圆锥曲线定义、标准方程及性质(精)

圆锥曲线定义、标准方程及性质

一．椭圆

定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0

标准方程：

12

2

22=+b y a x )0(>>b a

取值范围：}{a x a x ≤≤-，

}{b y b x ≤≤-

长轴长=a 2，短轴长=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦半径：)(21c a x e PF +=，)(2

2x c

a e PF -=，212PF a PF -=，c

a PF c a +≤≤-1等（注意：涉及焦半径时①用点P 坐标表示，②第一定义，第二定义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +=

=等等。顶点与

准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。

（2）21F PF ∆中经常利用余弦定理．．．．、三角形面．．．．积公式．．．

将有关线段1PF 、2PF 、2c ，

有关角21PF F ∠结合起来，建立1

PF +2PF 、1

PF •

2PF 等关系

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩⎨

⎧θ

=θ

=sin cos b y a x ；

（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其相

应的性质。

二、双曲线

（一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。

（二）图形：

（三）性质

方程：12222=-b y a x )0,0(>>b a 122

22=-b

x a y )0,0(>>b a

取值范围：}{a x a x x ≤≥或；

实轴长=a 2，虚轴长=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦半径：

)

(2

1c

a x e PF +=，

)

(2

2x c

a e PF -=，a PF PF 221=-；

注意：（1）图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1

顶点到准线的距离：c a a c a a 22+-或；焦点到准线的距离：c

a c c a c 2

2+-或 两准线间的距离=c

a 2

2

（2）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：⇒=-02222b y a x x a

b

y ±=

若渐近线方程为x a

b

y ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x

若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x

（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）

（3）特别地当⇔=时b a 离心率2=

e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此

时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-2

2

y x ；

（4）注意21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，

将有关线段1

PF 、2PF 、2

1F F 和角结合起来。

（5）完成当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质。 三、抛物线

（一）定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。

（二）图形：

（三）性质：方程：

焦参数-->=p p px y ),0(,22；

焦点： )0,2

(

p

，通径p AB 2=； 准线： 2

p

x -=；

焦半径：,2p x CF += 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2

注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2

p

；焦点到准线的距离=p ；通径长=p 2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（2）抛物线px y 22

=上的动点可设为

P ),2(2

y p

y

或

或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中

考点一 求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

●典例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高20 m.

建立坐标系并写出该双曲线方程.

命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.

知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程。 错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键。 技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程。

解：如图，建立直角坐标系xOy ,使AA ′在x 轴上，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴.

设双曲线方程为

2

2

22b

y a x -=1(a ＞0,b ＞0),则a =21

AA ′=7 又设B (11,y 1),C (9,x 2)因为点B 、C 在双曲线上，所以有

179,171122

2

2222122=-=-b

y b y 由题意，知y 2－y 1=20,由以上三式得：y 1=－12,y 2=8,b =72

故双曲线方程为98

492

2y x -

=1. ［例2］过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为

2

2

的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =2

1

x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对

称，试求直线l 与椭圆C 的方程.

命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强.

知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.

错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.

技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理.

解法一：由e =22

=a c ,得212

22=-a

b a ,从而a 2=2b 2,

c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上.

则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,

.)

(2212

12121y y x x x x y y ++-=--

设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－

002y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=2

1

x 0,于是－002y x = －1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1.

右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),

⎩⎨

⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''

b y x b x y b

x y 11 122

1解得则 由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=

8

9

,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2

29

1698y x + =1,l 的方程为y =－x +1.

解法二：由e =21

,222

22=-=a

b a a

c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),