最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)

八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)

•、基本公式

1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2

-b 2

2

例：计算 1999 -2000 X 1998

2

2 2

2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)

例：运用公式简便计算

3. 完全平方公式

a+b(或a-b)、ab 、a 2

+b 2

这三者任意知道两项就可以求出第三项

(a+b)2

、(a-b) 2

、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项

① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab

a 2

b 2 = (a-b) 2+2ab

2 2 2 2

② (a-b) =(a+b) -4ab

(a+b) =(a-b) +4ab

(2)

完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合

2 2 2 2

(a+b) + (a-b) =2 (a+b)

例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。

2

例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。

例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。

2 2

例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.

例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.

例6.已知a +丄=5,求(1) a 2

+W , (2) (a —丄)2

的值.

a a a

(1)

完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项

2 2 2

=a -2ab+b (1) 1032

(2) 1982

1 1

例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。

x x

3

=a -b

二、公式的灵活运用

1. 对公式的基本变用 _ 2 2

(1

)位置变化，x y -y x =x_y

(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2

= x 2-y 2

2. 整体思想的应用

(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”

2 2

例1计算(-a +4b )

分析：运用公式(a +b )2

=a 2

+2ab +b 2

时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；

若将题目变形为(4b -a 2)2

时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)

练习 1•计算：5x 2

3y 2

5x 2

-3y 2

练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：

Ixy z m Jlxy- z m 1

练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z

(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2

-5)(2 x 2

-5)

分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2

”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2

-b 2

中的a,而 _____ 则是公式中的b .

解：原式=

(3 )应用整体思想，要善于分组加括号

例&解下列各式

(1) (2) (3) 已知 a 2

4b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。 已知(a4bj=7,(a_bj/，求 a^b 2

, ab 的值。

已知a a_l

-ab 的值。

(3)完全平方公式变用 3:几个数的和的平方推广

几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的

2倍。

2 2 2 2

(a +b P )=a+b*c +2ab+2bc+2ac

公式的证明：

(a 命弋j 彳a 杭产了 弋a^b ”2(a 4b )c +c 2

=a 2

2ab b 2

2ac 2bc c 2

-a 2

b 2

c 2

2ab 2bc 2ac

例.计算 (1) x 2

)1

4. 立方和与立方差公式 (a+b)(a 2-ab+b 2

) = a 3

+b 3

3 2 2 2 2 3

=a +a b-a b-ab +ab +b

2

(2)(3m+n-p j

3 3

(a-b)(a2+ab+b2)

= a-b

=a 3

-a 2

b+a 2

b-ab 2

+ab 2

-b 3

3 3

a +b

根据原式各项负号的异同 (看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项

符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体， 据此分组）采用添括号合

理分组的方法，再应用整体思想

例 1.计算：（a_b c_d ）（_a_b_c_d ）

例 2 计算（2x +y -z +5）（2 x -y +z +5）.

2 2

例 4.计算：(a+b + c — d ) +(b + c + d —a)

例 5.计算：3x 2y-5z 1 ]-3x 2y-5z -1

2 2 2 2

例 6 计算(a +b +c ) +(a +b - c ) +(a - b +c ) +( b - a +c ).

例7.四个连续自然数的乘积加上 1，一定是平方数吗？为什么?

3. 公式的逆用

』 2 』 2

例 1.计算：5a 7b - 8c ]

〔5a - 7b 8c

例 2 计算(2a+3b)2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)2

(2)

例3•计算（1）