2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
2016湖南高考数学试卷及答案
2016湖南高考数学试卷及答案2016湖南高考数学试卷及答案【篇一：2016湖南数学高考文科试卷及解答】>试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合a?{1,3,5,7}，b?{x|2?x?5}，则a?b?（a）{1,3}（b）{3,5} （c）{5,7} （d）{1,7}（2）设(1?2i)(a?i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（a）－3 （b）－2 （c）2（d）3（11）平面?过正文体abcd—a1b1c1d1的顶点a,?//平面cb1d1,??平面abcd?m，??平面abb1a1?n，则m，n所成角的正弦值为（a1（bc（d）313（12）若函数f(x)?x-sin2x?asinx在???,???单调递增，则a的取值范围是（a）??1,1?（b）??1,?（c）??,?（d）??1,??3333??1???11?????1??第ii卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) ~ (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a ?b，则x=___________，则圆c的面（15）设直线y=x+2a与圆c：x2+y2-2ay-2=0相交于a，b两点，若积为_________（16）某高科技企业生产产品a和产品b需要甲、乙两种新型材料。
生产一件产品a需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品b需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品a的利润为2100元，生产一件产品b的利润为900元。
2009--2016湖南省高中学业水平考试真题(word可编辑版)
2009年湖南省普通高中学业水平考试数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页.时量120分钟.满分100分. 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,0,1,2}A =-,{2,1,2}B =-，则A B = ( ) . A. {1} B. {2} C. {1,2} D. {2,0,1,2}-2. 若运行右图的程序，则输出的结果是（ ）. A. 4 B. 13 C. 9 D. 223. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）. A . 13 B. 14C. 15D. 16 4. sin cos44ππ的值为（ ）.A.12 B.2 C.4 D.5. 已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）.A. 47y x =--B. 47y x =-C. 47y x =-+D. 47y x =+6. 已知向量(1,2)=a ,(,1)=-b x ,若⊥a b ,则实数x 的值为（ ）. A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 7. 已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数必有零点的区间为（ ）.A .（1，2） B. （2，3） C.（3，4） D. （4，5）（第2题图）（第14题图）俯视图 8. 已知直线l ：1y x =+和圆C: 221x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（ ）. A .相交 B. 相切 C .相离 D. 不能确定 9. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）. A.1()3=xy B.3log y x = C.1y x=D. cos =y x 10. 已知实数x y 、满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z y x =-的最大值为（ ）.A. 1B. 0C. 1-D. 2- 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 已知函数2(0)()1(0)x x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则(2)f =.12. 把二进制数101（2）化成十进制数为 .13. 在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a b 、, 60,A =︒30,a B ==︒则b = .14. 如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为 .15. 如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若AB AC AM λ+=,则实数λ= .（第15题图）三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分6分)已知函数()2sin()3π=-f x x ，∈x R .（1）写出函数()f x 的周期；（2）将函数()f x 图象上的所有的点向左平行移动3π个单位,得到函数()g x 的图象,写出函数()g x 的表达式,并判断函数()g x 的奇偶性.17. (本小题满分8分)某市为节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定居民日常用水量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），右表是100位居民月均用水量的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求右表中a 和b 的值；（2）请将频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.18. (本小题满分8分)如图,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ,且P A=AB. （1）求证：BD ⊥平面P AC ； （2）求异面直线BC 与PD 所成的角.19. (本小题满分8分)如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米 (26)x ≤≤. （1）用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y （元）表示为x(米)的函数； （3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？（第19题图）20. (本小题满分10分)在正项等比数列{}n a 中，14a =, 364a =. (1) 求数列{}n a 的通项公式n a ;(2) 记4log =n n b a ,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(3) 记24,y m λλ=-+-对于（2）中的n S ，不等式n y S ≤对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.湖南省普通高中学业水平考试数学测试卷参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共20分） 11.2； 12. 5； 13.1 ；14. 3π；15. 2 三、解答题16.解：(1)周期为2π………………………3分 (2)()2sin =g x x ,………………………5分()2sin()2sin -=-=- g x x x ()()∴-=-g x g x所以g(x)为奇函数……………………6分 17.解：(1) a =20; ………2分b =0.20.………4分(2)根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为2.5 ………………8分 （说明：第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得2分，两个全对的4分.）18.（1）证明：∵PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，PA BD ∴⊥，……………………1分又ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，……………2分 而,PA AC 是平面PAC 内的两条相交直线，BD PAC ∴⊥平面……………………4分 (2)解： ∵ABCD 为正方形，BC ∴∥AD ，（第16题图）PDA ∴∠为异面直线BC 与AD 所成的角，…6分由已知可知，△PDA 为直角三角形，又PA AB =， ∵PA AD =， 45PDA ∴∠=︒，∴异面直线BC 与AD 所成的角为45º.……………………8分19.解：（1）24,⋅== AB AD AD x 24∴=AB x…………………2分（2）163000()(26)y x x x=+≤≤………………5分（没写出定义域不扣分）（3）由163000()30002x x +≥⨯=当且仅当16=x x，即4=x 时取等号 4∴=x (米)时，墙壁的总造价最低为24000元.答：当x 为4米时，墙壁的总造价最低.……………8分 20.解：(1). 23116a q a == ，解得4q = 或4q =-(舍去) ∴4q =……2分111444n n n n a a q --∴==⨯=……………3分 (4q =-没有舍去的得2分)（2） 4log ==n n b a n ，………5分∴数列{}n b 是首项11,=b 公差1=d 的等差数列(1)2+∴=n n n S ………7分 (3)解法1：由（2）知，22+=n n nS ，当n=1时，n S 取得最小值m i n 1=S ………8分 要使对一切正整数n 及任意实数λ有n y S ≤恒成立， 即241λλ-+-≤m即对任意实数λ，241λλ≥-+-m 恒成立，2241(2)33λλλ-+-=--+≤ ,所以3≥m ,故m 得取值范围是[3,).+∞……………10分 解法2：由题意得：2211422λλ≥-+--m n n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，即221133(2)(),228λ≥---++m n 因为2,1λ==n 时，221133(2)()228λ---++n 有最小值3， 所以3≥m ,故m 得取值范围是[3,).+∞……………10分2010年湖南省普通高中学业水平考试数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟.满分100分. 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2015-2016学年湖南省长沙市望城区高二(下)学业水平数学试题
2015-2016学年湖南省长沙市望城区高二（下）学业水平模拟数学试题一、选择题1．已知某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球【答案】C【解析】解：一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆台．故选C．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力．2．已知集合M={1，2}，集合N={0，1，3}，则M∩N=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{0，1}D．{1}【答案】D【解析】解：∵M={1，2}，N={0，1，3}，∴M∩N={1}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．化简（1﹣cos30°）（1+cos30°）得到的结果是（）【解析】解：（1﹣cos30°）（1+cos30°）=1﹣cos230°=1﹣=．故选：B．【点评】本题考查三角函数化简求值，考查计算能力．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若向量∥，则x=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【答案】A【解析】解：∵向量=（1，2），=（x，4），向量∥，则4﹣2x=0，x=2，【点评】本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到4﹣2x=0，是解题的关键．6．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：袋中有9个大小相同的球，从中任意取出1个，共有9种取法，4个白球，现从中任意取出1个，取出的球恰好是白球，共有4种取法，故取出的球恰好是白球的概率为．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的概率．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【答案】D【解析】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．【点评】本题给出长方体，判断它的两条对角线的位置关系，着重考查了空间两条直线位置关系的判断及其证明的知识，属于基础题．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}【答案】A【解析】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【答案】C【解析】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．【点评】本题主要考查了圆的标准方程的求法，属于基础题．10．某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图象最能符合上述情况的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；此运动过程对应的图象是先成直线，然后y的不变化，此时图象与x轴平行，然后再匀速前进，图象是一个线段，A图符合此规律；故选：A【点评】本题考查函数的图象与运动过程的对应，解题的关键是将运动特征与函数图象变化规律对应起来，理解图象的变化所代表的物理意义是解本题的重点．二、填空题11．计算：log21+log24=．【答案】2【解析】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，基本知识的考查．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．【答案】±3解得x=±3．故答案为：±3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．13．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•【答案】4【解析】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了零点的定义与应用问题，是基础题目．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c=2a，sinA=，则sinC=．【答案】1【解析】解：在△ABC中，∵c=2a，∴由正弦定理，可得：=2，∵sinA=，∴sinC=2sinA=2×=1．故答为：1．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．15．已知向量与的夹角为，若||=，且•=4，则||=．【答案】4【解析】解：根据条件，=；∴．故答案为：4．【点评】考查向量夹角的概念，以及向量数量积的计算公式．三、解答题16．已知sinα=，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求cos（α+）的值．【答案】（1）（2）【解析】解：（1）∵α∈（0，）．∴cosα＞0，∴cos==，∴tan=，（2）cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=﹣=；（或求出角度再计算）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．17．某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．（1）求从该班男女同学在各抽取的人数；（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．【答案】（1）2人（2）【解析】解：（1）抽取的5人中男同学的人数为5×=3人，女同学的人数为5﹣3=2人．（2）记3名男同学为A1，A2，A3，2名女同学为B1，B2．从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．用C表示：“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P（C）==．【点评】本题考查了统计与概率的问题，属于基础题18．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；（2）求三棱锥B﹣ACB1体积．【答案】见解析又∵BD⊥AC，且DD1，BD是平面B1BD1D上的两条相交直线∴AC⊥平面B1BDD1解：（2）=（其他解法酌情给分）【点评】本题是基础题，考查几何体的体积等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力．19．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【答案】（1）a1=1 a n=2n﹣1（2）46【解析】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查解方程的思想和数列的求和方法：分组求和，属于中档题．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．【答案】见解析【解析】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，湖南省高二数学学业水平考试题所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了点到直线的距离以及方程组的应用问题，考查了转化思想以及根与系数的应用问题，是综合性题目．第 11 页共 11 页。
精品解析：湖南省2016年普通高中学业水平考试数学试题(解析版)
2016年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图是某圆柱的直观图，则其正视图是（ ）A. 三角形B. 梯形C. 矩形D. 圆【答案】C【解析】【分析】根据直观图的概念可直接得出答案. 【详解】解：当圆柱直立放置时，正视图为矩形，边长分别为圆柱的底面直径和高.故选：C .【点睛】本题考查了圆柱的三视图，属于基础题.2.函数cos ,y x x R =∈的最小正周期是（ ）A. 2πB. πC. 2πD. 4π 【答案】A【解析】【分析】由余弦曲线的周期可直接得结果.【详解】解：函数cos ,y x x R =∈的最小正周期是2π.故选：A .【点睛】本题考查正弦曲线的周期性，是基础题.3.函数f （x ）＝2x –1的零点为( )A. 2B. 12C. 12-D. –2【答案】B【解析】【分析】令f （x ）＝0，解一元一次方程即可求出函数的零点.【详解】根据题意，函数f （x ）＝2x –1，令f （x ）＝0，即2x –1＝0，解可得x 12=，即函数f （x ）＝2x –1的零点为12，故选B ． 【点睛】本题考查了一次函数零点的求法，考查了解一元一次方程的能力.4.执行如图所示的程序框图，若输入a ，b 分别为4，3，则输出的S =（ ）A. 7B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】模拟程序的运行过程，可得结果.【详解】解：由框图可得4312S ab ==⨯=.故选：D .【点睛】本题考查根据输入数据，由程序框图得输出数据，是基础题.5.已知集合{|13},{|25}M x x N x x =<<=<<，则MN =（ ） A. {|12}x x <<B. {|35}x x <<C. {|23}x x <<D. ∅ 【答案】C【解析】【分析】由交集的运算可直接得结果.【详解】解：由集合{|13},{|25}M x x N x x =<<=<<，得{|23}M N x x ⋂=<<.故选：C .【点睛】本题考查交集的概念和运算，是基础题.6.已知不等式组4,0,0x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩表示的平面区域为Ω，则下列坐标对应的点落在区域Ω内的是（）A . (1,1) B. (3,1)-- C. (0,5) D. (5,1)【答案】A【解析】【分析】将选项中的点逐一代入验证即可.【详解】解：点(1,1)满足不等式组400x yx y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩中的每一个不等式；点(3,1)--不满足不等式组400x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩中的每一个不等式；点(0,5)不满足不等式4x y +<；点(5,1)不满足不等式4x y +<.故选：A .【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域，是基础题.7.已知向量(1,)a m =，(3,1)b =，若a b ⊥，则m =（ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】由条件可得0a b ⋅=，代入坐标解方程呢即可.【详解】解：由已知得30a b m ⋅=+=，则3m =-.故选：A .【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，是基础题.8.已知函数()y x x a =-的图象如图所示，则不等式()0x x a -<的解集为（ ）A. {|02}x x ≤≤B. {|02}x x <<C. {|0x x ≤或2}x ≥D. {|0x x <或2}x >【答案】B【解析】【分析】不等式()0x x a -<的解集看x 轴下方的图像即可.【详解】解：根据图像可得不等式()0x x a -<的解集为{|02}x x <<.故选：B .【点睛】本题考查二次不等式的解集，是基础题.9.已知两直线20x y -=和30x y +-=的交点为M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是（）A. 22(1)(2)1x y +++=B. 22(1)(2)1x y -+-=C. 22(2)(1)1x y +++= D. 22(2)(1)1x y -+-=【答案】D【解析】【分析】 联立两直线方程，得到交点坐标，即为圆心，再结合半径就可写出圆的方程.【详解】解：联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得()2,1M ， 则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=.故答案为：D【点睛】本题考查圆的标准方程，是基础题.10.某社区有300户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年每月的用水量(单位：t )进行分析，得到这些住户月均用水量的频率分布直方图（如图），由此可以估计该社区居民月均用水量在[4,6)的住户数为（ ）A. 50B. 80C. 120D. 150【答案】C【解析】【分析】 根据月均用水量在[4,6)的住户数占总体的比例可得答案.【详解】解：由频率分布直方图可得该社区居民月均用水量在[4,6)的住户数为：()0.223001200.050.10.150.22⨯⨯=+++⨯. 故选：C .【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，是基础题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分2，0分.11.若sin 5cos αα=，则tan α=____________.【答案】5【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系将弦变切即可得答案. 【详解】解：由已知得sin tan 5cos ααα==. 故答案为：5.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题.12.已知直线1:320l x y -+=，2:10l mx y -+=.若12l l //，则m =________.【答案】3【解析】【分析】根据直线与直线平行的系数关系列方程求解即可.【详解】解：因为直线1:320l x y -+=，2:10l mx y -+=，且12l l //，则()()311m ⨯-=-，解得3m =.故答案为：3.【点睛】本题考查直线与直线的平行的系数关系，是基础题.13.已知幂函数y x α=（α为常数）的图象经过点(4,2)A ，则α=________. 【答案】12【解析】【分析】将点(4,2)A 代入幂函数y x α=计算即可得答案.【详解】解：将点(4,2)A 代入幂函数y x α=得24α=，得12α=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，其中根据已知构造方程，求出幂函数的解析式，是解答的关键.14.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2a =，3b =，1cos 4C =-，则c =_______. 【答案】4【解析】【分析】根据余弦定理直接计算即可.【详解】解：由余弦定理得： 2222212cos 23223164c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 则4c =.故答案为：4.【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础题.15.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，并对数据进行分析，得到加工时间(min)y 与零件数x （个）的回归方程为0.6751y x =+.由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为__________.【答案】118min【解析】【分析】令100x =，代入0.6751y x =+即可.【详解】解：当100x =时，0.6710051118min y =⨯+=.故答案为：118min .【点睛】本题考查回归方程的应用，是基础题.三、解答题：本大题共5小题，满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.从一个装有3个红球123,,A A A 和2个白球12,B B 的盒子中，随机取出2个球.（1）用球的标号列出所有可能的取出结果；（2）求取出的2个球都是红球的概率.【答案】（1）答案见解析；（2）310【解析】【分析】（1）利用列举法，列举所有可得；（2）列举出取出的2个球都是红球的所有能，再根据（1）的结果，利用古典概型公式求解即可.【详解】解：（1）随机取出2个球的可能的结果有：11213112223212132312,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A A A A A A B B ；（2）取出的2个球都是红球的结果有121323,,A A A A A A ，则取出的2个球都是红球的概率310P =. 【点睛】本题考查古典概型中基本事件的探求方法枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的，考查古典概型的概率公式，是基础题.17.已知函数2()(sin cos ),f x x x x R =+∈.（1）求()4f π的值； （2）求()f x 的最小值，并写出()f x 取最小值时自变量x 的集合.【答案】（1）2；（2）()f x 的最小值为0，此时|,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】由已知可得()1sin 2f x x =+，（1）将4x π=代入()f x 即可；（2）根据正弦函数的性质求解即可.【详解】解：由已知得()12sin cos 1sin 2f x x x x =+=+，（1）1sin 242f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）由()1sin 2f x x =+得()f x 的最小值为0， 此时22,2x k k Z ππ=-+∈，即,4x k k Z ππ=-+∈，则()f x 取最小值时自变量x 的集合为|,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查三角恒等变形及三角函数的性质，是基础题.18.已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=.（1）求1a 及n a ；（2）若等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，求数列{}n n a b +的前n 项的和n S .【答案】（1）12a =，2n a n =；（2）2122n n S n n +=++-【解析】【分析】（1）由条件可得126a d +=，代入2d =解方程即可；（2）由（1）可得22n n n a b n +=+，通过分组求和法求数列的n 项的和.【详解】解：（1）由126a a +=，得126a d +=，又2d =，12a ∴=， 22(1)2n a n n =+-=∴；（2）由题意122,24b b q ===，即2q ，2n n b ∴=，于是22n n n a b n +=+，故()221(242)22222n n n S n n n +=+++++++=++-. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式等知识，同时考查运算求解能力，是基础题.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（243【解析】【分析】（1）通过AC ⊥BD 与PD ⊥AC 可得AC ⊥平面PBD ；（2）由题先得出∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBD =45°，则可先求出菱形ABCD 的面积，进而可得四棱锥P - ABCD 的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，又PD BD D ⋂=，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，于是∠PBD =45°，因此BD =PD =2.又AB = AD =2，所以菱形ABCD 的面积为sin60S AB AD ︒=⋅⋅=故四棱锥P - ABCD 的体积133V S PD =⋅=【点睛】本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.20.已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式()()42x x f t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）3a =，函数()f x 的定义域()0,∞+（2）()g x 为奇函数，详见解析（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）直接代值计算a 的值，写出定义域即可；（2）根据奇偶性的定义直接判断即可；（3）根据奇偶性将不等式化为42x xt t ⋅≥-，分离参数得241xx t ≥+在[]1,2上恒成立，解出t 的取值范围. 【详解】(1)()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>(2)()()()11g x f x f x =+-- 1010x x +>⎧⎨->⎩∴11x -<<()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；(3)()3log f x x =()f x 是单调递增函数()()42x x f t f t ⋅≥-420x x t t ⋅≥->()412x x t +≥2114122x x x xt ≥=++ 令122x x y =+[]1,2x ∈时上式为增函数min 15222y =+= 12552t ≥=又∵20x t ->∴()min 22xt <= 综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查对数函数的定义、证明函数的奇偶性以及利用函数单调性解抽象不等式，属于常考题.。
湖南省2016年普通高中学业水平考试数学试题
……○………_______班级：_______……○………绝密★启用前湖南省2016年普通高中学业水平考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．如图是某圆柱的直观图，则其正视图是（ ）A ．三角形B ．梯形C ．矩形D ．圆2．函数cos ,y x x R =∈的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 3．函数f （x ）＝2x –1的零点为( ) A ．2 B ．12C ．12-D ．–24．执行如图所示的程序框图，若输入a ，b 分别为4，3，则输出的S =（ ）…○………………线…………○……※※请※※不※…○………………线…………○……A ．7B ．8C ．10D ．125．已知集合{|13},{|25}M x x N x x =<<=<<，则M N =I （ ） A ．{|12}x x << B ．{|35}x x << C ．{|23}x x <<D ．∅6．已知不等式组4,0,0x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩表示的平面区域为Ω，则下列坐标对应的点落在区域Ω内的是（ ） A ．(1,1)B ．(3,1)--C ．(0,5)D ．(5,1)7．已知向量(1,)a m =r ，(3,1)b =r ，若a b ⊥r r，则m =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．38．已知函数()y x x a =-的图象如图所示，则不等式()0x x a -<的解集为（ ）A ．{|02}x x ≤≤B ．{|02}x x <<C ．{|0x x ≤或2}x ≥D ．{|0x x <或2}x >9．已知两直线20x y -=和30x y +-=的交点为M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A ．22(1)(2)1x y +++= B ．22(1)(2)1x y -+-= 2222○…………线……_○…………线……10．某社区有300户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年每月的用水量(单位：t )进行分析，得到这些住户月均用水量的频率分布直方图（如图），由此可以估计该社区居民月均用水量在[4,6)的住户数为（ ）A ．50B ．80C ．120D ．150第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．若sin 5cos αα=，则tan α=____________.12．已知直线1:320l x y -+=，2:10l mx y -+=.若12l l //，则m =________. 13．已知幂函数y x α=（α为常数）的图象经过点(4,2)A ，则α=________. 14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2a =，3b =，1cos 4C =-，则c =_______.15．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，并对数据进行分析，得到加工时间(min)y 与零件数x （个）的回归方程为$0.6751y x =+.由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为__________.三、解答题16．从一个装有3个红球123,,A A A 和2个白球12,B B 的盒子中，随机取出2个球. （1）用球的标号列出所有可能的取出结果； （2）求取出的2个球都是红球的概率. 17．已知函数2()(sin cos ),f x x x x R =+∈.订…………○……内※※答※※题※※订…………○……（1）求()4f π的值；（2）求()f x 的最小值，并写出()f x 取最小值时自变量x 的集合. 18．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=. （1）求1a 及n a ；（2）若等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，求数列{}n n a b +的前n 项的和n S . 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45o ，求四棱锥P ABCD -的体积.20．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由； （3）若不等式()()42xxf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据直观图的概念可直接得出答案. 【详解】解：当圆柱直立放置时，正视图为矩形，边长分别为圆柱的底面直径和高. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆柱的三视图，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】由余弦曲线的周期可直接得结果. 【详解】解：函数cos ,y x x R =∈的最小正周期是2π. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦曲线的周期性，是基础题. 3．B 【解析】 【分析】令f （x ）＝0，解一元一次方程即可求出函数的零点. 【详解】根据题意，函数f （x ）＝2x –1，令f （x ）＝0，即2x –1＝0，解可得x 12=，即函数f （x ）＝2x –1的零点为12，故选B ． 【点睛】本题考查了一次函数零点的求法，考查了解一元一次方程的能力.4．D 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程，可得结果. 【详解】解：由框图可得4312S ab ==⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查根据输入数据，由程序框图得输出数据，是基础题. 5．C 【解析】 【分析】由交集的运算可直接得结果. 【详解】解：由集合{|13},{|25}M x x N x x =<<=<<， 得{|23}M N x x ⋂=<<. 故选：C. 【点睛】本题考查交集的概念和运算，是基础题. 6．A 【解析】 【分析】将选项中的点逐一代入验证即可. 【详解】解：点(1,1)满足不等式组400x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩中的每一个不等式；点(3,1)--不满足不等式组400x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩中的每一个不等式；点(0,5)不满足不等式4x y +<； 点(5,1)不满足不等式4x y +<. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域，是基础题. 7．A 【解析】 【分析】由条件可得0a b ⋅=r r，代入坐标解方程呢即可. 【详解】解：由已知得30a b m ⋅=+=r r，则3m =-. 故选：A. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，是基础题. 8．B 【解析】 【分析】不等式()0x x a -<的解集看x 轴下方的图像即可. 【详解】解：根据图像可得不等式()0x x a -<的解集为{|02}x x <<. 故选：B. 【点睛】本题考查二次不等式的解集，是基础题. 9．D 【解析】【分析】联立两直线方程，得到交点坐标，即为圆心，再结合半径就可写出圆的方程. 【详解】解：联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得()2,1M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=. 故答案为：D 【点睛】本题考查圆的标准方程，是基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据月均用水量在[4,6)的住户数占总体的比例可得答案. 【详解】解：由频率分布直方图可得该社区居民月均用水量在[4,6)的住户数为：()0.223001200.050.10.150.22⨯⨯=+++⨯.故选：C. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，是基础题. 11．5 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系将弦变切即可得答案. 【详解】解：由已知得sin tan 5cos ααα==. 故答案为：5. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题. 12．3 【解析】 【分析】根据直线与直线平行的系数关系列方程求解即可. 【详解】解：因为直线1:320l x y -+=，2:10l mx y -+=，且12l l //， 则()()311m ⨯-=-，解得3m =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查直线与直线的平行的系数关系，是基础题. 13．12【解析】 【分析】将点(4,2)A 代入幂函数y x α=计算即可得答案.【详解】解：将点(4,2)A 代入幂函数y x α=得24α=，得12α=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，其中根据已知构造方程，求出幂函数的解析式，是解答的关键. 14．4 【解析】 【分析】根据余弦定理直接计算即可. 【详解】解：由余弦定理得：2222212cos 23223164c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则4c =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础题. 15．118min 【解析】 【分析】令100x =，代入$0.6751y x =+即可. 【详解】解：当100x =时，$0.6710051118min y =⨯+=. 故答案为：118min . 【点睛】本题考查回归方程的应用，是基础题. 16．（1）答案见解析；（2）310【解析】 【分析】（1）利用列举法，列举所有可得；（2）列举出取出的2个球都是红球的所有能，再根据（1）的结果，利用古典概型公式求解即可. 【详解】解：（1）随机取出2个球的可能的结果有：11213112223212132312,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A A A A A A B B ；（2）取出的2个球都是红球的结果有121323,,A A A A A A ， 则取出的2个球都是红球的概率310P =. 【点睛】本题考查古典概型中基本事件的探求方法枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的，考查古典概型的概率公式，是基础题.17．（1）2；（2）()f x 的最小值为0，此时|,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】由已知可得()1sin 2f x x =+，（1）将4x π=代入()f x 即可；（2）根据正弦函数的性质求解即可.【详解】解：由已知得()12sin cos 1sin 2f x x x x =+=+，（1）1sin 242f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）由()1sin 2f x x =+得()f x 的最小值为0， 此时22,2x k k Z ππ=-+∈，即,4x k k Z ππ=-+∈，则()f x 取最小值时自变量x 的集合为|,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变形及三角函数的性质，是基础题.18．（1）12a =，2n a n =；（2）2122n n S n n +=++-【解析】【分析】（1）由条件可得126a d +=，代入2d =解方程即可；（2）由（1）可得22n n n a b n +=+，通过分组求和法求数列的n 项的和.【详解】解：（1）由126a a +=，得126a d +=，又2d =，12a ∴=，22(1)2n a n n =+-=∴；（2）由题意122,24b b q ===，即2q =，2n n b ∴=，于是22n n n a b n +=+，故()221(242)22222n n n S n n n +=+++++++=++-L L .【点睛】 本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式等知识，同时考查运算求解能力，是基础题.19．（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）通过AC ⊥BD 与PD ⊥AC 可得AC ⊥平面PBD ；（2）由题先得出∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBD =45°，则可先求出菱形ABCD 的面积，进而可得四棱锥P - ABCD 的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，又PD BD D ⋂=，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，于是∠PBD =45°，因此BD =PD =2.又AB = AD =2，所以菱形ABCD 的面积为sin 60S AB AD ︒=⋅⋅=故四棱锥P - ABCD 的体积13V S PD =⋅=. 【点睛】 本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.20．（1）3a =，函数()f x 的定义域()0,∞+（2）()g x 为奇函数，详见解析（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）直接代值计算a 的值，写出定义域即可；（2）根据奇偶性的定义直接判断即可； （3）根据奇偶性将不等式化为42x xt t ⋅≥-，分离参数得241xx t ≥+在[]1,2上恒成立，解出t 的取值范围.【详解】(1)()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>(2)()()()11g x f x f x =+--1010x x +>⎧⎨->⎩ ∴11x -<<()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；(3)()3log f x x =()f x 是单调递增函数()()42x x f t f t ⋅≥-420x x t t ⋅≥->()412x x t +≥2114122x x x xt ≥=++ 令122x xy =+ []1,2x ∈时上式为增函数min 15222y =+= 12552t ≥=又∵20x t ->∴()min 22xt <= 综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查对数函数的定义、证明函数的奇偶性以及利用函数单调性解抽象不等式，属于常考题.。
2016年高考湖南理数解析版
2016年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 （湖南考生用）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2解析：∵{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭． ∴332AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，故选D ．2．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2 解析：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩．所以222x yi x y +=+=，故选B ．3．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）A ．100B ．99C ．98D ．97解析：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==-，∴100109098a a d =+=，故选C ．4．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车， 且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．34解析：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30BACD小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟． 根据几何概型之长度比，所求概率10101402P +==，故选B ． 5．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4， 则n 的取值范围是（ ）A ．(–1,3)B ．(–1,3)C ．(0,3)D ．(0,3) 解析：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<．由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距， ∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =，则21m =，∴13n -<<，故选A ． 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ） A ．17π B ．18πC ．20πD ．28π 解析：原立体图如图所示：这是一个球被切掉左上角的18后的三视图．则其表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和．∵37428()833r ππ⨯=，解得2r =，∴2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯，故选A ． 7．函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为（ ）解析：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22x f x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=．因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ，故选D ．8．若1a b >>，01c <<，则（ ）A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <解析：对A ：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；对B ： 由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；对C ：要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b 和ln a a ．构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()ln 110f x x '=+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<． 又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 对D ：要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb的大小．而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<． 又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误，故选C ．9．执行右面的程序框图，如果输入的011x y n ===，，， 则输出x ，y 的值满足（ ） A ．2y x = B ．3y x = C ．4y x = D ．5y x = 解析：如下表：循环节运行次数 12n x x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()y y ny =判断2236x y +≥是否输出 ()1n n n =+运行前1/ /1第一次 0 1 否 否 2第二次 12 2否 否 3第三次 326是是输出32x =，6y =，满足4y x =，故选C ． 10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ． 2B ．4C ．6D ．8 解析：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理．设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：F设()0,22A x ，,52p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①点,52p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得4p =，∴焦点到准线的距离为4p =，故选B ．11．平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面AB B 1A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A ．32 B ．22 C ．33 D ．13解析：如图所示：αAA 1BB 1DCC 1D 1∵α∥平面11CB D ，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥．又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =，∴111B D m ∥，故11B D m ∥；同理可得：1CD n ∥．故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即113sin 2CD B ∠=，故选A ． 巧解：在正方体中，易知平面BD A 1//平面CB 1D 1，而平移不改变角的大小，可取m BD =，1n A B =，而⊿BD A 1为正三角形，3sin 602=，故选A ． 12．已知函数()sin()(0)2f x x+πωϕωϕ=>≤，，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5()1836ππ，单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5 解析：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则21k ω=+，其中k ∈Z ．∵()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，∴5π,123618122T ππω-=≤≤．接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故选B ．另解：由题意知112()(),2444k k Z πππω+⋅=--∈，解得221k T πω==+，其中k ∈Z ．又因为()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，所以2252()213618T k ππππω==≥-+，解得112k <． 当5k =时，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭不单调（因为π5π18436T π<-<）；当4k =时，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，符合题意，所以ω的最大值为9．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且222||||||a b a b +=+，则m = .解析：由已知得：()1,3a b m +=+，∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．或由222||||||a b a b +=+，得0a b ⋅=，∴1120m ⨯+⨯=，解得2m =-． 14．5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）解析：设展开式的第1k +项为1k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈，∴()()5552155C 2C 2k kkkk kk T x x x---+==．当532k -=时，4k =，即454543255C 210T x x --==，故答案为10． 15．设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．解析：由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()()()21174932 (472)22412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64．16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值 为 元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为：**1.50.51500.3905360000x y x y x y x y x N y N⎧+⎪+⎪⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪∈⎪∈⎪⎩≤≤≤≥≥目标函数2100900300(73)z x y x y =+=+．作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)． 在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B+b A c =．（I ）求C ； （II ）若7c =，ABC ∆的面积为332，求ABC ∆的周长． 解析：（I ）由已知及正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=，即()2cos sin sin C A B C ⋅+=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以π3C =． （II ）由已知，1333sin 242S ab C ab =⋅==，又π3C =，所以6ab =． 由已知及余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅，即221722a b ab =+-⋅， 故2213a b +=，从而()225a b +=，∴5a b +=．所以ABC △的周长为57a b c ++=+．ABCDEFGx yz 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=， 且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （I ）证明：平面ABEF ⊥EFDC ；（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．解析：（I ）由已知可得AF DF ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC ． 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．（II ）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，为||GF 单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（I ）知60DFE ∠=，则||2DF =，||3DG =，可得()140A ，，，()340B -，，，()300E -，，，()003D ，，． 由已知，//AB EF ，所以//AB 平面EFDC ．又平面ABCD 平面EFDC CD =，故//AB CD ，//EF CD ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C -BE -F 的平面角，60CEF ∠=，从而可得(203)C -，，．所以()103EC =，，，(0,4,0)EB =，()343AC =--，，，(4,0,0)AB =-． 设()n x y z =，，是平面BCE 的法向量， 则=0n EC n EB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩，即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,3)n =-． 设m 是平面ABCD 的法向量，则=0m AC m AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩， 同理可取(0,3,4)m =． 则219cos ,19n m n m n m⋅<>==-⋅．故二面角E BC A --的余弦值为21919-．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在 三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？解析：（I ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而()160.20.20.04P X ==⨯=；()170.20.40.40.20.16P X ==⨯+⨯=；()180.20.20.20.20.40.40.24P X ==⨯+⨯+⨯=；()190.20.20.20.20.40.20.20.40.24P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=； ()200.40.20.20.40.20.20.2P X ==⨯+⨯+⨯=； ()210.20.20.20.20.08P x ==⨯+⨯=；()220.20.20.04P x ==⨯=．所以X 的分布列为X 1617 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04（II ）由（I ）知()180.44P X ≤=，()190.68P X ≤=，故n 的最小值为19．（III ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．当19n =时，192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯432112344224xEDABC(192003500)0.044040+⨯+⨯⨯=；当20n =时，202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044080EY =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． 可知当19n =时所需费用的期望值小于20n =时所需费用的期望值，故应选19n =．20. （本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合， l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.解析：（I ）因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ==∠∠∠． 所以||||EB ED =，故||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为()22116x y ++=，从而||4AD =，所以4EA EB +=． 由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为： 22143x y +=，(0y ≠)； （II ）221:143x y C +=；设:1l x my =+，因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立l 与椭圆1C ：221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=．则()()2222222363634121||1||13434M N m m m MN m y y m m m +++=+-=+=++.432112344224xQPNMAB圆心A 到PQ 距离()22|11||2|11m m d mm---==++，所以2222224434||2||21611m m PQ AQ d m m+=-=-=++，∴())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m m S MN PQ m m m m +++⎡=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++．（II ）另解：设,(0,)MBA θθπ∠=∈，则在MAB ∆中应用余弦定理，得：222||||||2||||c o s M A M B A B M B A B θ=+-⋅⋅，结合4M A M B +=可解得32cos MB θ=-．类似的，可得32cos NB θ=+．从而233122cos 2cos 4cos MN MB NB θθθ=+=+=-+-． 此时直线PQ 的方程为cos sin cos x y θθθ=+， 于是圆的弦长222222cos ||24()44cos cos sin PQ θθθθ=-=-+．则四边形MPNQ 面积2124||24cos S MN PQ θ=⋅⋅=-，故四边形MPNQ面积的取值范围是[12,83)．21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-有两个零点. (I) 求a 的取值范围；(II)设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.解析：（I ）由已知得：()()()()()12112x x f x x e a x x e a '=-+-=-+．① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意； ② 若0a >，那么20x x e a e +>>．所以当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1x <时，()0f x '<，()f x 单调递减．即：x(),1-∞1()1,+∞()f x '-+()f x↘ 极小值↗故()f x 在()1,+∞上至多一个零点，在(),1-∞上至多一个零点． 由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--， 则()0f x =的两根21412e e ae t a --+=+，22412e e aet a-++=+， 12t t <， 因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->， 因此，当1x <且1x t <时，()0f x >；又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=．当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+<，()f x 单调递减； 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()0f x '>，()f x 单调递增．即：x()(),ln 2a -∞-()ln 2a - ()()ln 2,1a -1()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗而极大值()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦， 那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解； 而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点． 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=．当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()0f x '>，()f x 单调递增；当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()0f x '>，()f x 单调递增．又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->．当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a ea -+<+<+=，即()0f x '>，()f x 单调递增． 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()0f x '<，()f x 单调递减．当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()0f x '>，()f x 单调递增．即：x(),1-∞1()()1,ln 2a -()ln 2a - ()()ln 2,a -+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗故当()ln 2x a -≤时，()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-， 那么()0f x e -<≤恒成立，即()0f x =无解． 当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点． 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞．（II ）由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--．设()()()221x x e g x x -=-，则()()12g x g x =．那么()()()23211x x g x e x -+'=-． 当1x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增． 设0m >，构造代数式：()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭． 设()2111mm h m e m -=++，0m >． 则()()222201m m h m e m '=>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上， 不妨设12x x <，则必有121x x <<．令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔->， 整理得122x x +<．分析：第（Ⅰ）问是典型的零点个数问题，分离变量即可；第（Ⅱ）问是典型的极值点偏移问题，对称化构造即可．另解：（Ⅰ）显然1x =不是函数()f x 的零点．当1x ≠时，方程()0f x =等价于22e (1)x x a x --=⋅-．记右侧函数为()g x ，求导得()2345e (1)x x x g x x -+'=⋅-． 因此函数()g x 在(),1-∞上单调递减，而在()1,+∞上单调递增． 由于函数()g x 在(),1-∞上的取值范围是(),0-∞， 而在()1,+∞上的取值范围是(),-∞+∞，因此当0a -<时， 函数()f x 有两个零点，所求a 的取值范围为()0,+∞．（Ⅱ）根据（Ⅰ），不妨设121x x <<，则只需证明212x x <-． 考虑到函数()g x 在()1,+∞上单调递增．于是只需证明21()(2)g x g x <-，也即11()(2)g x g x <-．接下来证明：1x ∀<，()(2)0g x g x --<，也即1x ∀<，2e (2)e 0x x x x --+⋅<．设2()e (2)e x x h x x x -=-+⋅，则其导数2()(e e )(1)x x h x x -'=--， 当1x <时，有2e e 0x x --<，于是在(),1-∞上，()h x 单调递增， 而(1)0h =，于是在(),1-∞上，有()0h x <，因此原命题得证．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°．以O 为圆心，12OA 为半径作圆． (I)证明：直线AB 与⊙O 相切；(II)点C ，D 在⊙O 上，且A ,B ,C ,D 四点共圆，证明：AB ∥CD ．解析：（I ）设E 是AB 中点，连结OE ．因为120OA OB AOB =∠=︒，，所以OE AB AOE ⊥∠，=60°．在Rt AOE ∆中，12OE AO =， 即O 到直线AB 的距离等于⊙O 半径，所以直线AB 与⊙O 相切． （II ）因为2OA OD =，所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心．设O '是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线OO '．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O '在线段AB 的垂直平分线上， 所以OO AB '⊥．同理可证，OO CD '⊥．所以AB CD ∥．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； （II ）直线C 3的极坐标方程为0a θ=，其中0a 满足tan 0a =2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解析：（I ）消去参数t 得到1C 的普通方程()2221x y a +-= ①1C 是以()01，为圆心，a 为半径的圆． 将cos sin x y ρθρθ==，代入1C 的普通方程中， 得到1C 的极坐标方程为222sin 10a ρρθ-+-=．（II ）曲线1C ，2C 的公共点的极坐标满足方程组222sin 104cos a ρρθρθ⎧-+-=⎨=⎩．若0ρ≠，由方程组得 2216cos 8sin cos 10a θθθ-+-=，由已知tan 2θ=， 可得216cos 8sin cos 0θθθ-=，从而210a -=，解得1a =-（舍去）或1a =．当1a =时，极点也为1C ，2C 的公共点，在3C 上，所以1a =．24．（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （I ）画出y = f (x )的图像； （II ）求不等式|()|1f x >的解集．O11解析：（I ）()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，≤，，，y = f (x )的图像如图所示．（II ）由()f x 的表达式及图像，当()1f x =时，可得1x =或3x =； 当()1f x =-时，可得13x =或5x =， 故()1f x >的解集为{|13}x x <<；()1f x <-的解集为1{|5}3x x x <>或．所以|()|1f x >的解集为1{|135}3x x x x <<<>或或．。
2016-湖南省普通高中学业水平考试试卷(含答案)
2016年湖南省普通高中学业水平考试试卷思想政治本试题卷包括选择题和非选择题（简答题、分析说明题和综合探究题）两部分，共6页。
时量90分钟，满分100分。
第Ⅰ卷选择题一、选择题（本大题30小题，每小题2分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意）1、2016年3月16日，第十二届全国人大第四次会议批准了《中华人民共和国国民经济和社会发展第 B 个五年规划纲要》。
这是今后五年我国经济社会发展的宏伟蓝图。
A．十二 B．十三 C．十四 D．十五2、2015年7月31日，在马来西亚举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年第24届 D 奥林匹克运动会举办权。
A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季3、2015年10月5日，瑞典卡罗琳医学院在斯德哥尔摩宣布，授予中国科学家屠呦呦2015年诺贝尔 B 奖，以表彰她在创制新型抗疟药方面的突出贡献。
A．化学 B．医学 C．物理学 D．经济学4、2015年11月30日，国际货币基金组织（IMF）宣布，将 C 纳入特别提款权（SDR）货币篮子，并于2016年10月1日正式生效。
A．美元 B．日元 C．人民币 D．欧元5、2015年12月12日，联合国气候变化 D 大会通过全球气候变化新协定。
这是继1997年制定的《京都议定书》之后，全球气候治理领域又一实质性文件。
A．东京 B．北京 C．伦敦 D．巴黎6、小张在某商城购买了一台笔记本电脑，他使用了银行信用卡支付。
下列关于信用卡认识正确的是 CA．信用卡是政府或企业对消费者发行的一种信用凭证B．信用卡是用外币表示的用于国际间结算的支付手段C．信用卡是具有消费、转账结算、存取现金、信用贷款等功能的电子支付卡D．信用卡是活期存款的支付凭证，是银行无条件支付一定金额给持卡人的一种凭证7、中共中央、国务院《关于深化国有企业改革的指导意见》指出，推动国有资本向关系国家安全、国民经济命脉和国计民生的重要行业和关键领域、重点基础设施集中，向前瞻性战略性产业集中，向具有核心竞争力的优势企业集中，发挥国有资本投资、运营公司的作用，清理退出一批、重组整合一批、创新发展一批国有企业。
2009_2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)
2015年湖南省普通高中学业水平考试数 学 试 卷本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。
时量120分钟，满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,2}M =，集合{0,1,3}N =，则MN =A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D. {1,2,3}2．化简()()001cos301cos30-+得到的结果是 A.34 B.14C.0D.1 3．如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆，则该几何体的表面积等于A.πB.2πC.4πD.43π 4．直线30x y -+=与直线40x y +-=的位置关系为A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直 5．如图，ABCD 是正方形，E 为CD 边上一点，在该正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影部分的概率为 A.14 B.13 C.12 D.346．已知向量()1,2a =，()3,6b =--，若b a λ=，则实数λ的值为 A.13 B.3 C.13- D.3- 7．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均分成5组，现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样方法，从第1组抽取学生的号码为5，则抽取5名学生的号码是A.5，15，25，35，45B.5，10，20，30，40C.5，8，13，23，43D.5，15，26，36，46 8．已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数()f x 一定存在零点的区间是A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,39．如图，点(),x y 在阴影部分所表示的平面区域上，则z y x =-的最大值为A.2-B.0C.1D.2 10．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了1个伙伴；第2天，2只蜜蜂飞出去，各自找回了1个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第n 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为A.12n -B.2nC.3nD.4n二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.11．函数()()lg 3f x x =-的定义域为 . 12．函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 . 13．某程序框图如图所示，若输入x 的值为4-，则输出的结果为 .14．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知2c a =，1sin 2A =，则sin C = .15．已知直线:20l x y -+=，圆()222:0C x y r r +=>，如直线l 与圆C 相切，则圆C 的半径r =三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16．（本小题满分6分）学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的茎叶图如下. （1）求该运动员得分的中位数和平均数； （2）估计该运动员每场得分超过10分的概率.已知函数()2()2f x x m =-+.（1）若函数()f x 的图象过点()2,2，求函数()y f x =的单调递增区间； （2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值. 18．（本小题满分8分）已知正方体1111ABCD A B C D -. （1）证明：1D A 平面1C BD ； （2）求异面直线1D A 与BD 所成的角.已知向量()2sin 1a x ，=，()2cos 1b x ，=，x R ∈. （1）当4x π=时，求向量a b +的坐标；（2）设函数()f x a b =⋅，将函数()f x 图象上的所有点向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的最小值.20．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=+，其中n N *∈.（1）写出2a ，3a 及n a ；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，设12111n nT S S S =+++，试判断n T 与1的大小关系； （3）对于（2）中的n S ，不等式()11410n n n n S S S n S λ--⋅+-+≥对于任意大于1的整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。
2016年湖南省高考理科数学试卷及答案（精校WORD版）【精选】
第 1 页 共 11页2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知（为虚数单位），则复数( )2(1)1i i z-=+i z =A ．B ．C ．D ．1i +1i-1i-+1i--【解析】由题意得，得．故选D ．2(1)2111i iz i i i--===--++考点：复数的运算．2．设，是两个集合，则“”是“”的( )A B A B A = A B ⊆A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆ ，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件．故选C ．考点：集合的关系．3．执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( )A ．B ．C ．D ．76739894【解析】由题意得，输出的为数列的前三S 1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭项和，而，所以1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，从而．故选B ．11(122121n n S n n =-=++337S =考点：程序框图，裂项相消求数列的和．1第 2 页 共 11 页4．若变量，满足约束条件，则的最小值为( )x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x y x z -=3A ． B ．C ．1D ．27-1-【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当，时，y x z -=3的最小值是7-．故选2x =-1y =A ．考点：线性规划．5． 设函数，则是( ))1ln()1ln()(x x x f --+=)(x f A ． 奇函数，且在是增函数B ． 奇函数，且在是减函数)1,0()1,0(C ． 偶函数，且在是增函数D ． 偶函数，且在是减函数)1,0()1,0(【解析】试题分析：显然，定义域为，关于原点对称，()f x (1,1)-又∵，∴为奇函数，显然在上单调()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-()f x ()f x (0,1)递增．故选A ．考点：函数的性质．6．已知的展开式中含的项的系数为30，则( )5(xax -23x =a A ．B ．C ．6D ．33-6-【解析】，令，可得，从而．故选D ．5215(1)r r r rr T C a x-+=-1r =530a -=6a =-考点：二项式定理．7． 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布C 的密度曲线）的点的个数的估计值为( ))1,0(N A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若，则),(~2σμN X ,6826.0)(=+≤<-σμσμX P ．9544.0)22(=+≤<-σμσμX P 【解析】根据正态分布的性质，．故选．1(01)(11)0.34132P x P x <<=-<<=C 考点：正态分布．8． 已知点，，在圆上运动，且 ． 若点的坐标为,A B C 122=+y x BC AB ⊥P )0,2(第 3 页 共 11 页则的最大值为( )||PC PB PA ++A ．6 B ．7C ．8D ．9【解析】由题意得为圆的直径，故可设，，，AC (,)A m n (,)B m n --(,)C x y ∴，而，∴的(6,)PA PB PC x y ++=- 22(6)371249x y x -+=-≤||PC PB PA ++最大值为7．故选．B 考点：圆的性质，平面向量数量积．9． 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，x x f 2sin )(=ϕ)20(πϕ<<)(x g 若对满足的，，有，则( )2|)()(|21=-x g x f 1x 2x 3||min 21π=-x x =ϕA ．B ．C ．D ．125π3π4π6π【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨设ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-．故选D ．考点：三角函数的图象和性质．10． 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率）( )原工件的体积新工件的体积=A ．B ．C ．D ．π98π916π2124）－（π21212）－（【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如下图所示，则有，∴，212x h -=22h x =-∴长方体的体积为22(2)(22)x h x x =-，当且仅当4(22)x x x =-A A 3224()3x x x ++-≤3227=时，等号成立，2223x x x =-=即∴利用率为．故选A ．232162719123ππ=A A考点：圆锥内接长方体，基本不等式求最值．侧侧侧侧侧侧1育（列讲话，员中开我第 4 页 共 11 页二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．__________．⎰=-2)1(dx x 【解析】．⎰=-2)1(dx x 2201|02x x -=考点：定积分的计算．12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员的人数是_________．]151,139[【解析】由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人．考点：系统抽样，茎叶图．13．设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰F C 1:2222=-by a x C P PF 为其虚轴的一个端点，则的离心率为________．C 【解析】根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线(,0)F c (0,)b (,2)c b -上，∴，从而．222241c b a b -=ce a==考点：双曲线的标准方程及其性质．14．设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则n S }{n a n 11=a 321,2,3S S S ___________．=n a 【解析】等比数列中，，∴}{n a 2111S a a q q =+=+231S q q =++，24(1)31q q q +=+++解得，∴．3q =13n n a -=考点：等比、等比数列的通项公式及其前n 项和．的意业。
湖南省郴州市2016届高三普通高中学业水平考试摸底测试数学试题 含解析
2016年湖南省郴州市高考数学摸底试卷一、选择题:本大题共10小题，每小题4分,共40分,每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求。
1．已知集合A=｛0，a﹣2，3｝,若{﹣2,0}⊆A，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知向量=（4，2），=（x，3），且∥,则x的值是（)A．﹣6 B．6 C．﹣D．3．已知sinα=，α∈（，π），则cosα的值为（）A．B． C．D．4．在随机试验中，在区间［﹣2,3]内任取一个实数x，则这个数小于1的概率为（）A．B．C．D．5．函数f(x)=3x﹣（)x的零点存在区间为（)A．(﹣2，﹣1）B．（﹣1,0) C．（0,1）D．（1,2）6．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重(单位:kg）在［3.2,4。
0）的人数是（）A．30 B．40 C．50 D．557．设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=4x+2y的最大值为（)A．12 B．10 C．8 D．28．要得到函数y=sinx+cosx的图象,只需将曲线y=sinx上所有的点（）A．向左平移单位长度B．向右平移单位长度C．向左平移单位长度D．向右平移单位长度9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2)为（）A．48+12 B．48+24 C．36+12 D．36+2410．定义在R上的偶函数f(x)在区间[﹣1，0］上为增函数，且满足f（x+1）=﹣f（x），则（）A．f（）＜f（2）＜f（3) B．f（2）＜f（3)＜f（）C．f(3）＜f（2)＜f（）D．f（3)＜f（)＜f(2）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．某程序框图如图，当输入x的值为27时,则输出y的值为．12．圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心到直线y=x+1的距离是．13．如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段B1C1上的动点，则异面直线AE与直线D1C所成的角为．14．在△ABC中，若AB=3，∠ABC=75°,∠ACB=60°,则BC等于．15．把长为l的铁丝折成一个面积为8的直角三角形，当l取最小值时,直角三角形的斜边长为．三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县一中高二(下)学业水平测试数学试卷及参考答案
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县一中高二（下）学业水平测试数学试卷（1）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，1，2，2，3}D．{0，1，2，3}2．（4分）在直角坐标系中，直线x+y+3＝0的倾斜角是（）A．B．C．D．3．（4分）函数y＝log2（x﹣3）的定义域为（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）D．R4．（4分）若运行如图的程序，则输出的结果是（）A．4B．9C．13D．175．（4分）在等比数列{a n}，a3＝2，a7＝32，则q＝（）A．2B．﹣2C．±2D．46．（4分）点（2，1）到直线3x﹣4y+2＝0的距离是（）A．B．C．D．7．（4分）一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下，则样本在（10，50]上的频率为（）A．B．C．D．8．（4分）已知＝（4，2），＝（6，y），且⊥，则y的值为（）A．﹣12B．﹣3C．3D．129．（4分）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的体积为：（）A．12πcm3B．15πcm2C．36πcm3D．以上都不正确10．（4分）若x、y满足，则z＝x+2y的最大值为（）A．9B．8C．7D．6二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．（4分）求值：2log3+log312﹣0.70+0.25﹣1＝．12．（4分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]＝．13．（4分）已知三角形的三边长分别为5，7，8，则该三角形最大角与最小角之和为．14．（4分）如图，有一个边长为2的正方形，其中有一块边长为1的阴影部分，向大的正方形中撒芝麻，假设芝麻落在正方形中任何位置上的概率相等，则芝麻落在阴影区域上的概率为．15．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（6分）已知数列{a n}的通项公式a n＝2n+2（n∈N*）（1）求a2，a5；（2）若a2，a5恰好是等比数列{b n}的第2项和第3项，求数列{b n}的通项公式．17．（8分）已知曲线C：x2+y2+2x+4y+m＝0．（1）当m为何值时，曲线C表示圆？（2）若直线l：y＝x﹣m与圆C相切，求m的值．18．（8分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．19．（8分）已知函数f（x）＝sin x cos（π+x）+cos x sin（π+x）+sin（+x）cos x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x为何值时，f（x）有最大值？20．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx+c有两个零点0和﹣2，且g（x）和f（x）的图象关于原点对称．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）解不等式f（x）≥g（x）+6x﹣4；（3）如果f（x）定义在[m，m+1]，f（x）的最大值为g（m），求g（m）的解析式．2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县一中高二（下）学业水平测试数学试卷（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，1，2，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：∵A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}，故选：B．2．（4分）在直角坐标系中，直线x+y+3＝0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x+y+3＝0斜率等于﹣，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ＝﹣，又0≤θ＜π，∴θ＝，故选：D．3．（4分）函数y＝log2（x﹣3）的定义域为（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）D．R【解答】解：要使函数y＝log2（x﹣3）有意义，则x﹣3＞0，即x＞3．∴函数y＝log2（x﹣3）的定义域为：（3，+∞）．故选：B．4．（4分）若运行如图的程序，则输出的结果是（）A．4B．9C．13D．17【解答】解：模拟程序的运行，可得s＝4，a＝13s＝4+13＝17，输出s的值为17．故选：D．5．（4分）在等比数列{a n}，a3＝2，a7＝32，则q＝（）A．2B．﹣2C．±2D．4【解答】解：设等比数列的公比为q，首项为a1则由题意可得两式相除可得，即q4＝16∴q＝±2故选：C．6．（4分）点（2，1）到直线3x﹣4y+2＝0的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：点（2，1）到直线3x﹣4y+2＝0的距离d＝＝．故选：A．7．（4分）一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下，则样本在（10，50]上的频率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，样本在（10，50]上的频数为2+3+4+5＝14，所求的频率为P＝＝．故选：D．8．（4分）已知＝（4，2），＝（6，y），且⊥，则y的值为（）A．﹣12B．﹣3C．3D．12【解答】解：因为＝（4，2），＝（6，y），且⊥，所以•＝0，即4×6+2y＝0，解得y＝﹣12，故选：A．9．（4分）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的体积为：（）A．12πcm3B．15πcm2C．36πcm3D．以上都不正确【解答】解：由三视图知该几何体是底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥，则它的高是4cm，∴此圆锥的体积是×π×9×4＝12πcm3故选：A．10．（4分）若x、y满足，则z＝x+2y的最大值为（）A．9B．8C．7D．6【解答】解：在直角坐标系内，画出可行域为图中阴影部分（O为原点），A（3，2），由图可知，最优解为A（3，2），故Z max＝7．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．（4分）求值：2log3+log312﹣0.70+0.25﹣1＝4．【解答】解：∵＝﹣2log32+1+2log32﹣1+4＝4．故答案为：4．12．（4分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]＝．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（﹣2）＝∴f[f（﹣3）]＝f（）＝．故答案为：．13．（4分）已知三角形的三边长分别为5，7，8，则该三角形最大角与最小角之和为120°．【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，7，8，且7所对的角为α，∴cosα＝＝，∴α＝60°，则该三角形最大角与最小角之和为120°．故答案为：120°14．（4分）如图，有一个边长为2的正方形，其中有一块边长为1的阴影部分，向大的正方形中撒芝麻，假设芝麻落在正方形中任何位置上的概率相等，则芝麻落在阴影区域上的概率为．【解答】解：根据题意，阴影部分的正方形的边长为1，面积为1；大正方形的边长为2，面积为4；故芝麻落在阴影区域上的概率为；故答案为：．15．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中正确命题的序号是①②③．【解答】解：命题①，由于n∥α，根据线面平行的性质定理，设经过n的平面与α的交线为b，则n∥b，又m⊥α，所以m⊥b，从而，m⊥n，故正确；命题②，由α∥β，β∥γ，可以得到α∥γ，而m⊥α，故m⊥γ，故正确；命题③，由线面垂直的性质定理即得，故正确；命题④，可以翻译成：垂直于同一平面的两个平面平行，故错误；所以正确命题的序号是①②③三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（6分）已知数列{a n}的通项公式a n＝2n+2（n∈N*）（1）求a2，a5；（2）若a2，a5恰好是等比数列{b n}的第2项和第3项，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（1）∵a n＝2n+2，∴a2＝2×2+2＝6，a5＝2×5+2＝12．（2）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2＝a2＝6，b3＝a5＝12．∴q＝＝2．∴b n＝＝6×2n﹣2＝3×2n﹣1．17．（8分）已知曲线C：x2+y2+2x+4y+m＝0．（1）当m为何值时，曲线C表示圆？（2）若直线l：y＝x﹣m与圆C相切，求m的值．【解答】解：（1）由C：x2+y2+2x+4y+m＝0，得（x+1）2+（y+2）2＝5﹣m，由5﹣m＞0，得m＜5．∴当m＜5时，曲线C表示圆；（2）圆C的圆心坐标为（﹣1，﹣2），半径为．∵直线l：y＝x﹣m与圆C相切，∴，解得：m＝±3，满足m＜5．∴m＝±3．18．（8分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．【解答】证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，∴OE∥P A，∵OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE．…（6分）（2）∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．又由于AD⊥CD，PD∩CD＝D，故AD⊥底面PCD，所以有AD⊥DE．又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．于是，由BC∩PC＝C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．故可得平面BDE⊥平面PBC．…（12分）19．（8分）已知函数f（x）＝sin x cos（π+x）+cos x sin（π+x）+sin（+x）cos x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x为何值时，f（x）有最大值？【解答】解：∵f（x）＝sin x cos（π+x）+cos x sin（π+x）+sin（+x）cos x＝sin2x+cos2x＝1．（1）f（x）的最小正周期T＝；（2）当sin2x＝﹣1，即2x＝﹣，x＝时，f（x）有最大值1+．20．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx+c有两个零点0和﹣2，且g（x）和f（x）的图象关于原点对称．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）解不等式f（x）≥g（x）+6x﹣4；（3）如果f（x）定义在[m，m+1]，f（x）的最大值为g（m），求g（m）的解析式．【解答】解：（1）由f（x）＝x2+bx+c有两个零点0和﹣2，即有，解得b＝2，c＝0，即f（x）＝x2+2x，由f（x）和g（x）的图象关于原点对称，所以g（x）＝﹣x2+2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）f（x）≥g（x）+6x﹣4即x2+2x≥﹣x2+2x+6x﹣4，即x2﹣3x+2≥0得不等式的解为{x|x≥2或x≤1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（3）f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，当m+1≤﹣1，即m≤﹣2时，f（x）的最大值g（m）＝m2+2m，当m＞﹣1时，f（x）的最大值g（m）＝（m+1）2+2（m+1）＝m2+4m+3，当时，f（x）的最大值g（m）＝m2+2m，当时，f（x）的最大值g（m）＝（m+1）2+2（m+1）＝m2+4m+3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）第11页（共11页）。
湖南省2016普通高中学业水平考试数学考试试题
2016年湖南省普通高中学业水平考试数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时量120分钟.满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下图是某圆柱的直观图，则其正视图是（ ）A. 三角形B. 梯形C. 矩形D. 圆2. 函数cos y x =，x R ∈的最小正周期为（ ）A. 2πB. πC. 2πD. 4π 3. 函数()21f x x =-的零点为（ ）A. 2B. 12C. 12-D. -24. 执行如图所示的程序框图.若输入a ，b 的值分别为4，3，则输出的S =（ ）A. 7B. 8C. 10D. 125. 已知集合{}|13M x x =<<，{}|25N x x =<<，则M N =I （ ）A. {}|12x x <<B. {}|35x x <<C. {}|23x x <<D. ∅6. 已知不等式组400x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩表示的平面区域为Ω，则下列坐标对应的点落在区域Ω内的是（ ）A. ()1,1B. ()3,1--C. ()0,5D. ()5,17. 已知向量()1,a m =r ，()3,1b =r .若a b ⊥r r ，则m =（ ）A. -3B. -1C. 1D. 38. 已知函数()y x x a =-的图象如图所示，则不等式()0x x a -<的解集为（ ）A. {}|02x x ≤≤B. {}|02x x <<C. {}|02x x x ≤≥或D. {}|02x x x <>或 9. 已知两直线20x y -=和30x y +-=的交点为M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ）A. ()()22121x y +++=B. ()()22121x y -+-= C. ()()22211x y +++= D. ()()22211x y -+-= 10. 某社区有300户居民.为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年每月的用水量（单位：t ）进行分析，得到这些住户月均用水量的频率分布直方图（如图）.由此可以估计该社区居民月均用水量在[)4,6的住户数为（ ）A. 50B. 80C. 120D. 150二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 若sin 5cos αα=，则tan α=______.12. 已知直线1l ：320x y -+=，2l ：10mx y -+=.若12//l l ，则m =______.13. 已知幂函数y x α=（α为常数）的图象经过点()4,2A ，则a =______. 14. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2a =，3b =，1cos 4C =-，则c =______. 15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集了若干数据，并对其进行分析，得到加工时间()min y 与零件数x （个）的回归方程为$0.6751y x =+.由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为______（min ）.三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 从一个装有3个红球1A ，2A ，3A 和2个白球1B ，2B 的盒子中，随机取出2个球.（1）用球的标号列出所有可能的取出结果；（2）求取出的2个球都是红球的概率.17. 已知函数()()2sin cos f x x x =+，x R ∈.（1）求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小值，并写出()f x 取最小值时自变量x 的集合.18. 已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=.（1）求1a 及n a ；（2）若等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求四棱锥P ABCD -的体积.20. 已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =.（1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式()()42x x f t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试题参考答案说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.一、选择题：每小题4分，满分40分.1-5：CABDC 6-10：AABDC 二、填空题：每小题4分，满分20分.11. 5 12. 3 13.1214. 4 15. 118 三、解答题：满分40分.16. 本题主要考查随机抽样的概念、古典概型等知识.满分6分.解：（1）所有可能的取出结果共有10个： 12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，12B B .（2）取出的2个球都是红球的基本事件共有3个：12A A ，13A A ，23A A .所以，取出的2个球都是红球的概率为310. 17. 本题主要考查三角恒等变形及三角函数的性质等知识.满分8分.解：()12sin cos 1sin 2x x x x f =+=+.（1）1sin 242f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. （2）当sin 21x =-时，()f x 的最小值为0，此时222x k ππ=-+，即()4x k k Z ππ=-+∈.所以()f x 取最小值时x 的集合为|,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭. 18. 本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式等知识，同时考查运算求解能力.满分8分.解：（1）由126a a +=，得126a d +=.又2d =，所以12a =，故()2212n a n n =+-=.（2）依题意，得12b =，224b q ==，即2q =，所以2n n b =.于是22n n n a b n +=+.故()()2242222n n S n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+2122n n n +=++-.19. 本题主要考查在空间线、面关系等基础知识，同时考査空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力.满分8分.解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥.故AC ⊥平面PBD .（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PBD ∠是直线PB 与平面ABCD 所成的角.于是45PBD ∠=︒，因此2BD PD ==.又2AB AD ==，所以菱形ABCD 的面积为sin 60S AB AD =⋅⋅︒=.故四棱锥P ABCD -的体积13V S PD =⋅=. 20. 本题主要考查指数、对数函数的概念与性质，函数的奇偶性和单调性等知识，同时考查函数与方程、化归与转化的数学思想.满分10分.解：（1）由()31f =，得log 31a =，所以3a =.函数()3log f x x =的定义域为()0,+∞.（2）()()()33log 1log 1g x x x =+--，定义域为()1,1-. 因为()()()()33log 1log 1g x x x g x -=--+=-，所以()g x 是奇函数.（3）因为()3log f x x =在()0,+∞上是增函数，所以不等式()()42x x f t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，等价于不等式组 402042x x x x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅-≥⎩①②③对任意[]1,2x ∈恒成立. 由①得0t >；由②得2xt <，依题意，得2t <；由③得2114122x x x x t ≥=++. 令2x u =，则[]2,4u ∈.易知1y u u =+在区间[]2,4上是增函数，所以1y u u=+在区间[]2,4上的最小值为52，故1122x x +的最大值为25，依题意，得25t ≥. 综上所述，t 的取值范围为225t ≤<.。
2015-2016学年湖南省衡阳一中高二下学业水平模拟数学试卷(1)(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年湖南省衡阳一中高二下学业水平模拟数学试卷（1）（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：117分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若x 、y 满足，则z=x+2y 的最大值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．62、有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm ），则该几何体的体积为：（ ）A ．12πcm 3B ．15πcm 2C ．36πcm 3D ．以上都不正确3、已知=（4，2），=（6，y ），且⊥，则y 的值为（ ）A ．﹣12B ．﹣3C ．3D ．124、一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下， 组距 （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70] 频数 2 3 4 5 4 2则样本在（10，50]上的频率为（ ） A ．B ．C ．D ．5、点（2，1）到直线3x ﹣4y+2=0的距离是（ ） A ． B ． C ．D ．6、在等比数列{a n }，a 3=2，a 7=32，则q=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．±2 D ．47、若运行如图的程序，则输出的结果是（ ）A ．4B ．9C ．13D ．178、函数y=log 2（x ﹣3）的定义域为（ ）9、在直角坐标系中，直线x+y+3=0的倾斜角是（）A． B． C． D．10、已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．{0，1，1，2，2，3} D．{0，1，2，3}第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中正确命题的序号是．12、如图，有一个边长为2的正方形，其中有一块边长为1的阴影部分，向大的正方形中撒芝麻，假设芝麻落在正方形中任何位置上的概率相等，则芝麻落在阴影区域上的概率为．13、边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．14、已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]= ．15、求值：2log3+log312﹣0.70+0.25﹣1= ．三、解答题（题型注释）16、已知函数f（x）=x2+bx+c有两个零点0和﹣2，且g（x）和f（x）的图象关于原点对称．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）解不等式f （x ）≥g （x ）+6x ﹣4；（3）如果f （x ）定义在[m ，m+1]，f （x ）的最大值为g （m ），求g （m ）的解析式．17、已知函数f （x ）=sinxcos （π+x ）+cosxsin （π+x ）+sin （+x ）cosx ．（1）求f （x ）的最小正周期； （2）当x 为何值时，f （x ）有最大值？18、如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BDE ； （2）证明：平面BDE ⊥平面PBC ．19、已知曲线C ：x 2+y 2+2x+4y+m=0． （1）当m 为何值时，曲线C 表示圆？（2）若直线l ：y=x ﹣m 与圆C 相切，求m 的值．20、已知数列{a n }的通项公式a n =2n+2（n ∈N *） （1）求a 2，a 5；（2）若a 2，a 5恰好是等比数列{b n }的第2项和第3项，求数列{b n }的通项公式．参考答案1、C2、A3、A4、D5、A6、C7、D8、B9、D10、B11、①②③12、13、120°14、15、416、（1）f（x）=x2+2x g（x）=﹣x2+2x（2）{x|x≥2或x≤1}（3）g（m）=m2+4m+317、（1）T=（2）x=时，f（x）有最大值1+18、见解析19、（1）当m＜5时，曲线C表示圆（2）m=±320、（1）6 12（2）b n=3×2n﹣1【解析】1、解：在直角坐标系内，画出可行域为图中阴影部分（O为原点），A （3，2），由图可知，最优解为A （3，2），故Z max=7．故选：C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．2、解：由三视图知该几何体是底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥，则它的高是4cm，∴此圆锥的体积是×π×9×4=12πcm3故选A．【点评】本题的考点是由三视图求几何体的体积，关键是根据三视图对几何体进行还原，并且求出几何体中几何元素的长度，代入相应的公式求解，考查了空间想象能力．3、解：因为=（4，2），=（6，y），且⊥，所以•=0，即4×6+2y=0，解得y=﹣12，故选：A．【点评】本题考查两个向量垂直的充要条件：数量积等于0以及向量的数量积公式，属于基础题．4、解：根据题意，样本在（10，50]上的频数为2+3+4+5=14，所求的频率为P==．故选：D．【点评】本题考查了频率的计算问题，是基础题目．5、解：点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离d==．故选A．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．6、解：设等比数列的公比为q，首项为a1则由题意可得两式相除可得，即q4=16∴q=±2故选C【点评】本题主要考查了利用基本量表示等比数列的项，解题的关键是数量应用等比数列的通项公式7、解：模拟程序的运行，可得s=4，a=13s=4+13=17，输出s的值为17．故选：D．【点评】本题主要考查了赋值语句的应用，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于基础题．8、解：要使函数y=log2（x﹣3）有意义，则x﹣3＞0，即x＞3．∴函数y=log2（x﹣3）的定义域为：（3，+∞）．故选：B．【点评】本题考查对数函数的定义域，是基础题．9、解：直线x+y+3=0斜率等于﹣，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，又0≤θ＜π，∴θ=，故选D．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，已知三角函数值求角是解题的难点．10、解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∩B={1，2}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．11、解：命题①，由于n∥α，根据线面平行的性质定理，设经过n的平面与α的交线为b，则n∥b，又m⊥α，所以m⊥b，从而，m⊥n，故正确；命题②，由α∥β，β∥γ，可以得到α∥γ，而m⊥α，故m⊥γ，故正确；命题③，由线面垂直的性质定理即得，故正确；命题④，可以翻译成：垂直于同一平面的两个平面平行，故错误；所以正确命题的序号是①②③【点评】本题考查线线关系中的垂直、平行的判定；面面关系中垂直于平行的判定，要注意判定定理与性质定理以及课本例题结论的应用．12、解：根据题意，阴影部分的正方形的边长为1，面积为1；大正方形的边长为2，面积为4；故芝麻落在阴影区域上的概率为；故答案为：．【点评】本题考查几何概型的性质和应用；每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型．13、解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为：120°．【点评】本题考查余弦定理的应用，三角形的边角对应关系的应用，考查计算能力．14、解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=∴f[f（﹣3）]=f（）=．故答案为：．【点评】本题考查求分段函数的函数值：根据自变量所属范围，分段代入求．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念．15、解：∵=﹣2log32+1+2log32﹣1+4=4．故答案为：4．【点评】本题考查对数的运算性质，着重考查数的运算性质与指数幂的运算性质的应用，属于基础题．16、解：（1）由f（x）=x2+bx+c有两个零点0和﹣2，即有，解得b=2，c=0，即f（x）=x2+2x，由f（x）和g（x）的图象关于原点对称，所以g（x）=﹣x2+2x．（2）f（x）≥g（x）+6x﹣4即x2+2x≥﹣x2+2x+6x﹣4，即x2﹣3x+2≥0得不等式的解为{x|x≥2或x≤1}（3）f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，当m+1≤﹣1，即m≤﹣2时，f（x）的最大值g（m）=m2+2m，当m＞﹣1时，f（x）的最大值g（m）=（m+1）2+2（m+1）=m2+4m+3，当时，f（x）的最大值g（m）=m2+2m，当时，f（x）的最大值g（m）=（m+1）2+2（m+1）=m2+4m+3【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，函数的最值问题，是一道中档题．17、解：∵f（x）=sinxcos（π+x）+cosxsin（π+x）+sin（+x）cosx=sin2x+cos2x=1．（1）f（x）的最小正周期T=；（2）当sin2x=﹣1，即2x=﹣，x=时，f（x）有最大值1+．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．18、证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，所以有AD⊥DE．又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．故可得平面BDE⊥平面PBC．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，在（1）中证得EO为△PAC的中位线，在（2）中证得DE⊥底面PBC是关键，考查推理证明的能力，属于中档题．19、解：（1）由C：x2+y2+2x+4y+m=0，得（x+1）2+（y+2）2=5﹣m，由5﹣m＞0，得m＜5．∴当m＜5时，曲线C表示圆；（2）圆C的圆心坐标为（﹣1，﹣2），半径为．∵直线l：y=x﹣m与圆C相切，∴，解得：m=±3，满足m＜5．∴m=±3．【点评】本题考查圆的一般方程，考查了直线与圆位置关系的应用，训练了点到直线的距离公式的应用，是基础题．20、解：（1）∵a n=2n+2，∴a2=2×2+2=6，a5=2×5+2=12．（2）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a2=6，b3=a5=12．∴q==2．∴b n==6×2n﹣2=3×2n﹣1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
15-16年湖南省普通高中学业水平考试试卷
2015年湖南省普通高中学业水平考试试卷物 理本试题卷分选择题和非选题两部分，时量90分钟，满分100分一、选择题（本题包括16小题，每小题3分，共48分。
每小题只有一个选项符合题意） 1．发现万有引力定律的科学家是A ．爱因斯坦B ．卡文迪许C ．开普勒D ．牛顿 2．下列物理量属于矢量的是A ．质量B ．功C ．重力势能D ．力 3．列车员说“火车9点20分到站，停车10分。
”在这句话中 A ．“9点20分”是指时刻，“停车10分”是指时间间隔 B ．“9点20分”是指时间间隔，“停车10分”是指时刻 C ．“9点20分”与“停车10分”均指时刻 D ．“9点20分”与“停车10分”均指时间间隔4．将一个物体从地球上送到月球上，该物体在球上的惯性与在月球上的惯性相比 A ．在月球上惯性大 B ．在地球上惯性大 C ．惯性一样大 D ．大小关系无法确定5．有两个共点力，其中一个力的大小为3N ，另一个力的大小是4N ，这两个力的合力的最大值为 A ．1N B ．5N C ．7N D ．12N6．一位同学从操场中心A 点出发，先向北走了6m 到达C 点，然后向东走了8 m 到达B 点，可以算出A 、B 两点间的距离为10 m ，如图所示，则该同学的位移大小和路程分别是 A ．10 m ，14 m B ．14 m ，10 m C ．10 m ，10 m D ．14 m ，14 m 7．在同一平直公路上有A 、B 两辆汽车，它们的v-t 图象分别为a 、b ，如图所示，a 线平行于时间轴，b 线为过原点的倾斜直线，根据图象可知A ．A 车静止，B 车做匀速直线运动 B ．A 车静止，B 车做匀加速直线运动C ．A 车做匀速直线运动，B 车做匀加速直线运动D ．A 车做匀速直线运动，B 车做加速直线运动 8．下列关于质点的说法正确的是/t s8A．研究跳水运动员在空中的翻转动作时，运动员可当做质点B．研究航天器绕地理运动的运行轨道时，航天器可当做质点C．研究地球自转时，车轮可当做质点D．研究火车车轮的转动时，车轮可当做质点9．开普勒第二定律告诉我们：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，如图所示，某行星绕太阳运动轨道为椭圆，该行星在近日点A时的速度大小为v A，在远日点B时的速度大小为v B，则v A、v B的大小关系为A．v A>v BB．v A=v BC．v A<v BD．无法确定10．如图所示，光滑水平面上一个小球由细线牵引，绕桌面上的图钉O做匀速圆周运动，小球在运动过程中A．动能变化B．速度变化C．周期变化D．角速度变化11．在光滑水平面上有一根轻质弹簧，将弹簧一端固定，另一端施以水平拉力F时，弹簧伸长量为x1，如图所示；当水平拉力2F时，弹簧伸长量为x2，弹簧始终处在弹性限度内，则A．x2= x1B．x2=2x1C．x2=3x1D．x2=4x112．如图所示，用恒力F将质量为m的物体从地面竖直向上提升高度为h，力F对物体做功为w1，用同样的恒力F将质量为2m的物体从地面竖直向上提升高度为h，力F对物体做功为w2，则w1：w2等于A．1：1 B．1：2C．1：3 D．2：113．在距水平地面同一高度时，同时水平抛出甲、乙两小球，且甲的初速度大于乙的初速度，不计空气阻力，下列说法正确的是A．两球同时落地B．甲球比乙球先落地C．两球落地的速度大小相同D．两球落地时乙速度较大14．某同学在做“探究加速度与力、质量的关系”的实验中，当保持物体所受的力相同时，测量不同质量的物体在这个力作用下的加速度，设物体的质量为m ，加速度为a ，得到如图所示的1a m-A ．a 与m 成正比B ．a 与m 成反比C ．a 与m 2成正比D ．a 与m 2成反比 15．一个圆盘绕竖直转轴'OO 在水平面内匀速转动，盘面上距转轴有一定距离的地方放置一小物块，小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，小物块所受力的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个 16．某同学用如图甲所示的装置做“验证机械能守恒定律”的实验，他在该实验中正确操作，用打点计时器打出了一条纸带，取该纸带中的一段，如图乙所示，其中O 点为释纸带时打点计时器在纸带上打出的一点，a 、b 、c 是打点计时器在纸带上打出的相邻三个点，x 1、 x 2分别为a 点、c 点到O 点的距离，T 为打相邻两点的时间间隔，则打b 点时物体运动速度大小的表达式为A ．122x x T + B．21x x T- C ．12x x T + D ．212x x T- 二、非选择题(本大题包括必做题和选做题两部分，共52分。
2016年湖南益阳高级中等学校招生考试数学试卷
益阳市2016年普通初中毕业学业考试数学试题（含答案全解全析）(满分:150分时间:90分钟)第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.-12016的相反数是( )A.2 016B.-2 016C.12016 D.-120162.下列运算正确的是( )A.2x+y=2xyB.x·2y2=2xy2C.2x÷x2=2xD.4x-5x=-13.不等式组-x<3,2x-1≤3的解集在数轴上表示正确的是( )4.下列判断错误··的是( )A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形5.小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况,对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计,记录的数据如下:66、68、67、68、67、69、68、71,这组数据的众数和中位数分别为( ) A.67、68B.67、67C.68、68D.68、676.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能···是( )A.360°B.540°C.720°D.900°7.关于抛物线y=x 2-2x+1,下列说法错误··的是( )A.开口向上B.与x 轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1D.当x>1时,y 随x 的增大而减小8.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度,如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等,小明将PB 拉到PB'的位置,测得∠PB'C=α(B'C 为水平线),测角仪B'D 的高度为1米,则旗杆PA 的高度为( )A.11-sin αB.11+sin α C.11-cos αD.11+cos α第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位,所得的直线不经过第象限.10.某学习小组为了探究函数y=x2-|x|的图象和性质,根据以往学习函数的经验,列表确定了该函数图象上一些点的坐标,表格中的m= .11.我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点.反比例函数y=-3x的图象上有一些整点,请写出其中一个整点的坐标: .12.下图是一个圆柱体的三视图,由图中数据计算此圆柱体的侧面积为.(结果保留π)13.如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是直径,过C点的切线与AB的延长线交于P点,若∠P=40°,则∠D的度数为.14.小李用围棋子排成下列一组有规律的图案,其中第1个图案有1枚棋子,第2个图案有3枚棋子,第3个图案有4枚棋子,第4个图案有6枚棋子,……,那么第9个图案的棋子数是枚.三、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)15.计算:(-1)1+-12--32×-23.16.先化简,再求值:1x+1-11-x÷x21-x2,其中x=-12.17.如图,在▱ABCD中,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,连接AF,CE.求证:AF=CE.四、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)18.在大课间活动中,体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试,并对成绩进行统计分析,绘制了频数分布表和统计图,请你根据图表中的信息完成下列问题:(1)频数分布表中a= ,b= ,并将统计图补充完整;(2)如果该校七年级共有女生180人,估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人;(3)已知第一组中只有一个甲班学生,第四组中只有一个乙班学生,老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会,则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少?x<60)19.某职业高中机电班共有学生42人,其中男生人数比女生人数的2倍少3人.(1)该班男生和女生各有多少人?(2)某工厂决定到该班招录30名学生,经测试,该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个,为保证他们每天加工的零件总数不少于1 460个,那么至少要招录多少名男学生?20.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成．．．．．．．．．．．．．解答过程．．．．.21.如图,顶点为A(3,1)的抛物线经过坐标原点O,与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;(2)过B作OA的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证:△OCD≌△OAB;(3)在x轴上找一点P,使得△PCD的周长最小,求出P点的坐标.22.如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,D为AB的中点,EF为△ACD 的中位线,四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上).(1)计算矩形EFGH的面积;(2)将矩形EFGH沿AB向右平移,F落在BC上时停止移动.在平移过程中,当矩时,求矩形平移的距离;形与△CBD重叠部分的面积为316(3)如图③,将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1,将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转,当H1落在CD上时停止转动,旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2,设旋转角为α,求cos α的值.答案全解全析：一、选择题1.C 只有符号不同的两个数互为相反数,故-12016的相反数是12016.故选C.2.B 2x与y不是同类项,不能合并,故A项错误;x·2y2=2xy2,故B项正确;2x÷x2=2xx2=2x,故C项错误;4x-5x=(4-5)x=-x,故D项错误.故选B.3.A 由-x<3,得x>-3;由2x-1≤3,得x≤2.故不等式组的解集为-3<x≤2,在数轴上表示为故选A.4.D 由对角线互相平分的四边形是平行四边形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形,易得“两条对角线垂直且平分的四边形是菱形”,D项错误.故选D.5.C 因为68出现了3次,出现次数最多,所以这组数据的众数是68.将这8个数据从小到大排列得到:66、67、67、68、68、68、69、71,排在第4位与第5位的数据都是68,显然这两个数据的平均数是68,故这组数据的中位数为68.故选C.6.D ①将矩形沿对角线剪开,得到两个三角形,这两个多边形的内角和之和为180°+180°=360°;②在矩形任一边上取一点(不含顶点),连接该点与矩形的任一顶点(不与该点在同一条边上),得到一条线段,沿此线段剪开矩形,得到一个三角形和一个四边形,这两个多边形的内角和之和为180°+360°=540°;③任取矩形一组对边,在这两边上各取一点(不含顶点),连接这两点得到一条线段,将矩形沿这条线段剪开,得到两个四边形,这两个多边形的内角和之和为360°+360°=720°;④任取矩形相邻两边,在这两边上各取一点(不含顶点),连接此两点,得到一条线段,将矩形沿这条线段剪开,得到一个三角形和一个五边形,这两个多边形的内角和之和为180°+540°=720°.故选D.评析 本题考查了多边形的内角和.能够分类讨论矩形被剪开后所得到的图形的不同情形是解决本题的关键.7.D ∵a=1>0,∴抛物线的开口向上,故A 正确;当y=0时,x 2-2x+1=0,易得Δ=(-2)2-4×1×1=0,故该抛物线与x 轴有两个重合的交点,故B 正确;∵-b2a =--22×1=1,∴该抛物线的对称轴是直线x=1,故C 正确;∵抛物线的开口向上,且抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x>1时,y 随x 的增大而增大,故D 错误.故选D.评析 本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象,解题的关键是结合二次函数的性质及其图象逐项分析.8.A 由题易得CB=B'D=1,PC=PB-CB=PB-1.设PA=PB=PB'=x,则PC=x-1.在Rt △PCB'中,sin α=PCPB ',即sin α=x -1x,∴x=11-sin α.故选A.评析 本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识. 二、填空题 9.答案 四解析 将正比例函数y=2x 的图象向上平移3个单位后得到的图象的函数解析式为y=2x+3.∵k=2>0,b=3>0,∴该一次函数图象经过第一、二、三象限,即该一次函数图象不经过第四象限. 10.答案 0.75解析 解法一:∵当x>0时,函数y=x 2-|x|=x 2-x, ∴当x=1.5时,y=1.52-1.5=0.75, ∴m=0.75.解法二:由表格知,y=x 2-|x|的图象关于y 轴对称, ∴点(1.5,m)与点(-1.5,0.75)互为对称点,∴m=0.75. 11.答案 答案不唯一,如:(-3,1)解析 该函数图象上的整点为(1,-3),(-3,1),(-1,3),(3,-1).12.答案 24π解析 由主视图可知圆柱体的底面直径为4,高为6,故此圆柱体的侧面积为π×4×6=24π.13.答案 115°解析 如图,连接OC.由题意可得,∠OCP=90°,∵∠P=40°,∴∠COB=50°.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=65°.∵四边形ABCD 是圆内接四边形,∴∠D+∠ABC=180°,∴∠D=115°.14.答案 13解析 设第m(m 为正整数)个图案有a m 枚棋子.观察发现:a 1=1,a 2=1+2=3,a 3=3+1=4,a 4=4+2=6,a 5=6+1=7,…….总结规律得a 2n+1=3n+1,a 2n+2=3(n+1)(n 为自然数).当n=4时,a 9=3×4+1=13.三、解答题15.解析 原式=-1+12-1× -23 =-12+23=16.(8分)16.解析 原式=1-x -(1+x )1-x 2×1-x 2x =-2x .(6分)当x=-12时,原式=-2-2=4.(8分)17.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.(2分)又∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED=∠CFB,AE∥CF.(4分)∴△AED≌△CFB.(6分)∴AE=CF.∴四边形AECF是平行四边形.∴AF=CE.(8分)四、解答题18.解析(1)0.30;4.(2分)补全统计图如下.(4分) (2)180×(0.35+0.20)=99(人).(7分)答:估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有99人.(3)设第一组的3个学生为甲、乙1、乙2,第四组的4个学生为甲1、甲2、甲3、乙.画树状图如下.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中所选两人正好都是甲班学生的结果有3种,故所求概率为312=14.(10分)19.解析(1)设该班男生有x人,女生有y人,依题意得x+y=42,x=2y-3,解得x=27,y=15.答:该班男生有27人,女生有15人.(5分)(2)设招录的男生为m名,则招录的女生为(30-m)名, 依题意得50m+45(30-m)≥1 460,解之得m≥22. 答:工厂在该班至少要招录22名男生.(10分)20.解析如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x.(2分)由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,∴152-x2=132-(14-x)2,解之得x=9.(7分)∴AD=12.(8分)∴S△ABC=12BC·AD=12×14×12=84.(10分)五、解答题21.解析(1)∵抛物线的顶点为A(3,1),设抛物线对应的二次函数的表达式为y=a(x-3)2+1(a≠0),将原点坐标(0,0)代入表达式,得a=-13,∴抛物线对应的二次函数的表达式为y=-13x2+233x.(3分)(2)证明:将y=0代入y=-13x2+233x中,得B点坐标为(23,0),设直线OA对应的一次函数的表达式为y=kx(k≠0),将A(,1)代入表达式y=kx中,得k=33,∴直线OA对应的一次函数的表达式为y=33x.∵BD∥AO,∴设直线BD对应的一次函数的表达式为y=33x+b,将B(23,0)代入y=33x+b中,得b=-2,∴直线BD对应的一次函数的表达式为y=33x-2.由y=33x-2,y=-13x2+233x得交点D的坐标为(-3,-3),将x=0代入y=33x-2中,得C点的坐标为(0,-2),由勾股定理得OA=2=OC,AB=2=CD,OB=23=OD.在△OCD与△OAB中,OC=OA,CD=AB,OD=OB,∴△OCD≌△OAB.(8分)(3)如图,点C关于x轴的对称点C'的坐标为(0,2),则C'D与x轴的交点即为点P,它使得△PCD的周长最小.过点D作DQ⊥y轴,垂足为Q,则PO∥DQ.∴△C'PO∽△C'DQ.∴PO DQ =C'O C'Q,即3=25,∴PO=235,∴点P的坐标为-235,0.(12分)六、解答题22.解析(1)在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1, ∴AB=2,又∵D是AB的中点,∴AD=1,CD=12AB=1.又∵EF是△ACD的中位线,∴EF=DF=12,在△ACD中,AD=CD,∠A=60°,∴∠ADC=60°.在△FGD中,GF=DF·sin 60°=34,∴矩形EFGH的面积=EF·GF=12×34=38.(3分)(2)如图,设矩形移动的距离为x,则0<x≤12,当矩形与△CBD重叠部分为三角形时,则0<x≤14,重叠部分的面积S=12x·3x=316,∴x=24>14(舍去).当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时,则14<x≤12,重叠部分的面积S=34x-12×14×34=316,∴x=38.即矩形移动的距离为38时,矩形与△CBD重叠部分的面积是316.(8分)(3)如图,作H2Q⊥AB于Q.设DQ=m,则H2Q=3m,易知DG1=14,H2G1=12.在Rt△H2QG1中,(3m)2+ m+142=122,解得m=-1±1316(负的舍去),∴cos α=QG1H2G1=-1±1316+1412=3+138.(14分)。
2015-2016学年湖南省衡阳一中高二下学业水平模拟数学试卷(2)(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年湖南省衡阳一中高二下学业水平模拟数学试卷（2）（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：104分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、取一根长度为5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m 的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知点P （x ，y ）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=y ﹣x 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，﹣1]B ．[﹣2，1]C ．[﹣1，2]D ．[1，2]3、在等差数列{a n }中，a 5=33，公差d=3，则201是该数列的第（ ）项． A ．60 B ．61 C ．62 D ．634、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ）A ．105°B ．60°C ．15°D ．105° 或 15°5、已知=（4，8），=（x ，4），且，则x 的值是（ ）A ．2B ．﹣8C ．﹣2D ．86、函数f （x ）=2x ﹣3零点所在的一个区间是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）7、如图程序当x=38时运行后输出的结果为（ ）A ．38B ．83C ．80D ．778、如图是由哪个平面图形旋转得到的（）A ．B ．C ．D ．9、直线L 1：ax+3y+1=0，L 2：2x+（a+1）y+1=0，若L 1∥L 2，则a 的值为（ ） A ．﹣3 B ．2 C ．﹣3或2 D ．3或﹣210、函数y=log 2（x+1）的定义域是（ ）A ．{x|x ＞﹣1}B ．{x|x≠﹣1}C ．{x|x ＞1}D ．R第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、若直线x+y+b=0与圆（x+2）2+y2=2相切，则b= ．12、过A（m，1）与B（﹣1，m）的直线与过点P（1，2），Q（﹣5，0）的直线垂直，则m= ．13、已知数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣2n，则a4= ．14、函数f（x）=cos2x的周期是．15、若a∈{4，5，6}且a∈{6，7}，则a的值为．三、解答题（题型注释）16、已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）﹣f（x）=2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．17、从某校参加高二年级学业水平考试模拟考试的学生中抽取60名学生，将其数学成绩分成6段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]后，画出如图的频率分布直方图．根据图形信息，解答下列问题：（1）估计这次考试成绩的平均分；（2）估计这次考试成绩的及格率和众数．18、如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD=a ．（1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积；（2）若E 为PC 中点，求证：PA ∥平面BDE ； （3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．19、等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求： （1）a 1+a 3的值；（2）数列{a n }前8项的和S 8．参考答案1、A2、B3、B4、D5、A6、C7、D8、D9、A10、A11、4或012、213、814、π15、616、（1）f（x）=x2﹣x+1（2），f（x）max=f（﹣1）=317、（1）73（2）0.85 8518、见解析19、（1）5（2）255【解析】1、解：记“两段的长都不小于2m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于2m，所以事件A发生的概率．故选A．【点评】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于2m 的界点来．2、解：画可行域如图，画直线0=y﹣x，平移直线0=y﹣x过点A（0，1）时z有最大值1；平移直线0=y﹣x过点B（2，0）时z有最小值﹣2；则z=y﹣x的取值范围是[﹣2，1]故选B．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3、解：由题意可得等差数列{a n}的通项公式a n=a5+（n﹣5）d=33+3（n﹣5）=3n+18，令a n=3n+18=201可得n=61故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．4、解：=，∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C＜π，∴∠C=45°或135°，∴B=105°或15°，故选D．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解．5、解：=（4，8），=（x，4），且，可得：8x=16，解得x=2．故选：A．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．6、解：∵f（﹣1）=﹣3＜0f（0）=1﹣3=﹣2＜0f（1）=2﹣3=﹣1＜0，f（2）=4﹣3=1＞0∴f（1）f（2）＜0，∴函数的零点在（1，2）区间上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解7、解：模拟执行程序代码，可得x=38a=3b=8x=80﹣3=77故选：D．【点评】本题主要考查了伪代码程序的应用，模拟程序的执行过程是解答此类问题常用的办法，本题中mod运算，即求余运算，是在整数运算中求一个整数x除以另一个整数y的余数的运算，且不考虑运算的商．\除，求商值，在编程语言中应理解为整除，属于基础题．8、试题分析：A.应旋转为中间是圆柱，上下是圆锥，B.应旋转为上下同底的两个圆锥，C.应旋转为上面是圆柱，线面是圆锥，只有D旋转后是如图的几何体，故选D.考点：旋转体9、解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选A．【点评】本题考查两条直线平行的判定，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，推理能力，是基础题．10、解：由x+1＞0，得x＞﹣1．∴函数y=log2（x+1）的定义域是{x|x＞﹣1}．故选：A．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．11、解：由题意知，直线x+y+b=0与圆（x+2）2+y2=2相切，∴=，解得b=4或0．故答案为：4或0．【点评】本题考查了直线与圆相切的条件和点到直线的距离公式，是常见的基本题型．12、解：过点A（m，1）与B（﹣1，m）的直线的斜率，过点P（1，2），Q （﹣5，0）的直线的斜率为：=．因为两条直线垂直，所以×=﹣1，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线的斜率的求法，直线垂直条件的应用，考查计算能力．13、解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣2n，∴a4═42﹣2×4=8．故答案为：8【点评】本题主要考查数列通项公式的应用，直接代入即可，比较基础．14、解：f（x）=cos2x，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π．【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键，是基础题．15、解：根据题意a∈{4，5，6}∩{6，7}={6}；∴a=6．故答案为：6．【点评】考查列举法表示集合的定义及形式，元素与集合的关系及表示，以及集合的交集的运算．16、解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b∴由题恒成立∴∴f（x）=x2﹣x+1（2）f（x）=x2﹣x+1=在[﹣1，]单调递减，在[，1]单调递增∴，f（x）max=f（﹣1）=3【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意函数在所给区间上的单调性，一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值．17、解：（1）这次考试成绩的平均分约为：45×（0.005×10）+55×（0.01×10）+65×（0.025×10）+75×（0.025×10）+85×（0.03×10）+95×（0.005×10）=73；（2）这次考试成绩的及格率1﹣（0.005×10﹣0.01×10）=0.85由众数概念知，众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数，由频率分布直方图知，这次测试数学成绩的众数为85．【点评】本题考查利用频率分布直方图求众数、平均数、及格率的方法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．18、解：（1）四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a．所以：=证明：（2）在正方形ABCD中，连接AC和BD交与点O，连接OE，所以：O是AC的中点，由于E是PC的中点，所以：OE是△PAC的中位线，则：OE∥PAOE⊂平面BDEPA⊄平面BDE，所以：PA∥平面BDE．解：（3）PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a．则：BD=所以：∠PBD就是PB与平面ABCD所成角．则：所以：直线PB与平面ABCD 所成角的正切值为【点评】本题考查的知识要点：锥体的体积公式的应用，线面平行的判定，线面夹角的应用，属于基础题型．19、解：（1）由a1a2a3=8，得，即a2=2，代入a1+a2+a3=7，得，，又a2=a1q=2，解得：（舍）或q=2．∴a1=1，则，∴a1+a3=1+4=5；（2）．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．。
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2016年湖南省普通高中学业水平考试试卷
数学
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分100分。
、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.图1是某圆柱的直观图，则其正视图是
A •三角形
B •梯形
C .矩形
D •圆
2.函数y cosx, x R的最小正周期是
A . 2
B .
图I
C.— D .-
24
3.函数f (x) 2x 1的零点为
11
A . 2 B.- C .
22
4.执行如图2所示的程序框图，若输入a, b分别为4, 3,
则输出的S
A . 7
B . 8
C . 10
D . 12
5.已知集合M {x |1 x 3}, N{x|2 x 5},
则M帥
A. {x|1 x 2} B . {x |3 x 5}
C . {x|2 x 3}
D .
x y 4,
6.已知不等式组x 0, 表示的平面区域为，则下列坐标对应的点落在区域
y 0
12.已知直线h:3x
y 2 0 , I 2 :mx y 1 0 .若 h //I 2，则 m
的是
A .
3
B .
1
C . 1
则以点M 为圆心，半径长为 1的圆的方程是 2 2 2 2
A . (x 1) (y 2) 1
B . (x 1) (y 2) 1
C . (x
2)2 (y 1)2
1
D . (x
2)2 (y 1)2
1
10.某社区有300户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年
每月的用水量（单位：t ）进行分析，得到这 些住户月均用水量的频率分布直方图
（如
图4）,由此可以估计该社区居民月均用水 量在
［4, 6）的住户数为
A . 50
B . 80
C . 120
D . 150
填空题：本大题共 5小题，每小题 11.若 sin 5cos ，贝U tan A • (1,1) B • ( 3, 1) C . (0,5) D • (5,1)
7.已知向量
Ta
(1,m) , b (3,1),
8.已知函数y
x(x a ）的图象如图3所示，则不等式 x(x a) A . {x|0 x 2}
B . {x|0 x 2}
C . {x|x 0或x 2}
D .
{x|x
0或x 2}
9.已知两直线x 2y
0和x y 3
0的交点为M ，
4分，满分2, 0分.
0的解集为
13.已知幕函数y x ( 为常数)的图象经过点A(4,2)，则
1 14. 在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c .若a 2, b 3 , cosC -，则
4
c _______ .
15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，并
对数据进行分析，得到加工时间y (min) 与零件数x (个)的回归方程为y 0.67x 51 .由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为____________
三、解答题：本大题共5小题，满分40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16. (本小题满分6分)
从一个装有3个红球A,,A2,A3和2个白球B1,B2的盒子中，随机取出2个球.
(1)用球的标号列出所有可能的取出结果；
(2)求取出的2个球都是红球的概率.
17. (本小题满分8分)
2
已知函数f (x) (sinx cosx) , x R
(1 )求f (—)的值；
4
(2)求f (x)的最小值，并写出f (x)取最小值时自变量x的集合.
⑶ 若不等式f(t 4x )
f (2x t)对任意x [1,2]恒成立，求实数的取值范围
18. (本小题满分8分)
已知等差数列｛a n ｝的公差d 2，且a , a 2 6 .
(1) 求 a ,及 a n ; (2)
若等比数列｛b n ｝满足bi a , , b 2 a 2,求数列｛a n b n ｝的前n 项的和S n
19. (本小题满分8分)
如图5,四棱锥P ABCD 的底面是边长为 2的菱形，PD 底面ABCD . (1) 求证：AC 平面PBD ； (2)
若PD 2，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45；，求四棱锥P ABCD 的 体积.
20. (本小题满分10分)
已知函数 f(x) log a x (a 0,且 a 1 )，且 f(3) 1
(1)求a 的值，并写出函数 f(x)的定义域；
⑵设g(x) f (1 x) f (1 x)，判断g(x)的奇偶性，并说明理由
;
2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案及评分标准
、选择题（每小题4分，满分40分）
3 所以，取出的2个球都是红球的概率为 .
10
17.【解析】f （x ） 1 2sin xcosx 1 sin2x .
⑴ W 1 sin 2 2
⑵ 当sin2x 1时，f （x ）的最小值为0,此时2x
4
所以f (x)取最小值时x 的集合为{x| x - k ,k Z}.
…… 8分
4
18. 【解析】(1)由印a 2 6，得2a 1 d 6.又d 2，所以a 1 2,…2分
故 a n
2 2(
n 1
) 2
n .
……4 分
(2)依题意，得 b 2,b 2 2q 4，即 q 2，所以 b n 2n .于是 a n b n 2n 2n
故 S n (2 4
2n) (2 22
2n ) n 2 n 2n 1 2. ........................ 8 分
19. 【解析】(1)因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD . 又因为PD 底面ABCD , AC 平面
ABCD ，所以PD AC . 故AC 平面PBD . ……4分 (2)因为PD 底面ABCD ，所以 a
PBD 是直线PB 与平面 A BCD 所成的角.
于是 PBD
45,，因此BD PD 2，又 AB AD
2，所以菱形ABCD 的面
积为 S AB AD sin 60： 2 ;'3.
故四棱锥P
ABCD 的体积V
1 4丁3
S PD . ……8分
3 3
20.【解析】（1） 由 f (3) 1，得 lOg a 3 1
,所以a 3 .
..... 2分
1. C
2. A
3. B
4. D
5. C
6. A
7. A 8. B
9. D
10. C
二、填空题（每小题4分, 满分20分） 11. 5
12. 3
1 13.
14.
2
15. 118
三、解答题（满分40分）
16.【解析】（1）所有可能的取出结果共有
A
2
Bl ， A 2 B 2， A 3
B
1
， A 3
B
2
， B 1B 2 .
（2）取出的2个球都是红球的基本事件共有 10个: A 1A 2， A A 3
，A3 ，A B
2， A 2 A 3 ，
3分
3 个: A 1A 2， A 1A 3， A 2A 3 .
2k ，即
2
x - k (k Z)
函数f(x) log 3x 的定义域为(0,).
……4分
(2) g(x) log 3(1 x) log 3(1 x)，定义域为(1,1).
因为g( x) log 3(1 x) log 3(1 x) g(x)，所以g(x)是奇函数.……7分 (3)因为函数f(x) log 3x 在(0,)上是增函数，所以•不等式f(t 4x ) f (2x t)
对任意x [1,2]恒成立，等价于不等式组
t 4x 0, (i)
2x t 0, (ii)对任意x [1,2]恒成立.
t 4x
2x t. (iii)
5
区间［2,4］上的最小值为-
2
2
的最大值为2
，依题意，得
1 5
2x
x
由(i)得t 0;由(ii)得t 2 ,依题意得t 2；由(iii )得t
2x 4^
2x 令 u 2x ，则 u [2,4].易知 y u
丄 在区间［2,4］上是增函
数,
u 所以y
1_ "T . u -在
u 综上所述，t 的取值范围为
2.
10分
2x
，故。