【信号与系统(郑君里)课后答案】第三章习题解答

3-1 解题过程：
（1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）
f ( t ) = a +
+∞
cos ( n ω t
) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1
n 1 n =1
式中ω1 =
2π
，n 为正整数，T 1 为信号周期
T 1
1 t +T
（a ）直流分量
a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dt
T
1 t
2 t +T
（b ）余弦分量的幅度
a n = 0
∫ 1
f ( t ) cos ( n ω1t ) dt
T
1 t 0
2 t +T
（c ）正弦分量的幅度
b n = 0 ∫ 1
f ( t ) sin ( n ω1t ) dt
T 1 t
（2）指数形式的傅立叶级数
+∞
f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1t
n =
其中复数频谱
F n
= F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1
f ( t ) e − jn ω1
t dt T 1 t 0
F n =
1
( a n − jb n ) F − n = 1 ( a n + jb n ) 2 2
由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因而a 0 = a n = 0
4 T
b n = T ∫02
= 2E
π n
4
T
E
−2E
E
f (
t ) sin ( n ω t ) dt =
sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 − cos ( n π
2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1
n = 2, 4,
n = 1, 3,
所以，三角形式的 FS 为
2 E
1 1
2π f ( t ) =
sin ( ω1t ) +
sin ( 3ω1t ) +
sin ( 5ω1t ) +
ω1 =
π 3 5
T
指数形式的 FS 的系数为
1
n = 0, ±2, ±4,
F n = − jb n jE
=
2 n = 0,
−
± 1, ±3,
n π
1
所以，指数形式的 FS 为
f ( t ) = − jE π e
j ω1
t
+ πjE e − j ω1t − 3jE π e j 3ω1t + 3jE
π e − j 3ω1t +
3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =
π
τ E cos t u t
+ τ 2
求 f ( t ) 的傅立叶变换有如下两种方法。

解题过程：
方法一：用定义
F ( ω ) =
τ
π
− j ωt
2
τ E cos
t e
dt
∫
− τ
2
=
E
τ π π
∫
e
+ e
dt
j
−ω t
− j +ω t
2
2
E π τ
π
τ
E
π j −ω − j
−ω
− j
=
e τ 2 − e τ 2
−
e τ π π
2 j τ − ω
2 j
τ + ω
τ
τ
E cos
ω
E cos
ω
2 2 =
+
π − ω
π + ω
τ
τ
τω
2 E τ cos
2 =
ωτ
2
π 1 −
π
ω = 2π
1
T
τ
− u t −
2
τ
π
τ
+ ω
j
+ω
2 − e τ 2
方法二：用 FT 的性质和典型的 FT 对
f ( t ) = E cos π t u t + τ − u t − τ
τ 2 2
F ( ω ) E π τ
τ = F cos t F u t + − u t −
2π 2 2 τ
π
π π
其中 F cos t
= π δ ω + + δ ω − ， τ τ
τ
τ τ 2
ωτ
F u t + − u t − = sin 2 2
ω 2
代入 F ( ω ) = E
π
τ
τ
F cos
t
F u t +
− u t − 得
2π
τ
2
2
2
F (ω)=Eππ2ωτπ δω++ δω −sin
2πτω
τ2ω +
π
τω −
π
τ
ττ
sin sin
22
= E+
ππ
ω+ τω −τ
τω
2 Eτ cos
2
=π
ωτ 2 1 −
π
其频谱图如下图所示：
3-19 分析：本题意在说明：对于两频域信号，如果其幅频特性相同，但是相频特性不同则它们对应的时域信号是不一样的。

解题过程：
()(0 )(0 )()0(0 )(0 )（a）Fω= A uω +ω− uω −ω，ϕω=ω t uω +ω− uω−ω
(()(0 )(0 )
所以， Fω=Fωe jϕ(ω)=Ae jωt0uω +ω− uω −ω
先求 F1(ω)= u (ω+ω0)− u (ω−ω0)的FT： f1(t )
由 F Saωt=πuω +ω
c )− uω−ω
( c )ω
c
(( c )
3。