实验三定态薛定谔方程的矩阵解法

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薛定谔方程组及其解法

薛定谔方程组及其解法薛定谔方程组（Schrodinger Equation）是量子力学的基础方程之一，描述了量子系统的波动性质和粒子运动的规律。

在量子力学发展的过程中，人们通过不断地尝试和探索，发现了各种各样的解法，使得该方程的应用范围越来越广，成为了现代物理学的重要工具之一。

1. 薛定谔方程组及其含义薛定谔方程组最初是由奥地利物理学家薛定谔（Erwin Schrodinger）于1926年提出的，他通过研究光谱现象，认为物理系统的运动可以用波函数来描述。

而波函数则可以通过一个方程来求解，这个方程就是薛定谔方程组。

薛定谔方程组描述了微观粒子的运动规律和波动性质，用于计算微观尺度下的物理量，如粒子的位置、速度、动量、能量等。

方程中的波函数可以归一化，即保证粒子存在的概率为1。

因此，波函数可以被解释为一个粒子的存在概率密度。

2. 薛定谔方程组的解法薛定谔方程组的解法主要基于两种方法：定态微扰理论和变分法。

定态微扰理论是通过在原方程中加入微小扰动项，逐步展开波函数的级数，来求得精确的解。

而变分法则通过尝试不同的波函数形式来寻找最优解，从而得到薛定谔方程组的解。

此外，还有一些基于计算机算法的数值解法应用于薛定谔方程组，如有限元方法、有限差分法和网格方法等。

3. 应用范围和意义薛定谔方程组的应用范围非常广泛，涉及到各种物理现象和工程问题。

在纳米技术领域，薛定谔方程组可以用于描述纳米材料的电子结构和催化反应的机理，从而辅助设计新型材料和开发高效催化剂。

在化学领域，薛定谔方程组可以用于计算化学反应的机理和产物的构成，帮助人们预测化学反应过程和控制反应的产物。

在固态物理学中，薛定谔方程组可以用来解释材料的电、光、热、声等性质，帮助人们研发新型的半导体材料和纳米电子器件。

总之，薛定谔方程组在物理学、化学、材料学等领域有着广泛的应用和重要的意义，对推动人类社会的发展发挥着重要的作用。

薛定谔方程的含义和求解方法

薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。

本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。

一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。

该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。

薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。

Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。

薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。

通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。

二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。

但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。

1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。

例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。

对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。

然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。

因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。

2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。

变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。

微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。

3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。

这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。

数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。

但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。

总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。

通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。

第三章_某些定态体系薛定谔方程的解

决
定
轨道角动量
大
小轨道磁矩
uB 9.2741024 J T 1 玻尔磁子
例:Li2+激发态2p1,l =1,电子轨道角动量大小为
。
③ m — 磁量子数
电子所在的轨道
m = 0, 1, 2, l
(2 l+1个可能的取值 )
决
定
轨道角动量在z 轴的分量 M lz m
轨道磁矩在z轴的分量 ulz mu B
有关，故每项只有分别为常数才能成立。
设三项分别为 Ex , Ey , Ez , 则:
(1)
(2)
(3)(1),(2)Fra bibliotek(3) 形式类似，有类似的解 . 方程(1)有如下通解:
结合边界条件，以及归一化条件
可得:
综上，方盒中的自由质点的运动状态及其能量为：
1.一维势箱的自由质点
其解为：
Ψ0，n 0
2

3. R(r)方程的解
n l 1 整数 E 13.6 Z 2 (eV )
n2
联属拉盖尔方程
2Zr
na0
拉盖尔函数
显然，Rn,l ( r )为实函数, 具有指数函数的形式。
R(r) 函数中
项决定 n 值.
R1,0
(r)

2(
Z a0
)
3 2

e
Zr a0
R2,0 (r)

中，10个电子的体系的多重度。
解：在该势场中，能级如下，
Enx ,ny

nx2h2 8ma2

n 2y h 2 8mb2

nx2h2 32mb2

n 2y h 2 8mb2

求解薛定谔方程的一般步骤

求解薛定谔方程的一般步骤嘿，朋友们！今天咱就来唠唠求解薛定谔方程的那些事儿。

你说这薛定谔方程啊，就像是一个神秘的宝藏盒子，咱得想办法打开它，找到里面的宝贝。

那怎么打开呢？咱先得有那个决心和勇气，就像你要去攀登一座高峰，不能还没开始就打退堂鼓了呀！然后呢，得了解这个方程到底是啥样儿的。

它可不是随随便便就能搞定的，就像一道特别难的谜题。

接下来，你得掌握一些工具和方法。

这就好比你去开锁，你得有合适的钥匙或者工具吧。

对于薛定谔方程，那就是各种数学知识和物理概念啦。

你得把这些东西玩转了，才能试着去解开这个方程。

比如说，你得熟悉那些波函数啊，能量啊之类的概念。

这就好像你要认识一个新朋友，你得知道他的喜好、性格啥的，才能更好地跟他相处嘛。

然后呢，你就得开始动手啦！一步一步地去推导，去计算。

这过程可不容易哦，就像在黑暗中摸索，有时候可能会觉得迷茫，不知道自己走得对不对。

但别灰心呀，这都是正常的。

你想想看，要是那么容易就解开了，那还叫什么难题呢？在这个过程中，可能会遇到很多困难和挫折，但咱不能怕呀！就像走路会摔跤一样，摔了咱爬起来继续走呗。

而且哦，多尝试几次，说不定就突然找到灵感了呢。

这就跟你找东西似的，找半天找不到，突然一下子就看到它在那儿了。

当你慢慢接近答案的时候，那种兴奋感，哎呀，真的是无法形容！就好像你终于找到了宝藏的入口，那种激动的心情，只有经历过的人才懂。

总之呢，求解薛定谔方程可不是一件容易的事儿，但也不是不可能完成的任务。

只要咱有决心，有耐心，有方法，就一定能慢慢地解开这个神秘的谜题。

别害怕失败，别害怕困难，大胆地去尝试吧！就像那句话说的，世上无难事，只怕有心人。

咱就朝着那个目标，一步一个脚印地前进，相信总有一天，能真正理解和掌握这个神奇的薛定谔方程！。

高中奥赛---薛定谔方程及其求解方法

E t / 2
不确定关系的数学表示与物理意义
1927年，海森堡首先推导出不确定关系：： x表示粒子在x方向上的位置的不确 x px / 2 定范围，px表示在x方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数。
t E 2
h 2
若一个粒子的能量状态是完全确定的，即E=0 ，则粒子停留在该态的时间为无限长， t= 。
y( x, t ) A cos2 nt l
y( x, t ) Ae
x i 2 nt l
2、自由粒子的波函数
一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率和波长：
n E/h
波函数可以写成
l h/ p
i 2 nt x / l
为归一化常数11精品文档第n激发态的概率密度有n1个极大值波函数和概率密度如图315和图316精品文档精品文档精品文档精品文档331力学量的平均值33量子力学中的力学量当测量粒子的位置的时候每次所得结果可能是不同的但其概率密度分布是正确的也就是位置的平均值是确定的如粒子的位置坐标改成以下由归一化后的我们可求出在空间处发现粒子的平均值为的概率密度为dx361势能函数是粒子位置坐标的函数势能的平均值362精品文档下面来求动量的分量的平均值但是在量子力学中根据不确定关系动量不可能是坐标的函数
h 6.625 1034 l 2.0 1010 m mv 1.67 10 27 2.0 103
(3) 动能为 1.6 107 J 的电子 1 P2 E K mv 2 2 2m
P 2mEK
h l3 P h 2mE K 1.2 1010 m
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）

定态薛定谔方程

n
2a
x,
0
n为偶数 x a xa
利用sin( ) sin cos cos sin
sin n (x a) sin( n x n )
2a
2a 2
sin n x cos n cos n x sin n
2a
2
2a
2
s c
in n
2a
os n
x， x，
2a
n为偶数 n为奇数
∴势阱中波函数可写为
i [ (r) f (t)] [ 2 2 U (r)] (r) f (t)
t
2
两边同时除以 (r,t) (r) f (t)
i
1 f (t)
t
f (t)
1 (r)
[
2
2
2
U (r)] (r)
上式两边各有不同的变量 t, r ，它们是独立
变化的，要使上式对任意的变量 t, r 都成立，
两边必须等于一个常数，设常数为E，则
dx 2
通解为 (x) Asin(x) B cos(x)
由波函数的连续性和边界条件确定A、B （1）当x＝a时
(x) 0 Asina B cosa 0
（2）当x＝－a时，
(x) 0 Asina B cosa 0
两式相加及相减，得到
Asina 0 B cosa 0
A.B不能同时为零，否则为零解。解有两组
Ae e
（5）
（5）式中E有明确的物理意义，是粒子能量。而（4）式中E是作为常数引入的，对比两式，发现此常数E应是粒子的能量，这个常数是不随时间改变的。
综上：作用于粒子上的力场不随时间改变，即体系的哈密顿量H不显含时间， U U (r)

薛定谔方程的求解过程

薛定谔方程的求解过程
薛定谔方程是量子力学中描述粒子运动的基本方程之一。

它描述的是粒子在势场中的运动状态，即波函数随时间的演化。

薛定谔方程的求解过程是量子力学中的一个重要内容，也是理解量子力学的基础。

薛定谔方程的求解过程通常分为两个步骤：首先是确定问题的边界条件和势能函数，然后再用合适的数学方法求解方程。

在实际应用中，求解薛定谔方程的难度通常取决于势能函数的形式和边界条件的复杂程度。

一般来说，薛定谔方程的求解可以采用分离变量法、变换法、微扰法、数值计算法等多种方法。

其中，分离变量法是最常用的求解方法之一，它将波函数表示为空间和时间的乘积形式，然后通过分离变量的方式将薛定谔方程转化为两个独立的方程，进而求解。

除了分离变量法以外，变换法也是一种经典的求解薛定谔方程的方法。

变换法通过对薛定谔方程进行变换，将其转化为另一种更容易求解的形式，然后再进行求解。

微扰法是一种基于微小势场对波函数的影响进行分析的方法，它适用于势能函数比较复杂或难以精确求解的情况。

微扰法通过将势能函数分解为一个小的扰动和一个已知的精确解，然后将扰动的作用逐步放大，逐步求解波函数。

数值计算法主要适用于比较复杂的势场和边界条件情况下的求解。

数值计算法通过将薛定谔方程转化为一个矩阵方程，然后采用数值方法求解矩阵方程，进而得到波函数的数值解。

总之，求解薛定谔方程是量子力学中的一个核心问题。

合适的求解方法取决于具体的问题情况和求解的精度要求。

通过对薛定谔方程的求解，我们能够深入理解量子力学的基本概念和原理，进而应用于各种实际问题的研究中。

三维氢原子定态薛定谔方程的求解

∇2ψ+2m ℏ2(E +e 24πε01r)ψ=0 嗯，这个方程普普通通，在数学家眼中也就是一个二阶三元变系数偏微分方程，也就是说求解比较麻烦（事实上是相当麻烦！），仅此而已。

但是，若说这个方程是整个量子力学的核心，恐怕没有人会对之产生景仰之情。

原因是非常简单的——方程的形式，至少和矩阵力学相比，非常简洁。

海森堡矩阵的成功让我们相信，量子力学的核心应当是需要通过彻底改变描述原子体系所用的数学工具并展开极为复杂的数学运算最终形成的；这个不起眼的、原始形式非常简洁的、没有任何数学创新的方程——尽管是很难解的方程——看来不像是具有为神秘的量子力学所专美的气质。

尽管如此，处于对薛定谔焦头烂额三个星期的工作的尊重，我们还是不胜其烦地先把这个方程解出来再说，看看方程里头到底有什么东西值得我们汲取。

不过，动手之前先要做好两个准备工作，首先就是，∇2是什么？自然，它的名字我们很熟悉——这玩意儿叫做拉普拉斯算符。

但关键的问题是，拉普拉斯算符长什么样子？按照数学分析的场论部分，拉普拉斯算符的空间直角坐标系下的形式为：∇2=ð2ðx 2+ð2ðy 2+ð2ðz 2 但是，由于氢原子大约是一个类似于球状的客观存在的物体（事实上一谈到“原子”，我们的头脑中就浮现出一个匀质的球体，这是很自然的假设，也将被初步证明是正确的），因此，最好把算符取为极坐标的形式：∇2=1r 2ððr (r 2ððr )+1r 2sinθððθ(sinθððθ)+1r 2sin 2θð2ðφ2我已经可以想象，特别热衷于数学的读者们一定会问，这两者是如何互推的？可是，由于推导实在太烦琐，我不准备在正文里描述，而把它挪到文后的附注里去；另外由于推导三元的形式实在太繁琐了，我只以二元的为例进行推导，三元和它是完全类似的。

薛定谔方程的矩阵化求解

绍的几种类型以外，鲜有能解析求解。对于一般的
情况，个行之有效的办法是将微分方程转化为矩一阵方程，运用矩阵代数求解。矩阵化有两种途径，一是以已知的正交波函数为基展开，一是以差分代另替微分，离散格点上构造哈密顿量对应的矩阵。在前一种是适用微扰，且零级波函数较容易得到的并情况。后一种则没有这种限制，不仅是对微分方它
我们先介绍一维系统的处理，仅仅因为一维不系统最简单，而且它是解决高维问题的基础。考虑
一
个电子在一维势Ｕ—Ｕ（）ｘ中运动，薛定谔方程为
Ｉ￣一一１－ｔ１＋Ｕ（一Ｅ，ｚ）（）１
其中，ｈ和ｍ分别为２兀分之普朗克常数和电子的质量（晶体中应理解为有效质量）在。除了极特殊的
起来却让很多新进入相关领域的研究者们头疼不已。我们本篇文章的目的就是要使那些有这种需要，又不想在浩如烟海的书籍和文献之中去查找而有助于自己研究的一些零散知识的研究人员一个起
பைடு நூலகம்
方程转换为离散方程，函数只在这些离散格点上波
哈密顿矩阵之间的关系进行讨论。我们对二维格子上的薛定谔方程举出一个计算实例，对计算结果进行了细致的分析。对
由矩阵规模的扩大引发计算上的实际困难，们也进行了讨论并给出了解决的方法。我

三阶薛定谔方程

三阶薛定谔方程三阶薛定谔方程是量子力学中描述波函数演化的方程之一。

它是薛定谔方程的一个一般化形式，用于描述三维空间中的粒子的运动。

本文将介绍三阶薛定谔方程的基本概念和应用。

我们先回顾一下薛定谔方程的基本形式。

薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了粒子的波函数随时间的演化。

它可以写成如下的形式：\[i\hbar\frac{{\partial \Psi}}{{\partial t}} = \hat{H}\Psi\]其中，$\Psi$ 是波函数，$\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\hbar$ 是约化普朗克常数。

三阶薛定谔方程是在三维空间中描述粒子的运动时使用的方程。

它的一般形式可以写成如下的形式：\[i\hbar\frac{{\partial \Psi}}{{\partial t}} = \left(-\frac{{\hbar^2}}{{2m}}\nabla^2 + V(\mathbf{r})\right)\Psi\]其中，$\nabla^2$ 是拉普拉斯算符，$\mathbf{r}$ 是位置矢量，$V(\mathbf{r})$ 是势能函数。

三阶薛定谔方程描述了波函数随时间和位置的演化。

它的解可以给出粒子在三维空间中的概率分布。

通过求解三阶薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同位置和时间的波函数，从而了解粒子的行为和性质。

三阶薛定谔方程的求解可以通过数值方法或者近似方法来进行。

数值方法包括有限差分法、有限元法等，可以通过离散化方程来进行求解。

近似方法包括微扰法、变分法等，可以通过近似波函数来进行求解。

三阶薛定谔方程在量子力学的研究中有着重要的应用。

它可以用来描述原子、分子以及凝聚态物质中的粒子的行为。

通过求解三阶薛定谔方程，我们可以计算出粒子的能级、波函数和概率分布等信息，从而揭示物质的微观性质。

除了在理论研究中的应用，三阶薛定谔方程还可以应用于实际问题的求解。

例如，在量子化学中，三阶薛定谔方程可以用来研究分子的电子结构和化学反应。

薛定谔方程的解

薛定谔方程的解薛定谔方程是物理学中最重要的方程之一，它可以描述粒子的行为，广泛应用于计算和解释原子核物理，量子电动力学，超导等领域。

这个方程的解也被认为是物理学的挑战，直到20世纪90年代，它才得到了一种有效的解法。

薛定谔方程可以分为两个部分：粒子能量和粒子矩阵。

前者可以定义粒子的能量，而后者可以描述粒子的位置和运动。

方程的具体形式为：粒子能量部分：每个粒子的能量即其能量值 E，由于粒子受数值介质影响，其能量值会随时间发生变化。

粒子矩阵部分：每个粒子在空间中的位置由一个3维向量 (x1, x2, x3)表示，其运动由一个3维的旋转矩阵 (a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33)表示。

薛定谔方程要求解的问题是：在给定的粒子能量 E粒子矩阵情况下，求出该粒子在空间中的位置 (x1, x2, x3)，以及它的运动状态 (a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33)。

20世纪90年代，代数学家 Michael Artin数学家 Pierre Deligne总结了解薛定谔方程的数学方法，这称为“Artin-Deligne 法”。

它的基本思想是通过计算矩阵中的系数，从而获得粒子的位置，再利用位置信息求出粒子运动状态。

此外，Artin-Deligne方法用到了一个关键的概念模量，可以将复杂的数学问题转换为简单的计算问题，大大降低了计算成本。

除了Artin-Deligne方法之外，还有其他的方法可以解决薛定谔方程。

例如，可以利用集合论的方法，将薛定谔方程转化为一个多元函数方程组，从而解出解析解。

另外，也可以利用数值求解法，即用计算机通过迭代算法，不断调整矩阵中的系数，直到位置和运动状态符合薛定谔方程的要求。

总之，只要有合适的数学工具，就可以解决薛定谔方程。

不仅如此，薛定谔方程也为物理学的研究提供了重要的基础，给科学家和工程师提供了一种有效的解法，以此来提高科学技术的水平，促进人类社会的发展。

定态薛定谔方程的推导思路

定态薛定谔方程的推导思路定态薛定谔方程是研究量子力学中的一个重要方程，它描述了系统的波函数在能量不变的情况下的演化规律。

它的推导思路始于薛定谔对粒子的波动性质的观察和研究，并采用了哈密顿力学和能量守恒等基本原理。

下面将详细介绍定态薛定谔方程的推导思路。

一、波动粒子的现象观察薛定谔最初的研究是针对电子的波动性质的观察。

他发现电子有时表现出粒子的行为，有时展现出波动的行为，这引起了他的极大兴趣。

他认为，粒子的运动受到波的干涉和衍射等影响，在波峰和波谷的位置出现不同的概率密度，从而导致电子的位置变化不确定。

二、波函数的定义和性质为了描述一个波动粒子的状态，薛定谔引入了波函数的概念。

波函数是一个数学函数，它描述了波动粒子状态的全部信息，包括位置、动量、角动量等。

波函数的幅度被解释为粒子在某一位置的概率密度。

波函数的数学性质是非常重要的。

波函数必须是单值、连续、可微、有限的。

此外，波函数必须满足归一化条件，即在整个空间积分为1。

这是由于粒子的存在性质所决定的。

三、哈密顿力学的应用在经典力学中，哈密顿力学是用于描述动力学系统的一个重要理论框架。

薛定谔将哈密顿力学引入到量子力学中，以研究波动粒子的行为。

薛定谔发现，波函数的演化规律可以由哈密顿力学的基本原理来描述。

在哈密顿力学中，系统的状态由位置和动量构成，由哈密顿量描述。

波函数的演化取决于哈密顿量的特性。

四、能量守恒的原理薛定谔推导定态薛定谔方程的一个关键原理是能量守恒。

在量子力学中，粒子的能量是离散的，只能取特定的值。

因此，在描述系统演化的过程中，粒子的能量必须保持不变。

五、定态薛定谔方程的推导定态薛定谔方程的推导基于上述原理和思路。

我们首先根据哈密顿量的特性，得到系统的薛定谔方程：iℏ(∂Ψ/∂t)=HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是普朗克常数，H是哈密顿量，Ψ是波函数。

对于定态系统，波函数不随时间变化，因此假设波函数具有如下形式：Ψ(x)=φ(x)exp(-iEt/ℏ)其中，E是系统的总能量，t是时间。

薛定谔方程求解步骤

薛定谔方程求解步骤薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述量子力学中粒子运动的基本方程。

它的求解可以得到粒子的能量和波函数，从而揭示出粒子在各种势场中的性质。

下面将介绍薛定谔方程的求解步骤。

1. 建立薛定谔方程薛定谔方程的一般形式为：$$ \\hat{H} \\psi = E \\psi $$其中，$\\hat{H}$ 表示哈密顿算符，$\\psi$ 是粒子的波函数，E是粒子的能量。

2. 利用哈密顿算符哈密顿算符可以根据具体情况而定，对不同的系统具有不同的形式。

例如，对自由粒子，将动能算符代入哈密顿算符中，可以得到：$$ \\hat{H} = -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \ abla^2 $$其中，$\\hbar$ 是约化普朗克常数，m是粒子的质量，abla2是拉普拉斯算符。

3. 将波函数代入薛定谔方程将波函数 $\\psi$ 带入薛定谔方程中，得到：$$ -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \ abla^2 \\psi = E \\psi $$4. 分离变量为了求解上述薛定谔方程，通常采用分离变量的方法。

假设波函数可以表示为：$$ \\psi(x, y, z) = X(x) \\cdot Y(y) \\cdot Z(z) $$将分离变量的结果代入薛定谔方程中，得到：$$ -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \\left (\\frac{1}{X}\\frac{{d}^2X}{{d}x^2} +\\frac{1}{Y}\\frac{{d}^2Y}{{d}y^2} + \\frac{1}{Z}\\frac{{d}^2Z}{{d}z^2} \\right ) = E $$5. 将方程化简为一系列互相独立的微分方程由于上式左侧的每一项只涉及一个独立变量，而右侧的E是常数，因此左侧和右侧的各项必须都等于同一个常数，称为分离常数。

假设该常数为k，则上述薛定谔方程可以分解为三个独立的微分方程：$$ \\frac{1}{X}\\frac{{d}^2X}{{d}x^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} \\\\\\frac{1}{Y}\\frac{{d}^2Y}{{d}y^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} \\\\\\frac{1}{Z}\\frac{{d}^2Z}{{d}z^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} $$ 解这些微分方程可以得到每个方向上的波函数和能量。

量子力学-第二章-定态薛定谔方程

cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx
n
m

e e c c iEnt / iEmt / * nm
nm
n
m

cn*cn
c2 n
n
n
从上面两个式子可以看出，
c2 n
具有几率的概念，当对
(x,t) 测量能量时，测到 En
的几率是
c2 n
也可以说体系
是部分地处于1, 2,...n ,... 态，各个态出现的几率分别是
因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
（三）求解定态问题的步骤
（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关
n
(r ,
t
)

nn
[ n exp( iEnt / )][ n exp( iEnt / )]

n
n
(erx)p(inE(rn)t
/
)
n
exp(iEnt
/
)
（2）几率流密度与时间无关
Jn(r , t)

e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x)
H
m ( x)dx
n
m

e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x

定态薛定谔方程的matlab求解(一)

定态薛定谔方程的MATLAB求解(一)利用矩阵法对定态薛定谔方程的MATLAB求解摘要：本文首先对薛定谔方程的提出及发展做了一个简单介绍。

然后，以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例，详细介绍了矩阵法求解薛定谔方程的过程及公式推导。

最后，通过MATLAB编程仿真实现了求解结果。

关键词：定态薛定谔方程求解矩阵法MATLAB仿真薛定谔方程简介1.1背景资料薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

其仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。

当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

薛定谔方程建立于1926年。

它是一个非相对论的波动方程。

它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。

设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V （r，t）中运动的薛定谔方程为在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。

由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。

当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。

定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。

量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。

薛定谔方程揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，被广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子

本节首先讨论波函数的标准条件，然后利用
（1）定态薛定谔方程；（2）波函数归一化条件；（3）波函数的标准条件；
一维无限深势阱中运动的粒子与线性谐振子的能级和波函数。
最后介绍 “一维束缚定态的无简并定理”
1.5.1 波函数的标准条件
波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概率波的振幅。在数学上应满足：
用波函数标准条件和归一化条件求解上述势场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 3. 有波函数标准条件确定参数k； 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 5. 由参数k得粒子的能量E；
6. 解的物理意义。
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
薛定谔方程的解题步骤： 1.引入参数简化方程
ax,a
2 d d d d d 2 2 d a , 2 a dx d dx d dx d 2
引人 2 E 则，定态薛定谔方程可化为
- 0
E0
1 0 2
（4）线性谐振子的能级是无简并的；
（5）谐振子波函数的宇称为 - 1
n
n
由（1.5.30）式可得， n 1 1 n x ，可见波函数 n x 的奇偶性由n决定，通常称谐振子 n 波函数 n x 的宇称为 - 1
（6）与经典谐振子的比较
一般情况下束缚态的能谱为离散谱
（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现
2 2 E1 0 2 2 a
在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确定的坐标值和动量为零。
在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。
能级分别不均匀。（3）激发态的能级 En与n 成正比，

量子物理第3讲——薛定谔方程定态薛定谔方程一维无限深势阱一维有限高势垒

a
a2
能K量量子2m化E：E/ n2nn22/m2aa,22 . n 1,2,3,... 12
粒子的动量：
Pn
2mEn

n
a

K
.
粒子的德布罗意波长：
n

h Pn

2a
/
n

2
/
K
.
粒子的能量、动量、德布罗意波长 ( 及频率 )
均是量子化的。其中最小能量和最小动量皆不为零，
其中 2m(V 0 E) / 2 .
当 x 0时 B 0, 当 x L 时C 0. 19
Cex , x 0 ;
(x) Acos(kx ) , 0 x L ;
Bex , x L.
k 2mE / 2 , 2m(V 0 E) / 2.
电子，当 E 1eV , V 0 2eV ,
o
a 2 A时 , T 0.51;
o
a 5A时 , T 0.006
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现 16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏” 17
例：质量为 m的粒子处于一维
对称势场
V (x)
0 , 0 x L;

0, ,
x
a/2 a /
x a/2； 2, x a / 2
.
a/2 0 a/2 X
势壁无限高，阱内的粒子不可越出阱外：
( a) 0, (a) 0.
2
2
阱内 (a / 2 x a / 2) , 定态薛定谔方程：
d 2 (x) 2m E (x) 0 .

量子力学中的薛定谔方程求解方法

量子力学中的薛定谔方程求解方法量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学科，而薛定谔方程则是量子力学的基础方程之一。

薛定谔方程描述了微观粒子在各种势场中的运动规律，是解决量子力学问题的重要工具。

本文将探讨薛定谔方程的求解方法，包括定态薛定谔方程和时间相关薛定谔方程的求解。

首先，我们来讨论定态薛定谔方程的求解方法。

定态薛定谔方程描述了系统的能量本征态和能量本征值。

对于一维势场，定态薛定谔方程可以写成如下形式：$$\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$$其中，$\hat{H}$是哈密顿算符，$\psi(x)$是波函数，$E$是能量本征值。

对于特定的势场，我们可以通过求解这个方程得到系统的能量本征值和能量本征态。

常见的求解方法有分离变量法、近似方法和数值计算方法。

分离变量法是求解定态薛定谔方程的一种常用方法。

该方法基于波函数的可分离性假设，即$\psi(x) = X(x)Y(y)Z(z)$，将多维问题分解为一维问题。

通过将方程进行分离变量，并利用边界条件，可以得到一系列的一维薛定谔方程。

这些方程可以通过解析或数值方法求解，得到系统的能量本征值和能量本征态。

近似方法是另一种常用的求解定态薛定谔方程的方法。

当势场复杂或无法直接求解时，可以采用近似方法来求解。

常见的近似方法有微扰法和变分法。

微扰法是将复杂势场分解为简单势场，然后通过对简单势场求解薛定谔方程的精确解，再加入微扰项进行修正。

变分法是通过选择适当的波函数形式，并通过变分原理来求解薛定谔方程。

这些近似方法在实际问题中得到了广泛应用，为求解复杂系统提供了有效的工具。

除了定态薛定谔方程，时间相关薛定谔方程也是量子力学中重要的方程。

时间相关薛定谔方程描述了系统随时间演化的规律。

对于定态问题，可以通过将时间相关薛定谔方程分解为定态薛定谔方程的线性组合来求解。

但对于时间相关问题，需要采用更加复杂的方法。

数值计算方法是求解时间相关薛定谔方程的一种常用方法。

三维薛定谔方程

三维薛定谔方程
三维薛定谔方程解释如下：波函数是一个和时间有关的函数，所以每一个时刻都有一个函数图像，所以完整的波函数图像是把每个时刻的函数图像都画出来，然后串起来。

上面只给了t=1、t=2、t=3时刻的函数图，其中x是粒子的位置，y的物理函数我上一期故意不说。

同时你也要注意，这个函数图像是一个三维的图像，相当于是一个线圈在不断围绕x轴旋转，中间部位比较胖，两端部位比较瘦。

之所以是三维图像，因为x是实数可以用一维的数轴表示，但是y是复数必须用二维的平面表示，所以合并出来的函数图像就是三维。

所以薛定谔方程，求解出来的波函数，其实就是可以用来预测一个粒子将来出现的位置，只不过预测的结果永远只能这样表达：在t=2时，粒子在x=5这个位置出现的概率是43%，预测时需要把t 和x确定，然后就能计算出y，也就是计算出概率值。