2020 高三一模数学附答案

合集下载

2020年高考数学一模试卷(含答案)

2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2} 2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．33．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．47．在（2x）6的展开式中，常数项是（）A．﹣l60B．﹣20C．20D．1608．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），．则（）A．1B．C．2D．与α有关9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝；a n＝．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2}【分析】利用交集定义能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：D．2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．3【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可解：因为复数z＝i（2+i）＝﹣1+2i，所以|z|，故选：C．3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】函数y解析式提取变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．解：函数y＝sin2x+cos2x sin（2x），∵ω＝2，∴T＝π．故选：B．4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）【分析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣1）＝﹣2，从而得出点（﹣1，﹣2）在f（x）的图象上．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，∴f（﹣1）＝﹣2，∴（﹣1，﹣2）一定在函数f（x）的图象上．故选：B．5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．1【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．解：a，3，b，9，c成等比数列，则bc＝81，b2＝27，∴，∴log3b﹣log3c＝log31，故选：A．6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．4【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2＝2px的焦点坐标（，0），可得2，得p＝4．解：∵双曲线中a2＝3，b2＝1∴c2，得双曲线的右焦点为F（2，0）因此抛物线y2＝2px的焦点（，0）即F（2，0）∴2，即p＝4故选：D．7．在（2x）6的展开式中，常数项是（）A．﹣l60B．﹣20C．20D．160【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：展开式的通项公式为T r+1•（2x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3，故展开式的常数项为﹣8•160，故选：A．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），．则（）A．1B．C．2D．与α有关【分析】根据题意，求出向量、的坐标，进而可得的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．解：根据题意，A（cosα，sinα），．则（cosα，sinα），（cos（α），sin（α）），则有（cosα+cos（α），sinα+sin（α）），故||2＝[cosα+cos（α）]2+[sinα+sin（α）]2＝2+2cosαcos（α）+2sinαsin（α）＝2+2cos3，则||；故选：B．9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】a＞0，b＞0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2，可由ab≥1，得出a+b≥2．反之不成立．解：a＞0，b＞0，∴a+b≥2，若ab≥1，则a+b≥2．反之不成立，例如取a＝5，b．∴“ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．故选：A．10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30【分析】因为450＝2100，所以N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数．解：∵450＝2100，∴N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30.10＝30+0.10＝30+lg100.10≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于6．【分析】因为共线，即，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．解：若共线，即，∵，，∴1×m＝﹣2×（﹣3），∴m＝6．故答案为：6．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为1．【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离d1，故答案为：1．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：V．故答案为：．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝8；a n＝15n﹣7．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．利用通项公式即可得出．解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．∴a1＝8，a n＝8+15（n﹣1）＝15n﹣7．故答案为：8，15n﹣7．15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是①②④．【分析】①由x2≥0，得x2+1≥1，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由2x＞0，得2x+1＞1，由此得出结论；④由函数f（x）＝x2+cos x的奇偶性及单调性即可得出结论．解：①∵x2≥0，∴x2+1≥1，故值域为[1，+∞），符合题意；②y＝|x+1|+|x+2|≥|（x+1）﹣（x+2）|＝1，故值域为[1，+∞），符合题意；③∵2x＞0，∴2x+1＞1，故值域为（1，+∞），不合题意；④函数f（x）＝x2+cos x为偶函数，且f′（x）＝2x﹣sin x，f''（x）＝2﹣cos x＞0，故f′（x）在R上单调递增，又f′（0）＝0，故当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）单调递减，又f（0）＝1，故其值域为[1，+∞），符合题意．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为，由此作出判断；选②，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知△ABC是A为直角的三角形，进而求得面积为，此时S＞2不成立．解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下：当时，，所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3，则△ABC的面积，因为，所以S＞2成立．选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下：当时，，即，整理得，，所以，因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC 的面积，所以不成立．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．（Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人．（Ⅱ）X的可取值为0，1，2，，，．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；（Ⅲ）由，则，由．计算可得所求值．解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．因为∠AEG＝90°，所以GE⊥AE．因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E所以AE⊥平面EBHG．（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为2，由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE．所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间坐标系可得A（1，0，0），，G（0，0，1），．，设平面AGH的法向量为，所以，即．令x＝1，则．平面EBHG的法向量为．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）．（Ⅲ）由，则，所以．因为EF∥平面AGH，则．即1﹣2λ＝0．所以．19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合b＝1，求出a，得到椭圆方程．（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），求出AM，AN的方程，求出E的坐标，F的坐标，假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，得到，求出n，即可．说明存在点G坐标为满足条件．解：（Ⅰ）由题意得，b＝1，又a2＝b2+c2解得，所以椭圆方程为．（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），则直线AM的方程为，直线AN的方程为，则E点坐标为，F点坐标为．假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，即tan∠OGE＝tan∠OFG（也可以转化为斜率来求），即即|OG|2＝|OE||OF|，即所以，所以存在点G坐标为满足条件．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数得到g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1，通过a≤2时，当a＞2时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可．解：（Ⅰ）f'（x）＝（x﹣a+1）e x+1，由题意可知g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，所以g'（x）＝（x﹣a+2）e x，当x＞a﹣2时g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；当x＜a﹣2时g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，a﹣2）上单调递减，所以g（x）在x＝a﹣2处取得极小值，为g（a﹣2）＝﹣e a﹣2+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1当a≤2时f'（x）≥﹣e a﹣2+1＞0，所以f（x）在单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，即a≤2时f（x）＞0在（0，+∞）恒成立．当a＞2时f'（0）＝g（0）＝2﹣a＜0，又f'（a）＝g（a）＝e a+1＞0，又由于f'（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；在（0，a﹣2）上单调递减；所以在（0，a）上一定存在x0使得f'（x0）＝0，所以f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，所以f（x0）＜f（0）＝0，所以在（0，+∞）存在x0，使得f（x0）＜0，所以当a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立所以a的取值范围为（﹣∞，2]．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．【分析】（Ⅰ）由a0＝﹣2.6，代入可得a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣1.2，同理可得：a2，a3．（Ⅱ）由a0＞0，可得[a0]≥0，a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，可得a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，因此[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，可得[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，可得：[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，利用累加求和方法可得[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，得出矛盾，因此存在k∈一、选择题，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．（Ⅲ）当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，可得a k+1＝0，[a k+1]＝0，可得a i ＝0，∀i≥k，成立．当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，可得[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，可得数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，因此存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），转化为，令，即b i+1＝cb i，i≥m．经过讨论：当b m＝0时，得证．当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，进而证明结论．解：（Ⅰ）∵a0＝﹣2.6，∴a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2，同理可得：a2＝﹣1.6、a3＝﹣0.8．………………（Ⅱ）因a0＞0，则[a0]≥0，所以a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，所以[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，则[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．………………假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＜[a i]，则[a i+1]＜[a i]，∀i≥0，即[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，………………则[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，这与假设矛盾，所以[a i]＞0，∀i≥0不成立，………………即存在k∈N，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．………………（Ⅲ）证明：当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，所以a k+1＝0，所以[a k+1]＝0，所以a i＝0，∀i≥k，成立．………………当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；………………若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，则[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，所以数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，所以存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），则，令，即b i+1＝cb i，i≥m．当b m＝0时，则b i＝0，i≥m，则，得证．………………当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，因当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，所以|c|≤1，所以负整数c＝﹣1．………………∴，则令k＝m，满足当i≥k时，a i＝a i+2．综上，存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．………………。

2020届高考一模数学试卷+参考答案

第 3 页，共 11 页
1.【答案】C
答案和解析
【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，由于 a＜0＜b，则＜0＜，A 错误；对于 B，若|a|＜|b|，则-a＜b，B 错误；对于 C，由于 a＜0＜b，则 a3＜0＜b3，C 正确；对于 D，若|a|＜|b|，则 a2＜b2，D 错误；故选：C．根据题意，依次分析选项中不等式是否正确，综合即可得答案．本题考查不等式的性质以及应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于基础题．
否存在点 P，使得
？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由．
21. 已知无穷数列{an}，{bn}，{cn}满足：对任意的 n∈N*，都有 an+1=|bn|-|cn|，bn+1=|cn|-|an|，
cn+1=|an|-|bn|．记 dn=max{|an|，|bn|，|cn|}（max{x，y，z}表示 3 个实数 x，y，z 中的最大值）．（1）若 a1=1，b1=2，c1=4，求，b4，c4 的值；（2）若 a1=1，b1=2，求满足 d2=d3 的 c1 的所有值；（3）设 a1，b1，c1 是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，证明：存在正整数 k，使得数列{an}，{bn}，{cn}中有且只有一个数列自第 k 项起各项均为 0．
7.【答案】4π
【解析】解：由题意，半径为 1 的球的表面积是 4π•12=4π．故答案为 4π．直接利用球的表面积公式，即可得出结论．本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．
8.【答案】n2
【解析】解：∵等差数列{an}的首项为 1，公差为 2，
∴该数列的前 n 项和 Sn=n×
9. 函数 f（x）=

房山2020年高三数学一模试题和答案

房山区2020年第一次模拟检测高三数学本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）复数i(3i)+=（A ）13i + （B ）13i -+ （C ）13i - （D ）13i --（2）函数π()tan()6f x x =+的最小正周期为（A ）π3 （B ）π2 （C ）π（D ）（A（B（C（D ）（4）在二项式5(12)x -的展开式中，3x 的系数为（A ）40 （B ）40- （C ）80（D ）80-（5）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是（A ）2y x -=（B ） |ln |y x = （C ）2xy -=（D ）sin y x x =（6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（A ）43 （B ）83 （C ）4 （D ）8左视图俯视图主视图（7）已知函数, 1,()1, 1.x a x f x bx x ⎧>-=⎨+-⎩≤若(2)0f -=，且()f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（A ）(0,2] （B ）(1,2] （C ）(1,)+∞（D ）[2,)+∞（8）设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“0d <”是“n ∀∈*N ，1n n S S +<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知直线l ：(2)2y m x =-+与圆C ：229x y +=交于A ，B 两点，则使弦长||AB 为整数的直线l 共有（A ）6条（B ）7条（C ）8条（D ）9条（10）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．下面的统计图反映了20122019-年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率=贫困人数（人）÷统计人数（人）100%⨯）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（A ）20122019-年，全国农村贫困人口逐年递减（B ）20132019-年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年（C ）20122019-年，全国农村贫困人口数累计减少9348万（D ）2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

江苏省南通市2020届高三一模数学试卷及答案

南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．【答案】115．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的值为▲．【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．a ←1i ←1While i ≤4a ←a+i i ←i +1End While Print a（第4题）【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（第18题）O（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，极大值极小值．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出（第22题）文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。

2020届高三第一次质量检测数学试卷(含答案)

高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =▲．2．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的▲条件． 3．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1=1q 2，且S 5=S 2+7，则首项a 1的值为▲．4．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则a ，b ，c 的大小关系为▲． 5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为▲．6．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f +++⋯+f (50)=▲．7．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为▲．8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的体积为▲． 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS==∑▲．10.若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为▲．11．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是▲．12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是▲．13．已知当x ∈[0,1]时，函数y =(mx −1)2的图象与y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是▲．14．设函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=2 f(x)，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x(x −1)．若对任意x ∈(−∞,m]，都有f(x)≥−89，则m 的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题, 共计70分. 请写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17.（本小题满分15分）已知函数2()1f x x =-，()1g x a x =-，()()()F x f x g x =-．（1）2a =，[]0,3x ∈，求()F x 值域；（2）0a >，解关于x 的不等式()0F x ≥．18．（本小题满分15分）如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形ABCD 组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点P ），为了固定该设备，计划除从隧道最高点Q 处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自,A B 两点分别使用钢管支撑.已知道路宽8AB cm =，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为L .（1）①设PQ x =，将L 表示为关于x 的函数； ②设PAB θ∠=，将L 表示为关于θ的函数；（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？19.（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，13()n n a a f n +=+．（1）若()f n k =（k 为常数），314a =，求k ；（2）若()21f n n =-．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数2()(1),()ln (,)f x x a x a g x x b x a b R =++-=-∈ (1)当2b =时，求函数()g x 的单调区间；(2)设函数(),1()(),1f x x h x g x x ≤⎧=⎨>⎩若0a b +=，且()0h x ≥在R 上恒成立，求b 的取值范围；(3)设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +≥，且()u x 在(0,)+∞上存在零点，求b 的取值范围.高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1.(–∞，1)2.充分不必要条件3.144.a c b <<5.1010.16.27.a n =3-2n8.439.2nn+110.[1,2) 11.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.44013.(0,1]∪[3,+∞)14.（−∞,73]二、解答题：本大题共6小题, 共计70分. 请写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . （1）当S =∅1−m >1+m ⟹m <0 （2）当S ≠∅则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[−∞,3]．16.解：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC−A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.1）22221(13)()()()12123(01)x x x F x f x g x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=-=---=⎨+-≤<⎪⎩………2分13x ≤≤，221[0,4]x x --∈……………………………4分 01x ≤<，223[3,0)x x +-∈-……………………………6分所以()()()F x f x g x =-的值域为[3,4]-……………………………7分（2）(1)(1) (1)()(1)(1) (1)x x a x F x x x a x -+-≥⎧=⎨-++<⎩……………………………9分1x ≥，()0F x ≥，0a >，令(1)12a a --=-①当2a ≥时，(1)1a -≥，所以1x ≤或1x a ≥-，即：1x =或1x a ≥- ②当02a <<时，(1)1a -<，所以1x a ≤-或1x ≥，即：1x ≥1x <，()0F x ≥，0a >得：1x a ≤--或1x ≥1x a ⇒≤--……………………13分综上：当2a ≥时不等式()0F x ≥的解为：1x a ≤--或1x =或1x a ≥- 当02a <<时不等式()0F x ≥的解为：1x a ≤--或1x ≥……………………15分18．解（1）延长QP 交AB 于点E ，则⊥QE AB ，且E 为AB 的中点，所以142EA EB EQ AB ====，由对称性可知，PA PB =. ①若PQ x =，则04x <<，4EP x =-，在Rt PAE ∆中，PA ==所以)204L PQ PA x x =+=+<<，②若PAB θ∠=，则04πθ<<，在Rt PAE ∆中，4cos cos AE PA θθ==，tan 4tan PE AE θθ==，所以44tan PQ QE PE θ=-=-，所以42sin 244tan 2440cos cos 4L PQ PA θπθθθθ-⎛⎫=+=-+⨯=+⨯<< ⎪⎝⎭. （2）选取②中的函数关系式，2sin 440cos 4L θπθθ-⎛⎫=+⨯<< ⎪⎝⎭，记()2sin 0cos 4fθπθθθ-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则由()22sin 10cos f θθθ-'==及04πθ<<可得，6πθ=，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f θ'<，此时()fθ单调递减，当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()0f θ'>，此时()f θ单调递增，所以当6πθ=时，()fθ取得最小值，从而钢管总长度为L 取得最小值，即所用的钢管材料最省.19.解：（1）k 的值为﹣1；（2）①②。

2020届山东省济南市高三第一模数学试题(word版含答案)

2020年山东省济南市高三一模数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.已知全集U R ＝，集合A ＝2{}x x x ｜＞，则UA ＝A ． []0,1B ．（0，1）C ． (],1-∞D ． 1-∞（，） 2.设复数21iz i+＝（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。

某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位:kg ）约为（参考数据:取重力加速度大小为210/3 1.732g m s ≈＝，） A ． 63 B ． 69 C ． 75 D ．814.已知函数y f x ＝（）的部分图象如图，则f x （）的解析式可能是 A ． f x x tanx （）＝＋ B ． 2f x x sin x （）＝＋ C ．1 22f x x sin x -（）＝ D. 1cos 2f x x x -（）＝ 5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。

某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。

若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为 A ．甲 B ．丙 C ．戊 D ．庚6.已知抛物线24y x ＝的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q 。

若8AB PQ ＝，则＝ A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 87.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。

2020年高考一模数学试题及答案(数学)

(Ⅰ)试估计在这 50 万青年学生志愿者中,英语测试成绩在 80 分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人,记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)
.
2/5
14.函数吠h ⸶ .
h吠 h的最小正周期为
;若函数吠h在区间 ㄱㄠ h上单调递增,则的最大值为
15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有 100 名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为 70%,女生成绩的优秀率为 50%;乙校男生成绩的优秀率为 60%,女生成绩的优秀率为 40%.对于此次测试,给出下列三个结论:
第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.在吠吠 h 的展开式中,常数项为
.(用数字作答)
12.若向量 ⸶ 吠hㄠhhㄠ ⸶ ㄠ吠h满足 ㄰ 㸴,则实数吠的取值范围是
.
13.设双曲线吠h t
h
h⸶
t ㄱh的一条渐近线方程为
⸶
h h
吠,则该双曲线的离心率为
h,设ㄠ hㄠㄠ h是的一个“正整数分拆”,
且 ⸶ h,求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数 ,证明: 쳌 ;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆” ㄠ hㄠㄠ h与ㄠ hㄠㄠ h,当且仅当 ⸶ 且 ⸶ ㄠ h ⸶ hㄠㄠ ⸶ 时, 称这两个“正整数分拆”是相同的.)

南京盐城2020年高三一模数学试卷及答案

把答案写在答题卡的指定区域内．
15．(本小题满分 14 分)
已知△ABC 满足 sin(B＋π)＝2cosB． 6
（1）若 cosC＝ 6，AC＝3，求 AB；
3
（2）若 A∈(0，π)，且 cos(B－A)＝4，求 sinA．
3
5
16．(本小题满分 14 分)
如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，已知底面 ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC1 上的一点．
方法二：由点 A ， B 不重合可知直线 PA 与 x 轴不重合，故可设直线 PA 的方程为 x my 1 ，
联立

x2 2

y2
1
，消去
x
得 (m2

2) y2

2my
1
0 （☆），
x my 1
设 A(x1, y1) ，则 y1 与 y0 为方程（☆）的两个实根，
高三数学答案第 2 页共 7 页
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
1． (, 0]
2． 5
3．
2 3
4．真
8． 3
9．
2 3
10． 7
11．
3 3
5． 6
12．10
6． 2 13． 4
7． 2 3
14．

1 2
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
又由
x02 2

y02
1得
y02
1
x02 2
，代入（＃）式得 ( x0

天津市河西区2020届高三高考一模数学试题(含答案解析)

天津市河西区2020届高三高考一模数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习天津市河西区2020届高三高考一模数学试题（含答案解析）1 已知集合，，则A∩B=（）A. (－2,1)B. (－1,3)C. {－1,0}D.{0,1,2}【答案解析】 D【分析】根据题意可知，解不等式，得，即，再与集合取交集，即可.【详解】又故选：D2 命题：“，则”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案解析】 C【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【详解】解：已知：“，则”，则命题的否定是：，，故选：C．3 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照，，……分成5组，根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），计算，，，的值分别为（）组别分组频数频率第1组80.16第2组■第3组200.40第4组■008第5组2合计■■A. 16，0.04，0.032，0.004B. 16，0.4，0.032，0.004C. 16，0.04，0.32，0.004D. 12，0.04，0.032，0.04【答案解析】 A【分析】根据频率和平时关系，可求出的频率，由所有组频率之和为1得出的频率，从而算出，最后根据频率和组距的关系，求出和.【详解】解：由频率分布直方图和频数分布表得：的频率为：，的频率为：，，，，即，，，的值分别为16，0.04，0.032，0.004.故选：A．4 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，且，则（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案解析】 C由余弦定理得，又由正弦定理可得，即，则，又，解得，故选C.5 已知，，则（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】根据题意，将两边平方化简得：，由得出，，结合同角三角函数的平方关系得出和，最后再运用二倍角的余弦公式，即可求出.【详解】解：，，两边平方后得：，即，，，，，则.故选：A．6 设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A. B. C. 2 D. 3【答案解析】 B【详解】通径|AB|=得，选B7 已知定义域为R的函数在上单调递减，函数是偶函数，若，，，为自然对数的底数，则a、b、c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】由题可知，函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，，根据对数的运算和函数对称性得出，由指数函数单调性得出，由对数函数单调性得出，综合得出，再根据函数在上单调递减，即可得出答案.【详解】解：根据题意，函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，则，又由，，即，则，所以，且函数在上单调递减，所以，即：.故选：B．8 已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】根据题意，利用辅助角公式化简得，根据最小正周期求出，由函数的对称性和单调性，得出和，从而得出，最后利用整体法求出的值域.【详解】解：由题可知，函数，则，由于的最小正周期为，，，又已知的图象关于轴对称，，，则，在区间上单调递增，可以令，此时，则函数，所以在区间上，则，，得，，所以，，即的值域为，.故选：A．9 已知函数（为常数，为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是（）A. B. 或C. D. 或【答案解析】 D【分析】利用导数的额几何意义求出切线方程，根据分段函数图象与切线恰好有三个公共点，得到当时，切线与有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求出实数的取值范围.【详解】解：由，，得，则（e），在点处的切线方程为：，①由于函数，②由①②联立方程组可得：，化简得：，③要使得函数在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，切线与，，在点有一个交点，只需要满足③式在内有两个不相同的实数根即可，则只需和抛物线对称轴小于1，且当时，才能保证在内有两个不相同的实数根，则，即，解得：，的范围：或.故选：D．10 设复数（i是虚数单位），则z的共轭复数______.【答案解析】【分析】根据复数的代数式除法运算，即可化简出，再根据共轭复数的定义，即可得出结果. 【详解】解：复数，的共轭复数，故答案为：．11 已知的展开式中第6项的系数为－189，则展开式中各项的系数和为______.【答案解析】 128【分析】根据二项展开式的通项公式得出，从而得出第六项系数，求出，最后利用赋值法求展开式中各项的系数和.【详解】解：由题意，通项为：，由于的展开式中第6项的系数为-189，则第六项系数为：，解得：，故该二项式为，令得展开式各项系数的和为：．故答案为：128．12 已知圆锥的高为1，体积为，则以该圆锥的母线为半径的球的体积为______.【答案解析】【分析】由圆锥的高为1，体积为，根据圆锥的体积公式求出底面的半径，然后由母线，高，底面半径之间的关系求出母线的值，进而求出该圆锥的母线为半径的球的体积．【详解】解：由题可知，圆锥的高为1，体积为，设圆锥的底面圆的半径为，由题意可得，所以，所以圆锥的母线，所以圆锥的母线为半径的球的体积.故答案为：．13 已知圆C的圆心在第一象限，且在直线上，圆C与抛物线的准线和轴都相切，则圆C的方程为______.【答案解析】【分析】根据题意，可设圆心为，，由于圆与抛物线的准线和轴都相切，由直线与圆相切的性质，得出圆的半径，求出圆心和半径，可得圆的标准方程．【详解】解：圆的圆心在第一象限，且在直线上，故可设圆心为，，圆与抛物线的准线和轴都相切，故圆的半径，解得：，或（舍去），故圆的圆心为，半径为2，则圆的方程为：.故答案为：．14 若实数，满足，且，则的最小值为______；的最大值为______.【答案解析】；【分析】根据题意，，且，由对数的运算得出，利用基本不等式的性质直接求解可得的最小值，通过转化，再运用基本不等式即可求得答案．【详解】解：，，实数、满足，（当且仅当，时等式成立），，当且仅当，时等式成立．故答案为：，．15 在△ABC中，，，，，则______；设，且，则的值为______.【答案解析】 3 ；【分析】由可得，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；把和代入，化简整理后，代入已知数据，解关于的方程即可得解．【详解】解：，、、三点共线，，两边平方得：，，解得：（舍去）．，，化简整理，得，，解得．故答案为：3，．16 近年来，随着全球石油资源紧张、大气污染日益严重和电池技术的提高，电动汽车已被世界公认为21世纪汽车工业改造和发展的主要方向.为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B，并在黄金周期间同时投放市场.为了了解这两款车型在黄金周的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量（单位：台），得到下表：4S店甲乙丙丁戊车型A6613811车型B1291364（1）若从甲、乙两家4S店销售出的电动汽车中分别各自随机抽取1台电动汽车作满意度调查，求抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型A的概率；（2）现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B 销量的4S店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案解析】（1）；（2）分布列见解析，【分析】（1）先根据古典概型依次求出从甲、乙店分别随机抽取的1台电动汽车是车型的概率，然后依据独立事件的概率和从对立事件的角度出发求解问题即可；（2）由表可知，车型销量超过车型销量的店有2家，故的可能取值为0，1，2，然后根据超几何分布求概率的方法逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．【详解】（1）解：设“从甲店随机抽取的1台电动汽车是车型”为事件，“从乙店，随机抽取的1台电动汽车是车型”为事件，依题意，，，且事件、相互独立，设“抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型”为事件，则.（2）解：由表可知，车型销量超过车型销量的店有2家，故的所有可能取值为：0，1，2，且，，，所以随机变量的分布列为：12所以.17 如图所示的几何体P﹣ABCDE中，和均为以A为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，M为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）设N为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.【答案解析】（1）证明见解析；（2）45°；（3）【分析】（1）根据题意，得出，，根据线面垂直的判定定理得出平面，则，建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明；（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的大小；（3）设，，，求出，，，令，则，解得为的中点，利用向量法能求出线段的长．【详解】解：依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，则，，所以面，又，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，（1）证明：由题意，，，因为，所以.（2）解：，，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，平面的一个法向量，因此有，由图可得二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.（3）解：（方法一）设，，所以，因此，令，即，解得，即为的中点，因为平面，平面，，所以当为的中点时，平面平面，此时即，，所以线段的长为.（方法二）设，，所以，因此，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，因为平面平面，所以，解得：，此时即，，所以线段的长为.18 设{an}是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，{bn}的前n项和为，.（1）求{an}和{bn}的通项公式;（2）设数列{cn}的通项公式.（i）求数列{cn}的前项和；（ii）求.【答案解析】（1），；（2）（i）；（ii）【分析】（1）因为，是和的等比中项，根据等比中项可求得，再根据等差数列的通项公式求出，利用与的关系，证出是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项公式；（2）根据（1）中和的通项公式，列出数列的通项公式，利用分组求和法，分成奇数组和偶数组，即可求出数列的前项和；将分为奇数和偶数两种情况，当为奇数时，设，运用裂项相消法化简求出结果；当为偶数时，设，运用错位相减法求出结果；分别求解出后，相加求得的值即可．【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，是和的等比中项，所以，即，解得，因为是各项均为正数的等差数列，所以，故，因为，所以，两式相减得：，当时，，，是以2为首项，2为公比的等比数列，.（2）（i）解：，所以.（ii）解：当为奇数时，设，当为偶数时，设，，所以，故，所以.19 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆C于点、（不与左右顶点重合），连结、，已知周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线的斜率为1，求的面积；（3）设，且，求直线的方程.【答案解析】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）由椭圆的离心率公式和椭圆的定义，可得，，再由，，的关系可得，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线的方程，联立椭圆方程，消去，运用韦达定理，结合的面积为，计算可得所求值；（3）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，运用韦达定理，由，得出，结合，设，所以，，运用韦达定理可求出，进而得到所求直线方程．【详解】（1）解：由题可知，周长为8，由椭圆的定义，可知的周长等于，则，所以，又，所以，，因此椭圆的方程为.（2）解：依题意，直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得：，由韦达定理：，，. （3）解：设直线的方程为，，，直线与椭圆方程联立，整理得：，由韦达定理：①，②，因为，所以，即，由，，得：，所以，又，不妨设，所以，，代入，所以，所以，整理得，代入①②，计算得，所以直线的方程为或.20 已知函数（，为自然对数的底数）.（1）若函数f(x)在点处的切线的斜率为，求实数a的值；（2）当时，讨论函数f(x)的单调性；（3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案解析】（1）2；（2）当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递减区间为，，单调递增区间为；（3）【分析】（1）由，得出，利用，解得；（2），，令，解得：或0，对分类讨论，利用导数研究出函数的单调性；（3）由于在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，即当时，，设，则，构造函数，通过对分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）解：由于，，，因为函数在点处的切线的斜率为，所以，解得：.（2）解：依题意知，，令，解得：或0，当时，令，得或，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，当时，令，得，所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为. （3）解：由于在区间上恒成立，即在区间上恒成立，依题意，当时，，即当时，，设，则，设，则，①当时，当时，，从而，所以在区间为上单调递增，又∵，当时，，从而时，，所以在区间为上单调递减，又∵，从而当时，，即，于是当时，；②当时，令，得，∴，当时，，∴在区间上单调递减，又∵，当时，，从而当时，，∴在区间上单调递增，又∵，从而当时，，即，不合题意，综上所述，实数的取值范围为.。

2020年北京市海淀区高三一模数学试卷+答案

2020年北京市海淀区高三一模数学试卷2020.5 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内,复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 2. 已知集合{|03},{1}A x x A B =<<=,则集合B 可以是（A ）{1,2}（B ）{1,3}（C ）{0,1,2}（D ）{1,2,3}3. 已知双曲线2221(0)yx b b-=>的离心率是5,则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 已知实数,,a b c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是（A ）b a c a -<+（B ）2c ab < （C ）c c b a>（D ）||||b c a c <5. 在61(2)x x-的展开式中,常数项为（A ）120-（B ）120（C ）160-（D ）1606. 如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚到圆M '时,圆M '与直线l 相切于点B ,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3π2,则点M '到直线BA '的距离为（A ）1 （B ）32（C ）22（D ）127. 已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为（A ）[1,)-+∞（B ）(,1]-∞-（C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-8. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为（A ）5 （B ）22 （C ）23 （D ）139. 若数列{}n a 满足12a =,则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10. 形如221n+（n 是非负整数）的数称为费马数,记为n F .数学家费马根据01234,,,,F F F F F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那么5F 的位数是（参考数据:lg 20.3010≈）（A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）（含参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{0，1}，∴A∩B的子集个数为22＝4个．故选：B．2．（5分）若复数z满足z=i（其中i为虚数单位），则z在复平面的对应点在（）A．第一象限B．第二象限1+i1+iC．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z=i=(1+i)(−i)=1−i，2−i∴z在复平面的对应点的坐标为（1，﹣1），在第四象限．故选：D．3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确；故选：A．4．（5分）定义在R上的函数f(x)=()|xm|2为偶函数，a=f(log2)，b=f(()3)，c ＝f（m），则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b131312112C．a＜b＜c D．b＜a＜c 【解答】解：定义在R上的函数f(x)=()|xm|2为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即(3)|xm|2=(3)|xm|2；所以m＝0，所以f（x）=()|x|2，且在[0，+∞）上是单调减函数；又log2=1，0＜(2)3＜2，m＝0；211所以f（log2）＜f（()3）＜f（0），22111111311即a＜b＜c．故选：C．5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．185C．10D．325【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P =而P =9，则=，95ss 28002=；20005解可得，S =5；故选：B ．6．（5分）已知向量a ，b 的夹角为，且|a |＝1，|2a −b |=√3，则|b |＝（）3→→18π→→→→A ．1→B ．√2→C ．√3D ．2【解答】解：由|2a −b |=√3，得|2a−b|=(2a −b)=4|a|−4a ⋅b +|b|2=3，又向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，∴4×1﹣4×1×|b |cos60°+|b|2=3，整理得：|b |−2|b|+1=0，解得|b |＝1．故选：A ．7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于（）→2→→→→→→→2→→2→2→→→2→→A．5B．4C．3D．2【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1n＝1a=2，b＝2不满足条件a≤b，执行循环体，n＝2，a=4，b＝4不满足条件a≤b，执行循环体，n＝3，a=81，b＝8 8243279不满足条件a≤b，执行循环体，n＝4，a=16，b＝16此时，满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．故选：B．2+18．（5分）函数f(x)=x⋅cosx的图象大致是（）2−1xA．B．C ．−xD ．2+1【解答】解：由题意，f （﹣x ）=−x •cos （﹣x ）＝﹣f （x ），函数是奇函数，排除A ，2−1B ；x →0+，f （x ）→+∞，排除D ．故选：C ．9．（5分）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（）A ．60B ．90C ．120D ．150【解答】解：根据题意，分2步进行分析①、将5项工作分成3组若分成1、1、3的三组，有若分成1、2、2的三组，有C 53C 21C 11A 22A 22C 52C 32C 11=10种分组方法，=15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A 33＝6种情况；所以不同的安排方式则有25×6＝150种，故选：D ．10．（5分）已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若PF =3MF ，则|MN |＝（）A ．163→→B ．38C ．212D ．18√33【解答】解：抛物线C ：y 2＝2x的焦点为F （，0），准线为l ：x =−2，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），M ，N 到准线的距离分别为d M ，d N ，由抛物线的定义可知|MF |＝d M ＝x 1+2，|NF |＝d N ＝x 2+2，于是|MN |＝|MF |+|NF |＝11x 1+x 2+1．∵PF =3MF ，∴直线MN 的斜率为±√3，∵F （，0），21→→∴直线PF 的方程为y ＝±√3（x −），将y ＝±√3（x −），代入方程y 2＝2x ，并化简得12x 2﹣20x +3＝0，∴x 1+x 2=3，于是|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+1=3+1=3．故选：B ．11．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 内接于球O ，P A ⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形，且边长为√3，球O 的表面积为16π，则直线PC 与平面P AB 所成的角的正弦值为（）A ．√1575581212B ．√155C ．√152D ．√1510【解答】解：设三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，则S 球＝4πR 2＝16π，故R ＝2，设M 为△ABC 的中心，N 为AB 的中点，则OM ⊥平面ABC ，且OC ＝2，由△ABC 为等边三角形，且边长为√3，求得NC =，MC ＝1，∴OM =√OC 2−OM 2=√3，∵P A ⊥平面ABC ，故P A ＝2OM ＝2√3，且P A ⊥CN ，∴PN =2，又CN ⊥AB ，AB ∩P A ＝A ，∴CN ⊥平面P AB ，则PC =√15，√15NC ∴sin ∠NPC =PC =2=10．√15√51323故选：D ．12．（5分）f（x）={|2x+1|，x＜1，g（x）=4x3−4x2+m+2，若y＝f（g（x））﹣log2(x−1)，x＞1515m有9个零点，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，3）54C．(1，)53D．(，3)53【解答】解：令t＝g（x），g（x）=x3−=4x(x−2)，15152151515x+m+2，g（'x）=x2−x=(x2−2x）4424当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数g（x）递增，当x∈（0，2）时，函数g（x）递减，函数g（x）有极大值g（0）＝m+2，极小值g（2）＝m﹣3，若y＝f（g（x））﹣m有9个零点，画出图象如下：观察函数y＝f（t）与y＝m的交点，当m＜0时，t＞1，此时函数y＝f（t）与y＝m最多有3个交点，故不成立，当m＝0时，t1=−2，t2＝2，g（0）＝2，g（2）＝﹣3，g（x）＝t1，有三个解，g（x）＝2有2个解，共5个解不成立；当m＞3时，显然不成立；故要使函数有9个零点，0＜m＜3，根据图象，每个y＝t最多与y＝g（x）有三个交点，要有9个交点，只能每个t都要有3个交点，当0＜m＜3，y＝f（t）与y＝m的交点，−2＜t1＜−2，−2＜t2＜1，2＜t3＜9，111g （0）＝m +2∈（2，5），g （2）＝m ﹣3∈（﹣3，0），当2＜t 3＜m +2时，由log 2(t 3−1)=m ，t 3=2m +1，即2＜2m +1＜m +2时，得0＜m ＜1时，2＜t 3＜3时（x ）＝t 3，有三个解，g （x ）＝t 2，要有三个解m ﹣3＜−2，即m ＜2，g （x ）＝t 1有三个解m ﹣3＜﹣2，即m ＜1，综上，m ∈（0，1），故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线y ＝xe x ﹣2x 2+1在点（0，1）处的切线方程为y ＝x +1．【解答】解：求导函数可得，y ′＝（1+x ）e x ﹣4x 当x ＝0时，y ′＝1∴曲线y ＝xe x ﹣2x 2+1在点（0，1）处的切线方程为y ﹣1＝x ，即y ＝x +1．故答案为：y ＝x +1．14．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1≠0，a 2＝3a 1可得，d ＝2a 1，∴S 10S 5S 10S 515=4．=10(a 1+a 10)5(a 1+a 5)=2a 11+4d=2(2a 1+18a 1)=4，2a 1+8a 12(2a +9d)故答案为：4．15．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为→3→半径做圆，圆A 与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若OM =2ON （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为【解答】解：双曲线C ：x 2a 2√30．5−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A （a ，0），以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．则点A 到渐近线bx ﹣ay ＝0的距离为|AB |=ab√b 2+a 2，22a2b b2√∵r＝b，∴|BN|=b−2=，c c3→∵OM=ON，25b∴|OB|＝5|BN|=c，2→∵|OA|＝a，25b a2b∴a=2+2，c c242∴a2c2＝25b4+a2b2，∴a2（c2﹣b2）＝25b4，∴a2＝5b2＝5c2﹣5a2，即6a2＝5c2，即√6a=√5c，∴e=a=5，故答案为：√30．5c√3016．（5分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+2p﹣2（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，则a1的所有可能取值的集合是{﹣2，0，﹣66}．【解答】解：由题意，对任意n∈N*，均有an+1+2＝p（a n+2），当an+2＝0，即a1+2＝0，即a1＝﹣2时，a2＝a3＝a4＝a5＝﹣2．当an+2≠0时，构造数列{b n}：令b n＝a n+2，则b n+1＝pb n．故数列{bn}是一个以p为公比的等比数列．∵a2，a3，a4，a5∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，∴b 2，b 3，b 4，b 5∈{﹣16，﹣4，0，8，13，32}．①当b 2＝﹣4，b 3＝8，b 4＝﹣16，b 5＝32时，p ＝﹣2．此时，b 1=b 2−4==2，a 1＝b 1﹣2＝2﹣2＝0；p −212②当b 2＝32，b 3＝﹣16，b 4＝8，b 5＝﹣4时，p =−．2此时，b 1=p =1=−64，a 1＝b 1﹣2＝﹣64﹣2＝﹣66．−2b 32∴a 1的所有可能取值的集合是{﹣2，0，﹣66}．故答案为：{﹣2，0，﹣66}．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设2R （sin 2A ﹣sin 2B ）＝（a ﹣c ）sin C ．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b ＝12，c ＝8，求sin A 的值．【解答】解：（I ）∵2R （sin 2A ﹣sin 2B ）＝（a ﹣c ）sin C ，∴2R •2R （sin 2A ﹣sin 2B ）＝（a ﹣c ）sin C •2R ，即：a 2+c 2﹣b 2＝ac ，a 2+c 2−b 1∴cosB ==．2ac 22因为0＜B ＜π，所以∠B =，（II ）若b ＝12，c ＝8，由正弦定理，b sinBπ3=，sinC =3，sinC√6c √3由b ＞c ，故∠C 为锐角，cosC =π3，√3√6∴sinA =sin(B +C)=sin(3+C)=2⋅3+2⋅3=1√33√2+√3．618．（12分）已知三棱锥M ﹣ABC 中，MA ＝MB ＝MC ＝AC =2√2，AB ＝BC ＝2，O 为AC的中点，点N 在线BC 上，且BN =3BC ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N ﹣AM ﹣C 的正弦值．→2→【解答】解：（1）如图所示：连接OM ，AC ，OM 相交于O ，在△ABC 中：AB =BC =2，AC =2√2，则∠ABC =90°，BO =√2，OB ⊥AC ．在△MAC 中：MA =MC =AC =2√2，O 为AC 的中点，则OM ⊥AC ，且OM =√6．在△MOB 中：BO =√2，OM =√6，MB =2√2，满足：BO 2+OM 2＝MB 2根据勾股定理逆定理得到OB ⊥OM ，故OB ⊥平面AMC ；（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，建立空间直角坐标系O ﹣xyz 如图所示．因为MA =MB =MC =AC =2√2，AB ＝BC ＝2则A(0，−√2，0)，B(√2，0，0)，C(0，√2，0)，M(0，0，√6)，√22→2√2由BN =3BC 所以，N(3，3，0)→设→平→面√2MAN5√2的法向√2量5√2为m =(x ，y ，z)→，则AN ⋅n =(3，3，0)⋅(x ，y ，z)=3x +3y =0，{→→AM ⋅n =(0，√2，√6)⋅(x ，y ，z)=√2y +√6z =0令y =√3，得m =(−5√3，√3，−1)，因为BO ⊥平面AMC ，所以OB =(√2，0，0)为平面AMC 的法向量，所以m =(−5√3，√3，−1)与OB =(√2，0，0)所成角的余弦为cos ＜m ，OB ＞=−5√6−5√3=．√79√2√79→→→→→→所以二面角的正弦值为|sin ＜m ，OB ＞|=√1−(y 2a 2x 2b 2→→−5√3222√79)==．79√79√79√2，且过点C （1，0）．219．（12分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点（−，0）的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有|AB |＝2|CM |．【解答】解：（I ）由题意知b ＝1，=a c√2，213又因为a 2＝b 2+c 2解得，a =√2，所以椭圆方程为y 221+x 2=1．1（Ⅱ）设过点(−3，0)直线为x =ty −3，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）x =ty −3由{2得（9+18t 2）y 2﹣12ty ﹣16＝0，且△＞0．y2+x =1212t2，9+18t 则{16y 1y 2=−，9+18t21y 1+y 2=又因为CA =(x 1−1，y 1)，CB =(x 2−1，y 2)，CA ⋅CB =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(ty 1−3)(ty 2−3)+y 1y 2=(1+t 2)y 1y 2−3t(y 1+y 2)+9=(1+t 2)−⋅9+18t 2312t 16+=0，99+18t 244416−164t →→→→所以CA ⊥CB ．→→因为线段AB 的中点为M ，所以|AB |＝2|CM |．20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0＜p ＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验．化验次数的期望值越小，则方案越“优“．（1）若p =2√2，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；32√2，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优3（2）①若p =“？②若“方案三”比“方案四“更“优”，求p 的取值范围．【解答】解：（1）该混合样本达标的概率是(2√228)=，391所以根据对立事件原理，不达标的概率为1−9=9．（2）①方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：由①知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则988检测次数为3，概率为．故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2，4，6．91其分布列如下，ξ2p26481416816181可求得方案二的期望为E(ξ2)=2×6416119822+4×+6×==818181819方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1，5．其分布列如下，ξ4p16481517816417149+5×=．818181可求得方案四的期望为E(ξ4)=1×比较可得E （ξ4）＜E （ξ2）＜4，故选择方案四最“优”．②方案三：设化验次数为η3，η3可取2，5．η3p2p 351﹣p 3E(η3)=2p 3+5(1−p 3)=5−3p 3；方案四：设化验次数为η4，η4可取1，5η4p1p 451﹣p 4E(η4)=p 4+5(1−p 4)=5−4p 4；由题意得E(η3)＜E(η4)⇔5−3p 3＜5−4p 4⇔p ＜4．故当0＜p ＜4时，方案三比方案四更“优”．e x 21．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣lnx −．x 33（1）求f （x ）的最大值；（2）若f(x)+(x +x )e x−bx ≥1恒成立，求实数b 的取值范围．e x【解答】解：（1）f(x)=x −lnx −x ，定义域（0，+∞），1f′(x)=1−x −1e x (x−1)(x−1)(x−e x )=，x 2x 2由e x ≥x +1＞x ，f （x ）在（0，1]增，在（1，+∞）减，f （x ）max ＝f （1）＝1﹣e ．1x e x e x x （2）f(x)+(x +x )e −bx ≥1⇔−lnx +x −x +xe +x −bx ≥1⇔﹣lnx +x +xe x ﹣bxxe x −lnx−1+x xe x −lnx−1+x﹣1≥0⇔≥b ⇔()min ≥b ，x x令φ(x)=xe x −lnx−1+x x 2e x +lnx，φ′(x)=，x x令h （x ）＝x 2e x +lnx ，h （x ）在（0，+∞）单调递增，x →0，h （x ）→﹣∞，h （1）＝e ＞0h （x ）在（0，1）存在零点x 0，即ℎ(x 0)=x 02e x 0+lnx 0=0，x 0e 2x 0+lnx 0=0⇔x 0e x 0ln lnx 1=−x 0=(ln x )(e x 0)，001由于y ＝xe x 在（0，+∞）单调递增，故x=ln x =−lnx 0，即e x 0=x ，00φ（x ）在（0，x 0）减，在（x 0，+∞）增，φ(x)minx 0e x 0−lnx 0−1+x 01+x 0−1+x 0===2，x 0x 011所以b ≤2．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]x =acosα322．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P (1，2)，其参数方程{y =3sinα√（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：定值．【解答】解：（I ）将点P(1，2)代入曲线E 的方程，1=acosα，得{3解得a 2＝4，=3sinα，2√所以曲线E 的普通方程为14x 241331|OA|2+1|OB|2为定值，并求出这个+y 23=1，极坐标方程为ρ2(cos 2θ+sin 2θ)=1．（Ⅱ）不妨设点A ，B 的极坐标分别为A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+)，ρ1＞0，ρ2＞0，22(4ρ1cos 2θ+3ρ1sin 2θ)=1，则{1π12π222(4ρ2cos (θ+2)+3ρ2sin (θ+2)=1，π211111=4cos 2θ+3sin 2θ，2ρ1即{1．1122=4sin θ+3cos θ，ρ221 2ρ1+12ρ2=14+13=712，即1|OA|2+1|OB|2=712．[选修4-5不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|2x+1|+m．（1）求不等式f（x）＞m的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）≥0，求m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＞m，得|x﹣1|﹣|2x+1|＞0，即|x﹣1|＞|2x+1|，不等式两边同时平方，得（x﹣1）2＞（2x+1）2，即x2+2x＜0，解得﹣2＜x＜0，∴不等式f（x）＞m的解集为{x|﹣2＜x＜0}；x≤−x+221（2）设g（x）＝|x﹣1|﹣|2x+1|，g(x)=−3x−2＜x≤1，{−x−2x＞1∵g（﹣2）＝g（0）＝0，g（﹣3）＝﹣1，g（﹣4）＝﹣2，g（1）＝﹣3，又恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）≥0，f(−3)≥0−1+m≥0∴{，即{，解得1≤m＜2，−2+m＜0f(−4)＜0故m的取值范围为[1，2）．1。

2020高三南京盐城市一模数学试题含答案

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则ðU A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+，则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos C =3AC =，求AB ；（2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．16．(本小题满分14分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值；（2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P 与Q ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O 上，点P 、Q 在O 的一条直径上，P 、Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与O 内切．（1）求圆形铁皮P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P 与Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)18．(本小题满分16分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=，22BF F P μ=，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()xxf x e aemx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-2：矩阵与变换）y已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值；（2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑(n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++.（1）求n S ；（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-，求证：3||6n T n ≥恒成立.南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．27．8．3 9．2310．7 11 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+，移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由c o s 3C =，),0(π∈C 可知33co s 1s i n 2=-=C C ， ……………………………4分故在A B C ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(c o s 1)3si n (2=--=-A A ππ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ，又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分（2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分因为底面ABCD是正方形，所以A C ⊥． ……………………………………………………10分又1AC CC C =，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P Ì面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥．………………………………………………14分17．解：（1）设P 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π，所以()0f x '>在定义域上恒成立，故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分答：P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-，解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分（2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩，代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=，化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,1y =，故01212y y m -=+，则121(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=，代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，∴322174141b b q b b --===--，∴111n nn n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-，当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-，由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn nn ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立，所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-，其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <，故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，令m e e x f x g xx-+='=-)()(，则xx xxee ee x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ，又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分（3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(，消去m可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(xxe ex x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e，所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥，故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤，综上，m的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''，所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y'+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以2913612a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24s i n ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是02m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分 21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=，由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， (5)分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--，1(1,1,3)B D =--，所以117cos ,11A CB D <>==，所以异面直线1A C与1B D所成角的余弦值为711. …………………………………………4分（2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，所以1(1,1,)A C m =--，1(1,1,)B D m =--，(2,0,0)CD =，设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，所以10x =，令11z =，则1y m =，所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =，同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>==，解得m =m =，由图形可知当二面角11A CDB --的大小为3π时,m = …………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分. 23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=，令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-，两式相加得024232()(912nn a a a a ++++=-，∴3(91)4nn S =-.…………………………………3分（2）123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++- {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++- 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++- 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++- 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分要证3||6n T n ≥，即证384n⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥，当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。