FIR 滤波器和 IIR 滤波器的格型结构

4.3.5 全零点格型结构

1973年，Gray 和Markel 提出一种新的系统结构形式，即格型结构（lattice structure ）。这是一种很有用的结构，在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。这种结构的优点是，对有限字长效应的敏感度低，且适合递推算法。

这种结构有三种形式，即适用于FIR 系统的全极点格型结构和适用于IIR 系统的全极点和零极点格型结构。下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。其他两种个性结构将留到第4.3节讨论。

格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。图7.11 示出其中的第m 极。与FIR 滤波器的直接型结构一样，全零点格型结构也是没有反馈支路的，

图7.10 全零点格型结构

图7.11 全零点格型结构的基本单元

让我们从一组FIR 滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。

图7.10 中，以)(n x 为输入序列，后接M 个格型级，这样就形成M 个滤波器：第m （M m ,...,2,1=）个滤波器有两个输出，即上输出)(n f m 和下输出)(n g m 。以)(n f m 为输出的滤波器称为前向滤波器；以)(n g m 为输出的滤波器称为后向滤波器。

对于M 个前向FIR 滤波器，它们的系统函数为：

,...,M ,m z A z H m m 21 ),()(== （18） 式中，)(z A m 是多项式： 1 ,)(1)(1

M m z k a

z A k

m

k m

m ≤≤+

=-=∑ （19） 这里，为了数学推导的方便，令式子右边第1项为1；下标m 代表滤波器序号，也代表滤波

器的阶数，例如，给定 1)0(=a 以及)(),...,2(),1(M a a a ，则第4个滤波器的系统函数为 443424144)4()3()2()1(1)(----++++=z a z a z a z a z H

设第m 个滤波器的输入、输出序列分别是)(n x 和)(n y ，则

)()()()(1

k n x k a n x n y m

k m -+=∑= （21）

其直接型实现如图12所示。

图7.12 FIR 滤波器的一种直接实现形式

1=m 阶滤波器的输出可表示为

)1()1()()(1-+=n x a n x n y （22） 该输出也可以从图12所示的第一级格型滤波器得到。图中，两个输入端联在一起，激励信号为)(n x 。从两个输出端得到的信号分别为 )(1n f 和)(1n g ：

⎩⎨⎧--=-+=)1()()()

1()()(01

01n x n x k n g n x k n x n f （23）

其次我们考虑二阶FIR 滤波器，它的直接型结构输出为 )2()2()1()1()()(22-+-+=n x a n x a n x n y

T

22)]2( )1( 2)][1-( 1)-( )([a a n x n x n x = （24） 上式将输出)(n y 表示为两个向量的内积，T 表示向量转置。

相应地，这个二阶滤波器可以用两个级联的格型单元（图10 前面的两级）来实现。，

图中，第一级的输出为

⎩⎨

⎧--=-+=)1()()()

1()()(11

11n x n x k n g n x k n x n f （25）

⎩⎨

⎧-+=-+=)

1()()()

1()()(11221212n g n f k n g n g k n f n f （26） 将式（25）中的)(1n f 代入式（26）中，得

)]2()1([)1()()(1212-+-+-+=n x n x k k n x k n x n f

)2()1()1()(221-+-++=n x k n x k k n x （27） 现在令式（24）和式（27）的系数相等，即

)1()1( ,)2(21222k k a k a +== （28） 于是，得二阶格型结构的参数 )

2(1)

1( ),2(22122a a k a k +=

= （29）

其中，)2(22a k =这个结果是很容易理解的。从图7.12 看，如果滤波器阶数2=m ，则时延为2的输入输出传输值为)2(2a ，而从图7.10看，从输入到上端输出有三条可能的支路，而其中时延为2的支路传输值为1k 。如果这两个流图等效，则应有)2(22a k =。因此可以推论，若有m 个格型级，则其最右边的支路m k 与直接型结构的参数)(m a m 相等： )(m a k m m = （30） 为了得到其它支路传输值121,...,,k k k m m --与直接型结构的参数之间的关系，我们需要从图7.10 所示的M 阶格型结构的最右边做起：根据M 阶滤波器的直接型参数，依次求

1-M ，1,...,3,2--M M 阶滤波器的直接型参数。这是降阶递推。只要求出m 阶滤波器

的系数组},...,2,1),({m k k a m =，则格型结构的支路传输)(m a k m m =。

式（29）表明，二阶格型结构的两个参数1k 和2k 可以根据直接型结构的参数求出。继续这个过程，可以得到一个m 阶直接型FIR 滤波器和一个m 阶或m 级格型滤波器之间的等效性。按照图7.10，格型滤波器可用递归方程描述为

)()()(00n x n g n f == （31）

121 ),1()()(11,...,M-, m n g k n f n f m m m m =-+=-- （32）

121 ),1()()(11,...,M-, m n g n f k n g m m m m =-+=-- （33） 因此，第1M-级滤波器的输出相当于1M- 阶FIR 滤波器的输出，即

(n)f y(n)M 1-= （34）

因为FIR 滤波器和格型滤波器的输出)(n f m 可以表示为