第二节表上作业法

按照上述方法所产生的一组变量的 取值将满足下面条件：
(1)所得的变量均为非负，且变量总
数恰好为 m + n – 1 个；
(2)所有的约束条件均得到满足； (3)所得的变量不构成闭回路。
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因此，根据定理3.1及其推论， 所得的解一定是运输问题的基本可 行解。
在上面的方法中，xij 的选取方
法并没有给予限制，若采取不同的
闭回路法的主要缺点是：当变量 个数较多时，寻找闭回路以及计算两方 面都会产生困难。
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2.位势法
位势：设对应基变量xij 的 m+n-1 个 ij ， 存在ui ,vj 满足 ui+vj=cij ，i=1,2 … ,m ; j=1,2 … ,n . 称这些 ui , vj 为该基本可行解对应的位势。
这个运输问题就转化成了一个产销平 衡的问题。
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2.运输问题求解 —表上作业法
例4.2:某公司从两个产地A1、A2 将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产
地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地每件物品的运费如下表所示， 问：应如何调运可使总运输费用最小？
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2.运输问题求解 —表上作业法
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
针）依次给各顶点标号；
（4）求=Min{xijxij对应闭回路上 的偶数标号格}= xpq那么确定xpq为出 基变量，为调整量；
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2.运输问题求解 —表上作业法
（5）对闭回路的各奇标号顶点调
整为：xij + ，对各偶标号顶点 调 整为：xij - ，特别 xpq - = 0， xpq变为非基变量。
规则来选取 xij ，则得到不同的方
法，较常用的方法有西北角法、最
小元素法和Vogel法。
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1、西北角法： 从西北角（左上角）格开始，在
格内的右下角标上允许取得的最大数。 然后按行（列）标下一格的数。若某 行（列）的产量（销量）已满足，则 把该行（列）的其他格划去。如此进 行下去，直至得到一个基本可行解。
xij 0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)（4-4） 38
2.运输问题求解 —表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
m
n
考虑i=1si > j=1dj 的运输问题，得到的数学模
型为
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2.运输问题求解 —表上作业法
2.运输问题求解 —表上作业法
只要在模型中的产量限制约束（后
n个不等式约束）中引入n个松弛变量 xmm+1j j = 1,2,…,n即可，变为： i=1xij+xm+1j=dj j=1,2,…m
然后，需设一个产地A m+1,它的销量为：
n
m
am+1= dj- si
j=1 i=1
46
2.运输问题求解 —表上作业法
19
可以证明，如果对闭回路的方向不 加区别（即只要起点及其他所有顶点完 全相同，而不区别行进方向），那么以 每一个非基变量为起始顶点的闭回路就 存在而且唯一。因此，对每一个非基变 量可以找到而且只能找到唯一的一个闭 回路。
表 4-10 中 用 虚 线 画 出 以 非 基 变 量
x22 为起始顶点的闭回路。
这里，松弛变量 x m+1j 可以视为 从产地 A m+1 运往销地 B j 的运输
从上面的讨论可以看出，当某个非 基变量增加一个单位时，有若干个基变 量的取值受其影响。
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这样，利用单位产品变化（运输的 单位费用）可计算出它们对目标函数的 综合影响，称这个综合影响为该非基变 量对应的检验数。
上面计算的两个非基变量的检验数
为 24 = -1，22 = 1。
闭回路方法原理就是通过寻找闭回路 来找到非基变量的检验数。
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2、最小元素法： 从运价最小的格开始，在格内
的右下角标上允许取得的最大数。然 后按运价从小到大顺序填数。若某行 （列）的产量（销量）已满足，则把 该行（列）的其他格划去。如此进行 下去，直至得到一个基本可行解。
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3、Vogel法： 从运价表上分别找出每行与每
列的最小的两个元素之差，再从差值 最大的行或列中找出最小运价确定供 需关系和供需数量。当产地或销地中 有一方数量上供应完毕或得到满足时， 划去运价表中对应的行或列，再重复 上述步骤。
mn
Min f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t.
j=1
xij
si
i = 1,2,…,m
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
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2.运输问题求解
—表上作业法
只要在模型中的产量限制约束（前m
个不等式约束）中引入m个松弛变量 xin+1 i= 1,2,…,m 即可，变为：
表4-11 初始基本可行解及检验数
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
11
3
10
[1] [2]
4
3
A2
1
9
2
8
3 [1]
1 [-1]
A3
7
4
10
5
[10]
6 [12]
3
销量
3
6
5
6
产量 7 4 9
20(产销平衡)
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显然，当所有非基变量的检验数 均大于或等于零时，现行的调运方案就 是最优方案，因为此时对现行方案作任 何调整都将导致总的运输费用增加。
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应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数
由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
17
ห้องสมุดไป่ตู้
1、闭回路法
以最小元素法给出的初始基本可行解方案
为例，考察初始方案的一个非基变量x24。 地品就x加为14运了必B1减送保根4须个少的1持据使单。个初产1位x如单始销个14，果位方平单或例现给案衡位如在，，x，B3改44产就第x减，1变地必3 1那少初增须A行么始加使21的的为方个x1运产了案23单个输品保，减位单是量持把少；位不就产A而，运必销12 如那平须的往个衡销增果么产单，
（1）选负检验数中最小者 rk，那 么 xrk 为主元，作为进基变量（P55页 图中 x24 ）;
（2）以 xrk 为起点找一条闭回路， 除 xrk 外其余顶点必须为基变量格
（P55页图中的回路）;
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2.运输问题求解 —表上作业法
（3）为闭回路的每一个顶点标号，
xrk 为 1，沿一个方向（顺时针或逆时
n
j=1xij+xin+1=si i=1,2,…m
然后，需设一个销地B n+1,它的销量为：
m
n
bn+1= si- dj
i=1 j=1
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2.运输问题求解 —表上作业法
这里，松弛变量 x i n+1 可以视为 从产地 A i 运往销地 B n+1 的运输量，
由于实际并不运送，它们的运费为
c i n+1 = 0 i = 1,2,…,m。于是，
三、求新的基本可行解
当非基变量的检验数出现负值时， 则表明当前的基本可行解不是最优解。
在这种情况下，应该对基本可行解 进行调整，即找到一个新的基本可行解 使目标函数值下降，这一过程通常称为 换基(或主元变换)过程。
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2.运输问题求解 —表上作业法
在运输问题的表上作业法中，换基的过 程是如下进行：
求量；
3
拥有(的3)量若全a部i 运= 走0，）则，划若去b对j 应= 的0
行（把 则划去
对应的列（把需要的量全部运来），且每
次只划去一行或一列（即每次要去掉且只
去掉一个约束）；
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法——表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
1
一、初始基本可行解的确定 根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找到
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表4-10 以非基变量 x22 为起始顶点的闭回路
销地
B1
B2
B3
B4
产地
产量
A1 A2 A3 销量
3
11
[] []
1
9
3 []
7
4
[]
6
3
6
3 4
2 1
10 []
5
10 3
8 []
5 3
6
7 4 9
20(产销平衡)
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可以计算出以非基变量 x22 为起
始顶点的闭回路调整使总的运输费用发 生的变化为 9 – 2 + 3 – 10 + 5 – 4 ＝ 1 即总的运费增加 1 个单位，这就说明 这个调整不能改善目标值。