因式分解难题解析

因式分解难题解析

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在因式分解时，有时会用到以下两个公式：

n n n-1n-2n-2n-1a -b =(a-b)(a +a b+

+ab +b ) m m m-1m-2m-2m-1a +b =(a+b)(a -a b+-b a+b )(m 为奇数）

下面精选了十个实例进行讲解。

01 x 3-xy 2+x 2z-xz 2-2xyz+y 2z+yz 2

分析：

一眼就可看出，这是3次的齐次多项式。

一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组。 x 3-xy 2+x 2z-xz 2-2xyz+y 2z+yz 2

= x 3-xy 2-xz 2+yz 2 +x 2z-2xyz+y 2z

=x(x 2-y 2)-z 2(x-y)+z(x 2-2xy+y 2)

=x(x-y)(x+y)-z 2(x-y)+z(x-y)2

=(x-y)(x 2+xy-z 2+zx-zy)

此题若不进行科学分组会很困难。

02 22282143x xy y x y +-++-

分析：此题一看就应该知道用双十字相乘法分解。

解：

x y 常数项

1 4 -1

1 -

2 3

22282143x xy y x y +-++-=(x+4y-1)(x-2y+3)

注意：先看前三项，是否与x 、y 两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后再看x 、常数项是否与x 的系数相配，最后看y 、常数项是否与y 的系数相配。 作业：

① 12233+++-b a ab b a

提示：先分组再变形最后用十字相乘法。

222222222222()()1()()()1

()()()1(1)(1)ab a b a b ab a b a b a b a ab ab b a b a ab ab b =-+++=+-+++=-++++=-+++原式

难度较大。

② 22xy y x y ++--

提示：x 2的系数看成0，然后再用双十字相乘法。

x y

1 1 －2

0 1 1

原式＝（x ＋y －2）（y ＋1）

也可用分组法，以x 为主元。

03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

分析：

这个题目一看，映入眼帘的就是3个括号。

瞧瞧 括号里 的 b+c 、 c-a 、a+b ，看看这3项是否有某种联系

前两项相加得不出 第3项，但我们发现，后2项相加正好等于第1项。 所以，这个题目中的第1项如果分成两部分，一部分配给第2项，一部分配给第3项会是不坏的注意。

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b )+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

作业：

① 3

356x x --

② 42511x x -+

③ 43223x x x +++

提示：需要拆分分组。 04

432272136x x x x +--+ 分析：

拿到这道题，一看便知，这是高次，且包含多项的 多项式。

另外，还看到7、-13、6有着某种关系，所以不妨把它们按此发现分组。 这样就有（2x 4-2x 2）+（7x 3-13x+6）

不难把13x 分成7x 和6x ，配给7x 3和6。

这样，接着2x 2(x 2-1)+7x(x 2-1)-6(x-1)

至此对后的分解就不在话下了。

对于这道题，细心的人也会发现，各项系数和为0，这意味着x=1是它的根，根据因式定理，就知道x-1是多项式的一个因子，然后，怎么分组都行，只要按照x-1的思路。

作业：

x 3 +2x 2 -5x-6

提示：当偶次项的系数和（2+（-6）=-4）等于奇次项系数和（1+（-5）=-4）时，就有-1这个根。也就是说，x+1是多项式的一个因式。

05 432

262x x x x ---+ 分析：

拿到这个题目，一看就觉得有某种对称关系： 422x 与，3-x -x 与，系数分别相等。显然，应该把它们分别结合，然后再考察。

解：

432432422262

2262116---+=++--+=+-+-x x x x (x )(x x)x

(x )x(x )x

到了这里，似乎走进了死胡同。不用急，你再仔细看看，就会发现x 4+1与x 2+1

长得挺像，一定有某种因缘。 21422y x ,x +1=y -2x =+4令所以有

这里采用换元法，x 2+1看成y 。 22210252=y -xy-x =(y x)(y x)-+原式2225221(x x )(x x )=-+++

22121(x )(x )(x )

=--+ 对于这种对称式多项式，为了看起来更明显，也可以用倒数换元法，即直接提取

一个最高项的次方的一半： 432

222222262

12262126---+=---+=-+-x x x x x (x x )x x

x [(x +)(x )]x x

然后令 1x y x +=，那么22212x y x +=-

原式=

22

210 x(y y)

--

=

2252 x(y)(y)

-+

=

2

21

252 x(x)(x)

x x

+-++

=

22

25221 (x x)(x x) -+++

=

2 2121 (x)(x)(x) --+

作业：

①

222

16112 (a a)(a a)a

++-++

提示：看这个多项式有什么特点，然后利用这个特点就可找到路径。

②

22

54272 (x x)(x x)

-+---

提示：以上要先进行适当变形后，才能进行换元。

③(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)

提示：一看便知，这是一个很有特色的式子。

除了常数项，就只剩下x+y 和xy。

很容易想到，对它们工作应该有效。

06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc

分析：

这是一个轮换对称式，将a换成b，b换成c，c换成a，结果一样。这样的题目，一般有(a+b)、(b+c)、(c+a)因式，但并不确定。

可以用a+b=0代入多项式中，如果等于0，则有这个因式。