单元质量评估(一)(初中 数学试卷)

单元质量评估(一)

第一讲

(90分钟120分)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.以直角坐标系的O为极点,x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度,平面内的点P的极坐标为(3,4),则P在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】选C.平面内的点P的极坐标为(3,4),

由于π<4<,所以P在第三象限.

2.直角坐标为(3-,3+)的点的极坐标可能是( )

A. B.

C. D.

【解析】选B.因为ρ==2(ρ>0),点(3-,3+)在第

一象限,tanθ===tan,所以点(3-,3+)的极坐标为.

3.将点的柱坐标化为直角坐标为( )

A.(,1,3)

B.(1,,3)

C.(1,2,3)

D.(2,1,3)

【解析】选A.设点的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),因为

(ρ,θ,z)=,

由得即

所以点的直角坐标为(,1,3).

4.(2016·漳州高二检测)圆ρ=5cosθ-5sinθ的圆心坐标是( )

A. B.

C. D.,

【解析】选A.由圆的极坐标方程ρ=5cosθ-5sinθ得ρ2=5ρcosθ-

5ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2-5x+5y=0,圆心坐标是,结合选项化为极坐标,选A.

5.(2016·蚌埠高二检测)在极坐标系中,点P(ρ,θ)关于极点对称的点的一个坐标是( )

A.(-ρ,-θ)

B.(ρ,-θ)

C.(ρ,π-θ)

D.(ρ,π+θ)

【解析】选D.把点P(ρ,θ)绕极点逆时针旋转π弧度,即可得到点P关于极点对

称的点,故点P(ρ,θ)关于极点对称的点的一个坐标是(ρ,θ+π).

6.(2016·上海高考)下列极坐标方程中,对应的曲线为如图的是( )

A.ρ=6+5cosθ

B.ρ=6+5sinθ

C.ρ=6-5cosθ

D.ρ=6-5sinθ

【解析】选D.当θ=-时,ρ达到最大.

7.(2016·宜春高二检测)在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为

( ) A.ρcosθ=2 B.ρsinθ=2

C.ρ=4sin

D.ρ=4sin

【解题指南】将极坐标方程化为直角坐标方程判断.

【解析】选A.圆ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,直线

ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2与圆相切,直线ρsinθ=2的直角坐标方程为y=2经过圆心,选项C、D表示圆,不满足题意.

8.极坐标方程θ=,θ=(ρ≥0)和ρ=4所表示的曲线围成的图形的面积是

( )

A. B. C. D.

【解析】选B.如图所示,

射线θ=,θ=(ρ≥0)与圆ρ=4围成的图形面积是阴影扇形的面积:×42×

=.

【一题多解】选B.如图所示,围成的图形面积是阴影扇形的面积×π×42=.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

9.规定ρ>0,θ∈[0,2π),曲线x2=4y焦点的极坐标可以为________.

【解析】方程x2=4y的曲线为抛物线,其中p=2,焦点为(0,1),对称轴为y轴,开口向上,

所以抛物线的焦点的极坐标为.

答案:

10.在极坐标系中,点F(1,0)到直线θ=(ρ∈R)的距离是________.

【解析】直线θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,

故点F(1,0)到直线的距离为=.

答案:

11.在极坐标系中,直线ρ(cosθ-sinθ)=2与圆ρ=4sinθ的交点的极坐标为________.

【解析】直线ρ(cosθ-sinθ)=2,即x-y-2=0,圆ρ=4sinθ即x2+(y-2)2=4,表示以(0,2)为圆心、半径等于2的圆,

由求得

故直线和圆的交点坐标为(,1),

故它的极坐标为.

答案:

12.(2016·邢台高二检测)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线

ρsinθ=a相交于A,B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为________.

【解析】由ρ=4sinθ可得ρ2=4ρsinθ,

所以x2+y2=4y.所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,其圆心为C(0,2),半径r=2; 由ρsinθ=a,得直线的直角坐标方程为y=a,由于△AOB是等边三角形,所以圆心C 是等边△AOB的中心,若设AB的中点为D(如图).

则CD=CB·sin30°=2×=1,即a-2=1,

所以a=3.

答案:3

三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

13.(10分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线(x′-5)2+(y′+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.

【解析】将代入(x′-5)2+(y′+6)2=1,

得(2x-5)2+(2y+6)2=1,

即+(y+3)2=,

故曲线C是以为圆心,半径为的圆.

14.(10分)(2016·衡水高二检测)极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ2-

8ρsin+13=0,C点为圆心,已知A,B,求△ABC的面积. 【解析】圆C的直角坐标方程为x2+y2+4x-4y+13=0,即(x+2)2+(y-2)2=3.又A(0,-1),B(0,-3),所以AB=2.C到直线AB的距离为2,所以△CAB的面积=2.

15.(10分)在极坐标系中,曲线C:ρ=2sinθ上的两点A,B对应的极角分别为,

,求弦长|AB|的值.

【解析】A,B两点的极坐标分别为,,化为直角坐标为