高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)
高一数学必修一题型总结
必修(一)题型总结-、集合的概念与表示：1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集⑺的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
3. 注意下列性质：集合9i, a2, , a n .的所有子集的个数是2n；4. 对于集合的元素是不等式的，画数轴确定两集合的关系例题：1. 满足关系{1,2} A {1,2,3,4,5}的集合的个数是( )A: 4 B: 6 C: 8 D: 92 3 ：32. 以实数X , - x , |x|, x , - <x为元素所组成的集合最多含有( ) A: 2个元素B: 3个元素C: 4个元素D: 5个元素「k 1 ] f k 1 13. M=』x|x=—+ — ,k€Z],N=d x|x=—+—,k E Z 贝U ( )(A M =N (B) M N (C) N M (D) M』N4. 已知A={(x,y)|y=x 2-4x+3},B=[(x,y)|y=-x 2-2x+2}, A n B= ______________5. 某班考试中，语文、数学优秀的学生分别有30人、28人，语文、数学至少有一科优秀的学生有38人，求：(1)语文、数学都优秀的学生人数(2)仅数学成绩优秀的学生人数2 2 26.设A={x|x -ax a -19=0} , B ={x| x-5x 6 =0},且A B,求实数a 的值.二、函数的三要素(定义域、值域、对应法则) 如何比较两个函数是否相同？1. 定义域的求法：分母、开偶次方、对数(保证它们有意义)2 .值域的求法：①判断函数类型(一次、二次、反比例、指数、对数、幕函数)由函数的单调性与图像确定当x为何值时函数有最大值(最高点)和最小值(最低点) ，②对于一个没有学过的函数表达式，需要将它变成一个学过的函数来解决(换元法、图像变换法)3表达式的求法：O1已知函数类型待定系数法②已知f(x)求f(2x+1)整体代换法，已知f(2x+1)求f(x)换元法。
高一数学必修一常考知识题型及解题思路总结
高一数学必修一常考知识题型及解题思路总结制卷入：王众冠1、集合常考知识交集(取两个集合相同的部分且重复的取一次)、并集（取两个集合的所有元素且相同的取一次）、补集以及理解端点的取舍，能知道任意一个集合的子集个数设集合A={1,2,3}，则集合A中子集个数为(2n)个;真子集个数(2n−1)个；非空子集(2n−1);非空真子集(2n−2);其中n代表集合中的元素个数题型一：解题步骤<1>必须掌握用数轴来表示各个集合间的关系<2>关键是在数轴上能表示满足A∩C≠∅或者A∩C=∅的情况<3>理解常数a能否取得等于号1、已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,（∁R A）∩B;(2)若A∩C≠∅,求a的取值范围.2、函数常考知识的分函数的定义域、单调性、奇偶性、最值、值域。
求定义域掌握几个规则：遇见形如cx+dax+b数形式，一律使(ax+b≠0)分母不等零；含偶次根式的一律使根式里的数大于等于零，如：√ax+b直接令ax+b≥0，直接令ax+b>0；遇到对数直接令对数的真数大于零，√ax+b如：log a(x+3)直接令x+3>0.指数运算公式：a r a s=a r+s, (a r)s=a rs,(ab)r=a r a s，a0=1,(a>0且a≠1,r,s∈Q)指数函数性质：形如f(x)=a x(a>0且a≠1)<1>所有指数函数都经过（0,1）<2>所有指数函数的y值都大于0，即值域y∈(0,+∞),定义域x∈R<3>当指数函数中的0<a<1时，指数函数是减函数；当指数函数中的a>1时，指数函数是增函数。
对数运算公式：log a MN=log a M+log a N,=log a M−log a N,log a MNlog a b,log a m b n=nmlog a b=log c b(换底公式),log c alog a1=0,log a a=1(a>0且a≠1,c>0且c≠1,M,N,m,n>0)对数函数性质：形如f(x)=log a x (a>0且a≠1,x>0)<1>所有的对数函数经过（1,0）<2>所有对数函数必须满足定义域x∈(0,+∞),值域y∈R<3> 当对数函数中0<a<1时，对数函数是减函数；当对数函数中的a>1时，对数函数是增函数。
高一数学集合经典题型
高一数学集合经典题型一、集合的基本概念题型1. 题型描述•这类题型主要考查对集合定义、元素特征的理解。
例如，判断给定的对象是否能构成集合，或者根据集合元素的确定性、互异性、无序性来解决问题。
•例：下列对象能构成集合的是（）A. 接近于0的数B. 著名的科学家C. 平面直角坐标系内所有的点D. 所有的正三角形•答案与解析：•答案：C、D。
•解析：选项A中“接近于0的数”不具有确定性，因为多接近算接近于0不明确；选项B中“著名的科学家”，著名的标准不明确，不满足集合元素的确定性。
而选项C中平面直角坐标系内所有的点是确定的，选项D中所有的正三角形也是确定的，可以构成集合。
2. 元素与集合的关系题型•题型描述•重点考查元素与集合之间的属于（∈）和不属于（∉）关系。
通常会给出一个集合和一些元素，让考生判断元素是否属于该集合。
•例题•设集合 A = {x|x是小于10的素数}，则3____A，4____A。
•答案与解析•答案：3∈A，4∉A。
•解析：素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
小于10的素数有2、3、5、7，所以3属于集合A，4不属于集合A。
二、集合的表示方法题型1. 列举法与描述法的转换题型•题型描述•要求考生能够熟练地在列举法和描述法之间进行转换。
例如，将用描述法表示的集合转换为列举法，或者反之。
•例题•把集合A={x|x²• 5x + 6 = 0}用列举法表示。
•答案与解析•答案：A = {2,3}。
•解析：先解方程x²•5x+6 = 0，即(x•2)(x•3)=0，解得x = 2或x = 3，所以用列举法表示集合A为{2,3}。
2. 用描述法表示集合题型•题型描述•根据给定的元素特征，用描述法准确表示集合。
•例题•用描述法表示所有偶数组成的集合。
•答案与解析•答案：{x|x = 2n,n∈Z}。
•解析：偶数可以表示为2乘以一个整数，所以用描述法表示为{x|x = 2n,n∈Z}，其中Z表示整数集。
高一数学集合典型例题、经典例题
《集合》常考题型题型一、集合元素的意义+互异性例1.1.设集合｛0｝例1.2.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________解：∵A∩B ＝{2，5}，∴5∈A.∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2.①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B ＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去．②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去．③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}．题型二、空集的特殊性例2.1.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且B A ，则实数m 的取值X 围为_____________例2.2.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{}0≥=x x B ，且φ=B A ，XX 数a 的取值X 围。
解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=Φ；②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=Φ，A ∴=Φ或关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数.〔1〕当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根，140a ∆=-<，所以14a >. 〔2〕当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时，12121401010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩140a a ⎧≤⎪⇒⇒⎨⎪>⎩104a <≤. 综上所述，实数a 的取值X 围为{0}a a ≥.题型三、集和的运算{}{}2|22,|,12,A x x B y y x x A B =-≤==--≤≤=则例3.1.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值X 围是________________－3<a <－1例3.2.集合M={x |x =k 2+13，k ∈Z}，N={x |x =k +13，k ∈Z}，则〔C 〕A.M=NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M∩N=∅解：∵M 中：x =k 2+13={n +13，k =2n ，n ∈Z n +56，k =2n +1，n ∈Z； N 中：x =k +13=n +13，k =n ∈Z ，∴N ⊆M ．故选：C ．例3.3.全集(){}R y x y x U ∈=,|,，集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-+=122|,x y y x M ，(){}4|,-≠=x y y x N ， 则()()N C M C U U 等于__{})22(，______________题型四、创新题例4.1.定义集合A 与B 的运算A*B={x |x ∈A 或x ∈B ，且x ∉A ∩B}，则(A*B)*A 等于〔D 〕A.A ∩BB.A ∪BC.AD.B 解：如图，A*B 表示的是阴影部分，设A*B=C ，根据A*B 的定义可知：C*A=B ，所以(A*B)*A=B ，故答案为D 例4.2.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合，都有()A P A ∈；②存在集合A ，使得()[]3=A P n ；③用∅表示空集，若，则()()∅=B P A P ；④若B A ⊆，则()()B P A P ⊆；⑤若，则.其中正确的命题为_①④⑤_________〔填序号〕 对于命题①，，因此，命题①正确；对于命题②，若集合的元素个数为m ，则集合的子集共m2个，若，则 A ()A P ()A n A A ∅=B A ()()1=-B n A n ()[]()[]B P A P n ⨯=2A A ⊆()A P A ∈A A ()[]3=A P n，解得N m ∉=3log 2，命题②错误；对于命题③，若∅=B A ，由于A ⊆∅，B ⊆∅，因此，()B P ∈∅，所以 ，则，命题③错误；对于命题④，若，对集合的任意子集A E ⊆，即对任意()A P E ∈，则B E ⊆， 则()B P E ∈，因此，命题④正确；对于命题⑤，设()n B n =，则()1+=n A n ，则集合的子集个数为，即，集合的子集个数为，即()[]n B P n 2=，因此，命题⑤正确，故正确的命题为①④⑤_变式训练：1.已知集合，集合，若，则实数 12.设集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |x ＞－2}，Q ＝{x |x －a ≥0}，令P ＝M ∩N ，若P ∪Q ＝Q ， 则实数a 的取值X 围为__________________解：P ＝M ∩N ＝{x |－2＜x ＜3}，Q ＝{x |x ≥a }，∵P ∪Q ＝Q ，∴P ⊆Q .∴a ≤－2，即实数a 的取值X 围是{a |a ≤－2}3.若集合{2，3}≠⊂M ≠⊂{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则集合M 共有__________个。
高中数学人教版必修1集合重点题型
高中数学人教版必修1集合重点题型一、集合的表示方法1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来。
例如：{1，2，3，4，5}，{a，b，c}。
2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合。
例如：{x|x 是三角形}，{x|x是非负数}。
二、集合的运算1. 并集：两个或多个集合的所有元素组成的集合称为并集。
记作A∪B，读作A并B。
例题：已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5，6}，求A∪B。
解：A∪B={1，2，3，4，5，6}。
2. 交集：两个或多个集合的共有元素组成的集合称为交集。
记作A∩B，读作A交B。
例题：已知集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，求A∩B。
解：A∩B={2，3}。
3. 补集：在全集中去掉一个集合的所有元素组成的集合称为该集合的补集。
记作CuA，读作A的补集。
例题：已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，求CuA。
解：CuA={3，4}。
三、集合的重点题型1. 元素与集合的关系元素与集合的关系有三种：属于、不属于、等于。
判断元素与集合的关系是解题的基础。
例题：判断以下关系是否正确？（1）3∈{x|x<5}；（2）{3}⊆{x|x<5}；（3）｛｛4｝｝＝｛｛3｝｝；（4）｛x|x<5｝＝｛y|y<5｝。
解：（1）正确，因为3是小于5的数，所以3属于{x|x<5}。
（2）正确，因为集合{3}中的元素都是集合{x|x<5}中的元素，所以{3}是{x|x<5}的子集。
（3）错误，因为｛｛4｝｝表示一个集合包含一个集合｛4｝，而｛｛3｝｝表示一个集合包含一个集合｛3｝，所以｛｛4｝｝≠｛｛3｝｝。
（4）正确，因为｛x|x<5｝和｛y|y<5｝都表示所有小于5的元素的集合，所以它们是相等的。
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语题型总结及解题方法
(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语题型总结及解题方法单选题1、已知集合A={−1,1,2,4},B={x||x−1|≤1}，则A∩B=（）A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}答案：B分析：方法一：求出集合B后可求A∩B.[方法一]：直接法因为B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得2≤1，不满足，排除A、D；x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得3≤1，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．2、已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A．{x|−1<x<2}B．{x|−1<x≤2}C．{x|0≤x<1}D．{x|0≤x≤2}答案：B分析：结合题意利用并集的定义计算即可.由题意可得：A∪B={x|−1<x≤2}.故选：B.3、已知p:0<x<2，q:−1<x<3，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2，可得出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，得不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.4、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.5、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．6、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.7、设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3}，则A∩(∁U B)=（）A．{−3,3}B．{0,2}C．{−1,1}D．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.8、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N⊈P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n-2与3p+1都是表示同一类数，6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m-56,m∈Z}，x=m-56=6m-56=6(m-1)+16，对于集合N={x|x=n2-13,n∈Z}，x=n2-13=3n-26=3(n-1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n-1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m-1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M∈N=P.故选：B.9、集合A={x|x<−1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−13,1)B．[−13,1]C．(−∞,−1)∪[0,+∞)D．[−13,0)∪(0,1)答案：A分析：根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+1⩽0无解，此时a=0，满足题意．②当B≠∅时，即ax+1⩽0有解，当a>0时，可得x⩽−1a，要使B⊆A，则需要{a>0−1a<−1，解得0<a<1．当a<0时，可得x⩾−1a，要使B⊆A，则需要{a<0−1a⩾3，解得−13⩽a<0，综上，实数a的取值范围是[−13,1)．故选：A．小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅.10、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+ P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.多选题11、对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁R A⊕∁R BE．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠B⊕A答案：ABD解析：根据新定义判断．根据定义A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]，A.若A⊕B=B，则∁R A∩B=B，A∩∁R B=∅，∁R A∩B=B⇒B⊆∁R A，A∩∁R B=∅⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；B.若A⊕B=∅，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B=∅，A∩B=A=B，B正确；C. 若A⊕B⊆A，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B⊆A，则B⊆A，C错；D.A=B时，A⊕B=∅，(∁R A)⊕(∁R B)=∅=A⊕B，D正确；E.由定义，A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]=B⊕A，E错．故选：ABD．小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．12、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）<0B．所有的正方形都是矩形A．∃x∈R，x2−x+14C．∃x∈R，x2+2x+2=0D．至少有一个实数x，使x3+1=0答案：AC分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.A.原命题的否定为：∀x∈R，x2−x+14≥0，是全称量词命题；因为x2−x+14=(x−12)2≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2+2x+2=0，Δ=22−8=−4<0，所以x2+2x+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3+1≠0，如x=−1时，x3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC13、(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}答案：ABD分析：选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P.选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=[1,+∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=[1,+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．14、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x= 26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12=16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．15、已知集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，若A⊆B，则实数a可以为（）A．12B．1C．0D．以上选项都不对答案：ABC解析：由子集定义得A=∅或A={1}或A={2}，从而1a 不存在，1a=1，1a=2，由此能求出实数a．解：∵集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，A⊆B，∴A=∅或A={1}或A={2}，∴1 a 不存在，1a=1，1a=2，解得a=1，或a=1，或a=12．故选：ABC．小提示：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．16、已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则下列关系一定正确的是（）A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉BC．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B答案：AB分析：根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则A，B，U的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，∃x∈U，x∉A且x∈B，A正确；因A∩B=∅，必有∀x∈A，x∉B，B正确；若A∁U B，则(∁U A)∩(∁U B)≠∅，此时∃x∈U，x∈[(∁U A)∩(∁U B)]，即x∉A且x∉B，C不正确；因A∩B=∅，则不存在x∈U满足x∈A且x∈B，D不正确.故选：AB17、下列各题中，p是q的充要条件的有（）A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例C．p：xy>0；q：x>0，y>0D．p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；q：a+b+c=0（a≠0）答案：BD分析：根据充要条件的定义对各选项逐一进行分析讨论并判定作答.对于A，四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，即p不是q的充要条件，A不是；对于B，两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出，即p是q的充要条件，B是；对于C，xy>0不能推出x>0，y>0，可能x<0，y<0，即p不是q的充要条件，C不是；对于D，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，可得a+b+c=0，反之，当a +b +c =0时，把c =-a -b 代入方程ax 2+bx +c =0得ax 2+bx -a -b =0，即(ax +a +b )(x -1)=0，显然x =1是方程的一个根，即p 是q 的充要条件，D 是.故选：BD18、已知集合A ={x ∣1<x <2}，B ={x ∣2a −3<x <a −2}，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得A =B B ．存在实数a 使得A ⊆BC ．当a =4时，A ⊆BD ．当0⩽a ⩽4时，B ⊆AE ．存在实数a 使得B ⊆A答案：AE分析：利用集合相等判断A 选项错误，由A ⊆B 建立不等式组，根据是否有解判断B 选项；a =4时求出B ，判断是否A ⊆B 可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D 选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.A 选项由相等集合的概念可得{2a −3=1a −2=2 解得a =2且a =4，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A ⊆B ，得{2a −3≤1a −2≥2 即{a ≤2a ≥4，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当a =4时，得B ={x ∣5<x <2}为空集，不满足A ⊆B ，因此C 错误；D 选项当2a −3≥a −2，即a ≥1时，B =∅⊆A ，符合B ⊆A ；当a <1时，要使B ⊆A ，需满足{2a −3≥1a −2≤2解得2≤a ≤4，不满足a <1，故这样的实数a 不存在，则当0≤a ≤4时B ⊆A 不正确，因此D 错误； E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B ⊆A ，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.小提示：本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.19、命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a≥4C．a≥−2D．a=4答案：BD分析：求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.命题“∃x∈[1,2],x2≤a"等价于a≥1，即命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题所对集合为[1,+∞)，所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1,+∞)，显然只有[4,+∞)[1,+∞)，{4}[1,+∞),所以选项AC不符合要求，选项BD正确.故选：BD20、中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N+}，B={x|x=5n+3,n∈N+}，C={x|x=7n+2,n∈N+}，若x∈A∩B∩C，则下列选项中符合题意的整数x为（）A．8B．128C．37D．23答案：BD分析：根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.对于A，因8=7×1+1，则8∉C，选项A错误；对于B，128=3×42+2，即128∈A；又128=5×25+3，即128∈B；而128=7×18+2，即128∈C，因此，128∈A∩B∩C，选项B正确；对于C，因37=3×12+1，则37∉A，选项C错误；对于D，23=3×7+2，即23∈A；又23=5×4+3，即23∈B；而23=7×3+2，即23∈C，因此，23∈A∩B∩C，选项D正确.故选：BD填空题21、若∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________.答案：[−2√6,2√6].分析：根据命题∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 由题意，命题∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，可得Δ=m2−24≤0，解得−2√6≤m≤2√6，即实数m的取值范围为[−2√6,2√6].所以答案是：[−2√6,2√6].22、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．23、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3，则实数a=________．答案：−4分析：由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a，即可求解参数．由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A，x2+ax+4=0，当Δ=a2−16=0时，x=2是方程x2+ax+4=0的根，解得a=−4，当Δ>0时，若方程x2+ax+4=0的一根为1，则a=−5，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程x2+ax+4=0的根，则方程两根x2+x3=−a=2，此时a=−2不满足Δ>0，舍去. 所以答案是：−4．。
数学必修一重点题型及解析
老师所用题型均从历年考试题中抽取出来作为解析用，比较有代表意义。
题型一：集合交集并集补集的求法解析：我们首先要求出集合A和集合B。
然后在数轴上表示出A和B，和容易就求出A∩B 了。
集合A:1＜x＜3，集合B:x＞3/2.所以所求交集3/2＜x＜3。
解析：求不等式的解集，此题同学求出令分子分母同时为零的在数轴上的两个点为x=-2，x=1，求不等式大于0，则解集为大于大的（1）小于小的（-2）即可。
解集（-∞，-2）∪（1，∞）。
解析：求并集我们画出数轴即可。
求集合A的补集我们需要先画出数轴，表示出集合A，然后在数轴上画出它的补集，在画出集合B，找公共部分既是交集。
第二问若集合A与集合C交集不是，则在数轴上表示出来时，两者必有公共部分，从而确定a的范围。
题型二：奇偶函数求法题型解析：确定奇偶函数前提示先看定义域，定义域关于原点对称，之后才判断是否符合奇偶函数定义，f（-x）=f（x）为偶，f（-x）=-f（x）为奇函数。
从定义域判断，发现定义域都关于原点对称，所以下一步我们要用定义法判断，A是奇函数，C是偶函数，D是偶函数。
只有B答案非奇非偶函数。
解析：奇函数满足f（-x）=-f（x），所以此题最简算法：f（-2）=-f（2），我们直接计算出f（2）就能得出所求。
将x=2带入已知函数得f（2）=10-b，此时b为未知数，怎么办？这时我们要熟知奇函数另外一个性质，如果奇函数在原点处有定义f（0）=0，已知函数得b=1.f （2）=10-1=9，f（-2）=-f（2）=-9.题型三：过定点的函数类型题解析：首先我们确定指数函数过定点（0,1），令x-1=0，则x=1，此时f(x)=3.这个函数恒过定点（1,3），如果给出的复合函数中包括对数函数呢，对数函数恒过定点（1,0）。
题型四：求定义域值域类型题解析：此题求定义域，要满足对数函数有意即真数x大于0，同时要保证整个根号有意义，即根号下式子大于或等于0，解出x范围取交集。
高中数学必修一第一章集合题型总结
第一章 第一节 集合题型总结题型一 集合的表示（列举法、描述法）1. 下列说法：①集合{x ∈N|x 3＝x }用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R}；③方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中正确的有( )．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个题型二 集合与集合的关系（子集）1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则A ．A ⊂≠B B. B ⊂≠A C. A=B D.A ∩B=∅2．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是A ．P Q =B ．P Q R =C ．Q P ⊆D ．P Q ⊆3.若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有( )个，非空子集有（ ）个题型三 集合的运算※有限集：直接算1、已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =（ ）∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2． 已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合{1,2}A =，},42|{Z x x x B ∈≤≤=则集合)(B A C U 中元素的个数为（ ）A 1B 2C 3D 4A.※ 无限集：借助数轴算4．已知集合},41|{},32|{>-<=≤≤-=x x x B x x A 或那么集合=)(B C A R ( )A.{x ︱-2≤x ＜4｝B.{x ︱x ≤3或x ≥4} C ．{x ︱-2≤x ＜-1｝ D.{-1︱-1≤x ≤3}5.已知集合}044{≤+-=x x x A ，}034{2≤-+-=x x x B （1）求A ∪B ，（2）求A ⋂Cu B※ .有限集与无限集的混合运算：1、设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( )}2,1.{}1,0.{}2.{}1.{D C B A2.(2015汕头高一统考)已知全集U=R ，A={1,2,3,4,5,6,7}，B={x|x ≤2}，则A ∩C u B=( )}2|.{}2|.{}7,6,5,4,3.{}7,6,5,4,3,2.{≤>∈x x D x Z x C B A 题型四 Venn 图在解题中的应用例：用集合表示下列阴影练习：2．设全集{}8 7, 6, 5, 4, 3, ,2 , 1 =U ,集合{}5 3, , 2 , 1=A ,{}6,4 , 2=B ,则图中的阴影部分表示的集合为 ( )A ． {2}B ．{4,6}C ．{1,3,5}D ．{4,6,7,8}3、设全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4}，∁U (A ∪B )＝{1,5}，下列结论正确的是( )A ．3∈A,3∉B B ．3∉A,3∈BC ．3∈A,3∈BD ．3∉A,3∉B4. 全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )．A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )题型五 含参问题※ 有限集（注意检验满不满足互异性）1、已知集合{}{}{}22|320,|112,1,1,1M x x x N x Z x Q a a =-+==∈-≤-≤=++（1）求MN (2) 若M Q ⊆,求实数a 的值2．若集合A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，且B A ，求实数a 的值．※ 无限集（画数轴计算）1. 设关于x 的不等式(1)0()x x a a --<∈R 的解集为M ，不等式2230x x --≤的解集为N .（Ⅰ）当1a =时,求集合M ；（Ⅱ）若M N ⊆,求实数a 的取值范围.2、设A={x|y=1x +}，B={x|1≤x ≤3}, C={x|x>a}（1）求集合A ∪B ，A ∩（C R B ）． （2）的取值范围，求若a B C B =⋂（3）∅=⋂C B 若,求a 的取值范围。
高一数学集合题型总结
高一数学集合题型总结高一数学集合题型总结一、概念题1. 什么是集合？集合是指具有一定性质的对象的总和。
集合中的每个对象称为集合的元素。
2. 什么是空集？不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
3. 什么是全集？包含所有可能元素的集合称为全集。
4. 什么是子集？若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称A是B 的子集。
5. 什么是真子集？若集合A是集合B的子集，且集合A和集合B不相等，则称A是B的真子集。
6. 什么是并集？设A和B是两个集合，所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合称为A和B的并集，记作A∪B。
7. 什么是交集？设A和B是两个集合，所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合称为A和B的交集，记作A∩B。
8. 什么是差集？设A和B是两个集合，所有属于集合A但不属于集合B的元素所组成的集合称为A和B的差集，记作A-B。
9. 什么是互斥事件？若两个事件A和B的交集为空集，则称事件A和事件B是互斥事件。
10. 什么是逆运算？设A是全集，A的一个子集B，B关于A的逆运算定义为A-B的补集，记作B'。
11. 什么是等价关系？设R是集合A上的一个二元关系，如果R满足自反性、对称性和传递性，则称R是集合A上的等价关系。
二、判断题1. 判断集合A和集合B是否相等。
两个集合A和B相等，当且仅当A包含的元素和B包含的元素完全相同。
2. 判断两个集合A和B的交集是否为空集。
若A和B的交集为空集，则集合A和集合B没有共同的元素。
3. 判断两个集合A和B的并集是否等于全集。
若A和B的并集等于全集，则A和B合并后包含了全集中的所有元素。
4. 判断一个集合是否是自己的子集。
一个集合A是自己的子集，因为A中的每个元素都属于A本身。
5. 判断一个集合是否是自己的真子集。
一个集合A不是自己的真子集，因为真子集定义为集合A的元素不包含A本身的元素。
三、求解题1. 求集合A和集合B的并集。
将集合A和集合B中的元素全部合并到一起，去除重复元素，得到并集。
高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)
慧诚教育2017年秋季高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1．集合一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．2．元素构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.知识点二集合与元素的关系1．属于如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.2．不属于如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.知识点三集合的特性及分类1．集合元素的特性________、________、________.2．集合的分类(1)有限集：含有________元素的集合．(2)无限集：含有________元素的集合．3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集)整数集实数集符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法1．列举法把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集________(或________)真子集如果集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集________(或________)2.子集的性质(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．(3)如果A⊆B，B⊆C，则________．(4)如果A⊆B，B⊆C，则________．3．集合相等定义符号语言图形图言(Venn图)集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等A＝B4.集合相等的性质如果A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，________________________.知识点六集合的运算1．交集自然语言符号语言图形语言由________________________________________组成的集合，称为A与B的交集A∩B＝_________2．并集自然语言符号语言图形语言由__________________________________组成A∪B＝_______________的集合，称为A与B的并集3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝________A∪B＝________A∩A＝________A∪A＝________A∩∅＝________A∪∅＝________A⊆B⇔A∩B＝________ A⊆B⇔A∪B＝________4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．5．补集对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合文字语言称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁U A＝________________图形语言典例精讲题型一 判断能否构成集合1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 。
高一数学集合典型例题、经典例题
《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性例1.1.设集合{}{}2|22,|,12,A x x B y y x x A B =-≤==--≤≤=则｛0｝例1.2.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________解：∵A∩B ＝{2，5}，∴5∈A.∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2.①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B ＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去．③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性例2.1.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且B A ，则实数m 的取值范围为_____________例2.2.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{}0≥=x x B ，且φ=B A ，求实数a 的取值范围。
解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=Φ；②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=Φ，A ∴=Φ或关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数.（1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根，140a ∆=-<，所以14a >. （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时，12121401010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩140a a ⎧≤⎪⇒⇒⎨⎪>⎩104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥.题型三、集和的运算例3.1.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是________________－3<a <－1例3.2.集合M={x |x =+，k ∈Z}，N={x |x =k +，k ∈Z}，则（C ）A.M=N?????B.M ?N????C.N ?M????D.M∩N=?解：∵M 中：x =+=；N 中：x =k +=n +，k =n ∈Z ，∴N ?M ．故选：C ．例3.3.全集(){}R y x y x U ∈=,|,，集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-+=122|,x y y x M ，(){}4|,-≠=x y y x N ， 则()()N C M C U U 等于__{})22(，______________ 题型四、创新题例4.1.定义集合A 与B 的运算A*B={x |x ∈A 或x ∈B ，且x ?A ∩B}，则(A*B)*A 等于（D ）A.A ∩B????B.A ∪B????C.A??????D.B解：如图，A*B 表示的是阴影部分，设A*B=C ，根据A*B 的定义可知：C*A=B ，所以(A*B)*A=B ，故答案为D 例4.2.定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()A P ，用()A n 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有()A P A ∈；②存在集合A ，使得()[]3=A P n ；③用∅表示空集，若∅=B A ，则()()∅=B P A P ；④若B A ⊆，则()()B P A P ⊆；⑤若()()1=-B n A n ，则()[]()[]B P A P n ⨯=2.其中正确的命题为_①④⑤_________（填序号） 对于命题①，A A ⊆，因此()A P A ∈，命题①正确；对于命题②，若集合A 的元素个数为m ，则集合A 的子集共m 2个，若()[]3=A P n ，则 32=m ，解得N m ∉=3log 2，命题②错误；对于命题③，若∅=B A ，由于A ⊆∅，B ⊆∅，因此()A P ∈∅，()B P ∈∅，所以 ()()[]B P A P ∈∅，则()()∅=B P A P ，命题③错误；对于命题④，若B A ⊆，对集合A 的任意子集A E ⊆，即对任意()A P E ∈，则B E ⊆， 则()B P E ∈，因此()()B P A P ⊆，命题④正确；对于命题⑤，设()n B n =，则()1+=n A n ，则集合A 的子集个数为12+n ，即()[]n n A P n 2221⨯==+，集合B 的子集个数为n 2，即()[]n B P n 2=，因此()[]()[]B P A P n ⨯=2，命题⑤正确，故正确的命题为①④⑤_变式训练： 1.已知集合{}12,3,1--=m A ，集合{}2,3m B =，若B A ⊆，则实数=m 1 2.设集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |x ＞－2}，Q ＝{x |x －a ≥0}，令P ＝M ∩N ，若P ∪Q ＝Q ， 则实数a 的取值范围为__________________解：P ＝M ∩N ＝{x |－2＜x ＜3}，Q ＝{x |x ≥a }，∵P ∪Q ＝Q ，∴P ?Q .∴a ≤－2，即实数a 的取值范围是{a |a ≤－2}3.若集合{2，3}≠⊂M ≠⊂{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则集合M 共有__________个。
高中数学人教版必修1集合重点题型
高中数学人教版必修1集合重点题型高中数学人教版必修1集合主要包括集合的基本概念、集合的运算、集合的关系与性质、应用等。
下面将分别介绍每个部分的重点题型。
一、集合的基本概念：1.集合的表示方法：常用的集合表示方法有列举法、描述法和区间表示法。
重点考察对不同表示方法的理解与转换。
2.集合的基本运算：重点考察集合的并、交、补、差运算的性质。
常见的题型包括求集合的并、交、补的运算结果、画出集合的Venn图等。
二、集合的运算：1.集合的交换律、结合律、分配律：重点考察理解集合运算的交换律、结合律、分配律，并能运用这些性质解决实际问题。
2.集合的恒等律、吸收律和对偶律：重点考察理解集合的恒等律、吸收律和对偶律，并能在解题过程中应用这些性质。
3.应用题：考察对集合的运算性质的灵活应用，如使用集合的运算解决包含“至少”、“至多”、“或”、“且”等关系的问题。
三、集合的关系与性质：1.集合的含义和关系的判断：重点考察理解集合关系的概念和如何判断集合之间的关系。
2.集合包含关系和相等关系：重点考察理解集合的包含关系和相等关系，并能根据题意判断集合之间的包含和相等关系。
3.集合的不相交关系：考察理解集合的不相交关系，并能运用相关概念来解题。
四、应用题：1.集合的应用：重点考察将现实生活中的问题转化为集合的运算问题，并能运用集合的运算性质解决实际问题。
2.定义集合：考察理解集合的定义，运用集合的概念解决定义问题。
以上是高中数学人教版必修1集合的重点题型。
在复习时，可以结合教材中的例题和习题进行训练，同时注意理解和掌握相关概念和性质，注重灵活运用。
希望对您有所帮助！。
高一数学集合经典题型归纳总结(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值的时候必须代回集合察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。
元素与集合之间的关系：属于-- 不属于--常有集合N Z R Q 加星号或者+号表示对应集合的正的集合3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x R|x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合之间的关系的时候，我们常常考虑用venn图来表示。
4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合，空集在集合这个章节中非常重要，特别是在集合之间的关系的题中经常出现，很容易考虑掉空集。
例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
高中数学必修一集合题型总结及解题方法
(每日一练)高中数学必修一集合题型总结及解题方法单选题1、已知集合A={x|x2−1=0}，则下列式子表示正确的有（）①1∈A②{−1}∈A③∅∈A④{−1,1}⊆AA．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：先求出集合A中的元素，然后逐项分析即可.因为A={x|x2−1=0}={−1,1}，则1∈A，所以①正确；{−1}⊆A，所以②不正确；∅⊆A，所以③不正确；{−1,1}⊆A，所以④正确，因此，正确的式子有2个.故选：B.2、设A={x|2≤x≤8}，B={x|2a≤x≤a+4}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．{a|1≤a≤4}B．{a|a>4}C．{a|a≥1}D．{a|1<a<4}答案：C解析：根据集合的包含关系，讨论B=∅、B≠∅列不等式组，求参数a的范围.当B=∅时，2a>a+4，有a>4符合题设；当B≠∅时，{2a≥2 a+4≤82a≤a+4，有1≤a≤4符合题设；综上，a≥1.故选：C3、已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|x−1≥0}，则∁R(A∩B)=（）. A．(−∞,1)∪[3,+∞)B．(−∞,1]∪[3,+∞)C．(−∞,1)∪(3,+∞)D．(1,3)答案：A解析：算出集合A、B及A∩B，再求补集即可.由x2−2x−3<0，得−1<x<3，所以A={x|−1<x<3}，又B={x|x≥1}，所以A∩B={x|1≤x<3}，故∁R(A∩B)={x|x<1或x≥3}.故选：A.小提示：本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.4、设集合A={x|3x−1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是（）A．2<m<5B．2≤m<5C．2<m≤5D．2≤m≤5答案：C解析：直接根据元素和集合之间的关系，列式求解即可．因为集合A={x|3x−1<m}，而1∈A且2∉A，∴3×1−1<m且3×2−1≥m，解得2<m≤5．故选：C．小提示：本题主要考查元素与集合的关系，对描述法表示集合的理解，属于基础题．5、已知集合M={a,2a−1,2a2−1}，若1∈M，则M中所有元素之和为（）A．3B．1C．−3D．−1答案：C解析：根据1∈M，依次令M={a,2a−1,2a2−1}中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.若a=1，则2a−1=1，矛盾；若2a−1=1，则a=1，矛盾，故2a2−1=1，解得a=1（舍）或a=−1，故M={−1,−3,1}，元素之和为−3，故选：C.小提示：关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍.。
人教版高中数学必修一集合题型总结及解题方法
(每日一练)人教版高中数学必修一集合题型总结及解题方法单选题1、已知集合A={x|1<x<3}，B={x|3<x<6}则A∩B=（）A．(1，3)B．(1，6)C．(−1，3)D．∅答案：D解析：利用集合的交集运算求解.因为集合A={x|1<x<3}，B={x|3<x<6}，所以A∩B=∅故选：D2、已知集合A={x|x2+2x−15≤0}，B={−3,−1,1,3,5}，则A∩B=（）A．{−3,−1,1,3}B．{−3,−1,1}C．{−1,1,3}D．{−3,−1,1,3,5}答案：A解析：求出集合A，直接进行集合的交集运算.因为A={x|x2+2x−15≤0}={x|−5≤x≤3}，所以A∩B={−3,−1,1,3}.故选：A小提示：本题考查集合的交集，考查运算求解能力，属于基础题.3、已知集合A={x|1<x<3}，B={x|3<x<6}则A∩B=（）A．(1，3)B．(1，6)C．(−1，3)D．∅答案：D解析：利用集合的交集运算求解.因为集合A={x|1<x<3}，B={x|3<x<6}，所以A∩B=∅故选：D填空题4、已知集合A={y|y=x2−2x,x∈R}，B={y|y=−x2+2x+6,x∈R}，则A∩B=______. 答案：{y|−1≤y≤7}解析：先分别求集合A,B，注意各自是两个函数的值域，再求交集.∵y=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴A={y|y≥−1}，∵y=−x2+2x+6=−(x−1)2+7≤7，∴B={y|y≤7}，∴A∩B={y|−1≤y≤7}.所以答案是：{y|−1≤y≤7}5、对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有________人.答案：18解析：x+1+27−x+x+24−x=40，解得答案.设对A、B都赞成的学生有x，根据韦恩图得到13=24，赞成B的人数为24+3=27，赞成A的人数为40×35x+1+27−x+x+24−x=40，解得x=18.设对A、B都赞成的学生有x，则13所以答案是：18.小提示：本题考查了根据韦恩图求解集合问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出韦恩图是解题的关键.。
高中数学必修一1.1集合例题总结
一、典型例题例1. 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。
例2. 已知集合M ＝{}012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。
例3. 已知集合},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。
例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。
例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，（1）若Φ=B A ， 求m 的范围；（2）若A B A = ， 求m 的范围。
例6. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ⊆A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。
二、课堂练习题1．1．11、已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。
2、已知集合A ＝｛a+2，（a+1)２｝若1∈A,求实数a 的值。
3、已知集合M=｛x ∈N ∣x+16∈Z ｝,求M 4、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有（ ）A 、a b P +∈B 、a b Q +∈C 、a b R +∈D 、a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个5、已知集合A ＝{x|ax 2－3x －4＝0，x ∈R}．(1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 1.1.21.已知集合M 满足｛2,3｝⊆M ⊆｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M 。
2、若{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是3、已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ⊆，求实数m 的取值范围。
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
【知识清单】1.性质：确定性、互易性、无序性.2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“∉”.3.集合和集合的关系：子集（包含于“⊆”）、真子集（真包含于“≠⊂”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n .5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且|I并集：{}B x A x x B A ∈∈=或|Y补集：{}A x U x x A C U ∉∈=且|6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.【 定义&性质】1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2-②集合{}R x x y y ∈-=,1|2与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点.答案：A详解：在①中方程022=++-y x 等价于⎩⎨⎧=+=-0202y x ，即⎩⎨⎧-==22y x 。
因此解集应为(){}2,2-，错误；在②中，由于集合{}R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理，{}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误；在③中，集合{}01|<-x x 即1<x ，而{}R a a x x ∈>,|，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选A.2.下列命题中，（1）如果集合A 是集合B 的真子集，则集合B 中至少有一个元素；（2）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素少于集合B 的元素；（3）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素不多于集合B 的元素；（4）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 和B 不可能相等．错误的命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合M 是集合N 的子集，那么M 中的元素个数要小于或等于N 中元素的个数；如果集合M 是集合N 的真子集，那么M 中的元素个数要小于N 中元素的个数.答案：C详解：（1）如果集合A 是集合B 的真子集，则集合B 中至少有一个元素，故（1）正确；（2）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素少于或等于集合的B 元素，故（2）不 正确；（3）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素不多于集合B 的元素，故（3）正确；（4）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 和B 可能相等，故（4）不正确．故选C ．3.设P 、Q 为两个非空实数集，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合Q P +中的元素是b a +，其中P a ∈,Q b ∈，则Q P +中元素的个数是（ ）分析：因为P a ∈，Q b ∈，所以Q P +中的元素b a +是P 中的元素和Q 中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.答案：B详解：当0=a 时，b 依次取1,2,6，得b a +的值分别为1,2,6；当2=a 时，b 依次取1,2,6，得b a +的值分别3,4,8；当5=a 时，b 依次取1,2,6，得b a +的值分别6,7,11；由集合的互异性得Q P +中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个，故选B.4.设数集M 同时满足条件①M 中不含元素1,0,1-，②若M a ∈，则M aa ∈-+11. 则下列结论正确的是 ( )A ．集合M 中至多有2个元素；B ．集合M 中至多有3个元素；C ．集合M 中有且仅有4个元素；D ．集合M 中有无穷多个元素. 分析：已知M a ∈时，M aa ∈-+11.那么我们可以根据条件多求出几个M 集合的元素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.答案：C详解：由题意，若M a ∈，则M a a ∈-+11，则M a a a a a ∈-=-+--++1111111，M a a aa ∈+-=+-111111，则M a a a a a a ∈==+--+-+22111111，若a a a -+=11，则12-=a ，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合M 中有且仅有4个元素．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No2. 表达方式】5.下列集合表示空集的是（ ）A.{}55|=+∈x R xB.{}55|>+∈x R xC.{}0|2=∈x R x D.{}01|2=++∈x x R x 分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.答案：D详解：012=++x x ，031141<-=⨯⨯-=∆Θ∴方程无实数解，故选D.6.用描述法表示下列集合：(1){}8,6,4,2,0；(2){}Λ,81,27,9,3；(3)⎭⎬⎫⎩⎨⎧Λ,87,65,43,21； (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的范围详解：(1){}是偶数且x x N x ,100|<≤∈；(2){}+∈=N n n x x ,3|；(3)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=+N n n n x x ,212|； (4){}Z n n x x ∈+=,25|．====================================================================== 题型二、不含参数⑴⑴中的参数是指方程的非最高次项系数解决此类型题应注意：①区分∈，⊆，≠⊂的区别； ②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；③B A A B A ⊆⇒=IA B A B A ⊆⇒=Y两方面讨论和从∅=∅=⇒∅=B A B A I .【 判断元素/集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系①0≠⊂{}0；②0∈{}0；③{}∅∈∅；④{}a a ∈；⑤{}0=∅；⑥{}∅∈0；⑦{}0∈∅；⑧∅≠⊂{}0 其中正确的是（ ）A.②③④⑧B.①②④⑤C.②③④⑥D.②③④⑦ 分析：本题需要大家分清∈，⊆，≠⊂三个符号的意义和区别：∈--“属于”，用于表示元素和集合的关系；⊆，≠⊂--“包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系.答案：A详解：①错误，应为{}00∈；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为∅≠⊂{}0；2.若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）（1）若()()U B C A C B A U U =∅=Y I 则,（2）若()()∅==B C A C U B A U U I Y 则,（3）若∅==∅=B A B A ，则YA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.答案：D详解：（1）()()()U C B A C B C A C U U U U =∅==I Y ；（2）()()()∅===U C B A C B C A C U U U U Y I ；（3）证明：∵()B A A Y ⊆,即∅⊆A ，而A ⊆∅，∴∅=A ；同理∅=B ， ∴∅==B A ；----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【 子集、真子集】3.从集合{}d c b a U ,,,=的子集中选出4个不同的子集，须同时满足以下两个条件： ①∅，U 都要选出；②对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ⊆或A B ⊆.4.已知集合{}032|2=--=x x x A ，那么满足A B ⊆的集合B 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 分析：本题求的是A 集合的子集个数答案：D详解：根据题意，0322=--x x ，则1-=x 或3，则集合{}3,1-=A ，其中有2个元素，则其子集有422=个，满足A B ⊆的集合B 有4个，故选D ．5.若集合B A ⊆，C A ⊆，且{}4,2,0=C B I ．则满足条件的集合A 的个数为（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个 分析：集合B A ⊆，C A ⊆，说明A 同时是两个集合的子集.答案：D详解：根据题意，集合B A ⊆，C A ⊆，且{}4,2,0=C B I ．即A 为{}4,2,0的子集， 而{}4,2,0中有3个元素，共有823=个子集； 即满足条件的A 的个数为8；故选D ．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【 集合间的运算】6．设全集(){}R y x y x U ∈=,|,,集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-+=122|,x y y x M ，(){}4|,-≠=x y y x N , 那么()()N C M C U U I 等于________________. 分析：首先要注意本题要求的是点集，M 集合的含义是不含有()2,2-的直线上的点集，M C U 表示的就是()2,2-；N C U 表示4-=x y .答案：(){}2,2-详解：()24:≠-=x x y M ，M 代表直线4-=x y 上，但是挖掉点()2,2-，M C U 代表直线4-=x y 外，但是包含点()2,2-；N 代表直线4-=x y 外，N C U 代表直线4-=x y 上，∴()()(){}2,2-=N C M C U U I .7.已知{}06|2=+-=px x x M ，{}06|2=-+=q x x x N ，则{}2=N M I ,则=+q p （ ）分析：从{}2=N M I 入手得，2既是M 的元素又是N 的元素，那么代入便可以求出p 和q 的值.答案：A详解：由已知得，N M ∈∈2,2所以2是方程062=+-px x 和062=-+q x x 的根，故将2代入得，5=p ；16,0==q q .所以21=+q p .8. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根1x ，2x . 设{}21,x x C =，{}9,7,5,3,1=A ， {}10,7,4,1=B ，若C B C C A =∅=I I ,，试求b ，c 的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
慧诚教育2017年秋季高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1．集合一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．2．元素构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.知识点二集合与元素的关系1．属于如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.2．不属于如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.知识点三集合的特性及分类1．集合元素的特性________、________、________.2．集合的分类(1)有限集：含有________元素的集合．(2)无限集：含有________元素的集合．3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集)整数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点四1．列举法把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集________(或________)真子集如果集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集________(或________)2.子集的性质(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．(3)如果A⊆B，B⊆C，则________．(4)如果A⊆B，B⊆C，则________．3．集合相等定义符号语言图形图言(Venn图)集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等A＝B4.如果A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，________________________.知识点六集合的运算1．交集自然语言符号语言图形语言由________________________________________组成的集合，称为A与B的交集A∩B＝_________2．并集自然语言符号语言图形语言由__________________________________组成的集合，称为A与B的并集A∪B＝_______________3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝________A∪B＝________A∩A＝________A∪A＝________A∩∅＝________A∪∅＝________A⊆B⇔A∩B＝________ A⊆B⇔A∪B＝________4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．5．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁U A＝________________ 图形语言典例精讲题型一 判断能否构成集合1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 。
题型二 验证元素是否是集合的元素1、已知集合{}Z n Z m n m x x A ∈∈-==,,22. 求证：（1）3∈A ；（2）偶数4k-2(k ∈Z)不属于A.2、集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断321-是不是集合A 中的元素.题型三 求集合1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥3.数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素.4．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，用列举法表示集合M 为 。
题型四 利用集合中元素的性质求参数1．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.3.已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________.4.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}.(1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．5.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或36．(2016·浙江镇海检测)已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________.题型五 判断集合间的关系1、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系正确的是（ ） A. M=N B.N M ≠⊂ C.N M ≠⊃ D.以上都不对2．判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．3．已知集合M＝{x|x＝m＋16，m∈Z}，N＝{x|x＝n2－13，n∈Z}，P＝{x|x＝p2＋16，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系.题型六求子集个数1．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．题型七利用两个集合之间的关系求参数1.已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝________.2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则a的值不可能是()A．0 B．1C．2 D．33．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．题型八集合间的基本运算1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．42．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝()A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5}C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是()A．1 B．2C．3 D．44．(2016·全国卷Ⅲ理，1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝()A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)5．下列关系式中，正确的个数为()①(M∩N)⊆N；②(M∩N)⊆(M∪N)；③(M∪N)⊆N；④若M⊆N，则M∩N＝M.A．4 B．3C．2 D．16．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.7．(2016·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B).8．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有()A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U TC．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T题型九根据集合运算的结果求参数1．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}.(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．3．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围.4．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(∁U A)∩B＝{2}，A∩(∁U B)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值.5．U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，∁U A＝{1}，则p＋q＝________.4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁U A)≠∅，则() A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜26．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，试探求a取何实数时，(A∩B) ∅与A∩C＝∅同时成立.题型十交集、并集、补集思想的应用1．若三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围．题型十一集合中的新定义问题1．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．2．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为()A．7 B．12C．32 D．643．当x∈A时，若x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝()A．{0,1,3,4} B．{1,4}C．{1,3} D．{0,3}4．设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)，对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝() A．(X∪Y)∩∁U Z B．(X∩Y)∪∁U ZC．(∁U X∪∁U Y)∩Z D．(∁U X∩∁U Y)∪Z5．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.6．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}.(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6<x<6}，求A－(A－B)和B－(B－A)．知识点一函数的有关概念知识点二两个函数相等的条件1．定义域________．2．________完全一致．知识点三区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半开半闭区间{x|a<x≤b}半开半闭区间2.特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)知识点四函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．知识点五分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的________，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的________，值域是各段值域的________．知识点六映射的概念设A，B是两个________________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________________，在集合B中都有________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．知识点七函数的单调性1．增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．2．函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则1f(x)为减(增)函数．知识点八函数的最大值、最小值最值类别最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)对于任意的x∈I，都有__________(2)存在x0∈I，使得______________(1)对于任意的x∈I，都有________(2)存在x0∈I，使得________结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．知识点九函数的奇偶性1．函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x ) 结论函数f (x )是偶函数函数f (x )是奇函数2.性质(1)偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．例1 (2016年10月学考)函数f (x )＝ln(x －3)的定义域为( ) A ．{x |x >－3} B ．{x |x >0} C ．{x |x >3}D ．{x |x ≥3}例2 (2016年4月学考)下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2－2x ＋4，x ≤1，则f (f (3))＝________，f (x )的单调递减区间是________．例4 (2015年10月学考)已知函数f (x )＝x ＋a ＋|x －a |2，g (x )＝ax ＋1，其中a >0，若f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意的x 1<x 2都有f (x 1)>f (x 2)，求a 的取值范围．例6 (2016年4月学考改编)已知函数f (x )＝1x －1－1x －3.(1)设g (x )＝f (x ＋2)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由； (2)求证：函数f (x )在2,3)上是增函数．例7 (2015年10月学考)已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋1＋1x －1，a ∈R .(1)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当a <2时，证明：函数f (x )在(0,1)上单调递减．例8 (2016年10月学考)设函数f (x )＝1(|x －1|－a )2的定义域为D ，其中a <1.(1)当a ＝－3时，写出函数f (x )的单调区间(不要求证明)；(2)若对于任意的x ∈0,2]∩D ，均有f (x )≥kx 2成立，求实数k 的取值范围．一、选择题1．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]2．下列四组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝－2x 3与y ＝x －2x B ．y ＝(x )2与y ＝|x |C ．y ＝x ＋1·x －1与y ＝(x ＋1)(x －1)D ．f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －13．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )4．已知f (x )是一次函数，且ff (x )]＝x ＋2，则f (x )等于( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －15．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝14xD ．f ：x →y ＝16x6．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．17．若函数y ＝ax ＋1在1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2或－2D ．08．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (4)＝f (1)＝0，且在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式x ·f (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(－1,0)C ．(－4，－1)∪(1,4)D ．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－12x ，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )＝a ，则实数a ＝________.10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋2是定义在1＋a,1]上的偶函数，则f (x )>0的解集为________． 11．若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在1,3]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题12．已知函数f (x )＝1＋ax 2x ＋b 的图象经过点(1,3)，并且g (x )＝xf (x )是偶函数．(1)求函数中a 、b 的值；(2)判断函数g (x )在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．13．已知二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 在区间2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求f (x )的解析式；(2)若b >1，g (x )＝f (x )＋mx 在2,4]上为单调函数，求实数m 的取值范围．答案精析知识条目排查知识点一1．确定的不同的全体2．每个对象知识点二1．属于∈2．不属于∉知识点三1．确定性互异性无序性2．(1)有限个(2)无限个3．正整数集有理数集知识点四1．一一列举出来2．共同特征知识点五1．任意一个A⊆B B⊇A x∈B x∉AA B B A2．(1)任何集合∅⊆A(2)A⊆A(3)A⊆C(4)A C3．集合B是集合A的子集(B⊆A)4．如果A＝B, 则A⊆B，且B⊆A知识点六1．属于集合A且属于集合B的所有元素{x|x∈A，且x∈B} 2．所有属于集合A或属于集合B的元素{x|x∈A，或x∈B} 3．B∩A B∪A A A∅A A B4．所有元素U5．不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}题型分类示例例1 D例2A∵A＝B，∴2∈B，则a＝2.]例3 {4}解析 ∵全集U ＝{2,3,4}，集合A ＝{2,3}，∴∁U A ＝{4}． 例4 A ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}， ∴m ＝2，故选A.]例5 B 由B 中不等式变形得 (x －2)(x ＋4)>0， 解得x <－4或x >2，即B ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)． ∵A ＝－2,3]，∴A ∪B ＝(－∞，－4)∪－2，＋∞)． 故选B.]例6 C 图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S ，故选C.] 例7 A A ＝{x |1≤3x ≤81} ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}＝{x |x 2－x >2} ＝{x |x <－1或x >2}， ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤4}＝(2,4]．] 考点专项训练1．B ∵集合A ＝{x |1≤x ≤5}，Z 为整数集， 则集合A ∩Z ＝{1,2,3,4,5}． ∴集合A ∩Z 中元素的个数是5， 故选B.]2．C 由x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2. 又集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴A ⊆B ， 故选C.] 3．D 4.C5．A ∁U B ＝{2,4,5,7}，A ∩(∁U B )＝{3,4,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5}，故选A .] 6．A 因为全集U ＝{－1,1,3}，集合A ＝{a ＋2，a 2＋2}，且∁U A ＝{－1}， 所以1,3是集合A 中的元素，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a 2＋2＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，a 2＋2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1，a 2＋2＝3，得a ＝－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，a 2＋2＝1，得a 无解， 所以a ＝－1，故选A.]7．D A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}， ∵B A ，∴B ＝∅或{3}或{5}， 若B ＝∅时，a ＝0； 若B ＝{3}，则a ＝13；若B ＝{5}，则a ＝15.故a ＝13或15或0，故选D.]8．D ∵集合A ＝{x |x 2≥16}＝{x |x ≤－4或x ≥4}， B ＝{m }，且A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴m ≤－4或m ≥4， ∴实数m 的取值范围是(－∞，－4]∪4，＋∞)，故选D.] 9．{1,2} 10．0 1解析 A ＝{1，a }，∵x (x －a )(x －b )＝0， 解得x ＝0或a 或b ， 若A ＝B ，则a ＝0，b ＝1. 11．解析 全集U ＝{x ∈Z |－2≤x ≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A ＝{－1,0,1,2,3}，∁U A ＝{－2,4}， ∵B ⊆∁U A ，则集合B ＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}， 因此满足条件的集合B 的个数是4. 12．1，＋∞)解析 由x 2－x <0，解得0<x <1， ∴A ＝(0,1)．∵B ＝(0，a )(a >0)，A ⊆B ， ∴a ≥1. 13．3，＋∞)解析 由|x －2|<a ，可得2－a <x <2＋a (a >0)，∴A ＝(2－a,2＋a )(a >0)． 由x 2－2x －3<0，解得－1<x <3. B ＝(－1,3)．∵B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤－1，2＋a ≥3解得a ≥3.答案精析知识条目排查 知识点一非空数集 唯一确定 从集合A 到集合B {f (x )|x ∈A } 知识点二 1．相同 2．对应关系 知识点三1．a ，b ] (a ，b ) a ，b ) (a ，b ] 知识点五对应关系 并集 并集 知识点六非空的集合 任意一个元素x 唯一 知识点八f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M 题型分类示例 例1 C例2 A 当x ＝0时，有两个y 值对应，故A 不可能是函数y ＝f (x )的图象．] 例3 5 －1，＋∞) 解析 f (3)＝log 133＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋4＝5， 当x ≤1时，f (x )＝－x 2－2x ＋4 ＝－(x ＋1)2＋5， 对称轴x ＝－1，f (x )在－1，1]上递减，当x >1时，f (x )递减， ∴f (x )在－1，＋∞)上递减． 例4 (0,1)解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >a ，a ，x ≤a ，在平面直角坐标系内分别画出0<a <1，a ＝1，a >1时，函数f (x )，g (x )的图象，由图易得当f (x )，g (x )的图象有两个交点时，有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，g (a )>a ，解得0<a <1， a 的取值范围为0<a <1.例5 解 由题意知，f (x )为减函数，∴0<a <1且a －3<0且a 0≥(a －3)×0＋4a ，∴0<a ≤14. 例6 (1)解 ∵f (x )＝1x －1－1x －3， ∴g (x )＝f (x ＋2)＝1x ＋1－1x －1， ∵g (－x )＝1－x ＋1－1－x －1＝1x ＋1－1x －1＝g (x )， 又∵g (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}，∴y ＝g (x )是偶函数．(2)证明 设x 1，x 2∈2,3)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(1x 1－1－1x 1－3)－(1x 2－1－1x 2－3) ＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)，∵x 1，x 2∈2,3)且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2－4>0，(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)>0，综上得f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在2,3)上是增函数．例7 (1)解 因为f (－x )＝－ax ＋1－x ＋1＋1－x －1 ＝－(ax ＋1x －1＋1x ＋1) ＝－f (x )，又因为f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠－1且x ≠1}，所以函数f (x )为奇函数．(2)证明 任取x 1，x 2∈(0,1)，设x 1<x 2，则f x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)＋x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)＋x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(x 1－x 2)a －1(x 1－1)(x 2－1)－1(x 1＋1)(x 2＋1)] ＝(x 1－x 2)a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)]． 因为0<x 1<x 2<1，所以2(x 1x 2＋1)>2,0<(x 21－1)(x 22－1)<1，所以2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)>2>a ， 所以a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)<0. 又因为x 1－x 2<0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减．例8 解 (1)单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是1，＋∞)．(2)当x ＝0时，不等式f (x )≥kx 2成立；当x ≠0时，f (x )≥kx 2等价于k ≤1[x (|x －1|－a )]2. 设h (x )＝x (|x －1|－a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x [x －(1－a )]，0＜x ≤1，x [x －(1＋a )]，1＜x ≤2.①当a ≤－1时，h (x )在(0,2]上单调递增，所以0<h (x )≤h (2)，即0<h (x )≤2(1－a )．故k ≤14(1－a )2. ②当－1<a <0时，h (x )在(0，1－a 2]上单调递增，在1－a 2，1]上单调递减，在1，2]上单调递增， 因为h (2)＝2－2a ≥(1－a )24＝h (1－a 2)． 即0<h (x )≤2(1－a )．故k ≤14(1－a )2. ③当0≤a ＜1时，h (x )在(0，1－a 2]上单调递增， 在1－a 2，1－a )上单调递减，在(1－a,1]上单调递减， 在1,1＋a )上单调递增，在(1＋a,2]上单调递增，所以h (1)≤h (x )≤max{h (2)，h (1－a 2)}且h (x )≠0. 因为h (2)＝2－2a >(1－a )24＝h (1－a 2)， 所以－a ≤h (x )≤2－2a 且h (x )≠0.当0≤a ＜23时，因为|2－2a |＞|－a |， 所以k ≤14(1－a )2； 当23≤a ＜1时，因为|2－2a |≤|－a |， 所以k ≤1a2， 综上所述，当a <23时，k ≤14(1－a )2； 当2≤a <1时，k ≤1a2. 考点专项训练1．A 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3. 故－3<x ≤0.即函数的定义域为(－3,0]，故选A.]2．D 在A 选项中，前者的y 属于非负数，后者的y ≤0，两个函数的值域不同； 在B 选项中，前者的定义域x ≥0，后者的x ∈R ，定义域不同； 在C 选项中，前者定义域为x >1，后者为x >1或x <－1，定义域不同； 在D 选项中，两个函数是同一个函数，故选D.]3．B4．A f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，ff (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1.则f (x )＝x ＋1，故选A.]5．A 6.B 7.C8．D 求x ·f (x )<0即等价于求函数在第二、四象限图象x 的取值范围．∵偶函数f (x )(x ∈R )满足f (4)＝f (1)＝0，∴f (4)＝f (－1)＝f (－4)＝f (1)＝0，且f (x )在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减与递增，如图可知：即x ∈(1,4)时，函数图象位于第四象限，x ∈(－∞，－4)∪(－1,0)时，函数图象位于第二象限，综上所述，x ·f (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)，故选D.]9．－1或23解析 当a ≥0时，f (a )＝1－12a ＝a ， 得a ＝23； 当a <0时，1a＝a ，解得a ＝－1或1(舍去)． ∴a ＝－1或23. 10．(－1,1)解析 ∵f (x )为定义在1＋a,1]上的偶函数， ∴1＋a ＝－1，∴a ＝－2，又f (－x )＝f (x )，即ax 2－bx ＋2＝ax 2＋bx ＋2， ∴2bx ＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－2x 2＋2.∴由f (x )>0得，－2x 2＋2>0，解得－1<x <1，∴f (x )>0的解集为(－1,1)． 11．(－∞，－4]解析 若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在1,3]上恒成立， 则a ≤x 2－4x 在1,3]上恒成立，令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，x ∈1,3]， 对称轴x ＝2，开口向上，f (x )在1,2)递减，在(2,3]递增，∴f (x )min ＝f (2)＝－4，∴a ≤－4.12．解 (1)∵函数g (x )＝xf (x )＝x ＋ax 3x ＋b是偶函数， 则g (－x )＝g (x )．∴－x －ax 3－x ＋b ＝x ＋ax 3x ＋b恒成立， 即x －b ＝x ＋b 恒成立，∴b ＝0.又函数f (x )的图象经过点(1,3)，∴f (1)＝3，即1＋a ＝3，∴a ＝2.(2)由(1)知g (x )＝xf (x )＝2x 2＋1，g x )在(1，＋∞)上单调递增，设x 2>x 1>1，则g (x 2)－g (x 1)＝2x 22＋1－2x 21－1＝2(x 2－x 1)(x 2＋x 1)．∵x 2>x 1>1，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1)>0，∴g (x )>g (x 1)，∴函数g (x )在区间(1，＋∞)上是增函数．13．解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a .①当a >0时，f (x )在2,3]上单调递增，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝2，3a ＋2＋b ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ②当a <0时，f (x )在2,3]上单调递减， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝5，f (3)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝5，3a ＋2＋b ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 所以f (x )＝x 2－2x ＋2或f (x )＝－x 2＋2x ＋5.(2)因为b >1，所以f (x )＝－x 2＋2x ＋5，所以g (x )＝－x 2＋(m ＋2)x ＋5在2,4]上为单调函数， 故m ＋22≤2或m ＋22≥4， 所以m ≤2或m ≥6.。