，{}n b 为1,2,4,8,16,32,64,--⋅⋅⋅ 此时12r =，24r = 当2,4m =时，无解所以6m =，对应的12r =，24r = ………16分高考模拟数学试卷考试时间：120分钟 总分 150分20. 选择题（第题5分，共50分）1.已知集合{}-2A x x =≥，集合{}24B x x =≤，则集合()R B A ⋂=ð（） A.()2∞，+ B.[)2∞，+ C.()()2-∞⋃∞，-2，+ D.(][)22-∞⋃∞，-，+2.已知a b r r ，均为单位向量，且它们的夹角为60o，那么a b -=r r （） A.1C.2 D.123.设a b R ∈，，i 是虚数学单位，则 “0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（） A ．21 B ．26 C ．30 D ．555．已知,αβ是平面，,m n 是直线，则下列命题不正确的是（）A ．若,,m n m α⊥∥则n α⊥B ．若,,m m αβ⊥⊥则αβ∥ C ．若m m n α⊥，，∥则αβ⊥ D ．若m n ααβ⋂=，∥，则m n ∥ 6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（） A ．2B．C.2D.7．函数()2232xlog e lnx a f x x --+=的一个极值点在区间()12，内，则实数a 的取值范围是（）A ．()13，B ．()12，C ．()03，D ．()02，8．将标号为123456，，，，，的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标为12，的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（）A ．12种B ．16种C ．18种D ．36种俯视图侧视图正视图9．点F 为椭圆()222210b x y a ba +>>=的一个焦点，若椭圆上存在点A 使AOF V 为正三角形，那么椭圆的离心率为（） ABCD110．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，≤≤，设方程()()2xb x b f R -+∈=的四个实根从小到大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（）（1）()()1234100661x x x x <<--<<或；（2）()()1234100661x x x x <<--<>且； （3）123499125x x x x <<<<或；（4）1234925361x x x x <<<<且。