综合法和分析法PPT
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分析方法与综合方法
⌛️
综合方法的优缺点及适用范围
优点
• 整合事物的内在联系和规律
• 发现新的联系和规律
缺点
• 可能忽视事物的细节和局部
• 需要较高的综合素质和创新能力
适用范围
• 研究事物的整体性和系统性
• 解决复杂问题和创新领域
分析方法与综合方法的综合运用与优化
综合运用
优化
• 在研究过程中,根据需要灵活运用分析方法和综合方法
CREATE TOGETHER
SMART CREATE
分析方法与综合方法:理论应用与实例
01
分析方法与综合方法的基
本概念
分析方法的定义与特点
分析方法是一种深入研究事物内部的方法
• 通过分解、剖析、观察等手段
• 了解事物的本质和规律
• 强调细节和局部
分析方法的特点
• 深入:深入挖掘事物的内在联系
• 细致:关注事物的细节和局部
域
归纳综合方法及其应用
归纳综合方法
应用领域
• 通过归纳手段从具体事物中提炼出一般规律
• 哲学:研究世界观、认识论等
• 如:归纳法、类比法等
• 科学:研究科学方法、科学发现等
• 艺术:研究艺术创作、审美规律等
演绎综合方法及其应用
演绎综合方法
• 通过演绎手段从一般规律推导出具体事物
• 如:演绎法、推理法等
• 员工满意度分析:评估员工满意度、激励措施等
品创新
综合方法在科技创新中的应用
科技创新中的综合方法
• 跨学科研究:整合不同学科的知识和技术,解决复杂问题
• 创新方法论:研究创新过程、创新策略等
• 技术路线图:规划技术发展路径,指导科技创新方向
高二数学人选修课件第一章综合法和分析法
感谢观看
第二步,计算$f(x_1)$和$f(x_2)$的差,得到$f(x_1) - f(x_2) = (x_1^2 - 2x_1 + 2) (x_2^2 - 2x_2 + 2) = (x_1 - x_2)(x_1 +第三步,由于$x_1, x_2 in [1, +infty)$且$x_1 < x_2$,所以$x_1 - x_2 < 0$,同时$x_1 + x_2 - 2 > 0$。
第四步,再次对两边同时平方,得到 $42 > 40$。
第三步,对第二步的结论进行简化, 得到$sqrt{42} > 2sqrt{10}$。
因此,我们证明了$sqrt{6} - sqrt{5} > 2sqrt{2} - sqrt{7}$。
XX
REPORTING
2023 WORK SUMMARY
THANKS
综合法的优缺点
01
优点
02
逻辑性强:综合法遵循严格的逻辑推理,使得证明过程具 有严密性。
03
适用性广:综合法可以应用于各种数学领域,具有广泛的 适用性。
04
缺点
05
对已知条件依赖性强:综合法需要从已知条件出发进行推 导,若已知条件不足或不明确,则难以应用综合法。
06
创造性思维受限:综合法主要依赖于逻辑推理和运算,相 对于分析法而言,对创造性思维的发挥有所限制。
应用于解析几何
在解析几何中,分析法可 以帮助我们找到满足特定 条件的点、直线或曲线。
应用于数列与极限
分析法在数列与极限的求 解中也有广泛应用,可以 通过逐步推导找到数列的 通项公式或极限值。
分析法的优缺点
优点
分析法思路清晰,逻辑严密,可以逐步推导出问题的解决方 案。
第二步,计算$f(x_1)$和$f(x_2)$的差,得到$f(x_1) - f(x_2) = (x_1^2 - 2x_1 + 2) (x_2^2 - 2x_2 + 2) = (x_1 - x_2)(x_1 +第三步,由于$x_1, x_2 in [1, +infty)$且$x_1 < x_2$,所以$x_1 - x_2 < 0$,同时$x_1 + x_2 - 2 > 0$。
第四步,再次对两边同时平方,得到 $42 > 40$。
第三步,对第二步的结论进行简化, 得到$sqrt{42} > 2sqrt{10}$。
因此,我们证明了$sqrt{6} - sqrt{5} > 2sqrt{2} - sqrt{7}$。
XX
REPORTING
2023 WORK SUMMARY
THANKS
综合法的优缺点
01
优点
02
逻辑性强:综合法遵循严格的逻辑推理,使得证明过程具 有严密性。
03
适用性广:综合法可以应用于各种数学领域,具有广泛的 适用性。
04
缺点
05
对已知条件依赖性强:综合法需要从已知条件出发进行推 导,若已知条件不足或不明确,则难以应用综合法。
06
创造性思维受限:综合法主要依赖于逻辑推理和运算,相 对于分析法而言,对创造性思维的发挥有所限制。
应用于解析几何
在解析几何中,分析法可 以帮助我们找到满足特定 条件的点、直线或曲线。
应用于数列与极限
分析法在数列与极限的求 解中也有广泛应用,可以 通过逐步推导找到数列的 通项公式或极限值。
分析法的优缺点
优点
分析法思路清晰,逻辑严密,可以逐步推导出问题的解决方 案。
2.2.1《综合法和分析法》区教研课课件
2
充分条件
思考6:上述证明方法叫做分析法. 一般 地,分析法的基本含义是什么? 从所证结论出发,逐步寻求使它成立的 充分条件,直到归结为判定一个显然成 立的条件(已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等)为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是:由未知探需知,逐步推向 已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点? 右边是3个数a,b,c的乘积的4倍,左边 为两项之和,其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2:利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系?
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3:若已知a>0,b>0,如何利用不 等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形,合理利用已 知条件、定理、公式,把文字语言转化为符号 语言或者图形语言,由因导果!
探究(二):分析法
回顾基本不等式: a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证: 3 a b c
(综合法)
R ∵a,b,c ,
符号语言
b a c a c b 与 , 与 , 与 均为正实数且不能同时相等, a b a c b c b a c a c b 2, + 2 , + 2 , 由重要不等式得: + a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
充分条件
思考6:上述证明方法叫做分析法. 一般 地,分析法的基本含义是什么? 从所证结论出发,逐步寻求使它成立的 充分条件,直到归结为判定一个显然成 立的条件(已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等)为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是:由未知探需知,逐步推向 已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点? 右边是3个数a,b,c的乘积的4倍,左边 为两项之和,其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2:利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系?
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3:若已知a>0,b>0,如何利用不 等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形,合理利用已 知条件、定理、公式,把文字语言转化为符号 语言或者图形语言,由因导果!
探究(二):分析法
回顾基本不等式: a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证: 3 a b c
(综合法)
R ∵a,b,c ,
符号语言
b a c a c b 与 , 与 , 与 均为正实数且不能同时相等, a b a c b c b a c a c b 2, + 2 , + 2 , 由重要不等式得: + a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
1.2 综合法与分析法 课件(北师大选修2-2)
2.已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点,O是斜边 AB的中点,并且PA=PB=PC. 求证:PO⊥平面ABC.
证明:连接OC,如图所示,
∵AB是Rt△ABC的斜边,O是AB的中点, ∴OA=OB=OC. 又∵PA=PB=PC,∴PO⊥AB, 且△POA≌△POC, ∴∠POA=∠POC. ∴∠POC=90°. 即PO⊥AB,PO⊥OC,且AB∩OC=O,所以PO⊥ 平面ABC.
分析法与综合法的优缺点: 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方 法各有优缺点.分析法解题方向较为明确,容易寻找到解
题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从
条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考.实际 证题时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后用 综合法有条理地表述解题过程.
提示:基本不等式.
问题 2:本题证明顺序是什么?
提示:从已知到结论.
综合法
(1)含义:从命题的 条件 出发,利用定义、公理、定理 及运算法则,通过 演绎 推理,一步一步地接近要证明 的 结论 ,直到完成命题的证明的思维方法,称为综合法. (2)思路:综合法用以下的框图表示:
1 2 即证 a +b ≥ (a +b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. 2 因为 a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, 2 所以 a +b ≥ (a+b)成立. 2
2 2
[一点通]
分析法是“执果索因”,一步步寻找结论成
立的充分条件.它是从求证的结论出发,逆着分析,由未
知想需知,由需知逐渐地靠近已知,这种证明的方法关键
AC cos B 1.在△ABC 中,AB= ,证明 B=C. cos C
sin B cos B 证明: 在△ABC 中, 由正弦定理及已知得 = . sin C cos C 于是 sin Bcos C-cos Bsin C=0,即 sin(B-C)=0, 因为-π<B-C<π,从而 B-C=0,所以 B=C.
5.3.2综合法与分析法(1) 课件(人教A版选修4-5)
2 2 2 2 2
例 7 已 知 a , b , c都 是 正 数 , 求 证 : a b c 3 abc , 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 .
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时,有时可以从要证明的不等 式出发,逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件, 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法: 条件 结论
天才就是百分之一的灵感,百分之九十九的汗水! 书 小 不 学 勤 径,学 徒 伤 悲 作 功! 天 才 在 于 为 奋,努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习,老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 已 知 a , b都 是 正 数 , 求 证 :
3 3
a b
2
b a
分析法: 结论
B
…
A
条件补Biblioteka 作业(1) 求 证: 1 x
2
1 y
2
2
1 z
2
1 xy
1 yz
1 zx
( 2 ) 求 证: a b ab a b 1
2
( 3 ) 已 知 a , b , c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 且 abc 1 . 求证 : a b c 1 a 1 b 1 c
2.
2
例 2 设 a 0 , b 0 , 求 证 : a b a b ab
例 7 已 知 a , b , c都 是 正 数 , 求 证 : a b c 3 abc , 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 .
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时,有时可以从要证明的不等 式出发,逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件, 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法: 条件 结论
天才就是百分之一的灵感,百分之九十九的汗水! 书 小 不 学 勤 径,学 徒 伤 悲 作 功! 天 才 在 于 为 奋,努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习,老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 已 知 a , b都 是 正 数 , 求 证 :
3 3
a b
2
b a
分析法: 结论
B
…
A
条件补Biblioteka 作业(1) 求 证: 1 x
2
1 y
2
2
1 z
2
1 xy
1 yz
1 zx
( 2 ) 求 证: a b ab a b 1
2
( 3 ) 已 知 a , b , c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 且 abc 1 . 求证 : a b c 1 a 1 b 1 c
2.
2
例 2 设 a 0 , b 0 , 求 证 : a b a b ab
综合法分析法PPT课件
例 3. 已 知 α ,β≠
k π+ π( k 2
Z),且
sinθ+ cosθ = 2sinα
sinθ cosθ = sin 2β
求 证:
1 - tan 2α = 1 - tan 2β . 1 + tan 2α 2(1 + tan 2β )
.
.
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
.
例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,
s = 1(a + b+c), 试证: s < 2a 2
解:欲证s<2a,只需证
s
s2 b
即证b<s,也即证 b 1 (a bc)
2
即证b<a+c
因为a,b,c为一个三角形的三边,所以 b<a+c成立.
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证;a
+ 2
b
ab
还原成综合法: 证明:
只需证;a+b2 ab
因为;( a b)2 0
只需证;a+b2 ab0 所以 a+b2 ab0
只需证;( a b)2 0
所以 a+b2 ab
因为;( a b)2 0成立
所以 a
+ 2
b
a b成立
所以
a+b 2
a b 成立
.
小结
1.在数学证明中,综合法和分析法是 两种最常用的数学方法,若从已知入手 能找到证明的途径,则用综合法,否则 用分析法.
高中数学2.2.1 综合法和分析法
-16-
2.2.1 综合法与分析法
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习 规范解答 当堂检测
综合法与分析法的综合应用 例3已知a、b、c是不全相等的正数,且0<x<1.
求证:logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc. 分析:解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质将题 目转化成整式不等式证明.
①综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找
已知条件的必要条件.
②综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,
通过演绎推理,一步一步完成命题的证明.
-3-
2.2.1 综合法与分析法
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【做一做 1】 命题“求证:tan θ+ta1n������ = sin22������”的证明过程“tan
-17-
2.2.1 综合法与分析法
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
规范解答 当堂检测
解:要证明 logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc,
只需要证明 logx
①分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推
理实际上是寻找使结论成立的充分条件.
②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为
数学课件:1.5.2 综合法和分析法
题型一 题型二 题型三
正解:证明:要证 3 + 6 < 4 + 5, 只需证( 3 + 6)2<( 4 + 5)2, 即证 9+2 18 < 9+2 20, 即证 18 < 20, 即证18<20. 因为 18<20 显然成立, 所以 3 + 6 < 4 + 5.
12345
1 设 a,b 为正数,A= ������ + ������,B= ������ + ������, 则A,B 的大小关系是( ) A.A≥B B.A≤B
+
1 ������-������
. 此不等式恒成立的充要条件是n 小于等于(x-
z)
1 ������-������
+
1 ������-������
的最小值.
令 a=x-y,b=y-z,则 a>0,b>0,且 x-z=a+b.
因为可证(a+b)
1 ������
+
1 ������
≥4,当且仅当 a=b,即 x-y=y-z>0 时等号成立,
2bc. Δ=4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc>0. 则f(a)的值可正、可负、可为零,无法确定. 因此,分析题目时,对条件要看清楚,尤其要探寻条件间的限制关
系,以免受到某些思维定式的影响.
题型一 题型二 题型三
用分析法证明不等式
【例 2】
已知
a>b>0,求证:
(������-������)2 8������
只需证明A为真. 已知A为真,故B必为真. 可以简单写成: B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.
2.2.1综合法和分析法PPT课件
()
❖ A.既不充分也不必要条件
❖ B.充要条件
❖ C.充分条件
❖ D.必要条件
❖ [答案] D
❖ [解析] ∵②⇒①,但①不一定推出②.故•18 应选D.
2.若 a,b,c∈R,且 ab+bc+ac=1,则下列不等
式成立的是
()
A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3 C.1a+1b+1c≥2 3 D.abc(a+b+c)≤13 ❖ [答案] B
步反推,寻找使当前命题成立的充分条件,
即用分析法证明.
[证明] ∵a>0,b>0,要证
a+ b
b≥ a
a+
b成立,
只需证
a+ b
ba2≥(
a+
b)2 成立,
即证ab2+ba2+2 ab≥a+b+2 ab成立.
•5
即证a3a+bb3≥a+b.
也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立.
要证a+1 b+b+1 c=a+3b+c,
即证a+a+b+b c+a+b+b+c c=3,
也就是a+c b+b+a c=1,
❖ 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
❖ 需证c2+a2=ac+b2,
❖ 又△ABC三内角A、B、C成等差数列,故B
=60°,
•11
❖ 由余弦定理,有 ❖ b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac, ❖ 故c2+a2=ac+b2得证. ❖ 综合法: ❖ 证明:∵△ABC三内角A、B、C成等差数列, ❖ ∴B=60°. ❖ 由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°, ❖ 得c2+a2=ac+b2, ❖ 等式两边同时加上ab+bc得 ❖ c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
综合法和分析法 课件
分析法证明.
[规范解答] 要证明 f(x+1)为偶函数,只需证明其对 称轴为直线 x=0.(2 分)
因为 f(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b+c(a≠0)的对称 轴为 x=-2ba-1,所以只需证-2ba-1=0,
即证 b=-2a.(4 分)
由已知,抛物线 f(x+2)的对称轴 x=-2ba-2 与 f(x) 的对称轴 x=-2ba关于 y 轴对称,(8 分)
只需要证明 logxa+2 b·b+2 c·a+2 c<logx (abc).
a+b b+c a+c 由已知 0<x<1,只需证明 2 · 2 · 2 >abc.
a+b
b+c
a+c
由基本不等式得 2 ≥ ab>0, 2 ≥ bc>0, 2
≥ ac>0.又因为 a,b,c 是不全相等的正数,
a+b b+c a+c 所以 2 · 2 · 2 > a2b2c2=abc.
(3)适当调整,回顾反思:解题后回顾解题过程,可 对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,反 思总结解题方法的选取.
类型 2 分析法的应用
[典例 2] 设 a,b 为实数,求证:
a2+b2≥
2 2 (a
+b).
证明:当 a+b≤0 时,因为 a2+b2≥0,
所以 a2+b2≥ 22(a+b)成立.
a+b b+c a+c 即 2 · 2 · 2 >abc 成立.
a+b b+c a+c 所以 logx 2 +logx 2 +logx 2 <logx a+logx b+logx c 成立.
温馨提示 运用综合法证明问题的关键是正确运用
相关的定义、定理、公理和已知条件.
2.分析法
(1)定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成 立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件.
[规范解答] 要证明 f(x+1)为偶函数,只需证明其对 称轴为直线 x=0.(2 分)
因为 f(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b+c(a≠0)的对称 轴为 x=-2ba-1,所以只需证-2ba-1=0,
即证 b=-2a.(4 分)
由已知,抛物线 f(x+2)的对称轴 x=-2ba-2 与 f(x) 的对称轴 x=-2ba关于 y 轴对称,(8 分)
只需要证明 logxa+2 b·b+2 c·a+2 c<logx (abc).
a+b b+c a+c 由已知 0<x<1,只需证明 2 · 2 · 2 >abc.
a+b
b+c
a+c
由基本不等式得 2 ≥ ab>0, 2 ≥ bc>0, 2
≥ ac>0.又因为 a,b,c 是不全相等的正数,
a+b b+c a+c 所以 2 · 2 · 2 > a2b2c2=abc.
(3)适当调整,回顾反思:解题后回顾解题过程,可 对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,反 思总结解题方法的选取.
类型 2 分析法的应用
[典例 2] 设 a,b 为实数,求证:
a2+b2≥
2 2 (a
+b).
证明:当 a+b≤0 时,因为 a2+b2≥0,
所以 a2+b2≥ 22(a+b)成立.
a+b b+c a+c 即 2 · 2 · 2 >abc 成立.
a+b b+c a+c 所以 logx 2 +logx 2 +logx 2 <logx a+logx b+logx c 成立.
温馨提示 运用综合法证明问题的关键是正确运用
相关的定义、定理、公理和已知条件.
2.分析法
(1)定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成 立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件.
综合法与分析法PPT
例题2
求证 3 + 7 < 2 5.
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点,因此我们直接从待证不等式出发, 分析其成立的充分条件.
证明:
因为 3 + 7和 2 5 都是正数,所以要证
3 + 7 < 2 5,
只需证
( 3 + 7)2 <(2 5)2 .
展开得
10 + 2 21 < 20,
只Hale Waihona Puke 证21 < 5,不等式:a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想, 除了综合法,还有 别的证明方法吗?
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证:a + b 2 ab
只需证:a + b 2 ab 0
只需证:( a b)2 0
因为:( a b)2 0 成立
所以
a
+ 2
b
ab成立
a2 + c2 - ac = ac,
即 (a - c)2 = 0.
因此
a=c.
从而
A=C.
⑤
由 ② ③ ⑤ ,得
A=B=C= π. 3
所以△ABC为等边三角形.
注意
解决数学问题时,往往要先做语言的转 换,如把文字语言转换成符号语言,或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析,把其中的隐含条件明确表示出来.
a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
首先,分析待证不等式的特点:不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍,左 端为两项之和,其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此,只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式,就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
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• (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不 等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 最后得到的充分条件是已知(或已证)的不 等式;
• (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当 地用好“要证”、“只需证”、“即证” 等词语.
[研一题]
[例 3] 已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0<x<1.
2.2.1 综合法和分析法
[例 1] 已知 a,b,c>0.求证:a3+b3+c3≥13(a2+ b2+c2)(a+b+c).
• [分析] 不等式中的a,b,c为对称的,所以 从基本的不等式定理入手,先考虑两个正数 的均值定理,再根据不等式的性质推导出证 明的结论.
• [证明] ∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0, • ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b). • ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2. • ∴a3+b3≥a2b+ab2. • 同理:b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2. • 将三式相加得: • 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2, • ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)
由基本不等式得a+2 b≥ ab>0,b+2 c≥ bc>0, a+2 c≥ ac>0,又∵a,b,c 是不全相等的正数, ∴a+2 b·b+2 c·a+2 c> a2b2c2=abc. 即a+2 b·b+2 c·a+2 c>abc 成立. ∴logxa+2 b+logxb+2 c+logxa+2 c<logxa+logxb+logxc 成立.
• 第二步:转化条件,组织过程.把题目的 已知条件,转化成解题所需要的语言,主 要是文字、符号、图形三种语言之间的转 化.组织过程时要有严密的逻辑,简洁的 语言,清晰的思路.
• 第三步:适当调整,回顾反思.解题后回顾 解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一
些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法 的选取.
[例 2]
已知
a>0,b>0,求证:
a+ b
b≥ a
a+
b.
• [分析] 要证明上述不等式成立,暂无条件
可用,这时可以从所要证明的结论出发,逐
步反推,寻找使当前命题成立的充分条件,
即用分析法证明.
[证明] ∵a>0,b>0,要证
a+ b
b≥ a
a+
b成立,
只需证
a+ b
ba2≥(
a+
b)2 成立,
即证ab2+ba2+2 ab≥a+b+2 ab成立.
即证a3a+bb3≥a+b.
也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立.
即 a2-2ab+b2≥0,也就是证(a-b)2≥0 成立.
∵(a-b)2≥0
恒成立,∴
a+ b
b≥ a
a+
b.
• [点评] (1)分析法证明不等式的依据是不 等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论;
+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).
∴a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).
• [点评] 1.综合法证明问题的步骤
• 第一步:分析条件,选择方向.仔细分析 题目的已知条件(包括隐含条件),分析已 知与结论之间的联系与区别,选择相关的 公理、定理、公式、结论,确定恰当的解 题方法.
要证a+1 b+b+1 c=a+3b+c,
即证a+a+b+b c+a+b+b+c c=3,
也就是a+c b+b+a c=1,
• 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), • 需证c2+a2=ac+b2, • 又△ABC三内角A、B、C成等差数列,故B=
60°,
• 由余弦定理,有 • b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac, • 故c2+a2=ac+b2得证. • 综合法: • 证明:∵△ABC三内角A、B、C成等差数列, • ∴B=60°. • 由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°, • 得c2+a2=ac+b2, • 等式两边同时加上ab+bc得 • c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
• [例4] △ABC的三个内角A、B、C成等差 数列,A、B、C的对边分别为a、b、c.
求证:a+1 b+b+1 c=a+3b+c.
• [分析] 条件与结论跨越较大,不易下手, 可考虑用分析法证明;由于分析法是执果 索因,逐步寻找成立的充分条件,因此分 析法的倒退过程就是综合法.
[证明] 分析法:
[例 5] 如果 a>b,ab=1,求证:a2+b2≥2 2(a -b),并指明何时取“=”号.
• [分析] 先用分析法将所证不等式转化为易 证的等价式子,再用综合法进行证明.
[解析] 因为 a>b,a-b>0,所以欲证 a2+b2≥2 2(a-b). 只需证aa2-+bb2≥2 2. 因为 a>b,所以 a-b>0,又知 ab=1, 所以aa2-+bb2=a2+b2-a-2abb+2ab=(a-a-b)2b+2 =(a-b)+a-2 b≥2 (a-b)·a-2 b=2 2. 所以aa2-+bb2≥2 2,即 a2+b2≥2 2(a-b). 当且仅当 a-b=a-2 b,即 a-b= 2时,取等号.
等式两边同除以(a+b)(b+c)得,a+c b+b+a c=1, ∴a+c b+1+b+a c+1=3, 即a+1 b+b+1 c=a+3b+c.
• [点评] 综合法和分析法各有优缺点.从 寻找解题思路来看,综合法由因导果,往 往枝节横生,不容易奏效;分析法执果索 因,常常根底渐近,有希望成功,就表达 证明过程而论,综合法形式简洁,条理清 晰;分析法叙述繁琐,文辞见长.也就是 说分析法利于思考,综合法宜于表述.因 此,在实际解题时,常常把分析法和综合 法结合起来运用,先以分析法为主导求解 题思路,再用综合法有条理地表述解答或 证明过程.
证明:logxa+2 b+logxb+2 c+logxa+2 c<logxa+logxb+logxc.
[自主解答]
要证Leabharlann a+b logx 2+
logx
b+c 2
+logxa+2 c<logxa
+
logxb+logxc, 只需要证明 logx(a+2 b·b+2 c·a+2 c)<logx(abc),
由 0<x<1 知,只需证明a+2 b·b+2 c·a+2 c>abc.
• (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当 地用好“要证”、“只需证”、“即证” 等词语.
[研一题]
[例 3] 已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0<x<1.
2.2.1 综合法和分析法
[例 1] 已知 a,b,c>0.求证:a3+b3+c3≥13(a2+ b2+c2)(a+b+c).
• [分析] 不等式中的a,b,c为对称的,所以 从基本的不等式定理入手,先考虑两个正数 的均值定理,再根据不等式的性质推导出证 明的结论.
• [证明] ∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0, • ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b). • ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2. • ∴a3+b3≥a2b+ab2. • 同理:b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2. • 将三式相加得: • 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2, • ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)
由基本不等式得a+2 b≥ ab>0,b+2 c≥ bc>0, a+2 c≥ ac>0,又∵a,b,c 是不全相等的正数, ∴a+2 b·b+2 c·a+2 c> a2b2c2=abc. 即a+2 b·b+2 c·a+2 c>abc 成立. ∴logxa+2 b+logxb+2 c+logxa+2 c<logxa+logxb+logxc 成立.
• 第二步:转化条件,组织过程.把题目的 已知条件,转化成解题所需要的语言,主 要是文字、符号、图形三种语言之间的转 化.组织过程时要有严密的逻辑,简洁的 语言,清晰的思路.
• 第三步:适当调整,回顾反思.解题后回顾 解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一
些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法 的选取.
[例 2]
已知
a>0,b>0,求证:
a+ b
b≥ a
a+
b.
• [分析] 要证明上述不等式成立,暂无条件
可用,这时可以从所要证明的结论出发,逐
步反推,寻找使当前命题成立的充分条件,
即用分析法证明.
[证明] ∵a>0,b>0,要证
a+ b
b≥ a
a+
b成立,
只需证
a+ b
ba2≥(
a+
b)2 成立,
即证ab2+ba2+2 ab≥a+b+2 ab成立.
即证a3a+bb3≥a+b.
也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立.
即 a2-2ab+b2≥0,也就是证(a-b)2≥0 成立.
∵(a-b)2≥0
恒成立,∴
a+ b
b≥ a
a+
b.
• [点评] (1)分析法证明不等式的依据是不 等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论;
+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).
∴a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).
• [点评] 1.综合法证明问题的步骤
• 第一步:分析条件,选择方向.仔细分析 题目的已知条件(包括隐含条件),分析已 知与结论之间的联系与区别,选择相关的 公理、定理、公式、结论,确定恰当的解 题方法.
要证a+1 b+b+1 c=a+3b+c,
即证a+a+b+b c+a+b+b+c c=3,
也就是a+c b+b+a c=1,
• 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), • 需证c2+a2=ac+b2, • 又△ABC三内角A、B、C成等差数列,故B=
60°,
• 由余弦定理,有 • b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac, • 故c2+a2=ac+b2得证. • 综合法: • 证明:∵△ABC三内角A、B、C成等差数列, • ∴B=60°. • 由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°, • 得c2+a2=ac+b2, • 等式两边同时加上ab+bc得 • c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
• [例4] △ABC的三个内角A、B、C成等差 数列,A、B、C的对边分别为a、b、c.
求证:a+1 b+b+1 c=a+3b+c.
• [分析] 条件与结论跨越较大,不易下手, 可考虑用分析法证明;由于分析法是执果 索因,逐步寻找成立的充分条件,因此分 析法的倒退过程就是综合法.
[证明] 分析法:
[例 5] 如果 a>b,ab=1,求证:a2+b2≥2 2(a -b),并指明何时取“=”号.
• [分析] 先用分析法将所证不等式转化为易 证的等价式子,再用综合法进行证明.
[解析] 因为 a>b,a-b>0,所以欲证 a2+b2≥2 2(a-b). 只需证aa2-+bb2≥2 2. 因为 a>b,所以 a-b>0,又知 ab=1, 所以aa2-+bb2=a2+b2-a-2abb+2ab=(a-a-b)2b+2 =(a-b)+a-2 b≥2 (a-b)·a-2 b=2 2. 所以aa2-+bb2≥2 2,即 a2+b2≥2 2(a-b). 当且仅当 a-b=a-2 b,即 a-b= 2时,取等号.
等式两边同除以(a+b)(b+c)得,a+c b+b+a c=1, ∴a+c b+1+b+a c+1=3, 即a+1 b+b+1 c=a+3b+c.
• [点评] 综合法和分析法各有优缺点.从 寻找解题思路来看,综合法由因导果,往 往枝节横生,不容易奏效;分析法执果索 因,常常根底渐近,有希望成功,就表达 证明过程而论,综合法形式简洁,条理清 晰;分析法叙述繁琐,文辞见长.也就是 说分析法利于思考,综合法宜于表述.因 此,在实际解题时,常常把分析法和综合 法结合起来运用,先以分析法为主导求解 题思路,再用综合法有条理地表述解答或 证明过程.
证明:logxa+2 b+logxb+2 c+logxa+2 c<logxa+logxb+logxc.
[自主解答]
要证Leabharlann a+b logx 2+
logx
b+c 2
+logxa+2 c<logxa
+
logxb+logxc, 只需要证明 logx(a+2 b·b+2 c·a+2 c)<logx(abc),
由 0<x<1 知,只需证明a+2 b·b+2 c·a+2 c>abc.