《独立事件型概率题》参考答案

【湖南省历年高考试题】

（2008湖南16）甲,乙,丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试合格就一同签约,否则两人都不签约.设没人面试合格的概率都是

1

2

,且面试是否合格互不影响.求： （1）至少有1人面试合格的概率； （2）签约人数ξ的分布列和数学期望.

解析：（1）记“甲,乙,丙面试合格”分别为事件,,A B C ,则事件,,A B C 相互独立,且()P A =

()P B 1

().2

P C ==记至少有1人面试合格为事件D ,则至少有1人面试合格的概率()P D =

1()P ABC -3

17

1.28

⎛⎫=-= ⎪⎝⎭

（2）ξ的可能取值为0,1,2,3.

3

3

3

1113

(0)()()(),2228P P ABC P ABC P ABC ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3

3

3

1113

(1)()()(),2228P P ABC P ABC P ABC ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3

11(2)(),28P P ABC ξ⎛⎫==== ⎪⎝⎭3

11

(3)(),28

P P ABC ξ⎛⎫==== ⎪⎝⎭

的分布列为

数学期望123 1.888

E ξ=⨯+⨯+⨯=

【备考点津】独立事件型概率题是指分布列中陈列的概率是用独立事件的概率公式计算而得

到的题型.它与二项分布型概率题的区别是：题目中涉及的对象的“规则”不一致.该题型相对而言,是概率题中最难的题,“事件的文字描述”与“事件的分类”,仍是需要强化训练的两个重要方面.

【高考仿真演练】

1.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为

23和3

5

.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B ,设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；

（2）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润ξ的分布列和数学期望. 解析：（1）

13

15

;（2）140.E ξ=详见2014年湖南省理科数学高考试题. 2.在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手（1至5号）登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1

至5号中随机选3名歌手.

（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙为选中3号歌手的概率;

（2）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X 的分布列及数学期望.

解析：（1）记观众甲、乙、丙选中3号歌手分别为事件,,A B C ,则122

3C 2

(),()C 3

P A P B === 24

35C 3().C 5

P C ==记所求概率的事件为,D 则224()()()().3515P D P AB P A P B ===⨯=

（2）X 的可能取值为0,1,2,3则1224

(0)(),35575

P X P ABC ===⨯⨯=

22213212320

(1)()()(),35535535575P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

23222313333

(2)()()(),35535535575

P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

23318

(3)(),35575

P X P ABC ===⨯⨯=

123.75757515

EX =⨯+⨯+⨯=

3.某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为4

,5

第二、第三

门课程取得优秀成绩的概率分别为,(),p q p q >且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.

记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为

（1）求该生至少1（2）求,p q 的值及ξ的数学期望;

解析：（1）该生至少1门课程取得优秀成绩的概率为61191(0)1.125125

P ξ-==-

= （2）记事件i A 为“该生第i 门课程取得优秀成绩”,1,2,3i =.由题意得14

(),5

P A =

23(),().P A p P A q ==则12316

(0)()(1)(1),5125

P P A A A p q ξ===--=

123424(3)(),5125P P A A A pq ξ====整理得6

,125

pq p q =+=.由p q >可得

32,55p q ==.故123123123423(1)()()()555a P P A A A P A A A P A A A ξ===++=⨯⨯+

13313237,555555125⨯⨯+⨯⨯=58(2)1(0)(1)(3).125

b P P P P ξξξξ===-=-=-== 3758249

123.1251251255

E ξ=⨯+⨯+⨯=