年重庆中考数学试卷附解析
重庆数学中考试题及答案
重庆数学中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，那么斜边的长度是？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 3 * 4B. 5 / 2C. 7 - 2D. 8 ÷ 2答案：B4. 下列哪个是二次方程？A. x + 2 = 0B. x^2 + x + 1 = 0C. x^3 - 2x^2 + x = 0D. x^2 - 4 = 0答案：B5. 圆的周长公式是？A. C = πdB. C = 2πrC. A = πr^2D. A = πd^2答案：B6. 一个数的平方根是它自己，这个数是？A. 1B. -1C. 0D. 2答案：C7. 以下哪个是立方体的体积公式？A. V = a^2B. V = a^3C. V = 2aD. V = πa^3答案：B8. 一个数的倒数是1/5，这个数是？A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A9. 以下哪个是正弦函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 双曲线答案：C10. 如果一个角的正弦值是0.5，那么这个角的度数是？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知一个数的平方是25，这个数是________。
答案：±512. 一个圆的半径是7，那么它的直径是________。
答案：1413. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4，它的体积是________。
答案：2414. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果顶角是60°，那么底角是________。
答案：60°15. 一个数的立方是-27，这个数是________。
答案：-316. 一个直角三角形的两个直角边分别是6和8，那么斜边的长度是________。
2024重庆中考数学试题及答案b
2024重庆中考数学试题及答案b2024年重庆中考数学试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.5B. √2C. 0.33333...D. 1/32. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长x满足的条件是：A. 2 < x < 8B. 1 < x < 8C. 2 < x < 7D. 3 < x < 83. 函数y=2x+3的图象经过点（1，5），则该函数的斜率k为：A. 2B. 3C. 5D. 74. 计算下列表达式的结果：A. (-2)^3 = -8B. (-2)^3 = 8C. (-2)^3 = 2D. (-2)^3 = -25. 一个圆的半径为5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π6. 已知a=2，b=-3，求代数式3a-2b的值：A. 12B. 6C. 0D. -67. 一个等腰三角形的底角为45°，那么它的顶角为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°8. 计算下列二次根式的结果：A. √(9) = 3B. √(16) = 4C. √(25) = 5D. √(36) = 69. 一个数列的前三项为1，2，3，从第四项开始，每一项是前三项的和，那么第10项的值是：A. 55B. 89C. 144D. 23310. 一个长方体的长宽高分别为a，b，c，那么它的体积是：A. abcB. ab + bc + acC. a + b + cD. a^2 + b^2 + c^2二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
12. 一个数的绝对值是8，那么这个数可以是______或______。
13. 一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么它的斜边长为______。
14. 一个二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为（2，-3），那么a的值为______。
2024重庆中考数学试卷
2024重庆中考数学试卷一、下列实数中，是无理数的是：A. 3.14B. √2 （答案）C. 0D. -1/3二、若a//b，b//c，则a与c的关系是：A. a//c （答案）B. a⊥cC. a与c相交但不垂直D. a与c无法确定关系三、在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 70°，则∠C的度数是：A. 50°B. 60° （答案）C. 70°D. 80°四、下列运算正确的是：A. 3a + 2b = 5abB. (a2)3 = a5C. a6 ÷ a3 = a3 （答案）D. a2 · a4 = a6 （此选项也正确，但题目要求单选，故不作为答案）五、若一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)有两个相等的实数根，则判别式Δ = b2 - 4ac的值是：A. Δ > 0B. Δ < 0C. Δ = 0 （答案）D. Δ无法确定六、在平面直角坐标系中，点P(-3,4)到x轴的距离是：A. -3B. 3C. 4 （答案）D. 5七、下列函数中，是一次函数的是：A. y = x2 + 1B. y = 1/xC. y = 2x - 1 （答案）D. y = √x八、若圆的半径为r，则圆的面积S与r之间的函数关系是：A. S = πrB. S = 2πrC. S = πr2 （答案）D. S = 2πr2九、在比例尺为1:50000的地图上，两城市间的图上距离为2cm，则这两城市间的实际距离为：A. 1kmB. 100mC. 1000m （答案）D. 10km十、已知数据x₁，x₁，…，x₁的平均数为5，若每个数据都加3，则新数据的平均数为：A. 2B. 5C. 8 （答案）D. 10。
2023年重庆市中考数学试卷(A卷)及答案解析
2023年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A．B．C．D．3．（4分）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（）A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）4．（4分）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：165．（4分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°6．（4分）估计（+）的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．（4分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．548．（4分）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是（）A．3B．C．D．69．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（）A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣αD．90°﹣α10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：2﹣1+30＝．12．（4分）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为．13．（4分）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．14．（4分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为．16．（4分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；（2）÷（x﹣）．20．（10分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝．∵EF垂直平分AC，∴．又∠EOC＝，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线．21．（10分）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？23．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．24．（10分）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E 在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y 轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．2023年重庆市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：8的相反数是﹣8．故选：A．【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．3．【分析】根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴k＝﹣4，A、∵1×4＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；B、∵﹣1×（﹣4）＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵﹣2×2＝﹣4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；D、∵2×2＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．4．【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，∴这两个三角形对应边的比为1：4，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．【分析】根据平行线的性质，可以求得∠BAC+∠1＝180°，然后根据∠1的度数和AD⊥AC，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠1＝180°，∵∠1＝55°，∴∠BAC＝125°，∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】化简题干中的式子得到4+2，计算出2＜＜2.5．利用不等式的性质，得出式子的值所在的范围．【解答】解：原式＝4+2．∵2.52＝6.25，∴2＜＜2.5，∴4＜2＜5，∴8＜4+2＜9．故选：B．【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对无理数范围确定及不等式的性质的掌握，解题关键是化简式子并确定无理数的范围利用不等式的性质解决问题．解题时应注意合理缩小无理数的范围得到最准确的答案．7．【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，图案②有：4+5×2＝14根小木棒，图案③有：4+5×3＝19根小木棒，…，∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，故选：B．【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．【分析】根据切线的性质得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB＝AB ＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝2，∴OB＝AB＝2，∵BC＝3，∴OC＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．9．【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进一步根据∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB求解即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示：则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．10．【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y ﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y ﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m ﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．【点评】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．【分析】根据负整数指数幂和零指数幂计算即可．【解答】解：2﹣1+30＝+1＝，故答案为：．【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．12．【分析】利用多边形内角和公式及正多边形性质易得∠B的度数，AB＝BC，再根据等边对等角，利用三角形内角和定理即可求得答案．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠B＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝＝＝36°，故答案为：36°．【点评】本题主要考查多边形内角和及正多边形性质，利用其求得∠B的度数是解题的关键．13．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，∴两次都摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．【分析】根据今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，列一元二次方程即可．【解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，故答案为：1501（1+x）2＝1815．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．15．【分析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，进一步可得EF的长．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．16．【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，＝S⊙O﹣S矩形ABCD＝﹣3×4＝π﹣12．∴S阴影故答案为：π﹣12．【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．17．【分析】先解不等式组，根据至少有2个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是非负整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可．【解答】解：解不等式组，得，∵至少有2个整数解，∴≤4，∴a≤6，解分式方程+＝2，得y＝，∵y的值是非负整数，a≤6，∴当a＝5时，y＝2，当a＝3时，y＝1，当a＝1时，y＝0，∵y＝2是分式方程的增根，∴a＝5（舍去），∴满足条件的a的值有3和1，∵3+1＝4，∴所有满足条件的整数a的值之和是4．故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键．18．【分析】根据递减数的概念列方程求a的值，根据递减数的概念先求得10a﹣9b﹣11c＝d，然后根据题意列出两个三位数字之和，结合能被9整除的数的特征分析满足条件的最大值．【解答】解：由题意可得10a+3﹣31＝12，解得a＝4，∴这个数为4312，由题意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d，整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d，一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为：100a+10b+c+100b+10c+d＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c＝110a+101b＝99（a+b）+11a+2b，又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，∴是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，a＝9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去，当a＝8时，b＝1，此时71﹣11c＝d，c取9或8或7时，均不符合题意，当c取6时，d＝5，∴满足条件的数的最大值是8165，故答案为：4312；8165．【点评】本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．【分析】（1）先由单项式乘以多项式，平方差公式进行化简，然后合并同类项即可；（2）先将括号内的进行合并，除法变成乘法，再约分化简即可．【解答】解：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1．（2）÷（x﹣）＝＝＝．【点评】此题主要是考查了分式的混合运算，整式的混合运算，能够熟练运用平方差公式，完全平方公式是解答此题的关键．20．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF；过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分，故答案为：∠FAO；OA＝OC；∠FOA；被一组对边截得的线段被对角线的中点平分．【点评】此题考查命题与定理，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．21．【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得m的值；（2）可比较中位数，众数与方差得出结论；（3）利用样本估计总体可求解．【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a＝72，把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b＝＝70.5，m%＝1﹣50%﹣40%＝10%，即m＝10．故答案为：72，70.5，10；（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；（3）200×+120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键．22．【分析】（1）设购买炸酱面x份，牛肉面y份，利用总价＝单价×数量，结合该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买牛肉面m份，则购买炸酱面（1+50%）m份，利用单价＝总价÷数量，结合每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，可得出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：（1）设购买炸酱面x份，牛肉面y份，根据题意得：，解得：．答：购买炸酱面80份，牛肉面90份；（2）设购买牛肉面m份，则购买炸酱面（1+50%）m份，根据题意得：﹣＝6，解得：m＝60，经检验，m＝60是所列方程的解，且符合题意．答：购买牛肉面60份．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．23．【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，再根据图象写出函数的一个性质即可；（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，∴点E，F的距离等于AE、AF的长，∴当0≤t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y关于t的函数表达式为；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0，分别描出三个点（0，0），（4，4），（6，0），然后顺次连线，如图：该函数的其中一个性质：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：3＝t，3＝12﹣2t，解得：t＝3或t＝4.5，∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．【点评】本题是三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．24．【分析】（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，根据题意可得：四边形ABCF是矩形，从而可得AF＝BC＝10千米，然后在Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；（2）先在Rt△ADF中，根据等腰三角形的判定求出AF的长，再在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AB，AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得：四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14（千米）．∴AD的长度约为14千米；（2）小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，AB＝DF+CD＝24千米，∴AE＝AB•tan30°＝24×＝8（千米），EB＝2AE＝16千米，按路线①A﹣D﹣C﹣B走的路程为AD+DC+CB＝14+14+10＝38（千米）按路线②A﹣E﹣B走的路程为AE+EB＝8+16≈24×1.73＝41.52（千米）∵38千米＜41.52千米，∴小明应该选择线路①．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED），即可求解；（3）当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN，列出方程组即可求解；当AM或AN是对角线时，同理可解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝﹣x2+x+2＝0，解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED＝，cos∠PED＝，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，则PE＝﹣x2+x+2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2≤2，即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1++）PE＝，即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，则平移后抛物线的对称轴为x＝，设点M（，m），点N（s，t），由点A、P的坐标得，AP2＝18，当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：，解得：，即点N的坐标为：（﹣，）；当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：或，解得：（不合题意的值已舍去），即点N的坐标为：（，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．26．【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠B＝60°，AC＝9，可得BC＝＝3，AB＝2BC ＝6，即得AD＝AB﹣BD＝5；（2）取AB的中点O，连接OC，证明△BOC为等边三角形，得CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，可得△OCD≌△BCE（SAS），有∠EBC＝∠DOC＝120°，故OC∥BE，在GF上截取HF＝BF，连接DH，可证△BEF≌△HDF（SAS），得BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，有DH∥BE，DH∥OC，可得∠HDG＝∠OCD，知∠G＝∠HDG，HG＝HD，从而HG＝BE，GF＝HG+FH＝BE+BF；（3）取AB的中点S，连接PS，在CD取得最小值时，CD⊥AB，设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a，用面积法得CD＝＝a，BD＝BC＝a，证明△BCD≌△BCE （SAS），知BD＝BE＝a，根据将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，有BE＝BN＝a，故N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，又PS＝BN ＝a，故P的运动轨迹是以S为圆心，a为半径的圆，当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，可得△BSC是等边三角形，∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a，而CP＝CS+PS＝2a+a＝a，可求得PT＝CP＝a，CT＝PT ＝a，AT＝AC﹣CT＝a，连接PQ交NR于W，根据将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，知PQ⊥BC，故即PW∥AR，PW是△ANR的中位线，同理可得PT是△ANR的中位线，即可得PT＝NW＝RW＝a，PW＝AR＝AT＝a，根据将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，得CP＝CQ，∠QCP＝120°，有PQ＝CP＝a，即得WQ＝PQ﹣PW＝a，从而NQ＝＝a，＝．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝9，∴BC＝＝3，AB＝2BC＝6∵BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝5；（2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图：在Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，∴OC＝OB，∵∠ABC＝60°，∴△BOC为等边三角形，∴CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，∴∠DOC＝120°，∵△CDE为等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠DCE＝∠OCB＝60°，即∠OCD+∠OCE＝∠OCE+∠BCE，∴∠OCD＝∠BCE，在△OCD和△BCE中，，∴△OCD≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠DOC＝120°，∴∠OCB+∠EBC＝180°，∴OC∥BE，在GF上截取HF＝BF，连接DH，∵点F是DE的中点，∴FE＝FD．在△BEF和△HDF中，，∴△BEF≌△HDF（SAS），∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，∴DH∥BE，∴DH∥OC，∴∠HDG＝∠OCD，又∠G＝∠BCE，∴∠G＝∠HDG，∴HG＝HD，∴HG＝BE，∴GF＝HG+FH＝BE+BF；（3）解：取AB的中点S，连接PS，如图：在CD取得最小值时，CD⊥AB，设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a，＝AC•BC＝AB•CD，∵2S△ABC∴CD＝＝a，BD＝BC＝a，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝60°﹣30°＝30°＝∠DCB，∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCE（SAS），。
2023年重庆市中考数学试卷A卷(带答案及解析)
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(A 卷)一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框黑。
1.8的相反数是()A.-8B.8C.18D.-182.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是()A.B. C.D.3.反比例函数y =-4x的图象一定经过的点是()A.1，4B.-1，-4C.-2，2D.2，24.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是()A.1:2B.1:4C.1:8D.1:165.如图，AB ∥CD ,AD ⊥AC ，若∠1=55°，则∠2的度数为()A.35°B.45°C.50°D.55°6.估计28+10 的值应在()A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是()A.39B.44C.49D.548.如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC。
若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OC的长度是()A.3B.23C.13D.69.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°。
若∠BAE=α，则∠FEC一定等于()A.2αB.90°-2αC.45°-αD.90°-α10.在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”。
2023年重庆市中考数学真题试卷(A卷)附解答
2023年重庆市中考数学试卷（A 卷）一、选择题：（本大题10个小题,每小题4分,共40分）．1. 8的相反数是（ ）A. 8-B. 8C. 18D. 18- 2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,从正面得到的视图是（ ）A. B. C. D.3. 反比例函数4y x=-的图象一定经过的点是（ ） A. ()14， B. ()14--， C. ()22-， D. ()22， 4. 若两个相似三角形周长的比为1:4,则这两个三角形对应边的比是（ ）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16 5. 如图,,⊥∥AB CD AD AC ,若155∠=︒,则2∠的度数为（ ）A. 35︒B. 45︒C. 50︒D. 55︒6. 的值应在（ ）A. 7和8之间B. 8和9之间C. 9和10之间D. 10和11之间 7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案用了9根木棍,第②个图案用了14根木棍,第③个图案用了19根木棍,第④个图案用了24根木棍,……,按此规律排列下去,则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）A. 39B. 44C. 49D. 54 8.如图,AC 是O 的切线,B 为切点,连接OA OC ，．若30A ∠=︒,AB =3BC =,则OC 的长度是（ ）A. 3B.C.D. 6 9. 如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,CD 上,连接AE ,AF ,EF ,45EAF ∠=︒．若BAE α∠=,则FEC ∠一定等于（ ）A. 2αB. 902α︒-C. 45α︒-D. 90α︒-10. 在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中,对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号,添加绝对值符号后仍只有减法运算,然后进行去绝对值运算,称此为“绝对操作”．例如：x y z m n x y z m n ----=--+-,x y z m n x y z m n ----=---+,……． 下列说法：①存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：（本大题8个小题,每小题4分,共32分）．11. 计算1023-+=_____.12. 如图,在正五边形ABCDE 中,连接AC ,则∠BAC 的度数为_____．13. 一个口袋中有1个红色球,有1个白色球,有1个蓝色球,这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,摇匀后再从中随机摸出一个球,则两次都摸到红球的概率是___________ ．14. 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ,根据题意,可列方程为___________．15. 如图,在Rt ABC △中,90BAC ∠=,AB AC =,点D 为BC 上一点,连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ,过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =,1CF =,则EF 的长度为___________．16. 如图,O 是矩形ABCD 的外接圆,若4,3AB AD ==,则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）17. 若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩,至少有2个整数解,且关于y的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解,则所有满足条件的整数a 的值之和是___________． 18. 如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0,满足ab bc cd -=,那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129,∵411229-=,∴4129是“递减数”；又如：四位数5324,∵53322124-=≠,∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312,则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除,则满足条件的数的最大值是___________．三、解答题：（本大题8个小题,第19题8分,其余每题各10分,共78分）． 19. 计算：（1）()()()211a a a a -++-；（2）22.211x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭20. 学习了平行四边形后,小虹进行了拓展性研究．她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规,作AC 的垂直平分线交DC 于点E ,交AB 于点F ,垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图,四边形ABCD 是平行四边形,AC 是对角线,EF 垂直平分AC ,垂足为点O ． 求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DC AB ∥．∴ECO ∠= ① ．∵EF 垂直平分AC ,∴ ② ．又EOC ∠=___________③ ．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．21. 为了解A 、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间,有关人员分别随机调查了A 、B 两款智能玩具飞机各10架,记录下它们运行的最长时间（分钟）,并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x 表示,共分为三组：合格6070x ≤<,中等7080x ≤<,优等80x ≥）,下面给出了部分信息：A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表,B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图根据以上信息,解答下列问题：（1）上述图表中=a ___________,b =___________,m =___________；（2）根据以上数据,你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A 款智能玩具飞机200架、B 款智能玩具飞机120架,估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？22. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份？23. 如图,ABC ∆是边长为4的等边三角形,动点E ,F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发,点E 沿折线A B C →→方向运动,点F 沿折线A C B →→方向运动,当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒,点E ,F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象,写出点E ,F 相距3个单位长度时t 的值．24. 为了满足市民的需求,我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路,如图；①A D C B ---；②A E B --．经勘测,点B 在点A 的正东方,点C 在点B 的正北方10千米处,点D 在点C 的正西方14千米处,点D 在点A 的北偏东45︒方向,点E 在点A 的正南方,点E 在点B 的南偏西60︒方向． 1.73)≈（1）求AD 的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因,小明决定选择一条较短线路进行锻炼,请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线22y ax bx =++过点()1,3,且交x 轴于点()1,0A -,B 两点,交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点,过点P 作PD BC ⊥于点D ,过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ,求PDE ∆周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PDE ∆周长取得最大值的条件下,将该抛物线沿射线CB 位长度,点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ,使得以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形,写出所有符合条件的点N 的坐标,并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．26. 在ABC Rt ∆中,90ACB ∠=︒,=60B ∠︒,点D 为线段AB 上一动点,连接CD ．（1）如图1,若9AC =,BD =求线段AD 的长．（2）如图2,以CD 为边在CD 上方作等边CDE ∆,点F 是DE 的中点,连接BF 并延长,交CD 的延长线于点G ． 若G BCE ∠=∠,求证：GF BF BE =+．（3）在CD 取得最小值的条件下,以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ∆．点M 为CD 所在直线上一点,将BEM ∆沿BM 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BNM ∆． 连接AN ,点P 为AN 的中点,连接CP ,当CP 取最大值时,连接BP ,将BCP ∆沿BC 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BCQ ∆,请直接写出此时NQ CP的值． 2023年重庆市中考数学试卷（A 卷）答案一、选择题．1. A2. D3. C4. B5. A6. B=4=+∵2 2.5<<∴45<<∴849<+<故选：B ．7. B8. C解：连接OB∵AC 是O 的切线,B 为切点∴OB AC ⊥∵30A ∠=︒,AB =∴在Rt OAB 中,tan 2OB AB A =⋅∠== ∵3BC =∴在Rt OBC 中,OC ==故选C ．9. A解：将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABH ∆∵四边形ABCD 是正方形∵AB AD =,90B D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠,90D ABH ∠=∠=︒,AF AH =∵180AHB ABC ∠+∠=︒∵点H B C ，，三点共线∵BAE α∠=,45EAF ∠=︒,90BAD HAF ∠=∠=︒∵45DAF BAH α∠=∠=︒-,45EAF EAH ∠=∠=︒∵90AHB BAH ∠+∠=︒∵45AHB α∠=︒+在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()AFE AHE SAS ≌∵45AHE AFE α∠=∠=︒+∵45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+∵902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+,∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒∵2FEC α∠=故选：A ．10. C解：∵x y z m n >>>> ∴x y z m n x y z m n ----=----∴存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式相等故①正确；根据绝对操作的定义可知：在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中,经过绝对操作后,z n m 、、的符号都有可能改变,但是x y 、的符合不会改变∴不存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式之和为0,故②正确；∵在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中,经过“绝对操作”可能产生的结果如下： ∴x y z m n x y z m n ----=----x y z m n x y z m n ----=-+--x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=--+-x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=---+x y z m n x y z m n ----=-+-+共有5种不同运算结果故③错误；故选C ．二、填空题．11. 1.512. 36°解：正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540° ∴5401085B ︒︒∠== ∴180B 1801083622BAC ︒︒︒︒-∠-∠===. 故答案为36°．13. 1914. ()2150111815x +=解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ,根据题意得()2150111815x +=故答案为：()2150111815x +=.15. 3解： ∵90BAC ∠=︒∴90EAB EAC ∠+∠=︒∵BE AD ⊥,CF AD ⊥∴90AEB AFC ∠=∠=︒∴90ACF EAC ∠+∠=︒∴ACF BAE ∠=∠在AFC △和BEA △中： AEB CFA ACF BAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AFC BEA ≌△△ ∴4,1AF BE AE CF ====∴413EF AF AE =-=-=故答案为：3．16. 25124π- 解：连接BD∵四边形ABCD 是矩形∴BD 是O 的直径∵4,3AB AD ==∴5BD == ∴O 的半径为52∴O 的面积为254π,矩形的面积为3412⨯= ∴阴影部分的面积为25124π-； 故答案为25124π-；17. 4 解：+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②解不等式①得：5x ≤ 解不等式②得：1+2a x ≥∵不等式的解集为1+52a x ≤≤ ∵不等式组至少有2个整数解 ∵1+42a ≤ 解得：6a ≤；∵关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解∴()1422a y ---= 解得：12a y -=即102a -≥且122a -≠ 解得：1a ≥且5a ≠∵a 的取值范围是16a ≤≤,且5a ≠∵a 可以取：1,3∵134+=故答案为：4．18. ∵ 4312 ∵ 8165解：∵ a312是递减数∴1033112a +-=∴4a =∴这个数为4312；故答案为：4312. ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除∴101010a b b c c d +--=+ ∵1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++ ∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=∵()11010199112a b a b a b +=+++,能被9整除∵112a b +能被9整除∵各数位上的数字互不相等且均不为0∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a a b b b b b b b b ========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩∵最大的递减数∴8,1a b ==∴1089110c c d ⨯-⨯-=+,即：1171c d +=∴c 最大取6,此时5d =∵这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．三、解答题．19. （1）21a -（2）11x + 20. 作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截,截得的线段被对角线中点平分解：如图,即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴DC AB ∥．∴ECO ∠= FAO ∠．∵EF 垂直平分AC∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截,截得的线段被对角线中点平分.故答案为：被平行四边形一组对边所截,截得的线段被对角线中点平分．21. （1）72,70.5,10；（2）B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小,运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【小问1详解】解：由题意可知10架A 款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中,只有72出现了三次,且次数最多,则该组数据的众数为72,即72a =；由B 款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知,合格的百分比为40%则B 款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：1040%4⨯=（架）则B 款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：10451--=（架）则B 款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：70,71故B 款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.52+= B 款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：1100%10%10⨯= 即10m =故答案为：72,70.5,10；【小问2详解】B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小,运行时间比较稳定；【小问3详解】200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：620012010⨯=（架） 200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：61207210⨯=（架） 则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：12072192+=架答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．22. （1）购买杂酱面80份,购买牛肉面90份（2）购买牛肉面90份【小问1详解】解：设购买杂酱面x 份,则购买牛肉面()170x -份由题意知,()152********x x +⨯-=解得,80x =∴17090x -=,∴购买杂酱面80份,购买牛肉面90份；【小问2详解】解：设购买牛肉面a 份,则购买杂酱面1.5a 份由题意知,1260120061.5a a+= 解得90a =经检验,90a =是分式方程的解∴购买牛肉面90份．23. （1）当04t <≤时,y t =；当46t <≤时,122y t =-；（2）图象见解析,当04t <≤时,y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【小问1详解】解：当04t <≤时连接EF由题意得AE AF =,60A ∠=︒∴AEF △是等边三角形∴y t =；当46t <≤时,122y t =-；【小问2详解】函数图象如图：当04t <≤时,y 随x 的增大而增大；【小问3详解】当04t <≤时,3y =即3t =；当46t <≤时,3y =即1223t -=,解得 4.5t =故t 的值为3或4.5．24. （1）AD 的长度约为14千米（2）小明应该选择路线①,理由见解析【小问1详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F由题意可得：四边形BCDF 是矩形∴10DF BC ==千米∵点D 在点A 的北偏东45︒方向∴O DAN DAF 45=∠=∠ ∴1421045sin ≈==oDF AD 千米 答：AD 的长度约为14千米；【小问2详解】由题意可得：10BC =,14CD =∵路线①的路程为：3824210≈+=++BC DC AD （千米）∵10DF BC ==,O DAN DAF 45=∠=∠,90DFA ∠=︒∴DAF △为等腰直角三角形,∴10AF DF ==,∴101424AB AF BF AF DC由题意可得O EBS 60=∠∴60E ∠=︒ ∴83tan 60AB AE ,163sin 60AB BE所以路线②的路程为：42324≈=+BE AE 千米∴路线①的路程<路线②的路程 故小明应该选择路线①．25. （1）213222y x x =-++ （2）PDE∆此时点()2,3P （3）以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,22⎛ ⎝⎭或1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【小问1详解】把()1,3、()1,0A -代入22y ax bx =++得,3202a b a b =++⎧⎨=-+⎩ 解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵抛物线的表达式为213222y x x =-++； 【小问2详解】延长PE 交x 轴于F∵过点P 作PD BC ⊥于点D ,过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E∴DEP BCO ∠=∠,90PDE COB ∠=∠=︒∴DPE OBC ∵DPE PE OBC BC =周长周长 ∵PE DPE OBC BC =⋅周长周长 ∵当PE 最大时PDE △周长的最大∵抛物线的表达式为213222y x x =-++ ∵()4,0B∵直线BC 解析式为122y x =-+,BC =设213,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,则1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴()222131112222222222PE m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭∵当2m =时2PE =最大,此时()2,3P∵BOC 周长为6OC OB BC ++=+∵PDE △(6+=,此时()2,3P即PDE △此时点()2,3P ； 【小问3详解】∵将该抛物线沿射线CB,可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度 ∴平移后的解析式为()()221317222142222y x x x x =--+-+-=-+-,此抛物线对称轴为直线72x = ∵设7,2M n ⎛⎫⎪⎝⎭,(),N s t∵()2,3P ,()1,0A - ∴218PA =,()()22227923324PM n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭ ()22227811024AM n n ⎛⎫=++-=+ ⎪⎝⎭当PA 为对角线时,此时以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形∴PA 与MN 互相平分,且PM AM = ∵()22981344n n +-=+,解得32n =- ∵PA 中点坐标为2130,22-+⎛⎫ ⎪⎝⎭,MN 中点坐标为72,22s n t ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭∵7123s n t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得5292s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 此时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当PA 为边长且AM 和PN 是对角线时,此时以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形 ∴AM 与PN 互相平分,且PMPA = ∵()293184n +-=,解得3n =±∵PN 中点坐标为23,22s t ++⎛⎫ ⎪⎝⎭,AM 中点坐标为7102,22n ⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭∵721230s t n ⎧+=-⎪⎨⎪+=+⎩,解得12s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时12N ⎛ ⎝⎭或1,2N ⎛ ⎝⎭； 同理,当PA 为边长且AN 和PM 是对角线时,此时以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形 ∴AN 和PM 互相平分,且AM PA =281184n +=,此方程无解； 综上所述,以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或12⎛ ⎝⎭或1,22⎛- ⎝⎭；26. （1）（2）见解析（3【小问1详解】解：在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,=60B ∠︒∴sin AC AB B ===∵BD =∴AD AB BD =-=【小问2详解】证明：如图所示,延长FB 使得FH FG =,连接EH∵F 是DE 的中点则DF FE =,FH FG =,GFD HFE ∠=∠∵()SAS GFD HFE ≌∵H G ∠=∠∵EH GC ∥∴60HEC ECD ∠=∠=︒∵DEC 是等边三角形∵60DEC EDC ∠=∠=︒∵60DEC DBC ==︒∠∠∵,,,B C D E 四点共圆∵EDB BCE ∠=∠,BEC BDC ∠=∠∴6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠∵G BCE BDE H ∠=∠=∠=∠∴H BEH ∠=∠∴EB BH =∴FH FG BF BH BF EB ==+=+；【小问3详解】解：如图所示,在CD 取得最小值的条件下,即CD AB ⊥设4AB a =,则2BC a =,AC =∴AC BC CD AB ⨯===,12BD BC a == ∵将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ． ∴BE BN =∴点N 在以B 为圆心,a 为半径的圆上运动取AB 的中点S ,连接SP则SP 是ABN 的中位线∴P 在半径为12a 的S 上运动当CP 取最大值时,即,,P S C 三点共线时,此时如图,过点P 作PT AC ⊥于点T ,过点N 作NR AC ⊥于点R∵S 是AB 的中点,60ABC ∠=︒∴SC SB BC ==∴BCS △是等边三角形则60PCB ∠=︒∴30PCA ACB BCP ∠=∠-∠=︒∵2BC a =,4AB a =∴2CS BC a ==,12PS a =∴52PC a =,15sin 24PT PC PCT PC a =⨯∠==,TC ==∵AC =∴AT = 如图所示,连接PQ ,交NR 于点U ,则四边形PURT 是矩形∴PU AR ∥,P 是AN 的中点 ∴1NU NP UR PA== 即PD 是ANR 的中位线,同理可得PT 是ANR 的中位线 ∴54NU UR PT a ===, 12PU AR AT === ∵BCS △是等边三角形,将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ∴2120QCP BCP ∠=∠=︒,∴PQ ===则UQ PQ PU =-=-= 在Rt NUQ 中,2NQ a ===∴252a NQ CP a ==。
重庆数学中考试题及答案
重庆数学中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 1D. x = 4答案：B2. 一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足三角形的三边关系，那么x的取值范围是？A. 1 < x < 7B. 2 < x < 5C. 3 < x < 7D. 1 < x < 5答案：C3. 一个数的平方根是4，那么这个数是？A. 16B. 8C. 6D. 4答案：A4. 一个圆的半径是5，那么它的面积是？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C5. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标是？A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)答案：B6. 一个数的相反数是-5，那么这个数是？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A7. 一个等腰三角形的底角是45度，那么它的顶角是？A. 90度B. 45度C. 60度D. 30度答案：A8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A10. 一个二次函数的顶点坐标是(2, -1)，那么这个函数的对称轴是？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = 3答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
答案：82. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是______。
答案：33. 一个数的平方是25，那么这个数是______。
答案：±54. 一个数除以3余1，除以5余2，那么这个数最小是______。
答案：115. 一个三角形的内角和是______。
2023年重庆市中考数学真题(B卷)(答案解析)
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）1.【答案】D【解析】解：4的相反数是4-，故选：D ．2.【答案】A 【解析】解：从正面看到的视图是：，故选：A .3.【答案】C【解析】∵a b ，∴1263∠=∠=︒，故选：C ．4.【答案】B【解析】解：∵ABC EDC ∽，∴::AC EC AB DE =，∵:2:3AC EC =，6AB =，∴2:36:DE =，∴9DE =，故选：B.5.【答案】D【解析】解：∵()()326,236,248,236-⨯=-⨯-=--⨯-=⨯=，∴点()2,3在反比例函数6y x=的图象上，故选：D .6.【答案】B【解析】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341=⨯-；…，所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120⨯-=；故选：B.7.【答案】A1=，253036<<，<<56<<，415∴<<，故选：A．8.【答案】B【解析】解：如图，连接OC，直线CD与O相切，OC CD∴⊥，90OCD∴∠=︒，50ACD∠=︒，40OCA∴∠=︒，OA OC=，40BAC OCA∴∠=∠=︒，故选：B．9.【答案】D【解析】解：如图，连接AF，四边形ABCD 是正方形，AB BE BC ∴==，90ABC ∠=︒，22AC ==，BEC BCE ∴∠=∠，1802EBC BEC ∴∠=︒-∠，290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠-∠=∠-︒，BF 平分ABE ∠，1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠-︒，45BFE BEC EBF ∴∠=∠-∠=︒，在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BAF BEF ∴△≌△，45BFE BFA ∴∠=∠=︒，90AFC BAF BFE ∴∠=∠+∠=︒，O 为对角线AC 的中点，122OF AC ∴==，故选：D ．10.【答案】C【解析】解：x y z m n x y z m n ----=----，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现x -，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x y z m n x y z m n ----=----；x y z m n x y z m n ----=-+--；||x y z m n x y z m n ----=--+-；x y z m n x y z m n ----=---+．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x y z m n x y z m n ----=--+-；x y z m n x y z m n ----=---+；x y z m n x y z m n ----=-+-+．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）11.【答案】6【解析】解：05(2516-+-=+=．故答案为：6．12.【答案】14【解析】解：列表如下，清风朗月清清清清风清朗清月风风清风风风朗风月朗朗清朗风朗朗朗月月月清月风月朗月月共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种，∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是14，故答案为：14．13.【答案】800︒##800度【解析】解：∵七边形的内角中有一个角为100︒，∴其余六个内角之和为()180********︒⨯--︒=︒，故答案为：800︒．14.【答案】4【解析】解：∵在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，∴AD BC ⊥，12BD BC =，在Rt △ABD 中，5AB =，132BD BC ==，∴4AD ===，故答案为：4．15.【答案】2301(1)500x +=【解析】 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ．∴第二个月新建了301(1)x +个充电桩，∴第三个月新建了2301(1)x +个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，于是有2301(1)500x +=，故答案为2301(1)500x +=．16.【答案】4π-【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，∴12,22AB CD BE CE BC =====，90ABC DCB ∠=∠=︒，∴45BAE AEB DEC CDE ∠=∠=∠=∠=︒，∴()2145212=22222423602ABE BEM S S S πππ⎛⎫⨯⎛⎫=-⨯⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 阴影扇形；故答案为：4π-．17.【答案】13【解析】解：213241x x x a x +⎧>+⎪⎨⎪+<-⎩①②，解不等式①得：<2x -，解不等式②得：13a x +<-，∵关于x 的不等式组213241x x x a x +⎧>+⎪⎨⎪+<-⎩的解集为<2x -，123a +∴-≥-，解得5a ≤，方程22211a y y y+++=--可化为()2221a y y +--=-，解得23a y +=， 关于y 的分式方程22211a y y y +++=--的解为正数，203a +∴>且2103a +-≠，解得2a >-且1a ≠，52a ∴-<≤且1a ≠，则所有满足条件的整数a 的值之和为10234513-+++++=，故答案为：13．18.【答案】①.6200②.9313【解析】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，6a d -=，2b c -=，69a ≤≤，29b ≤≤，则()8c d a b +=+-，∴()()()348P M a b c d a b =+++=+-，∴()()()485P M M a Q b a +--=，若M 最大，只需千位数字a 取最大，即9a =，∴()()()498795b P Q b M M =+-=+-，∵()()P M Q M 能被10整除，∴3b =，∴满足条件的M 的最大值为9313，故答案为：6200，9313．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）19.【答案】（1）229x +（2）13m n-【解析】（1）解：()()263x x x ++-22669x x x x =++-+229x =+；（2）解：2293n m n m m -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭()()333m n m m m n m n +=⋅+-13m n=-．20.【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．21.【答案】（1）15，88，98（2）90（3）A 款，理由：评分数据中A 款的中位数比B 款的中位数高（答案不唯一）【解析】（1）解： 抽取的对A 款设备的评分数据中“满意”的有6份，∴“满意”所占百分比为：6100%30%20⨯=，∴“比较满意”所占百分比为：130%45%10%15%---=，15a ∴=，抽取的对A 款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数， “不满意”和“满意”的评分有()2010%15%5⨯+=（份），∴第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89，∴8789882m +==， 抽取的对B 款设备的评分数据中出现次数最多的是98，98n ∴=，故答案为：15，88，98；（2）解：600名消费者对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数为：60015%90⨯=（人），答：600名消费者对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．（3）解：A 款自动洗车设备更受欢迎，理由：评分数据中A 款的中位数比B 款的中位数高（答案不唯一）．22.【答案】（1）当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【解析】（1）解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）函数图象如图：当04t <≤时，y 随t 的增大而增大；（3）当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t -=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．23.【答案】（1）甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩（2）100亩【解析】（1）解：设甲区有农田x 亩，则乙区有农田()10000x -亩，由题意得：80%10000x x =-，解得50000x =，则10000500001000040000x -=-=，答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩．（2）解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒y 亩，派往甲区的无人机架次为a 架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒503y ⎛⎫- ⎪⎝⎭亩，派往乙区的无人机架次为1.2a 架次，由题意得：5031.2ay a y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5031.2y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得100y =，答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．24.【答案】（1）2545米（2）能，说明过程见解析【解析】（1）解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由题意得：60,45ACD BCD ∠=︒∠=︒，30,45A B BCD ∴∠=︒∠=∠=︒，118002BD CD AC ∴===米，2545sin 45CD BC ∴=≈︒米，答：B 养殖场与灯塔C 的距离为2545米．（2）解：sin 60AD AC =⋅︒=()1800AB AD BD ∴=+=米，则甲组到达B 处所需时间为()180060038.196+÷=≈（分钟）9<分钟，所以甲组能在9分钟内到达B 处．25.【答案】（1）211344y x x =+-（2）PD 取得最大值为45，52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）Q 点的坐标为9,12⎛⎫-⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）解：将点()3,0B ，()0,3C -．代入214y x bx c =++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=-⎩解得：143b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =+-，（2）∵211344y x x =+-与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044x x +-=解得：124,3x x =-=，∴()4,0A -,∵()0,3C -．设直线AC 的解析式为3y kx =-，∴430k --=解得：34k =-∴直线AC 的解析式为334y x =--，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q，设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴223111334444PQ t t t t ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，∴5AC =，∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=，∴()222441141425545555PD PQ t t t t ⎛⎫==--=--=-++ ⎪⎝⎭，∴当2t =-时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +-=⨯-+--=-，∴52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）∵抛物线211344y x x =+-211494216x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴()0,2F ,∴22251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222922QF m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当QF EF =时，()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=1174，解得：1m =-或5m =，当QE QF =时，2295322m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得：74m =综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫-⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．26.【答案】（1）见解析（2）见解析（32+【解析】（1）证明：∵ABC 为等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC =，∵将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CF ，∴CE CF =，60ECF ∠=︒∴ACB ECF∠=∠∴ACB ACE ECF ACE-=-∠∠∠∠即BCE ACF∠=∠在BCE 和ACF △中EC FC BCE ACF BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BCE ACF ≌△△，∴CBE CAF ∠=∠；（2）证明：如图所示，过点F 作∥FK AD ，交DH 点的延长线于点K ，连接EK ，FD，∵ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，∵AD BC⊥∴BD CD=∴AD 垂直平分BC ，∴EB EC=又∵BCE ACF ≌，∴,AF BE CF CE ==，∴AF CF =,∴F 在AC 的垂直平分线上，∵AB BC=∴B 在AC 的垂直平分线上，∴BF 垂直平分AC∴AC BF ⊥，12AG CG AC ==∴90AGF ∠=︒又∵12DG AC CG ==，60ACD ∠=︒∴DCG △是等边三角形，∴60CGD CDG ∠=∠=︒∴60AGH DGC ∠=∠=︒∴906030KGF AGF AGH ∠=∠-∠=︒-︒=︒，又∵906030ADK ADC GDC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，KF AD∥∴30HKF ADK ∠=∠=︒∴30FKG KGF ∠=∠=︒，∴FG FK=在Rt CED 与Rt CGF △中，CF CE CD CG=⎧⎨=⎩∴Rt Rt CED CFG≌∴GF ED=∴ED FK=∴四边形EDFK 是平行四边形，∴EH HF =；（3）解：依题意，如图所示，延长,AP DQ 交于点R ，由（2）可知DCG △是等边三角形，∴30EDG ∠=︒∵将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到APG ，将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到DQG ，∴30PAG EAG ∠=∠=︒，30QDG EDG ∠=∠=︒∴60PAE QDE ∠=∠=︒，∴ADR 是等边三角形，∴906030QDC ADC ADQ ∠=∠-∠=︒-︒=︒由（2）可得Rt Rt CED CFG≌∴DE GF =，∵DE DQ =，∴GF DQ =，∵30GBC QDC ∠=∠=︒，∴GF DQ∥∴四边形GDQF 是平行四边形，∴122QF DG AC ===由（2）可知G 是AC 的中点，则GA GD=∴30GAD GDA ∠=∠=︒∴120AGD ∠=︒∵折叠，120AGP DGQ AGE DGE AGD ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴3602120PGQ AGD ∠=︒-∠=︒，又PG GE GQ ==，∴PQ ==，∴当GQ 取得最小值时，即GQ DR ⊥时，PQ 取得最小值，此时如图所示，∴11122GQ GC DC ===，∴3PQ =，∴32PQ QF +=．。
重庆数学中考试题及答案
重庆数学中考试题及答案****一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是正数？A. -2B. 0C. 3D. -0.5**答案：C**2. 以下哪个选项是二次方程的解？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 + 4x + 4 = 0C. x^2 - 4x - 4 = 0D. x^2 + 4x - 4 = 0**答案：A**3. 以下哪个函数是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 2C. y = 3x^3 - 2D. y = 1/x**答案：A**4. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线**答案：A**5. 以下哪个选项是等腰三角形？A. 三边长分别为3, 4, 5B. 三边长分别为2, 2, 3C. 三边长分别为1, 1, 2D. 三边长分别为4, 5, 6**答案：B**6. 下列哪个选项是锐角三角形？A. 三角形内角分别为30°, 60°, 90°B. 三角形内角分别为45°, 45°, 90°C. 三角形内角分别为60°, 60°, 60°D. 三角形内角分别为50°, 70°, 60° **答案：D**7. 以下哪个选项是不等式？A. 2x + 3 = 5B. 3x - 2 > 4C. 5y - 7 = 0D. 4z + 6 ≤ 10**答案：B**8. 以下哪个选项是反比例函数？A. y = 2xB. y = 1/xC. y = x^2D. y = 3x + 2**答案：B**9. 以下哪个选项是相似三角形？A. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE = AC/DF = BC/EFB. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE ≠ AC/DF = BC/EFC. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE = AC/DF ≠ BC/EFD. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE ≠ AC/DF ≠ BC/EF **答案：A**10. 以下哪个选项是圆的标准方程？A. (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1B. x^2 + y^2 = 4C. (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 9D. x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0**答案：B**二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的相反数是-5，这个数是 _______。
精品解析：2022年重庆市中考数学真题(A卷)(解析版)
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用正方形的性质得到 ， ， ，利用角平分线的定义求得 ，再证得 ，利用全等三角形的性质求得 ，最后利用 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）＝ ＝ ．
【答案】C
【解析】
【分析】连接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用 ＝tan30°，即可求出AB的长度．
【详解】解：连接OB，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等腰三角形，
∴∠OBD＝∠D，
∵∠AOB是△OBD的一个外角，
∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，
∵ 是 切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
2022年重庆市中考数学试卷A卷
一、选择题
1.5的相反数是（ ）
A. B.﹣ C.5D.﹣5
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）即可得．
【详解】解：5的相反数是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数，熟记定义是解题关键．
2024年重庆市中考数学试卷及解析
2024年重庆市中考数学真题试卷(A 卷)(全卷共三个大题,满分150分,考试时间120分钟)一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出代号为A,B,C,D 的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑．1.下列四个数中,最小的数是()A.2- B.0C.3D.12-2.下列四种化学仪器的示意图中,是轴对称图形的是()A. B.C. D.3.已知点()3,2-在反比例函数()0ky k x=≠的图象上,则k 的值为()A.3- B.3C.6-D.64.如图,AB CD ∥,165∠=︒,则2∠的度数是()5.若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是()A.1:3B.1:4C.1:6D.1:96.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子,第2种如图②有6个氢原子,第3种如图③有8个氢原子,……按照这一规律,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是()A.20B.22C.24D.267.已知m =,则实数m 的范围是()A.23m <<B.34m <<C.45m << D.56m <<8.如图,在矩形ABCD 中,分别以点A 和C 为圆心,AD 长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点．若4=AD ,则图中阴影部分的面积为()A.328π-B.4πC.324π- D.8π9.如图,在正方形ABCD 的边CD 上有一点E ,连接AE ,把AE 绕点E 逆时针旋转90︒,得到FE ,连接CF 并延长与AB 的延长线交于点G ．则FG CE的值为()C.322D.33210.已知整式1110:nn n n M a x a x a x a --++++ ,其中10,,,n n a a - 为自然数,n a 为正整数,且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法①满足条件的整式M 中有5个单项式②不存在任何一个n ,使得满足条件的整式M 有且只有3个③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3二、填空题:(本大题8个小题,每小题4分,共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算:011(3)()2π--+＝_____．12.如果一个多边形的每一个外角都是40︒,那么这个多边形的边数为______．13.重庆是一座魔幻都市,有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游,两人分别从A ,B ,C 三个景点中随机选择一个景点游览,甲、乙两人同时选择景点B 的概率为_____．14.随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元,2023年缴税48.4万元,该公司这两年缴税的年平均增长率是______．15.如图,在ABC ∆中,延长AC 至点D ,使CD CA =,过点D 作DE CB ∥,且DE DC =,连接AE 交BC 于点F ．若CAB CFA ∠=∠,1CF =,则BF =______．16.若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解,且关于y 的分式方程13211a y y-=---的解为非负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和为______．17.如图,以AB 为直径的O 与AC 相切于点A ,以AC 为边作平行四边形ACDE ,点D ,E 均在O 上,DE 与AB 交于点F ,连接CE ,与O 交于点G ,连接DG ．若10,8AB DE ==,则AF =______．DG =______．18.我们规定:若一个正整数A 能写成2m n -,其中m 与n 都是两位数,且m 与n 的十位数字相同,个位数字之和为8,则称A 为“方减数”,并把A 分解成2m n -的过程,称为“方减分解”．例如:因为26022523=-,25与23的十位数字相同,个位数字5与3的和为8,所以602是“方减数”,602分解成26022523=-的过程就是“方减分解”．按照这个规定,最小的“方减数”是______．把一个“方减数”A 进行“方减分解”,即2A m n =-,将m 放在n 的左边组成一个新的四位数B ,若B 除以19余数为1,且22m n k +=(k 为整数),则满足条件的正整数A 为______．三、解答题:(本大题8个小题,第19题8分,其余每小题10分,共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算(1)()()22x x y x y -++(2)22111a a a a-⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭．20.为了解学生的安全知识掌握情况,某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分(成绩得分用x表示,共分成四组:A ．6070x <≤;B ．7080x <≤;C ．8090x <≤;D ．90100x <≤),下面给出了部分信息七年级20名学生的竞赛成绩为66,67,68,68,75,83,84,86,86,8686,87,87,89,95,95,96,98,98,100.八年级20名学生的竞赛成绩在C 组的数据是:81,82,84,87,88,89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8585中位数86b众数a79根据以上信息,解答下列问题(1)上述图表中=a ______,b =______,m =______(2)根据以上数据分析,你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)(3)该校七年级有400名学生,八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛,估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数是多少？21.在学习了矩形与菱形的相关知识后,小明同学进行了更深入的研究,他发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路,完成以下作图与填空(1)如图,在矩形ABCD 中,点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线,分别交AB ,CD 于点E ,F ,连接AF ,CE ．(不写作法,保留作图痕迹)(2)已知:矩形ABCD ,点E ,F 分别在AB ,CD 上,EF 经过对角线AC 的中点O ,且EF AC ⊥．求证:四边形AECF 是菱形．证明:∵四边形ABCD 是矩形∴AB CD ．∴①,OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点∴②．∴CFO AEO ≅△△(AAS )．∴③．又∵OA OC=∴四边形AECF 是平行四边形．∵EFAC⊥∴四边形AECF 是菱形．进一步思考,如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述,写出你猜想的结论:④．22.为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算,购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备？23.如图,在ABC 中,6AB =,8BC =,点P 为AB 上一点,过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ,点P ,Q 的距离为1y ,ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y ．(1)请直接写出1y ,2y 分别关于x 的函数表达式,并注明自变量x 的取值范围(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ,2y 的图象;请分别写出函数1y ,2y 的一条性质(3)结合函数图象,直接写出12y y >时x 的取值范围．(近似值保留一位小数,误差不超过0.2)24.如图,甲、乙两艘货轮同时从A 港出发,分别向B ,D 两港运送物资,最后到达A 港正东方向的C 港装运新的物资．甲货轮沿A 港的东南方向航行40海里后到达B 港,再沿北偏东60︒方向航行一定距离到达C 港．乙货轮沿A 港的北偏东60︒方向航行一定距离到达D 港,再沿南偏东30︒方向航行一定距离到达C 港．(参考数1.41≈ 1.73≈2.45≈)(1)求A ,C 两港之间的距离(结果保留小数点后一位)(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B 、D 两港的时间相同),哪艘货轮先到达C 港？请通过计算说明．25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-,与y 轴交于点C ,与x 轴交于A B ，两点(A 在B 的左侧),连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．(1)求抛物线的表达式(2)点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点,过点P 作PE x ⊥轴,垂足为E ,交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点,MN y ⊥轴,垂足为N ,点F 为线段BC 的中点,连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时,求AM MN NF ++的最小值(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移,使得新抛物线经过(2)中线段PD 长度取得最大值时的点D ,且与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点,当QDK ACB ∠∠=时,直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．26.在ABC 中,AB AC =,点D 是BC 边上一点(点D 不与端点重合)．点D 关于直线AB 的对称点为点E ,连接,AD DE ．在直线AD 上取一点F ,使EFD BAC ∠∠=,直线EF 与直线AC 交于点G ．(1)如图1,若60,,BAC BD CD BAD α∠=︒<∠=,求AGE ∠的度数(用含α的代数式表示)(2)如图1,若60,BAC BD CD ∠=︒<,用等式表示线段CG 与DE 之间的数量关系,并证明(3)如图2,若90BAC ∠=︒,点D 从点B 移动到点C 的过程中,连接AE ,当AEG △为等腰三角形时,请直接写出此时CG AG的值．2024年重庆市中考数学真题试卷(A 卷)答案解析一、选择题．1.A2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 【解析】解:∵2733332312m =-=-==∵3124<<∴34m <<故选:B ．8.D 【解析】解:连接AC根据题意可得28AC AD ==∵矩形ABCD ,∴4AD BC ==,90ABC ∠=︒在Rt ABC △中,2243AB AC BC =-=∴图中阴影部分的面积2904443238360ππ⨯=⨯⨯=．故选:D ．9.A【解析】解:过点F 作DC 延长线的垂线,垂足为点H ,则90H ∠=︒由旋转得,90EA EF AEF =∠=︒∵四边形ABCD 是正方形∴90D Ð=°,DC AB ∥,DA DC BC ==,设1DA DC BC ===∴D H∠=∠∵12AEH AEF D∠=∠+∠=∠+∠∴12∠=∠∴ADE EHF≌∴DE HF =,1AD EH ==,设DE HF x==则1CE DC DE x=-=-∴()11CH EH EC x x=-=--=∴HF CH x ==,而90H ∠=︒∴45HCF ∠=︒∴2sin 45HF CF ==︒∵DC AB∥∴45HCF G ∠=∠=︒同理可求22CG BC ==∴)2221FG CG CF x x =-==-∴)2121x FG CE x-==-故选:A ．10.D【解析】解:∵10,,,n n a a - 为自然数,n a 为正整数,且1105n n n a a a a -+++++= ∴04n ≤≤当4n =时,则2104345a a a a a +++++=∴41a =,23100a a a a ====满足条件的整式有4x 当3n =时,则210335a a a a ++++=∴()()3210,,,2,0,0,0a a a a =,()1,1,0,0,()1,0,1,0,()1,0,0,1满足条件的整式有:32x ,32x x +,3x x +,31x +当2n =时,则21025a a a +++=∴()()210,,3,0,0a a a =,()2,1,0,()2,0,1,()1,2,0,()1,0,2,()1,1,1满足条件的整式有:23x ,22x x +,221x +,22x x +,22x +,21x x ++当1n =时,则1015a a ++=∴()()10,4,0a a =,()3,1,()1,3,()2,2满足条件的整式有:4x ,31x +,3x +,22x +当0n =时,005a +=满足条件的整式有:5∴满足条件的单项式有:4x ,32x ,23x ,4x ,5,故①符合题意不存在任何一个n ,使得满足条件的整式M 有且只有3个;故②符合题意满足条件的整式M 共有1464116++++=个．故③符合题意故选D二、填空题．11.312.913.19【解析】解:画树状图如下由图可知,共有9种等可能的情况,其中甲、乙两人同时选择景点B 的情况有1种∴甲、乙两人同时选择景点B 的的概率为19故答案为:19．14.10%【解析】解:设平均增长率为x ,由题意得()240148.4x +=解得:10.110%x ==,2 2.1x =-(不符合题意,舍去)故答案为:10%．15.3【解析】解:∵CD CA =,过点D 作DE CB ∥,CD CA =,DE DC =∴1FA CA FE CD ==,CD CA DE ==∴AF EF=∴22DE CD AC CF ====∴4AD AC CD =+=∵DE CB∥∴CFA E ∠∠=,ACB D∠∠=∵CAB CFA∠=∠∴CAB E∠∠=∵CD CA =,DE CD=∴CA DE=∴CAB DEA≌∴4BC AD ==∴3BF BC CF =-=故答案为:316.16【解析】解:()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩①②,解①得:4x <解②得:23a x -≥ 关于x 的一元一次不等式组至少有两个整数解∴223a -≤解得8a ≤解方程13211a y y -=---,得22a y -= 关于y 的分式方程的解为非负整数∴202a -≥且212a -≠,2a -是偶数解得2a ≥且4a ≠,a 是偶数∴28a ≤≤且4a ≠,a 是偶数则所有满足条件的整数a 的值之和是26816++=故答案为:16．17.①.8②.13【解析】解:连接DO 并延长,交O 于点H ,连接GH ,设CE ,AB 交于点M,如图所示∵以AB 为直径的O 与AC 相切于点A∴AB AC⊥∴90CAB ∠=︒∵四边形ACDE 为平行四边形∴∥DE AC ,8AC DE ==∴90BFD CAB ==︒∠∠∴AB DE⊥∴142DF EF DE ===∵10AB =∴152DO BO AO AB ====∴3OF ==∴538AF OA OF =+=+=∵∥DE AC∴EFM CAM∽∴EF FM AC AM=∴48FM AF FM=-即488FM FM=-解得:83FM =∴4133EM ===∵DH 为直径∴90DGH ∠=︒∴DGH EFM∠=∠∵ DGDG =∴DEG DHG=∠∠∴EFM HGD∽∴FM EM DG DH=即84133310DG =解得:201313DG =．故答案为:8;201313．18.①.82②.4564【解析】①设10m a b =+,则108n a b =+-(19a ≤≤,08b ≤≤)由题意得:()()2210108m n a b a b -=+-+-∵19a ≤≤,“方减数”最小∴1a =则10mb =+,18n b=-∴()()2222101810020188221m n b b b b b b b-=+--=++-+=++则当0b =时,2m n -最小,为82故答案为:82②设10m a b =+,则108n a b =+-(19a ≤≤,08b ≤≤)∴10001001081010998B a b a b a b =+++-=++∵B 除以19余数为1∴1010997a b ++能被19整除∴134********B a b a b -++=++为整数又22m n k +=(k 为整数)∴()210108308a b a b a b +++-=++是完全平方数∵19a ≤≤,08b ≤≤∴308a b ++最小为49,最大为256即716k ≤≤设34719a b t ++=,t 为正整数则13t ≤≤当1t =时,3412a b +=,则334b a =-,则330830384a b a a ++=+-+是完全平方数,又19a ≤≤,08b ≤≤,无整数解当2t =时,3431a b +=,则3134a b -=,则3133083084a a b a -++=++是完全平方数,又19a ≤≤,08b ≤≤,无整数解当3t =时,3450a b +=,则5034a b -=,则5033083084a ab a -++=++是完全平方数经检验,当6,8a b ==时,3473648757193a b ++=⨯+⨯+==⨯,23068819614⨯++==,3,14t k ==∴68,60m n ==∴268604564A =-=故答案为:82,4564．三、解答题．19.(1)222x y +(2)11a a +-．20.(1)86，87.5，40；(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；(3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人．21.(1)见解析(2)①OFC OEA ∠=∠;②OA OC =;③OF OE =;④四边形AECF 是菱形【小问1详解】解:如图所示,即为所求【小问2详解】证明:∵四边形ABCD 是矩形∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠,OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC=∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC⊥∴四边形AECF 是菱形．猜想:过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形证明:∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠,OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC=∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC⊥∴四边形AECF 是菱形．故答案为:①OFC OEA ∠=∠;②OA OC =;③OF OE =;④四边形AECF 是菱形．22.(1)该企业甲类生产线有10条,则乙类生产线各有20条(2)需要更新设备费用为1330万元【小问1详解】解:设该企业甲类生产线有x 条,则乙类生产线各有()30x -条,则()323070x x +-=解得:10x =则3020x -=答:该企业甲类生产线有10条,则乙类生产线各有20条【小问2详解】解:设购买更新1条甲类生产线的设备为m 万元,则购买更新1条乙类生产线的设备为()5m -万元,则2001805m m =-解得:50m =经检验:50m =是原方程的根,且符合题意则545m -=则还需要更新设备费用为10502045701330⨯+⨯-=(万元)23.(1)()()124606063y x x y x x=<≤=<≤，(2)函数图象见解析,1y 随x 增大而增大,2y 随x 增大而减小(3)2.26x <≤【小问1详解】解:∵PQ BC∥∴APQ ABC∽∴APQABC C PQ AP C BC AB==△△∴12686y x AB y AP x ===∴()()124606063y x x y x x =<≤=<≤，【小问2详解】解:如图所示,即为所求由函数图象可知,1y 随x 增大而增大,2y 随x 增大而减小【小问3详解】解:由函数图象可知,当12y y >时x 的取值范围2.26x <≤．24.(1)A ,C 两港之间的距离77.2海里(2)甲货轮先到达C 港．【小问1详解】如图,过B 作BE AC ⊥于点E∴90AEB CEB ∠=∠=︒由题意可知:45GAB ∠=︒,60EBC ∠=︒∴45BAE ∠=︒∴cos 40cos 45202AE AB BAE =∠=⨯︒=∴tan 260236CE BE EBC =∠=︒=⨯∴2026201.4120 2.4577.2AC AE CE =+=⨯+⨯≈(海里)∴A ,C 两港之间的距离77.2海里【小问2详解】由(1)得:45BAE ∠=︒,60EBC ∠=︒,77.2AC =∴sin 40sin 45202BE AB BAE =∠=⨯︒=∴20220256.41cos cos 602BE BC EBC ====≈∠︒由题意得:60ADF ∠=︒,30CDF ∠=︒∴90ADC ∠=︒∴1177.238.622CD AC ==⨯=, 1.73cos3077.266.82AD AC =︒=⨯≈(海里)∴甲行驶路程为:4056.496.4AB BC +=+=(海里),乙行驶路程为:66.838.6105.4AD CD +=+=(海里)∵96.4105.4<,且甲、乙速度相同∴甲货轮先到达C 港．25.(1)234y x x =--+(2)AM MN NF ++的最小值为4122+(3)符合条件的点Q 的坐标为()1,2--或1943,416⎛⎫-⎪⎝⎭．【小问1详解】解:令0x =,则4y =∴()0,4C ∴4OC =∵tan 4CBA ∠=∴4OC OB=∴1OB =∴()1,0B 将()1,0B 和()1,6-代入24y ax bx =++得6404a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得13a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的表达式为234y x x =--+【小问2详解】解:令0y =,则2034x x =--+解得4x =-或1x =∴()4,0A -设直线AC 的解析式为4y mx =+代入()4,0A -,得044m =-+解得1m =∴直线AC 的解析式为4y x =+设()2,34P p p p --+(40p -<<),则(),4D p p +∴()()2234424PD p p p p =--+-+=-++∵10-<∴当2p =-时,PD 最大,此时()2,6P -∴2AE =,2MN OE ==,()2,0E -∴AE MN =,AE MN∥连接EN∴四边形AMNE 是平行四边形∴AM EN=∴AM MN NF EN MN NF MN EF++=++≥+∴当E N F 、、共线时,EF 取最小值,即AM MN NF ++取最小值∵点F 为线段BC 的中点∴1,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴2EF ==∴AM MN NF ++的最小值为4122+【小问3详解】解:由(2)得点D 的横坐标为2-,代入4y x =+,得2y =∴()2,2D -∴新抛物线由234y x x =--+向左平移2个单位,向下平移2个单位得到∴()()222324278y x x x x =-+-++-=---'过点D 作1DQ BC ∥交抛物线y '于点1Q ∴1Q DK BCA∠=∠同理求得直线BC 的解析式为44y x =-+∵1DQ BC∥∴直线1DQ 的解析式为46y x =--联立得28476x x x =-----解得11x =-,22x =-当=1x -时,=2y -∴()11,2Q --作1DQ 关于直线AC 的对称线得2DQ 交抛物线y '于点2Q ∴21Q DK Q DK BCA∠=∠=∠设1DQ 交x 轴于点G由旋转的性质得到DG DG '=过点D 作DR x ∥轴,作DH x ⊥轴于点H ,作G H DR ''⊥于点H '当0y =时,046x =--解得32x =-∴3,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵()4,0A -,()0,4C ∴OA OC=∴45OAC OCA ∠=∠=︒∵DR x ∥轴∴45RDA DAH ADH ∠=∠=∠=︒∴G DH GDH''∠=∠∵90G H D GHD ∠=∠=''︒,DG DG '=∴GD H GDH''≌△△∴31222G H GH ''==-=,2DH DH '==∴54,2G ⎛⎫- ⎪⎝⎭'同理直线2DQ 的解析式为4213=-+y x 联立2134278x x x =--+--解得2x =-或194x =-当194x =-时,11934344216y ⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭∴21943,416Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上,符合条件的点Q 的坐标为()1,2--或1943,416⎛⎫-⎪⎝⎭．26.(1)60α︒+(2)CG =(3)12或352+【小问1详解】解:如图∵EFD BAC ∠∠=,60BAC ∠=︒∴60EFD ∠=︒∵11EFD BAD α∠=∠+∠=∠+∴160α∠=︒-∵1180AGE BAC ∠+∠+∠=︒∴1806011201AGE ∠=︒-︒-∠=︒-∠∴()1206060AGE αα∠=︒-︒-=︒+【小问2详解】解:CG =在CG 上截取CM BD =,连接,,BM BE AE ,BM 交AD 于点H ,∵,60AB AC BAC =∠=︒∴BCA V 为等边三角形∴60,ABC C BC AB ∠=∠=︒=∴ABD BCM△≌△∴3=4∠∠∵35AHM ∠=∠+∠∴4560AHM ∠=∠+∠=︒∵60EFD BAC ∠=∠=︒∴AHM EFD∠=∠∴EG BM∥∵点D 关于直线AB 的对称点为点E ∴,,60AE AD BE BD ABE ABC ==∠=∠=︒∴120EBC ∠=︒∴180EBC C ∠+∠=︒∴EB AC∥∴四边形EBMG 是平行四边形∴BE GM=∴BE GM BD CM ===∴2CG BD=记AB 与DE 的交点为点N 则由轴对称可知:DE AB ⊥,NE ND=∴Rt DNB 中,sin 2DN BD ABC =⋅∠=∴2DE DN ==∴CG DE ==∴CG =【小问3详解】解:连接BE ,记AB 与DE 的交点为点N∵,90AB AC EFD BAC =∠=∠=︒∴=45ABC ∠︒由轴对称知,45,,EAB DAB EBA DBA DE AB NE ND ∠=∠∠=∠=︒⊥=当点G 在边AC 上时,由于90EAG ∠>︒∴当AEG △为等腰三角形时,只能是AE AG =同(1)方法得BAD ∠=α,AGE α∠=∴EAB α∠=∴2∠=EAD α∵,AE AG EG AD=⊥∴2FAG EAD α∠=∠=∴Rt AFG △中,290αα+=︒,解得30α=︒∴60EAD ∠=︒,而AE AD =∴AED △为等边三角形∴AE ED=设AF x=∵60EAD ∠=︒∴2cos 60AF AG AE ED x ====︒∴DN x =∴在Rt DAN △中,tan DN AN DAB ===∠∵,45DE AB ABC ⊥∠=︒∴tan 45DN BN DN x ===︒∴AC AB x ==+∴)21CG AC AG x x x =-=+-=∴12CG AG -=当点G 在CA 延长线上时,只能是GE GA =,如图设BAD BAE β∠=∠=∴90DAC GAF β∠=∠=︒-,1802EAF β∠=︒-∴90GAE EAF GAF β∠=∠-∠=︒-∵GE GA=∴90GAE GEA β∠=∠=︒-∵90EFD BAC ∠=∠=︒∴在Rt AFE 中,90180290ββ︒-+︒-=︒解得60β=︒∴906030DAC GAF ∠=︒-︒=︒=∠设GF x =,则2AG GE x ==,AF =在Rt EFA △中,23EF x x x =+=,由勾股定理求得AE =在Rt EAN △中,cos60AN AE =⋅︒=,sin 603EN DN BN AE x ===⋅︒=∴3AB AC x ==∴(5CG AG AC x =+=+∴352CG AG +=综上所述:352CG AG +=或12．。
2022年重庆中考数学试题(A卷)(解析版)
重庆市2022年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(A 卷)(全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟)注意事项：1试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B 铅笔完成；4考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：拋物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标为-b 2a ，4ac -b 24a，对称轴为x =-b2a ．一、选择题：(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.5的相反数是(A )A.-5B.5C.-15D.152.下列图形是轴对称图形的是(D )A.B.C.D.3.如图，直线AB ，CD 被直线CE 所截，AB ⎳CD ，∠C =50°，则∠1的度数为(C )A.40°B.50°C.130°D.150°1ABCD E 4.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h (m )随飞行时间t (s )的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为(D )A.5mB.7mC.10mD.13m1235571013Ot/sh/m5.如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心，相似比为2:3．若△ABC 的周长为4，则△DEF 的周长是(B )A.4B.6C.9D.16AB CDEFO6.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图穼中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为(C )⋯①②③④A.32B.34C.37D.417.估计3×(23+5)的值应在(B )A.10和11之间B.9和10之间C.8和9之间D.7和8之间8.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是(A )A.200(1+x )2=242B.200(1-x )2=242C.200(1+2x )=242D.200(1-2x )=2429.如图，在正方形ABCD 中，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ,点F 是边AB 上一点，连接DF ,若BE =CE ,则∠CDF 的度数为(C )A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°A BCDEF10.如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，连接AO 交⊙O 于点C ，延长AO 交⊙O 于点D ，连接BD ．若∠A =∠D ，且AC =3，则AB 的长度是(C )A.3B.4C.33D.42ABCDO11.若关于x 的一元一次不等式组x -1≥4x -13,5x -1<a的解集为x ≤-2,且关于y 的分式方程y -1y +1=a y +1-2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是(D )A.-26B.-24C.-15D.-1312.在多项式x -y -z -m -n 中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：(x -y )-(z -m -n )=x -y -z +m +n ，x -y -(z -m )-n =x -y -z +m -n ，⋯．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是(D )A.0B.1C.2D.3【解析】我们将括号(称为左括号，)称为右括号，左括号加在最左侧则不改变结果①正确；②不管如何加括号，x 的系数始终为1，y 的系数为-1，故②正确；③我们发现加括号或者不加括号只会影响z 、m 、n 的符号，故最多有23=8种结果x -(y -z )-m -n ,x -y -(z -m )-n ,x -y -z -(m -n ),x -(y -z -m )-n ,x -y -(z -m -n ),x -(y -z )-(m -n ),x -(y -z -m -n ),(x -y )-z -m -n二、填空题(本大题四个小题，每小题4分，共16分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13.计算：|-4|+(3-π)0=5.14.有三张完全一样正面分别写有字母A ，B ，C 的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是13∙15.如图，菱形ABCD 中，分别以点A ，C 为圆心，AD ，CB 长为半径画弧，分别交对角线AC 于点E ，F ．若AB=2，∠BAD =60°，则图中阴影部分的面积为23-23π．(结果不取近似值)ABCDE F16.为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为35．【解析】设三座山各需香樟数量分别为4、3、9.甲、乙两山需红枫数量2a 、3a ．∴4+2a3+3a=56,∴a =3,故丙山需要香樟9，红枫5，设香樟和红枫价格分别为m 、n ．∴16m +20n =161-6.25% ×0.8m +20n ×1.25,∴m :n =5:4,∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为16×1-6.25% ×0.8×520×1.25×4=0.6三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．17.计算：(1)(x +2)2+x (x -4)；(2)ab-1 ÷a 2-b 22b ．【解析】1 原式=x 2+4x +4+x 2-4x =2x 2+42 原式=a -b b ×2b a +b a -b=2a +b18.在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E 作BC 的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E 作BC 的垂线EF ，垂足为F (只保留作图㾗迹)．在△BAE 和△EFB 中，∵EF ⊥BC ，∴∠EFB =90°．又∠A =90°，∴∠A =∠EFB ①∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠FBE②又BE =EB③∴△BAE ≌△EFB (AAS )．同理可得△EDC ≌△CFE AAS ④∴S △BCE =S △EFB +S △EFC =12S 矩形ABFE +12S 矩形EFCD =12S 矩形ABCD四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包拈辅助线)，请将解答过程书写在对应的位置上.19.公司生产A 、B 两种型号的扫地机器人,为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A 、B 型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验,记录下它们的除尘量的数据(单位:g ),并进行整理、描述和分析(除尘量用x 表示,共分为三个等级：合格80≤x <85,良好85≤x <95,优秀x ≥95),下面给出了部分信息：10台A 型扫地机器人的除尘量：83,84,84,88,89,89,95,95,95,98.10台B 型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A 9089a 26.640%B90b903030%抽取的A 、B 型扫地机器人除尘量统计表抽取的B 型扫地机器人除尘量扇形统计图优秀合格良好m%根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a =95，b =90,m =20;(2)这个月公可生产B 型扫地机器人共3000台，估计该月B 型扫地机器人“优秀”等级的台数；(3)根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由(写出一条理由即可).【解析】2 3000×30%=900台3 A 型号更好，在平均数均为90的情况下，A 型号的平均除尘量众数95>B 型号的平均除尘量众数90ABCDE20.已知一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象与反比例函数y =4x的图象相交于点A (1,m )．B (n ,-2)．(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出不等式kx +b >4x的解集：(3)若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求△ABC 的面积．654321654321654321654321Oxy20题图【解析】(1)解：A (1,4)，B (-2,-2),AB 解析式为y =2x +2(2)-2<x <0或x >1(3)S △ABC =12×4×6=1221.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从 A 地沿相同路线骑行去距 A 地30 千米的 B 地，已知甲前行的速度是乙的1.2 倍．(1)若乙先骑行2 千米，甲才开始从 A 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行 20 分钟，甲才开始从 A 地出发，则甲、乙恰好同时到达 B 地，求甲骑行的速度．【解析】解 (1)设乙的速度为 x km /h ，则甲的速度为 1.2x km /h ，由题意可列式 0.5 × 1.2x = 0.5x + 2, 解得 x = 20答：甲骑行的速度为 24km/h(2)20分钟=13小时由题意可列式30x-13=301.2x 解得x =15，检验成立答：甲骑行的速度为18km /h22.如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度(精确到个位)；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)【解析】1 过E作BC的垂线，垂足为H，∴EH=AC=200，DE=2002≈283米；2 AB=400,∴经过点B到达点D,总路程为500，∵BC=2003,AE=BC+BD-DH=2003+100-200=2003-100经过点E到达点D,总路程为2002+2003-100≈529>500故经过点B到达点D较近。
2022年重庆市中考数学试卷(a卷)(含答案解析)
2022年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）5的相反数是（）A．﹣5B．5C．−15D．15【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：5的相反数是﹣5，故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．（4分）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（4分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠C＝50°，则∠1的度数为（）A．40°B．50°C．130°D．150°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠C＝180°，∴∠1＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．4．（4分）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）A．5m B．7m C．10m D．13m【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．【解答】解：观察图象，当t＝3时，h＝13，∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度是解题的关键．5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4B．6C．9D．16【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF 的周长．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长是6，故选：B．【点评】本题考查位似变换，解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比．6．（4分）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【分析】根据图形的变化规律得出第n个图形中有4n+1个正方形即可．【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，…，第n个图案中有4n+1个正方形，∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有4n+1个正方形是解题的关键．7．（4分）估计√3×（2√3+√5）的值应在（）A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间【分析】先计算出原式得6+√15，再根据无理数的估算可得答案．【解答】解：原式=√3×2√3+√3×√5=6+√15，∵9＜15＜16，∴3＜√15＜4，∴9＜6+√15＜10．故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．8．（4分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A ．45°B ．60°C ．67.5°D ．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF 的度数，从而可以求得∠CDF 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝BA ，∠DAF ＝∠ABE ＝90°， 在△DAF 和△ABE 中， {AD =BA∠DAF =∠ABE AF =BE， △DAF ≌△ABE （SAS ）， ∠ADF ＝∠BAE ，∵AE 平分∠BAC ，四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAE =12∠BAC ＝22.5°，∠ADC ＝90°， ∴∠ADF ＝22.5°，∴∠CDF ＝∠ADC ﹣∠ADF ＝90°﹣22.5°＝67.5°， 故选：C ．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出∠ADF 的度数．10．（4分）如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，连接AO 交⊙O 于点C ，延长AO 交⊙O 于点D ，连接BD ．若∠A ＝∠D ，且AC ＝3，则AB 的长度是（ ）A．3B．4C．3√3D．4√2【分析】连接OB，则OB⊥AB，由勾股定理可知，AB2＝OA2﹣OB2①，由OB和OD是半径，所以∠A＝∠D＝∠OBD，所以△OBD∽△BAD，AB＝BD，可得BD2＝OD•AD，所以OA2﹣OB2＝OD•AD，设OD＝x，则AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，所以（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），求出x的值，即可求出OA和OB的长，进而求得AB的长．【解答】解：如图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，∴AB2＝OA2﹣OB2，∵OB和OD是半径，∴∠D＝∠OBD，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，∴OD：BD＝BD：AD，∴BD2＝OD•AD，即OA2﹣OB2＝OD•AD，设OD＝x，∵AC＝3，∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（负值舍去），∴OA＝6，OB＝3，∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，∴AB＝3√3，故选：C ．【点评】本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，得出△OBD ∽△BAD 是解题关键． 11．（4分）若关于x 的一元一次不等式组{x −1≥4x−13，5x −1＜a 的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程y−1y+1=a y+1−2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出{x ≤−2x ＜a+15，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y =a−13，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组{x −1≥4x−135x −1＜a 得：{x ≤−2x ＜a+15，∵不等式组{x −1≥4x−135x −1＜a的解集为x ≤﹣2，∴a+15＞−2，∴a ＞﹣11， 解分式方程y−1y+1=ay+1−2得：y =a−13， ∵y 是负整数且y ≠﹣1， ∴a−13是负整数且a−13≠−1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13， 故选：D ．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．12．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x﹣y加括号时，和原式相等；因为不改变x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运算，求出即可．【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，∴2×2×2＝8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．【点评】本题属于新定义问题，涉及整式的加减运算，加法原理与乘法原理的知识点和对加法原理的理解能力，利用原式中只有加减两种运算求解是解题关键．二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（4分）计算：|﹣4|+（3﹣π）0＝5．【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算即可． 【解答】解：原式＝4+1＝5． 故答案为：5．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题关键．14．（4分）有三张完全一样正面分别写有字母A ，B ，C 的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是13．【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：根据题意列表如下：A B C A AA BA CA B AB BB CB CACBCCC共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况， 所以抽取的两张卡片上的字母相同的概率为39=13，故答案为：13．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．（4分）如图，菱形ABCD 中，分别以点A ，C 为圆心，AD ，CB 长为半径画弧，分别交对角线AC 于点E ，F ．若AB ＝2，∠BAD ＝60°，则图中阴影部分的面积为6√3−2π3．（结果不取近似值）【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE 的面积，由S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE 可得答案． 【解答】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD ， ∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACD ＝30°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2， 在Rt △AOB 中，AB ＝2，∠BAO ＝30°， ∴BO =12AB ＝1，AO =√32AB =√3，∴AC ＝2OA ＝2√3，BD ＝2BO ＝2， ∴S 菱形ABCD =12AC •BD ＝2√3， ∴S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE＝2√3−60π×22360=6√3−2π3， 故答案为：6√3−2π3．【点评】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．16．（4分）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为35．【分析】分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量（只含一个字母），进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果．【解答】解：根据题意，如表格所设：香樟数量红枫数量 总量 甲 4x 5y ﹣4x 5y 乙 3x 6y ﹣3x 6y 丙9x7y ﹣9x7y∵甲、乙两山需红枫数量之比为2：3， ∴5y−4x 6y−3x=23，∴y ＝2x ， 故数量可如下表：香樟数量红枫数量总量 甲 4x 6x 10x 乙 3x 9x 12x 丙9x5x14x所以香樟的总量是16x ，红枫的总量是20x ， 设香樟的预算单价为a ，红枫的预算单价为b ， 由题意得，[16x •（1﹣6.25%）]•[a •（1﹣20%）]+20x •[b •（1+25%）]＝16x •a +20x •b ， ∴12a +25b ＝16a +20b ， ∴4a ＝5b ， 设a ＝5k ，b ＝4k ， ∴16×(1−6.25%)×0.8×520×1.25×4=35，故答案为：35．【点评】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．17．（8分）计算：（1）（x +2）2+x （x ﹣4）；（2）（ab−1）÷a 2−b 22b ．【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可； （2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可． 【解答】解：（1）原式＝x 2+4x +4+x 2﹣4x ＝2x 2+4；（2）原式＝（ab −bb ）÷(a+b)(a−b)2b=a−bb •2b(a+b)(a−b)=2a+b ． 【点评】本题主要考查分式的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则及分式的混合运算顺序和运算法则．18．（8分）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E 作BC 的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E 作BC 的垂线EF ，垂足为F （只保留作图痕迹）． 在△BAE 和△EFB 中， ∵EF ⊥BC ， ∴∠EFB ＝90°． 又∠A ＝90°， ∴ ∠A ＝∠EFB ， ① ∵AD ∥BC ，∴ ∠AEB ＝∠FBE ， ② 又 BE ＝EB ， ③ ∴△BAE ≌△EFB （AAS ）．同理可得 △EDC ≌△CFE （AAS ）， ④∴S △BCE ＝S △EFB +S △EFC =12S 矩形ABFE +12S 矩形EFCD =12S 矩形ABCD ．【分析】以C为圆心DE长为半径画弧交BC于F，连接CF，根据已知条件依次写出相应的解答过程即可．【解答】解：根据题意作图如下：由题知，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD，故答案为：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上．19．（10分）公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A9089a26.640%B90b903030%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝95，b＝90，m＝20；（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【分析】（1）根据众数、中位数概念可求出a、b的值，由B型扫地机器人中“良好”等级占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，可求出m的值；（2）用3000乘30%即可得答案；（3）比较A型、B型扫地机器人的除尘量平均数、众数可得答案．【解答】解：（1）在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最多的是95，∴众数a＝95，10台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，∴“合格”等级占1﹣50%﹣30%＝20%，即m＝20，把B型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5个和第6个数都是90，∴b＝90，故答案为：95，90，20；（2）估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数3000×30%＝900（台）；（3）A型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号的扫地机器人除尘量的众数＞B型号的扫地机器人除尘量的众数（理由不唯一）．【点评】本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．20．（10分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=4x的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞4x的解集；（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．【分析】（1）根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；（3）根据对称求出C 点坐标，根据A 点、B 点和C 点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y =4x 的图象过点A （1，m ），B （n ，﹣2）， ∴4m=1，n =4−2，解得m ＝4，n ＝﹣2， ∴A （1，4），B （﹣2，﹣2），∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过A 点和B 点， ∴{k +b =4−2k +b =−2， 解得{k =2b =2，∴一次函数的表达式为y ＝2x +2， 描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式kx +b ＞4x的解集为：﹣2＜x ＜0或x ＞1； （3）由题意作图如下：由图知△ABC 中BC 边上的高为6，BC ＝4， ∴S △ABC =12×4×6=12． 【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键．21．（10分）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A 地30千米的B 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A 地出发，则甲、乙恰好同时到达B 地，求甲骑行的速度．【分析】（1）设乙骑行的速度为x 千米/时，则甲骑行的速度为1.2x 千米/时，利用路程＝速度×时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2x 中即可求出甲骑行的速度；（2）设乙骑行的速度为y 千米/时，则甲骑行的速度为1.2y 千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于y 的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2y 中即可求出甲骑行的速度．【解答】解：（1）设乙骑行的速度为x 千米/时，则甲骑行的速度为1.2x 千米/时， 依题意得：12×1.2x ＝2+12x ，解得：x ＝20， ∴1.2x ＝1.2×20＝24．答：甲骑行的速度为24千米/时．（2）设乙骑行的速度为y 千米/时，则甲骑行的速度为1.2y 千米/时， 依题意得：30y−301.2y=2060，解得：y ＝15，经检验，y ＝15是原方程的解，且符合题意， ∴1.2y ＝1.2×15＝18．答：甲骑行的速度为18千米/时．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 22．（10分）如图，三角形花园ABC 紧邻湖泊，四边形ABDE 是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C 在点A 的正东方向，AC ＝200米．点E 在点A 的正北方向．点B ，D 在点C 的正北方向，BD ＝100米．点B 在点A 的北偏东30°，点D 在点E 的北偏东45°． （1）求步道DE 的长度（精确到个位）；（2）点D 处有直饮水，小红从A 出发沿人行步道去取水，可以经过点B 到达点D ，也可以经过点E 到达点D ．请计算说明他走哪一条路较近？ （参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【分析】（1）过D 作DF ⊥AE 于F ，由已知可得四边形ACDF 是矩形，则DF ＝AC ＝200米，根据点D 在点E 的北偏东45°，即得DE =√2DF ＝200√2≈283（米）；（2）由△DEF 是等腰直角三角形，DE ＝283米，可得EF ＝DF ＝200米，而∠ABC ＝30°，即得AB ＝2AC ＝400米，BC =√AB 2−AC 2=200√3米，又BD ＝100米，即可得经过点B 到达点D 路程为AB +BD ＝500米，CD ＝BC +BD ＝（200√3+100）米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE＝200√3−100+200√2≈529米，即可得答案．【解答】解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：由已知可得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米，∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=√2DF＝200√2≈283（米）；（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，∴EF＝DF＝200米，∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，BC=√AB2−AC2=200√3米，∵BD＝100米，∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，CD＝BC+BD＝（200√3+100）米，∴AF＝CD＝（200√3+100）米，∴AE＝AF﹣EF＝（200√3+100）﹣200＝（200√3−100）米，∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝200√3−100+200√2≈529米，∵529＞500，∴经过点B到达点D较近．【点评】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，解题的关键是掌握含30°、45°角的直角三角形三边的关系．23．（10分）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”． 例如：M ＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；又如：M ＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”． （1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记G （M ）=c+d 9，P （M ）=|10(a−c)+(b−d)|3．当G （M ），P （M ）均是整数时，求出所有满足条件的M ．【分析】（1）由“勾股和数”的定义可直接判断；（2）由题意可知，10a +b ＝c 2+d 2，且0＜c 2+d 2＜100，由G （M ）为整数，可知c +d ＝9，再由P （M ）为整数，可得c 2+d 2＝81﹣2cd 为3的倍数，由此可得出M 的值． 【解答】解：（1）∵22+22＝8，8≠20， ∴2022 不是“勾股和数”， ∵52+52＝50，∴5055 是“勾股和数”； （2）∵M 为“勾股和数”， ∴10a +b ＝c 2+d 2， ∴0＜c 2+d 2＜100， ∵G （M ）为整数，c+d 9为整数，∴c +d ＝9，∴P （M ）=|10(a−c)+(b−d)|3=|c 2+d 2−9−9c|3为整数， ∴c 2+d 2＝81﹣2cd 为3的倍数， ∴cd 为3的倍数．∴①c ＝0，d ＝9或c ＝9，d ＝0，此时M ＝8109或8190； ②c ＝3，d ＝6或c ＝6，d ＝3，此时M ＝4536或4563．【点评】本题以新定义为背景考查了因式分解的应用，考查了学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，表示出“勾股和数”，能根据条件找出合适的“勾股和数”．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2+bx +c 与直线AB 交于点A （0，﹣4），B （4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC +PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PC +PD 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． Ⅷ【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y =12x 2﹣x ﹣4；（2）设直线AB 解析式为y ＝kx +t ，把A （0，﹣4），B （4，0）代入可得直线AB 解析式为y ＝x ﹣4，设P （m ，12m 2﹣m ﹣4），则PD =−12m 2+m +4，可得C （12m 2﹣m ，12m 2﹣m﹣4），PC =−12m 2+2m ，则PC +PD =−12m 2+2m −12m 2+m +4＝﹣m 2+3m +4＝﹣（m −32）2+254，利用二次函数性质可得PC +PD 的最大值为254，此时点P 的坐标是（32，−358）；（3）将抛物线y =12x 2﹣x ﹣4向左平移5个单位得抛物线y =12x 2+4x +72，对称轴是直线x ＝﹣4，即可得F （0，72），E （−72，−358），设M （﹣4，n ），N （r ，12r 2+4r +72），分三种情况：①当EF 、MN 为对角线时，EF 、MN 的中点重合，可得N （12，458）；②当FM 、EN 为对角线时，FM 、EN 的中点重合，可得N （−12，138）；③当FN 、EM 为对角线时，FN 、EM 的中点重合，可得N （−152，138）．【解答】解：（1）把A （0，﹣4），B （4，0）代入y =12x 2+bx +c 得： {c =−48+4b +c =0， 解得{b =−1c =−4，∴抛物线的函数表达式为y =12x 2﹣x ﹣4；（2）设直线AB 解析式为y ＝kx +t ，把A （0，﹣4），B （4，0）代入得： {t =−44k +t =0， 解得{k =1t =−4，∴直线AB 解析式为y ＝x ﹣4，设P （m ，12m 2﹣m ﹣4），则PD =−12m 2+m +4，在y ＝x ﹣4中，令y =12m 2﹣m ﹣4得x =12m 2﹣m ， ∴C （12m 2﹣m ，12m 2﹣m ﹣4），∴PC ＝m ﹣（12m 2﹣m ）=−12m 2+2m ，∴PC +PD =−12m 2+2m −12m 2+m +4＝﹣m 2+3m +4＝﹣（m −32）2+254， ∵﹣1＜0，∴当m =32时，PC +PD 取最大值254，此时12m 2﹣m ﹣4=12×（32）2−32−4=−358，∴P （32，−358）； 答：PC +PD 的最大值为254，此时点P 的坐标是（32，−358）； （3）∵将抛物线y =12x 2﹣x ﹣4向左平移5个单位得抛物线y =12（x +5）2﹣（x +5）﹣4=12x 2+4x +72， ∴新抛物线对称轴是直线x =−42×12=−4，在y =12x 2+4x +72中，令x ＝0得y =72， ∴F （0，72），将P （32，−358）向左平移5个单位得E （−72，−358）， 设M （﹣4，n ），N （r ，12r 2+4r +72），①当EF 、MN 为对角线时，EF 、MN 的中点重合， ∴{0−72=−4+r 72−358=n +12r 2+4r +72， 解得r =12， ∴12r 2+4r +72=12×（12）2+4×12+72=458， ∴N （12，458）；②当FM 、EN 为对角线时，FM 、EN 的中点重合， ∴{0−4=−72+r72+n =−358+12r 2+4r +72，解得r =−12，∴12r 2+4r +72=12×（−12）2+4×（−12）+72=138， ∴N （−12，138）；③当FN 、EM 为对角线时，FN 、EM 的中点重合， ∴{0+r =−72−472+12r 2+4r +72=−358+n ，解得r =−152， ∴12r 2+4r +72=12×（−152）2+4×（−152）+72=138， ∴N （−152，138）；综上所述，N 的坐标为：（12，458）或（−12，138）或（−152，138）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．25．（10分）如图，在锐角△ABC 中，∠A ＝60°，点D ，E 分别是边AB ，AC 上一动点，连接BE 交直线CD 于点F ．（1）如图1，若AB ＞AC ，且BD ＝CE ，∠BCD ＝∠CBE ，求∠CFE 的度数；（2）如图2，若AB ＝AC ，且BD ＝AE ，在平面内将线段AC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到线段CM ，连接MF ，点N 是MF 的中点，连接CN ．在点D ，E 运动过程中，猜想线段BF ，CF ，CN 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB ＝AC ，且BD ＝AE ，将△ABC 沿直线AB 翻折至△ABC 所在平面内得到△ABP ，点H 是AP 的中点，点K 是线段PF 上一点，将△PHK 沿直线HK 翻折至△PHK 所在平面内得到△QHK ，连接PQ ．在点D ，E 运动过程中，当线段PF 取得最小值，且QK ⊥PF 时，请直接写出PQ BC的值．【分析】（1）如图1中，在射线CD 上取一点K ，使得CK ＝BE ，证明△BCE ≌△CBK （SAS ），推出BK ＝CE ，∠BEC ＝∠BKD ，再证明∠ADF +∠AEF ＝180°，可得结论；（2）结论：BF +CF ＝2CN ．首先证明∠BFC ＝120°．如图2﹣1中，延长CN 到Q ，使得NQ ＝CN ，连接FQ ，证明△CNM ≌△QNF （SAS ），推出FQ ＝CM ＝BC ，延长CF 到P ，使得PF ＝BF ，则△PBF 是等边三角形，再证明△PFQ ≌△PBC （SAS ），推出PQ ＝PC ，∠CPB ＝∠QPF ＝60°，推出△PCQ 是等边三角形，可得结论；（3）由（2）可知∠BFC ＝120°，推出点F 的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中），推出P ，F ，O 三点共线时，PF 的值最小，此时tan ∠APK =AOAP =√3，如图3﹣2中，过点H 作HL ⊥PK 于点L ，设HL ＝LK ＝2，PL =√3，PH =√7，KH ＝2√2，由等积法求出PQ ，可得结论．【解答】解：（1）如图1中，在射线CD 上取一点K ，使得CK ＝BE ，在△BCE 和△CBK 中， {BC =CB∠BCK =∠CBE BE =CK， ∴△BCE ≌△CBK （SAS ）， ∴BK ＝CE ，∠BEC ＝∠BKD ， ∵CE ＝BD ， ∴BD ＝BK ，∴∠BKD ＝∠BDK ＝∠ADC ＝∠CEB ， ∵∠BEC +∠AEF ＝180°， ∴∠ADF +∠AEF ＝180°， ∴∠A +∠EFD ＝180°， ∵∠A ＝60°， ∴∠EFD ＝120°，∴∠CFE ＝180°﹣120°＝60°；（2）结论：BF +CF ＝2CN ．理由：如图2中，∵AB ＝AC ，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝CB ，∠A ＝∠CBD ＝60°， ∵AE ＝BD ，∴△ABE ≌△BCD （SAS ）， ∴∠BCF ＝∠ABE ， ∴∠FBC +∠BCF ＝60°， ∴∠BFC ＝120°，如图2﹣1中，延长CN 到Q ，使得NQ ＝CN ，连接FQ ，∵NM ＝NF ，∠CNM ＝∠FNQ ，CN ＝NQ ， ∴△CNM ≌△QNF （SAS ）， ∴FQ ＝CM ＝BC ，延长CF 到P ，使得PF ＝BF ，则△PBF 是等边三角形，∴∠PBC +∠PCB ＝∠PCB +∠FCM ＝120°， ∴∠PFQ ＝∠FCM ＝∠PBC ， ∵PB ＝PF ，∴△PFQ ≌△PBC （SAS ），∴PQ ＝PC ，∠CPB ＝∠QPF ＝60°， ∴△PCQ 是等边三角形， ∴BF +CF ＝PC ＝QC ＝2CN ．（3）由（2）可知∠BFC ＝120°，∴点F 的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中）， ∴P ，F ，O 三点共线时，PF 的值最小， 此时tan ∠APK =AO AP =2√3， ∴∠HPK ＞45°， ∵QK ⊥PF ，∴∠PKH ＝∠QKH ＝45°，如图3﹣2中，过点H 作HL ⊥PK 于点L ，设PQ 交KH 题意点J ，设HL ＝LK ＝2，PL =√3，PH =√7，KH ＝2√2，∵S △PHK =12•PK •HL =12•KH •PJ ， ∴PQ ＝2PJ ＝2√3)2√2=2√2+√6 ∴PQ BC=√2+√62√7=2√14+√4214．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题.。
2022年重庆市中考数学试卷(a卷)(解析版)
2022年重庆市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）5的相反数是()A．5-B．5C．15-D．1 5【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．【解答】解：5的相反数是5-，故选：A．2．（4分）下列图形是轴对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．3．（4分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，//AB CD，50C∠=︒，则1∠的度数为()A．40︒B．50︒C．130︒D．150︒【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．【解答】解：//AB CD，1180C ∴∠+∠=︒，118018050130C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C ．4．（4分）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度()h m 随飞行时间()t s 的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为()A ．5mB ．7mC ．10mD ．13m【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．【解答】解：观察图象，当3t =时，13h =，∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m ，故选：D ．5．（4分）如图，ABC ∆与DEF ∆位似，点O 为位似中心，相似比为2:3．若ABC ∆的周长为4，则DEF ∆的周长是()A ．4B ．6C ．9D ．16【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得DEF ∆的周长．【解答】解：ABC ∆ 与DEF ∆位似，相似比为2:3．:2:3ABC DEF C C ∆∆∴=，ABC ∆ 的周长为4，DEF ∴∆的周长是6，故选：B ．6．（4分）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为()A ．32B ．34C ．37D ．41【分析】根据图形的变化规律得出第n 个图形中有41n +个正方形即可．【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，⋯，第n 个图案中有41n +个正方形，∴第⑨个图案中正方形的个数为49137⨯+=，故选：C ．7．（4的值应在()A ．10和11之间B ．9和10之间C ．8和9之间D ．7和8之间【分析】先计算出原式得6，再根据无理数的估算可得答案．【解答】解：原式6==91516<< ，34∴<<，9610∴<+<．故选：B ．8．（4分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是()A ．2200(1)242x +=B ．2200(1)242x -=C ．200(12)242x +=D ．200(12)242x -=【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x ，关系式为：第三天揽件数=第一天揽件数(1⨯+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，可列方程：2200(1)242x +=，故选：A ．9．（4分）如图，在正方形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点F 是边AB 上一点，连接DF ，若BE AF =，则CDF ∠的度数为()A ．45︒B ．60︒C ．67.5︒D ．77.5︒【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到ADF ∠的度数，从而可以求得CDF ∠的度数．【解答】解： 四边形ABCD 是正方形，AD BA ∴=，90DAF ABE ∠=∠=︒，在DAF ∆和ABE ∆中，AD BA DAF ABE AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAF ABE SAS ∆≅∆，ADF BAE ∠=∠，AE 平分BAC ∠，四边形ABCD 是正方形，122.52BAE BAC ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，22.5ADF ∴∠=︒，9022.567.5CDF ADC ADF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C ．10．（4分）如图，AB 是O 的切线，B 为切点，连接AO 交O 于点C ，延长AO 交O 于点D ，连接BD ．若A D ∠=∠，且3AC =，则AB 的长度是()A ．3B ．4C ．D ．【分析】连接OB ，则OB AB ⊥，由勾股定理可知，222AB OA OB =-①，由OB 和OD 是半径，所以A D OBD ∠=∠=∠，所以OBD BAD ∆∆∽，AB BD =，可得2BD OD AD =⋅，所以22OA OB OD AD -=⋅，设OD x =，则23AD x =+，OB x =，3OA x =+，所以22(3)(23)x x x x +-=+，求出x 的值，即可求出OA 和OB 的长，进而求得AB 的长．【解答】解：如图，连接OB ，AB 是O 的切线，B 为切点，OB AB ∴⊥，222AB OA OB ∴=-，OB 和OD 是半径，D OBD ∴∠=∠，A D ∠=∠ ，A D OBD ∴∠=∠=∠，OBD BAD ∴∆∆∽，AB BD =，::OD BD BD AD ∴=，2BD OD AD ∴=⋅，即22OA OB OD AD -=⋅，设OD x =，3AC = ，23AD x ∴=+，OB x =，3OA x =+，22(3)(23)x x x x ∴+-=+，解得3x =（负值舍去），6OA ∴=，3OB =，22227AB OA OB ∴=-=，AB ∴=故选：C．11．（4分）若关于x 的一元一次不等式组411,351x x x a-⎧-⎪⎨⎪-<⎩的解集为2x -，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是()A ．26-B ．24-C ．15-D ．13-【分析】解不等式组得出215x a x -⎧⎪+⎨<⎪⎩，结合题意得出11a >-，解分式方程得出13a y -=，结合题意得出8a =-或5-，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是8513--=-，即可得出答案．【解答】解：解不等式组411351x x x a -⎧-⎪⎨⎪-<⎩得：215x a x -⎧⎪+⎨<⎪⎩，不等式组411351x x x a-⎧-⎪⎨⎪-<⎩的解集为2x -，∴12 5a+>-，11a∴>-，解分式方程1211y ay y-=-++得：13ay-=，y是负整数且1y≠-，∴13a-是负整数且113a-≠-，8a∴=-或5-，∴所有满足条件的整数a的值之和是8513--=-，故选：D．12．（4分）在多项式x y z m n----中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：()()x y z m n x y z m n----=--++，()x y z m n x y z m n----=--+-，⋯．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x y-加括号时，和原式相等；因为不改变x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x y z m n----中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运算，求出即可．【解答】解：①()x y z m n x y z m n----=----，与原式相等，故①正确；② 在多项式x y z m n----中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；③在多项式x y z m n----中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，2228∴⨯⨯=种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D ．二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（4分）计算：0|4|(3)π-+-=5．【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算即可．【解答】解：原式415=+=．故答案为：5．14．（4分）有三张完全一样正面分别写有字母A ，B ，C 的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是13．【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意列表如下：AB C A AA BA CA B AB BB CB CACBCCC共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，所以抽取的两张卡片上的字母相同的概率为3193=，故答案为：13．15．（4分）如图，菱形ABCD 中，分别以点A ，C 为圆心，AD ，CB 长为半径画弧，分别交对角线AC 于点E ，F ．若2AB =，60BAD ∠=︒，则图中阴影部分的面积为6323π-．（结果不取近似值）【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE 的面积，由2ADE ABCD S S S =-阴影部分扇形菱形可得答案．【解答】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，则AC BD ⊥， 四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，30BAC ACD ∴∠=∠=︒，2AB BC CD DA ====，在Rt AOB ∆中，2AB =，30BAO ∠=︒，112BO AB ∴==，32AO AB ==，2AC OA ∴==，22BD BO ==，12ABCD S AC BD ∴=⋅=菱形，2ADE ABCD S S S ∴=-阴影部分扇形菱形2602360π⨯=-6323π-=，故答案为：6323π-．16．（4分）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为35．【分析】分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量（只含一个字母），进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果．【解答】解：根据题意，如表格所设：香樟数量红枫数量总量甲4x 54y x -5y 乙3x 63y x -6y 丙9x79y x-7y甲、乙两山需红枫数量之比为2:3，∴542633y x y x -=-，2y x ∴=，故数量可如下表：香樟数量红枫数量总量甲4x 6x 10x 乙3x 9x 12x 丙9x5x14x所以香樟的总量是16x ，红枫的总量是20x ，设香樟的单价为a ，红枫的单价为b ，由题意得，[16(1 6.25%)][(120%)]20[(125%)]1620x a x b x a x b ⋅-⋅⋅-+⋅⋅+=⋅+⋅，12251620a b a b ∴+=+，45a b ∴=，设5a k =，4b k =，∴121253252545a kb k ⨯==⨯，故答案为：35．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．17．（8分）计算：（1）2(2)(4)x x x ++-；（2）22(1)2a a b b b--÷．【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．【解答】解：（1）原式22444x x x x=+++-224x =+；（2）原式()()()2a b a b a b b b b+-=-÷2()()a b b b a b a b -=⋅+-2a b=+．18．（8分）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，试说明BCE ∆的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E 作BC 的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E 作BC 的垂线EF ，垂足为F （只保留作图痕迹）．在BAE ∆和EFB ∆中，EF BC ⊥ ，90EFB ∴∠=︒．又90A ∠=︒，∴A EFB ∠=∠，①//AD BC ，∴②又③()BAE EFB AAS ∴∆≅∆．同理可得④111222BCE EFB EFC ABFE EFCD ABCD S S S S S S ∆∆∆∴=+=+=矩形矩形矩形．【分析】以C 为圆心DE 长为半径画弧交BC 于F ，连接CF ，根据已知条件依次写出相应的解答过程即可．【解答】解：根据题意作图如下：由题知，在BAE ∆和EFB ∆中，EF BC ⊥ ，90EFB ∴∠=︒．又90A ∠=︒，A EFB ∴∠=∠，①//AD BC ，AEB FBE ∴∠=∠，②又BE EB =，③()BAE EFB AAS ∴∆≅∆．同理可得()EDC CFE AAS ∆≅∆，④111222BCE EFB EFC ABFE EFCD ABCD S S S S S S ∆∆∆∴=+=+=矩形矩形矩形，故答案为：①A EFB ∠=∠，②AEB FBE ∠=∠，③BE EB =，④()EDC CFE AAS ∆≅∆．四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上．19．（10分）公司生产A 、B 两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A 、B 型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：)g ，并进行整理、描述和分析（除尘量用x 表示，共分为三个等级：合格8085x <，良好8595x <，优秀95)x ，下面给出了部分信息：10台A 型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．10台B 型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的A 、B 型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A 9089a 26.640%B 90b 903030%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a =95，b =，m =；（2）这个月公司可生产B 型扫地机器人共3000台，估计该月B 型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【分析】（1）根据众数、中位数概念可求出a 、b 的值，由B 型扫地机器人中“良好”等级占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，可求出m 的值；（2）用3000乘30%即可得答案；（3）比较A 型、B 型扫地机器人的除尘量平均数、众数可得答案．【解答】解：（1）在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最多的是95，∴众数95a =，10台B 型扫地机器人中“良好”等级有5台，占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，∴“合格”等级占150%30%20%--=，即20m =，把B 型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5个和第6个数都是90，90b ∴=，故答案为：95，90，20；（2）该月B 型扫地机器人“优秀”等级的台数300030%900⨯=（台)；（3）A 型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A 型号的扫地机器人除尘量的众数B >型号的扫地机器人除尘量的众数（理由不唯一）．20．（10分）已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数4y x=的图象相交于点(1,)A m ，(,2)B n -．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式4kx b x+>的解集；（3）若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求ABC ∆的面积．【分析】（1）根据反比例函数解析式求出A 点和B 点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；（3）根据对称求出C 点坐标，根据A 点、B 点和C 点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1） 反比例函数4y x =的图象过点(1,)A m ，(,2)B n -，∴41m =，42n =-，解得4m =，2n =-，(1,4)A ∴，(2,2)B --，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过A 点和B 点，∴422k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的表达式为22y x =+，描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式4kx b x+>的解集为：20x -<<或1x >；（3）由题意作图如下：由图知ABC ∆中BC 边上的高为6，4BC =，146122ABC S ∆∴=⨯⨯=．21．（10分）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A 地30千米的B 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A 地出发，则甲、乙恰好同时到达B 地，求甲骑行的速度．【分析】（1）设乙骑行的速度为x 千米/时，则甲骑行的速度为1.2x 千米/时，利用路程=速度⨯时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2x 中即可求出甲骑行的速度；（2）设乙骑行的速度为y 千米/时，则甲骑行的速度为1.2y 千米/时，利用时间=路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于y 的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2y 中即可求出甲骑行的速度．【解答】解：（1）设乙骑行的速度为x 千米/时，则甲骑行的速度为1.2x 千米/时，依题意得：111.2222x x ⨯=+，解得：20x =，1.2 1.22024x ∴=⨯=．答：甲骑行的速度为24千米/时．（2）设乙骑行的速度为y 千米/时，则甲骑行的速度为1.2y 千米/时，依题意得：3030201.260y y -=，解得：15y =，经检验，15y =是原方程的解，且符合题意，1.2 1.21518y ∴=⨯=．答：甲骑行的速度为18千米/时．22．（10分）如图，三角形花园ABC 紧邻湖泊，四边形ABDE 是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C 在点A 的正东方向，200AC =米．点E 在点A 的正北方向．点B ，D 在点C 的正北方向，100BD =米．点B 在点A 的北偏东30︒，点D 在点E 的北偏东45︒．（1）求步道DE 的长度（精确到个位）；（2）点D 处有直饮水，小红从A 出发沿人行步道去取水，可以经过点B 到达点D ，也可以经过点E 到达点D ．请计算说明他走哪一条路较近？1.414≈ 1.732)≈【分析】（1）过D 作DF AE ⊥于F ，由已知可得四边形ACDF 是矩形，则200DF AC ==米，根据点D 在点E 的北偏东45︒，即得283DE ==≈（米)；（2）由DEF ∆是等腰直角三角形，283DE =米，可得200EF DF ==米，而30ABC ∠=︒，即得2400AB AC ==米，BC ==米，又100BD =米，即可得经过点B 到达点D 路程为500AB BD +=米，100)CD BC BD =+=米，从而可得经过点E 到达点D 路程为100529AE DE +=+≈米，即可得答案．【解答】解：（1）过D 作DF AE ⊥于F ，如图：由已知可得四边形ACDF 是矩形，200DF AC ∴==米，点D 在点E 的北偏东45︒，即45DEF ∠=︒，DEF ∴∆是等腰直角三角形，283DE ∴==≈（米)；（2）由（1）知DEF ∆是等腰直角三角形，283DE =米，200EF DF ∴==米，点B 在点A 的北偏东30︒，即30EAB ∠=︒，30ABC ∴∠=︒，200AC = 米，2400AB AC ∴==米，BC =米，100BD = 米，∴经过点B 到达点D 路程为400100500AB BD +=+=米，100)CD BC BD =+=米，100)AF CD ∴==米，100)200100)AE AF EF ∴=-=-=米，∴经过点E 到达点D 路程为100529AE DE +=-+≈米，529500> ，∴经过点B 到达点D 较近．23．（10分）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．例如：2543M =，223425+= ，2543∴是“勾股和数”；又如：4325M =，225229+= ，2943≠，4325∴不是“勾股和数”．（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()9c d G M +=，|10()()|()3a cb d P M -+-=．当()G M ，()P M 均是整数时，求出所有满足条件的M ．【分析】（1）由“勾股和数”的定义可直接判断；（2）由题意可知，2210a b c d +=+，且220100c d <+<，由()G M 为整数，可知9c d +=，再由()P M 为整数，可得22812c d cd +=-为3的倍数，由此可得出M 的值．【解答】解：（1）22228+= ，820≠，2022∴不是“勾股和数”，225550+= ，5055∴是“勾股和数”；（2）M 为“勾股和数”，2210a b c d ∴+=+，220100c d ∴<+<，()G M 为整数，9c d +为整数，9c d ∴+=，22|10()()||99|()33a cb dcd c P M -+-+--∴==为整数，22812c d cd ∴+=-为3的倍数，cd ∴为3的倍数．∴①0c =，9d =或9c =，0d =，此时8109M =或8190；②3c =，6d =或6c =，3d =，此时4536M =或4563．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与直线AB 交于点(0,4)A -，(4,0)B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC PD +的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PC PD +取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为2142y x x =--；（2）设直线AB 解析式为y kx t =+，把(0,4)A -，(4,0)B 代入可得直线AB 解析式为4y x =-，设21(,4)2P m m m --，则2142PD m m =-++，可得21(2C m m -，214)2m m --，2122PC m m =-+，则2222113252434()2224PC PD m m m m m m m +=-+-++=-+-=--+，利用二次函数性质可得PC PD +的最大值为254，此时点P 的坐标是3(2，35)8-；（3）将抛物线2142y x x =--向左平移5个单位得抛物线217422y x x =++，对称轴是直线4x =-，即可得7(0,)2F ，7(2E -，35)8-，设(4,)M n -，217(,422N r r r ++，分三种情况：①当EF 、MN 为对角线时，EF 、MN 的中点重合，可得1(2N ，458；②当FM 、EN 为对角线时，FM 、EN 的中点重合，可得1(2N -，138；③当FN 、EM 为对角线时，FN 、EM 的中点重合，可得15(2N -，138．【解答】解：（1）把(0,4)A -，(4,0)B 代入212y x bx c =++得：4840c b c =-⎧⎨++=⎩，解得14b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的函数表达式为2142y x x =--；（2）设直线AB 解析式为y kx t =+，把(0,4)A -，(4,0)B 代入得：440t k t =-⎧⎨+=⎩，解得14k t =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 解析式为4y x =-，设21(,4)2P m m m --，则2142PD m m =-++，在4y x =-中，令2142y m m =--得212x m m =-，21(2C m m ∴-，214)2m m --，2211()222PC m m m m m ∴=--=-+，2222113252434()2224PC PD m m m m m m m ∴+=-+-++=-++=--+，10-< ，∴当32m =时，PC PD +取最大值254，此时221133354(422228m m --=⨯--=-，3(2P ∴，35)8-；答：PC PD +的最大值为254，此时点P 的坐标是3(2，35)8-；（3） 将抛物线2142y x x =--向左平移5个单位得抛物线22117(5)(5)44222y x x x x =+-+-=++，∴新抛物线对称轴是直线44122x =-=-⨯，在217422y x x =++中，令0x =得72y =，7(0,)2F ∴，将3(2P ，35)8-向左平移5个单位得7(2E -，35)8-，设(4,)M n -，217(,422N r r r ++，①当EF 、MN 为对角线时，EF 、MN 的中点重合，∴270427351742822r n r r ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=+++⎪⎩，解得12r =，∴22171117454()42222228r r ++=⨯+⨯+=，1(2N ∴，458；②当FM 、EN 为对角线时，FM 、EN 的中点重合，∴270427351742822r n r r ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪+=-+++⎪⎩，解得12r =-，∴22171117134()4()2222228r r ++=⨯-+⨯-+=，1(2N ∴-，13)8；③当FN 、EM 为对角线时，FN 、EM 的中点重合，∴270427173542228r r r n ⎧+=--⎪⎪⎨⎪+++=-+⎪⎩，解得152r =-，∴2217115157134(4()2222228r r ++=⨯-+⨯-+=，15(2N ∴-，138；综上所述，N 的坐标为：1(2，45)8或1(2-，138或15(2-，13)8．25．（10分）如图，在锐角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D ，E 分别是边AB ，AC 上一动点，连接BE 交直线CD 于点F ．（1）如图1，若AB AC >，且BD CE =，BCD CBE ∠=∠，求CFE ∠的度数；（2）如图2，若AB AC =，且BD AE =，在平面内将线段AC 绕点C 顺时针方向旋转60︒得到线段CM ，连接MF ，点N 是MF 的中点，连接CN ．在点D ，E 运动过程中，猜想线段BF ，CF ，CN 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB AC =，且BD AE =，将ABC ∆沿直线AB 翻折至ABC ∆所在平面内得到ABP ∆，点H 是AP 的中点，点K 是线段PF 上一点，将PHK ∆沿直线HK 翻折至PHK ∆所在平面内得到QHK ∆，连接PQ ．在点D ，E 运动过程中，当线段PF 取得最小值，且QK PF ⊥时，请直接写出PQ BC 的值．【分析】（1）如图1中，在射线CD 上取一点K ，使得CK BE =，证明()BCE CBK SAS ∆≅∆，推出BK CE =，BEC BKD ∠=∠，再证明180ADF AEF ∠+∠=︒，可得结论；（2）结论：2BF CF CN +=．首先证明120BFC ∠=︒．如图21-中，延长CN 到Q ，使得NQ CN =，连接FQ ，证明()CNM QNF SAS ∆≅∆，推出FQ CM BC ==，延长CF 到P ，使得PF BF =，则PBF ∆是等边三角形，再证明()PFQ PBC SAS ∆≅∆，推出PQ PC =，60CPB QPF ∠=∠=︒，推出PCQ ∆是等边三角形，可得结论；（3）由（2）可知120BFC ∠=︒，推出点F 的运动轨迹为红色圆弧（如图31-中），推出P ，F ，O 三点共线时，PF 的值最小，此时tanAO APK AP ∠==，如图32-中，过点H 作HL PK ⊥于点L ，设2HL LK ==，PL =，PH =，KH =PQ ，可得结论．【解答】解：（1）如图1中，在射线CD 上取一点K ，使得CK BE =，在BCE ∆和CBK ∆中，BC CB BCK CBE BE CK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CBK SAS ∴∆≅∆，BK CE ∴=，BEC BKD ∠=∠，CE BD = ，BD BK ∴=，BKD BDK ADC CEB ∴∠=∠=∠=∠，180BEC AEF ∠+∠=︒ ，180ADF AEF ∴∠+∠=︒，180A EFD ∴∠+∠=︒，60A ∠=︒ ，120EFD ∴∠=︒，18012060CFE ∴∠=︒-︒=︒；（2）结论：2BF CF CN +=．理由：如图2中，AB AC = ，60A ∠=︒，ABC ∴∆是等边三角形，AB CB ∴=，60A CBD ∠=∠=︒，AE BD = ，()ABE BCD SAS ∴∆≅∆，BCF ABE ∴∠=∠，60FBC BCF ∴∠+∠=︒，120BFC ∴∠=︒，如图21-中，延长CN 到Q ，使得NQ CN =，连接FQ ，NM NF = ，CNM FNQ ∠=∠，CN NQ =，()CNM QNF SAS ∴∆≅∆，FQ CM BC ∴==，延长CF 到P ，使得PF BF =，则PBF ∆是等边三角形，120PBC PCB PCB FCM ∴∠+∠=∠+∠=︒，PFQ FCM PBC ∴∠=∠=∠，PB PF = ，()PFQ PBC SAS ∴∆≅∆，PQ PC ∴=，60CPB QPF ∠=∠=︒，PCQ ∴∆是等边三角形，2BF CF PC QC CN ∴+===．（3）由（2）可知120BFC ∠=︒，∴点F 的运动轨迹为红色圆弧（如图31-中），P ∴，F ，O 三点共线时，PF 的值最小，此时tanAO APK AP ∠==45HPK ∴∠>︒，QK PF ⊥ ，45PKH QKH ∴∠=∠=︒，如图32-中，过点H 作HL PK ⊥于点L ，设PQ 交KH 题意点J ，设2HL LK ==，PL =，PH =，KH =1122PHK S PK HL KH PJ ∆=⋅⋅=⋅⋅ ，22PQ PJ ∴===+∴14PQ BC =．。
2023年重庆市中考数学真题(A卷)(答案解析)
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）1.【答案】A【解析】解：8的相反数是8-，故选A ．2.【答案】D【解析】从正面看第一层是2个小正方形，第二层右边1个小正方形，故选：D ．3.【答案】C【解析】解：A 选项，将1x =代入反比例函数4y x =-得到14y =-≠，故A 项不符合题意；B 选项，项将1x =-代入反比例函数4y x =-得到44y =≠-，故B 项不符合题意；C 选项，项将=−2代入反比例函数4y x =-得到22y ==，故C 项符合题意；D 选项，项将2x =代入反比例函数4y x=-得到22y =-≠，故D 项不符合题意；故选C ．4.【答案】B【解析】解：∵两个相似三角形周长的比为1:4，∴相似三角形的对应边比为1:4，故选B ．5.【答案】A【解析】解：∵AB CD ∥，155∠=︒，∴18055125CAB Ð=°-°=°，∵AD AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：A ．6.【答案】B+=4=+∵2 2.5<<，∴45<<，∴849<+，故选：B ．7.【答案】B【解析】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是45844+⨯=根，故选：B ．8.【答案】C【解析】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，AB =∴在Rt OAB 中，3tan 23OB AB A =⋅∠==，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，OC ==，故选C ．9.【答案】A【解析】将ADF 绕点A 逆时针旋转90︒至ABH，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒，由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠，90D ABH ∠=∠=︒，AF AH =，∴180AHB ABC ∠+∠=︒，∴点H B C ，，三点共线，∵BAE α∠=，45EAF ∠=︒，90BAD HAF ∠=∠=︒，∴45DAF BAH α∠=∠=︒-，45EAF EAH ∠=∠=︒，∵90AHB BAH ∠+∠=︒，∴45AHB α∠=︒+，在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFE AHE SAS ≌，∴45AHE AFE α∠=∠=︒+，∴45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+，∴902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+，∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒，∴2FEC α∠=，故选：A ．10.【答案】C【解析】解：x y z m n x y z m n ----=----，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现x -，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x y z m n x y z m n ----=----；x y z m n x y z m n ----=-+--；||x y z m n x y z m n ----=--+-；x y z m n x y z m n ----=---+．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x y z m n x y z m n ----=--+-；x y z m n x y z m n ----=---+；x y z m n x y z m n ----=-+-+．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）11.【答案】1.5【解析】1023-+=11=1.52+.故答案为1.5.12.【答案】36°【解析】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°∴5401085B ︒︒∠==，∴180B 1801083622BAC ︒︒︒︒-∠-∠===.故答案为36°．13.【答案】19【解析】解：根据题意列表如下：红球白球蓝球红球（红球，红球）（白球，红球）（蓝球，红球）白球（红球，白球）（白球，白球）（蓝球，白球）蓝球（红球，蓝球）（白球，蓝球）（蓝球，蓝球）由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为19，故答案为：19．14.【答案】()2150111815x +=【解析】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意得，()2150111815x +=，故答案为：()2150111815x +=．15.【答案】3【解析】解：∵90BAC ∠=︒，∴90EAB EAC ∠+∠=︒，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90AEB AFC ∠=∠=︒，∴90ACF EAC ∠+∠=︒，∴ACF BAE ∠=∠，在AFC △和BEA △中：AEB CFA ACF BAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AFC BEA ≌△△，∴4,1AF BE AE CF ====，∴413EF AF AE =-=-=，故答案为：3．16.【答案】25124π-【解析】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是O 的直径，∵4,3AB AD ==，∴5BD ==，∴O 的半径为52，∴O 的面积为254π，矩形的面积为3412⨯=，∴阴影部分的面积为25124π-；故答案为25124π-；17.【答案】4【解析】解：+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②解不等式①得：5x ≤，解不等式②得：1+2a x ≥，∴不等式的解集为1+52a x ≤≤，∵不等式组至少有2个整数解，∴1+42a ≤，解得：6a ≤；∵关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，∴()1422a y ---=解得：12a y -=，即102a -≥且122a -≠，解得：1a ≥且5a ≠∴a 的取值范围是16a ≤≤，且5a ≠∴a 可以取：1，3，∴134+=，故答案为：4．18.【答案】①.4312②.8165【解析】解：∵a312是递减数，∴1033112a +-=，∴4a =，∴这个数为4312；故答案为：4312∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，∴101010a b b c c d +--=+，∵1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++，∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=，∵()11010199112a b a b a b +=+++，能被9整除，∴112a b +能被9整除，∵各数位上的数字互不相等且均不为0，∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a ab b b b b b b b ========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩，∵最大的递减数，∴8,1a b ==，∴1089110c c d ⨯-⨯-=+，即：1171c d +=，∴c 最大取6，此时5d =，∴这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）19.【答案】（1）21a -（2）11x +【解析】（1）解：原式2221a a a =-+-21a =-；（2）原式()222.11x x x x x x ⎛⎫+-=÷ ⎪++⎝⎭()22211x x x x =÷++()22211x x x x +=⋅+11x =+．20.【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．21.【答案】（1）72，70.5，10；（2）B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【解析】（1）解：由题意可知10架A 款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有72出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为72，即72a =；由B 款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为40%，则B 款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：1040%4⨯=（架）则B 款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：10451--=（架）则B 款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：70,71，故B 款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.52+=B 款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：1100%10%10⨯=即10m =故答案为：72，70.5，10；（2）B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：620012010⨯=（架）200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：61207210⨯=（架）则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：12072192+=架，答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．22.【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份（2）购买牛肉面60份【解析】（1）解：设购买杂酱面x 份，则购买牛肉面()170x -份，由题意知，()152********x x +⨯-=，解得，80x =，∴17090x -=，∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；（2）解：设购买牛肉面a 份，则购买杂酱面1.5a 份，由题意知，1260120061.5a a+=，解得60a =，经检验，60a =是分式方程的解，∴购买牛肉面60份．23.【答案】（1）当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【解析】（1）解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）函数图象如图：当04t <≤时，y 随t 的增大而增大；（3）当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t -=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．24.【答案】（1）AD 的长度约为14千米（2）小明应该选择路线①，理由见解析【解析】（1）解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，由题意可得：四边形BCDF 是矩形，∴10DF BC ==千米，∵点D 在点A 的北偏东45︒方向，∴45DAF DAN Ð=Ð=°，∴14sin 45DF AD ==°千米，答：AD 的长度约为14千米；（2）由题意可得：10BC =，14CD =，∴路线①的路程为：14102438AD DC BC ++=+=+（千米），∵10DF BC ==，45DAF DAN Ð=Ð=°，90DFA ∠=︒，∴DAF △为等腰直角三角形，∴10AF DF ==，∴101424AB AF BF AF DC =+=+=+=，由题意可得60EBS Ð=°，∴60E ∠=︒，∴tan 60AB AE ==°，sin 60AB BE ==°，所以路线②的路程为：42AE BE +=千米，∴路线①的路程<路线②的路程，故小明应该选择路线①．25.【答案】（1）213222y x x =-++（2）PDE △周长的最大值65105+，此时点()2,3P （3）以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或137,22⎛ ⎝⎭或137,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）把()1,3、()1,0A -代入22y ax bx =++得，3202a b a b =++⎧⎨=-+⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为213222y x x =-++；（2）延长PE 交x 轴于F，∵过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，∴DEP BCO ∠=∠，90PDE COB ∠=∠=︒，∴DPE OBC ，∴DPE PEOBC BC =周长周长 ，∴PEDPE OBC BC =⋅周长周长 ，∴当PE 最大时PDE △周长的最大∵抛物线的表达式为213222y x x =-++，∴()4,0B ，∴直线BC 解析式为122y x =-+，BC ==设213,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴()222131112222222222PE m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当2m =时2PE =最大，此时()2,3P ∵BOC周长为6OC OB BC ++=+，∴PDE △(651065++=，此时()2,3P ，即PDE △周长的最大值65105+，此时点()2,3P ；（3）∵将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，∴平移后的解析式为()()221317222142222y x x x =--+-+-=-+-，此抛物线对称轴为直线72x =，∴设7,2M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),N s t ∵()2,3P ，()1,0A -∴218PA =，()()22227923324PM n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭，()22227811024AM n n ⎛⎫=++-=+ ⎪⎝⎭，当PA 为对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴PA 与MN 互相平分，且PM AM=∴()22981344n n +-=+，解得32n =-∵PA 中点坐标为2130,22-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，MN 中点坐标为72,22s n t ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴7123s n t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得5292s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当PA 为边长且AM 和PN 是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴AM 与PN 互相平分，且PMPA =∴()293184n +-=，解得3732n =±∵PN 中点坐标为23,22s t ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，AM 中点坐标为7102,22n ⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴721230s t n ⎧+=-⎪⎨⎪+=+⎩，解得122s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，此时137,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22N ⎛- ⎝⎭；同理，当PA 为边长且AN 和PM 是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴AN 和PM 互相平分，且AM PA =281184n +=，此方程无解；综上所述，以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或137,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22⎛- ⎝⎭；26.【答案】（1）（2）见解析（3）435【解析】（1）解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，∴sin 32AC AB B ===，∵BD =，∴AD AB BD =-=（2）证明：如图所示，延长FB 使得FH FG =，连接EH ，∵F 是DE 的中点则DF FE =，FH FG =，GFD HFE ∠=∠，∴()SAS GFD HFE ≌，∴H G ∠=∠，∴EH GC ∥，∴60HEC ECD ∠=∠=︒∵DEC 是等边三角形，∴60DEC EDC ∠=∠=︒，∵60DEC DBC ==︒∠∠，∴,,,B C D E 四点共圆，∴EDB BCE ∠=∠，BEC BDC ∠=∠，∴6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，∵G BCE BDE H ∠=∠=∠=∠，∴H BEH ∠=∠，∴EB BH =，∴FH FG BF BH BF EB ==+=+；（3）解：如图所示，在CD 取得最小值的条件下，即CD AB ⊥，设4AB a =，则2BC a =，AC =，∴24AC BC a CD AB a⨯⨯===，12BD BC a ==，∵将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．∴BE BN=∴点N 在以B 为圆心，a 为半径的圆上运动，取AB 的中点S ，连接SP ，则SP 是ABN 的中位线，∴P 在半径为12a 的S 上运动，当CP 取最大值时，即,,P S C 三点共线时，此时如图，过点P 作PTAC ⊥于点T ，过点N 作NR AC ⊥于点R ，∵S 是AB 的中点，60ABC ∠=︒∴SC SB BC ==，∴BCS △是等边三角形，则60PCB ∠=︒，∴30PCA ACB BCP ∠=∠-∠=︒，∵2BC a =，4AB a =，∴2CS BC a ==，12PS a =∴52PC a =，15sin 24PT PC PCT PC a =⨯∠==，TC ==∵AC =，∴AT =，如图所示，连接PQ ，交NR 于点U ，则四边形PURT是矩形，∴PU AR ∥，P 是AN 的中点，∴1NU NP UR PA==即PD 是ANR 的中位线，同理可得PT 是ANR 的中位线，∴54NU UR PT a ===，12PU AR AT ===∵BCS △是等边三角形，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，∴2120QCP BCP ∠=∠=︒∴PQ ===则UQ PQ PU =-=-=在Rt NUQ中，432NQ a =∴43432552a NQ CP a ==．。
2023年重庆市中考数学真题(B卷)(解析版)
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 4的相反数是（ ） A.14B. 14−C. 4D. 4−【答案】D 【解析】【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：4的相反数是4−， 故选：D ．【点睛】本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】从正面看到的有三列，从左到右正方形的个数依次是1，1，2，据此判断即可. 【详解】解：从正面看到视图是：，故选：A .【点睛】本题考查了几何体的视图，明确从正面看到的视图是解题关键. 3. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a b ，163∠=°，则2∠度数为( )．的的A. 27°B. 53°C. 63°D. 117°【答案】C 【解析】【分析】求2∠的度数，根据平行线的性质求解即可． 【详解】�a b ， �1263∠=∠=°， 故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键熟练掌握两直线平行，内错角相等的性质． 4. 如图，已知ABC EDC ∽，:2:3AC EC =，若AB 的长度为6，则DE 的长度为（ ）A. 4B. 9C. 12D. 13.5【答案】B 【解析】【分析】根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵ABC EDC ∽， ∴::AC EC AB DE =， ∵:2:3AC EC =，6AB =， ∴2:36:DE =， ∴9DE =， 故选：B.【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键. 5. 反比例函数6y x=的图象一定经过的点是（ ） A. ()3,2− B. ()2,3−C. ()2,4−−D. ()2,3【答案】D【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k 即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵()()326,236,248,236−×=−×−=−−×−=×=， ∴点()2,3在反比例函数6y x=的图象上， 故选：D .【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键. 6. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）A. 14B. 20C. 23D. 26【答案】B 【解析】【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解. 【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=×−； 第②个图案中有5个圆圈，5321=×−； 第③个图案中有8个圆圈，8331=×−； 第④个图案中有11个圆圈，11341=×−； …，所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120×−=； 故选：B .【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n 个图案的规律为31n −是解题的关键.7. −的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间【答案】A【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．1=−，253036<<，<<56<<，415∴<−<，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．8. 如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于点C，连接AC，若50ACD∠=°，则BAC∠的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】B【解析】【分析】连接OC，先根据圆的切线的性质可得90OCD∠=°，从而可得40OCA∠=°，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：如图，连接OC，直线CD与O相切，OC CD ∴⊥，90OCD ∴∠=°，50ACD ∠=° ，40OCA ∴∠=°，OA OC = ，40BAC OCA ∴∠=∠=°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 9. 如图，在正方形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，E 为正方形内一点，连接BE ，BE BA =，连接CE 并延长，与ABE ∠的平分线交于点F ，连接OF ，若2AB =，则OF 的长度为（ ）A. 2B.C. 1D.【答案】D 【解析】【分析】连接AF ，根据正方形ABCD 得到AB BC BE ==，90ABC ∠=°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得45BFE ∠=°，再证明ABF EBF ≌，求得90AFC ∠=°，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出OF 的长度． 【详解】解：如图，连接AF ，四边形ABCD 是正方形，AB BE BC ∴==，90ABC ∠=°，AC=，BEC BCE ∴∠=∠，1802EBC BEC ∴∠=°−∠，290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠−∠=∠−°， BF 平分ABE ∠，1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠−°，45BFE BEC EBF ∴∠=∠−∠=°，在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =∠=∠ =， ()SAS BAF BEF ∴△≌△，45BFE BFA ∴∠=∠=°，90AFC BAF BFE ∴∠=∠+∠=°，O 为对角线AC 的中点，12OF AC ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得45BFE ∠=°是解题的关键．10. 在多项式x y z m n −−−−（其中x y z m n >>>>）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x y z m n x y z m n −−−−=−−+−，x y z m n x y z m n −−−−=−−−+，……．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据“绝对操作”的定义及绝对值的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵x y z m n >>>>， ∴x y z m n x y z m n −−−−=−−−−，∴存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等， 故①正确；根据绝对操作的定义可知：在多项式x y z m n −−−−（其中x y z m n >>>>）中，经过绝对操作后，z n m 、、的符号都有可能改变，但是x y 、的符合不会改变，∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0， 故②正确；∵在多项式x y z m n −−−−（其中x y z m n >>>>）中，经过“绝对操作”可能产生的结果如下： ∴x y z m n x y z m n −−−−=−−−−，x y z m n x y z m n −−−−=−+−−，x y z m n x y z m n x y z m n −−−−=−−−−=−−+−， x y z m n x y z m n x y z m n −−−−=−−−−=−−−+， x y z m n x y z m n −−−−=−+−+，共有5种不同运算结果， 故③错误； 故选C ．【点睛】本题考查了新定义“绝对操作”，绝对值的性质，整式的加减运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的撗线上．11. 计算：05(2−+=________． 【答案】6 【解析】【分析】根据绝对值、零指数幂法则计算即可．【详解】解：05(2516−+−=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 【答案】14【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 清 风 朗 月 清 清清 清风 清朗 清月 风 风清 风风 风朗 风月 朗 朗清 朗风 朗朗 朗月 月月清月风月朗月月共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种， ∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 13. 若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为________． 【答案】800°##800度 【解析】【分析】根据多边形的内角和公式()1802n °−即可得． 【详解】解：�七边形的内角中有一个角为100°，�其余六个内角之和为()18072100800°×−−°=°， 故答案为：800°．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．14. 如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边中线，若5AB =，6BC =，则AD 的长度为________．【答案】4 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线， ∴AD BC ⊥，12BD BC =， 在Rt △ABD 中，5AB =，132BD BC ==，∴4AD ==，故答案为：4．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键． 15. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，请列出方程________．【答案】2301(1)500x += 【解析】【分析】根据变化前数量2(1)x ×+=变化后数量，即可列出方程． 【详解】 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ．∴第二个月新建了301(1)x +个充电桩， ∴第三个月新建了2301(1)x +个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，于是有2301(1)500x +=，的故答案为2301(1)500x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为x ，则有(1)n a x b +=，其中a 表示变化前数量，b 表示变化后数量，n 表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．16. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，连接AE DE ，，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE DE ，交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）【答案】4π− 【解析】【分析】利用矩形的性质求得2,2AB CD BE CE ====，进而可得45BAE AEB DEC CDE ∠=∠=∠=∠=°，然后根据()2ABE BEM S S S =− 阴影扇形解答即可． 【详解】解：�四边形ABCD 是矩形，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，∴12,22ABCD BE CE BC =====，90ABC DCB ∠=∠=°， ∴45BAE AEB DEC CDE ∠=∠=∠=∠=°， ∴()2145212=22222423602ABEBEM S S S πππ ×=−×××−=×−=−阴影扇形； 故答案为：4π−．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45°的扇形面积是解题关键．17. 若关于x 的不等式组213241x x x a x + >++<− 的解集为<2x −，且关于y 的分式方程22211a y y y +++=−−的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和为________． 【答案】13 【解析】【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得5a ≤，再解分式方程可得2a >−且1a ≠，从而可得25a −<≤且1a ≠，然后将所有满足条件的整数a 的值相加即可得．【详解】解：213241x x x a x + >+ +<− ①②， 解不等式①得：<2x −， 解不等式②得：13a x +<−， ∵关于x 的不等式组213241x x x a x + >+ +<− 的解集为<2x −， 123a +∴−≥−， 解得5a ≤， 方程22211a y y y+++=−−可化为()2221a y y +−−=−， 解得23a y +=， 关于y 的分式方程22211a y y y+++=−−的解为正数， 203a +∴>且2103a +−≠， 解得2a >−且1a ≠，52a ∴−<≤且1a ≠，则所有满足条件的整数a 的值之和为10234513−+++++=，故答案为：13．【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键． 18. 对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，�716−=，312−=，�7311是“天真数”；四位数8421，�816−≠，�8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()()3P M a b c d =+++，()5Q M a =−，若()()P M Q M 能被10整除，则满足条件的M 的最大值为________．【答案】 �. 6200 �. 9313【解析】【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到()8c d a b +=+−，进而()()()485P M M a Q b a +−−=，若M 最大，只需千位数字a 取最大，即9a =，再根据()()P M Q M 能被10整除求得3b =，进而可求解．【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，6a d −=，2b c −=，69a ≤≤，29b ≤≤，则()8c d a b +=+−，∴()()()348P M a b c d a b =+++=+−， ∴()()()485P M M a Q b a +−−=， 若M 最大，只需千位数字a 取最大，即9a =， ∴()()()498795b P Q b M M =+−=+−， ∵()()P M Q M 能被10整除， ∴3b =，∴满足条件的M 的最大值为9313，故答案为：6200，9313．【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19. 计算：（1）()()263x x x ++−； （2）2293n m n m m − +÷． 【答案】（1）229x +（2）13m n− 【解析】【分析】（1）先根据单项式乘以多项式的法则、完全平方公式计算，再合并同类项；（2）根据分式混合运算的法则解答即可．【小问1详解】解：()()263x x x ++− 22669x x x x =++−+229x +；【小问2详解】 解：2293n m n m m − +÷()()333m n m m m n m n +⋅+− 13m n=−． 【点睛】本题考查了整式和分式的运算，属于基本计算题型，熟练掌握整式和分式混合运算的法则是解题的关键．20. 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ． 求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠= ① ． ∵EF 垂直平分AC ，∴ ② ．又EOC ∠=___________③ ．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠． ∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．21. 某洗车公司安装了A ，B 两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A ，B 两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x 表示，分为四个等级，不满意70x <，比较满意7080x ≤<，满意8090x ≤<，非常满意90x ≥），下面给出了部分信息．抽取的对A 款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89；抽取对B 款设备的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．抽取的对A ，B 款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比A88 m 96 45% B 88 87 n40% 根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a _______，m =_______，n =_______；（2）5月份，有600名消费者对A 款自动洗车设备进行评分，估计其中对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）15，88，98（2）90 （3）A 款，理由：评分数据中A 款的中位数比B 款的中位数高（答案不唯一）【解析】【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得a ，再根据中位数和众数的定义求得m ，n ；（2）利用样本估计总体即可；（3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论．【小问1详解】解： 抽取的对A 款设备的评分数据中“满意”的有6份，∴“满意”所占百分比为：6100%30%20×=， 的∴“比较满意”所占百分比为：130%45%10%15%−−−=，15a ∴=，抽取的对A 款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数，“不满意”和“满意”的评分有()2010%15%5×+=（份），∴第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89， ∴8789882m +==， 抽取的对B 款设备的评分数据中出现次数最多的是98，98n ∴=，故答案为：15，88，98；【小问2详解】解：600名消费者对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数为：60015%90×=（人）， 答：600名消费者对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．【小问3详解】解：A 款自动洗车设备更受欢迎，理由：评分数据中A 款的中位数比B 款的中位数高（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键．22. 如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．【答案】（1）当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =−； （2）图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【解析】【分析】（1）分两种情况：当04t <≤时，根据等边三角形的性质解答；当46t <≤时，利用周长减去2AE 即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y =分别求解即可．【小问1详解】解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=°，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =−；【小问2详解】函数图象如图：当04t <≤时，y 随x 的增大而增大；【小问3详解】当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t −=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．23. 某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种．甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒503亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？【答案】（1）甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩（2）100亩【解析】【分析】（1）设甲区有农田x 亩，则乙区有农田()10000x −亩，根据甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同建立方程，解方程即可得；（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y 亩，派往甲区的无人机架次为a 架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒503y −亩，派往乙区的无人机架次为1.2a 架次，根据两区喷洒的面积相同建立方程，解方程即可得．【小问1详解】解：设甲区有农田x 亩，则乙区有农田()10000x −亩，由题意得：80%10000x x =−，解得50000x =，则10000500001000040000x −=−=，答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩．【小问2详解】解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒y 亩，派往甲区的无人机架次为a 架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒503y−亩，派往乙区的无人机架次为1.2a 架次， 由题意得：5031.2ay a y=− ，即5031.2y y − ， 解得100y =，答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．24. 人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A ，B 养殖场捕捞海产品，经测量，A 在灯塔C 的南偏西60°方向，B 在灯塔C 的南偏东45°方向，且在A 的正东方向，3600AC =米．（1）求B 养殖场与灯塔C 的距离（结果精确到个位）；（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B 处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B 1.414≈ 1.732≈）【答案】（1）2545米（2）能，说明过程见解析【解析】【分析】（1）过点C 作CD AB ⊥于点D ，先根据含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定可得118002BD CD AC ===米，再解直角三角形即可得； （2）先解直角三角形求出AD 的长，从而可得AB 的长，再根据时间等于路程除以速度即可得．【小问1详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由题意得：60,45ACD BCD ∠=°∠=°， 30,45A B BCD ∴∠=°∠=∠=°，118002BD CD AC ∴===米， 2545sin 45CD BC ∴=≈°米， 答：B 养殖场与灯塔C 的距离为2545米．【小问2详解】解：sin 60AD AC =⋅°=()1800AB AD BD ∴=+=+米，则甲组到达B 处所需时间为()180060038.196+÷=≈（分钟）9<分钟， 所以甲组能在9分钟内到达B 处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C −．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】（1）211344y x x =+− （2）PD 取得最大值为45，52,2P −−（3）Q 点的坐标为9,12 −或9,52 或97,24． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC 的解析式为334y x =−−，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t +− ，则3,34Q t t −− ，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出219494216y x =−− ，对称轴为直线92x =，点52,2P −− 向右平移5个单位得到53,2E−，()0,2F ，勾股定理分别表示出222,,EF QE QF ，进而分类讨论即可求解． 【小问1详解】解：将点()3,0B ，()0,3C −．代入214y x bx c =++得， 2133043b c c ×++= =− 解得：143b c = =− ，�抛物线解析式为：211344y x x =+−， 【小问2详解】 �211344y x x =+−与x 轴交于点A ，B ， 当0y =时，2113044x x +−= 解得：124,3x x =−=， �()4,0A −,�()0,3C −．设直线AC 的解析式为3y kx =−， ∴430k −−= 解得：34k =− ∴直线AC 的解析式为334y x =−−， 如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t +− ，则3,34Q t t −− ， ∴223111334444PQ t t t t t =−−−+−=−−， �AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=°， ∴OAC QPD ∠=∠， ∵4,3OA OC ==， ∴5AC =， ∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=， ∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ==−−=−−=−++， ∴当2t =−时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +−=×−+×−−=−， ∴52,2P−−； 【小问3详解】�抛物线211344y x x =+−211494216x =+−将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x =−− ，对称轴为直线92x =， 点52,2P−− 向右平移5个单位得到53,2E −∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y =×−= ， ∴()0,2F , ∴22251173224EF =++= ∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92， 设9,2Q m， ∴22295322QE m =−++ ，()222922QF m =+−， 当QF EF =时，()22922m +− =1174， 解得：1m =−或5m =， 当QE QF =时，2295322m −++=()22922m +− ， 解得：74m = 综上所述，Q 点的坐标为9,12 − 或9,52 或97,24．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．26. 如图，在等边ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E 线段AD 上一动点（不与A ，D 重合），连接BE ，CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CF ，连接AF ．（1）如图1，求证：CBE CAF ∠=∠；（2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，连接DG ，EF ，EF 与DG 所在直线交于点H ，求证：EH FH =；（3）如图3，连接BF 交AC 于点G ，连接DG ，EG ，将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到APG ，将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到DQG ，连接PQ ，QF ．若4AB =，直接写出PQ QF +的最小值．【答案】（1）见解析 （2）见解析（32【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出CE CF =，60ECF ∠=°，进而证明()SAS BCE ACF ≌△△，即可得为证；（2）过点F 作∥FK AD ，交DH 点的延长线于点K ，连接EK ，FD ，证明四边形四边形EDFK 是平行四边形，即可得证；（3）如图所示，延长,AP DQ 交于点R ，由（2）可知DCG △是等边三角形，根据折叠的性质可得30PAG EAG ∠=∠=°，30QDG EDG ∠=∠=°，进而得出ADR 是等边三角形，由（2）可得Rt Rt CED CFG ≌，得出四边形GDQF 是平行四边形，则122QF DC AC ===，进而得出3602120PGQ AGD ∠=°−∠=°，则PQ=，当GQ 取得最小值时，即GQ DR ⊥时，PQ 取得最小值，即可求解． 【小问1详解】证明：�ABC 为等边三角形，�60ACB ∠=°，AC BC =，�将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CF ，∴CE CF =，60ECF ∠=°∴ACB ECF ∠=∠∴ACB ACE ECF ACE −=−∠∠∠∠即BCE ACF ∠=∠在BCE 和ACF △中EC FC BCE ACF BC AC = ∠=∠ =， ∴()SAS BCE ACF ≌△△，∴CBE CAF ∠=∠；【小问2详解】证明：如图所示，过点F 作∥FK AD ，交DH 点的延长线于点K ，连接EK ，FD ，�ABC 是等边三角形，�AB AC BC ==，�AD BC ⊥∴BD CD =∴AD 垂直平分BC ，∴EB EC =又∵BCE ACF ≌，∴,AF BECF CE ==， ∴AF CF =,∴F 在AC 的垂直平分线上，∵AB BC =∴B 在AC 的垂直平分线上，∴BF 垂直平分AC∴AC BF ⊥，12AGCG AC == ∴90AGF ∠=° 又∵12DG AC CG ==，60ACD ∠=° ∴DCG △是等边三角形，∴60CGD CDG ∠=∠=°∴60AGH DGC ∠=∠=°∴906030KGF AGF AGH ∠=∠−∠=°−°=°，又∵906030ADK ADC GDC ∠=∠−∠=°−°=°，KF AD ∥∴30HKF ADK ∠=∠=°∴30FKG KGF ∠=∠=°，∴FG FK =在Rt CED 与Rt CGF △中，CF CE CD CG = =∴Rt Rt CED CFG ≌∴GF ED =∴ED FK =∴四边形EDFK 是平行四边形，∴EH HF =；【小问3详解】解：依题意，如图所示，延长,AP DQ 交于点R ，由（2）可知DCG △是等边三角形，∴30EDG ∠=°�将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到APG ，将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到DQG ，∴30PAG EAG ∠=∠=°，30QDG EDG ∠=∠=° ∴60PAE QDE ∠=∠=°， ∴ADR 是等边三角形，∴906030QDCADC ADQ ∠=∠−∠=°−°=° 由（2）可得Rt Rt CED CFG ≌∴DE GF =，∵DE DQ =，∴GF DQ =，∵30GBC QDC ∠=∠=°， ∴GF DQ ∥∴四边形GDQF 是平行四边形， ∴122QF DG AC === 由（2）可知G 是AC 的中点，则GA GD =∴30GAD GDA ∠=∠=°∴120AGD ∠=°∵折叠，120AGP DGQ AGE DGE AGD ∴∠+∠=∠+∠=∠=°，∴3602120PGQ AGD ∠=°−∠=°， 又PGGE GQ ==，∴PQ =，∴当GQ 取得最小值时，即GQ DR ⊥时，PQ 取得最小值，此时如图所示，∴11122GQ GC DC ===，∴PQ =，∴2PQ QF +．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
重庆中考数学试卷及答案
C B O A 重庆中考数学试卷及答案 （本卷共四个大题 满分150分 考题时间120分钟）参照公式：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --，对称轴公式为a b x 2-= 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中. 1、2的倒数是（ ）A 、21 B 、21- C 、21± D 、2 2、计算23x x ⋅的结果是（ ）A 、6xB 、5xC 、2xD 、x3、不等式042≥-x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D4、数据2，1，0，3，4的平均数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、35、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，则∠ACB 的度数为（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°6、如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ）7、计算28-的结果是（）A 、6B 、6C 、2D 、28、若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为（）A 、2∶3B 、4∶9C 、2∶3D 、3∶29、今年5月12日，四川汶川发生强烈地震后，我市立即抽调骨干医生组成医疗队赶赴灾区进行抗震救灾.某医院要从包括张医生在内的4名外科骨干医生中，随机地抽调2名医生参加抗震救灾医疗队，那么抽调到张医生的概率是（ ）A 、21B 、31C 、41D 、61 20-220正面6题图5题图 BC M NA D10题图l 2l 1l 321A DBC 10、如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A=90°，AB=28cm ，DC=24cm ，AD=4cm ，点M 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点C 运动，点N 从点B 同时出发，以2cm/s 的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.则四边形AMND的面积y （cm 2）与两动点运动的时间t （s ）的函数图象大致是（ ）二、填空题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上.11、方程062=-x 的解为 .12、分解因式：=-ay ax .13、截止5月28日12时，全国共接受国内外社会各界为地震灾区人民捐赠款物约为3480000万元.那么3480000万元用科学记数法表示为 万元. 14、在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 .15、如图，直线21l l 、被直线3l 所截，且1l ∥2l ，若∠1=60°，则∠2 的度数为 . 16、如图，在□ABCD 中，AB=5cm ，BC=4cm ，则□ABCD 的周长为__________cm.17、分式方程121+=x x 的解为 . 18、光明中学七年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为40名，某次数学考题的成绩统计如下：（每组分数喊最小值，不含最大值） 分数 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100人数 1 4 15 11 9根据以上图、表提供的信息，则80～90分这一组人数最多的班是 .142856yO t 2856y O t 2856y O t 142856y O tA B C D15题图16题图l A B CD O G F B D AC E19、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个.20、如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan ∠AED=2；③S △AGD=S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 .三、解答题（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 21、（每小题5分，共10分）（1）计算：)1()32(3)21(01-+-+-+-（2）解方程：0132=++x x22、（10分）作图题：（不要求写作法）如图，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD （即四边形的顶点都在格点上）（1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD向下平移5格后的四边形A 1B 1C 1D 1；（2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线l 对称的四边形A 2B 2C 2D 2.20题图23、（10分）先化简，再求值：32444)1225(222+=++-÷+++-a a a a a a a ，其中24、（10分）已知：如图，反比例函数的图象经过点A 、B ，点A 的坐标为（1，3），点B 的纵坐标为1，点C的坐标为（2，0）.（1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线BC 的解析式.25、将背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字做为被减数，将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差.（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；（2）小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢.你认为该游戏公平吗？请说明理由.如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.26、（10分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。
重庆初三数学试题及答案
重庆初三数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.3333…（3无限循环）B. √2C. 1/7D. 0.2答案：B2. 一个数的相反数是-3，那么这个数是：A. 3B. -3C. 1/3D. -1/3答案：A3. 若a-b=2，则a+b=？A. 0B. 1C. 4D. 2答案：C4. 一个角的补角是120°，那么这个角的度数是：A. 60°B. 30°C. 90°D. 120°答案：A5. 一个等腰三角形的底角是40°，那么顶角的度数是：A. 100°B. 80°C. 60°D. 40°答案：A6. 一个数的立方根是2，那么这个数是：A. 8B. 2C. 4D. 6答案：A7. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C8. 一个数的平方是16，那么这个数可能是：A. 4B. -4C. 4或-4D. 2答案：C9. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是：A. 2B. 1/2C. 1D. 0答案：A10. 一个数的平方根是3，那么这个数是：A. 9B. -9C. ±9D. 3答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的绝对值是4，这个数是______。
答案：±42. 一个角的余角是30°，这个角的度数是______。
答案：60°3. 一个数的立方是27，这个数是______。
答案：34. 一个等腰三角形的顶角是80°，那么它的底角是______。
答案：50°5. 一个数的平方根是4，这个数是______。
答案：16三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边长度为√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5cm。
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重庆市2010年初中毕业
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、
C 、
D 的四个答案中，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填表在题后的括号中。
1．3的倒数是（ ）
A ．13
B ．— 13
C ．3
D ．—3 2．计算2x 3·x 2的结果是（ ）
A ．2x
B ．2x 5
C ．2x 6
D ．x 5
3．不等式组⎩⎨⎧>≤-6
2,31x x 的解集为（ ）
A ．x ＞3
B ．x ≤4
C ．3＜x ＜4
D ．3＜x ≤4
4．如图，点B 是△ADC 的边AD 的延长线上一点，DE ∥BC ，若∠C ＝50°，∠BDE ＝60°，则∠CDB 的度数等于（ ）
A ．70°
B ．100°
C ．110°
D ．120°
5．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A ．对全国中学生心理健康现状的调查
B ．对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查
C ．对我市市民实施低碳生活情况的调查
D ．以我国首架大型民用直升机各零部件的检查
6．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠AOC 的度数等于（ ）
A ．140°
B ．130°
C ．120°
D ．110°
7．由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（ ）
8．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）
A ．图①
B ．图②
C ．图③
D ．图④
9．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家。
下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的大致图像是（）
10．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE 。
过点A 作AE 的垂线交DE 于点P 。
若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 5 。
下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ；⑤S
正方形ABCD ＝4＋ 6 ．其中正确结论的序号是
（）
A ．①③④
B ．①②⑤
C ．③④⑤
D ．①③⑤
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将
答案填在题后的横线上。
11．上海世界博览会自2010年5月1日开幕以来，截止到5月18日，累计参观人
数约为324万人，将324万用科学记数法表示为_____________万.
12．“情系玉树 大爱无疆”在为青海玉树的捐款活动中，某小组7位同学的捐款数额（元）分别是：5，
20，5，50，10，5，10. 则这组数据的中位数是_____________.
13．已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为2:3，则△ABC 与△DEF 的周长比为_____________.
14．已知⊙O 的半径为3cm ，圆心O 到直线l 的距离是4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是_____________.
15．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字－2，－1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全
部相同。
现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P 的横坐标，将该数的平方作为点P 的纵坐标，则点P 落在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5与x 轴所围成的区域内（不含边界）的概率是_____________.
16．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮
料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合.如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克
三、解答题：（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
17．计算：（－1）2010－| －7 |＋ 9 ×（ 5 －π）0＋（ 1 5
）－1 18．解方程：x x －1
＋ 1 x ＝1 19．尺规作图：请在原图上作一个∠AOC ，使其是已知∠AOB 的 3 2
倍（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必有要的字母，不写作法和结论）
已知：
求作：
20． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝ 3 。
点D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠AD C
＝60°求△ABC 的周长（结果保留根号）
四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
21．先化简，再求值：（x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x
，其中x ＝－1 22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A （－2，0），与反比例函数在第一象限内的图像的交于点B （2，n ），连结BO ，若S △AOB ＝4．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式；
（2）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积．
23．在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制
成了如下两幅不完整的统计图：
（1）求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；
（2）如果发了3条箴的同学中有两位同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学。
现要从发了3条箴和4
条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率。
24． 已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°。
点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的
垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M 。
点F 在线段ME 上，且满足CF ＝AD ，MF ＝MA 。
（1）若∠MFC ＝120°，求证：AM ＝2MB ；
（2）求证：∠MPB ＝90°－ 1 2
∠FCM 。
25．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周数x
1 2 3 4 价格y （元/千克） 2 2.2 2.4 2.6
进入55月第1周的2.8元/
千克下降至第2周的2.4元/千克，且y 与周数x 的变化情况满足二次函数y ＝－ 1 20
x 2＋bx ＋c 。
（1） 请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y
与x 的函数关系式，并求出5月份y 与x 的函数关系式；
（2） 若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为m ＝ 1 4
x ＋1.2，5月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为m ＝5
1 x ＋2。
试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大且最大利润分别是多少
（3）
（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的
可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a %，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8 a %。
若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值。
（参考数据：372＝1369，382＝1444，392＝1521，402＝1600，412＝1681）
26．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在
x 轴的正半轴上。
另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°。
现有两动点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A→O→B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止。
（1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；
（2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条
件的点D 的坐标；
（3）如图（2），现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB 、AB 交于点M 、N ，连接MN ．将∠MCN 绕着C
点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M 、N 始终在边OB 和边AB 上。
试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．。