解析几何 圆的方程

07-05 圆的方程

点一点——明确目标

掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，能根据需要选择园方程的恰当形式解决问题.

做一做——热身适应

1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 .

解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，

即－

7

1

1

2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 . 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部 ⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1

⇔ ｜a ｜＜131

.

答案：｜a ｜＜13

1

3.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.

解析：由向量平移公式即得a =（－1，2）. 答案：（－1，2）

4.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.

解析：Rt △OMC 中，|MP |=2

1

|BC |（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）

.

y 故所求轨迹方程为

x 2+y 2－x －2y －2=0.

答案：x 2+y 2－x －2y －2=0

5.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b

解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b

当|b |

答案：D

理一理——疑难要点

1.圆的方程

（1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程

二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得

（x +2D ）2+（y +2

E ）2=4422

F E D -+.

当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－

2D ，－2

E

），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.

说明：

圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项;

当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2

E

），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）

不表示任何图形;

据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，

y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，

y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.

拨一拨——思路方法

【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.

剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.

解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由|||

|PB PA =a （a >0）得2222)()(y

c x y c x +-++=a ，化简，得

（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.

当a =1时，方程化为x =0.

当a ≠1时，方程化为（x －1122-+a a c ）2+y 2=（1

22-a ac

）2.

（θ为参数）. ① （θ为参数）. ②

所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；

当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+a a c ，0）为圆心，|1

22-a ac

|为半径的圆.

评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决

问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.

【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.

剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.

解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.

又因为直线y =x 截圆得弦长为27， 则有（

2

|

3|b b -）2+（7）2=9b 2，

解得b =±1.故所求圆方程为

（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.

评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.

【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.

剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？

解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系.

设动圆圆心为M （x ，y ），

⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC

|.

∵AB 为⊙O 的直径， ∴MO 垂直平分AB 于O .

由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|， ∴922++y x =|y +3|.

化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程.

评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”.

我们再来试一试: 如图，过原点的动直线交圆x 2+（y －1）2=1于点Q ，在直线OQ 上取点