概率计算练习题

例2 掷一颗均匀的骰子，可能出现的点数记作N， 则N=1,2,3,4,5,6. N=1表示“出现的点数为1”; N=2表示“出现的点数为2”; …… N=6表示“出现的点数为6”. 例3 某电话总机在一天内接到呼叫次数用ξ表示，则 ξ的可能值为0,1,2,…… 例4 习题5-3 P1331. 例5 100件相同的产品中，有4件次品，96件正品 . (1)现从中任取一件，求取到的正品数X的分布律. (2)现从中任取五件，求取到的正品数X的分布律.
例1 袋中装有6个球，其中3个红球、2个黑球、1个 白球.从袋中任取一球，设事件：A={取出红球}， B={取出黑球}，C={取出白球}.根据古典概型可知
1 1 1 P( A) , P( B) , P(C ) , 2 3 6 为了便于讨论，把事件加以数量化，人为规定： X=1表示事件A发生，即P(X=1)=1/2; X=2表示事件B发生，即P(X=2)=1/3; X=3表示事件C发生，即P(X=3)=1/6. 注：X的取值是人为规定的，取法不唯一.
例11 已知某一类种子发芽的概率为0.96，现播种100 粒，求不发芽的种子数不少于4粒的概率.
例12 设连续型随机变量X的概率密度为
kx 2 , 0 x 2 f ( x) 0, 其它
求:(1)常数k;(2) P(1 X 1), P( X 3), P( X 0.5); (3)分布函数. 例13 设连续型随机变量X的分布函数为 F(x)=a+barctanx，-∞<x<+∞ 求:(1)常数a,b的值;(2) X的密度函数;(3) P(-1≤X≤1), P(X2>1).
例14 设某条公交线路每隔5分钟发一班车，某人来 到起点站之前并不知道发车的时刻表.求他等待时 间不超过2分钟的概率. 例15 设某电子元件使用寿命X(单位：h)服从参数 λ=1/1000的指数分布.求： (1)该电子元件使用1000h而不坏的概率； (2)在使用500h没坏的条件下，再使用1000h而不坏 的概率. 例16 设X~N(0,1),求下列各值： (1)P(X≤ 1);(2)P(X≤-1);(3)P(|X|≤1);(4)P(X<3.9) 例17 设X~N(1,4),求下列各值： (1)P(X<5.3);(2)P(0≤X<1.6);(3)P(X>1);(4)P(|X+1|≤2)
例6 设随机变量X的分布律为 P(X=k)=c(2/3)k,k=1,2,3 求：(1)c,(2)P(0≤X≤1),P(0.5<X<3),P(X<3),(3)X的分 布函数.
例7 设随机变量X的分布函数为
0, x 1 1 ,1 x 2 3 F ( x) 1 ,2 x 3 2 1, x 3
例18 设随机变量X~N(μ,σ2),则 P(|X-μ|<3σ)=99.7% , P(|X-μ|<2σ)=95.4%, P(|X-μ|<σ)=68.3%, “3σ”原则：把[μ- 3σ ,μ +3σ]看成X实际可能取值范围.
例19 由历史记录，某地区年总降雨量X~N(600,1502), （单位：mm）.求： (1)明年年降雨量在400mm~700mm之间的概率为多 少？ (2)明年年降雨量至少为300mm的概率为多少？
(3)正态分布 定义10 若连续型随机变量X的密度函数为 ( x )2 1 2 2 f ( x) e , x 2 其中μ,σ(σ>0)都是常数，则称X服从参数为μ,σ的正 态分布或高斯分布，记作X~N(μ,σ2).
正态分布的随机变量X的分布函数
1 F ( x) 2

x

( t )2 2 2

e
dt , x
特别地，当μ=0,σ=1时，称随机变量X服从标 准正态分布，记作X~N(0,1). x2 1 2 1 x t2 ( x) e , x ( x) e dt, x 2 2
2
习题5-3 1. 下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ 0, x 2 1 1 (1) F ( x) , 2 x 0 (2) F ( x) , x 2 1 x 2 1, x 0
15. 设某河每年的最高洪水水位X(单位:m)具有概率 2 密度 3 , x 1 计划修建的河堤要能防御百年一遇的洪水(即遇到 洪水而被破堤的概率不大于0.01).试问河堤需要修 多高？
求:(1)P(X≤1.5);(2)P(0.7<X≤2.6);(3)P(X>2.8);(4)X的 分布律.
Байду номын сангаас
例8 一射手对某一目标进行射击，一次命中的概率 为0.9. (1)求一次射击的分布律； (2)求击中目标为止所需射击次数的分布律. 例9 在一大批次品率为4%的产品中任取200件检查， 求其中至少有2件次品的概率. 分析：由于这批产品的件数很多，取走若干件可以 认为并不影响留下部分的次品率，所以认为抽样 是有放回的. 例10 电话交换台每分钟接到的呼唤次数X~P(3),求在 一分钟内呼唤次数不超过1的概率.
f ( x) x 0, 其他